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UMN 5 fonctions trigonométriques, réciproques cours

3. Fonctions trigonométriques réciproques

Vous pourrez revoir le paragraphe sur les fonctions réciproques du chapitre

précédent.

On rappelle qu’une fonction strictement monotone et continue sur un intervalle I est

une bijection de I sur f Ib g . La bijection réciproque f −1 définie de f Ib g sur I est

continue et strictement monotone de même monotonie que f.

De plus dans un repère orthogonal, les courbes représentatives de f et f −1 sont

symétriques par rapport à la droite d’équation réduite y x= .

Dans ce qui suit, nous allons rechercher des intervalles sur lesquels les fonctions

trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont strictement monotones. Nous

pouvons prendre n’importe lequel des intervalles satisfaisant la condition de stricte

monotonie, le choix de ces intervalles est arbitraire, cependant nous choisirons des

intervalles inclus dans l’intervalle référence des lignes trigonométriques −π π; .

3.1. Fonction Arcsinus

3.1.1. Définition

La fonction sinus est continue strictement croissante sur −LNMOQP

π π2 2

C'est donc une bijection de −LNMOQP

π π2 2

, sur −11, .

On appelle cette fonction Arc sinus et on note x Arc x! sin la bijection réciproque

y Arc x

=∈ −

,11 ⇔

∈ −LNMOQP

,π π2 2

La fonction Arcsinus est continue strictement croissante de −11, sur −LNMOQP

π π2 2

3.1.2. Valeurs remarquables :

sin sin

0 0 0 0

= ⇔ =

3.1.3. Propriété d'imparité :

L’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, donc f x−b g est définie pour

toute valeur x de l’ensemble de définition.

De plus : ∀ ∈ − − = −x Arc x Arc x11, , sin sinb gLa fonction Arcsin est donc impaire.

y Arc x avec x x y avec y= − − ∈ − ⇔ − = ∈ −LNMOQPsin , sin ,b g 1 1

⇔ = − − ∈ −LNMOQP⇔ − = ∈ −x y avec y y Arc x avec xsin , sin ,b g π π

2 21 1

3.1.4. Propriétés de composition :

Par définition d’une fonction f et de sa fonction réciproque f −1 , on a :

f f f f Id" "− −= =1 1 , donc :

∀ ∈ −LNMOQP =

∀ ∈ − =

y Arc y y

x Arc x x

π π2 2

; , sin sin

b gb g

Ces propriétés sont fondamentales et, on le verra, très utilisées dans les exercices.

Pour la deuxième égalité, il n’y a pas de problème car il faut de toutes les façons

vérifier que x appartient bien à l’intervalle −11, pour que la fonction

x Arc x! sin sinb g soit définie.

Pour la première, c’est plus délicat. x Arc y! sin sinb g est définie sur R, et si l'on

applique trop vite Arc y ysin sinb g = , y n'est pas forcément dans l'intervalle

−LNMOQP

π π2 2

; et le résultat est donc absurde.

Arc Arc et nonsin sin sin4

π π πFHGIKJ

IKJ = −

FHGIKJ = −

Soit f la fonction définie par : f x Arc x xb g b g= sin sin cos2 .

On utilise la formule du cours 2 2sin cos sinx x x= b gAlors : f x Arc x x Arc xb g b g b gc h= =sin sin cos sin sin2 2

Pour tout x, on a : − ≤ ≤1 2 1sin xb g , l’ensemble de définition de f est R.

On rappelle que la fonction x ax b! sin +b g est périodique de période 2πa

La fonction est donc périodique de période 2

π π= . Elle est impaire comme

composée de deux fonctions impaires x x! sin 2b g et x Arc x! sin . (Propriété

intéressante qu'il ne faut pas retenir, car elle est très simple à démontrer.)

On l’étudie sur l’intervalle 02

;πLNMOQP .

x x∈ LNMOQP ⇔ ∈0

22 0; ;

• Sur 04

;πLNMOQP , 2 0

2x ∈ LNM

π donc f x Arc x xb g b gc h= =sin sin 2 2

• Sur π π4 2

;LNMOQP , il faut se ramener par des transformations trigonométriques à

l’intervalle 02

;πLNMOQP .

x ∈ LNMOQP

π π; donc π π− ∈ LNMOQP2 0

2x ; , or ∀ ∈ − =A R A A, sin sinπb g donc

f x Arc x Arc x xb g b gc h b gc h= = − = −sin sin sin sin2 2 2π π

En résumé : f est périodique de période π , impaire définie sur 02

;πLNMOQP par :

x si x

b g =∈ LNMOQP

− ∈ OQPOQP

π π π

(MATH05E04A)

Simplifier:

a Arc b Arc c Arc d Arc= FHGIKJ = F

HGIKJ = F

HGIKJsin sin , sin sin , sin sin , sin sin

π π π π4

3.1.5. Autres propriétés :

En utilisant sin cos2 2 1A A+ = , on établit

• ∀ ∈ − = −x Arc x x11 1 2, cos( sin )

En effet, cos ( sin ) sin ( sin )2 2 21 1Arc x Arc x x= − = −

Or Arc xsin ;∈ −LNMOQP

π π2 2

donc cos( sin )Arc x x= −1 2

• ∀ ∈ − =−

x Arc xx

1 2, tan( sin )

tan sinsin sin

cos sinArc x

xb g b g

b g= =−1 2

3.1.6. Dérivée :

La fonction sinus est dérivable sur −LNMOQP

π π2 2

, et ∀ ∈ −OQPLNM ′ = ≠y y y

π π2 2

0, , sin cos

Appliquons le théorème de dérivation d'une fonction réciproque

f xf f x

−−

′ =10 1

1e j b g b ge j'

