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UMN12 COURS MAI 2000
Cycles préparatoires du service de Formation continue de l’INPLCours : Philippe Leclère
Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère
12. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DUPREMIER ORDRE.
1 Généralités sur les équations différentielles
1.1 Définitions diverses
Donnons la définition la plus générale possible d’une équation différentielle.
On considère une fonction f de la variable x, n fois dérivable sur un intervalle I de R.
On appelle équation différentielle, toute relation entre x, f, f ′ , , ( )nf
n est appelé ordre de l’équation différentielle
si 1n = , on parlera d’équation différentielle du premier ordresi 2n = , on parlera d’équation différentielle du deuxième ordre
Intégrer ( ou résoudre ) une équation différentielle, c’est chercher toutes lesfonctions f qui vérifient cette relation.
Chacune de ces fonctions s’appelle une solution, ou intégrale de l’équationdifférentielle.
Le graphe de la fonction solution est appelé courbe intégrale de l’équationdifférentielle.
1.2 Le premier ordre
On peut classer les équations différentielles du premier ordre en trois catégories :
• Equations à variables séparables• Equations homogènes• Equations linéaires
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Dans ce chapitre, nous nous contenterons d’étudier la dernière famille.
2 Equations différentielles linéaires du premier ordre
2.1 Définitions
Dans ce qui suit, le terme intervalle désigne un intervalle de R non réduit à un point.
Soit I un intervalle de R et a, b et c trois fonctions réelles définies et continues dans I.
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation de laforme ou se ramenant à la forme :
( ) ( ) ( ) ( )a x y b x y c x I′ + =
• ( )2 xxy cos x y e′ + = définie sur R.
• ( )22 xx y x y e sin x′ + = + définie sur [ [0;+∞ .
Une fonction y est solution de cette équation différentielle sur I si et seulement si y est dérivable sur I et ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x I , a x y x b x y x c x′∀ ∈ + =
L’équation différentielle 2 xy y e′ + = admet la fonction f définie sur R par
( ) xf x e= comme solution. En effet, f est dérivable sur R et 2x x xe e e+ = .
L’équation différentielle linéaire du premier ordre est dite normalisée si et seulementsi 1a = soit : ( ) ( ) ( )y a x y b x I′ + =
Dans tout ce qui suit, on ne considérera que des équations normalisées
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L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre)est
( ) ( )0y ' a x y II+ =
2.2 Résolution de l’équation sans second membre (II).
On pose ( ) ( )0y ' a x y II+ =
On admettra sans démonstration, le théorème suivant :
a étant une fonction continue sur I, elle admet sur I des primitives . Soit A une de cesprimitives.L’ensemble des solutions sur I de l’équation différentielle ( )II est l’ensemble
( )0 A x
I RS
x Ke ; K R−
→ = ∈ !
On considère l’équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par :
( ) ( )21 2 0x y xy I′+ − =
Cette équation peut être normalisée sans problème car ( )21 0x R, x∀ ∈ + >
( ) ( )2
20
1
xI y y
x′⇔ − =
+
En appliquant le théorème ci-dessus, on obtient :
( ) ( )20 21 1ln x
R R R RS
x K x ; K Rx Ke ; K R+
→ → = = + ∈ ∈ !!
2.3 Résolution de l’équation complète (I)
2.3.1 Théorème général
On admettra sans démonstration, le théorème suivant :
La solution générale de l'équation complète (I) est la somme de la solution généralede l'équation sans second membre (II) et d'une solution particulière de l'équationcomplète (I).
( ) ( ) ( )SG I SG II SP Iy y y= +
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C'est le principe de superposition des solutions (dû à la linéarité de l'équationdifférentielle).
2.3.2 Recherche d’une solution particulière de l’équation complète (I).
• Recherche d’une solution évidente
Avant de se lancer dans un calcul compliqué, on regarde la forme de l’équationdifférentielle et on essaie de deviner une solution de l'équation complète (I).Puis on applique le principe de superposition des solutions. Ce même principes'applique aussi dans le cas où le second membre est la somme de plusieursfonctions.
Soit l’équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par :
( )2 21 2 1x y xy x′+ − = −
On « voit » que la fonction x x! est solution « évidente » de cette équationdifférentielle.
