28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet1 Cours de graphes Les arbres et arborescences. Les...

28 février 2006 Cours de graphes 3 - Intranet 1

Cours de graphesCours de graphes

Les arbres et arborescences.Les arbres et arborescences.

Les arbres de recouvrement.Les arbres de recouvrement.

Les arbres de recouvrement minimaux.Les arbres de recouvrement minimaux.

Applications.Applications.

Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•ArbresArbres•Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphesColoriage de graphes•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets

Les arbresLes arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Un arbre (non orienté) !Un arbre (non orienté) !

Une arborescence (orientée) !Une arborescence (orientée) !

• Définitions :Définitions :

– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe existe un et un seul cheminun et un seul chemin entre toute paire de entre toute paire de sommets.sommets.

• Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .léger, . . .

– Une arborescence est un graphe orienté Une arborescence est un graphe orienté quasi-quasi-fortement connexefortement connexe tel qu’il existe tel qu’il existe un et un seul un et un seul chemin orientéchemin orienté de la racine vers tout autre de la racine vers tout autre sommet.sommet.

– Une arborescence est un graphe orienté Une arborescence est un graphe orienté quasi-quasi-fortement connexefortement connexe tel qu’il existe tel qu’il existe un et un seul un et un seul chemin orientéchemin orienté de la racine vers tout autre sommet. de la racine vers tout autre sommet.

• D’abord, il n’y a qu’une seule racine !D’abord, il n’y a qu’une seule racine !

– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul cheminun et un seul chemin entre toute paire de sommets. entre toute paire de sommets.

• Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .

– Une arborescence est un graphe orienté Une arborescence est un graphe orienté quasi-quasi-fortement connexefortement connexe tel qu’il existe tel qu’il existe un et un seul chemin un et un seul chemin orientéorienté de la racine vers tout autre sommet. de la racine vers tout autre sommet.

• On n’a pas de chemins multiples,On n’a pas de chemins multiples, ni de circuits !ni de circuits !

– Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul cheminun et un seul chemin entre toute paire de sommets. entre toute paire de sommets.

• Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . .

– Une arborescence est un graphe orienté Une arborescence est un graphe orienté quasi-quasi-fortement connexefortement connexe tel qu’il existe tel qu’il existe un et un seul chemin un et un seul chemin orientéorienté de la racine vers tout autre sommet. de la racine vers tout autre sommet.

• On n’a pas de chemins multiples,On n’a pas de chemins multiples, ni de circuits !ni de circuits !

• Uniquement pour les graphes non orientés :Uniquement pour les graphes non orientés :

– Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets.sommets.

– Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle.cycle.

• Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 :

– Par absurde, s’il y avait des cycles . . .Par absurde, s’il y avait des cycles . . .

• Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 :

– Par absurde, s’il y avait des cycles . . . il y aurait plusieurs Par absurde, s’il y avait des cycles . . . il y aurait plusieurs chemins, ce qui est contraire à l’hypothèse !chemins, ce qui est contraire à l’hypothèse !

• Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 : OK !OK !

• Déf 2 => Déf 1 :Déf 2 => Déf 1 :

– Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . uu vv

• Déf 1 => Déf 2 :Déf 1 => Déf 2 : OK !OK !

• Déf 2 => Déf 1 :Déf 2 => Déf 1 :

– Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . il y aurait des Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . il y aurait des cycles, ce qui est contraire à l’hypothèse !cycles, ce qui est contraire à l’hypothèse !

Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe, sans cycles Connexe, sans cycles

Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe,Connexe, sans cycles sans cycles

Des définitionsDes définitionséquivalentes baséeséquivalentes baséessur la connexité !sur la connexité !

Les chemins uniques Les chemins uniques Connexe,Connexe, sans cycles sans cycles

Des définitionsDes définitionséquivalentes baséeséquivalentes baséessur la connexité !sur la connexité !

Des définitionsDes définitionséquivalentes baséeséquivalentes baséessur l’absence de cycles !sur l’absence de cycles !

