Finance Comput Stochastique COPULES Finance Computationnelle

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    2006

    Presses de lUniversit du QubecLe Delta I, 2875, boul. Laurier, bur. 450Qubec (Qubec) Canada G1V 2M2

    FRANOIS-RIC RACICOTRAYMOND THORET

    Avec la collaboration deCHRISTIAN CALMS ET JUAN SALAZAR

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    Racicot, Franois-ric

    Finance computationnelle et gestion des risques

    Comprend des rf. bibliogr.

    ISBN 2-7605-1447-1

    1. Ingnierie fi nancire. 2. Mathmatiques fi nancires Informatique. 3. Institutions fi nancires Gestion du risque. 4. Analyse fi nancire Mathmatiques. 5. valuation du risque. I. Thoret, Raymond. II. Titre.

    HG176.7.R32 2006 658.15'224 C2006-941134-4

    Mise en pages : Info 1000 mots inc.

    Couverture : Richard Hodgson

    Nous reconnaissons laide fi nancire du gouvernement du Canada par lentremise du Programme daide au dveloppement de lindustrie de ldition (PADI) pour nos activits ddition.La publication de cet ouvrage a t rendue possiblegrce laide fi nancire de la Socit de dveloppementdes entreprises culturelles (SODEC).

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    Table des maTires

    Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    Partie1Les bases de lingnierie financire et de la gestion des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    Chapitre1 Introduction aux options et aux stratgies sur options classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1 . Lesoptionsclassiques:lescalls(optionsdachat)etlesputs(optionsdevente)europens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 . Laparitput-call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. Stratgies pour modifier les payoffsdescallsetdesputslchance . . . 15Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    Chapitre 2 Introduction aux processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . 271 . LeprocessusdeWiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 . Lemouvementbrownienarithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 . Mouvementbrowniengomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 . MouvementOrnstein-Uhlenbeckouprocessus

    deretourverslamoyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 . LeprocessusdItoumouvementbrowniengnralis . . . . . . . . . . . . . . . 39Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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  • Viii Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    Chapitre 3 Les options perptuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 . LelemmedItetlquationdiffrentielledeBlacketScholes . . . . . . . . 422 . Optiondevente(put)perptuelleamricaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 . Optiondachat(call)perptuelleamricaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 . LesmodlesdeMcDonaldetSiegeletdePindyck

    surloptiondinvestir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 . LemodledeDixitdentreetdesortieoptimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    annexe 3a Introduction aux quations diffrentielles linaires . . . . . . . . 661 . Lquationdiffrentielledupremierdegr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 . Lquationdiffrentielleduseconddegr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    annexe 3B Autres notes sur les quations diffrentielles et sur les mathmatiques couramment utilises en finance . . . . 75

    annexe 3B1 Les racines dune quation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    annexe 3B2 Introduction aux quations diffrentielles linaires dordre 1 761 . Lecashomogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 . Lecasnonhomogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783 . Lesquationsdiffrentiellesdusecondordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 . Fonctioncomplmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885 . Exemplessynthses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    annexe 3B3 Notes sur less sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    annexe 3B4 Quelques notes sur les intgrales en finance . . . . . . . . . . . . . . 991. Lintgrale indfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992. Intgrales dfinies et exemples financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053. Prcisions supplmentaires sur lintgrale dfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

  • Tabledesmatires iX

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    Chapitre 4 Le modle de Black et Scholes et ses applications . . . . . . . . . 1151 . UnaperudelquationdeBlacketScholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162 . PreuvedelquationdeBlacketScholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173 . Lesgrecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264 . LquationdeBlacketScholesgnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355 . Lacouverturedeltaetlacouverturedelta-gammaenaction . . . . . . . . . . . 138Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    Partie2Calcul numrique et finance quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    Chapitre 5 Les outils du calcul numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1571 . Quelquesrglesdebaseencalculstochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1592 . Lesmartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613 . LemondeneutreaurisqueetlquationdeFeynman-Kac . . . . . . . . . . . . 1644 . LethormedeCameron-Martin-Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695 . LquationditeforwarddeKolmogorov,galementconnue

    souslenomdquationdeFokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726 . Lerleduthormecentral-limitedanslecalcul

    desprixdesproduitsdrivs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    Chapitre 6 Les approches binomiale et trinomiale la thorie des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    1 . Lesdeuxapprocheslaconstructiondunarbrebinomial . . . . . . . . . . . . 1782 . Larbretrinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883 . ProgrammesMatlabdarbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924 . Larbretrinomialimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955 . Quelquesapplicationsdelatechniquedelarbrebinomial

    la finance computationnelle des titres revenus fixes : optionsamricainessurobligationsaveccouponsetobligationsconvertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

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  • X Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

    Chapitre 7 La simulation de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2191 . LesaspectsgnrauxdelasimulationdeMonteCarlo . . . . . . . . . . . . . . . 2192 . Lesvariablesantithtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273 . Latechniquedesvariablesdecontrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304 . LesnombresquasialatoiresetlasimulationdeMonteCarlo . . . . . . . . . 235Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

    Chapitre 8 Les mthodes des diffrences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2471 . LquationdiffrentielledeBlacketScholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2482 . LatranspositiondelquationdiffrentielledeBlacketScholes

    auplannumrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523. Lquivalence entre la mthode explicite des diffrences finies

    etlarbretrinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2544 . Transpositiondesquationsdelamthodeexplicite

    des diffrences finies dans une grille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575 . ProgrammesVisual Basicpourdterminerlesprix

    duncalleuropenetdunputamricainparlamthodeexplicite des diffrences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

    6. La mthode implicite des diffrences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657. La mthode des diffrences finies de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . 279Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

    Chapitre 9 La programmation dynamique et lquation de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

    1 . Laprogrammationdynamiquediscrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2902. Utilisation de lquation de Bellman en finance et programme Matlab:

    unmodledepricing dactif financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

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  • Table des matires XI

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    Partie 3Les contrats terme, lexercice prmatur des options amricaines classiques, les options exotiques et autres extensions du modle de Black et Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

    Chapitre 10 Les contrats terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 1. Dfi nition dun contrat terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 2. Les deux grandes catgories de contrats terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 3. La valorisation des contrats terme de gr gr

    sur instruments fi nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 4. Prix du contrat terme fi nancier et prvision du prix du sous-jacent . . . . 312 5. Contrats terme et ratio de couverture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 6. Les arbitragistes en couverture (hedgers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 7. Le problme du risque reli lvolution de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 8. Le cas particulier des matires premires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 9. Aspects institutionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34210. Les oprations de couverture sur le march terme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34911. Les swaps de taux dintrt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

    Chapitre 11 Lexercice prmatur des options amricaines classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

    1. Lexercice prmatur : aperu gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3592. La frontire dexercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3603. Lapproche de Merton (1973) et de Black (1976)

    au calcul du prix dune option amricaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3654. Les conditions que doit satisfaire une option amricaine

    classique lors de son exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3705. Lexercice prmatur et les dividendes verss

    par le sous-jacent de loption dans le contexte de larbre binomial . . . . . . 372Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

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  • XII Finance computationnelle et gestion des risques

    2006 Presses de lUniversit du Qubecdifi ce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.ca

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    Chapitre 12 La volatilit stochastique et le smile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911. Un modle de la volatilit stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3922. Smile en deux et trois dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3993. Critiques du calcul du smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

    Chapitre 13 Les options exotiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4091. Un dmembrement de lquation de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . 4112. Les options composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4123. Les options barrires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4144. Loption quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215. Loption asiatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4236. Une application de lingnierie fi nancire : le CPG indiciel. . . . . . . . . . . . 423Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

    Chapitre 14 Les processus de sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4271. Les vnements normaux et les vnements rares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4282. La distribution de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4293. Mouvements browniens et sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314. Lquation diffrentielle avec sauts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4365. Valorisation dune option dinvestissement (perptuelle) avec sauts . . . . . 4456. Risque conomique et politique et processus de sauts . . . . . . . . . . . . . . . . 448Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