La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction f définie par :
( )21x K x x, K R+ + ∈!
C’est la somme d’une solution particulière de l’équation complète et de la solutiongénérale de l’équation sans second membre.
Dans le cas où il n'apparaît pas de solution évidente, on applique le principe devariation de la constante.
• Méthode de variation de la constante.
On considère l’équation sans second membre définie sur un intervalle I de R, avec acontinue sur I : ( ) ( )0y ' a x y II+ =
(Cette méthode n'est valable que pour des équations linéaires)
On considère la solution générale de l’équation sans second membre :( )A xx Ke , K R− ∈! où A est une primitive de a sur I
Supposons que la constante K soit une fonction de x dérivable sur I et que la fonction
( ) ( )A xx K x e−! soit solution de (I)
En dérivant la fonction y et en reportant dans (I), les calculs se simplifient et l'ondéduit ( )K x′ puis ( )K x par primitivation et enfin la solution particulière y.
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On considère l’équation différentielle définie sur tout intervalle ] [0I ;⊂ +∞ par
( )21xy y x I
x
−′ + =
Cette équation est normalisée.
• On résout l’équation sans second membre 1
0x
y yx
−′ + =
Une primitive de 1x
xx
−! sur I est : ( )x x ln x−!
Donc la solution générale est la fonction ( )x ln xx Ke , K R− + ∈! soit :xx Kxe , K R− ∈!
• On cherche une solution particulière de l’équation complète en utilisant laméthode de variation de la constante. On suppose que K est dérivable sur I et que
( ) xy : x K x xe−! est solution de l’équation complète.
Cela donne :
( ) ( ) ( )( )x x xy x K x xe K x e xe− − −′ ′= + −
On remplace dans ( )I
( ) ( )( ) ( ) 21x x x xxK x xe K x e xe K x xe x
x− − − −−′ + − + =
Comme prévu, les termes en K s’éliminent, il reste alors :
( ) ( )2x xK x xe x K x xe−′ ′= ⇔ =
On intègre maintenant cette équation différentielle : ( ) ( )1 xK x x e , Rλ λ= − + ∈
La fonction : ( ) ( )1 1x xy : x x e xe x x−− = −! est solution particulière de
l’équation différentielle complète.
• La solution générale est donc la fonction ( )1 xy : x x x Kxe , K R−− + ∈!
2.4 Existence et unicité d'une solution satisfaisant une condition initiale (problème deCauchy)
Pour tout couple ( )0 0x , y I R∈ × , il existe une solution et une seule y de (I) sur I telle
que : ( )0 0y x y=
Résoudre l’équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par :
( )2 2 0 2y ' xy x et y+ = =L'équation est linéaire et normalisée.
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• L'équation sans second membre est : ( )02 0y' xy E+ =La fonction 2x x! est continue sur I et admet donc des primitives sur I , lasolution générale de l’équation sans second membre est donc la fonction
2
1xy : x Ke , K R− ∈!
• La fonction constante 2 1y : x ! est solution évidente de l’équationdifférentielle complète.
• Le principe de superposition des solutions donne la solution générale f de
l’équation différentielle sur I : 2
1 xf : x Ke−+!
• En tenant compte de la condition initiale ( ) ( )0 0 2y f= =On obtient : 1 2 1λ λ+ = ⇔ =La solution de l’équation différentielle qui vérifie sur I : ( )0 2y = est donc la
fonction définie sur I par : 2
1xx e− +!
(MATH12E01A)
Résoudre sur tout intervalle I de R l’équation différentielle :
( )21 0 1 1x y' y et y+ − = =
2.5 Problème des raccords.
Dans les paragraphes précédents, nous n’avons traité que le cas de l’équationdifférentielle normalisée : ( ) ( ) ( )y a x y b x I′ + =
Nous allons maintenant traiter le cas général : ( ) ( ) ( ) ( )a x y b x y c x I′ + =
On dit qu'une solution est maximale sur un intervalle ] [a ,b si elle n'est pas
prolongeable sur un intervalle plus grand que ] [a ,b .