Connexe, minimalConnexe, minimal

Définition :Définition :Un graphe est connexe, minimalUn graphe est connexe, minimals’il est connexe et n’a pas pluss’il est connexe et n’a pas plusd’arêtes qu’aucun autre graphed’arêtes qu’aucun autre grapheconnexe !connexe !

Connexe, minimal => connexe, sans cycles :Connexe, minimal => connexe, sans cycles :

Par absurde ! S’il y avait des cycles,Par absurde ! S’il y avait des cycles,nous pourrions enlever une arêtenous pourrions enlever une arêtesans casser la connexité.sans casser la connexité.Ceci est contraire à l’hypothèseCeci est contraire à l’hypothèseque le graphe est minimal !que le graphe est minimal !

Connexe, minimalConnexe, minimal =>

Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes

Les implicationsLes implicationsque nous allonsque nous allonsprouver !prouver !

Connexe avec | V | Connexe avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>

Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtreconnexe, il faut | V | connexe, il faut | V | -- 1 1

arêtes au moins !arêtes au moins !

Par induction sur | V | :Par induction sur | V | :

- Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !- Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes !

- Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | -- 1 1 autres sommets, il faut au moins | V | autres sommets, il faut au moins | V | -- 2 arêtes. 2 arêtes.

- Ensuite, il faut au moins une arête pour relier « u » aux autres !- Ensuite, il faut au moins une arête pour relier « u » aux autres !

Les chemins uniques Les chemins uniques =>=>

- Les chemins uniques impliquent la connexité !- Les chemins uniques impliquent la connexité !

- Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nousIl existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nous pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! !pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! !

- Enlevez le sommet « u » de degré 1 et son unique arête !Enlevez le sommet « u » de degré 1 et son unique arête ! Recommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniquesRecommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniques et a un sommet et une arête en moins !et a un sommet et une arête en moins !

Sans cycles, maximalSans cycles, maximal

Définition :Définition :Un graphe est sans cycles,Un graphe est sans cycles,maximal s’il est sans cycles etmaximal s’il est sans cycles etn’a pas moins d’arêtes qu’aucunn’a pas moins d’arêtes qu’aucunautre graphe sans cycles !autre graphe sans cycles !

Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles :Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles :

Par absurde ! S’il y était nonPar absurde ! S’il y était nonconnexe, nous pourrions ajouterconnexe, nous pourrions ajouterune arête sans créer de cycle.une arête sans créer de cycle.Ceci est contraire à l’hypothèseCeci est contraire à l’hypothèseque le graphe est maximal !que le graphe est maximal !

Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes

=>>>Les implicationsLes implications

que nous allonsque nous allonsprouver !prouver !

Sans cycles avec | V | Sans cycles avec | V | -- 1 arêtes 1 arêtes=>=>

Prouvons que pour êtreProuvons que pour êtresans cycles, on peut avoirsans cycles, on peut avoir | V | | V | -- 1 arêtes au plus ! 1 arêtes au plus !

- Trivial pour 1 sommet !- Trivial pour 1 sommet !

- Soit « u » un sommet de degré 1.Soit « u » un sommet de degré 1.

- Les | V | Les | V | -- 1 autres sommets comportent au plus | V | 1 autres sommets comportent au plus | V | -- 2 arêtes. 2 arêtes.

- Les chemins uniquesLes chemins uniques interdisent les cycles !interdisent les cycles !

- Il existe au moins unIl existe au moins un sommet « u » de degré 1 !sommet « u » de degré 1 !

- Enlevez ce sommet et son arête !- Enlevez ce sommet et son arête !

- Recommencez pour le graphe- Recommencez pour le graphe restant qui est à cheminsrestant qui est à chemins uniques et a un sommet et une arête en moins !uniques et a un sommet et une arête en moins !

Nous n’avons pas la connexitéNous n’avons pas la connexité

avec moins de | V | avec moins de | V | -- 1 arêtes 1 arêtes

Nous n’avons pas l’absence de cyclesNous n’avons pas l’absence de cycles

avec plus de | V | avec plus de | V | -- 1 arêtes 1 arêtes

. . . mais nous pouvons. . . mais nous pouvons avoir des cycles !avoir des cycles !