    Chapitre 15 Le prix du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4591. Le thorme de Girsanov, lapproche neutre au risque et le prix du risque 4592. Le prix du risque et lquation diffrentielle de Black et Scholes . . . . . . . 4613. Cas des actifs non ngocis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

  • Table des matires XIII

    2006 Presses de lUniversit du Qubecdifi ce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.ca

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    Partie 4Les mthodes de la gestion des risques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

    Chapitre 16 La VaR et les autres mesures modernes du risque . . . . . . . . . 469 1. VaR et loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 2. La simulation historique de la VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 3. La mthode delta du calcul de la VaR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 4. La simulation de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 5. La technique du bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 6. Lexpansion de Cornish-Fisher et la VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 7. Mthodes du calcul de la VaR utilisant une distribution autre

    que la loi normale mais qui restent bases sur lemploi dun multiple . . . 512 8. Mesures du risque : une gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 9. Frontire effi ciente, moments suprieurs et cumulants. . . . . . . . . . . . . . . . 52510. Les copules, la transforme de Fourier et le calcul de la VaR . . . . . . . . . . 527Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

    Annexe Modifi cation du programme de bootstrapping . . . . . . . . . . . . 542Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

    Chapitre 17 Lassurance de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5471. Construction dun portefeuille dupliquant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5482. Simulation dun portefeuille assur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5513. La technique du coussin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

    Chapitre 18 Le risque de crdit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5691. Un modle simple de risque de crdit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5702. Le risque de crdit dans le cadre de lquation diffrentielle

    de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5723. Le modle de Merton (1974) et ses extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5764. Modlisation dynamique de la probabilit de dfaut :

    les probabilits de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5825. Les drivs du crdit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

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  • XIV Finance computationnelle et gestion des risques

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    6. Autres approches au risque de crdit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

    Chapitre 19 Le modle de Heath, Jarrow et Morton . . . . . . . . . . . . . . . . . 5991. Introduction la modlisation des taux terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5992. Modles classiques darbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6043. Le pricing des produits drivs dans le modle HJM. . . . . . . . . . . . . . . . . 6104. Modle HJM un facteur : conditions dun march complet . . . . . . . . . . . 6145. Certains modles de taux court conformes au cadre HJM . . . . . . . . . . . . . 6146. Une application Matlab du pricing sous HJM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

    Annexe Rappel sur les martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

    Partie 5 conomtrie de la gestion des risques et fi nance empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

    Chapitre 20 Calibrage conomtrique de processus stochastiques avec applications aux donnes boursires, bancaires et cambiales canadiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

    1. Le mouvement brownien arithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6352. Le mouvement brownien gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6403. Le processus de retour vers la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6464. Marche alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6535. Estimation des taux dintrt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6556. Calibrage de processus stochastiques avec sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665

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  • Table des matires XV

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    Chapitre 21 Quelques applications du fi ltre de Kalman en fi nance : estimation et prvision de la volatilit stochastique et du rapport cours-bnfi ce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

    1. Le fi ltre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6682. Estimation de la volatilit stochastique laide du fi ltre de Kalman . . . . . 6703. Prvision de la volatilit stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814. Prvision du rapport cours-bnfi ces laide du fi ltre de Kalman. . . . . . . 681Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

    Chapitre 22 Variance macroconomique conditionnelle et mesure de dispersion des actifs dans les portefeuilles bancaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687Christian Calms et Juan Salazar

    1. Les donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6892. Analyse empirique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700

    Chapitre 23 Changement de la structure fi nancire et revenus bancaires : une comparaison Canada tats-Unis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701Christian Calms et Juan Salazar

    1. Le changement dans la structure fi nancire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7032. Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7073. Est-ce que les revenus non traditionnels constituent

    un tampon contre les fl uctuations ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723

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  • 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.ca

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    inTroducTion

    La gestion des risques financiers occupe une place de plus en plus dominante dans le monde de la finance. la suite des faillites en cascade dinstitutions financires surve-nuesaucoursdesdcennies1970et1980etattribuables,entreautres,lescaladeduloyer de largent et la crise des changes, les institutions financires prtent de plus en plus dattention la gestion des risques financiers auxquels elles sont confrontes. Danslafoule,laBanquedesrglementsinternationaux,unorganismeinternationaldesurveillancedesbanques,aincitsesmembresdvelopperdesmodlesdeVaRet dtenir un montant de capital suffisant de faon faire face aux pertes ventuelles tabliesparcettemesuredurisque .Lesbanquesontdsedoterdespcialistesquipuissent mesurer les risques financiers auxquels elles sont vulnrables. Dans le mme temps, une nouvelle catgorie dingnieurs financiers est apparue : les financial risk Managers .Leursconnaissancesdansleschampsdela thoriedesproduitsdrivsetducalculnumriquedoiventtrepousses .

    Trspeudemanuelsleuroffrentlagammecompltedesthoriesetdesoutilsdontilsontbesoinpourgrerlesrisquesdesinstitutionsdanslesquellesilsuvrent .Etbiensouvent,cesmanuelssonttropcomplexespourquinapasdesbasessolidesenmathmatiques .Ilssintressentdavantagelathoriequlapratique,cequifaitque ltudiant en gestion des risques prouve des difficults devenir oprationnel. lvidence,ilexisteunecarencedoutilsdansundomainequivoluetrsrapidement:celuidelagestiondesrisques .

    Notre manuel comblera, nous lesprons, les lacunes que prsentent les traits pdagogiquesactuelsserapportantlagestiondesrisques .Sansngligerlathorie,notre expos vise former des ingnieurs financiers qui soient trs laise pour rsoudre les divers problmes auxquels ils seront confronts dans les institutionsfinancires qui les emploieront. Le lecteur retrouvera donc dans notre manuel un trs grandnombredeprogrammescritsdanslelangageVisual Basic(Excel)quicouvrentlacomplexitdessituationsquilrencontreradanssavieprofessionnelle .Onlesait,lelangageVisual Basic est de loin le plus utilis dans la pratique financire du fait de

  • Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    sonaccessibilit .MaisnousnedevonspaspourautantngligerlelangageMatlab,qui regroupe un grand nombre dadeptes dumilieu professionnel .Cest pourquoinousinitionsgalementnotrelecteurcelangageenprogrammantencodeMatlabdenombreuxscnariosrelevantdelanalysedesrisques .Aprslecturedenotretrait,lelecteurseradonctrsversatileetassezpolyvalentpoursattaquerdautressitua-tionsquineseraientpasenvisagesici .Ilferagalementmontrederigueurdanssesprsentations,unequalitqui,malheureusement,seperddeplusenplus .

    Notre manuel permettra au passionn du domaine, et cela sans trop defforts, de calculer, en faisant appel la programmation, les prix dun trs grand nombredeproduitsexotiquesetdenconcocterdautresenutilisantlesconnaissancesquilaura acquises en matire dingnierie financire. Il pourra donc se rvler un trs bon innovateurdansledomaine .Ilsauragalementcouvrirlesrisquesdesportefeuillesdetitresenutilisantlesdveloppementsdepointecechapitre .Lescouverturesdeltaetdelta-gammanaurontplusdemystrespourlui .IlpourragalementimaginerdesscnariospourcalculerlaVaRdesonportefeuilleetpourassurercelui-ci .Ilseraaussien mesure destimer le risque de crdit auquel est expose une institution financire. Et ce ne sont l que quelques aspects pratiques de notre manuel. Nous donnerons cesujetplusdedtailsultrieurement .