∀ ∈ − ′ =′

= =−−

x Arc xf f x Arc x x

111 1 1

, , sincos sinb ge j b g

La fonction xx

1 2− est indéfiniment dérivable sur l'intervalle −11, , la

fonction Arcsinus est de classe C sur∞ −11,

3.1.7. Conséquence :

La fonction composée x Arc u x! sin b g est définie si et seulement si

u x existe

et u x

b gb g− ≤ ≤

RS|T| 1 1

Elle est dérivable sur −1 1; si et seulement la fonction u est dérivable sur −1 1; et

on a Arc u xu x

u xsin

'b g b g b gb g

′ =−1 2

3.1.8. Courbe représentative :

Tableau de variation

x -1 0 1

Arc xsin π2

−π2

Courbe représentative :

(MATH05E05A)

Etudier la fonction définie R par : f X Arc X: sin sin! b g

3.2. Fonction Arcosinus

3.2.1. Définitions

La fonction cosinus est continue strictement décroissante sur 0,π .

C'est une bijection de 0,π sur −11, .

On appelle Arccosinus et on note x Arc x! cos la bijection réciproque:

y Arc x

∈ −

,11 ⇔

C'est une fonction continue strictement décroissante de −11, sur −LNMOQP

π π2 2

cos cos

0 1 1 0

= ⇔ =

3.2.3. Dérivée

La fonction cosinus est dérivable sur 0;π et

∀ ∈ ′ = − ≠y y y0 0; , cos sinπ

En effet, appliquons le théorème de dérivation d'une fonction réciproque

( ( ))' ( )

'f xf f x

−−

∀ ∈ − ′ =′

= −−−

x Arc xf f x Arc x x

111 1 1

, , cossin cosb ge j b g

La fonction xx

! −−

1 2 est indéfiniment dérivable sur l'intervalle −11, , la

fonction Arccosinus est de classe C sur∞ −11,

3.2.4. Conséquence :

La fonction composée x Arc u x! cos b g est définie si et seulement si

u x existe

et u x

b gb g− ≤ ≤

RS|T| 1 1

Elle est dérivable sur −1 1; si et seulement si la fonction u est dérivable sur −1 1; et

Arc u xu x

u xcos

'b g b g b gb g

′ = −−1 2

3.2.5. Centre de symétrie :

∀ ∈ − + − =x Arc x Arc x11, , cos cosb g π , donc le point I ( , )02

πest centre de

symétrie pour la courbe représentant les variations de la fonction Arccosinus.

Considérons la fonction f définie sur −1 1; par f x Arc x Arc xb g b g= + −cos cos

f est dérivable sur −1 1; et ∀ ∈ − ′ = −−

− −

−=x f x

x x1 1

2 2; , b g

On en déduit donc que f est constante sur −1 1; et

f x f Arc Arcb g b g b g= = + − = + =0 0 02 2

cos cosπ π π

On vérifie que f f1 1b g b g= − =π

Donc ∀ ∈ − + − =x Arc x Arc x11, , cos cosb g π

Vous retiendrez ce principe de démonstration très courant :

Pour démontrer que deux fonctions sont égales, on démontre qu’elle ont même

dérivée et qu’elles coïncident en un point.

∀ ∈ =

∀ ∈ − =

y Arc y y

x Arc x x

; , cos cos

π b gb g

Comme pour les propriétés de composition de la fonction Arcsinus, il n’y a pas de

problème pour la deuxième égalité car il faut de toutes les façons vérifier que x

appartient à l’intervalle −11, pour que la fonction x Arc x! cos cosb g soit définie.

Pour la première, c’est plus délicat. x Arc y! cos cosb g est définie sur R et il faut

agir avec grand soin.

Ar Arcos cos cos4

π πFHG

IKJ = −FHG

IKJ = et non

π qui n'appartient pas à l'intervalle

0;π .

Soit f la fonction définie sur R par f x Arc xb g = −FHGIKJ

IKJcos sin

En remarquant que pour tout A, sin cosπ2

−FHGIKJ =A A , on peut améliorer l’expression

de f : f x Arc xb g b gc h= cos cos 3

Pour tout A, on a : − ≤ ≤1 1cos A , l’ensemble de définition de f est R.

La fonction est périodique de période 2

π. Elle est paire car la fonction cosinus est

paire. On l’étudie sur l’intervalle 03

;πLNMOQP .

x x∈ LNMOQP ⇔ ∈0

33 0; ;

π π , donc f x Arc x xb g b gc h= =cos cos 3 3

(MATH05E06A)

Simplifier:

a Arc b Arc c Arc d Arc= FHGIKJ = F

HGIKJ = F

HGIKJcos cos , cos cos , cos cos , cos cos

π π π π4

• ∀ ∈ − = −x Arc x x1 1 1 2; sin cosb g

• ∀ ∈ − ∪ = −x Arc x

x1 0 0 1

; ; tan cosb gLes démonstrations sont similaires à celle du paragraphe précédent 3.1.5.

3.2.8. Courbe représentative :

∀ ∈ −LNMOQP + =x Arc x Arc x

π π π2 2 2

, , sin cos

Les représentations graphiques respectives des fonctions Arcsinus et Arccosinus sont

symétriques par rapport à la droite d'équation y = π4

Nous pourrions faire une démonstration similaire à la démonstration du paragraphe

3.2.5. Nous proposons une autre démonstration.

Posons y Arc x et z y

on a x y avec y

D où x z z avec z

= = −

= ∈ −LNMOQP

= −FHGIKJ = ∈

' sin cos ,

c'est-à-dire z Arc x= cos

∀ ∈ − + = + =x Arc x Arc x y z1 12

, , sin cosπ

Si on choisit cette démonstration, cela permet de démontrer que les deux fonctions

Arcsinus et Arccosinus ont des dérivées opposées.

