Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

25
Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

description

Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:. Généralités. Repères: Définition: On dit qu’un repère du plan (O, I, J) est orthonormé lorsque : è   Les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires, c’est à dire (OI)  (OJ). è  Les unités de longueur sont les mêmes - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Page 1: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Chapitre 11:Vecteurs et repères du plan:

Page 2: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

I. Généralités1) Repères:

Définition:On dit qu’un repère du

plan (O, I, J) est orthonormé lorsque :

  Les axes des abscisses et des ordonnées

sont perpendiculaires, c’est à dire (OI) (OJ).

 Les unités de longueur sont les mêmes

sur les deux axes c’est à dire OI = OJ.

I et J sont toujours les points de coordonnées

respectives (1 ; 0) et (0 ; 1).

Rem: L'axe des abscisses porte

le « vecteur unité » et celui

des ordonnées le vecteur unité j.

i

Page 3: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

• Exemples et contre exemples.

            

 

Repère orthonormé Repères non orthonormés

car les axes non perpendiculaires ou les unités sont différentes.

Page 4: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

•Rappels: coordonnées d’un point.

• Chaque point peut être repéré dans le plan muni d’un repère par son abscisse x et son ordonnée y. On note : ( ; ).

Par exemple (-3;2)A AA x y

A

Page 5: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère.

Page 6: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:
Page 7: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère.

1) Définition :Les coordonnées d’un vecteur dansun repère décrivent un déplacement horizontal puis vertical.(point de départ point d’arrivée)Ainsi, un déplacement de « 3 unités vers la droite et 2 unités vers le bas » sera représenté par un vecteur de coordonnées (3 ; -2).

Page 8: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Exercice: Calcule les coordonnées du vecteur AB��������������

Page 9: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

2) Calcul des coordonnées

d’unvecteur.

Page 10: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

a) Cherchons une formule pour calculer les coordonnées d’un vecteur AB

��������������

Page 11: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

b) activité: Relève les coordonnées des points A,B,C,D,E,F,G et H.Nomme les parallélogrammes de la figure.

Page 12: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Correction

• Parallélogrammes de la figure: Avec A et B: ABDC, ABFE, ABHG Avec C et D: CDFE, CDHG Avec E et F: EFHG

Page 13: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Points A B C D E F G H

abscisse -5 -2 -5 -2 -1 2 2,5 5,5

ordonnée 3 1 -0,5 -2,5 -1 -3 1 -1

en utilisant la formule: AB ( ; )

En calculant on obtient :AB ( 2 ( 5);1 3) soit AB ( 2 5; 2)

donc AB (3; 2)

En utilisant cette formule, calcule l

B A B Ax x y y

��������������

����������������������������

��������������

es coordonnées des vecteurs:

CD ( ; ), EF( ; ) , GH( ; ) D C D C F E F E H G H Gx x y y x x y y x x y y ������������������������������������������

CD ( 2 ( 5); 2,5 ( 0,5), EF(2 ( 1); 3 ( 1)) , GH(5,5 2,5; 1 1)

CD ( 2 5; 2,5 0,5), EF(2 1; 3 1) , GH(3; 2)

CD (3; 2), EF(3;

������������������������������������������

������������������������������������������

����������������������������2) , GH(3; 2)

��������������

Page 14: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Définition:

Soient ( , ) et ( , ) 2 points d'un plan muni d'un repère .

Le vecteur a pour coordonnées:

Propriété:

Deux vecteur

( ; )

égaus ont x mêmes coordonnéesles

Conséquence

.

B A

A A B B

B AAB x x y

A x y B x

y

y

AB ����������������������������

s:

Si ABCD est un alors

et réciproquement

s

parallélogr

i alors ABCD est un

amme

parallélogramme.

AB DC

AB DC

����������������������������

����������������������������

b) Bilan: Admettons et retenons:

Page 15: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

III. Applications

Page 16: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Premier type de problème:Démontrer qu’un quadrilatère

est un parallélogramme.

Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ), C ( 3 ; 1 )

et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un

parallélogramme.

Il suffit de prouver que AF et CB sont égaux.On calcule les coordonnées:

O 1

1

A

F B

Les vecteurs sont égaux donc AFBC est un parallélogramme.

C( 6 ( 2); 2 2) et CB( 1 3; 3 1)

( 6 2; 4) et CB( 4; 4)

( 4; 4) et CB( 4; 4)

AF

AF

AF

����������������������������

����������������������������

����������������������������

Page 17: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

On peut résoudre un deuxième type de problème

Etant donnés trois points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3; 1 ) ,

calculer les coordonnées du point Dtel que ABDC soit un parallélogramme.

Attention à l’ordre des points!

J’appelle (x;y) les coordonnées du point D, ABDC est un parallélogramme si :

CDAB (-1 - (-2) ; -3 - 2 ) = ( x - 3 ; y - 1 )

-1 + 2 = x - 3 et -3 - 2 = y - 1

x = 4 et y = - 4

Ce qui se vérifie sur le croquis….

Page 18: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

IV. Coordonnées du milieu d’un segment

Page 19: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

I

Activité:

Trouve une formule permettant

de trouver les coordonnées du

milieu I (x ; ).Iy

Page 20: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:
Page 21: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Démonstration

I est le milieu d 'un segment [AB] revient à dire que

AI IB����������������������������

On utilise la formule des coordonnées d'un vecteur

On a: AI( ; )

et IB( ; )

Donc et

soit et

soit 2 et 2

I A I A

B I B I

I A B I I A B I

I I A B I I A B

I A B

x x y y

x x y y

x x x x y y y y

x x x x y y y y

x x x

��������������

��������������

Finalement et 2 2

I A B

A B A BI I

y y y

x x y yx y

Page 22: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Les coordonnées du milieu d'un segment [AB] sont données par la formule

;2 2

A B A Bx x y y

A retenir

Page 23: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

O 1

1

A

F B

C

Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ) , C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme.

Autre méthode pour prouver qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme.

Pour que AFBC soit un parallélogramme il suffit de vérifier que ses diagonales

ont même milieu.

Coordonnées du milieu de AB

2 ( 1) 2 ( 3)1,5 ; 0,5

2 2

Coordonnées du milieu de FC

3 ( 6) 1 ( 2)1,5 ; 0,5

2 2

Donc AFBC est un parallélogramme

Page 24: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

O 1

1

xB - xA

xAxB

yA

yB

yB - yA

A

B

C

Les droites (AC) et ( CB) sont parallèles aux axes, donc perpendiculaires entre elles. Le Triangle ABC est rectangle en C et le théorème de Pythagore permet d ’écrire:

AB² = AC² + CB²AB²= ( xB - xA )² + ( yB - yA)²

Si le repère est orthonormé

IV. Distance entre 2 points dans un repère.

2 2 2

2 2

Finalement on retient:

( ) ( )

( ) ( )

B A B A

B A B A

AB x x y y

ou

AB x x y y

Page 25: Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan: