ELG3575

2. La série de Fourier trigonométrique et la

transformée de Fourier

Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe

• Supposons que le signal x(t) est un signal réel. • C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0.

• Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn* est donné par :

n

T

tfnjT

tnfjT

tnfj

T

tnfjn

XdtetxT

dtetxT

dtetxT

dtetxT

X

o

o

o

o

)(2

2*

*2

*

2*

)(1

)(1

)(1

)(1

La série de Fourier trigonométrique

• Si le signal x(t) est réel, la partie réelle du coefficient Xn est donnée par :

T

o

T

o

T

o

T

oo

T

tnfjn

tdtnftxT

tdtnftxTjtdtnftx

T

dttnfjtnftxT

dtetxT

X o

2cos)(1

2sin)(1

2cos)(1

Re

)2sin2)(cos(1

Re

)(1

Re}Re{ 2

La série de Fourier trigonométrique 2

• Donc la partie imaginaire du coefficient Xn quand x(t) est réel est :

• Nous pouvons exprimer la série de Fourier exponentielle complexe comme :

T

on tdtnftxT

X 2sin)(1

}Im{

1

220

2

)(

n

tnfjn

tnfjn

n

tnfjn

oo

o

eXeXX

eXtx

La série de Fourier trigonométrique 3

• Si x(t) est réel, X-n = Xn*,

110

10

10

)2sin()2cos(

)2sin(}Im{2)2cos(}Re{2

)2sin()2cos(}Im{}Re{

)2sin()2cos(}Im{}Re{)(

non

non

nonon

oonn

noonn

tnfbtnfaa

tnfXtnfXX

tnfjtnfXjX

tnfjtnfXjXXtx

T

onn

T

onn

T

tdtnftxT

Xb

tdtnftxT

Xa

dttxT

Xa

2sin)(2

}Im{2

2cos)(2

}Re{2

)(1

00

Exemple

x(t)

0.25 0.5 0.75 t

A

-A

… …

impaire

4

impaire

4 22)(

nn

ntj

nn

ntj en

Aje

nj

Atx

donc X0 = 0, Re{Xn} = 0 et Im{Xn} = -2A/n pour les valeurs impaires de n. Donc bn = 4A/n pour les valeur impaires de n.

Exemple suite

1

impaire 1

)12(4sin)12(

44sin

4)(

inn

tii

Ant

n

Atx

La sommation représente les N

premières harmoniques de x(t).

N

iN ti

i

Atx

1

)12(4sin)12(

4)(

Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique

2/

0

0

2/

2/

2/

0 )(1

)(1

)(1

T

T

T

T

dttxT

dttxT

dttxT

a

2/

0

0

2/

2/

2/

2cos)(2

2cos)(2

2cos)(2

T

o

T

o

T

T

on tdtnftxT

tdtnftxT

tdtnftxT

a

2/

0

0

2/

2/

2/

2sin)(2

2sin)(2

2sin)(2

T

o

T

o

T

T

on tdtnftxT

tdtnftxT

tdtnftxT

b

Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est paire

• Supposons que x(t) est une fonction paire. • C'est-à-dire que x(t) = x(-t).

• Remplaçons –t par u et dt par –du dans le premier intégral de l’expression

2/

0

0

2/

2sin)(2

2sin)(2

T

o

T

on tdtnftxT

tdtnftxT

b

0

2sin)(2

2sin)(2

2sin)(2

)(2sin)(2

2sin)(2

)(2sin)(2

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

0

2/

T

o

T

o

T

o

T

o

T

o

T

on

tdtnftxT

udunfuxT

tdtnftxT

duunfuxT

tdtnftxT

duunfuxT

b

La série de Fourier trigonométrique d’une fonction paire

1

0 2cos)(n

on tnfaatx

Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est impaire

• Nous pouvons démontrer que si x(t) est une fonction impaire (x(t) = -x(-t)), a0 et an sont 0.

1

2sin)(n

on tnfbtx

Composantes paire et impaire

• Si x(t) est réel et périodique,

)( )(

)2sin()2cos()(11

0

txtx

tnfbtnfaatx

imp

non

non

2

)()()(

txtxtx p

2

)()()(

txtxtxim

Composantes paire et impaire

T

oimn

T

opn

T

p

tdtnftxT

b

tdtnftxT

a

dttxT

a

2sin)(2

2cos)(2

)(1

0

Exemple

… …

x(t)

-2 1 2 4 5 6 t

1

-1

Pour le signal x(t) démontré ci-dessus, trouvez sa série de Fourier trigonométrique.

Solution

• La période de ce signal est T = 4, donc la fréquence fondamentale fo = ¼.

