Cours de Finance (M1) - Free
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Cours de Finance (M1)
Diversification du risque
1
Variance du taux de rentabilité d’un portefeuille de
deux titres : 𝝈𝑷𝟐 = 𝑿𝟏
𝟐𝝈𝟏𝟐 + 𝟐𝝆𝟏,𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐
𝟐𝝈𝟐𝟐
Don’t put all your eggs in one basket
Plan de la séance du
◼ Rentabilité
◼ Définition du taux de rentabilité
◼ Rentabilité historique et espérée
◼ Rentabilité d’un portefeuille
◼ Risque
◼ écart-type (volatilité) du taux de rentabilité
◼ Diversification des risques
◼ Coefficient de corrélation linéaire
◼ Diversification du risque
◼ Dossier complémentaire : hedge funds et probabilités
◼ Exercice : Actifs risqués parfaitement corrélés2
Objectifs pédagogiques de la séance
◼ Savoir calculer un taux de rentabilité d’un titre ou
d’un portefeuille de titres
◼ Comprendre les notions de rentabilité historique et
espérée et leurs limites
◼ Savoir calculer ces rentabilités historiques et espérées
◼ Comprendre les notions de risque de marché liés à
l’investissement en actions
◼ Savoir calculer un écart type d’un taux de rentabilité
◼ Comprendre la notion de diversification des risques
◼ Savoir manipuler un coefficient de corrélation
3
Diversification (partie 3)
◼ Risque d’un portefeuille formé de deux actifs
◼ Expression en fonction de l’allocation
◼ Coefficient de corrélation linéaire
◼ Définition
◼ Illustrations numériques
◼ Portefeuilles dans le plan écart-type / rentabilité attendue
◼ Préférences moyenne – variance
◼ Comparaison entre portefeuille et titres individuels
◼ Bénéfices de diversification
◼ Impact du coefficient de corrélation
◼ Augmentation du nombre du titres
◼ Limites de la diversification
4
5
La compagnie verte vend des parapluiesla compagnie rouge des crèmes solaires
6
En fusionnant ces deux entreprises, les résultats sont plus stables
Le concept de corrélation
7Source, Columbia preMBA finance
Exercice
- corrélation positive parfaite
- Corrélation négative parfaite
- Pas de corrélation
La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
8
Corrélation positive
Corrélation négative
La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
9
Statistics 101: Understanding CorrelationYoutube : https://youtu.be/4EXNedimDMs (affichage de sous-titres)
Coefficient de correlation corrélation linéaire
10http://stattrek.com/m/statistics/correlation-video.html
La théorie du portefeuille : écart-type du taux
de rentabilité
◼ Rentabilité d’un portefeuille
◼ 𝑹𝑷 = 𝑿𝟏𝑹𝟏 + 𝑿𝟐𝑹𝟐, 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 = 𝟏◼ 𝑿𝟏 fraction de la richesse investie dans le titre 1
◼ Écart-type de la rentabilité d’un portefeuille
◼ 𝛔 𝑹𝑷 = 𝝈𝑷, 𝛔 𝑹𝟏 = 𝝈𝟏,𝛔 𝑹𝟐 = 𝝈𝟐,
◼ 𝝈𝑷 = 𝑿𝟏𝟐𝝈𝟏
𝟐 + 𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝆𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐𝟐𝝈𝟐
𝟐
◼ 𝝆𝟏𝟐 est le coefficient de corrélation linéaire entre 𝑹𝟏 et 𝑹𝟐
◼ −𝟏 ≤ 𝝆𝟏𝟐 ≤ 𝟏
◼ 𝝈𝑷 dépend de 𝝆𝟏𝟐 qui mesure le degré de liaison entre
𝑹𝟏 et 𝑹𝟐
11
12
𝝈𝟏 = 𝝈𝟐 = 𝟒𝟎%, 𝝆𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟓
En bleu, 𝑿𝟏 → 𝝈𝑷 𝑿𝟏
𝝈𝒎𝒊𝒏
La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Si 𝝆𝟏𝟐 > 𝟎, les prix des actions 1 et 2 tendent à
varier dans le même sens
◼ C’est le cas le plus fréquent
◼ Si 𝝆𝟏𝟐 < 𝟎, les prix des actions 1 et 2 tendent à
varier dans des sens opposés
◼ Cas rare (parapluies et crèmes solaires)
◼ Si les prix des actions varient de manière
indépendante, alors 𝝆𝟏𝟐 = 𝟎
◼ Cas fréquent en salle de classe…
13
La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Coefficient de corrélation linéaire entre 𝑹𝟏 et 𝑹𝟐
◼ 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼
𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏: rentabilité centrée réduite du titre 𝟏
◼ Mesure de la tendance des rentabilités à varier dans le
même sens ou en sens inverse
◼ Le coefficient de corrélation linéaire a une valeur
comprise entre −𝟏 et +𝟏 : −𝟏 ≤ 𝝆𝟏𝟐 ≤ +𝟏
14
La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼ Titre 1
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours : +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées = Τ𝟏 𝟒
◼ On rappelle que 𝑬𝟏 = 𝟎%,𝝈𝟏 = 𝟏%
◼ Ici𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏= 𝑹𝟏