. . . mais nous pouvons. . . mais nous pouvons ne pas avoir la connexité !ne pas avoir la connexité !

. . . mais nous pouvons. . . mais nous pouvons avoir des cycles !avoir des cycles !

. . . mais nous pouvons. . . mais nous pouvons ne pas avoir la connexité !ne pas avoir la connexité !

Les arborescencesLes arborescences----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une arborescence peut être caractérisée comme suit.Une arborescence peut être caractérisée comme suit.

– Elle possède | V | Elle possède | V | -- 1 arcs. 1 arcs.

– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.unitaire.

– Un sommet a un degré entrant nul.Un sommet a un degré entrant nul.

• Preuve :Preuve :

– Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet !

– Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul !

– Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint !Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint !

– Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire.

– Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés !par hypothèse les propriétés !

– Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés !hypothèse les propriétés !

– Il en sera de même pour tout le graphe.Il en sera de même pour tout le graphe.

– Nous enlevons « u » et l’arc ( x , u ) qui l’atteint !Nous enlevons « u » et l’arc ( x , u ) qui l’atteint !

– Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés !hypothèse les propriétés !

– Il en sera de même pour tout le graphe.Il en sera de même pour tout le graphe.

• Toute arborescence peut être transformée en arbre !Toute arborescence peut être transformée en arbre !

– Il suffit de changer les arcs en arêtes.Il suffit de changer les arcs en arêtes.

– Nous aurons | V | Nous aurons | V | -- 1 arêtes. 1 arêtes.

– La connexité forte depuis la racine entraîne la La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.connexité.

• Tout arbre peut être transformé en arborescence en Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !nous laissant le choix de la racine !

– Nous choisissons la racine « u » et transformons toute Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , v ) en arc.arête ( u , v ) en arc.

– La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.

• Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !laissant le choix de la racine !

– Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , v ) en arc.v ) en arc.

– Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant « v » comme racine.« v » comme racine.

– La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité.

• Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine !laissant le choix de la racine !

– Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , v ) en arc.v ) en arc.

– Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant « v » comme racine.« v » comme racine.

Les arbres de recouvrementLes arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un arbre.arbre.

– Nous préservons la connexité !Nous préservons la connexité !

– Nous n’avons pas de cycles !Nous n’avons pas de cycles !

– Nous avons un nombre minimal d’arêtes !Nous avons un nombre minimal d’arêtes !

– L’arbre de recouvrement n’est pas unique en L’arbre de recouvrement n’est pas unique en général !général !

– L’arbre de recouvrement n’est pas unique en L’arbre de recouvrement n’est pas unique en général !général ! Un arbre deUn arbre de

recouvrement !recouvrement !

Un autre arbre deUn autre arbre derecouvrement !recouvrement !

• Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme :Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme :

– Tant que le graphe contient un cycle :Tant que le graphe contient un cycle :

– Enlever une des arêtes du cycle !Enlever une des arêtes du cycle !

• Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme :Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme :

– Tant que le graphe contient un cycle :Tant que le graphe contient un cycle :

– Enlever une des arêtes du cycle !Enlever une des arêtes du cycle !

• Complexité :Complexité :

– Il faut enlever jusqu’à O ( | E | ) arêtes !Il faut enlever jusqu’à O ( | E | ) arêtes !

– Trouver un cycle est en O ( | E | ) !Trouver un cycle est en O ( | E | ) !

– D’où O ( | E |^2 ) = O ( | V |^4 ) !D’où O ( | E |^2 ) = O ( | V |^4 ) !

– C’est beaucoup ! ! !C’est beaucoup ! ! !

• Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :Un algorithme qui ne cherche pas de cycles :

– Choisir une arête ( u , v ) à supprimer !Choisir une arête ( u , v ) à supprimer !

– Si sa suppression ne casse pas la connexité entre Si sa suppression ne casse pas la connexité entre les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) ::

• nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) !nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) !

– Si sa suppression ne casse pas la connexité entre les Si sa suppression ne casse pas la connexité entre les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) :sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) :

• nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) !nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) !