On s'appliquera à rechercher les solutions maximales
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Considérons l'équation différentielle définie sur un intervalle I de R :
( ) ( ) ( ) ( )a x y ' b x y c x I+ =On suppose que sur cet intervalle I la fonction a s'annule en un réel et un seul 0x
y est solution de l’équation différentielle ( )I sur I si et seulement si :
• La restriction 1y de y à ] [1 0J , x I= − ∞ ∩ est solution de ( )I sur 1J
• La restriction 2y de y à ] [2 0J x ; I= +∞ ∩ est solution de ( )I sur 2J
• ( ) ( )0 0
0 0
1 2x x x xx x x x
lim y x lim y x l→ →< >
= =
• ( ) ( )
0 00 0
1 2
0 0x x x xx x x x
y x l y x llim lim l
x x x x→ →< >
− −′= =
− −
• ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =
On procède ainsi au raccordement des solutions sur l’intervalle I entier. On s’assureque y est continue en 0x , dérivable en 0x et que le point ( )( )0 0x , y x vérifie
l’équation différentielle pour la valeur ( )0y x′ de la dérivée y′ .
Résoudre et déterminer éventuellement une solution sur R de :
( )22
1
xxy' y I
x+ =
+
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0.
On considère les deux intervalles : ] [ ] [1 20 0I , et I ,= −∞ = +∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé.
• Première étape : résolution de l’équation sans second membre.L'équation sans second membre est : ( )2 0xy' y II+ =On peut sur chacun des intervalles écrire l’équation normalisée associée :
( )20y' y II
x+ =
La fonction 2
xx
! est continue sur chacun des intervalles et admet donc par
exemple ( )2x ln x! comme primitive.
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La solution générale de (II) est donc la fonction y définie par :
] [
] [
112
222
0
0
si x I ,xy
si x I ,x
λ
λ
∈ = − ∞= ∈ = + ∞
• Deuxième étape : solution particulière de l’équation complète.Cherchons une solution particulière de (I) , en utilisant la méthode de variation dela constante
( )2
xy
x
λ= et ( ) ( ) ( )2
4
2x x x xy x
x
λ λ′ −′ =
en reportant dans l'équation (I), il reste après simplification
( )2
2 2
11
1 1
xx
x xλ ′ = = −
+ +d'où on tire une primitive : ( )x x Arc tan xλ = −Une solution particulière est donc la fonction définie par :
0 2
x Arc tan xy
x
−=
• Troisième étape : solution générale obtenue par superposition des solutions
( )] [
] [
112
222
0
0
x Arc tan xsi x I ,
xy f xx Arc tan x
si x I ,x
λ
λ
− + ∈ = − ∞= = − + ∈ = + ∞
• Raccordement sur R
Pour obtenir une solution sur R, il faut "raccorder " les solutions en 0.
• Continuité de la solution en 0
Le dénominateur tend vers 0 lorsque x tend vers 0, une condition nécessairepour obtenir une limite finie est que le numérateur tende aussi vers 0, soitdonc : 1 2 0λ λ= =Choisissons les deux constantes 1 2etλ λ nulles et considérons la fonction f
définie par: ( ) 2* x Arc tan x
x R , f xx
−∀ ∈ =
Le développement limité de la fonction f à l'ordre 1 au voisinage de 0 est
( ) ( )3
xf x xο= +
00
xlim f ( x )→
= , on peut donc prolonger f par continuité en 0 en posant
( )0 0f =
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• Dérivabilité en 0
On obtient :( ) ( )0 1
10 3
f xo
x
−= +
− et
( )0
0 1
0 3x
f xlim
x→
−=
−
On pose ( ) 10
3f ′ =
• Reportons dans l'équation les valeurs trouvées en 0, pour constater que lepoint ( )0 0; est un point d'une courbe intégrale, avec une tangente de pente
1
3.
Conclusion : ( ) ] [ ] [2
0 0
0 0
x Arc tan xsi x , ,
y f x xsi x
− ∈ −∞ ∪ + ∞= = =
avec ( ) 10
3f ′ = est l'unique solution sur R.
(MATH12E02A)
Résoudre l’équation différentielle ( )53xy y x I′ − =Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
3 Exemples divers
3.1 Exemple 1
Résolvons l'équation différentielle 2 1x y y′ + =
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0.
