I-4 Série Fourier

7/21/2019 I-4 Srie Fourier

1/45

1

I-4Espectro de sinais

peridicosA Srie de Fourier

Comunicaes

(11 Maro 2010)


2/45

2

Sumrio

1. Sinais peridicos1. Sinuside

2. Onda quadrada

2. Espectro de amplitude e de fase

1. Unilateral2. Bilateral

3. Srie de Fourier

4. Clculos

1. Potncia e valor mdio2. Largura de banda

5. Exerccios

6. Outras aplicaes


3/45

ISEL - DEETC -

Comunicaes3

1. Sinais peridicos

)()( okTtxtx

2

0T

2

0T

0T 00

1

Tf

)(txT

Sinais peridicos ou estritamente repetitivos

Repetem-se a cada perodo fundamental To

menor valorde tempo para o qual o sinal se repete

No domnio contnuo ou analgico (perodo To seg) temos

Para o domnio discreto (perodo N amostras) temos

][][ kNnxnx Exemplos: Onda Quadrada Sinuside

k inteiro

relativo.


4/45

4

1. Sinuside

)2cos()( 0 tfAtvA valor mximo de amplitude

fo frequncia fundamental (n. de perodos por segundo)

To = 1 / fo, o perodo fundamental

fase inicial ( deslocamento no eixo dos tempos, em relao origem)


5/45

5

1. Sinuside)2cos()(

0

tfAtv

Tem valor mdio nulo

A potncia

apenas depende da amplitude

no depende da frequncia nem da fase

2

2A

Pv


6/45

1. Sinuside

6


7/45

1. Sinuside

7

Aplicao nas

modulaes:

OOK FSK

PSK


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1. A onda quadrada

8

http://en.wikipedia.org/wiki/Manchester_code
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Manchester_code.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:NRZcode.png


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1. A onda quadrada

9


10/45

10

2. Espectro de amplitude e de fase A sinuside representada por um fasor (fase + vector)

)()(0

0

j

00)cos(

complexalexponenciadarealecorrespondsinusideA

1comsincose

EulerdeFrmula

tjtjAeeAtA

t

jj

http://www.jhu.edu/~signals/phasorlecture2/indexphasorlect2.htm


11/45

11


O fasor tem comprimento A Roda a fo rotaes por segundo

Faz um ngulo de radianos com o eixo real, para t = 0

Para descrever o fasor no domnio da frequncia precisamos de lhe associar

a amplitude e a fase


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12


Convenes na representao espectral:

Varivel independente a frequncia fem Hz (ciclos/seg)

w=2*pi*f (rad/seg) a frequncia angular

Os ngulos de fase so medidos relativamente a funoco-seno (origem do referencial):

sen(t) = cos (t - 90 ) = cos (t/2 )

A amplitude sempre positiva. Amplitudes negativas soreferidas na fase

A cos(t) = A cos (t +- 180) = A cos (t +-)


13/45

13


v(t) = 20 cos (2 1000 t/3)

A sinuside

/3 corresponde a 60

Espectro deAmplitude

Espectro de

Fase


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14

Soma de sinusides com

componente DC no nula

Domnio do tempo


Domnio da

frequncia:

Amplitude

Fase (em graus)

)602(sen4

3

202cos107)( tttv


15/45

15


)602(sen43202cos107)( tttv

2602cos4

3202cos107

tt

2602cos43

2202cos107

tt

Amplitude sempre

positiva

Co-seno indica a

referncia de fase


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Fasores Conjugados

Espectro bilateral e frequncias negativas

Simetria par

Simetria mpar

*

2 2*

2 2

1 ( )2

cos(2 )2 2

o o

o o

j f t j f tj j

j f t j f tj j

o

z z z

z Ae e z Ae e

A AA f t e e e e

16



17/45


Verso bilateral do espectro

17

)602(sen43

202cos107)( tttv

2

602cos4

3

2202cos107

tt


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18

Espectro Unilateral Espectro Bilateral

Domnio do Tempo)2cos()( tfAtx o

))2(cos(2

)2cos(2

tfA

tfA

oo

)))(2cos(2

)2cos(2

tfAtfA oo


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2. Espectro de amplitude e fase