(MATH05E07A)

Donner une expression plus simple des fonctions :

f x Arc x et g x Arc x: cos cos : sin cos! !2 21

3.3. Fonction Arctangente

3.3.1. Définition

La fonction tangente est continue strictement croissante sur −OQPLNM

π π2 2

C'est une bijection de −OQPLNM

π π2 2

, sur R.

On appelle Arctangente et on note x Arc x! tan la bijection réciproque :

y Arc x

∈ −OQPLNM

,π π2 2

C'est une fonction continue strictement croissante de R sur −OQPLNM

π π2 2

tan tan

lim tan lim tan

0 0 0 0

= ⇔ =

= +∞ ⇔ =→

→+∞

x Arc xx

3.3.3. Propriété d'imparité :

La fonction Arctangente est impaire et ∀ ∈ − = −x R Arc x Arc x, tan tanb g

Arc x y

∈− =

RST⇔

∈− =RST ⇔

∈= −RST

⇔∈= −RST

⇔∈

= −RST

tan tan tan

tan tan

b gFinalement :

Arc x y

Arc x yx R Arc x Arc x

∈− =

RST⇔

∈− =RST ⇒ ∀ ∈ − = −

tan tan, tan tanb g b g

La fonction Arctangente est impaire, sa courbe représentative est symétrique par

rapport à l’origine dans un repère orthonormal.

∀ ∈ −OQPLNM =

∀ ∈ =

y Arc y y

x R Arc x x

π π2 2

, , tan tan

tan tan

b gb g,

Comme pour les propriétés de composition de la fonction Arcsinus et de la fonction

Arccosinus, il n’y a pas de problème pour la deuxième égalité car elle est vraie pour

tout réel x.

Pour la première, il faudra prendre les précautions d’usage.

De plus

∀ ∈ =+

x R Arc xx

, sin tan

, cos tan

Démontrons la deuxième :

∀ ∈ =+

− < < =+

x R Arc xArc x x

Or Arc x donc Arc xx x

, cos tantan tan

tan , cos tan

b g b gb gπ π

On peut en déduire la première :

∀ ∈ = =

x R Arc xArc x

Arc xx

Donc Arc x x Arc xx

, tan tansin tan

cos tan

sin tan cos tan

b g b gb g

b g b g1 2

3.3.5. Dérivée :

La fonction Arctangente est dérivable sur R et ∀ ∈ ′ =+

x R Arc xx

, tan b g 1

La fonction tangente est dérivable sur −OQPLNM

π π2 2

, et que

∀ ∈ −OQPLNM ′ = + ≠y y y

π π2 2

1 02, tan tanb g

La fonction Arctangente est donc dérivable sur R

Appliquons le théorème de dérivation des fonctions réciproques :

f xf f x

−−

′ =10 1

1e j b g b ge j'

∀ ∈ ′ =+

x R Arc xArc x x

, tantan tan

b g b gc h1

La fonction xx

1 2+ est indéfiniment dérivable sur R, la fonction Arccosinus est

donc de classe C∞ sur R.

La fonction x Arc u x! tan b g est dérivable si et seulement si x u x! b g est dérivable

et Arc u xu x

u xtan

'b g b g b gb g

′ =+1 2

3.3.6. Tableau de variation et courbe.

x −∞ 0 +∞

Arc xtan π2

−π2

Arc x Arcx

tan tan+ =>

T||1 2

On dérive la fonction f définie sur R* par f x Arc x Arcx

b g = +tan tan1

La fonction f est dérivable sur chaque intervalle de son ensemble de définition.

′ =+

× −FHGIKJ =

x x xb g 1

La fonction est donc constante sur chaque intervalle. De plus, on a :

lim tan

→−∞

→+∞

T||⇒ = −

T||⇒ =

D’où le résultat.

(MATH05E08A)

Simplifier :

= FHGIKJ

tan tan

(MATH05E09)

Résoudre l’équation : Arctan 2x + Arctan x =4

b g π

(MATH05E10)

Etudier la fonction f définie par : f x = Arcsin 2x + 1b g b g

(MATH05E11)

On considère un triangle ABC rectangle en A, tel que BC a= 2 et l'angle B mesure

1) Soit O le milieu de BC et H le projeté orthogonal de A sur BC . Démontrer

OH HAa 2

2= = . En déduire que AB a 2 2= + .

2) Dans le triangle rectangle AHB, calculer : cosπ π π8 8 8

, sin et tan .

(MATH05E12)

En utilisant l'exercice MATH05E05A, déduire une expression plus simple de la

fonction g définie par : g x Arc x x: sin! 3 4 3−e j

(MATH05E13)

Calculer:

w Arc Arc Arc Arc11

8= + + +tan tan tan tan

en déduire

w Arc Arc Arc Arc2 2 3 7 8= + + +tan tan tan tan

(MATH05E14)

Résoudre dans R : Arc x Arc xtan tan2 34

b g b g+ = −π

(MATH05E15)

Démontrer que ∀ ∈ − =−

x Arc x Arcx

1 2; , sin tan

(MATH05E16)

xpour x

−FHGG

+ ∈ −

(MATH05S01)

Etudier la fonction f définie sur R par ( ) = +f x x xsin .

On cherchera en particulier les points d’inflexion et on donnera un équation des

tangentes en ces points.

(MATH05S02)

Etudier la fonction f x Arcx

x: tan!

(MATH05E04B)

Résoudre dans R : Arc Arc Arc xsin sin sin4

(MATH05E04C)

Résoudre dans R : Arc Arc Arc xsin sin sin4

(MATH05E05B)

En utilisant l'exercice (MATH05E05A) déduire une expression plus simple de lafonction :

g x Arcx x

: sin!+ −1

(Le changement de variable est suggéré dans l’aide.)

(MATH05E05C)

En utilisant l'exercice (MATH05E05A), déduire une expression plus simple de lafonction :

g x Arc x x: sin! 2 1 2−FH IK(Le changement de variable est suggéré dans l’aide.)

(MATH05E06B)

Résoudre dans R : Arc Arc Arc xcos cos sin1

(MATH05E06C)

Résoudre dans R : Arc Arc Arc xcos cos cos1

(MATH05E07B)

Etudier la fonction :

f x Arc x Arc x: cos cos cos cos! b g b g+ 1

(MATH05E08B)

Calculer :

u Arc Arc= +tan tan1

3En déduire v Arc Arc= +tan tan2 3

(MATH05E08C)

En calculant la dérivée de la fonction définie sur R par :

f x Arc x Arc x xb g = + + −FH IKtan tan2 1 2

En déduire que pour tout réel x :

Arc x Arc x xtan tan+ + −FH IK =2 12

(MATH05E09)

La fonction f définie sur R par f x x xb g b g= +arctan arctan2 est strictement

croissante et continue comme somme de fonctions strictement croissantes etcontinues.

De plus f 0 0b g =

Donc π4

admet un antécédent unique positif.

On prend la tangente de chaque membre :

Arc x Arc x Arc x Arc x

Arc x Arc x

tan tan tan tan tan

tan tan tan tan

b g b gc hb gc h b gb gc h b g

+ = ⇒ + =

⇒ +−

Soit 2 3 1 02x x+ − = qui admet deux racines distinctes :

x et x1 23 17

4= − − = − +

Seule convient la solution positive donc S3 17

4= − +RST

(MATH05E10)

f x Arcsin 2x + 1b g b g=

• Ensemble de définition : il faut et il suffit que − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤1 2x 1 1 1 x 0Soit D 1,0f = −

• Etude aux bornes du domaine :

f 1 = Arcsin 1 =2

et f 0 = Arcsin 1 =2

− − −b g b g b g b gπ π

• Variations : f est dérivable sur −1,0 et on a :

′ =− +

=− −

f x1 2x 1

4x 4x2 2b g

Donc f est strictement croissante sur Df .

d’où le tableau de variations

x −1 0

′f +

− π2

• Concavité et point d'inflexion:

′f est dérivable sur −1,0 et on a: ′′ =+

− −FH IKf x

4 2x 1

4x 4x23b g b g

′′f s'annule en x =1

2− , en changeant de signe, donc il y a un point d'inflexion

en −FHGIKJ

• Tangentes aux points particuliers:

lim f x x 1x> 1→−

′ = +∞ ⇒b g demi-tangente verticale au point − −FHGIKJ1,

lim f x 0x<0→

′ = +∞ ⇒xb g demi-tangente verticale au point 0,2

πFHGIKJ

′ −FHGIKJ = ⇒f

22 Equation de la tangente au point d'inflexion: y 2x 1= +

• Représentation graphique :

(MATH05E11)

Les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon OA OB OC= = donc

OAC est isocèle de sommet O et d'angle C = − =π π π2 8

L'angle COA AH OA a= − = = = =π π π π π2

8 4 4 4

2 OH = OAcos sin

AB BC AC 4a CH AH 4a a AH AH2 2 2 2 2 2 2 2= − = − + = − − +e j b ge j2

= 4a a a2

= 4a 2a a 2 a (2 2 ) AB a 2 2

2 2 2 2

− −FHG

IKJJ = − ⋅ − +

− + = + = +

2) cosπ8

+= +HB

2a 2 2

π = =+

4 22 2 2

π = − = − = −−

= − = − = −6 43 2 1 1

(MATH05E12)

Déterminons l'ensemble de définition D x R x xg = ∈ − ≤ − ≤/ 1 3 4 13o t

On peut étudier la fonction auxiliaire u x x x: ! 3 4 3− sur l’intervalle −1 1, .

u est dérivable et u x x' b g = −3 12 2 .

On obtient le tableau de variations de la fonction u suivant :

x −1 − 1

′u − 0 + 0 −

−1 −1

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ = −1 1 1 1 1 1u x x et donc Dgb g ,

La fonction sinus est une bijection de −LNMOQP = −π π

2 21 1, ,sur Dg

g x g Arc Arcb g b g e j b gc h= = − =sin sin sin sin sin sinϕ ϕ ϕ ϕ3 4 33

On retrouve l'exercice MATH05E05A avec X = 3ϕ

• ϕ π π π π ϕ π π ϕ π ϕ∈ − −LNMOQP ⇒ − + − ∈ −LNM

OQP = − −

2 62 3

2 23 3, , sin sinet Arc b gc h

Pour x g x Arc x∈ − −LNMOQP = − −1

23, , sinb g π

• ϕ π π ϕ π π ϕ ϕ∈ − −OQPOQP ∈ −LNM

2 23 3, , sin sinalors et Arc b gc h

Pour x alors g x Arc x∈ −OQPOQP =1

23; , sinb g

• ϕ π π π ϕ π π ϕ π ϕ∈ OQPOQP − ∈ −LNM

OQP = −

2 23 3, , sin sinalors et Arc b gc h

Pour x alors g x Arc x∈ OQPOQP = −1

21 3, , sinb g π

On vérifie sur ces formules que g est continue sur −1 1,

(MATH05E13)

La fonction x Arc x! tan est croissante sur R.