On étudie donc l’équation différentielle sur les intervalles ] [ ] [0 0; et ;−∞ +∞
Sur chaque intervalle, on peut donner la forme normalisée : 2 2
1 1y y
x x′ + =
• Résolution de l’équation homogène 2
10y y
x′ + = :
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La fonction 2
1x
x! est continue sur chacun des ces deux intervalles. Elle y
admet donc des primitives. La fonction 1
xx
−! est une de ces primitives.
La solution de l’équation homogène est donc :
] [
] [
1
1
1
2
0
0
x
x
y e sur ;
y e sur ;
λ
λ
= −∞
= +∞( 1 2,λ λ réels indépendants l'un de l'autre).
• Recherche d’une solution particulière. La fonction constante 1x ! est unesolution particulière évidente de l'équation complète.
• Solution générale de l’équation complète. En appliquant le principe desuperposition des solutions, l'ensemble des solutions de (I) est
( ) ] [
] [
1
1
1
2
1 0
1 0
x
x
e si x ,y f x
e si x ,
λ
λ
+ ∈ − ∞= =
+ ∈ +∞
• Raccordement des solutions en 0 :
• Continuité de la fonction en 01
10
0
1
2 20
0
1 1
1 1 0
x
xx
x
xx
lim e
lim e
λ
λ λ
→<
→>
+ =
+ = ⇔ =
On peut donc prolonger les solutions par continuité en 0 en posant ( )0 1f =
• Dérivabilité en 0
( ) ( ) ( ) ( )11
0 0 00 0 0
0 00 0
0 0x
x x xx x x
y x y y x ylim lim e et lim
x x x
λ→ → →< < >
− − = = =− −
Le prolongement sera dérivable en 0 et ( )0 0f ′ = .
• Vérification dans l’équation différentielle : 0 0 1 1× + =
L’ensemble des solutions de l’équation complète sur R est donc :
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( )1
1 0
1 0
xe si xy f xsi x
λ + <= = ≥
avec ( )0 0f ′ =
(MATH12E03A)
Résoudre l'équation différentielle ( )xxy y e E′ + =Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
3.2 Exemple 2
Soit l'équation différentielle : ( )21 1x y xy′− + =
Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
Le coefficient de y′ s’annule pour 1 1x et x= − = .intégrons l'équation sur chacun des intervalles
] [ ] [ ] [1 2 31 1 1 1I , , I , et I ,= − ∞ − = − = +∞
On se place sur l’un des ces trois intervalles.
On peut alors écrire l’équation normalisée : ( ) ( )2 2
1
1 1
xy y
x x′ + =
− −
• Résolution de l’équation homogène : ( )20
1
xy y
x′ + =
−
La fonction 21
xx
x−! est continue sur chaque intervalle et y admet donc des
primitives. Soit 211
2x ln x−! une de ces primitives.
La solution générale de l’équation homogène est donc :
] [] [
] [
21 1
20 2 2
23 3
1 1
1 1 1
1 1
x si x I ,
y x si x I ,
x si x I ,
λ
λ
λ
− ∈ = − ∞ −= − ∈ = −
− ∈ = + ∞
1 2 3, etλ λ λ étant des constantes réelles indépendantes.
• Recherche d’une solution particulière. On remarque une solution évidente :x x!
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• Solution générale de l’équation complète.
En utilisant le principe de superposition des solutions :
( )] [] [] [
21 1
22 2
23 3
1 1
1 1 1
1 1
x x sur I ,
y x x x sur I ,
x x sur I ,
λ
λ
λ
− + = − ∞ −= − + = −
− + = + ∞
1 2 3, etλ λ λ étant des constantes réelles.
On cherche maintenant à raccorder les solutions en −1 et en 1
• Raccordement en −−−−1
• Continuité de la solution en −1
( ) ( )1 1
1 1
1x xx x
lim f x lim f x→− →−<− >−
= = −
• Dérivabilité en −1
( ) ( ) ( )21
11 1 1
1 1 1
1 1 1 11
1 1 1x x xx x x
f x f x x xlim lim lim
x x x
λλ
→− →− →−<− <− <−
− − − + − − −= = + + + + .