Constituem representaes grficas de sinusides nodomnio da frequncia

Uma linha no espectro unilateral representa uma sinuside

Essa mesma sinuside representada por duas linhas noespectro bilateral

O espectro de amplitude fornece indica a distribuio depotncia pelas frequncias

O espectro de fase indica o desfasamento de cadacomponente de frequncia (desvio para t=0)

19
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Joseph_Fourier.jpg


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3. Srie de Fourier

Qualquer funo ou forma de onda peridica pode ser

expressa pela soma de sinusides com frequnciasmltiplas inteiras (designadas harmnicas) da

frequncia fundamental, com as amplitudes e fases

apropriadas

20

Jean-Baptiste Joseph Fourier

(1768 1830 )

...)22cos()2cos()( 22110 tfAtfAAtx oo

)2cos(1

0 ko

k

k tkfAA
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Joseph_Fourier.jpg


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3. Srie de Fourier

21

)2cos()(1

0 ko

k

k tkfAAtx

Espectro Unilateral Espectro Bilateral

)2cos(||)( kok

k tkfctx

0|,|||

0,

2

0,

||

kcc

kA

kA

c

kk

k

k

k0,

0,

k

k

kk

kk


22/45

3. Srie de Fourier (trigonomtrica)

22

)2cos()(1

0 ko

k

k tkfAAtx

Espectro Unilateral

))2(sen)(sen)2cos()(cos(

1

0 tkftkfAA okok

k

k

)2(sen)(sen)2cos()cos(11

0 tkfAtkfAA okk

kok

k

k

)2(sen)2cos(11

0 tkfbtkfaa ok

kok

k

0),(cos

0,

kA

kAa

kk

k

k

)(sen kkk Ab

)(sen)(sen)cos()cos()cos( bababa


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3. Srie de Fourier (trigonomtrica)

23

)2cos()(1

0 ko

k

k tkfAAtx

Espectro Unilateral

)2(sen)2cos(11

0 tkfbtkfaa ok

kok

k

0),(cos

0,

kA

kAa

kk

k

k )(sen kkk Ab

22kkk baA

k

kk

a

batan


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3. Srie de Fourier (exponencial 1/2)

24

Espectro Bilateral

)2(sen)2cos()(

11

0 tkfbtkfaatx ok

ko

k

k

2

)2exp()2exp(

2

)2exp()2exp(

11

0

j

tkfjtkfjb

tkfjtkfjaa oo

k

koo

k

k

11

0 )2exp(22

)2exp(22

k

okk

k

okk tkfj

bj

atkfj

bj

aa

1

1

0 )2exp(22

)2exp(22

k

okk

k

okk tkfj

bj

atkfj

bj

aa


25/45


25

Espectro Bilateral

1

1

0 )2exp(22

)2exp(22

)(

k

okk

k

okk tkfj

bj

atkfj

bj

aatx

k

ok tkfjc )2exp(

22

1

44||

2222

kkk

kkk

Aba

bac

)exp(|| kkk jcc

0,

0,

k

k

kk

kk


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26

Coeficientes da Srie de Fourier

)exp(|| kkk jcc

)2exp(),( tkfjtx o

dttkfjtxT

oT

oo

)2exp()(1

dttkftxTjdttkftxToo T

oo

T

oo

)2(sen)(

1

)2cos()(

1


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3. Srie de Fourier

27

Frequncia fundamental fo

aquela qual o sinal se

repete

To = 1 / fo

O perodo fundamental To

o mnimo mltiplo comum

dos perodos das vriascomponentes de frequncia

To = mmc( T1, T2, .... )


28/45

28

3. Srie de FourierSntese de sinais peridicos atravs da soma de sinusides


29/45

29

3. Srie de

Fourier

Soma de sinusides


30/45

3. Srie de Fourier

x(t) sinal peridico real com frequncia fundamental fo Espectro de amplitude dado pelos coeficientes ak Espectro de fase definido pelos coeficientes k

