Post on 17-Jul-2020
Diffraction Theory
1
2
3
๐1
๐2
๐ธ ิฆ๐, ๐ก = ๐ธ1 ิฆ๐, ๐ก
๐ธ ิฆ๐, ๐ก
๐ธ ิฆ๐, ๐ก =๐ธ0,1
๐1๐๐ ๐ ๐1โ๐ ๐ก + ๐1 +
๐ธ0,2๐2
๐๐ ๐ ๐2โ๐ ๐ก + ๐2
+ ๐ธ2 ิฆ๐, ๐ก
๐3
+๐ธ0,3๐3
๐๐ ๐ ๐3โ๐ ๐ก + ๐3
๐4
+ ๐ธ3 ิฆ๐, ๐ก + ๐ธ4 ิฆ๐, ๐ก
๐5
+๐ธ0,4๐4
๐๐ ๐ ๐4 โ๐ ๐ก + ๐4
+ ๐ธ5 ิฆ๐, ๐ก
+๐ธ0,5๐5
๐๐ ๐ ๐5 โ๐ ๐ก + ๐5
=
๐
๐ธ๐ ิฆ๐, ๐ก
+โฏ
+ โฆ
=
๐
๐ธ0,๐๐๐
๐๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐ก + ๐๐
4
Huygens-Fresnel Principle
5
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =
๐
๐ธ0,๐๐๐
๐๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐ก + ๐๐
= เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฆ, ๐ง๐๐ ๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง โ ๐ ๐ก + ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐๐ฆ ๐๐ง
๐ ๐ฆ, ๐ง = ๐ 2 + ๐ โ ๐ฆ 2 + ๐ โ ๐ง 2
๐
๐
๐
๐
๐ง
๐ฆ
๐ ๐ฆ, ๐ง
๐
เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐๐ฆ ๐๐ง
6
๐ ๐ฆ, ๐ง โ ๐ 1 +๐2
2
Fresnel Approximation๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐4
8โช ๐
= ๐ 1 +๐2
2โ๐4
8+๐6
16โ5 ๐8
128+ โฏ
๐ ๐ฆ, ๐ง = ๐ 2 + ๐ โ ๐ฆ 2 + ๐ โ ๐ง 2 = ๐ 1 +๐ โ ๐ฆ 2
๐ 2+
๐ โ ๐ง 2
๐ 2 = ๐ 1 + ๐2
๐2 โก๐ โ ๐ฆ 2
๐ 2+
๐ โ ๐ง 2
๐ 2
Fresnel Diffraction
= ๐ +๐2 + ๐2
2 ๐ โ
๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง
๐ +
๐ฆ2 + ๐ง2
2 ๐
= ๐ 1 +๐ โ ๐ฆ 2
2 ๐ 2+
๐ โ ๐ง 2
2 ๐ 2
7
๐ ๐ฆ, ๐ง โ ๐ +๐2 + ๐2
2 ๐ โ
๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง
๐ +
๐ฆ2 + ๐ง2
2 ๐
Fresnel Approximation๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐4
8โช ๐
๐ธ ๐, ๐, ๐ก = เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฆ, ๐ง๐๐ ๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง โ ๐ ๐ก + ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐๐ฆ ๐๐ง
โ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐๐ ๐ ๐ +
๐2+๐2
2 ๐ โ๐ ๐ฆ+๐ ๐ง
๐ +๐ฆ2+๐ง2
2 ๐ โ๐ ๐ก + ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐๐ฆ ๐๐ง
8
๐๐๐๐ฅ ๐ฆ2 + ๐ง2
2 ๐ โช ๐
๐๐๐ฅ ๐ฆ2 + ๐ง2
๐ ๐ โช 1
Fraunhofer Approximation
Fraunhofer Diffractionalso known as Far-Field Diffraction
๐ ๐ฆ, ๐ง โ ๐ +๐2 + ๐2
2 ๐ โ
๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง
๐ +
๐ฆ2 + ๐ง2
2 ๐
Fresnel Approximation๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐4
8โช ๐
In addition to Fresnel Approximation:
9
๐ธ ๐, ๐, ๐ก = เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฆ, ๐ง๐๐ ๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง โ ๐ ๐ก + ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐๐ฆ ๐๐ง
