Fonctions trigonométriques - Terminale...

Fonctionstrigonométriques

Mesure desangles et cercletrigonométrique

Fonctioncosinus etfonction sinus

Etude de lafonctiontangente

Fonctions trigonométriquesTerminale S

Année scolaire 2013-2014

Mesure des angles et cercle trigonométriqueMesure des anglesCercle trigonométrique

Fonction cosinus et fonction sinusDé�nitionsPropriétésDérivationSignes et variations

Etude de la fonction tangenteDé�nitionPropriétés gémétriquesEtude de la fonctionReprésentation graphique

Mesure desangles

Cercletrigonométrique

Mesure des angles

Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :

180 degrés = π radians

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.

L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le

degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré,

mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le

radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.

Ces deux unités sont reliées par la formule :

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

180 degrés =

π radians

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

45�=π

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

30�=π

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

315�=7π

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

ou −π4rad

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou

−π4rad

Mesure desangles

Mesure des angles

Exemple 1

90�=π

2rad 45�=

60�=π

3rad 30�=

120�=2π

3rad 315�=

4rad ou −π

Mesure desangles

Cercle trigonométrique

On se place dans un repère orthonormé (O;→i ;→j ) du

plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1.

Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle

cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.

Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C,

il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt

∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[

tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient

(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).

Mesure desangles

cos(t)

sin(t)

Mesure desangles

Question.

Pour tout point M de C, existe-t-il un unique réel ttel que les coordonnées de M soient (cos(t); sin(t)) ?

Mesure desangles

Question.

Pour tout point M de C,

existe-t-il un unique réel ttel que les coordonnées de M soient (cos(t); sin(t)) ?

Mesure desangles

Question.

Pour tout point M de C, existe-t-il un unique réel t

tel que les coordonnées de M soient (cos(t); sin(t)) ?

Mesure desangles

Question.

Pour tout point M de C, existe-t-il un unique réel ttel que les coordonnées de M soient

(cos(t); sin(t)) ?

Mesure desangles

Question.

Pour tout point M de C, existe-t-il un unique réel ttel que les coordonnées de M soient (cos(t); sin(t)) ?

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction cosinus

Dé�nition 1

La fonction qui à tout nombre réel t, associe le nombrecos(t) est appelée fonction cosinus.

cos : t 7−→ cos(t)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction cosinus

Dé�nition 1

La fonction qui à tout nombre réel t,

associe le nombrecos(t) est appelée fonction cosinus.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction cosinus

Dé�nition 1

La fonction qui à tout nombre réel t, associe le nombrecos(t) est appelée fonction

cosinus.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction cosinus

Dé�nition 1

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction cosinus

Dé�nition 1

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction sinus

Dé�nition 2

La fonction qui à tout nombre réel t, associe le nombresin(t) est appelée fonction sinus.

sin 7−→ sin(t)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction sinus

Dé�nition 2

La fonction qui à tout nombre réel t,

associe le nombresin(t) est appelée fonction sinus.

sin 7−→ sin(t)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction sinus

Dé�nition 2

La fonction qui à tout nombre réel t, associe le nombresin(t) est appelée fonction

sinus.

sin 7−→ sin(t)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction sinus

Dé�nition 2

sin 7−→ sin(t)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Fonction sinus

Dé�nition 2

sin 7−→ sin(t)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Valeurs remarquables

sin(t)

cos(t)

tan(t)

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 0

cos(t)

tan(t)

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 0

cos(t) 1

tan(t)

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 0

cos(t) 1

tan(t) 0

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

1√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

1√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

1√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(t) 01

cos(t) 1

tan(t) 0

√3 ×

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Périodicité

Propriété 1 Périodicité

Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques.

Pour tout réel x, cos(x+ 2π) = cos(x),sin(x+ 2π) = sin(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Périodicité

Les fonctions cosinus et sinus sont

2π-périodiques.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Périodicité

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Périodicité

Pour tout réel x,

cos(x+ 2π) = cos(x),sin(x+ 2π) = sin(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Périodicité

Pour tout réel x, cos(x+ 2π) =

cos(x),sin(x+ 2π) = sin(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Périodicité

Pour tout réel x, cos(x+ 2π) = cos(x),

sin(x+ 2π) = sin(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Périodicité

Pour tout réel x, cos(x+ 2π) = cos(x),sin(x+ 2π) =

sin(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Périodicité

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Propriété 2 Parité

Pour tout réel t, cos(−t) = cos(t).On dit que la fonction cosinus est paire.