◼ Titre 𝟐◼ Rentabilités du titre 𝟐 les 4 dernier jours : +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées = Τ𝟏 𝟒
◼ On remarque que 𝑹𝟐 = 𝑹𝟏
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 = +𝟏
15
La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours : +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :
◼ +𝟐%,−𝟐%,−𝟐%,+𝟐%◼ On sait que 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟐%
◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐= +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le
transparent précédent
◼ Le calcul du coefficient de corrélation est identique
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 = +𝟏
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :
◼ −𝟏%,+𝟏%,+𝟏%,−𝟏%
◼ On sait que 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟏%
◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐= 𝑹𝟐 = −𝑹𝟏= −𝟏%,+𝟏%,+𝟏%,−𝟏%
◼ Le calcul du coefficient de corrélation donne :
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × −𝟏 = −𝟏
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :
◼ +𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,−𝟏%
◼ On vérifie que 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟏%
◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐= 𝑹𝟐 = +𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,−𝟏%
◼ Le calcul du coefficient de corrélation donne
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × −𝟏 = 𝟎
18
La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Dernier exemple
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 6 dernier jours :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%, −𝟏%,+𝟏%
◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,+𝟏%
◼ On vérifie que 𝑬𝟐 = 𝑬𝟏 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝝈𝟏 = 𝟏%
◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐= 𝑹𝟐 = +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%, +𝟏%
◼ Le calcul du coefficient de corrélation donne
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟔 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × −𝟏 ×−𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × −𝟏 × −𝟏 +Τ𝟏 𝟔 × 𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × −𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × 𝟏 × 𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟑
◼ Ici, les rentabilités des titres 1 et 2 sont identiques 4 jours sur
6, et opposées les deux autres jours.
19
On peut obtenir différentes valeurs du coefficient de
corrélation 𝝆𝟏𝟐 alors même que
𝑬𝟏, 𝑬𝟐, 𝝈𝟐, 𝝈𝟐 sont identiques
Théorie du portefeuille : diversification,
illustration numérique
◼ Reprenons un de nos exemples précédents avec deux titres
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours égales à :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%, 𝑬𝟏 = 𝟎%, 𝝈𝟏 = 𝟏%
◼ Rentabilités du titre 𝟐 les 4 dernier jours égales à :
◼ +𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,−𝟏%, 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟏%
◼ Considérons un portefeuille équipondéré 𝑿𝟏 = 𝑿𝟐 = 𝟎, 𝟓◼ Les rentabilités sont données par 𝑿𝟏𝑹𝟏 + 𝑿𝟐𝑹𝟐◼ +𝟏%,−𝟏%,𝟎%, 𝟎%
◼ L’espérance de rentabilité est 𝑿𝟏𝑬𝟏 + 𝑿𝟐𝑬𝟐 = 𝟎%
◼ La variance du taux de rentabilité est égale à Τ𝟏 𝟒 × 𝟏𝟐+
Τ𝟏 𝟒 × −𝟏𝟐+ Τ𝟏 𝟒 × 𝟎𝟐 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟎𝟐 = Τ𝟏 𝟐
◼ L’écart-type est égal à Τ𝟏 𝟐 ≈ 𝟎, 𝟕𝟏%
◼ Diminution du risque sans diminution de l’espérance de rentabilité
◼ Cette diminution du risque n’est effective que les 2 dernières journées
20
𝝆𝟏𝟐 = 𝟎
coefficient de corrélation
linéaire
◼ Prix non synchrones : perturbations dans les calculs
◼ Ajustements statistiques à prévoir pour estimations non biaisées
21
22
𝝈𝑷 = 𝑿𝟏𝟐𝝈𝟏
𝟐 + 𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝆𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐𝟐𝝈𝟐
𝟐
Ecart-type de la rentabilité d’un portefeuille composé de deux actifs
Ensembles des portefeuilles composés des
titres 1 et 2 (différents niveaux de corrélation)
◼ Impact du coefficient de corrélation sur le niveau de
risque d’un portefeuille
◼ Exemple :
◼ 𝜎1 = 25%, 𝜎2 = 15%,
◼ 𝑋1 = 50%, 𝑋2 = 1 − 𝑋1 = 50%
◼ 𝝈𝑷𝟐 = 𝑿𝟏
𝟐𝝈𝟏𝟐 + 𝟐𝝆𝟏,𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐
𝟐𝝈𝟐𝟐
◼ 𝑬𝑷 = 𝑿𝟏𝑬𝟏 + 𝑿𝟐𝑬𝟐23
𝝆𝟏,𝟐 -100% -50% 0% 50% 100%
𝝈𝑷 5% 11% 15% 18% 20%
𝑬𝑷 15% 15% 15% 15% 15%
Corrélation entre le S&P500 et les ADR DB
24
Fin septembre 2015 – Fin septembre 2016, calculée sur 50 jours glissants
Correlation between stocks and oil
25
http://www.bloomberg.com/news/videos/2016-01-25/inside-the-correlation-between-oil-and-equities
Correlation between stocks and oil
26
MIT Open Course
27
https://www.youtube.com/watch?v=8TJQhQ2GZ0Y (lecture en streaming dans youtube permet d’afficher les sous-titres)
Le concept de diversification
◼ Actions Michelin (1), Carrefour (2)
◼ Coefficient de corrélation :
◼ 𝜎𝑃, le risque d’un portefeuille
équipondéré n’est que de 𝟑𝟎%
28
1 235%, 42% = =
120,32 =
1 250%X X= =
30%P
=
P
Réduction du risque avec le nombre de titres
dans le portefeuille
◼ Variance du portefeuille
◼ 𝝈𝑷𝟐 décroit avec le nombre
de titres 𝑰◼ 𝝈𝟐 variance d’un titre,
◼ 𝝆 : coefficient de
corrélation
◼ Risque incompressible 𝝆𝝈𝟐
29
22 2 1
1P
I I
= + −
𝝆𝝈𝟐: risque incompressible
Prisque pouvant être éliminé
par la diversification
Réduction du risque avec le nombre de titres
dans le portefeuille
30
Réduction rapide du risque en fonction du
nombre de titres
Avec 20 titres, 98% du risque
diversifiable est éliminé
Démonstration du résultat précédent
◼ Rappel
◼ Titres symétriques
◼ Portefeuille équipondéré 𝑿𝟏 = 𝑿𝟐 = ⋯ = 𝑿𝑰
◼ Comme σ𝒊=𝟏𝑰 𝑿𝒊 = 𝟏, 𝑿𝒊 = Τ𝟏 𝑰 , 𝒊 = 𝟏,… , 𝑰
31
2 2 2
1 1 1,
I I I
P i i ij i j i j
i i j j i
X X X = = =
= +
I: Nombre de titres
, 1, ,i
i I = =, , 1, ,ij
i j n = =
2 2 22 2
2 21 1 1,
1
( 1)
11 1 1
I I I
P
i i j j i
I I
I I
I I I I
= = =
= = −
= −
= + = + −
32
Théorie du portefeuille : diversification
◼ Risques non « diversifiables » ?
◼ Le tableau ci-contre montre
qu’une « mauvaise année »
◼ Comme 2008
◼ Les performances des actifs
risqués peuvent être fortement
négatives
◼ Uniformément négative
◼ Par taille
◼ Par zone géographique
◼ Par secteur d’activité
◼ Ceci ne remet pas en cause le
principe de diversification
Théorie du portefeuille : diversification
◼ En période de crise financière, les corrélations tendent à
être plus élevées
◼ 120 plus grandes entreprises européennes
◼ Corrélations en 2008 et en 2013
33
34
Théorie du portefeuille : diversification
◼ Risques non diversifiables ?
◼ Facteurs économiques communs
◼ Sources de risque affectant simultanément tous les secteurs de l’économie
◼ Contagion
◼ Propagation d’une difficulté locale à l’ensemble de l’économie
Théorie du portefeuille : diversification
◼ La diversification des portefeuilles
permet de réduire le risque
◼ Sans diminution de l’espérance de
rentabilité
◼ Elle a des limites : risque
incompressible
◼ La tendance à la diversification
internationale et l’interconnexion
des économies rendent les krachs
financiers globaux
35
Risques et diversification des risques
◼ Capital Humain = VAN des revenus futurs issus de
l’activité professionnelle
◼ Le principal actif, aucune diversification
◼ Peut être très risqué (entrepreneurs, professions libérales,
banquiers d’affaires, artistes, sportifs)
◼ Résidence principale
◼ À nouveau beaucoup de risque, d’autant plus que le
financement par endettement est élevé
◼ Concentration du risque
◼ Pourquoi ?
◼ Tolérance au risque, biais d’optimisme, normes sociales
(effets de distinction).36
Risques et diversification des risques
◼ Actifs financiers
◼ Les riches diversifient beaucoup mieux leur patrimoine
financier
◼ Ils ont aussi plus d’actifs financiers (en proportion de leur
patrimoine).
◼ Home bias : diversification internationale insuffisante
◼ Fiscalité ? Prescripteurs ? Peur de l’étranger ?
◼ Les seniors prennent plus de risques que les jeunes
◼ À richesse donnée
◼ Sachant que qu’il y a beaucoup plus de seniors riches que de
jeunes riches
◼ Contraire à la théorie ?
37
Risques et diversification des risques
◼ Pour de nombreuses entreprises à l’actionnariat
diversifié, pas d’intérêt clair à diversifier les risques
◼ Les risques sont transmis aux actionnaires qui peuvent les
diversifier.
◼ Fin des conglémérats financiers (ITT)
◼ Même s’il existe des pratiques de couverture financière ou
d’assurance des risques industriels (transferts de risque)
◼ Sauf le cas d’entreprises patrimoniales ou familiales
◼ Quelques actionnaires importants
◼ On revient au cas des particuliers
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