Admet une limite 1 si et seulement si 1 0λ =
( ) ( ) ( )22
21 1 1
1 1 1
1 1 1 11
1 1 1x x xx x x
f x f x x xlim lim lim
x x x
λλ
→− →− →−<− <− <−
− − − + − − −= = + + + +
Admet une limite 1 si et seulement si 2 0λ =
• Vérification dans l’équation différentielle.
( )( ) ( )( )21 1 1 1 1 1− − × + − − =
Conclusion : la fonction x x! est solution sur ] [1;−∞• Raccordement en 1
• Continuité de la solution en 1
( ) ( )1 1
1 1
1x xx x
lim f x lim f x→ →< >
= =
• Dérivabilité de f en 1
Comme pour le raccordement en –1, on montre que
( ) ( ) ( ) ( )2 3
1 11 1
1 11 0
1 1x xx x
f x f f x flim lim
x xλ λ
→ →< >
− −= = ⇔ = =
− −
On vérifie que la fonction x x! vérifie bien l’équation différentielle sur R
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13
(MATH12E04A)
Résoudre l'équation différentielle ( ) 21x y x y x′ + − = .
Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
1.3 Exemple 3
Résolvons l'équation différentielle ( ) ( ) ( )2
11 1
1
x xx x y ' x y
x x
+− + + =
− +L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0 et
−1.On considère les intervalles : ] [ ] [ ] [1 2 30 0 1 1I , I , et I ,= − ∞ = = + ∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1, 2 et 3.
Supposons dorénavant j fixé.
On peut alors considérer l’équation normalisée : ( )( )
( )( )( )2
1 1
1 1 1
x xy ' y
x x x x x
+ ++ =
− − − +
• Résolvons l'équation sans second membre : ( )( )
10
1
xy ' y
x x
++ =
−
La fonction ( )1 1 2
1 1
xx
x x x x
+ = − +− −
! est continue sur jI et admet sur cet
intervalle des primitives, dont une est la fonction : ( )21x
x lnx
−!
La solution générale de l’équation homogène est donc sur jI :
( )
( )
21
0 21
xln
x xy Ke K
x
−−
= =−
, soit finalement :
( )] [
( )] [
( )] [
1 12
0 2 22
3 32
01
0 11
11
xsur I ,
x
xy sur I ,
x
xsur I ,
x
λ
λ
λ
= − ∞ −= =
− = + ∞ −
• Solution particulière de l’équation complète.
Ne remarquant pas de solution évidente, utilisons la méthode de variation de laconstante
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( )( )
( )( )
( )( )
2
2 3
1
1
1 1
xy x
x
x xy x x
x x
λ
λ λ
=−
− −′ ′= +− −
Soit en reportant dans l'équation, il reste après simplification
( ) ( )( )( ) 22
1 1 1 2 1
11
x x xx
x x xx x xλ
− + −′ = = − +− +− +
Soit : ( ) ( )2 1x ln x ln x xλ = − + − +
On obtient donc une solution particulière : ( )
2
2
1
1
x x xy ln
xx
− +=−
• Solution générale :
En utilisant le principe de superposition des solutions
( )
( )] [
( )] [
( )] [
2
1 12
2
1 22
2
1 32
10
1
10 1
1
11
1
x x xln sur I ,
xx
x x xy f x ln sur I ,
xx
x x xln sur I ,
xx
λ
λ
λ
− + + = − ∞ − −
− += = + = −
− + + = + ∞ −
On cherche maintenant à raccorder les solutions en 0 et en 1
• Raccordement en 0
• Continuité en 0 : ( ) ( )0 0
0 0
0x xx x
lim f x lim f x→ →< >
= =
la continuité des solutions en 0 est réalisée quelles que soient les constantes
1 2etλ λ ,
• Dérivabilité en 0 : la solution n'est pas dérivable en 0 car
( ) ( )( )
2
220 00 0
0 1 1
0 1x xx x
f x f x xlim lim ln
x xxλ
→ →> >
− − += + = −∞ − − .
Il n'existe donc pas de solution de l’équation sur ] [ { }1 21 0, I I− ∞ = ∪ ∪ et à
fortiori il n'y a pas de solution sur R.
