1 Chapitre 2 2.0 Introduction Les vecteurs Pourquoi avons-nous besoin de vecteurs en physique ? Pour...
-
Upload
celeste-peter -
Category
Documents
-
view
106 -
download
0
Transcript of 1 Chapitre 2 2.0 Introduction Les vecteurs Pourquoi avons-nous besoin de vecteurs en physique ? Pour...
1
Chapitre 2
2.0 Introduction
Les vecteurs
Pourquoi avons-nous besoin de vecteurs en physique ?
Pour traduire le plus fidèlement possible la réalité, certaines grandeurs physiques doivent s’additionner comme des vecteurs en tenant compte non seulement de leur grandeur mais également de leur direction.
Avez-vous des exemples de vecteurs ou de grandeurs vectorielles en physique?
Exemples : déplacement d’un objet, vitesse d’une voiture, accélération gravitationnelle, force centripète d’une voiture dans une courbe,
2
2.1 Scalaires et vecteurs
Par contre, certaines quantités physiques sont définies seulement par une grandeur et des unités. Elles sont représentées par un scalaire.
Pouvez-vous donner des exemples de quantités physiques représentées par des scalaires?
Exemples: La masse d’une automobile, la distance Québec-Montréal, le temps de vol d’une balle en chute libre, l’énergie cinétique d’une personne circulant à bicyclette
Pour traduire le plus fidèlement possible la réalité, certaines grandeurs physiques doivent s’additionner comme des vecteurs en tenant compte non seulement de leur grandeur mais également de leur direction.
3
2.1 Scalaires et vecteurs
Représentation géométrique d’un vecteur dans un système de coordonnées cartésiennes (x,y) ( section 1.6)
F => ( Module, unité ; direction, degré )
Notation polaire:
F => ( F N ; F = 0 )
F => ( 15 N ; F = 450 )
xx
y
F
F
Fig. 1 Vecteur force F
4
2.2 Opérations géométriques avec des vecteurs
• Égalité entre des vecteurs
• Translation de vecteurs
• Multiplication d’un vecteur par un scalaire
• Inversion d’un vecteur
• Addition géométrique de vecteurs A + B = C
Méthode du triangle
• Soustraction de vecteurs A - B = D
Rappel du secondaire: lire p. 23, 24, haut de 25.
Ces opérations ne sont pas très utilisées en pratique.
A
B
C
A
-B
D
5
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
Représentation cartésienne d’un vecteur: Composantes cartésiennes ( Ax , Ay)
xx
y
A
A
Ax
Ay
Fig. 2 Vecteur A
Notation cartésienne :
A => ( Ax , Ay ) Unité
Où Ax et A y sont les composantes cartésiennes du vecteur A. Elles sont obtenues géométriquement en abaissant des perpendiculaires aux axes à partir des extrémités du vecteur.
6
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
Passage d’une notation à l’autre
xx
y
A
A
Ax
Ay
Notation cartésienne :
A => ( Ax , Ay ) Unité
Notation polaire:
A => ( A unité ; A = 0 )
De polaire à cartésienne:
Puisque par définition :
A
AxA cos
A
AyA sin
On obtient:
Ay AA sin
Ax AA cos
Notation cartésienne :A => ( Ax , Ay ) Unité
vers
7
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
Passage d’une notation à l’autre
xx
y
A
A
Ax
Ay
Notation cartésienne :
A => ( Ax , Ay ) Unité
Notation polaire:
A => ( A unité ; A = 0 )
De cartésienne à polaire:
On obtient selon le théorème de Pythagore et par définition:
)(tan 1
x
y
A A
A 22
yx AAA
Notation polaire: A => ( A unité ; A = 0 )
vers
8
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
Exemple : Transformez le vecteur vitesse ci-dessous de la notation polaire à la notation cartésienne.
V => ( 100 km/h ; V =143o )
Nous avons deux possibilités.
143o ou 53o
V
Vx
Vy
90o
53o
y
ooxV 53sin100143cos100
hkmVx / 9,79
x
J’anticipe la solution possible suivante: Utiliser les transformations : polaires vers cartésiennes
Je cherche à résoudre le problème suivant : Trouvez V => ( Vx , Vy ) km/h
Je dessine la situation
9
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
Nous avons deux possibilités.
143o ou 53o
V = ( -79,9 , 60,2 ) km/hJ’obtient le résultat probable suivant:
ooxV 53sin100143cos100
hkmVx / 9,79
ooyV 53cos100143sin100
hkmVy / 2,60x
J’anticipe la solution possible suivante : Utiliser les transformations : polaires vers cartésiennes
V
Vx
Vy
90o
53o
ySituation
10
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
x
y
T
Exemple : Transformez le vecteur tension ci-dessous, de la notation cartésienne à la notation polaire.