– Si la suppression de ( u , v ) casse la connexité entre Si la suppression de ( u , v ) casse la connexité entre « u » et « v », alors :« u » et « v », alors :

• nous calculons les AR des composantes connexes de nous calculons les AR des composantes connexes de « u » et de « v »« u » et de « v »

• et nous réintroduisons l’arête ( u , v ) à la fin !et nous réintroduisons l’arête ( u , v ) à la fin !

• La suppression de ( u , v ) ne casse pas la La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité :connexité :

• La suppression de ( u , v ) casse la connexité :La suppression de ( u , v ) casse la connexité :

Nous cassonsNous cassonsun cycle !un cycle !

CC ( u )CC ( u ) CC ( v )CC ( v )

CC ( u )CC ( u ) CC ( v )CC ( v )Arbres de recouvrement !Arbres de recouvrement !

CC ( u )CC ( u ) CC ( v )CC ( v )Arbre de recouvrement global !Arbre de recouvrement global !

• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :avons :

– un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traitésun sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités

– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».

– et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ».SS V \ SV \ S

• Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :« S » et une dans « V \ S » :

SS V \ SV \ S

• A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons :

• Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » :une dans « V \ S » :

– nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et

SS V \ SV \ S

uu vvAA

SS V \ SV \ S

uu vvAA

A <A <-- A v { ( u , v ) } et S < A v { ( u , v ) } et S <-- S v { v } S v { v }

SS V \ SV \ S

uu vvAA

A <A <-- A v { ( u , v ) } et S < A v { ( u , v ) } et S <-- S v { v } S v { v }

SS V \ SV \ S

uu vvAA

• L’initialisation :L’initialisation :

– Nous choisissons un sommet « u » au hasard :Nous choisissons un sommet « u » au hasard :

S <S <-- { u } et A < { u } et A <-- { } { }

• Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :Chaque étape rajoute un sommet et une arrête :

– Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre !Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre !

S <S <-- { u } et A < { u } et A <-- { } { }

• Lorsque S = E , nous avons notre arbre de Lorsque S = E , nous avons notre arbre de recouvrement !recouvrement !

S <S <-- { u } et A < { u } et A <-- { } { }

• Lorsque S = E , nous avons notre arbre de recouvrement !Lorsque S = E , nous avons notre arbre de recouvrement !

• La complexité est en La complexité est en ( | V | ) , car nous devons choisir | V ( | V | ) , car nous devons choisir | V | | -- 1 arêtes et prenons les premières que nous trouvons ! 1 arêtes et prenons les premières que nous trouvons !

Arbres de recouvrement minimauxArbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous considérons un graphe non orienté et pondéré Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.minimal.

1515 2020

121288

1515 2020

121288

Un arbre deUn arbre derecouvrementrecouvrementde poids 53 !de poids 53 !

• Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal.

1515 2020

121288

• L’algorithme de Prim !L’algorithme de Prim !

• L’algorithme de Kruskal !L’algorithme de Kruskal !

1515 2020

121288

• L’algorithme de Prim !L’algorithme de Prim !

1515 2020

121288

L’arbre de recouvrementL’arbre de recouvrementminimal sera abrégé en ARM !minimal sera abrégé en ARM !

• L’algorithme de Prim :L’algorithme de Prim :

– Nous choisissons un sommet « u » : S <Nous choisissons un sommet « u » : S <-- { u } et A { u } et A <<-- { } { }

• Le cas général :Le cas général :

– Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » !« A » !

SS V \ SV \ S

L’ARM : AL’ARM : A

SS V \ SV \ S

• Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S :V \ S :

SS V \ SV \ S

– Trouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal etTrouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal et

SS V \ SV \ S

– Trouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal etTrouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal et

S <S <-- S v { v } et A < S v { v } et A <-- A v { ( u , v ) } A v { ( u , v ) }

SS V \ SV \ S

• Un exemple :Un exemple :

O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) )O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) )

O ( O ( | V || V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) )

Il y a | V | - 1Il y a | V | - 1arêtes à choisir !arêtes à choisir !