โ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐๐ ๐ ๐ โ
๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง๐ โ๐ ๐ก + ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐๐ฆ ๐๐ง
=๐๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง ๐๐ ๐ ๐ฆ,๐ง ๐โ ๐
๐ ๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง๐ ๐๐ฆ ๐๐ง
๐ ๐ฆ, ๐ง = ๐ 2 + ๐ โ ๐ฆ 2 + ๐ โ ๐ง 2
๐ 2 โก ๐ 2 + ๐2 + ๐2
= ๐ 2 โ 2 ๐ ๐ฆ โ 2 ๐ ๐ง + ๐ฆ2 + ๐ง2
= ๐ 1 +โ2 ๐ ๐ฆ โ 2 ๐ ๐ง + ๐ฆ2 + ๐ง2
๐ 2โ ๐ โ
๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง
๐
10
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง ๐๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐โ ๐
๐ ๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง๐ ๐๐ฆ ๐๐ง
๐
๐
๐
๐
๐ง
๐ฆ
๐
Fraunhofer Diffraction
๐ 2 โก ๐ 2 + ๐2 + ๐2
11
Illumination at the Aperture:
In the examples to follow, we will consider a flat wavefront at normal incidence on the aperture
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง ๐๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง =
๐ธ0
0
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐โ ๐๐ ๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง
๐ ๐๐ฆ ๐๐ง
Inside the aperture
Outside the aperture{
12
Apertures considered here:
1. Single Slit
2. Double Slit
3. Rectangular Aperture
4. Circular Aperture
13
1. Single Slit
๐
๐
๐
๐
๐ง
๐ฆ
๐
๐ โก ๐2 + ๐ 2
๐
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถฑ
โ เต๐ 2
+ เต๐ 2
๐โ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐๐ฆ
๐
๐ ๐๐ ๐ =๐
๐
๐ฆ
๐ง
14
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
1. Single Slit, cont.
๐ผ โก ๐ธ2
๐ผ ๐, ๐ = ๐ผ0 ๐ ๐๐๐2
๐ ๐ ๐
2 ๐ ๐ผ0 โก
๐ธ02
2 ๐ 2๐2
๐ = 50 ยต๐
๐ = 0.6 ยต๐
๐ = 1 ๐
๐ ๐๐ ๐
2 ๐ = ๐ ๐
๐ = ยฑ1, ยฑ2,ยฑ3
๐ โ 1 ๐
๐๐ = ๐๐ ๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ =๐๐๐
= ๐๐
๐
๐(๐๐)
๐1
เต๐ผ ๐ผ0
zeros atgeometrical
shadow
๐โ1
with
๐
๐
15
Mathematica
FraunhoferDiffractionAtASingleSlit.cdf
16
2. Double Slit
๐
๐
๐
๐ฆ
เต๐ 2 โ เต๐2
เต๐ 2 + เต๐2
เตโ๐ 2 โ เต๐2
เตโ๐ 2 + เต๐2
๐ง
17
๐
๐
๐
๐
๐ง
๐ฆ
๐
๐ โก ๐2 + ๐ 2
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถฑ
เตโ๐ 2โ เต๐2
เตโ๐ 2+ เต๐2
๐โ ๐๐ ๐๐
๐ฆ๐๐ฆ + เถฑ
เต๐ 2โ เต๐2
เต๐ 2+ เต๐2
๐โ ๐๐ ๐๐
๐ฆ๐๐ฆ
๐
๐ ๐๐ ๐ =๐
๐
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐ 2 ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
18
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐ 2 ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
