Cours de Finance (M1)

Diversification du risque

1

Variance du taux de rentabilité d’un portefeuille de

deux titres : 𝝈𝑷𝟐 = 𝑿𝟏

𝟐𝝈𝟏𝟐 + 𝟐𝝆𝟏,𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐

𝟐𝝈𝟐𝟐

Don’t put all your eggs in one basket

Plan de la séance du

◼ Rentabilité

◼ Définition du taux de rentabilité

◼ Rentabilité historique et espérée

◼ Rentabilité d’un portefeuille

◼ Risque

◼ écart-type (volatilité) du taux de rentabilité

◼ Diversification des risques

◼ Coefficient de corrélation linéaire

◼ Diversification du risque

◼ Dossier complémentaire : hedge funds et probabilités

◼ Exercice : Actifs risqués parfaitement corrélés2

Objectifs pédagogiques de la séance

◼ Savoir calculer un taux de rentabilité d’un titre ou

d’un portefeuille de titres

◼ Comprendre les notions de rentabilité historique et

espérée et leurs limites

◼ Savoir calculer ces rentabilités historiques et espérées

◼ Comprendre les notions de risque de marché liés à

l’investissement en actions

◼ Savoir calculer un écart type d’un taux de rentabilité

◼ Comprendre la notion de diversification des risques

◼ Savoir manipuler un coefficient de corrélation

3

Diversification (partie 3)

◼ Risque d’un portefeuille formé de deux actifs

◼ Expression en fonction de l’allocation

◼ Coefficient de corrélation linéaire

◼ Définition

◼ Illustrations numériques

◼ Portefeuilles dans le plan écart-type / rentabilité attendue

◼ Préférences moyenne – variance

◼ Comparaison entre portefeuille et titres individuels

◼ Bénéfices de diversification

◼ Impact du coefficient de corrélation

◼ Augmentation du nombre du titres

◼ Limites de la diversification

4

5

La compagnie verte vend des parapluiesla compagnie rouge des crèmes solaires

6

En fusionnant ces deux entreprises, les résultats sont plus stables

Le concept de corrélation

7Source, Columbia preMBA finance

Exercice

- corrélation positive parfaite

- Corrélation négative parfaite

- Pas de corrélation

La théorie du portefeuille : coefficient de

corrélation linéaire

8

Corrélation positive

Corrélation négative

La théorie du portefeuille : coefficient de

corrélation linéaire

9

Statistics 101: Understanding CorrelationYoutube : https://youtu.be/4EXNedimDMs (affichage de sous-titres)

Coefficient de correlation corrélation linéaire

10http://stattrek.com/m/statistics/correlation-video.html

La théorie du portefeuille : écart-type du taux

de rentabilité

◼ Rentabilité d’un portefeuille

◼ 𝑹𝑷 = 𝑿𝟏𝑹𝟏 + 𝑿𝟐𝑹𝟐, 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 = 𝟏◼ 𝑿𝟏 fraction de la richesse investie dans le titre 1

◼ Écart-type de la rentabilité d’un portefeuille

◼ 𝛔 𝑹𝑷 = 𝝈𝑷, 𝛔 𝑹𝟏 = 𝝈𝟏,𝛔 𝑹𝟐 = 𝝈𝟐,

◼ 𝝈𝑷 = 𝑿𝟏𝟐𝝈𝟏

𝟐 + 𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝆𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐𝟐𝝈𝟐

𝟐

◼ 𝝆𝟏𝟐 est le coefficient de corrélation linéaire entre 𝑹𝟏 et 𝑹𝟐

◼ −𝟏 ≤ 𝝆𝟏𝟐 ≤ 𝟏

◼ 𝝈𝑷 dépend de 𝝆𝟏𝟐 qui mesure le degré de liaison entre

𝑹𝟏 et 𝑹𝟐

11

12

𝝈𝟏 = 𝝈𝟐 = 𝟒𝟎%, 𝝆𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟓

En bleu, 𝑿𝟏 → 𝝈𝑷 𝑿𝟏

𝝈𝒎𝒊𝒏

La théorie du portefeuille : coefficient de

corrélation linéaire

◼ Si 𝝆𝟏𝟐 > 𝟎, les prix des actions 1 et 2 tendent à

varier dans le même sens

◼ C’est le cas le plus fréquent

◼ Si 𝝆𝟏𝟐 < 𝟎, les prix des actions 1 et 2 tendent à

varier dans des sens opposés

◼ Cas rare (parapluies et crèmes solaires)

