CHAPITRE 6 Vecteurs et translations. Objectifs: -Connaître et savoir utiliser lécriture...
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CHAPITRE 6 Vecteurs et translations
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CHAPITRE 6
Vecteurs et translations
Objectifs:
-Connaître et savoir utiliser l’écriture vectorielle .
-Reconnaître des vecteurs égaux.
-Construire un point défini par une égalité vectorielle.
- Construire le vecteur représentant la composée de deux translations.
-Simplifier les écritures vectorielles.
CDAB
« Vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter)Le mot a été introduit en 1925 et la notation en 1920.
A l’origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803-1880) qui les désignait comme segments équipollents.
I. TranslationsLa translation est une transformation qui consiste à
faire glisser un objet d’un point vers un autre point.
Fig 1Fig 1
Fig 2Fig 2
Ici, la figure 2 est l’image de la figure
1 par la translation qui transforme A
en B.
A
B
1) Définition
Une translation est définie par la donnée:
2) Propriétés
Une translation :
- conserve les distances, les angles , les surfaces.
- transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.
- d’un sens ici de A vers B- d’une direction ici la droite (AB)
- d’une longueur ici AB
A
B
II. Vecteurs
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :- une direction,- un sens,- une longueur.
A
B
l’origine
l’arrivée
AB
Notation : on note AB le vecteur
allant de A vers B.
m
Ici, le vecteur m
1) Définition
Quelques vecteurs particuliers
•Soit A un point quelconque, AA est appelé le vecteur
nul et est noté O
AA ou O
• Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB
on note BA = − AB
AA BBAB
BA ou − AB
Remarque: Deux vecteurs opposés ont la même
direction, la même longueur et des sens
contraires.
Exemple 1 : Construire le point M’ image du point M dans
la translation de vecteur AB.
Remarque: Pour construire l’image d’une figure, il suffit de reproduire la même construction à partir des sommets de la figure de départ.
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Exemple 2 : Construire l’image F ’de la figure
F par la translation de vecteur m .
mm
6 vers la droite6 vers la droite
4 vers4 vers
le hautle haut6 vers la droite6 vers la droite
4 vers 4 vers
le hautle haut
F
mm
F
’
AA BB
DD CC
AB = DC
AD = BC
ABCD est un parallélogramme
2) Vecteurs égaux
Deux vecteurs égaux signifie que les deux vecteurs ont
la même direction, le même sens et la même longueur.
Remarque : pour construire deux vecteurs égaux, on utilise
la construction du parallélogramme.
Propriétés
Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC.
Réciproquement:
Si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme.
Remarque :les phrases suivantes sont équivalentes
. AB = DC. . ABCD est un parallélogramme.
. C est l’image de D par la translation de vecteur AB.. C est l’image de D par la translation qui transforme A en B.
A
B
C
F1
F2
F3
Construisons l’image
de F1 par la translation de vecteur
AB. On la note F2.
Construisons l’image
de F2 par la translation de vecteur
BC. On la note F3.
Conclusion : Il existe une translation permettant de passer
directement de F1 à F3. C’est la translation de vecteur AC.
III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs
A, B et C étant trois points du plan, la composée de la
translation de vecteur AB suivie de la translation de
vecteur BC est la translation de vecteur AC.
Remarque: On dit que le vecteur AC est la somme
des vecteurs AB et BC.
cette relation est appelée …
« RELATION DE CHASLES »
AC = AB + BC
1) La relation de Chasles
« RELATION DE CHASLES »
AC = AB + BC
Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n’est pas de lui,
mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs.
Homme naïf, il fut ruiné en achetant
de fausses lettres (Jeanne d’arc à sa
mère, Vercingétorix à César,…) !
Construisons un représentant du vecteur u + v.
2) Construction de la somme de deux vecteurs
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IV. Composée de deux symétries centrales
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I et J étant deux points du plan, la composée de la
symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J
est la translation de vecteur IJ + IJ que l’on
note 2 IJ Remarque : Pour démontrer cette nouvelle propriété, on utilise la « propriété de la droite des milieux » dans le triangle AA’A’’ pour montrer que
( IJ ) // ( AA’’ ) et que 2 IJ = AA’’