๐ผ ๐, ๐ = 4 ๐ผ0 ๐ ๐๐๐2
๐ ๐ ๐
2 ๐ ๐๐๐ 2
๐ ๐ ๐
2 ๐ ๐ผ0 โก
๐ธ02
2 ๐ 2๐2
Mathematica
๐
๐
DoubleSlitDiffractionForParticles.cdf
19
3. Rectangular Aperture
๐
๐
๐ฆ
๐ง
20
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐โ ๐๐ ๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง
๐ ๐๐ฆ ๐๐ง
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถฑ
เตโ๐ 2
เต๐ 2
๐โ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐๐ฆ เถฑ
เตโ๐ 2
เต๐ 2
๐โ ๐๐ ๐๐ ๐ง๐๐ง
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
21
๐
๐
๐ผ ๐, ๐ = ๐ผ0 ๐ ๐๐๐2
๐ ๐ ๐
2 ๐ ๐ ๐๐๐2
๐ ๐ ๐
2 ๐
๐ผ0 โก๐ธ0
2
2 ๐ 2๐2 ๐2
22
Emission of Semiconductor Laser
23
4. Circular Aperture
๐๐
๐ฆ = ๐ ๐ ๐๐ ๐๐
๐ง = ๐ ๐๐๐ ๐๐ง
๐ฆ
24
Observation Plane
ฮฆ
๐ = ๐ ๐ ๐๐ ฮฆ
๐
๐ = ๐ ๐๐๐ ฮฆ๐
๐
25
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐โ ๐๐ ๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง
๐ ๐๐ฆ ๐๐ง
๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง = ๐ ๐ ๐๐ ฮฆ ๐ ๐ ๐๐ ๐ + ๐ ๐๐๐ ฮฆ ๐ ๐๐๐ ๐
= ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ โ ฮฆ
๐๐ฆ ๐๐ง = ๐ ๐๐ ๐๐
๐ธ ๐,ฮฆ, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถฑ
0
๐
๐ ๐๐เถฑ
0
2๐
๐๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ โฮฆ
๐
ฮฆ = 0Due to axial symmetry, we can choose:
= ๐ ๐ ๐๐๐ ฮฆ ๐๐๐ ๐ + ๐ ๐๐ ฮฆ ๐ ๐๐ ๐
26
๐ธ ๐,ฮฆ, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถฑ
0
๐
๐ ๐๐เถฑ
0
2๐
๐๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐
๐
A couple of integrals to solve:
27
1
2 ๐เถฑ
0
2๐
๐๐ ๐๐ ๐ข ๐๐๐ ๐ โก ๐ฝ0 ๐ขBessel function of order zero
๐ธ ๐,ฮฆ, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถฑ
0
๐
๐ ๐๐เถฑ
0
2๐
๐๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐
๐
28
๐ธ ๐,ฮฆ, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
๐ 2 ๐เถฑ
0
๐
๐ ๐๐ ๐ฝ0 โ๐ ๐
๐ ๐
๐ข โก โ๐ ๐
๐ ๐
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
๐ 2 ๐
๐
๐ ๐
2
เถฑ
0
โ๐ ๐๐ ๐
ฮฑ ๐ฮฑ ๐ฝ0 ฮฑ
๐ผ โกโ๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐๐ =
๐
๐ ๐
2
ฮฑ ๐ฮฑ
29
เถฑ
0
๐ผ
๐ผ ๐ฝ0 ๐ผ ๐๐ผ โก ๐ผ ๐ฝ1 ๐ผ
30
๐ธ ๐,ฮฆ, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
๐ 2 ๐
๐
๐ ๐
2
เถฑ
0
โ๐ ๐๐ ๐
ฮฑ ๐ฮฑ ๐ฝ0 ฮฑ
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
๐ 2 ๐
๐
๐ ๐
2โ๐ ๐ ๐
๐ ๐ฝ1
โ๐ ๐ ๐
๐
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐2
2 ๐ฝ1๐ ๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐
31
๐ผ ๐,ฮฆ = ๐ผ0
2 ๐ฝ1๐ ๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐
2
๐ผ0 โก๐ธ0
2
2 ๐ 2๐ ๐2 2
๐ ๐ ๐
๐
เต๐ผ ๐ผ0
32
zeros at๐ ๐ ๐
๐ = 3.832, 7.016, 10.173, โฆ
๐ ๐ ๐1๐
= 3.832
๐1๐ = ๐ ๐๐ ๐1 = 3.832
๐
2 ๐ ๐= 1.22
๐
2 ๐
first zero at
Light is essentially confined
inside the cone: ๐๐๐ ๐1 < ๐. ๐๐๐
๐ ๐
33
Circular Aperture
๐ง
๐ฆ
๐
๐ฆ
๐
๐
๐
๐ ๐๐ ๐1 =๐1๐ = 1.22
๐
2 ๐
๐ 2๐
Airyโspattern
๐๐1
๐1๐1
34
๐ง
๐ฆ
2๐
๐
๐
๐1
} = 0
35
๐ฆ
2๐
๐1๐1
๐ ๐๐ ๐1 = 1.22๐
2 ๐
tan ๐1 =๐1๐
๐1
๐1 โ 1.22๐ ๐
2 ๐
๐
Smallest spot size:
๐1 โ 1.22๐ ๐
๐ท๐๐๐๐
๐ท๐๐๐๐
= 1.22๐๐ ๐
๐ ๐ท๐๐๐๐
๐
Smallest angular width:
๐1๐= 1.22
๐๐๐ ๐ท๐๐๐๐
36
Diameter of primary mirror 2.4 m
Wavelength 0.55 ยตm
Angular width 0.28 ร 10-6 rad
37
๐ก๐๐ ๐๐๐๐ฅ โก๐ท๐๐๐๐ 2 ๐
๐ท๐๐๐๐
๐๐๐๐ฅ
๐๐ด โก ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ฅ โ ๐ ๐ท๐๐๐๐ 2 ๐
๐
๐
#=
๐
๐ท๐๐๐๐
38
Numerical Aperture
๐๐ด โก ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ฅ
39
๐1 = 1.22๐๐2 ๐๐ด
Smallest spot size from a lens
๐ฆ
2๐ = ๐ท๐๐๐๐
๐1๐1
๐1
๐
๐ท๐๐๐๐
๐
๐1 = 1.22๐๐ ๐
๐ ๐ท๐๐๐๐
๐๐ด โก ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ฅ โ ๐ ๐ท๐๐๐๐ 2 ๐
40
Rayleigh Criteria for Resolution
Barely resolved
Resolved
Not resolved
41
๐1 = 1.22๐๐2 ๐๐ด
๐๐ = 0.55 ๐๐
3.36 ๐๐ 1.34 ๐๐ 0.52 ๐๐ 0.27 ๐๐
Examples of Diffraction Limit of Objective Lenses
42
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง ๐๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐โ ๐
๐ ๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง๐ ๐๐ฆ ๐๐ง
๐
๐
๐
๐
๐ง
๐ฆ
๐
๐ โก ๐2 + ๐2 + ๐ 2
Fraunhofer Diffraction
๐๐๐ฅ ๐ฆ2 + ๐ง2
๐ ๐ โช 1
๐๐๐ฅ ๐ โ ๐ฆ 2 + ๐ โ ๐ง 2
๐ ๐ โช 1
43
In summary, far-field diffraction:
1. Single Slit
2. Double Slit
3. Rectangular Aperture
4. Circular Aperture
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐ 2 ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
๐ธ ๐,ฮฆ, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐2
2 ๐ฝ1๐ ๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐
44
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง ๐๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐โ ๐
๐ ๐ ๐ฆ + ๐ ๐ง๐ ๐๐ฆ ๐๐ง
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถต
โโ
+โ
๐ ๐ฆ, ๐ง ๐โ ๐ ๐๐ฆ ๐ฆ +๐๐ง ๐ง ๐๐ฆ ๐๐ง
๐ ๐ฆ, ๐ง โก๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง ๐
๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง
0
inside aperture
opaque obstruction
๐๐ฆ โก๐ ๐
๐
Fraunhofer Diffraction as a Fourier Transformation
๐๐ง โก๐ ๐
๐
{
45
Diffraction Gratings
46
