Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:
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Chapitre 11:Vecteurs et repères du plan:
I. Généralités1) Repères:
Définition:On dit qu’un repère du
plan (O, I, J) est orthonormé lorsque :
Les axes des abscisses et des ordonnées
sont perpendiculaires, c’est à dire (OI) (OJ).
Les unités de longueur sont les mêmes
sur les deux axes c’est à dire OI = OJ.
I et J sont toujours les points de coordonnées
respectives (1 ; 0) et (0 ; 1).
Rem: L'axe des abscisses porte
le « vecteur unité » et celui
des ordonnées le vecteur unité j.
i
• Exemples et contre exemples.
Repère orthonormé Repères non orthonormés
car les axes non perpendiculaires ou les unités sont différentes.
•Rappels: coordonnées d’un point.
• Chaque point peut être repéré dans le plan muni d’un repère par son abscisse x et son ordonnée y. On note : ( ; ).
Par exemple (-3;2)A AA x y
A
II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère.
II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère.
1) Définition :Les coordonnées d’un vecteur dansun repère décrivent un déplacement horizontal puis vertical.(point de départ point d’arrivée)Ainsi, un déplacement de « 3 unités vers la droite et 2 unités vers le bas » sera représenté par un vecteur de coordonnées (3 ; -2).
Exercice: Calcule les coordonnées du vecteur AB��������������
2) Calcul des coordonnées
d’unvecteur.
a) Cherchons une formule pour calculer les coordonnées d’un vecteur AB
��������������
b) activité: Relève les coordonnées des points A,B,C,D,E,F,G et H.Nomme les parallélogrammes de la figure.
Correction
• Parallélogrammes de la figure: Avec A et B: ABDC, ABFE, ABHG Avec C et D: CDFE, CDHG Avec E et F: EFHG
Points A B C D E F G H
abscisse -5 -2 -5 -2 -1 2 2,5 5,5
ordonnée 3 1 -0,5 -2,5 -1 -3 1 -1
en utilisant la formule: AB ( ; )
En calculant on obtient :AB ( 2 ( 5);1 3) soit AB ( 2 5; 2)
donc AB (3; 2)
En utilisant cette formule, calcule l
B A B Ax x y y
��������������
����������������������������
��������������
es coordonnées des vecteurs:
CD ( ; ), EF( ; ) , GH( ; ) D C D C F E F E H G H Gx x y y x x y y x x y y ������������������������������������������
CD ( 2 ( 5); 2,5 ( 0,5), EF(2 ( 1); 3 ( 1)) , GH(5,5 2,5; 1 1)
CD ( 2 5; 2,5 0,5), EF(2 1; 3 1) , GH(3; 2)
CD (3; 2), EF(3;
������������������������������������������
������������������������������������������
����������������������������2) , GH(3; 2)
��������������
Définition:
Soient ( , ) et ( , ) 2 points d'un plan muni d'un repère .
Le vecteur a pour coordonnées:
Propriété:
Deux vecteur
( ; )
égaus ont x mêmes coordonnéesles
Conséquence
.
B A
A A B B
B AAB x x y
A x y B x
y
y
AB ����������������������������
s:
Si ABCD est un alors
et réciproquement
s
parallélogr
i alors ABCD est un
amme
parallélogramme.
AB DC
AB DC
����������������������������
����������������������������
b) Bilan: Admettons et retenons:
III. Applications
Premier type de problème:Démontrer qu’un quadrilatère
est un parallélogramme.
Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ), C ( 3 ; 1 )
et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un
parallélogramme.
Il suffit de prouver que AF et CB sont égaux.On calcule les coordonnées:
O 1
1
A
F B
Les vecteurs sont égaux donc AFBC est un parallélogramme.
C( 6 ( 2); 2 2) et CB( 1 3; 3 1)
( 6 2; 4) et CB( 4; 4)
( 4; 4) et CB( 4; 4)
AF
AF
AF
����������������������������
����������������������������
����������������������������
On peut résoudre un deuxième type de problème
Etant donnés trois points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3; 1 ) ,
calculer les coordonnées du point Dtel que ABDC soit un parallélogramme.
Attention à l’ordre des points!
J’appelle (x;y) les coordonnées du point D, ABDC est un parallélogramme si :
CDAB (-1 - (-2) ; -3 - 2 ) = ( x - 3 ; y - 1 )
-1 + 2 = x - 3 et -3 - 2 = y - 1
x = 4 et y = - 4
Ce qui se vérifie sur le croquis….
IV. Coordonnées du milieu d’un segment
I
Activité:
Trouve une formule permettant
de trouver les coordonnées du
milieu I (x ; ).Iy
Démonstration
I est le milieu d 'un segment [AB] revient à dire que
AI IB����������������������������
On utilise la formule des coordonnées d'un vecteur
On a: AI( ; )
et IB( ; )
Donc et
soit et
soit 2 et 2
I A I A
B I B I
I A B I I A B I
I I A B I I A B
I A B
x x y y
x x y y
x x x x y y y y
x x x x y y y y
x x x
��������������
��������������
Finalement et 2 2
I A B
A B A BI I
y y y
x x y yx y
Les coordonnées du milieu d'un segment [AB] sont données par la formule
;2 2
A B A Bx x y y
A retenir
O 1
1
A
F B
C
Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ) , C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme.
Autre méthode pour prouver qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme.
Pour que AFBC soit un parallélogramme il suffit de vérifier que ses diagonales
ont même milieu.
Coordonnées du milieu de AB
2 ( 1) 2 ( 3)1,5 ; 0,5
2 2
Coordonnées du milieu de FC
3 ( 6) 1 ( 2)1,5 ; 0,5
2 2
Donc AFBC est un parallélogramme
O 1
1
xB - xA
xAxB
yA
yB
yB - yA
A
B
C
Les droites (AC) et ( CB) sont parallèles aux axes, donc perpendiculaires entre elles. Le Triangle ABC est rectangle en C et le théorème de Pythagore permet d ’écrire:
AB² = AC² + CB²AB²= ( xB - xA )² + ( yB - yA)²
Si le repère est orthonormé
IV. Distance entre 2 points dans un repère.
2 2 2
2 2
Finalement on retient:
( ) ( )
( ) ( )
B A B A
B A B A
AB x x y y
ou
AB x x y y