80> > > > >

Donc :π4

8= > > > >Arc Arc Arc Arc Arctan tan tan tan tan

Soit :

8< + + + <Arc Arc Arc Arctan tan tan tan π

Utilisons : tantan tan

tan tana b

a b+ = +

−b g

Calculons séparément

tan tan tanArc Arc1

HGIKJ =

− ×=

tan tan tanArc Arc1

HGIKJ =

− ×=

Puis de nouveau :

tan w1

− ×=

w Arc1

∈ − RSTUVW

⇒ = =,

tanπ π

En utilisant : Arc x Arcx

avec xtan tan+ = >1

π pour les valeurs :

x x x puis x= = = =3 5 7 8, ,

w w1 2 2+ = π

Comme w1 4= π

alors w Arc Arc Arc Arc2 2 3 7 87

4= + + + =tan tan tan tan

(MATH05E14)

φ : tan tanx Arc x Arc x! 2 3b g b g+La fonction φ est continue, strictement croissante sur R, donc bijective de

R sur −π π;

− π4

admet un antécédent et un seul sur R

L'équation Arc x Arc xtan tan2 34

b g b g+ = −π admet donc une solution et une seule

Calculons la tangente des deux membres.

Utilisons : tantan tan

tan tana b

a b+ = +

−b g

tan tan tan tan

Arc x Arc x

1 2 31

b gc h b gc hb gc h b gc h

−= −

6 5 1 0

= − ⇒− − =

Comme nous avons raisonné par implication, vérifions si ces solutions sont bonnes.

Pour x = 1, Arc Arctan tan2 3 0+ > , donc 1 n'est pas solution

L’équation possédant une solution et une seule, nécessairement il s’agit de x = − 1

6On obtient alors l’égalité :

Arc Arc Arc Arctan tan tan tan−FHGIKJ + −FHG

IKJ = − F

HGIKJ +

FHGIKJ

IKJ = −1

(MATH05E15)

Démontrons que ∀ ∈ − =−

x Arc x Arcx

1 2, , sin tan

Arc Arcsin tan00

Les fonctions x Arc x et x Arcx

x! !sin tan

1 2− sont dérivables sur −1 1; et

Arc xx

′ =−

′−

− − −

−−

−− +

Les dérivées sont donc égales ce qui prouve que les fonctions sont égales car ellescoïncident pour x = 0 .

(MATH05E16)

Démontrons : Arc x

xpour x

−FHGG

+ ∈ −

• Pour x ∈ 01, posons : y Arc x avec y= ∈ LNMLNMcos ,0

alors cos sin tany x et y x donc yx

x= = − = −

Et donc : y Arc x Arcx

xpour x= = −F

HGGIKJJ

∈cos tan ,1

• Pour x ∈ − 1 0, on utilise Arc x Arccos cos+ − =1b g π et l’imparité de la

fonction Arctangente. On obtient alors :

Arc x Arc x Arcx

xcos cos tan tan= − − = − −

= + −FHGG

π π πb g 1 12 2

(MATH05E04A)

Si y est une valeur usuelle, on calcule sin y puis Arc y ysin sinb g =

Exemple : Arc Arcsin sin sin5

π πFHGIKJ = −

FHGIKJ = −

Sinon, il faut appliquer la formule suivante : ∀ ∈ −LNMOQP =y Arc y y

π π2 2

, , sin sinb g

Donc si y ∉ −LNMOQP

π π2 2

; il faut utiliser la périodicité ou les propriétés de symétrie des

fonctions considérées.

Exemple : Arc Arc Arcsin sin sin sin sin sin11

π π π π πFHG

IKJ = −F

IKJ = F

HGIKJ =

(MATH05E04B)

Il faut démontrer que la fonction x Arc x! sin est une bijection de

− −OQPLNM1 1

2 2, ,sur

π π donc que l'équation Arc Arc Arc xsin sin sin

13+ = admet

une solution α et une seule dans l'intervalle −11,

Puis on calcule le sinus des deux membres, et on utilise :

∀ ∈ − = = −x Arc x x et Arc x x1 1 1 2, , sin sin cos sinb g b g

(MATH05E04C)

Petit piège, il faut encadrer Arc Arcsin sin4

6+ et conclure.

(MATH05E05A)

Il faut démontrer que la fonction est impaire et de période 2π

Elle admet la droite d'équation X = π2

comme axe de symétrie

On prendra donc 02

,πLNMOQP comme intervalle d'étude

Enfin Sur f X Arc X X02

, , sin sinπLNMOQP = =b g b g permet de terminer l’étude.

(MATH05E05B)

Il faut chercher l’ensemble de définition et démontrer :

D x R x etx x

g = ∈ − ≥ + − ≤RS|T|

= −/ ,1 01

21 1 12

Il faut penser au changement de variable :

xArc x

∈ −LNMOQP

⇔=∈ −RST

ϕ π πϕ

2 21 1

Se ramener à g x Arcb g = +FHGIKJ

IKJsin sin ϕ π

4 et à l’exercice MATH05E05A avec

X = +ϕ π4

(MATH05E05C)

On démontre que : D x R x et x xg = ∈ − ≥ −FH IK ≤RST

UVW = −1 0 2 1 1 1 12 2 ;

On Effectue ensuite le changement de variable :

xArc x

∈ −LNMOQP

⇔=∈ −RST

ϕ π πϕ

2 21 1

On se ramène à g Arcsin sin sinϕ ϕb g b g= 2 et à l’exercice MATH05E05A avec

X = 2ϕ

(MATH05E06A)

Si y est une valeur usuelle, on calcule cos y puis Arc y ycos cosb g =

Exemple : Arc Arccos cos cos−FHGIKJ

FHGIKJ =π π

Sinon, il faut appliquer la formule suivante : ∀ ∈ =y Arc y y0; , cos cosπ b gDonc si y ∉ 0;π il faut utiliser la périodicité ou les propriétés de symétrie des

Exemple : Arc Arc Arccos cos cos cos cos cos11

π π π π πFHG

IKJ = −F

IKJ = F

HGIKJ =

(MATH05E06B)

Il faut encadrer Arc Arccos cos1

4+ et conclure.