Multiple Slits
๐
๐
๐ฆ
๐ โ๐
2
๐ +๐
2
๐ง
๐ต (infinitely long) slits of width ๐ separated by distance ๐
+๐
2โ๐
2
๐ โ 1 ๐ โ๐
2
๐ โ 1 ๐ +๐
2
47
๐
๐
๐
๐
๐ง
๐ฆ
๐
๐ โก ๐2 + ๐ 2
๐ธ ๐, ๐, ๐ก
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ เถฑ
โ๐2
+๐2
+ เถฑ
๐ โ๐2
๐ +๐2
+ เถฑ
2 ๐ โ๐2
2 ๐ +๐2
+โฏ + เถฑ
๐โ1 ๐ โ๐2
๐โ1 ๐ +๐2
๐โ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ ๐๐ฆ
๐
๐ ๐๐ ๐ =๐
๐
48
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
๐ = 0
๐โ1
๐โ ๐๐ ๐ ๐๐
๐
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
1 โ ๐โ๐ ๐๐ ๐ ๐๐
1 โ ๐โ๐๐ ๐ ๐๐
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
๐โ๐ ๐๐ ๐ ๐2 ๐
๐โ๐๐ ๐ ๐2 ๐
๐+๐ ๐๐ ๐ ๐2 ๐ โ ๐โ๐ ๐
๐ ๐ ๐2 ๐
๐+๐๐ ๐ ๐2 ๐ โ ๐โ๐
๐ ๐ ๐2 ๐
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ๐ ๐ก
๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐
๐โ๐ ๐๐ ๐ ๐2 ๐
๐โ๐๐ ๐ ๐2 ๐
sin ๐๐ ๐ ๐2 ๐
sin๐ ๐ ๐2 ๐
49
๐ผ ๐, ๐ = ๐ผ0 ๐ ๐๐๐2
๐ ๐ ๐
2 ๐
๐ ๐๐2 ๐๐ ๐ ๐2 ๐
๐ ๐๐2๐ ๐ ๐2 ๐
๐ผ0 โก๐ธ0
2
2 ๐ 2๐2
Intensity Pattern
Mathematica
๐ = 1
๐ = 4
๐ = 1
๐ = 1
MultipleSlitDiffractionPattern.cdf
50
๐ ๐๐๐2๐ ๐ ๐
2 ๐ โ 1
๐ผ ๐, ๐ โ ๐ผ0
๐ ๐๐2 ๐๐ ๐ ๐2 ๐
๐ ๐๐2๐ ๐ ๐2 ๐
Small Width Approximation:
๐ = 0.1
๐ = 4
๐ = 1
๐ = 1
51
๐ ๐ ๐
2 ๐ = ๐ ๐ ๐ผ ๐, ๐, ๐ก = ๐2 ๐ผ0
Maxima (intensity peaks)
๐ = 0,ยฑ1,ยฑ2,โฆ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐ = ๐ ๐grating equation
grating order
52
๐๐ ๐ ๐
2 ๐ = ๐ ๐
๐ = 1, 2, 3, โฆ , (๐ โ 1)
Minima (zero intensity)
๐ ๐ ๐
2 ๐ =๐
๐๐
๐ = 0.1
๐ = 4
๐ = 1
๐ = 1
0 <๐ ๐ ๐
2 ๐ < ๐
๐ = 0 ๐ = 1
10โ1 ๐2โ2
๐ผ ๐, ๐ โ ๐ผ0
๐ ๐๐2 ๐๐ ๐ ๐2 ๐
๐ ๐๐2๐ ๐ ๐2 ๐
53
Angular Width
๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ +โ๐2
2= ๐ ๐ +
1
๐๐
๐ ๐ ๐
2 ๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐
2
โ๐ =2 ๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐โ๐2
2โ 1
๐๐
๐
54
Spectral Resolution
๐ ๐ ๐๐ ๐๐ = ๐ ๐
๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ = ๐ ๐๐
โ๐๐๐๐ =๐
๐ ๐
๐๐ โกโ๐
2=
๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ โก โ๐๐๐๐
55
Free Spectral Range
๐ ๐ ๐๐ ๐ = ๐ + 1 ๐ = ๐ ๐ + โ๐๐น๐๐
โ๐๐น๐๐ =๐
๐
56
Oblique Incidence
Normal Incidence
๐ ๐ ๐๐ ๐ โ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ = ๐ ๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ = ๐ ๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐ = ๐ ๐
57
Fresnel Diffraction
Going beyond the Fraunhofer (far-field) approximation
or
getting closer to the aperture
58
๐ ๐ฆ, ๐ง = ๐ 2 + ๐ โ ๐ฆ 2 + ๐ โ ๐ง 2