    Il va sans dire quun ingnieur financier doit disposer dun bon bagage de connaissancesquantitativessilveuttrechevronndanscechamp .Lesinstitutionsfinancires sont la recherche demploys qui matrisent les aspects quantitatifs de la finance. Tout en mettant laccent sur la pratique, le manuel que nous proposons vise donner au lecteur une solide formation en finance computationnelle, qui constitue le premiervoletdutitredecelivre .Parunepdagogietrsprogressivequiestsouventabsentedanslestraitsconcurrents,nousinitionslelecteurauxmthodesquantitativesde la finance, qui sont certes trs complexes mais que nous abordons de faon trs graduelledefaoncequelelecteuraituneconnaissanceapprofondiedecesmthodeset non la vision superficielle ou encyclopdique que transmettent bien souvent les manuels concurrents. Nous voulons former un ingnieur financier talentueux qui a des bases solides dans le domaine de la finance computationnelle. Sinon, sa formation se dprcieraitrapidementetilneseraitplusenmesuredefairefacelacomplexitetaux exigences toujours grandissantes du monde financier. Il serait rduit au rle de technocrate, voire de fonctionnaire de la finance. Incidemment, nous nhsitons pas complternotremanuelpardesannexesquirappellentnotrelectoratlesbasesdelalgbre, au cas o il les aurait oublies. Notre lecteur peut mme devenir autodidacte dansledomainedelagestiondesrisquesenlisantnotremanuel .

    Nous avons divis notre trait en cinq parties. La premire jette les fondements de lingnierie financire et de la gestion des risques. Pour introduire les produits drivs, nous examinons comment on peut modifier les flux montaires des options classiquesdachatetdeventedefaonformulertouteunegammedestratgiesdeplacements .CestdanscecontextequenousabordonslaprogrammationenVisual Basic (Excel).Puis,nousplongeonsdembledansluniversdesprocessusstochas-

  • Introduction

    2006 Presses de lUniversit du Qubecdifice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.ca

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    tiques qui servent modliser les prix des actifs financiers. Le physicien franais BachelierestdailleurslepremieravoirutilisdetelsprocessuspourrendrecomptedesmouvementsdelaBoursedeParis .

    Nous avons choisi dintroduire les modles de prix doptions en analysant lesoptionsperptuelles,quicomportentdessolutionsanalytiquesdeprix .Danscechapitre,noussommesmmedeconstaterquelemondedesaffairesnedisposepasseulement doptions financires mais galement doptions relles. Tout peut devenir option ! Il suffit de bien conceptualiser la situation. Nous terminons la premire partie enexaminantdefaondtaillelemodledeBlacketScholes,quiconstitueencorele modle de rfrence dans le domaine de lingnierie financire mme si sa publica-tion remonte dj 1973. Nous y voyons comment on peut utiliser les grecs pour couvrir des portefeuilles. Nous montrons de faon dtaille, en nous aidant dExcel,commenteffectuerunecouverturedeltaetunecouverturedelta-gamma .Biensouvent,les manuels ne font queffleurer cette question et le lecteur nest alors pas en mesure deprogrammerparlui-mmedetellescouvertures .Lentreferadeluiunepersonnecomptenteenlamatire .

    Lingnieur financier doit disposer de nos jours dune bote outils trs toffe. Siautrefoisilpouvaitsecontenterdunecalculatricepouroprer,ledveloppementeffarant de linformatique et lapparition de situations de risque de plus en pluscomplexessoulventlimpratifdelacomprhensiondesprincipalestechniquesdela finance computationnelle, ce quoi sattaque la partie 2 de notre trait. Cest dans cette section que le lecteur fera lapprentissage des techniques de programmationrequises en finance computationnelle et en gestion des risques.

    Nous ouvrons cette section sur les fondements du calcul numrique dans un univers stochastique. Nous nouons connaissance, entre autres, avec les martingales etluniversrisque-neutre .Puisnousexpliquonslesaspectsthoriquesetempiriquesdesarbresbinomiauxettrinomiaux,quisontlundespiliersducalculnumriqueeningnierie financire. Le lecteur sera mme de constater que la dtermination des prixdesproduitsdrivsseffectuepararbitragedansluniversrisque-neutreetnondans le monde rel. Nous y montrons mme comment construire un arbre trinomial implicite,unetechniquercentedevalorisationdesoptions .VientensuitelasimulationdeMonteCarlo,quiestfortutilisenotammentpourprendreencomptelesmultiplesdimensionsdurisque .Danslapartie2,lelecteurestgalementinvitcalculerlesprix des produits drivs laide de la mthode des diffrences finies, qui permet de solutionnerdefaonnumriquedesquationsdiffrentiellesstochastiques .Finalement,la partie 2 se distingue des autres manuels de finance computationnelle en abordant lquationdeBellman,auxplanstantthoriquequepratique .Cettequationconstituelabasedelaprogrammationdynamiquequiesttrsutilisepourvaloriserdesoptionsamricainesdontladatedexercice,soitlestopping time,constitueunproblmequirelvedeloptimisationdynamique .

  • Financecomputationnelleetgestiondesrisques

    2006 Presses de lUniversit du Qubecdifice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.ca

    Tir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs

    La partie 3 introduit des aspects thoriques et pratiques de lingnierie finan-cire qui sont essentiels la profession. Nous traitons dabord de faon dtaille les contrats terme, qui sont trs utiliss dans les oprations de couverture. Nous y voyonslesemploisdediverscontratsmisdelavantparlaBoursedeMontral,quidisposedunquasi-monopoleenmatiredeproduitsdrivsauCanada .Ontrouveradansleschapitressuivantsdelapartie3dessujetsquisontsouventtraitsdefaonsuperficielle dans les autres traits de finance computationnelle et de gestion des risques .Lexercice prmatur des options amricaines retient dabord notre atten-tion .Danscettesection,nousmontronscommenttracerlesfrontiresdexercicedesoptionsamricaines,unoutilimportantpourcequiconcernelavalorisationdetellesoptions .Puisnousconstruisonsdesarbresbinomiauxpourdterminer lesprixdesoptions crites sur des actions qui versent des dividendes .Ensuite nous abordonsdesmodlesdevolatilitenrapportaveclavalorisationdesoptions .Lavolatilitesten effet la variable-cl pour dterminer le prix dune option. Nous prsentons cet effetdesmodlesdevolatilitstochastiquequisontsimulspourdterminerleprixdune option. Nous montrons galement comment tracer des surfaces de volatilit qui puissentrenseignersurlavalorisationdesoptions .Cequinouspermetdintroduireleconceptdusmile,quidonnepenserquelquationdeBlacketScholescomportecertaines faiblesses pour fixer les prix des obligations classiques.

    Lingnieur financier doit savoir comment dterminer les prix de nouveaux produits financiers qui incorporent des options. En effet, les institutions financires sonttoujourslafftdenouveauxproduitspoursoutenirlaconcurrenceetilimportequelesprixdecesproduitssoientjustes(fair) .Or,lavalorisationdesproduitsdrivsseffectueessentiellementparlemcanismedelacouverture .Lecotduportefeuillequi rplique les flux montaires dun produit driv constitue en effet le prix de ce dernier. Notre chapitre sur les produits exotiques sintresse lensemble de ces questions. En loccurrence, il analyse la tarification dune nouvelle catgorie hybride dedptintroduitercemmentparlesbanquescanadiennes:leCPGindiciel .Cetteinnovationallielaprotectionducapitallaparticipationauxmouvementshaussiersdescoursboursiers .Detelsproduitsstructursquicombinentinstrumentsclassiqueset options deviendront la norme dans lavenir. Le dfi quils prsentent aux ingnieurs financiers savre donc substantiel et notre manuel leur permet de le relever avec brio enleurprsentantdesprogrammesetdestechniquesappropris .Finalement,latroi-simepartiedenotremanuelsintressedessujetsquescamotaitleclbremodledeBlacketScholes:lesprocessusdesautsetleprixdurisque .Eneffet,lesprocessusdediffusionsurlesquelsreposelemodledeBlacketScholessupposentlabsencede sauts. Nous nous interrogeons donc sur les incidences des sauts, qui reprsentent des vnements rares, sur la valorisation des produits drivs. Nous analysons lim-pactdurisquepolitiquesurlarentabilitdesprojetsdinvestissementenutilisantdesprocessusdesauts,cequiintresseralesinvestisseursquienvisagentdeffectuerdesprojetsltranger .Finalement,latroisimepartiedenotrelivreabordelimportantequestionduprixdurisque,quidoittreenvisagequandlessous-jacentsdesproduitsdrivsnesontpastransigs .Leprixdurisquerevtuneimportanceparticulirepour

  • Introduction

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    lesdrivssurtauxdintrt,carleursous-jacent,soitletauxdintrt,neconstituepasunactiftransig .Certainschercheursngligentcompltementleprixdurisque,mais lingnieur financier se doit dtre conscient des erreurs occasionnes par une misesous leboisseaudeceprix .Leprixdurisqueestgalementunevariablequidoittrepriseencomptedanslavalorisationdesoptionsrelles,pourlesquelleslesous-jacent,soitunprojetdinvestissement,nestpastransig .