O ( O ( | V || V | * * D ( G )D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) * log ( | V | * D ( G ) ) )

Lorsque nous traitons « v » , il peutLorsque nous traitons « v » , il peuty avoir jusqu’à D ( v ) nouvellesy avoir jusqu’à D ( v ) nouvellesarêtes avec une extrémité dans « S »arêtes avec une extrémité dans « S »et l’autre dans « V \ S » !et l’autre dans « V \ S » !

O ( O ( | V || V | * * D ( G )D ( G ) * * log ( | V | * D ( G ) )log ( | V | * D ( G ) ) ) )

Recherche par dichotomie, etc,Recherche par dichotomie, etc,parmi | V | * D ( G ) éléments !parmi | V | * D ( G ) éléments !

O ( O ( | V || V | * * D ( G )D ( G ) * * log ( | V | * D ( G ) )log ( | V | * D ( G ) ) ) )

Recherche par dichotomie, etc,Recherche par dichotomie, etc,parmi | V | * D ( G ) éléments !parmi | V | * D ( G ) éléments !

Nous pouvons préciser en :Nous pouvons préciser en :O ( | E | * log ( | E | ) )O ( | E | * log ( | E | ) )

• Preuve de correction, par absurde :Preuve de correction, par absurde :

– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !autre arête !

– L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! !

– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !moins aussi lourde que ( u , v ) !

– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !v ) !

– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !aussi lourde que ( u , v ) !

– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !v ) !

• Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est minimal par hypothèse.fait l’ARM est minimal par hypothèse.

– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !

– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !lourde que ( u , v ) !

– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !

• Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est minimal par hypothèse.minimal par hypothèse.

• Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! !de recouvrement minimaux ! ! !

– Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête !

– Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) !lourde que ( u , v ) !

– Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) !

• Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est minimal par hypothèse.minimal par hypothèse.

• Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! !de recouvrement minimaux ! ! !

– Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde !lourde !

– Nous choisissons | V | Nous choisissons | V | -- 1 arêtes, 1 arêtes,

– en commençant par l’arête la plus légère ( la en commençant par l’arête la plus légère ( la première )première )

– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !

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– . . . à moins que ceci ne crée un cycle !. . . à moins que ceci ne crée un cycle !1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 31 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

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55 77 1212 1717Les composantes connexes :Les composantes connexes :

{ 1 } , { 2 } , { 3 } , { 4 } , { 5 } , { 6 }{ 1 } , { 2 } , { 3 } , { 4 } , { 5 } , { 6 }2727

1 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 31 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

Poids : 0Poids : 0

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{ 1 , 2 }{ 1 , 2 } , { 3 } , { 4 } , { 5 } , { 6 } , { 3 } , { 4 } , { 5 } , { 6 }2727

1 – 21 – 2 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 : 2 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

Poids : 5Poids : 5

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{ 1 , 2 , 4 }{ 1 , 2 , 4 } , { 3 } , { 5 } , { 6 } , { 3 } , { 5 } , { 6 }2727

1 – 21 – 2 : : 2 – 42 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

Poids : 12Poids : 12

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{ 1 , 2 , 4 }{ 1 , 2 , 4 } , { 3 } , { 5 } , { 6 } , { 3 } , { 5 } , { 6 }2727

1 – 21 – 2 : : 2 – 42 – 4 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 : 1 – 4 : 3 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

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{ 1 , 2 , 4 }{ 1 , 2 , 4 } , , { 3 , 5 }{ 3 , 5 } , { 6 } , { 6 }2727

1 – 21 – 2 : : 2 – 42 – 4 : 1 – 4 : : 1 – 4 : 3 – 53 – 5 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 : 4 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3

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{ 1 , 2 , 4 , 6 }{ 1 , 2 , 4 , 6 } , , { 3 , 5 }{ 3 , 5 }2727

1 – 21 – 2 : : 2 – 42 – 4 : 1 – 4 : : 1 – 4 : 3 – 53 – 5 : : 4 – 64 – 6 : 5 – 6 : 2 – 3 : 5 – 6 : 2 – 3

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{ 1 , 2 , 4 , 6{ 1 , 2 , 4 , 6 , , 3 , 5 }3 , 5 }2727

