Analyse fréquentielle Cours 6.1. Plan Série de Fourier Transformé de Fourier Théorème de...
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Analyse Analyse fréquentiellefréquentielle
Cours 6.1Cours 6.1
PlanPlan• Série de Fourier• Transformé de Fourier• Théorème de convolution• Filtrage fréquentiel
Analyse fréquentielleAnalyse fréquentielle• Idée maîtresse:
– Convertir du domaine spatial vers le domaine fréquentiel pour effectuer des manipulations.
– Ensuite, on convertit (conversion inverse) la solution du domaine fréquentiel vers le domaine spatial!
• Et voila
Série de FourierSérie de Fourier• Toute fonction périodique
– Sommation de fonctions sinus et cosinus de fréquences diverses
– Chacune multipliée par un coefficient différent
Série de Fourier
Transformée de FourierTransformée de Fourier• Toute fonction, même apériodique,
mais dont l'aire sous la courbe est finie,– L'intégrale de fonctions sinus et
cosinus– Chacune multipliée par un coefficient
différent
Transformée de Fourier
Transformée de FourierTransformée de Fourier• Caractéristique importante:
– Toute fonction peut être "transformée" du domaine Fourier au domaine original par une transformée inverse
• sans perte d'information
Transformée de FourierTransformée de Fourier• En imagerie
– Pas de fonction cyclique en général– Mais fonctions finies
aires sous la courbe finies!
Transformé de Fourier
Transformé de FourierTransformé de Fourier
1
ˆ
2
2
2
j
dueuFxf
dxexfuF
uxj
uxj
Transformé de FourierTransformé de Fourier
1,,1,0 avec
1,,1,0 avec 1
1
0
2
1
0
2
MxeuFxf
MuexfM
uF
M
u
M
uxj
M
x
M
uxj
Transformé de FourierTransformé de Fourier• Formule d'Euler
1
0
1
0
2
2sin
2cos
1
1
sincos
M
x
M
x
uxj
j
M
uxj
M
uxxf
M
exfM
uF
je
Transformé de FourierTransformé de Fourier• Coordonnés polaires
Spectre(Magnitude)
Phase(angle de phase)
uR
uIu
uIuRuF
euFuF uj
arctan
2/122
Transformé de FourierTransformé de Fourier
Transformé de FourierTransformé de Fourier• Spectre de puissance densité spectrale
• Mesure de l'énergie
22
2ˆ
uIuR
uFuP
Transformé de FourierTransformé de Fourier
1
,,
,,
2
2
2
j
dvduevuFyxf
dydxeyxfvuF
vyuxj
vyuxj
Transformé de FourierTransformé de Fourier
1,,1,0
1,,1,0 avec
,,
1,,1,0
1,,1,0 avec
,1
,
1
0
1
0
2
1
0
1
0
2
Ny
Mx
evuFyxf
Nv
Mu
eyxfMN
vuF
M
u
N
v
N
vy
M
uxj
M
x
N
y
N
vy
M
uxj
Transformé de FourierTransformé de Fourier
Spectre
Phase
Spectre depuissance
22
2
2/122
,,
,,
,
,arctan,
,,,
vuIvuR
vuFvuP
vuR
vuIvu
vuIvuRvuF
Transformé de FourierTransformé de Fourier• Multiplier la fonction d’entrée par (-1)x+y pour
«centrer» la transformée
• D'où
• Et
2,
2 avec
1
00
2
)(
00 Nv
Mue
e
N
yv
M
xuj
yxjyx
2,
2, positionen 1, 00
NMvuyxfOrigine yx
00 ,1, vvuuFyxf yx
Transformé de FourierTransformé de Fourier• F(0,0) est la moyenne des niveaux de
gris
1
0
1
0
,1
0,0M
x
N
y
yxfMN
F
Transformé de FourierTransformé de Fourier
Transformé de FourierTransformé de Fourier• Si f(x,y) est réel
– La transformé est conjugué symétrique
– Le spectre est symétrique!
F u v F u v( , ) ( , )
Transformé de FourierTransformé de Fourier• Échantillonnage dans le domaine spatial et
dans le domaine fréquentiel
• Relation inverse des dimensions– Toute mesure faite dans un domaine peut être
directement vue dans l’autre domaine
uM x
1
v
M y
1et
Transformé de FourierTransformé de Fourier• Interprétation intuitive du spectre ?
– Chaque terme de F(u,v) est fonction de TOUTES les valeurs de f(x,y) pondérées par l'exposant
– Impossible de faire une relation entre les éléments de chaque fonction
Transformé de FourierTransformé de Fourier• Interprétation intuitive du spectre ?
– Les fréquences sont reliées directement aux taux de changements de tons de gris dans l'image
– La valeur de F(0,0) est la moyenne, à la fréquence nulle• composante DC (Direct Current)
– Plus on s'éloigne du centre, plus la fréquence augmente
Transformé de FourierTransformé de Fourier
Transformé de FourierTransformé de FourierSpectre
Phase
Transformé de FourierTransformé de Fourier
• Correspondance entre filtres spatial et fréquentiel ?
• Pour deux fonctions f(x,y) et h(x,y)1 de dimension M X N, la convolution discrète est définie par
Théorème de ConvolutionThéorème de Convolution
f x y h x y
MNf m n h x m y n
n
N
m
M
( , ) * ( , )
( , ) ( , )
1
0
1
0
1
1(pour une fonction h(x,y) symétrique à l'origine)
Théorème de ConvolutionThéorème de Convolution
f x y h x y F u v H u v( , ) * ( , ) ( , ) ( , )
f x y h x y F u v H u v( , ) ( , ) ( , ) * ( , )Convolution
Convolution
Multiplication
Multiplication
Domainespatial
Domainefréquentiel
Théorème de ConvolutionThéorème de Convolution• Soit une fonction filtre fréquentielle• Il existe un filtre spatial associé
– Calculer la transformé inverse du filtre fréquentiel
• Et vice-versa !