๐
๐
๐
๐
๐ง
๐ฆ
๐ ๐ฆ, ๐ง โ ๐ +1
2 ๐ ๐ โ ๐ฆ 2 +
1
2 ๐ ๐ โ ๐ง 2
๐ธ ๐, ๐, ๐ก = เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง
๐ ๐ฆ, ๐ง๐๐ ๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง โ ๐ ๐ก + ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐๐ฆ ๐๐ง
= ๐ 1 +๐ โ ๐ฆ 2
๐ 2+
๐ โ ๐ง 2
๐ 2
๐ ๐ ๐๐๐ฅ ๐ โ ๐ฆ 2 + ๐ โ ๐ง 2 2
๐ 4โช ๐
59
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง ๐๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง ๐๐
๐2 ๐ ๐โ๐ฆ
2+ ๐โ๐ง 2 ๐๐ฆ ๐๐ง
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐๐๐๐ ๐
๐โ๐ฆ 2+ ๐โ๐ง 2๐๐ฆ ๐๐ง
๐ธ0 ๐ฆ, ๐ง ๐๐ ๐ ๐ฆ, ๐ง =
๐ธ0
0
Inside the aperture
Outside the aperture{
Flat Wavefront Illumination
60
๐พ โก2
๐ ๐ ๐ โ ๐ฆ
๐๐ฆ = โ๐ ๐
2๐๐พ
๐ฟ โก2
๐ ๐ ๐ โ ๐ง
๐๐ง = โ๐ ๐
2๐๐ฟ
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
๐ เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐๐๐๐ ๐
๐โ๐ฆ 2+ ๐โ๐ง 2๐๐ฆ ๐๐ง
=๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
๐
๐ ๐
2เถต
๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐
๐๐๐2 ๐พ
2+ ๐ฟ2 ๐๐พ ๐๐ฟ
=๐ ๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
2เถฑ
๐พ1
๐พ2
๐๐๐2 ๐พ
2๐๐พ เถฑ
๐ฟ1
๐ฟ2
๐๐๐2 ๐ฟ
2๐๐ฟ
61
เถฑ
๐พ1
๐พ2
๐๐๐2๐พ2 ๐๐พ = เถฑ
๐พ1
๐พ2
cos๐
2๐พ2 ๐๐พ + ๐ เถฑ
๐พ1
๐พ2
sin๐
2๐พ2 ๐๐พ
= ๐ ๐พ2 โ ๐ ๐พ1 + ๐ ๐ฎ ๐พ2 โ ๐ฎ ๐พ1
เถฑ
๐ฟ1
๐ฟ2
๐๐๐2๐ฟ2 ๐๐ฟ = เถฑ
๐ฟ1
๐ฟ2
cos๐
2๐ฟ2 ๐๐ฟ + ๐ เถฑ
๐ฟ1
๐ฟ2
sin๐
2๐ฟ2 ๐๐ฟ
= ๐ ๐ฟ2 โ ๐ ๐ฟ1 + ๐ ๐ฎ ๐ฟ2 โ ๐ฎ ๐ฟ1
๐ ๐ฅ โก เถฑ
0
๐ฅ
cos๐
2๐ฅ2 ๐๐ฅ ๐ฎ ๐ฅ โก เถฑ
0
๐ฅ
sin๐
2๐ฅ2 ๐๐ฅ
62
ร ๐ ๐พ2 โ ๐ ๐พ1 + ๐ ๐ฎ ๐พ2 โ ๐ฎ ๐พ1
ร ๐ ๐ฟ2 โ ๐ ๐ฟ1 + ๐ ๐ฎ ๐ฟ2 โ ๐ฎ ๐ฟ1
๐ธ ๐, ๐, ๐ก =๐ ๐ธ0 ๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ก
2
๐ผ ๐, ๐ =๐ผ04ร ๐ ๐พ2 โ ๐ ๐พ1
2 + ๐ฎ ๐พ2 โ ๐ฎ ๐พ12
ร ๐ ๐ฟ2 โ ๐ ๐ฟ12 + ๐ฎ ๐ฟ2 โ ๐ฎ ๐ฟ1
2
63
๐ ๐ฅ โก เถฑ
0
๐ฅ
cos๐
2๐ฅโฒ2 ๐๐ฅโฒ
๐ฎ ๐ฅ โก เถฑ
0
๐ฅ
sin๐
2๐ฅโฒ2 ๐๐ฅโฒ
๐ ๐ฅ
๐ฎ ๐ฅ
๐ฅ
๐ฅ
๐ฅ
๐ ๐ฅ
๐ฎ ๐ฅ
64
๐ ๐ฅ โก เถฑ
0
๐ฅ
cos๐
2๐ฅ2 ๐๐ฅ
๐ฎ ๐ฅ โก เถฑ
0
๐ฅ
sin๐
2๐ฅ2 ๐๐ฅ
๐๐ ๐ฅ = cos๐
2๐ฅ2 ๐๐ฅ
๐๐ฎ ๐ฅ = sin๐
2๐ฅ2 ๐๐ฅ
๐ฎ ๐ฅ
๐ ๐ฅ
๐๐ 2 + ๐๐ฎ 2 = ๐๐ฅ 2
๐๐
๐๐ฎ๐๐ฅ
65
Applications of Fresnel Diffraction
1.No obstruction
2.Straight edge
3. Single slit
4. Rectangular aperture
5. Opaque circular disk
66
๐ผ ๐, ๐ =๐ผ04ร ๐ ๐พ2 โ ๐ ๐พ1
2 + ๐ฎ ๐พ2 โ ๐ฎ ๐พ12
ร ๐ ๐ฟ2 โ ๐ ๐ฟ12 + ๐ฎ ๐ฟ2 โ ๐ฎ ๐ฟ1
2
1. No Obstruction
๐พ โก2
๐ ๐ ๐ โ ๐ฆ
๐ฟ โก2
๐ ๐ ๐ โ ๐ง
๐ฆ
๐ง
๐พ2 = โโ
๐พ1 = +โ
๐ฟ2 = โโ ๐ฟ1 = +โ
=๐ผ04ร โ0.5 โ 0.5 2 + โ0.5 โ 0.5 2 ร โ0.5 โ 0.5 2 + โ0.5 โ 0.5 2
= ๐ผ0 No surprises here, just the obvious result !!