(MATH05E06C)

Il faut montrer que 01

4< + <Arc Arccos cos π donc comme la fonction

x Arc x! cos est strictement décroissante de −1 1 0, ,sur π

L'équation Arc Arc Arc xcos cos cos1

4+ = admet donc une solution α et une

seule dans l'intervalle −1 1;

En calculant le cosinus des deux membres, et en utilisant les formules :

cos cos cos sin sin sin cosa b a b a b et Arc A A+ = − = −b g b g 1 2

Conclure.

(MATH05E07A)

On peut utiliser les formules de l’angle moitié : coscos2 1 2

a= + et

sincos2 1 2

a= −

(MATH05E07B)

Il faut étudier les fonctions f x Arc x1: cos cos! b g et f x Arc x21

22: cos cos! b gc h

Trouver la période et se placer sur des intervalles où l’on peut conclure.

(MATH05E08A)

Si y est une valeur usuelle, on calcule tan y puis Arc y ytan tanb g =

Exemple : Arc Arctan tan tan4

π πFHGIKJ

IKJ = =d i

Sinon, il faut appliquer la formule suivante : ∀ ∈ −OQPLNM =y Arc y y

π π2 2

; , tan tanb g

Donc si y ∉ −OQPLNM

π π2 2

; il faut utiliser la périodicité ou les propriétés de symétrie des

Exemple : Arc Arc Arctan tan tan tan tan tan9

π π π π πFHGIKJ = −FHG

IKJ = −FHG

IKJ = −

(MATH05E08B)

On pose u Arc Arc= +tan tan1

Montrer que u ∈ OQPLNM0

On pourra utiliser : tantan tan

tan tana b

a b+ = +

−b g

1 et ∀ ∈ =x R Arc x x, tan tanb g

(MATH05E08C)

Vous devez trouver ′ =f xb g 0 . En déduire que f est constante et trouver cette

constante en prenant une valeur particulière simple.

(MATH05E04A)

• a Arc= FHGIKJsin sin

∀ ∈ −LNMOQP =y Arc y y

π π2 2

, , sin sinb g

La formule précédente s'applique puisque π4

appartient à l'intervalle −LNMOQP

π π2 2

a Arc= FHGIKJ =sin sin

π π4 4

• b Arc= FHGIKJsin sin

on utilise les valeurs des lignes trigonométriques des angles donnés :

b Arc Arc= FHGIKJ =

FHGIKJ =sin sin sin

on peut aussi utiliser la relation sin sinπ α− =xb g

b Arc Arc Arc= FHGIKJ = −FHG

IKJ = F

HGIKJ =sin sin sin sin sin sin

π π π π π

• c Arc= FHGIKJsin sin

sin sin sin3

π π π π= −FHGIKJ = et 2

π π π∈ −LNMOQP,

donc c Arc Arc= FHGIKJ = F

HGIKJ =sin sin sin sin

π π π

• d Arc= FHG

IKJsin sin

sin sin sin11

π π π π= −FHGIKJ = −FHG

IKJ et − ∈ −LNM

π π π,

donc d Arc Arc= FHG

IKJ = −FHG

IKJ = −sin sin sin sin

π π π

Si vous avez éprouvé des difficultés pour résoudre cet exercice, nous vous

conseillons vivement de faire l’exercice ci-dessous.

(MATH05E04B)

La fonction x Arc x! sin est strictement croissante de − −OQPLNM1 1

2 2, ,sur

5 3< < ⇒ < <π π

Arc sin

13 6< < ⇒ < <Arc sin

et en faisant la somme:

π π4

13 2< + <Arc Arcsin sin

La fonction x Arc x! sin est une bijection de − −OQPLNM1 1

2 2, ,sur

L'équation Arc Arc Arc xsin sin sin4

13+ = admet une solution α et une seule

dans l'intervalle −11,

Calculons le sinus des deux membres, et utilisons :

∀ ∈ − = = −x Arc x x et Arc x x1 1 1 2, , sin sin cos sinb g b g

α = +FHG

IKJ = F

HGIKJ +

IKJsin sin sin cos sin cos sinArc Arc Arc Arc

on obtient:

α = − + − = ∈ −4

651 1avec a ;

Comme nous avons montré l'existence et l'unicité de la solution:

α = 63

65 est la seule solution de l’équation : Arc Arc Arc xsin sin sin

Remarque : En prenant le sinus des deux membres, on cherche les solutions de l'une

des équations :

Arc x Arc Arc k k Zsin sin sin= + + ∈4

132 1 1π

Arc x Arc Arc k k Zsin sin sin= − +FHG

IKJ + ∈π π4

132 2 2

(MATH05E04C)

La fonction x Arc x! sin est strictement croissante de − −OQPLNM1 1

2 2, ,sur

5 3< < ⇒ < <π π

Arc sin

6 3< < ⇒ < <π π

Arc sin

et en faisant la somme:

π π2

3< + <Arc Arcsin sin

Or Arc xsin ,∈ −LNMOQP

π π2 2

Donc l'équation Arc Arc Arc xsin sin sin4

6+ = n'admet pas de solution

conseillons vivement de consulter votre tuteur.