    Lapartie4denotremanuelprsenteltudiantouauspcialistelesmthodesmodernes de gestion des risques. Nous ouvrons cette section sur la VaR et sur lesautresmesuresmodernesdu risque .LaVaR estmaintenant lamesuredu risque laplus utilise dans les institutions financires. Nous voyons comment la calculer en supposantdabordqueladistributiondesrendementsestnormale,puisenlevantcettehypothse .Onsaiteneffetqueladistributiondesrendementsprsentedesqueuespaisses .Silonneprendpasencomptelequatrimemomentdeladistributiondesrendements,onrisquedesous-estimergrandementlaVaR .LelecteurtrouveradansnotrechapitresurlaVaRplusieursprogrammescritsenVisual BasicquisontassezgnrauxpourtrereprsentatifsdesdiversesmesuresdelaVaRutilisesdanslin-dustrie financire. Certes, il existe des mesures du risque plus appropries que la VaR,commelaCVaR. Notre chapitre fait donc tat des mesures du risque de seconde gn-rationquidevraientsimposerdanslavenir .Cechapitrerenfermemmeunefrontireefficiente base sur les cumulants. Cette frontire prsente lavantage, en regard de la frontireclassiquedueMarkowitz,deprendreencomptelequatrimemomentdeladistributiondesrendements,cequidonnelieudeschoixplusappropris .

    Lassurancedeportefeuilleestuneautremthodedegestiondesrisquesquedoit bien matriser lingnieur financier. Nous y consacrons donc un chapitre dans lequelnousmontronsdabordcommentconstruireunportefeuillequiduplique lesflux montaires dun portefeuille doptions. La comprhension des principes qui guidentlemontageduntelportefeuilleesteneffetessentielleltudedelassurancedun portefeuille. Nous simulons par la suite un portefeuille assur, cest--dire un portefeuille dont la valeur ne peut baisser sous un certain seuil . Finalement, nousprsentonsunprogrammequireproduitlatechniqueducoussin .

    Lerisquedecrditestparailleursunsujetdeplusenplusscrutparlescher-cheurs .Aucoursdeladcennie1990sontmmesapparusdesproduitsdrivsconuspour couvrir cette catgorie de risque. Notre chapitre ayant trait au risque de crdit sedonnepourobjectifdengloberlensembledusujetetsavreraparticulirementintressant pour les candidats au titre de Financial Risk Manager (FRM). Nous y montronscommentmodliser laprimededfaut,puisnousanalysons lesmodlesdevalorisationdesproduitsdrivsducrdit,telleswapdedfautdecrdit,quiestdeloinlepluspopulaire .

    Finalement,unmodleprenddeplusenplusdeplacedans ledomainedesdrivssurtauxdintrt:lemodledeHeath,JarrowetMorton(HJM) .Cestpour-quoinousavonsdciddeluiconsacrertoutunchapitre .Aprsavoirapprofondiles

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    techniquesdedterminationdestauxterme,noustudionscommentonpeutvaloriserles produits drivs dans le cadre de ce modle. Nous comparons galement le modle HJMdautresmodles,commeceuxdeHoetLeeetdeBlacketKarasinski .

    Un manuel de finance computationnelle et de gestion des risques ne saurait trecompletsilnesepenchepassurlecalibragedesmodlesdegestiondesrisques .Notre partie 5 se consacre totalement ce sujet. Un chapitre est consacr au calibrage conomtrique des processus stochastiques. notre connaissance, il nexiste pas de manueloudedocumentquiconsidrelecalibragedetouslesprocessusstochastiquescomme nous le faisons dans notre cinquime partie. Nous montrons comment estimer lesparamtresdesprocessusstochastiquessuivants:mouvementbrownienarithm-tique;mouvementbrowniengomtrique;processusderetourverslamoyenneouprocessusOrnstein-Uhlenbeck;marchealatoire;processusdesauts .Lestimationdesmodles stochastiques de taux dintrt retient galement notre attention. Nous appli-quonscesmodlesauxdonnesbancaires,boursiresetcambialescanadiennes .

    Unproduitdrivnesauraitexisterenlabsencedevolatilitsurlesmarchsfinanciers. Lestimation de la volatilit est donc un thme de premier ordre en finance computationnelle. Cest l la justification de notre chapitre sur le filtre de Kalman, un algorithme que nous utilisons pour estimer et prvoir la volatilit stochastique. Nous comparons les prvisions obtenues par le filtre celles qui dcoulent des modles GARCH(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) .

    la partie 5 se retrouvent galement des chapitres crits par les profes-seurs Christian Calms et Juan Salazar, tous deux professeurs agrgs de finance lUniversitduQubecenOutaouais .LesprofesseursCalmsetSalazarsintressentlavolatilitetaurisquebancaires .

    Par son contenu trs toff en programmes indits ayant trait aux diversesfacettesdelathoriedesrisques,notremanuelconfrontelelecteurauxprincipalessituationsquestsusceptiblederencontrerungestionnairedesrisques .Cettefonctionest fort complexe, mais nous avons essay de dmystifier le sujet en amenant progres-sivement notre lecteur un haut niveau dexpertise dans ce domaine .Cemanuelsavre un complment essentiel nos traits suivants, dj publis aux PressesdelUniversitduQubec:Trait de gestion de portefeuille(4edition);Le calcul numrique en finance empirique et quantitative (2e dition);Trait dconomtrie financire;Trait de gestion bancaire .Arms de lexpertise que lui procurent cescrits,lelecteurseraenmesuredaffronterlemonde,souventjughermtique,delafinance computationnelle et de la gestion des risques.

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    Partie

    1

    les bases de lingnierie financire

    eT de la gesTion des risques

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    ChaPitre

    1inTroducTion

    auX opTions eT auX sTraTgies sur opTions classiques

    Lesoptionstransigessurlesmarchsdegrgr2existentdepuisbienlongtemps,maislintroductiondoptionssurdesmarchsorganissaconcidaveclelancementdelaclbreformuledeBlacketScholesayanttraitaucalculduprixduneoptiondachateuropennecritesuruneactionneversantpasdedividendes .Parlasuite,bien dautres types doptions sont apparus, les institutions financires stant mises en devoirdedvelopperdenouveauxproduitsdrivstoujoursdavantagesusceptiblesdemieuxrpondreauxbesoinsdeleursclientsenmatiredecouvertureetdegestiondesrisques .Detellesoptionssontditesexotiquesetsetransigenthabituellementsurlesmarchsdegrgr .

    Dans ce chapitre, nous nous ouvrirons au monde des options en dfinissant dansunpremier temps lesoptionsclassiquesdachat (call) etdevente (put),puisnous nous intresserons aux diverses stratgies que lon peut formuler partir deces options de base. Nous verrons quun investisseur peut de la sorte modifier les flux montaires ou payoffsduneoptiondemanirelesadaptersesprvisionsenregard des variables financires.

    1 . Auchapitredesstratgiessuroptions,onpourraconsulterlesouvragessuivants:Bellalah(2003),Gestion des risques et produits drivs classiques et exotiques,Dunod,Paris;McMillan (2002),Options as a Strategic Investment, Institute of Finance, New York.

    2 . Over-the-counter,enanglais .

  • 10 Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    1. Les options cLassiques : Les calls (options dachat) et Les puts (options de vente) europens

    Uncallcritsuruneactionestuntitrequidonneledroitdacheteruneactionunprixdexercicedtermin,disonsX,jusqusadatedchance .Lecallestditeuropensilnepeuttreexercqusonchance .Exerceruncall signifie prendre possession delactionenpayantleprixdexerciceX .Lecall disparat alors. Par ailleurs, un callestditamricainsilpeuttreexercentouttempsjusqusonchance .

    Lepayoffduncalleuropencritsuruneactionneversantpasdedividendeestgalaumontantsuivantsonchance:

    payoff payoff = ST X( )+

    o ST est le prix de laction sous-jacente lchance de loption et oST X( )+ = MAX ST X,0( ) . Lepayoff dune option est donc toujours positif ounul .Pourlacheteurduncall,lepayoff est reprsent la figure 1.1.

    Figure 1.1 Payoff dun call europen lchance (acheteur)

    0

    20

    40

    60

    0 20 40 60 80

    S

    Payo

    ff

    La figure 1.1 reprsente le payoff quepeut esprer lacheteurducall sonchanceselonleprixdelactionquiprvaudracemoment-l,leditcallayantunprixdexercicede35$ .Maislevendeurdececallaunpayoffquiestlinversedeceluidelacheteur,cest--direque:

    payoff payoff = ST X( )+

    Comme lindique la figure 1.2, le payoffduvendeurducallestlinversedeceluidelacheteuretsavrengatiflorsqueleprixdelactiondpasseleprixdexercice,ici35$ .Levendeurestcependantcompensparlacheteurquiluiverseuneprime,soitleprixproprementditdeloption,dontlamodlisationferalobjetdesprochainschapitres .

  • Introductionauxoptionsetauxstratgiessuroptionsclassiques 11

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    Figure 1.2 Payoff dun call europen lchance (vendeur)

    Payo

    ff

    60

    40

    20

    0

    0 20 40 60 80

    S

    Tournons-nousmaintenantversleput,lautreoptionclassique .Celle-cidonneledroitsondtenteurdevendreuneactionauprixdexercice,disonsX, jusqusonchance .Commelecall,leputpeuttreeuropenouamricain .

    Pourledtenteur,lepayoffdunputsonchanceestlesuivant:payoff payoff = X ST( )+

    Lvolution de cepayoff en fonction du prix de laction, lchance duput, seretrouve la figure 1.3.

    Figure1 .3 Payoff dun put lchance en fonction de S (acheteur)

    Payo

    ff

    0

    10

    20

    30

    0 20 40 60 80

    S

    Levendeurduputaunpayoffinversedeceluidelacheteur,cest--dire:payoff payoff = X ST( )+

    Comme lindique la figure 1.4, le payoff duvendeurduput est ngatif dsqueleprixdelaction,lchancedeloption,sesitueendeduprixdexercice .Lacheteurdeloptionlecompensepourcerisqueenluiversantuneprime,soitleprixduput .

  • 1 Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    Figure1 .4 Payoff dun put lchance en fonction de S (vendeur)

    Payo

    ff

    30

    20

    10

    0

    0 20 40 60 80 100

    S

    Ilestdoresetdjpossibledeformulerlesstratgieslesplussimplesquelesacheteursetlesvendeursdecallsetdeputspeuventimaginer .

    Attardons-nousdabordauxcalls. Comme on peut le constater la figure 1.1, legaindundtenteurdecallestdautantplusimportantqueleprixdusous-jacent,enloccurrencelaction,lestgalement .Enfait,onditquuneoptiondachatestlamonnaie3sileprixdelactionestgalauprixdexerciceetdanslamonnaie4sileprixdelactionestsuprieurauprixdexercice .Parcontre,sileprixdelactionestinfrieurauprixdexercice,lecallestendehorsdelamonnaie5 .Parconsquent,ledtenteurduncallestdautantplusfavorisquesonoptionestdavantagedans lamonnaie .Lorsquilanticipeunehausseduprixduneaction,linvestisseurauradonctendanceacheterdescalls sur cette action de faon engranger des profits. Lachat decalls estdoncunestratgiebullish .

    Ilnefautpascroirecependantquelachatdecallscomporteunrisqueminimal .Eneffet,si leprixdelactiondemeureendeduprixdexercice, ledtenteurducallsubitunepertegalelaprimequilapayepourseporteracqureurducall .Mmesinousanticiponssurdesdveloppementsultrieurs,disonsquelerendementesprduncallestplusimportantqueceluidelactionsous-jacente,linvestissementdansdescalls tant similaire un portefeuille dactions financ par voie demprunts. Linvestissementdansuncallcomportedoncunlevierquirehaussesonrendementesprenregarddusous-jacentdecetteoption .Maiscelevieraugmentegalementlerisquedeloptionenregarddesonsous-jacent .

    Poursapart,levendeurducallfaitfaceunpayoffngatifquandleprixdelactionexcdeleprixdexercicedeloptionvendue .Certes,ilencaisseuneprimelorsquilvenduncall,laquellecorrespondauprixdeloption .Sastratgieseradoncdevendredescallsendehorsotrsendehorsdelamonnaiedemanireviterqueleprixdelactionneviennesesituerau-dessusduprixdexerciceducalllchance

    3 . At-the-money,enanglais .4 . In-the-money,enanglais .5 . Out-of-the-money,enanglais .

  • Introductionauxoptionsetauxstratgiessuroptionsclassiques 1

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    deloption,cequisetraduiraitparlexerciceducall .Unetellestratgiedelapartduvendeurestappropriequandlemarchboursierestrelativementstableouorientlabaisse .Quiplusest,uninvestisseurpeutavoirpar-deversluidesactionsquiluifontsubirdespertes .Ilpeutdoncvendredescallsendehorsdelamonnaiecritssurcesactionsdefaonencaisserlesprimes .Sijamaislemarchdecelles-ciremonterapidement,ildisposeradesesactionssilexerciceseproduit .

    Dplaons-nousmaintenant vers des stratgies lmentaires impliquant lesputsclassiques .Unputestlamonnaiesi leprixdelactionsous-jacenteestgalauprixdexerciceduput . Ilestdanslamonnaiesi leprixdelactionest infrieurauprixdexerciceetendehorsdelamonnaie,sileprixdelactionestsuprieurauprixdexercice .

    Parconsquent,uninvestisseurdtiendraunputcritsuruneactionlorsquilanticiperaunebaissedeprixdeladiteaction .Lachatdeputscorresponddoncunestratgiebearish. Nous laissons au lecteur le soin dimaginer une stratgie que pourrait suivrelevendeurdunputensinspirantdecelleduvendeurduncall .

    2. La parit put-call

    Avantdintroduiredautresstratgiessuroptionspluscomplexes,nousnousattardonsunerelationquinouspermettradimaginercertainesstratgiessuroptions,soitlaparitput-call .Cetterelationentreleprixdunputeuropen(P)etleprixduncalleuropen(C)demmeprixdexerciceXetdemmedure(T)etdontlesous-jacentneversepasdedividendesestlasuivante:

    P0 = C0 S0 + Xe rT

    orestletauxsansrisque .Unefoisquelonacalculleprixducall,onpeutdonccalculerleprixdu

    putensoustrayantleprixactueldelactionetenajoutantlavaleuractualiseduprixdexercice .Cetterelationfaitappelauconceptdabsencedarbitrage .Pourdmontrerlaparitput-call,situons-nouslchanceTdesoptionsetcrivonslaparitput-callcommesuit:

    PT + ST = CT + X

    Lesdeuxpartiesdecettequationreprsententchacunedeuxportefeuilles .Lepremierestconstitudunputetduneaction .LesecondestconstituduncalletdunprtdunmontantX .Letableau1 .1fournitlavaleurdecesportefeuillesselonqueleprixdelactionestsuprieurouinfrieurauprixdexercicelchance .

  • 1 Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    taBleau 1.1PT + ST CT + X

    ST >_ X ST STST < X X X

    Onconstateautableau1 .1quelesdeuxportefeuillesontlesmmespayoffs lchance quel que soit ltat de la nature qui prvaut alors . Envisageons parexemplelasituationpourlaquelleST X. Le portefeuille constitu dun putetduneactionvautalorsST .Eneffet,leputnestalorspasexercpuisquilaunpayoffnul .LavaleurduportefeuilleestalorsdeST .

    Quevautparailleurs leportefeuilleconstituduncalletdunprtdansles mmes circonstances ? Le callestalorsexercetsonpayoffestde(STX) .Lavaleurduportefeuilleest (STX+X),soitST .LesdeuxportefeuillesontdonclammevaleurquandST X. Et lon tient le mme raisonnement pour dmontrer quils ontlammevaleurlorsqueST 1, il nest pas optimal dinvestir quand la VAN est nulle mais lorsque V*>I .V*peutmmetretrsnettementsuprieurIdanscertainscas .Largledinvestissement classiquenestdoncpasvalidedansuncontextedincertitude . IlnestoptimaldinvestirquandV*=I .IlvautmieuxattendrequeV*soitsuprieur I car loption dinvestir permet de reporter le projet un moment o la VAN du projetsavrenettementpositive .

    Pindyck supposepar la suiteque leprojet consiste produireuneunitdebienauprixP .LexercicerevientalorsdterminerleprixcritiqueP*auquellen-trepreneurinvestira .Leprixdubienobitunmouvementbrowniengomtrique,cest--dire:

  • Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    dP = Pdt + Pdz

    Lerendementrequissurleprojetmestencoreunefoisconstitudelasommedeaetde .Lecotvariabledeproductionestdec .Enplusduneoptiondattente, leprojetcomporteuneoptiondarrtencesensquilpeuttrestoppentouttempssiPdevientinfrieurc .IlpeuttregalementredmarrentouttempssiPremonteau-dessusdec .

    Ilyaicideuxproblmessolutionner .IlfautdaborddterminerlavaleurduprojetV(P) .Commenousvenonsdeleconstater,leprojetencauseestuncontinuumdoptions .Ensuite,tantdonnlavaleurduprojet,nousdevonsvaluerlavaleurdeloptiondinvestiretmettrejourlargledelexerciceoptimaldecetteoption .Celarevient calculer un prix critique P*. La firme investira seulement si P P*.

    Pourdterminer lavaleurduprojet,onconstruitcomme laccoutumeunportefeuillesansrisqueensupposantquelincertitudequiestinhrentePpeuttrereproduite par les actifs existants .Ce portefeuille sans risque est constitu dunepositionencompte(long)dansleprojetetdunepositiondcouvertdeVpunitsdeloutput,Vp tant la drive de V par rapport P. Ce portefeuille produit un flux montairecontinudej(Pc)dtVPRdt, o j = 1 si P c, de telle sorte que la firme produit, et j = 0 si cette condition nest pas satisfaite .Comme laccoutume, letermeVPPdt reprsente lepaiement requispourmaintenir lapositiondcouvertdansloutput .Lerendementtotalduportefeuillesansrisqueestdoncde:

    dV VPdP + j P c( ) VPPdt

    Enraisonducaractresansrisquedeceportefeuille,sonrendementestgalementgal:

    r V VPP( )dto r est le taux sans risque .En recourant au lemmedIt pour dvelopper dV etenremplaantdPparsonmouvementbrowniengomtrique,onobtientlquationdiffrentiellequedoitsatisfaireV:

    1

    2 2P 2VPP + r ( )PVP rV + j P c( ) = 0

    CettequationdiffrentiellenestpashomognelorsqueP>cpuisquellecomportealorsuneconstante .Uneconstantesajouteraalorsdanslasolutiondecettequationqui, on le sait, est la valeur long terme de V. la suite des hypothses de cette section,cettevaleurdelongtermeVLestgale:

    VL = Pe tdt

    0

    ce r tdt0

  • Lesoptionsperptuelles

    2006 Presses de lUniversit du Qubecdifice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.ca

    Tir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs

    Commeleprixestincertain,ilestactualisautauxderendementduprojet,soitm .Lecotvariableestpoursapartcertainetestactualisautauxsansrisquer .Envertudeson mouvement brownien, le prix du bien crot au taux a .Ppeutdonctreremplacpar P0e t dansVL,oP0estleprixinitial .VLpeutdonctrercritcommesuit:

    VL = P0e ( ) tdt

    0

    ce r tdt0

    = P0e ( ) tdt0

    ce r tdt0

    Larsolutiondesdeuxintgralesdonnelersultatsuivant:

    VL = 1

    P0e

    t 0

    1r

    ce r t0

    =

    1

    0 P0( ) 1r 0 c( )

    VL =P

    c

    r

    olonaomislindice0Ppuisqueleprixestlinconnuedelexercice .Pourdterminerlesparamtresdelapartiehomognedelquationdiffren-

    tielle, il suffit de recourir aux conditions aux bornes. La premire est que V(0) = 0. Envertude ladeuximecondition, lavaleurduprojetdoit tendreverssavaleurlong terme quand le prix se dirige vers linfini, cest--dire : lim

    PV = P

    c

    r . Les

    deuxautresconditions sontditesde raccordement .Elles indiquentque la fonctionV(P)ainsiquesadrivepremiredoiventtrecontinuesaupointc .Cesconditionssexprimentcommesuit:

    V c( ) = V c+( )VP c

    ( ) = VP c+( )Il est facile de vrifier que les deux quations qui satisfont lquation

    diffrentiellesontlessuivantes:

    V P( ) =A1P

    1 si P < c

    A2P2 + P

    c

    r si P c

    Cette solution peut tre interprte comme suit. Quand P < c, la firme ne produit pas .Alors A1P1 est lavaleurde loptiondeproduiredans lavenir .Parailleurs,siP c, la firme produit. Si, indpendamment de P, la firme na pas dautre choix

    que de produire, la valeur prsente des flux montaires perptuels sera de : P

    c

    r .

  • Financecomputationnelleetgestiondesrisques

    2006 Presses de lUniversit du Qubecdifice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.ca

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    Cependant, si P diminue, la firme peut arrter sa production et ainsi viter les pertes. Lavaleurdecesserlaproductionestde: A2P2 . Nous pouvons ainsi exprimer les deuxconditionsprcdentesderaccordementcommesuit:

    A1c1 = A2P

    2 + P

    cr

    1c11 = 2A2c

    2 1 + 1

    ConnaissantlavaleurdeV,onpeutmaintenantcalculerlavaleurFdeloptiondinvestir .Celle-cidoitsatisfairelquationdiffrentiellesuivante:

    1

    2 2P 2FPP + r ( )PFP rF = 0

    F(P)doitgalementsatisfaireauxconditionsauxbornessuivantes:F(0)=0

    F(P*)=V(P*)1

    FP(P*)=VP(P*)Lapremireconditionindiquequesi leprixestnul, loptiondinvestirnaaucunevaleur .La seconde indique que lors de lexercice, la valeur de loption dinvestirestgalesonpayoff .Latroisimeconditionestlaconditionhabituelledusmooth pasting,soitladrivedelquationdupayoffparrapportP .

    LasolutiongnraledelquationdiffrentielledeFestlasuivante:

    F P( ) = aP1 si P P*

    V P( ) I si P > P*

    Pindyckabordeensuitelastatiquecomparativedesonmodle .Commedanslemodlesimple de loption dattente, une entreprise investira seulement si V dpasse suffisam-mentI,cequivalencontredelargleclassiquedinvestissementquicommandedinvestir ds que la VAN est nulle. Pour sa part, une augmentation de apoureffetdaugmenterP* .Deuxeffetscontradictoiresentrenticienjeu .Daborduneaugmen-tationde,endiminuantletauxdapprciationdeP,causeunediminutiondeV(P),ce qui a pour consquence de retarder le projet et donc daugmenter P* .Ensuite,cetteaugmentationdediminuelavaleurdeloptiondattenteF(P)enaugmentantle cot dopportunit de lattente : on sacrifie en effet le rendement lorsdelattente .CelaapoureffetdediminuerlavaleurdeF(P)etdacclrerleprojet,cest--diredediminuerP* .Commelepremiereffetdominelesecond,uneaugmentationdeapoureffetdaugmenterP* .