67
๐ผ ๐, ๐ =๐ผ04ร ๐ ๐พ2 โ ๐ ๐พ1
2 + ๐ฎ ๐พ2 โ ๐ฎ ๐พ12
ร ๐ ๐ฟ2 โ ๐ ๐ฟ12 + ๐ฎ ๐ฟ2 โ ๐ฎ ๐ฟ1
2
๐พ โก2
๐ ๐ ๐ โ ๐ฆ
๐ฟ โก2
๐ ๐ ๐ โ ๐ง
๐ฆ
๐ง๐พ2 =
2
๐ ๐ ๐
๐พ1 = +โ๐ฟ2 = โโ ๐ฟ1 = +โ
=๐ผ04
ร ๐2
๐ ๐ ๐ โ 0.5
2
+ ๐ฎ2
๐ ๐ ๐ โ 0.5
2
ร 2
2. Straight Edge
68
๐ฎ ๐ฅ
๐ ๐ฅ
๐ = 0
๐ > 0
๐ < 0 ๐ผ ๐, ๐, ๐ก /๐ผ0
๐
๐ ๐ = 2
๐ผ ๐, ๐ =๐ผ02
ร ๐2
๐ ๐ ๐ โ 0.5
2
+ ๐ฎ2
๐ ๐ ๐ โ 0.5
2
69
70
๐ผ ๐, ๐ =๐ผ04ร ๐ ๐พ2 โ ๐ ๐พ1
2 + ๐ฎ ๐พ2 โ ๐ฎ ๐พ12
ร ๐ ๐ฟ2 โ ๐ ๐ฟ12 + ๐ฎ ๐ฟ2 โ ๐ฎ ๐ฟ1
2
๐พ โก2
๐ ๐ ๐ โ ๐ฆ
๐ฟ โก2
๐ ๐ ๐ โ ๐ง
๐ฆ
๐ง
๐พ2 =2
๐ ๐ ๐ โ ๐
2
๐พ1 =2
๐ ๐ ๐ + ๐2๐ฟ2 = โโ ๐ฟ1 = +โ
=๐ผ04
ร ๐2
๐ ๐ ๐ โ ๐
2โ ๐
2
๐ ๐ ๐ + ๐
2
2
+ ๐ฎ2
๐ ๐ ๐ โ ๐
2โ ๐ฎ
2
๐ ๐ ๐ + ๐
2
2
ร 2
3. Single Slit
๐
71
๐ฎ ๐ฅ
๐ ๐ฅ
๐ = 0
๐ > 0
๐ < 0
๐ผ ๐, ๐ =๐ผ02
ร ๐2
๐ ๐ ๐ โ ๐
2โ ๐
2
๐ ๐ ๐ + ๐
2
2
+ ๐ฎ2
๐ ๐ ๐ โ ๐
2โ ๐ฎ
2
๐ ๐ ๐ + ๐
2
2
๐พ1 โ ๐พ2 =2
๐ ๐ ๐
๐พ1 + ๐พ22
=2
๐ ๐ ๐
72
๐ = 10 ๐
๐
๐๐น โก๐2
4 ๐ ๐
๐๐น = 10
๐๐น = 1
๐๐น = 0.5
๐๐น = 0.1
๐ = 1
๐ = 2.5 ๐
๐ = 25 ๐
๐ = 50 ๐
๐ = 250 ๐
Near field
Far field
Fresnel number
73
Mathematica
SingleSlitDiffractionPattern.cdf
74
4. Rectangular Aperture
75
5. Circular Objects
Poisson (Arago) spot