• La série de Fourier trigonométrique est donc :

110 2

sin2

cos)(n

nn

n ntbntaatx

04

1)(

4

12

1

1

0

2

2

0

dtdtdttxa

Solution

impaireest ,2/

)1(paireest ,0

)2/(sinc

)sin(2

2/

2/sin2

2

1

2/

2/sin)sin(2

2/

2/sin

2

1

2sin

2

2sin

2

2

1

2cos

2cos

2

1

2cos)(

2

1

21

2

1

1

0

2

1

1

0

2

2

nn

nn

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

ntn

ntn

dtntdtntdtnttxa

)/(n-

n

Solution

impaireest et 2 ,/4paireest et 2,0

impaireest ,0)cos(2/cos21

2/

2/cos

2/

)cos(

2/

2/cos1

2

1

2cos

2

2cos

2

2

1

2sin

2sin

2

1

2sin)(

2

1

2

1

1

0

2

1

1

0

2

2

mmnnmmn

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

ntn

ntn

dtntdtntdtnttxbn

ttttt

ntnt

ntx

nn

nn

)/(n-

3sin3

2sin

2

2

5cos

5

2

2

3cos

3

2

2cos

2

2sin

n

4

2cos

2/

)1()(

impaireentier 2/2

impaire 1

21

ttttx

sin

2

2

3cos

3

2

2cos

2)(1

tttttt

tx

3sin3

2sin

2

2

7cos

7

2

2

5cos

5

2

2

3cos

3

2

2cos

2)(2

Introduction à la transformée de Fourier

• Prenons un signal périodique

• Alors

• Si, x(t) est apériodique, la « période » de x(t) est T où T → ∞ et f0 → 0. Donc 1/T devient df, nfo devient f et la sommation devient une intégrale.

n

tnfjn

oeXtx 2)(

tnfj

n

T

T

tnfj oo edtetxT

tx 22/

2/

2)(1

)(

dfefXdfedtetxtx ftjftjftj 222 )()()(

La transformée de Fourier

• La fonction X(f) est la transformée de Fourier de x(t).• X(f) décrit le contenu spectral de x(t).

• X(f) = F{x(t)}

• x(t) = F-1{X(f)} =

dtetx ftj 2)(

dfefX ftj 2)(

Exemple

• Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = (t).

• Solution• La transformée de x(t) est :

)(sincsin

2

)(2

1

2

1

)()(

2/1

2/1

2

2/1

2/1

22

ff

f

fj

ee

eefj

efj

dtedtetfX

fjfj

fjfjftj

ftjftj

Exemple 2• Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = (t).• Solution

)(sinc)(

sin

)2(

sin4

)2(

2cos22)(

)2(

1

)2(

2

)2(

1

2

1

)2(

1

2

1

2

1

)2(

1

2

1

2

1

)2(

1

2

1

)2(

1

22

1

)2(

1

22

1

)1()1()()(

22

2

2

2

222

22

22

222

22

222

1

0

22

22

0

1

22

22

1

0

20

1

22

ff

f

f

f

f

fee

ff

ffje

fefj

efj

ef

efj

efjffj

ef

efj

tefj

ef

efj

tefj

dtetdtetdtetfX

fjfj

fjfjfj

fjfjfj

ftjftjftj

ftjftjftj

ftjftjftj

Exemple 3

• Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = (t).• Solution

1)()(0

22

t

ftjftj edtetfX

Les propriétés de la transformée de Fourier

1. Linéarité • La transformée de Fourier est une fonction linéaire. C'est-

à-dire que si X1(f) =F{x1(t)} et X2(f) = F{x2(t)}, pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), X3(f) = F{x3(t)}=aX1(f) + bX2(f).

2. Décalage temporel

• Supposons que la transformée de Fourier de x1(t) est X1(f). La transformée de Fourier de x2(t) = x1(t-to) est 

3. Rééchelonnement temporel • Si F{x(t)} = X(f), F{x(at)} = (1/|a|)X(f/a).

4. Dualité temps-fréquence • Si F{x(t)} = X(f), F{X(t)} = x(-f).

oftjefXfX 212 )()(

Les propriétés de la transformée de Fourier 2

5. Décalage fréquentiel• Si X(f) = F-1{x(t)}, X(f-fo) = F-1{x(t) }

6. Convolution en temps • Si z(t) = x(t)*y(t), Z(f) = X(f)Y(f).

7. Multiplication en temps• Pour z(t) = x(t)y(t), sa transformée de Fourier Z(f) = X(f)*Y(f).

8. Dérivation temporelle • F{ } = 2fX(f)

9. Intégration temporelle

• F

tfj oe 2

dttdx )(

)()0()()(21

21 fXfXdxfj

t

Les propriétés de la transformée de Fourier 3

10.Transformée du conjugué complexe • F{x*(t)} = X*(-f)

Des exemples

• Trouvez la transformée de Fourier du signal x(t) = 2(t-3) + 3(2t).– Solution

• F{(t-3)} = 1×e-j6f (propriété 2) • F{(2t)} = (1/2)sinc(f/2) (propriété 3)• F{2(t-3) + 3(2t)} = 2e-j6f + (3/2)sinc(f/2) (propriété 1)

• On sait que (t) = (t)*(t). Trouvez F{(t)}– Solution

• F{(t)} = sinc(f) × sinc(f) = sinc2(f) (propriété 6)

Des exemples

• Trouvez F{cos(2fot)} et F{sin(2fot)}– Solution

• cos(2fot) =

• F{1}=(f) (propriété 4)

• F{1× } = (f-fo) et F{1× } = (f+fo) (propriété 5)

• Alors F{cos(2fot)} = (1/2)(f-fo) +(1/2)(f+fo) (propriété 1)

• Aussi on peut démontrer que F{sin(2fot)} = (1/2j)(f-fo) - (1/2j)(f+fo)

tfj oe 2

tfjtfj oo ee 2212

21

tfj oe 2