  • Lesoptionsperptuelles 7

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    On peut maintenant supposer que les flux montaires nets dsigns par V suiventunprocessusderetourverslamoyenne,soit:

    dV = V V( )Vdt + Vdzo estlavitessederetourdeVverssamoyenneV .LetauxdecroissanceattendudeV, soit 1

    dt

    E dV( )V

    , nest plus ici constant commedans les cas prcdents,maisestunefonctiondeV .Dsignonspar letauxdecroissanceajustpourlerisqueduprojet .Lerendementdedisponibilit estalorsunefonctiondeV .Eneffet:

    = 1dt

    E dV( )V

    = V V( )LquationdiffrentielledeF(V),soitloptiondinvestissement,estalorsde:

    1

    2 2V2F '' V( ) + r ( )VF ' V( ) rF = 0

    Enremplaant parsavaleurquivientdtrecalcule,ona:1

    2 2V2F '' V( ) + r + V V( )( )VF ' V( ) rF = 0

    Les conditions aux bornes sont les conditions habituelles pour un call perptuelclassique,cest--dire:F(0)=0;F(V*)=V*1;F'(V*)=1 .

    LasolutiondecettequationestpluscomplexedanscemodlequedansceluioVsuitunmouvementbrowniengomtrique .Ellefaiteneffetappelladistributionhypergomtrique .Cettedistributionestbasesurladistributionbinomiale .Pourlecomprendre, reprenons lexemple de Stuart et Ord (1994). On a N balles dans une urne. On fait lhypothse que Np balles sont rouges et Nq balles sont noires, avec (p+q)=1 .Sionfaitnessaisavecremise,laprobabilitdetirerjballesrougeset(nj)ballesnoiresestde: fj =

    n

    j

    p jqn j .Cestlladistributionbinomiale .

    Supposons que lon rvise la rgle de la loterie .Quandune balle est tire,(c+1)ballessontretournesdanslurne .Lesessaissuccessifscessentalorsdtreindpendants,moinsquecnesoitgal0,auquelcasonretrouveladistributionbinomiale .Quandc=1,aucuneballenestretourne,cest--direquonaalorsuntiragesansremise .Lafonctiondeprobabilitdevientalors:

    fj =1

    Nnn

    j

    Np( ) j Nq( )n j =Np

    j

    Nq

    n j

    N

    n

  • 8 Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    Cestlladistributionhypergomtrique .Laprobabilitcumulativedecettedistri-butionacommesolutionlasriesuivante:

    F ,, , t( ) = 1 +

    t

    1!+ + 1( ) + 1( )

    + 1( )t2

    2!+ ...

    o = n ; = Np ; = Nq n + 1 .Lasolutionde lquationdiffrentielleprcdente,qui intgreunprocessus

    de retour de lamoyenne, est de la forme suivante: F V( ) = AVh V( ), au lieu deF V( ) = AV commectaitlecaspourlemouvementgomtriquebrownien .Aprssubstitution, on trouve la solution finale suivante pour loption dinvestir :

    F V( ) = AVH 2 2

    V;, b

    oH( .)estlafonctionhypergomtrique .Sasolutionensrieestlasuivante:

    H x;, b( ) = 1 + b

    x + + 1( )b b + 1( )

    x2

    2!+ + 1( ) + 2( )

    b b + 1( ) b + 2( )x3

    3!+ ...

    o:

    x = 2 2

    V

    = 12

    + r V 2

    + r + V 2

    12

    2

    + 2r 2

    b = 2 +2 r + V( )

    2

    DanslexpressiondeF(V),ilrestedterminerlaconstanteAetleseuilcritiquedin-vestissementV*laidedesconditionsauxborneshabituelles .CommeH( .)constitueune srie infinie, ces deux termes doivent tre dtermins numriquement.

    SelonDixitetPindyck(1994),plus lavaleur longtermedeV,soit V,estimportante,plus loptiondinvestissementF(V) lestaussi,etplus leseuilcritiquedinvestissementV*augmente .Parailleurs,larelationentreV*et,soitlavitesseduretourverslamoyenne,dpendduniveaudelinvestissementinitialIenregarddeV .QuandV estimportantenregarddeI,uneaugmentationdeaugmenteF(V)etdoncV* .LinversetientquandV estfaibleenregarddeI,caralors,uneaugmen-tationderduitF(V) .

  • Lesoptionsperptuelles 9

    2006 Presses de lUniversit du Qubecdifice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.ca

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    5. Le modLe de dixit dentre et de sortie optimaLes

    Lemodle deDixit (1989) est intressant en ce sens quilmet mal la thoriemarshallienneclassiquedelinvestissement .Eneffet,lathoriemarshallienneatformule dans un contexte de certitude. Mais la thorie doit tre modifie dans un universdincertitudequidonnelapartbelleauxoptionsrelles .

    LinputdumodledeDixitestlesuivant .Onconsidreunprojetdinvestis-sementavecuncotdek,soitlinvestissementinitial .Ilnyaaucunedprciationetlecotvariableduprojetestdewparunitdetemps .restletauxdintrt,quinestpasncessairementgalau tauxsansrisque,et lecotdesortieestdeL .LeprojetproduituneunitdoutputdetellesortequelerevenuduprojetestleprixP .LarglededcisionconsisteendeuxprixcritiquesPHetPL .LinvestissementseraeffectusiPmonteau-dessusdePHetseraabandonnsiPtombeendedePL .Lebutdelexerciceestdedterminercesdeuxprixdefaonoptimale .

    La thoriemarshallienne classique, qui fait abstraction de lincertitude, estessentiellement une thoriemarginaliste . Linvestissement est effectu ds que lerevenumarginal excde le cotmarginal .Dans leproblmequinousconcerne, lerevenumarginaldeproduireesticidePetlecotmarginaldeproduire,dew+rk .Dans lunivers classique de Marshall, la firme produira tant et aussi longtemps que P>w+rk .ElleabandonneraleprojetlorsqueP4a2 .Lesracinesde(12)sontalorsdesnombresrels .Prenonsunexemple .

    ExempleOnveuttrouverlasolutiondelquationdiffrentiellesuivante:

    y ''(t) + y '(t) 2y = 12

    De(8)et(14),lintgraleparticulire(yp)est: yp =b

    a2= 12

    2= 6;

    De(8),(12)et(13),lasolutioncomplmentaire(yc)sobtientcommesuit:

    r1,2 =a1 a1

    2 4a22

    = 1 1 4(2)2

    = 1 32

    = 1,2

    On vrifie les rsultats en recourant aux rgles suivantes :

    r1 + r2 = 1 = a1; r1r2 = 2 = a2 .Donc,lersultatest:

    yc = A1et + A2e

    2t

    o:a1=1;a2=2;r1=1etr2=2 .Lasolutiongnraleestdonnepar:

    y(t) = yc + yp = A1et + A2e

    2t + 6 (15)Pourtrouverlesvaleursdesconstantes,nousavonsbesoindedeuxconditionsinitiales .Lorsquet=0,ontrouveenutilisantlquation(15)que: y(0) = A1e0 + A2e2(0) + 6 = A1 + A2 + 6 (16)Encalculantladrivepremirede(14),onagalement:

    y '(t) = A1et 2A2e

    2t

    etpourt=0,ona: y '(0) = A1e0 2A2e2(0) = A1 2A2 (17)

  • 8 Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    Mais pour que les conditions initiales (16) et (17) soient satisfaites, nous devonsposerque y(0) = 12 etque y '(0) = 2 .Onendduitunsystmededeuxquationsdeuxinconnues:

    A1 + A2 = 6

    A1 2A2 = 2

    On trouve la solution deA1 etA2 en soustrayant la deuxime quation de lapremire:

    A1 + A2 = 6A1 + 2A2 = 2 3A2 = 8 A2 = 8 / 3EtensubstituantA2danslunedesdeuxquations,ontrouveque:

    A1 + 8 / 3 = 6 A1 = 10 / 3

    La solution dfinie est donc :

    y(t) = 10

    3et + 8

    3e2t + 6 (18)

    Pour vrifier la validit de cette solution, il faut dabord calculer les drives premire etsecondedecettedernire:

    y '(t) = 103

    et 163

    e2t et y ''(t) = 103

    et + 323

    e2t

    Ensuite, il faut substituer dans lquation diffrentielle de dpart ces solutions enprenantencomptelquation(18) .Onobtientalors:

    10

    3et + 32

    3e2t + 10

    3et 16

    3e2t 20

    3et 16

    3e2t 12 = 12 12 = 12

    On peut galement vrifier que la solution (18) satisfait les conditions initiales :

    y(0) = 103

    e0 + 83

    e2(0) + 6 = 12 et y '(0) = 103

    e0 163

    e2(0) = 6/3=2CQFD

    Deux autres cas possibles existent . Le deuxime cas est celui des racines relles rptes ; enfin, le troisime cas est celui des racines complexes.

