Vecteurs - cours - ozanet.fr · Sommaire 1 Vecteurs Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ? Somme de...

Sommaire

1 VecteursQu’est-ce qu’un vecteur du plan ?Somme de vecteursVecteur nul - Opposé d’un vecteurProduit d’un vecteur par un nombre réel

2 Vecteurs colinéairesDéfinitionConséquences

3 Base du plan vectoriel

4 Vecteurs et repères du planRepèreColinéarité et conséquencesÉquations de droites et colinéaritéRepère orthonormal

isabelle pilard () Vecteurs février 2012 1 / 62

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Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ?

Nous ne pouvons pas, à notre niveau, donner une définition rigoureuse d’unvecteur du plan. Disons que concrètement, un vecteur est un ensemble desegments orientés ayant la même direction, le même sens et la même longueur :


A

BC

D

E

F


A retenirLe segment orienté de A vers B est un représentant d’un vecteur.Ce Vecteur est défini par

une direction : celle de la droite (AB) ;

un sens : celui de A vers B ;

une norme : qui est égale à la longueur AB.

Ce vecteur est noté−→AB

Un vecteur peut être représenté par une infinité de segments orientés et doncnoté de différentes façons.Sur le schéma précédent, on a

−→AB =−→

CD =−→EF


attention !

il ne faut pas confondre sens et direction : par exemple−→HI et

−→AB ont la même

direction (car les droites (AB) et (IH) sont parallèles) mais n’ont pas le même sens.

A

B

I

H


À retenir

Les vecteurs−→AB,

−→CD et

−→EF sont les représentants d’un même vecteur car ils ont

même sens, même direction et même norme : on peut donc désigner ce vecteurpar un nom unique, par exemple~d .

La norme du vecteur−→AB est égale à la longueur AB.

Pour désigner la norme de~d =−→AB, on utilise la notation ‖~d‖. On a

‖~d‖ =AB =CD =EF


Remarque−→AB =−→

CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme

~u

~uA

B

C

D

Remarque−→AB =−→

CD si et seulement si−→AC =−→

BD


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Somme de vecteurs

je me déplace de A vers B puis de B vers C ; globalement, je suis parti de A et jesuis arrivé en C

~v~u

~u+~v

A

B

C


C’est en fait la Relation de CHASLES

DefinitionPour tous points du plan, A, B et C

−→AB+−→

BC =−→AC

Mais qu’en est-il de cette somme lorsqu’on considère deux vecteurs quelconques−→u et −→v ?


Il suffit de prendre des représentants de~u et~v bien choisis :

~v~u

~u+~v

~u ~v

A

B

C


somme de vecteurs

On peut aussi penser à la règle du parallélogramme.

~u

~v

~u+~v

A

B

C

E


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Vecteur nul - Opposé d’un vecteur

Je pars de A, je vais en B et je retourne en A ; d’après la relation de CHASLES :

−→AB+−→

BA=−→AA

Que peut-on dire de ce vecteur−→AA ?

Quelle est sa norme ?

Quelle est sa direction ?

Quel est son sens ?


On appelle ce vecteur de norme nulle le vecteur nul et on le note~0.

Si on considère un vecteur~u, on peut toujours trouver un vecteur de mêmedirection, de même norme et de sens opposé :quand on l’ajoute à~u, on obtient le vecteur nul.Autrement dit, pour tout vecteur~u, il existe un vecteur~v tel que~u+~v =~0


On l’appelle le vecteur opposé de~u et on le note −~u

−−→u

−→uA

B

M

N


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produit d’un vecteur par un nombre réel

Soit~u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.Alors on note k .~u le vecteur

ayant la même direction que~u ;

ayant le même sens que~u si k > 0, le sens contraire sinon ;

ayant pour norme k‖~u‖ si k > 0 et −k‖~u‖ sinon.


~u

−2~u

3~u

−4~u−3~u

3

2~u


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définition de vecteurs colinéaires

A retenirpour k 6= 0,~u et k~u ont la même direction.

Réciproquement, si deux vecteurs non nuls~u et~v ont la même direction, alors ilexiste un réel k tel que~v = k~u.