Pour tout réel t, sin(−t) = − sin(t).On dit que la fonction sinus est impaire.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Pour tout réel t,

cos(−t) = cos(t).On dit que la fonction cosinus est paire.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Pour tout réel t, cos(−t) =

cos(t).On dit que la fonction cosinus est paire.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Pour tout réel t, cos(−t) = cos(t).

On dit que la fonction cosinus est paire.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Pour tout réel t, cos(−t) = cos(t).On dit que la fonction cosinus est

paire.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Pour tout réel t,

sin(−t) = − sin(t).On dit que la fonction sinus est impaire.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Pour tout réel t, sin(−t) =

− sin(t).On dit que la fonction sinus est impaire.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Pour tout réel t, sin(−t) = − sin(t).

On dit que la fonction sinus est impaire.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Pour tout réel t, sin(−t) = − sin(t).On dit que la fonction sinus est

impaire.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Parité

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Conséquence graphique

Propriété 3

◦ La courbe représentative de la fonction cosinus estsymétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

◦ La courbe représentative de la fonction sinus estsymétrique par rapport à l'origine du repère.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 3

◦ La courbe représentative de la fonction cosinus

estsymétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 3

◦ La courbe représentative de la fonction cosinus estsymétrique par rapport

à l'axe des ordonnées.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 3

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 3

◦ La courbe représentative de la fonction sinus

estsymétrique par rapport à l'origine du repère.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 3

◦ La courbe représentative de la fonction sinus estsymétrique par rapport

à l'origine du repère.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 3

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Déphasage

Propriété 4 Déphasage

Pour tout t ∈ R,cos(t− π

)= sin(t).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Déphasage

Pour tout t ∈ R,

cos(t− π

)= sin(t).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Déphasage

sin(t).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Déphasage

)= sin(t).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Déphasage

y = cos(x)

y = sin(x)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Déphasage

y = cos(x)

y = sin(x)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Déphasage

y = cos(x)

y = sin(x)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Déphasage

y = cos(x)

y = sin(x)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Déphasage

y = cos(x)

y = sin(x)

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Un encadrement remarquable

Propriété 5

Pour tout réel x,

− 1 ≤ cos(x) ≤ 1− 1 ≤ sin(x) ≤ 1

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 5

Pour tout réel x,

− 1 ≤ cos(x) ≤ 1− 1 ≤ sin(x) ≤ 1

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 5

Pour tout réel x,

≤ cos(x) ≤

1− 1 ≤ sin(x) ≤ 1

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 5

Pour tout réel x, − 1 ≤ cos(x) ≤

1− 1 ≤ sin(x) ≤ 1

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 5

Pour tout réel x, − 1 ≤ cos(x) ≤ 1

− 1 ≤ sin(x) ≤ 1

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 5

Pour tout réel x, − 1 ≤ cos(x) ≤ 1

≤ sin(x) ≤

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 5

Pour tout réel x, − 1 ≤ cos(x) ≤ 1− 1 ≤ sin(x) ≤

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 5

Pour tout réel x, − 1 ≤ cos(x) ≤ 1− 1 ≤ sin(x) ≤ 1

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Une formule remarquable

Propriété 6

Pour tout réel x, cos2(x) + sin2(x) = 1.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 6

Pour tout réel x,

cos2(x) + sin2(x) = 1.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 6

Pour tout réel x, cos2(x) + sin2(x) =

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Propriété 6

Pour tout réel x, cos2(x) + sin2(x) = 1.

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Propriété 7 Dérivation

◦ Pour tout x ∈ R, (cos(x))′ = − sin(x).