  • Lesoptionsperptuelles 87

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    cas racines relles rpTes (racines gales)

    Ce cas est celui o les coefficients de lquation diffrentielle sont tels que a12=4a2 .

    Letermesouslaracinedelquation(12)devientdoncnuletalorslesracinessontgales,cest--dire:

    r = r1 = r2 = a12

    Cetypederacinesportelenomderacinesrptes(doubles)ouracinesmultiples .Lafonctioncomplmentaireestalorsreprsenteparlexpressionsuivante:

    yc = A1ert + A2e

    rt = (A1 + A2)ert = A3e

    rt

    Commeonpeutleconstater,nousnavonsdoncplusquuneconstante,cequinestpas suffisant pour nous ramener dune quation diffrentielle dordre 2 sa fonction primitive .Pourviterleffondrementdenotreproblme,nousallonspostulerlasolu-tiony=A4tert,quialacaractristiquedtrelinairementindpendantedey=A3ertet qui satisfait (8) pour le cas homogne. On peut en effet vrifier que cette dernire satisfaitlquation(8)(casob=0)encalculantlesdrivespremireetsecondedecettesolutionetenlasubstituant,ainsiquesesdrives,dans(8),cest--direquonsubstituey=A4tertainsiquey'(t)ety"(t)dans(8)pour(b=0) .Ontrouvealorsquecettesolutionestjuste .Onenconclutdoncquelafonctioncomplmentairepourlecasdoublesracinespeutscrirecommesuit:

    yc = A3ert + A4 te

    rt

    ExempleOndsiretrouverlasolutiondelquationsuivante .

    y ''(t) + 6y '(t) + 9y = 10

    oa1=6eta2=9 .Ontrouvealorsquea12=4a2=36,cequiestdonclecasderacinesrellesrptes .Eneffet,lesracinessontdevaleuridentique: r = r1 = r2 = a1 / 2 = 3 . Lafonctioncomplmentaireestalors:

    yc = A3e3t + A4 te

    3t

    Lintgraleparticuliresobtientencalculant:b

    a2= 10

    9

    Lasolutiongnraleestdonc:y(t) = yp + yc = A3e

    3t + A4 te3t + 10 / 9

  • 88 Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    PourtrouverlesvaleursdesconstantesarbitrairesA3etA4,ilfautposerdessolutionsinitiales .Posonsy(0)=5ety'(0)=5 .Onobtientlesdeuxquationssuivantes:

    y(0) = A3 + 10 / 9 = 5 A3 = 35 / 9

    y '(t) = 3A3e3t 3A4 te

    3t + A4e3t y '(0) = 35 / 3 + A4 = 5

    A4 = 15 / 3 + 35 / 3 = 20 / 3

    On peut donc crire la solution dfinitive comme suit :

    y(t) = 35 / 9e3t + 20 / 3te3t + 10 / 9

    cas racines compleXes

    Danscettesection,nousnedonneronsquunaperuducasavecracinescomplexes .Toutefois, cet aperu sera suffisant pour tre oprationnel dans ce cas particulier.

    La dernire possibilit restante est celle o les coefficients sont tels que a12 0 .Alors une hausse de priximpliqueraunehaussedelaquantitdemande .Cecinousindiquequelesacheteursanticipentquelahaussedeprixvasepoursuivreetprfrentaugmenterleursachatsmaintenant,quandlesprixsontencorerelativementbas .Parcontre,sim 4ac, cest--dire m

    n

    2

    > 4 + n

    .

    Lafonctioncomplmentairepourcecasestpar(13):Pc = A1e

    r1t + A2er2t

    o

    r1, r2 =

    1

    2 m

    n m

    n

    2

    + 4 + n

    (20)

    Donc,lasolutiongnraleestde:

    P(t) = Pc + Pp = A1e

    r1t + A2er2t + +

    + (21)

    cas racines relles doubles

    Le cas des racines relles doubles, on le rappelle, se rattache la situation pourlaquelle b2 = 4ac, cest--dire:

    m

    n

    2

    = 4 + n

  • Lesoptionsperptuelles 9

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    Danscecas,lesracinescaractristiquesneprennentquuneseulevaleur:

    r = m2n

    Lasolutiongnraleestalors:

    P(t) = A3emt/2n + A4 te

    mt/2n + + +

    cas racines compleXes

    Lecasdesracinesrellesdoublesestrelilasituationo b2 < 4ac, cest--direm

    n

    2

    < 4 + n

    Danscetroisimecas,lesracinescaractristiquessontunepairedenombrescomplexesconjugus:

    r1, r2 = h vi

    o

    n2

    mh = et v = 1

    24 +

    n

    m

    n

    2

    Alorslasolutiondelquationgnraleest

    P(t) = emt/2n A5 cos vt + A6 sin vt( ) + + + (22)

    .. analyse dynamique de lquation (1)

    Cersultatmritequelquesexplications .Lecason>0impliqueque4 + n

    sera

    ngatifetdoncpluspetitque mn

    2

    .Donc,lescas2et3peuventtreimmdiatementrejets .Deplus,parcequeetb>0,lexpressionsouslaracinecarredelquation(20)doitncessairementexcder(m/n)2etdonclaracinedoittresuprieure m / n .Lesignedans (20)produituneracinepositive (r1)etuneautrengative (r2) .Enconsquence,lquilibreintertemporelestdynamiquementinstable,saufpourlecasolaconstanteA1delquation(21)estnulle .

  • 9 Financecomputationnelleetgestiondesrisques

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    Advenantquen a{ }

    10 . Danscettesection,nousnousinspironsdesdocumentssuivants:essential supremum,; ScienceDaily, ;WolframResearch, .

    11 . On utilise cette dfinition, par exemple, dans le livre de R. Cont et P. Tankov (2004), Financial Modelling with Jump Processes,Chapmam&Hall/CRC,Toronto .Ce concept fait rfrence auconcept dinfimum (inf). Par exemple, Glasserman (2003), Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer, New York, utilise le concept de supremum (sup) et dinfimum (inf) pour dfinir lexercice anticip (optimal) dans le cadre doptions amricaines.

    12 . En analyse mathmatique, la dfinition formelle de la limite couramment utilise est la suivante. Unefonctionfquiapprochelalimite l prsdeascrit: > 0, il y a un > 0 tel que, x,si

  • Lesoptionsperptuelles 97

    2006 Presses de lUniversit du Qubecdifice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.ca

    Tir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs

    soitunsous-ensembledeXof(x)estplusgrandquea .AlorsposonsA0 = a : Ma( ) = 0{ }

    soitlensembledesnombresrelspourlequelMaaunemesure0 .SiA0=,lensemblevide, alors less sup est dfini comme tant 13 .Autrement,lesssupdefest

    ess sup f := inf A0

    Endautres termes, quand lensemble de rfrenceL est non dnombrable, il estncessairederemplacerlanotiondesupremumdunefamille(xl, l L) devariablesalatoiresparcelledessential supremum .Cettevariablealatoire,noteesssup lx l,estunevariablealatoireuniquextellequedeuxconditions:

    a) x xl l L etb) x y pourtoutevariableytelleque: y x l L .

    Maintenant, discutons du concept dinfimum puisquil est requis pour comprendre celui dess sup. Linfimum (inf) se dfinit comme tant la plus grande borne infrieure dun ensemble, par exemple S, dfini par une quantit m telle quaucun membre de cet ensemble nes