(MATH05E05A

La fonction est définie et continue sur R, elle est périodique de période 2π car

∀ ∈ + ∈ + =X R X R et f X f X, 2 2π πb g b g b g

on l'étudie sur un intervalle de longueur 2π

Les fonctions sinus et Arcsinus étant impaires, leur composée est impaire. En effet :

∀ ∈ − = − = − = −

∀ ∈ − ∈ − = −

X D f X Arc X Arc X Arc X

Donc X D X D et f X f X

, sin sin sin sin sin sin

b g b gc h b g b gb g b g

De plus ∀ ∈ − = − = =X f X Arc X Arc X f X0 , , sin sin sin sinπ π πb g b gc h b g b g

La droite d'équation X = π2

est axe de symétrie, on prendra 02

,πLNMOQP comme

intervalle d'étude

Sur f X Arc X X02

, , sin sinπLNMOQP = =b g b g

La courbe représentative de f s'obtient à partir du segment de la droite

D d équation y X: ' = correspondant à l'intervalle 02

,πLNMOQP et en faisant

successivement la symétrie par rapport à la droite d'équation X = π2

, puis la

symétrie par rapport à l'origine et enfin les translations de vecteur k V→

V i j et k→ → →

∗= + ∈2 0π Z

(MATH05E05B

Cherchons l’ensemble de définition de g.

D x R x etx x

g = ∈ − ≥ + − ≤RS|T|

/ 1 01

La première condition est réalisée si et seulement si x ∈ − 1 1,

La deuxième condition est réalisée si et seulement si

x x x x+ −FH IK ≤ ⇔ − ≤1 2 2 1 122

Pour x ∈ − 1 0; , cette condition est satisfaite.

Pour x ∈ 0 1; , elle équivaut à : 4 1 1 2 1 02 2 2 2x x x− ≤ ⇔ − ≥e j e j toujours vraie.

La fonction g x Arcx x

: sin!+ −1

est définie et continue sur −1 1,

2 21 1, ,sur Dg

La forme du numérateur doit nous faire penser au changement de variables :

xArc x

∈ −LNMOQP

⇔=∈ −RST

ϕ π πϕ

2 21 1

2 2− = = ∈ −LNMOQPsin cos cos ,ϕ ϕ ϕ ϕ π π

et l'on obtient

g x g Arc Arcb g b g= = +FHG

IKJ = +FHG

IKJsin sin sin cos sin sinϕ ϕ ϕ ϕ π1

On retrouve l'exercice MATH05E05A avec X = +ϕ π4

• Si alors et g xϕ π π ϕ π π π ϕ π∈ −LNMOQP + ∈ −LNM

OQP = +

2 4 4 4 2 4, , b g

soit si x alors g x Arc x∈ −LNM

2 4, , sinb g π

• Si alors et g xϕ π π π ϕ π π π π ϕ π∈ OQPOQP − +FHG

IKJ ∈LNMLNM = − +FHG

IKJ4 2 4 4 2 4

, , b g

soit si x alors g x Arc x∈OQPOQP

= −2

4, , sinb g π

(MATH05E05C)

Déterminons l'ensemble de définition :

D x R x et x xg = ∈ − ≥ −FH IK ≤RSTUVW1 0 2 1 12 2

On peut étudier la fonction auxiliaire u x x x: ! 2 1 2−

Du = −1 1, et u est une fonction impaire, dérivable sur −1 1; avec

x' ( ) = −

2, u u et u0 1 0

21b g b g= = F

HGIKJ = . La fonction f est croissante sur

2;LNMOQP et décroissante sur

LNMOQP

Donc ∀ ∈ − ∈ − = −x u x et Dg1 1 1 1 1 1, , ; ,b g

2 21 1, ,sur Dg

Effectuons le changement de variable :

xArc x

∈ −LNMOQP

⇔=∈ −RST

ϕ π πϕ

2 21 1

On obtient

g x g Arc Arcb g b g= = −FH IK = FH IKsin sin sin sin sin sin cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ2 1 22 2

comme cos ,ϕ ϕ π π≥ ∈ −LNMOQP0

2 2pour , on a : cos cos2 ϕ ϕ=

Donc : g Arcsin sin sinϕ ϕb g b g= 2

On retrouve l'exercice E05A avec X = 2ϕ

• ϕ π π π ϕ π π ϕ π ϕ∈ − −LNMOQP ⇒ − + ∈ −LNM

OQP = − −

2 42 2

20 2 2; ; sin sinb g b get Arc

Pour x on a g x Arc x∈ − −LNM

= − −12

22, , sinb g π

• ϕ π π ϕ π π ϕ ϕ∈ −LNMOQP ⇒ ∈ −LNM

2 22 2, , sin sinet Arc b g

pour x on a g x Arc x∈ −OQP

22, , sinb g

• ϕ π π π ϕ ϕ π ϕπ∈ LNMOQP ⇒ − ∈ = −

4 22 0 2 22, , sin sinet Arc b g

pour x alors g x Arc x∈OQPOQP

= −2

21 2, , sinb g π

(MATH05E06A

∀ ∈ =y Arc y y0 , , cos cosπ b g

Pour a et b, on peut donc utiliser la formule directement.