Si deux vecteurs non nuls~u et~v ont la même direction et le même sens, alors le

vecteur‖~v‖‖~u‖~u

a le même sens que~v (car . . .

a la même direction que~v (car . . .

a la même norme que~v (car . . .

par conséquent −→v = ‖~v‖‖~u‖~u


DefinitionOn dit que deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la mêmedirection.

Le vecteur~0 est, par convention, colinéaire à tout vecteur.

théorèmeDeux vecteurs non nuls~u et~v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réelk tel que~v = k~u


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A retenirMontrer que deux vecteurs sont colinéaires sert à prouver que deux droites sontparallèles ou que trois points sont alignés.

Deux vecteurs−→AB et

−→CD sont colinéaires si et seulement si, les droites (AB)

et (CD) sont parallèles.


−→AC sont colinéaires si et seulement si, les droites (AB)

et (AC) sont parallèles. Or, a. Et donc


−→AC sont colinéaires si et seulement si, les points A, B et

C sont alignés

a. D’après un des axiomes d’Euclide qui est la base de la géométrie euclidienne : ¿par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule À


attention !Vous ferez bien attention à parler de vecteurs colinéaires , les mots vecteurs etparallèles ne peuvent pas être associés !Deux droites peuvent être parallèles si elles ont tous leurs points ou aucun pointen commun. On ne peut pas dire la même chose des vecteurs car les vecteurs. . .n’ont pas de points !Un vecteur n’est pas un ensemble de points comme les droites.


Qu’est ce que le plan vectoriel ?Disons que c’est l’ensemble des vecteurs du plan.Dans le plan, on peut repérer les points lorsque le plan est muni d’un repère.Dans le plan vectoriel, on repère les vecteurs lorsque le plan est muni d’une base.

DefinitionDeux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sontPAS colinéaires.


Et on admettra le résultat primordial suivant :

théorème

Soit~i et~j deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel.Alors on peut exprimer n’importe quel vecteur~u sous la forme

~u = x~i +y~j

avec x et y des réels.Les nombres x et y sont appelés les COORDONNÉES de~u dans la BASE (~i ,~j)


Exemple :

~i~j

~u

D’après la construction les coordonnés de −→u dans la base(~i;~j

)sont

(5;−2,5)


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Nous retiendrons qu’il sera utile d’exprimer chaque vecteur d’un problème donnéen fonction de deux vecteurs de base intelligemment choisis...

DefinitionSoit~u et~v deux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel.On peut exprimer n’importe quel vecteur ~w sous la forme

~w = x~u+y~v

avec x et y des réels.On dit que l’on a écrit le vecteur ~w comme combinaison linéaire des vecteurs~u et~v .


Maintenant, pour repérer un point, on choisira une origine fixe et deux vecteurs debase.

Au collège, on définit un repère à l’aide de trois points non alignésAu lycée, on définit un repère à l’aide d’un point et d’une base

~j

~i

O


coordonnées d’un point dans un repère

Théorème

Dire que le point M a pour coordonnées (x ,y) dans le repère (O;~i;~j) signifie que

−−→OM = x~i +y~j

On appelle x l’abscisse de M et y son ordonnée


Coordonnées du vecteur−→AB

Dans le plan muni d’un repère (O,~i ,~j) , on donne deux points A et B decoordonnées respectives (xA,yA) et (xB ,yB).

A a pour coordonnées (xA,yA), donc par définition ...

...−→OA= xA~i +yA~j

De même, on obtient pour B ...

...−→OB = xB~i +yB~j


D’après la relation de Chasles,−→AB =−→

AO+−→OB =−→

OB−−→OA ; on en déduit :

à retenir

Le vecteur−→AB a pour coordonnées (xB −xA ; yB −yA)


Combinaison linéaire de vecteurs

Dans un repère (O,~i ,~j) , nous connaissons deux vecteurs et leurs coordonnées :exemple

~u(23

)~w

(94

)Quelles sont les coordonnées de 2~u−~w ?

~u = 2~i +3~j , donc 2~u = 4~i +6~j~w = 9~i +4~j , donc −~w =−9~i −4~jFinalement 2~u−~w = 4~i +6~j −9~i −4~j =−5~i +2~jOn observe donc que, sur cet exemple,

x2~u−~w = 2x~u −x~w y2~u−~w = 2y~u −y~w




~u(23

)~w

(94

)Quelles sont les coordonnées de 2~u−~w ?~u = 2~i +3~j , donc 2~u = 4~i +6~j~w = 9~i +4~j , donc −~w =−9~i −4~j

Finalement 2~u−~w = 4~i +6~j −9~i −4~j =−5~i +2~jOn observe donc que, sur cet exemple,

x2~u−~w = 2x~u −x~w y2~u−~w = 2y~u −y~w




~u(23

)~w

(94

)Quelles sont les coordonnées de 2~u−~w ?~u = 2~i +3~j , donc 2~u = 4~i +6~j~w = 9~i +4~j , donc −~w =−9~i −4~jFinalement 2~u−~w = 4~i +6~j −9~i −4~j =−5~i +2~j

On observe donc que, sur cet exemple,

x2~u−~w = 2x~u −x~w y2~u−~w = 2y~u −y~w




~u(23

)~w

(94

)Quelles sont les coordonnées de 2~u−~w ?~u = 2~i +3~j , donc 2~u = 4~i +6~j~w = 9~i +4~j , donc −~w =−9~i −4~jFinalement 2~u−~w = 4~i +6~j −9~i −4~j =−5~i +2~jOn observe donc que, sur cet exemple,

x2~u−~w = 2x~u −x~w y2~u−~w = 2y~u −y~w


Il reste à prouver que cela reste vrai pour n’importe quel combinaison de vecteurs.

~u(x~uy~u

)~w

(x~wy~w

)Quelles sont les coordonnées du vecteur a~u+b~w , avec a et b des nombres réelsfixés.

a~u+b~w = a(x~u~i +y~u~j

)+b(x~w~i +y~w~j

)= ax~u~i +ay~u~j +bx~w~i +by~w~j= (ax~u +bx~w)~i + (ay~u +by~w)~j



~u(x~uy~u

)~w

(x~wy~w

)

Quelles sont les coordonnées du vecteur a~u+b~w , avec a et b des nombres réelsfixés.


)+b(x~w~i +y~w~j




~u(x~uy~u

)~w

(x~wy~w



)+b(x~w~i +y~w~j




~u(x~uy~u

)~w

(x~wy~w



)+b(x~w~i +y~w~j

)

= ax~u~i +ay~u~j +bx~w~i +by~w~j= (ax~u +bx~w)~i + (ay~u +by~w)~j



~u(x~uy~u

)~w

(x~wy~w



)+b(x~w~i +y~w~j

)= ax~u~i +ay~u~j +bx~w~i +by~w~j

= (ax~u +bx~w)~i + (ay~u +by~w)~j



~u(x~uy~u

)~w

(x~wy~w



)+b(x~w~i +y~w~j



théorème

Le vecteur a~u+b~w a pour coordonnées (ax~u +bx~w ,ay~u +by~w)


Coordonnées du milieu d’un segment

Soit I le milieu d’un segment [A ; B]. Supposons que nous connaissions lescoordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I ?

Qui dit coordonnées de I dans (O,~i ,~j) dit coordonnées de−→OI dans la base (~i ,~j).

Il faudrait donc essayer de relier−→OI avec

−→OA et

−→OB...

Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B ?


Coordonnées du milieu d’un segment

Soit I le milieu d’un segment [A ; B]. Supposons que nous connaissions lescoordonnées de A et B. Comment en déduire les coordonnées de I ?Qui dit coordonnées de I dans (O,~i ,~j) dit coordonnées de

−→OI dans la base (~i ,~j).

Il faudrait donc essayer de relier−→OI avec

−→OA et

−→OB...

Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B ?


Par exemple−→AI =−→

IB

Il nous manque O... Pensez à la relation de CHASLES ...

−→AO+−→

OI =−→IO+−→

OB

−→OI −−→

IO =−−→AO+−→OB

−→OI +−→

OI =−→OA+−→

OB

2−→OI =−→

OA+−→OB


Par exemple−→AI =−→

IBIl nous manque O... Pensez à la relation de CHASLES ...