T = > ( - 40 , -30 ) N
Tx
Ty
37o
37)40
30(tan)(tan 11
x
y
T T
T
Résultat probable :
J’obtiens une tension de
T => ( 50,0 N ; 217o
)
22
yx TTT
22 )30()40( T
NT 0,50
Solution possible: J’utilise les transformations
217oProblème ? Je cherche
T = > ( T , ) N
Situation: Je dessine
11
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
Notation à l’aide des vecteurs unitaires
i j k
Pour simplifier la manipulation et les opérations mathématiques avec des vecteurs, il est commode d’introduire la notion de vecteurs unitaires. Ces vecteurs de grandeur unitaire sont situés sur les axes x, y et z.
x
y
i
j
x
y
i
j
A
Ax
Ay
jAiAA yx
12
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
x
y
i
j
A
Ax
Ay
Notation en fonction des vecteurs unitaires
jAiAA yx
jiA
7,35,4
jBiBB yx
jiB
7,35,4
3,7
x
y
iBx
j
B
By
3,7
- 4,5
4,5
13
2.3 B - Addition algébrique des vecteurs (2D)
La notation à l’aide des vecteurs unitaires simplifie beaucoup les opérations mathématiques avec les vecteurs puisque les opérations s’effectuent sur les composantes des vecteurs qui sont des scalaires.
Addition : jRiRBAR yx
xxx BAR yyy BAR Où
x y
A Ax Ay
B Bx By
R Ax + Bx Ay + By
14
2.3 B - Addition algébrique des vecteurs (2D)
Soustraction: jSiSBAS yx
xxx BAS yyy BAS Où
À la limite, nous n’avons pas besoin de la représentation d’un système d’axes, cependant il faut s’habituer rapidement à dessiner les vecteurs.
x y
A Ax Ay
B Bx By
S Ax - Bx Ay - By
15
2.3 B - Addition algébrique des vecteurs
Exemple :Pour s’amuser, trois enfants tirent sur un disque en même temps avec des forces dans un plan horizontal dont les grandeurs et les directions sont indiquées dans la figure ci-dessous.
Déterminez la force résultante exercée sur le disque par la méthode algébrique ? Écrivez le résultat en utilisant les vecteurs unitaires.
F1 => ( 12 N ; 30o )
F2 => ( 16 N ; 145o )
F3 => ( 7 N ; 245o )
F1
F2
F3
55o
30o
65o x
y
Situation
Problème
16
2.3 B - Addition algébrique des vecteurs
Déterminez la force résultante exercée sur le disque par la méthode algébrique ? Écrivez le résultat en utilisant les vecteurs unitaires.
F1 => ( 12 N ; 30o )
F2 => ( 16 N ; 145o )
F3 => ( 7 N ; 245o )
F1
F2
F3
55o
30o
65o x
y
Situation
Problème
Autrement dit : Je cherche N 321 FFFFR
N jFiFF RyRxR
17
2.3 B - Addition algébrique des vecteurs
Solution possible:
N 321 FFFFR
J’utilise la somme vectorielle des trois vecteurs
F1
F2
F3
55o
30o
65o x
y
x y
F1
F2
F3
FR
18
2.3 B - Addition algébrique des vecteurs
Solution possible:
N 321 FFFFR
jiF
30sin1230cos121
J’utilise la somme vectorielle des trois vecteurs
Écrivons d’abord les vecteurs forces en fonction des vecteurs unitaires :
ji
000,6392,10
jiF
55cos1655sin162
jiF
245sin7245cos73
ji
177,9106,13
ji
344,6958,2
jFiFF RyRxR
ji
833,8669,5
F1
F2
F3
55o
30o
65o x
y
jFiFF
sincos 111
19
2.3 B - Addition algébrique des vecteurs
Solution possible:
N 321 FFFFR
J’utilise la somme vectorielle des trois vecteurs
Écrivons d’abord les vecteurs forces en fonction des vecteurs unitaires :
F1
F2
F3
55o
30o
65o x
y
x y
F1 10,392 6,000
F2 - 13,106 9,177
F3 - 2,958 - 6,344
FR - 5,669 + 8,333
20
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
jFiFF RyRxR
ji
833,8669,5
Résultat probable : J’obtiens une force résultante donnée par
N ) 83,867,5( jiFR
b) Exprimez la force résultante dans la notation polaire
Résultat probable: J’obtiens
FR => ( 10,5 N ; 123o )
5,10)833,8()669,5( 22 RF
3,57)669,5
833,8(tan)(tan 11
Rx
Ry
T F
F
Ou 123o
Solution possible : J’utilise les transformations
21
2.3 A - Composantes et vecteurs unitaires
F1
F2
F3
30o
65o x
y
FRN 83,867,5 jiFR
FR = ( 10,5 N ; 123o )
Autres exemples
Hyperphysics Vectors operations
22
2.4 et 2.5 Nous reviendrons plus tard sur ces sections après la relâche
Résumé :
Qu’avez-vous appris de nouveau?
Que devez-vous bien comprendre?
Quels liens pouvez-vous avec des applications pratiques?
Complétez le résumé à la fin du chapitre 2.
23
Chapitre 2 Les vecteurs
Schéma des concepts • Grandeurs physiques
scalaire vectorielle
Algèbre ordinaire pour les opérations mathématiques
Algèbre vectorielle avec des opérations mathématiques spéciales
Opérations, transformations et utilisation des méthodes géométrique et analytique.
Notation polaire, cartésienne et vecteurs unitaires.