• a Arc= FHGIKJ =cos cos

π π4 4

et b Arc= =cos(cos )3

• c Arc= FHG

IKJcos cos

cos cos cos cos7

π π π π π= −FHGIKJ = −FHG

π appartient à l’intervalle 0;π

Donc c Arc= FHG

IKJ =cos cos

• d Arc= FHGIKJcos

cos cos cos11

π π π π= −FHGIKJ =

π appartient à l’intervalle 0;π

Donc d Arc= FHG

IKJ =cos cos

(MATH05E06B

La fonction x Arc x! cos est strictement décroissante de −1 1 0, ,sur π

3 3< ⇒ >Arccos

4 3< ⇒ >Arccos

et donc : Arc Arccos cos1

3+ > π

Comme Arc xsin appartient à l’intervalle −LNMOQP

π π2 2

l'équation Arc Arc Arc xcos cos sin1

4+ = n'admet pas de solution

(MATH05E06C)

La fonction x Arc x! cos est strictement décroissante de −1 1 0, ,sur π

3 2< < ⇒ < <π π

Arccos

4 2< < ⇒ < <π π

Arccos

et donc : 2

π π< + <Arc Arccos cos

La fonction x Arc x! cos bijective de −1 1 0, ,sur π

l'équation Arc Arc Arc xcos cos cos1

4+ = admet donc une solution α et une seule

dans l'intervalle −1 1;

En calculant le cosinus des deux membres, et en utilisant les formules :

cos cos cos sin sin sin cosa b a b a b et Arc A A+ = − = −b g b g 1 2

On trouve :

α = +FHG

IKJ = − −FHG

IKJ − FHG

IKJcos cos cos .Arc Arc

α = −1 2 30

12 est la seule solution de l'équation Arc Arc Arc xcos cos cos

(MATH05E07A)

• La fonction f x Arc x: cos cos! 2 1

IKJ est définie pour x ∈ − 1 1;

Utilisons les formules de l’angle moitié : coscos2 1 2

Donc, on obtient :

∀ ∈ − = + = +x f x Arc x

2, , cos cosb g b gc h

• La fonction f x Arc x: sin cos! 2 1

IKJ est définie pour x ∈ − 1 1;

Utilisons les formules de l’angle moitié : sincos2 1 2

a= −

Donc, on obtient :

∀ ∈ − = − = −x f x Arc x

2, , cos cosb g b gc h

(MATH05E07B)

La fonction f x Arc x1: cos cos! b g est définie et continue sur R, de période 2π .

Elle est paire.

∀ ∈ = =x f x Arc x x0 1, , cos cosπ b g b g

La fonction f x Arc x21

22: cos cos! b gc h est définie et continue sur R de période π et

paire.

pour x f x Arc x x

∈ LNMOQP = =

∈ OQPOQP = = − +

, , cos cos

π π π

b g b g

La fonction f x Arc x Arccoc x: cos cos cos! b g b gc h+ 1

22 est définie et continue sur R

de période π et paire.

Pour x f x x

Pour x f x

∈ LNMOQP =

∈ OQPOQP =

π π π

On trace la courbe représentative de f sur 0 ,π et on effectue la symétrie par

rapport à yOy ′ et les translations de vecteur k V→

avec V i j et k Z→ → →

∗= + ∈2 0π

Représentation graphique:

DESSIN13

(MATH05E08A)

• a Arc Arc= FHGIKJ = =tan tan tan

π π4

• b Arc Arc= FHGIKJ = − = −tan tan tan

π πb g

• c Arc= FHGIKJtan tan

On doit se ramener à l’intervalle −OQPLNM

π π2 2

, , afin d’utiliser Arc y ytan tanb g =

La fonction tangente admet pour période π et donc tan tanα π α− =b g

c Arc Arc Arc= FHGIKJ = −FHG

IKJ = −FHG

IKJtan tan tan tan tan tan

π π π π

Or − ∈ −OQPLNM

11 2 2

π π π, donc c Arc= F

HGIKJ = −tan tan

• d Arc= FHG

IKJtan tan

La fonction tangente admet pour période π et donc tan tanα π α− =2b g

d Arc Arc Arc= FHG

IKJ = −F

IKJ = −FHG

IKJtan tan tan tan tan tan

π π π π

π appartient à − ∈ −OQP

π π π, donc d Arc= F

HGIKJ = −tan tan

(MATH05E08B

u Arc Arc= +tan tan1

La fonction x Arc x! tan est strictement croissante sur R.

2 4< < ⇒ < <Arc tan

3 4< < ⇒ < <Arc tan

et en faisant la somme : 01

3 4 4 2< + < + =Arc Arctan tan

π π π

Donc u ∈ OQPLNM0

, on peut calculer tan u

tantan tan

tan tana b

a b+ = +

−b g

1 et ∀ ∈ =x R Arc x x, tan tanb g

tanu =+

− ×=

sur u u Arc02

, , tan tanπ πOQPLNM = ⇔ = =

Remarque: la formule tanu = 1, déterminerait u à k prèsπ

En utilisant la relation du cours :

Arc x Arcx

avec xtan tan+ = >1

pour les valeurs x puis x= =2 3

On obtient : u Arc Arc u= −FHGIKJ + −FHG

IKJ = −π π π

3tan tan

d'où u Arc Arc= + =tan tan2 33

(MATH05E08C)

f est définie et dérivable sur R

x x x x

' ( ) =+

++ + −FH IK

++ − +

++ + −FH IK

Donc ′ =f xb g 0 ce qui prouve que f est constante sur D.

La valeur de cette constante est obtenue par exemple pour x = 0 : f 02

b g = π

Par conséquent, ∀ ∈ + + −FH IK =x R Arc x Arc x x, tan tan2 12

L'équation Arc x Arc x xtan tan( )+ + − =2 12

2 π est vérifiée ∀ ∈x R

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