◼ Si les prix des actions varient de manière

indépendante, alors 𝝆𝟏𝟐 = 𝟎

◼ Cas fréquent en salle de classe…

13

La théorie du portefeuille : coefficient de

corrélation linéaire

◼ Coefficient de corrélation linéaire entre 𝑹𝟏 et 𝑹𝟐

◼ 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏

𝝈𝟏×

𝑹𝟐−𝑬𝟐

𝝈𝟐

◼

𝑹𝟏−𝑬𝟏

𝝈𝟏: rentabilité centrée réduite du titre 𝟏

◼ Mesure de la tendance des rentabilités à varier dans le

même sens ou en sens inverse

◼ Le coefficient de corrélation linéaire a une valeur

comprise entre −𝟏 et +𝟏 : −𝟏 ≤ 𝝆𝟏𝟐 ≤ +𝟏

14

La théorie du portefeuille : coefficient de

corrélation linéaire

◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏

𝝈𝟏×

𝑹𝟐−𝑬𝟐

𝝈𝟐

◼ Titre 1

◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours : +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%

◼ Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées = Τ𝟏 𝟒

◼ On rappelle que 𝑬𝟏 = 𝟎%,𝝈𝟏 = 𝟏%

◼ Ici𝑹𝟏−𝑬𝟏

𝝈𝟏= 𝑹𝟏

◼ Titre 𝟐◼ Rentabilités du titre 𝟐 les 4 dernier jours : +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%

◼ Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées = Τ𝟏 𝟒

◼ On remarque que 𝑹𝟐 = 𝑹𝟏

◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 = +𝟏

15

La théorie du portefeuille : coefficient de

corrélation linéaire

◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏

𝝈𝟏×

𝑹𝟐−𝑬𝟐

𝝈𝟐

◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours : +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%

◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :

◼ +𝟐%,−𝟐%,−𝟐%,+𝟐%◼ On sait que 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟐%

◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction

sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐

𝝈𝟐= +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%

◼ Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le

transparent précédent

◼ Le calcul du coefficient de corrélation est identique

◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 = +𝟏

16

La théorie du portefeuille : coefficient de

corrélation linéaire

◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏

𝝈𝟏×

𝑹𝟐−𝑬𝟐

𝝈𝟐

◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours :

◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%

◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :

◼ −𝟏%,+𝟏%,+𝟏%,−𝟏%

◼ On sait que 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟏%

◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction

sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐

𝝈𝟐= 𝑹𝟐 = −𝑹𝟏= −𝟏%,+𝟏%,+𝟏%,−𝟏%

◼ Le calcul du coefficient de corrélation donne :

◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × −𝟏 = −𝟏

17

La théorie du portefeuille : coefficient de

corrélation linéaire

◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏

𝝈𝟏×

𝑹𝟐−𝑬𝟐

𝝈𝟐

◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours :

◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%

◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :

◼ +𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,−𝟏%

◼ On vérifie que 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟏%

◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction

sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐

𝝈𝟐= 𝑹𝟐 = +𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,−𝟏%

◼ Le calcul du coefficient de corrélation donne

◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × −𝟏 = 𝟎

18

La théorie du portefeuille : coefficient de

corrélation linéaire

◼ Dernier exemple

◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 6 dernier jours :

◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%, −𝟏%,+𝟏%

◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :

◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,+𝟏%

◼ On vérifie que 𝑬𝟐 = 𝑬𝟏 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝝈𝟏 = 𝟏%

◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐

𝝈𝟐= 𝑹𝟐 = +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%, +𝟏%

◼ Le calcul du coefficient de corrélation donne

◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟔 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × −𝟏 ×−𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × −𝟏 × −𝟏 +Τ𝟏 𝟔 × 𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × −𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × 𝟏 × 𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟑

◼ Ici, les rentabilités des titres 1 et 2 sont identiques 4 jours sur

6, et opposées les deux autres jours.