−→AO+−→

OI =−→IO+−→

OB

−→OI −−→

IO =−−→AO+−→OB

−→OI +−→

OI =−→OA+−→

OB

2−→OI =−→

OA+−→OB


théorèmeLe milieu I de [A B]

est caractérisé par chacune des relations vectorielles−→IA+−→

IB =~O −→AI = 1

2−→AB

−→BI = 1

2−→BA

−→OI = 1

2

(−→OA+−→

OB)

a pour coordonnées(xA +xB

2,yA +yB

2

)


Coordonnées du centre de gravité d’un triangle

Soit ABC un triangle. On note A′ le milieu de [BC], B′ le milieu de [AC] et C′ lemilieu de [AB]. Comme vous le savez, le centre de gravité G du triangle ABC estl’intersection des médianes.On se place dans le repère

(A,

−→AB,

−→AC

).

Quelles sont les coordonnées de A, B, C, A′, B′ et C′ ?

Déterminez des équations des droites (AA′) et (BB′).Déduisez-en les coordonnées de G.

Calculez les coordonnées de−−→AA′ et

−→AG puis retrouvez une propriété vue en

3ème.

Déterminez les coordonnées du vecteur−→GA+−→

GB+−−→GC.


théorèmeLe centre de gravité G du triangle ABC

est caractérisé par chacune des relations vectorielles−→AG = 1

3

−−→AA′ −→

GA+−→GB+−−→

GC =~0−−→MG = 1

3

(−→MA+−→

MB+−−→MC

)où M est un point quelconque du plan.

a pour coordonnées(xA +xB +xC

3,yA +yB +yC

3

)dans un repère

(O ;−→i ,

−→j ) du plan

A’ est le milieu du segment [BC]


Sommaire






Rappelez-vous :

si deux vecteurs~u(xy

)et ~u′

(x ′

y ′)

sont colinéaires et si~u 6=~0,

alors il existe un réel k tel que

. . .~u′ = k~u

on a alorsx ′ = kx et y ′ = kyQue pensez-vous alors de x ′y −y ′x ?


Rappelez-vous :


)et ~u′

(x ′

y ′)



. . .~u′ = k~u

on a alorsx ′ = kx et y ′ = ky

Que pensez-vous alors de x ′y −y ′x ?


Rappelez-vous :


)et ~u′

(x ′

y ′)



. . .~u′ = k~u

on a alorsx ′ = kx et y ′ = kyQue pensez-vous alors de x ′y −y ′x ?


théorème : critère de colinéarité

~u(xy

)et ~u′

(x ′

y ′)

sont colinéaires si, et seulement si, xy ′−x ′y = 0

Le nombre xy ′−x ′y est appelé déterminant des vecteurs~u et~v

notation :

∣∣∣∣x x ′

y y ′

∣∣∣∣= xy ′−x ′y . On peut écrire que

~u(xy

)et ~u′

(x ′

y ′)

sont colinéaires si, et seulement si,

∣∣∣∣x x ′

y y ′

∣∣∣∣= 0


exercice : Est ce que 3 points sont alignés ?

Est-ce que les points A(2 ; 3), B(5 ; 7) et C(−6 ; −8) sont alignés ?

Regardez−→AB et

−→AC...


exercice : Est-ce que des droites sont parallèles ?

On donne A(−4 ; −1), B(4 ; 5), C(3 ; −2) et D(7 ; 1).Est-ce que les droites (AB) et (CD) sont parallèles ?


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équation de la droite (AB)

Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu’unpoint M appartient à la droite (AB) ?

Que pensez-vous des vecteurs−−→AM et

−→AB ?

Ils sont colinéaires ! Comment en déduire une équation de (AB), c’est à dire unerelation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB) ?Exemple.



Considérons deux points fixés A et B. Comment traduire vectoriellement qu’unpoint M appartient à la droite (AB) ?Que pensez-vous des vecteurs

−−→AM et

−→AB ?





−−→AM et

−→AB ?

Ils sont colinéaires ! Comment en déduire une équation de (AB), c’est à dire unerelation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB) ?

Exemple.




−−→AM et

−→AB ?




Prenons A(2 ; 3) et B(−1 ; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, etseulement si,...