◦ Pour tout x ∈ R, (sin(x))′ = cos(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

◦ Pour tout x ∈ R,

(cos(x))′ = − sin(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

◦ Pour tout x ∈ R, (cos(x))′ =

− sin(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

◦ Pour tout x ∈ R,

(sin(x))′ = cos(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

◦ Pour tout x ∈ R, (sin(x))′ =

cos(x).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, onpeut réduire leur étude à un intervalle de longueur 2π.

cos(x)

−π −π2

− 0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques,

onpeut réduire leur étude à un intervalle de longueur 2π.

cos(x)

−π −π2

− 0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, onpeut réduire leur étude à un intervalle de longueur

cos(x)

−π −π2

− 0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π −π2

− 0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π2

− 0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π −π2

− 0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π −π2

− 0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π −π2

− 0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π −π2

0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π −π2

+ 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π −π2

− 0 +

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π −π2

− 0 + 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

cos(x)

−π −π2

− 0 + 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

sin(x)

−π 0 π

− 0 +

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

sin(x)

− 0 +

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

sin(x)

−π 0

− 0 +

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

sin(x)

−π 0 π

− 0 +

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

sin(x)

−π 0 π

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

sin(x)

−π 0 π

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Signes

sin(x)

−π 0 π

− 0 +

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Tableau de variations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

cos(x)

− sin(x)

−π 0 π

+ 0 −

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

sin(x)

cos(x)

−π2

+ 0 −

−10 0

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Propriété 8

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R.

◦ Pour tout x ∈ I, (cos(u(x)))′ = − u′(x) sin(u(x)).

◦ Pour tout x ∈ I, (sin(u(x)))′ = u′(x) cos(u(x)).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Propriété 8

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Propriété 8

◦ Pour tout x ∈ I,

(cos(u(x)))′ = − u′(x) sin(u(x)).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Propriété 8

◦ Pour tout x ∈ I, (cos(u(x)))′ =

− u′(x) sin(u(x)).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Propriété 8

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Propriété 8

◦ Pour tout x ∈ I,

(sin(u(x)))′ = u′(x) cos(u(x)).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Propriété 8

◦ Pour tout x ∈ I, (sin(u(x)))′ =

u′(x) cos(u(x)).

Dé�nitions

Propriétés

Dérivation

Signes etvariations

Dérivation

Propriété 8

Dé�nition

Propriétésgémétriques

Etude de lafonction

Représentationgraphique

Etude de la fonction tangente

Dé�nition 3 Fonction tangente

La fonction tangente est la fonction notée tan, dé�nie

pour tout x 6= π

2+ kπ k ∈ Z par :

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z

Dé�nition

Etude de lafonction

La fonction tangente est la fonction notée

tan, dé�nie

pour tout x 6= π

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

La fonction tangente est la fonction notée tan,

dé�nie

pour tout x 6= π

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

pour tout x 6=

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

pour tout x 6= π

2+ kπ

k ∈ Z par :

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

pour tout x 6= π

2+ kπ k ∈ Z

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

pour tout x 6= π

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

pour tout x 6= π

tan(x) =

sin(x)

cos(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

pour tout x 6= π

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

pour tout x 6= π

tan(x) =sin(x)

cos(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

La fonction tangente est π-périodique.

Preuve de la propriété.

Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z

tan(x+ π) =sin(x+ π)

cos(x+ π)=− sin(x)

− cos(x)= tan(x)�.

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

La fonction tangente est

π-périodique.

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

tan(x+ π) =

sin(x+ π)

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

cos(x+ π)

=− sin(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

cos(x+ π)=

− sin(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

− cos(x)

= tan(x)�.

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

− cos(x)= tan(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Propriété 9

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Remarque 1

Il su�t donc d'étudier la fonction tangente sur unintervalle de longueur π.

Intervalle d'étude :]−π2;π

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Remarque 1

Il su�t donc d'étudier la fonction tangente sur unintervalle de longueur

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Remarque 1

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Remarque 1

Intervalle d'étude :

]−π2;π

Dé�nition

Etude de lafonction

Périodicité

Remarque 1

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

La fonction tangente est impaire.

L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.

tan(−x) = sin(−x)cos(−x)

=− sin(x)

cos(x)= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

=− sin(x)

cos(x)= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

=− sin(x)

cos(x)= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente est

symétrique par rapport à 0.