19

On peut obtenir différentes valeurs du coefficient de

corrélation 𝝆𝟏𝟐 alors même que

𝑬𝟏, 𝑬𝟐, 𝝈𝟐, 𝝈𝟐 sont identiques

Théorie du portefeuille : diversification,

illustration numérique

◼ Reprenons un de nos exemples précédents avec deux titres

◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours égales à :

◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%, 𝑬𝟏 = 𝟎%, 𝝈𝟏 = 𝟏%

◼ Rentabilités du titre 𝟐 les 4 dernier jours égales à :

◼ +𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,−𝟏%, 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟏%

◼ Considérons un portefeuille équipondéré 𝑿𝟏 = 𝑿𝟐 = 𝟎, 𝟓◼ Les rentabilités sont données par 𝑿𝟏𝑹𝟏 + 𝑿𝟐𝑹𝟐◼ +𝟏%,−𝟏%,𝟎%, 𝟎%

◼ L’espérance de rentabilité est 𝑿𝟏𝑬𝟏 + 𝑿𝟐𝑬𝟐 = 𝟎%

◼ La variance du taux de rentabilité est égale à Τ𝟏 𝟒 × 𝟏𝟐+

Τ𝟏 𝟒 × −𝟏𝟐+ Τ𝟏 𝟒 × 𝟎𝟐 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟎𝟐 = Τ𝟏 𝟐

◼ L’écart-type est égal à Τ𝟏 𝟐 ≈ 𝟎, 𝟕𝟏%

◼ Diminution du risque sans diminution de l’espérance de rentabilité

◼ Cette diminution du risque n’est effective que les 2 dernières journées

20

𝝆𝟏𝟐 = 𝟎

coefficient de corrélation

linéaire

◼ Prix non synchrones : perturbations dans les calculs

◼ Ajustements statistiques à prévoir pour estimations non biaisées

21

22

𝝈𝑷 = 𝑿𝟏𝟐𝝈𝟏

𝟐 + 𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝆𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐𝟐𝝈𝟐

𝟐

Ecart-type de la rentabilité d’un portefeuille composé de deux actifs

Ensembles des portefeuilles composés des

titres 1 et 2 (différents niveaux de corrélation)

◼ Impact du coefficient de corrélation sur le niveau de

risque d’un portefeuille

◼ Exemple :

◼ 𝜎1 = 25%, 𝜎2 = 15%,

◼ 𝑋1 = 50%, 𝑋2 = 1 − 𝑋1 = 50%

◼ 𝝈𝑷𝟐 = 𝑿𝟏

𝟐𝝈𝟏𝟐 + 𝟐𝝆𝟏,𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐

𝟐𝝈𝟐𝟐

◼ 𝑬𝑷 = 𝑿𝟏𝑬𝟏 + 𝑿𝟐𝑬𝟐23

𝝆𝟏,𝟐 -100% -50% 0% 50% 100%

𝝈𝑷 5% 11% 15% 18% 20%

𝑬𝑷 15% 15% 15% 15% 15%

Corrélation entre le S&P500 et les ADR DB

24

Fin septembre 2015 – Fin septembre 2016, calculée sur 50 jours glissants

Correlation between stocks and oil

25

http://www.bloomberg.com/news/videos/2016-01-25/inside-the-correlation-between-oil-and-equities

Correlation between stocks and oil

26

MIT Open Course

27

https://www.youtube.com/watch?v=8TJQhQ2GZ0Y (lecture en streaming dans youtube permet d’afficher les sous-titres)

Le concept de diversification

◼ Actions Michelin (1), Carrefour (2)

◼ Coefficient de corrélation :