−−→AM

(x −2y −3

)et

−→AB

(−32

)sont colinéaires, c’est à dire... si, et seulement si,

2(x −2)− (−3)(y −3)= 0ce qui donne, après calculs 2x +3y −13= 0.Un petit remaniement nous permet de retrouver l’équation réduite...

y =−2

3x + 13

3



Prenons A(2 ; 3) et B(−1 ; 5). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, etseulement si,...−−→AM

(x −2y −3

)et

−→AB

(−32

)sont colinéaires, c’est à dire...

si, et seulement si,


y =−2

3x + 13

3




(x −2y −3

)et

−→AB

(−32


2(x −2)− (−3)(y −3)= 0

ce qui donne, après calculs 2x +3y −13= 0.Un petit remaniement nous permet de retrouver l’équation réduite...

y =−2

3x + 13

3




(x −2y −3

)et

−→AB

(−32



y =−2

3x + 13

3


Vecteur directeur

Le vecteur−→AB a pour direction celle de la droite (AB) : on dit que c’est un vecteur

directeur de la droite(AB).

Il existe un lien entre vecteur directeur et coefficient directeur... (lorsque lecoefficient directeur existe). Lequel ?


Détermination d’une équation de droite

Prenons A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, etseulement si,...

−−→AM

(x −xA

y −yA

)et

−→AB

(xB −xA

yB −yA


... si, et seulement si, (yB −yA)(x −xA)− (xB −xA)(y −yA)= 0


Détermination d’une équation de droite

Prenons A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Un point M(x ; y) appartient à (AB) si, etseulement si,...−−→AM

(x −xA

y −yA

)et

−→AB

(xB −xA

yB −yA


... si, et seulement si, (yB −yA)(x −xA)− (xB −xA)(y −yA)= 0


Le plan est muni d’un repère (O,~i ,~j).

à retenir :Une droite du plan a une équation du type ax +by +c = 0 où (a ; b) 6= (0 ; 0)Le vecteur de coordonnées (−b ; a) est un vecteur directeur de la droite.

Si b 6= 0, alors la droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées (axede

repère (O;~j)) et alors ... le vecteur de coordonnées(1 ; −a

b

)est un autre

vecteur directeur de la droite et ...

... la droite admet pour coefficient directeur m =−a

b

La droite du plan passant par le point A(xA ; yA) et de coefficient directeur ma pour équation réduite y =m(x −xA)+yA

La droite du plan passant par le point A(xA ; yA) et parallèle à l’axe desordonnées a pour équation réduite x = xA


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Definition

Un repère (O,~i ,~j) est dit orthogonal lorsque les droites (O,~i) et (O,~j) sontperpendiculaires.

Un repère (O,~i ,~j) est dit orthonormal lorsqu’il est orthogonal et que les vecteurs~iet~j sont tous deux de norme 1.


Distance dans un Repère Orthonormé

Observez cette figure

(xB −xA)~i

(yB −yA)~j

A

B

Pouvez-vous calculer la distance AB en fonction des coordonnées de A et de B ?


Distance dans un Repère Orthonormé

Effectuez la démonstration et précisez pourquoi ce calcul n’est valable que dansun Repère Orthonormé


exercice : Montrer qu’un quadrilatère est un rectangle

Dans un repère orthonormé (O,~i ,~j), on considère les quatre points

A(−1 ; 3) B(3 ;p

5) C(2 ; −3) D(−2 ; −p5)

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?


Équation de cercle

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,~i ,~j).

Les points A(−3 ; −4), B(1,8 ; 4,7) et C(1,4 ; −4,8) sont-ils sur le cercleC de centre O et de rayon 5 ?

À quelle condition sur x et y un point M(x ; y) est-il sur C ?


Équation de cercle


On considère les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB)Calculer la distance AB et les coordonnées du milieu I de [AB]

À quelle condition sur x et y , un point M(x ; y) est-il sur le cercle C de

centre I et de rayonAB

2?

Montrer que cette condition peut s’écrire sous la forme

(x −xA)(x −xB)+ (y −yA)(y −yB)= 0


Équation de cercle


à retenir : équations de cercle

Un cercle a une équation du type (x −a)2 + (y −b)2 =R2 où (a ; b) sont lescoordonnées du centre du cercle et où R est le rayon du cercle.

Le cercle de diamètre [AB] a pour équation (x −xA)(x −xB)+(y −yA)(y −yB)= 0


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