A0 o valor mdio do sinal (componente DC)

kfo so as componentes harmnicas do sinal

fo a primeira harmnica30

...)22cos()2cos()( 22110 tfAtfAAtx oo

)2cos(

1

0 ko

k

k tkfAA


31/45

3. Srie de Fourier

31

Sequncia de pulsos rectangulares (onda quadrada)

Sinal peridico de potncia

Sntese custa de sinusides


32/45

Espectro da sequncia de pulsos rectangulares

32

3. Srie de Fourier


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Espectro da onda quadrada

Amplitude unitria

Duty cycle d =1/4

33

3. Srie de Fourier


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Espectro da onda quadrada (amplitude unitria)

As linhas do espectro ocorrem sfrequncias mltiplas de f0

Na frequncia 0 temos a componente DC do

sinal f0 a frequncia fundamental

kf0 so as harmnicas

d o duty cycle As amplitudes das harmnicas so dadas

por

Ak = 2d sinc(kd)

34

3. Srie de Fourier


35/45

Onda quadrada: soma de sinusides

35

3. Srie de Fourier

)2cos()(1

0 ko

k

k tkfAAtx

0

0),(sinc2

0,

k

kkkdAd

kAdA

Nota: nesta representao Ak tomavalores negativos


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A potncia calculada a partir do espectro de

amplitude, recorrendo ao Teorema de Parseval

36

4. Clculos

1

22

02k

kx

AAP

)2cos()(1

0 ko

k

k tkfAAtx

Espectro Unilateral

Espectro Bilateral

O valor mdio (ou componente DC) dado pelo

coeficiente A0 =|c0| (contribuio da frequncia 0)

)2cos(||)( kok

k tkfctx

k kx

cP2||


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37

4. Clculos

A largura de banda (LB) definida como a largura da faixade frequncias ocupada pelo sinal

Frequncias negativas no so consideradas

LB=60 Hz


38/45

38

4. ClculosUso do MATLAB )5002cos(2)( ttx


39/45

39

4. ClculosUso do MATLAB )10002cos(10)5002cos(2)( tttx

Pouco detalhe na

representao do

sinal

Baixo nmero de

pontos usado narepresentao


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40

4. ClculosUso do MATLAB )10002cos(10)5002cos(2)( tttx


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41

5. ExercciosA figura apresenta o espectro unilateral de amplitude do sinal x(t).

a) Apresente o respectivo espectro bilateral de amplitude

b) Indique a potncia, a largura de banda, a frequncia fundamental e o valor

mdio do sinal

c) Seja y(t)= 3 - x(4t) + 2x(t). Esboce os espectros unilaterais de amplitude e

fase de y(t)


42/45

42

5. ExercciosConsidere o sinal peridico x(t), de frequncia fundamental 10 kHz, definido por

a) Esboce os espectros unilaterais de amplitude e de fase de x(t).

b) Indique a largura de banda do sinal e a percentagem de potncia contida na

banda de 0 a 15 kHz.

Sejam

a) Esboce o sinal z(t)

b) Calcule Ez, mz e Pw

c) Esboce os espectros dos sinais z(t) e w(t).

/3)t3fcos(25/4)tfcos(25x(t) oo

z(t).)/2-t202sen(51-w(t)e)t102(cos23-z(t)


43/45

6. Outras Aplicaes

DTMF

Dual Tone MultiFrequency

Cada tecla corresponde soma de duas

sinusides

Tabela com pares

de frequncias

utilizadas

43


44/45

44

6. Outras Aplicaes

Demonstrao Matlab - phone

Marcao telefnica

DTMF

Dual-ToneMultifrequency
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Uniden_EXAI3985_DTMF_buttons.jpg


45/45

6. Outras AplicaesNotas musicais = Sinusides organizadas em frequncia

(escalas)

Uma oitava = duplicao de frequncia

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