Chapitre 11:Vecteurs et repères du plan:

I. Généralités1) Repères:

Définition:On dit qu’un repère du

plan (O, I, J) est orthonormé lorsque :

  Les axes des abscisses et des ordonnées

sont perpendiculaires, c’est à dire (OI) (OJ).

 Les unités de longueur sont les mêmes

sur les deux axes c’est à dire OI = OJ.

I et J sont toujours les points de coordonnées

respectives (1 ; 0) et (0 ; 1).

Rem: L'axe des abscisses porte

le « vecteur unité » et celui

des ordonnées le vecteur unité j.

i

• Exemples et contre exemples.

            

 

Repère orthonormé Repères non orthonormés

car les axes non perpendiculaires ou les unités sont différentes.

•Rappels: coordonnées d’un point.

• Chaque point peut être repéré dans le plan muni d’un repère par son abscisse x et son ordonnée y. On note : ( ; ).

Par exemple (-3;2)A AA x y

A

II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère.

II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère.

1) Définition :Les coordonnées d’un vecteur dansun repère décrivent un déplacement horizontal puis vertical.(point de départ point d’arrivée)Ainsi, un déplacement de « 3 unités vers la droite et 2 unités vers le bas » sera représenté par un vecteur de coordonnées (3 ; -2).

Exercice: Calcule les coordonnées du vecteur AB��������������

2) Calcul des coordonnées

d’unvecteur.

a) Cherchons une formule pour calculer les coordonnées d’un vecteur AB

��������������

b) activité: Relève les coordonnées des points A,B,C,D,E,F,G et H.Nomme les parallélogrammes de la figure.

Correction

• Parallélogrammes de la figure: Avec A et B: ABDC, ABFE, ABHG Avec C et D: CDFE, CDHG Avec E et F: EFHG

Points A B C D E F G H

abscisse -5 -2 -5 -2 -1 2 2,5 5,5

ordonnée 3 1 -0,5 -2,5 -1 -3 1 -1

en utilisant la formule: AB ( ; )

En calculant on obtient :AB ( 2 ( 5);1 3) soit AB ( 2 5; 2)

donc AB (3; 2)

En utilisant cette formule, calcule l

B A B Ax x y y

��������������

����������������������������

��������������

es coordonnées des vecteurs:

CD ( ; ), EF( ; ) , GH( ; ) D C D C F E F E H G H Gx x y y x x y y x x y y ������������������������������������������

CD ( 2 ( 5); 2,5 ( 0,5), EF(2 ( 1); 3 ( 1)) , GH(5,5 2,5; 1 1)

CD ( 2 5; 2,5 0,5), EF(2 1; 3 1) , GH(3; 2)

CD (3; 2), EF(3;

������������������������������������������

������������������������������������������

����������������������������2) , GH(3; 2)

��������������

Définition:

Soient ( , ) et ( , ) 2 points d'un plan muni d'un repère .

Le vecteur a pour coordonnées:

Propriété:

Deux vecteur

( ; )

égaus ont x mêmes coordonnéesles

Conséquence

.

B A

A A B B

B AAB x x y

A x y B x

y

y

AB ����������������������������

s:

Si ABCD est un alors

et réciproquement

s

parallélogr

i alors ABCD est un

amme

parallélogramme.

AB DC

AB DC

����������������������������

����������������������������

b) Bilan: Admettons et retenons:

III. Applications

Premier type de problème:Démontrer qu’un quadrilatère

est un parallélogramme.

Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ), C ( 3 ; 1 )

et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un

parallélogramme.

Il suffit de prouver que AF et CB sont égaux.On calcule les coordonnées:

O 1

1

A

F B

Les vecteurs sont égaux donc AFBC est un parallélogramme.

C( 6 ( 2); 2 2) et CB( 1 3; 3 1)

( 6 2; 4) et CB( 4; 4)

( 4; 4) et CB( 4; 4)

AF

AF

AF

����������������������������

����������������������������

����������������������������

On peut résoudre un deuxième type de problème

Etant donnés trois points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3; 1 ) ,

calculer les coordonnées du point Dtel que ABDC soit un parallélogramme.

Attention à l’ordre des points!

J’appelle (x;y) les coordonnées du point D, ABDC est un parallélogramme si :

CDAB (-1 - (-2) ; -3 - 2 ) = ( x - 3 ; y - 1 )

-1 + 2 = x - 3 et -3 - 2 = y - 1

x = 4 et y = - 4

Ce qui se vérifie sur le croquis….

IV. Coordonnées du milieu d’un segment

I

Activité:

Trouve une formule permettant

de trouver les coordonnées du

milieu I (x ; ).Iy

Démonstration

I est le milieu d 'un segment [AB] revient à dire que

AI IB����������������������������

On utilise la formule des coordonnées d'un vecteur

On a: AI( ; )

et IB( ; )

Donc et

soit et

soit 2 et 2

I A I A

B I B I

I A B I I A B I

I I A B I I A B

I A B

x x y y

x x y y

x x x x y y y y

x x x x y y y y

x x x

��������������

��������������

Finalement et 2 2

I A B

A B A BI I

y y y

x x y yx y

Les coordonnées du milieu d'un segment [AB] sont données par la formule

;2 2

A B A Bx x y y

A retenir

O 1

1

A

F B

C

Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ) , C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme.

Autre méthode pour prouver qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme.

Pour que AFBC soit un parallélogramme il suffit de vérifier que ses diagonales

ont même milieu.

Coordonnées du milieu de AB

2 ( 1) 2 ( 3)1,5 ; 0,5

2 2

Coordonnées du milieu de FC

3 ( 6) 1 ( 2)1,5 ; 0,5

2 2

Donc AFBC est un parallélogramme

O 1

1

xB - xA

xAxB

yA

yB

yB - yA

A

B

C

Les droites (AC) et ( CB) sont parallèles aux axes, donc perpendiculaires entre elles. Le Triangle ABC est rectangle en C et le théorème de Pythagore permet d ’écrire:

AB² = AC² + CB²AB²= ( xB - xA )² + ( yB - yA)²

Si le repère est orthonormé

IV. Distance entre 2 points dans un repère.

2 2 2

2 2

Finalement on retient:

( ) ( )

( ) ( )

B A B A

B A B A

AB x x y y

ou

AB x x y y