=− sin(x)

cos(x)= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

=− sin(x)

cos(x)= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

tan(−x) =

sin(−x)cos(−x)

=− sin(x)

cos(x)= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

=− sin(x)

cos(x)= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

− sin(x)

cos(x)= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

=− sin(x)

cos(x)

= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

=− sin(x)

cos(x)=

− tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Propriété 10

=− sin(x)

cos(x)= − tan(x).

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Conséquence graphique de ces propriétés.

◦ Comme tan est π-périodique sa représentationgraphique est invariante par translation.

◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

◦ Comme tan est

π-périodique sa représentationgraphique est invariante par translation.

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

◦ Comme tan est π-périodique

sa représentationgraphique est invariante par translation.

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

◦ Comme tan est π-périodique sa représentationgraphique est invariante par

translation.

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

◦ Comme tan est impaire

sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est

symétrique parrapport à l'origine.

Dé�nition

Etude de lafonction

Parité

Dé�nition

Etude de lafonction

Etude de la fonction

Propriété 11

La fonction tangente est dérivable sur

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =1

cos2(x)= 1 + tan2(x)

pour tout x de l'ensemble de dé�nition.

Dé�nition

Etude de lafonction

Propriété 11

La fonction tangente est dérivable

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =1

Dé�nition

Etude de lafonction

Propriété 11

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =1

Dé�nition

Etude de lafonction

Propriété 11

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =1

Dé�nition

Etude de lafonction

Propriété 11

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =1

Dé�nition

Etude de lafonction

Propriété 11

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =

Dé�nition

Etude de lafonction

Propriété 11

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =1

cos2(x)

= 1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

Propriété 11

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =1

cos2(x)=

1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

Propriété 11

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =1

Dé�nition

Etude de lafonction

Propriété 11

R\{π2+ kπ, k ∈ Z

(tan(x))′ =1

Dé�nition

Etude de lafonction

tan′(x) =cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)

cos2(x)

=cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)

= 1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

tan′(x) =

cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)

cos2(x)

=cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)

= 1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

cos2(x)

=cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)

= 1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

cos2(x)

=cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)

= 1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

cos2(x)

=cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)

= 1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)

= 1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

cos2(x)

=cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)

= 1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

cos2(x)

=cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)

1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

cos2(x)

=cos2(x)

cos2(x)+

sin2(x)

cos2(x)

= 1 + tan2(x)

Dé�nition

Etude de lafonction

Sens de variation

Propriété 12

La fonction tangente est strictement croissante surchaque intervalle de son ensemble de dé�nition.

Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.

Dé�nition

Etude de lafonction

Sens de variation

Propriété 12

La fonction tangente est

strictement croissante surchaque intervalle de son ensemble de dé�nition.

Dé�nition

Etude de lafonction

Sens de variation

Propriété 12

Dé�nition

Etude de lafonction

Sens de variation

Propriété 12

Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion

tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.

Dé�nition

Etude de lafonction

Sens de variation

Propriété 12

Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.

Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.

Dé�nition

Etude de lafonction

Sens de variation

Propriété 12

Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) =

1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.

Dé�nition

Etude de lafonction

Sens de variation

Propriété 12

Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0,

d'où le résultat.

Dé�nition

Etude de lafonction

Sens de variation

Propriété 12

Dé�nition

Etude de lafonction

Tableau de variation complété

tan(0) =sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =

sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =sin(0)

cos(0)

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) =

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) =

−∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(0) =sin(0)

cos(0)=

limx→π/2−

tan(x) = +∞

limx→−π/2+

tan(x) = −∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(x)

−π2

−∞

Dé�nition

Etude de lafonction

tan(x)

−π2

−∞

Dé�nition

Etude de lafonction

Représentation graphique

−3π/2 3π/2π/2−π/2

Dé�nition

Etude de lafonction

−3π/2 3π/2π/2−π/2

Dé�nition

Etude de lafonction

−3π/2 3π/2π/2−π/2

Dé�nition

Etude de lafonction

−3π/2 3π/2π/2−π/2

Dé�nition

Etude de lafonction

−3π/2 3π/2π/2−π/2

Dé�nition

Etude de lafonction

−3π/2 3π/2π/2−π/2

Dé�nition

Etude de lafonction

−3π/2 3π/2π/2−π/2

Fonctions trigonométriques - Terminale...

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Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

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