1 – 21 – 2 : : 2 – 42 – 4 : 1 – 4 : : 1 – 4 : 3 – 53 – 5 : : 4 – 64 – 6 : : 55 –– 66 : 2 – 3 : 2 – 3

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{ 1 , 2 , 4 , 6{ 1 , 2 , 4 , 6 , , 3 , 5 }3 , 5 }2727

1 – 21 – 2 : : 2 – 42 – 4 : 1 – 4 : : 1 – 4 : 3 – 53 – 5 : : 4 – 64 – 6 : : 55 –– 66 : 2 – 3 : 2 – 3

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{ 1 , 2 , 4 , 6{ 1 , 2 , 4 , 6 , , 3 , 5 }3 , 5 }2727

1 – 21 – 2 : : 2 – 42 – 4 : 1 – 4 : : 1 – 4 : 3 – 53 – 5 : : 4 – 64 – 6 : : 55 –– 66 : 2 – 3 : 2 – 3

• Synthèse : Synthèse :

– L’arbre de recouvrement en L’arbre de recouvrement en ( | V | ) ! ( | V | ) !

– L’arbre de recouvrement minimal en L’arbre de recouvrement minimal en ( | E | * log ( | ( | E | * log ( | E | ) ) !E | ) ) !

• Synthèse : Synthèse :

– L’arbre de recouvrement en L’arbre de recouvrement en ( | V | ) ! ( | V | ) !

– L’arbre de recouvrement minimal en L’arbre de recouvrement minimal en ( | E | * log ( | ( | E | * log ( | E | ) ) !E | ) ) !

• Pour les graphes orientés :Pour les graphes orientés :

– . . . en travaux dirigés !. . . en travaux dirigés !

ApplicationsApplications----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Réalisation d’un réseau de communication : Réalisation d’un réseau de communication :

ParisParisRennesRennes

BordeauxBordeaux

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NiceNiceToulouseToulouse

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LesLesligneslignesenvisagées !envisagées !

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Les devis !Les devis !

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BordeauxBordeaux

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L’ARM coûte 670 !L’ARM coûte 670 !

BordeauxBordeaux

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• Réalisation d’un circuit de voyageur de Réalisation d’un circuit de voyageur de commerce : commerce :

BordeauxBordeaux

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MarseilleMarseille

BordeauxBordeaux

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LesLesparcoursparcoursenvisagés !envisagés !

BordeauxBordeaux

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Les distances !Les distances !

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Coût 670 !Coût 670 !

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Coût 1340 !Coût 1340 !

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Coût 1260 !Coût 1260 !

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Coût 1260 !Coût 1260 !

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BordeauxBordeaux

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Coût 1190 !Coût 1190 !

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Coût 1190 !Coût 1190 !

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Le circuitLe circuitretenu !retenu !

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BordeauxBordeaux

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Variantes d’arbres de recouvrementVariantes d’arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous pouvons, entre autres, construire des variantes Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme comme l’arbre de recouvrement goulot d’étranglementl’arbre de recouvrement goulot d’étranglement : :

– Nous ne sommons pas les poids, mais nous les Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !minimisons !

– L’arête la plus légère est le goulot d’étranglement !L’arête la plus légère est le goulot d’étranglement !

Goulot : 8Goulot : 8

• Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme Nous pouvons, entre autres, construire des variantes comme l’arbre de recouvrement goulot d’étranglementl’arbre de recouvrement goulot d’étranglement : :

– Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !Nous ne sommons pas les poids, mais nous les minimisons !

• Nous pouvons maximiser sur l’ensemble des AR-GE et chercher Nous pouvons maximiser sur l’ensemble des AR-GE et chercher l’arbre pour lequel le goulot est aussi large que possible !l’arbre pour lequel le goulot est aussi large que possible !

Le goulot leLe goulot leplus large : 10plus large : 10

SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Les arbres et arborescences.Les arbres et arborescences.

Les arbres de recouvrement.Les arbres de recouvrement.

Les arbres de recouvrement minimaux.Les arbres de recouvrement minimaux.

Applications.Applications.

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28 février 2006Cours de graphes 3 - Intranet1 Cours de graphes Les arbres et arborescences. Les...

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