◼ 𝜎𝑃, le risque d’un portefeuille

équipondéré n’est que de 𝟑𝟎%

28

1 235%, 42% = =

120,32 =

1 250%X X= =

30%P

=

P

Réduction du risque avec le nombre de titres

dans le portefeuille

◼ Variance du portefeuille

◼ 𝝈𝑷𝟐 décroit avec le nombre

de titres 𝑰◼ 𝝈𝟐 variance d’un titre,

◼ 𝝆 : coefficient de

corrélation

◼ Risque incompressible 𝝆𝝈𝟐

29

22 2 1

1P

I I

= + −

𝝆𝝈𝟐: risque incompressible

Prisque pouvant être éliminé

par la diversification

Réduction du risque avec le nombre de titres

dans le portefeuille

30

Réduction rapide du risque en fonction du

nombre de titres

Avec 20 titres, 98% du risque

diversifiable est éliminé

Démonstration du résultat précédent

◼ Rappel

◼ Titres symétriques

◼ Portefeuille équipondéré 𝑿𝟏 = 𝑿𝟐 = ⋯ = 𝑿𝑰

◼ Comme σ𝒊=𝟏𝑰 𝑿𝒊 = 𝟏, 𝑿𝒊 = Τ𝟏 𝑰 , 𝒊 = 𝟏,… , 𝑰

31

2 2 2

1 1 1,

I I I

P i i ij i j i j

i i j j i

X X X = = =

= +

I: Nombre de titres

, 1, ,i

i I = =, , 1, ,ij

i j n = =

2 2 22 2

2 21 1 1,

1

( 1)

11 1 1

I I I

P

i i j j i

I I

I I

I I I I

= = =

= = −

= −

= + = + −

32

Théorie du portefeuille : diversification

◼ Risques non « diversifiables » ?

◼ Le tableau ci-contre montre

qu’une « mauvaise année »

◼ Comme 2008

◼ Les performances des actifs

risqués peuvent être fortement

négatives

◼ Uniformément négative

◼ Par taille

◼ Par zone géographique

◼ Par secteur d’activité

◼ Ceci ne remet pas en cause le

principe de diversification

Théorie du portefeuille : diversification

◼ En période de crise financière, les corrélations tendent à

être plus élevées

◼ 120 plus grandes entreprises européennes

◼ Corrélations en 2008 et en 2013

33

34

Théorie du portefeuille : diversification

◼ Risques non diversifiables ?

◼ Facteurs économiques communs

◼ Sources de risque affectant simultanément tous les secteurs de l’économie

◼ Contagion

◼ Propagation d’une difficulté locale à l’ensemble de l’économie

Théorie du portefeuille : diversification

◼ La diversification des portefeuilles

permet de réduire le risque

◼ Sans diminution de l’espérance de

rentabilité

◼ Elle a des limites : risque

incompressible

◼ La tendance à la diversification

internationale et l’interconnexion

des économies rendent les krachs

financiers globaux

35

Risques et diversification des risques

◼ Capital Humain = VAN des revenus futurs issus de

l’activité professionnelle

◼ Le principal actif, aucune diversification

◼ Peut être très risqué (entrepreneurs, professions libérales,

banquiers d’affaires, artistes, sportifs)

◼ Résidence principale

◼ À nouveau beaucoup de risque, d’autant plus que le

financement par endettement est élevé

◼ Concentration du risque

◼ Pourquoi ?

◼ Tolérance au risque, biais d’optimisme, normes sociales

(effets de distinction).36

Risques et diversification des risques

◼ Actifs financiers

◼ Les riches diversifient beaucoup mieux leur patrimoine

financier

◼ Ils ont aussi plus d’actifs financiers (en proportion de leur

patrimoine).

◼ Home bias : diversification internationale insuffisante

◼ Fiscalité ? Prescripteurs ? Peur de l’étranger ?

◼ Les seniors prennent plus de risques que les jeunes

◼ À richesse donnée

◼ Sachant que qu’il y a beaucoup plus de seniors riches que de

jeunes riches

◼ Contraire à la théorie ?

37

Risques et diversification des risques

◼ Pour de nombreuses entreprises à l’actionnariat

diversifié, pas d’intérêt clair à diversifier les risques

◼ Les risques sont transmis aux actionnaires qui peuvent les

diversifier.

◼ Fin des conglémérats financiers (ITT)

◼ Même s’il existe des pratiques de couverture financière ou

d’assurance des risques industriels (transferts de risque)

◼ Sauf le cas d’entreprises patrimoniales ou familiales

◼ Quelques actionnaires importants

◼ On revient au cas des particuliers

38