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• Raccordement en 1
• Continuité en 1
au voisinage de 1 on pose 1 1x h ou x h− = = + :
( )( )
2 2
2 22 21 1 01 1 0
2
2
2 20 00 0
1 1 1
11
111 1
11
1
x x hx x h
h hh h
x x x h h hlim f x lim ln lim ln
x hhx
hln
hh h hOr lim ln lim
hh h
h
λ λ→ → →< < <
→ →< <
− + + + + = + = + +−
+ + + + + = = +
+ Donc f admet une limite 1 en 1 si et seulement si 2 0λ =De même on a :
( )
11
1xx
lim f x→>
= si et seulement si 3 0λ =
Donc: ( ) ( ) 2 31 1
1 1
0 0x xx x
lim f x lim f x λ λ→ →< >
= = ⇔ = =
On peut donc prolonger les solutions en 1 en posant ( )1 1f = ,
• Dérivabilité en 1 :
toujours au voisinage de 1 on a:
( ) ( )( )
2
21 11 1
2
20
1 1 1 1
1 1
1 1 10
1 1
x xx x
h
f x f x xlim lim ln
x x xx
h hlim ln
h hh
→ →< >
→
− − + = − − −
+ += − = + + le prolongement sera dérivable en 1 et ( )1 0f ′ =
• Vérification dans l’équation :
( ) ( )2
1 1 10 1 1 1
1 1 1
++ + =
− +
Il existe donc une solution de l’équation différentielle sur ] [ { }2 30 1, I I+ ∞ = ∪ ∪
définie par : ( )( )
2
2
1
1
x x xf x ln
xx
− +=−
UMN12 Exercices complémentaires MAI 2000
Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l’INPL
Cours : Philipe Leclère
Exercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère
Exercices d’entraînement avec solutions.
(MATH12E05)
Résoudre sur R l’équation différentielle ( )2 31 1x y xy x′+ − = +
Indication : on pourra chercher une solution particulière sous la forme d’un polynôme de
degré 2.
(MATH12E06)
Résoudre sur l’intervalle 2 2
,π π −
l’équation différentielle : 2y y tan x sin x′ + =
(MATH12E07)
Résoudre l'équation différentielle 2 3xy' y x− = . Existe-t-il des solutions sur R.
(MATH12E08)
Résoudre sur R l'équation différentielle :
( )1 0x y y′+ − = , avec la condition : ( )1 1y − =
(MATH12E09)
Résoudre sur l’intervalle 02
;π
l’équation différentielle : y cos x y sin x x sin x cos x′ + = + .
Existe-t-il une solution sur [ ]0;π ?.
UMN12 SUPenonces MAI 2000
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Exercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12S01)
Résoudre sur l’équation différentielle sur l’intervalle ] [1;− −∞
x y y x+ ′ − = +1 2 1 4b g b gEst-il possible de trouver une solution définie sur R?
(MATH12S02)
Résoudre l’équation différentielle xy y x′ − = sur chacun l’intervalle 0;+∞ .
Est-il possible de trouver une solution définie sur R?
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Exercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12E05)
L’équation différentielle peut se mettre sous la forme normalisée :3
2 2
1
1 1
x xy y
x x
+′ − =+ +
• Equation sans second membre.
La fonction 21
xx
x+! est continue sur R et admet donc des primitives, en
particulier la fonction : ( )2 211 1
2x ln x ln x+ = +! . La solution générale de
l’équation sans second membre est donc la fonction définie par :2
0 1y x , Rλ λ= + ∈
• Solution particulière :
On cherche une solution particulière (d'après l'énoncé) sous forme d'un polynômede degré deux (en effet, le terme en y est multiplié par x et le second membre estun polynôme du troisième degré).
On pose : 2 2y ax bx c avec y ax b′= + + = +En reportant dans l'équation différentielle initiale, on obtient :
( )( ) ( ) ( )2 2 3 3 31 2 1 2 1x ax b x ax bx c x ax a c x b x+ + − + + = + ⇔ + − + = +
par identification on obtient : 1 1 2a , b et c= = = . La solution particulière est
donc la fonction : 20 2x y x x= + +!
• Solution générale :
Le principe de superposition des solutions donne pour solution générale :2 21 2x y x x x , Rλ λ= + + + + ∈!
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Exercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12E06)
L'équation est déjà sous forme normalisée.
• Equation sans second membre :
0y y tan x′ + =
La fonction x tan x! est continue sur 2 2
,π π −
et admet donc sur cet
intervalle des primitives, en particulier, la fonction : ( )x ln cos x−!
La solution générale de l’équation homogène associée est donc la fonction
0x y cos x, Rλ λ= ∈!
• Solution particulière.
Cherchons une solution particulière de l’équation complète en utilisant laméthode de variation de la constante.
( ) ( ) ( )y x cos x et y x cos x x sin xλ λ λ′ ′= = −On reporte dans l’équation initiale et après simplification, on obtient :
( ) ( )2 2x sin x soit x cos xλ λ′ = = −
La solution particulière est donc la fonction : 20 2:y x cos x−!
• Solution générale :
En appliquant le principe de superposition des solutions, la solution générale de
l’équation différentielle complète est donc la fonction f définie sur 2 2,
π π − par : ( ) 22f x cos x cos x, Rλ λ= − + ∈
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Exercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12E07)
L'équation est définie sur [ [0 ,+ ∞ ; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule
en 0. On se place sur l’intervalle ] [0I ,= +∞ .
L’équation normalisée devient : 3 1
2 2y y
x x′ − =
• Equation sans second membre: 3
02
y' yx
− =
La fonction 3
2x
x−! est continue sur I, elle admet donc des primitives sur cet
intervalle, en particulier : 3
2x ln x−! .
La solution générale de l’équation homogène est donc la fonction :3 2
0/y : x x , Rλ λ ∈!
• Solution particulière
On peut deviner une solution particulière de la forme x K x!( Sinon il faut utiliser la méthode de variation de la constante)
En reportant dans l'équation, on obtient : 1
2 322
Kx K x x K
x− = ⇒ = −
Soit la solution particulière : 1
2x x−!
• Solution générale :
En utilisant le principe de superposition des solutions, on obtient la solutiongénérale de l’équation différentielle sur l’intervalle ] [0I ,= +∞
3 2 1
2/x y x x , Rλ λ= − ∈!
( ) ( )
3 2
00
1 2
0 00 0
10
2
0 1
0 2
/
xx
/
x xx x
lim x x
y x ylim lim x
x x
λ
λ
→<
→ →> >
− =
− = − = +∞ −
Donc l'ensemble des solutions sur [ [0 ,+ ∞ est vide.
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Exercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12E08)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ ne s'annule pas.On peut donner la forme normalisée.
L'équation différentielle s'écrit
] [
[ [
10 0
1 1011
0 01
y y sur ;xy y
xy y sur ;
x
′ − = −∞ −′ − = ⇔ + ′ − = +∞ +On obtient alors la solution générale de l’équation différentielle :
] [( ) ] [
1
2
01
1 0
y sur ;x
y x sur ;
λ
λ
= −∞ − = + +∞
où 1 2etλ λ sont des réels.
La condition initiale impose 1 2λ =
Raccordement en 0 :
• Continuité en 0 :
La fonction est continue en 0 si et seulement si ( )1 2 0 2fλ λ λ= = = =
• Dérivabilité en 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 00 0 0
0 00 0
220 11 2 2
1
0 2 1 22
x x xx x x
x xx x
f x f xlim lim limx x x
f x f xlim lim
x x
→ → →< < <
→ →> >
−− −= = = −
− + −= =
Finalement, on obtient la solution f définie sur R et vérifiant la condition initiale
( )] [
( ) ] [
20
12 0
2 1 0
sur ;x
f x si x
x sur ,
−∞ −= =
+ + ∞
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Exercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12E09)
Sur l’intervalle 02
;π
on peut mettre l’équation différentielle sous sa forme
normalisée : x
y y tan x sin xcos x
′ + = +
• Equation sans second membre
La solution générale de l’équation homogène associée est donc la fonction
0x y cos x, Rλ λ= ∈! ( confère l’exercice MATH12E06)
• Solution particulière.
On peut faire varier la constante ou remarquer que la fonction x x sin x! estsolution « évidente ».
• Solution générale.
La solution générale de l’équation différentielle sur l’intervalle 02
;π
est donc
la fonction f définie par : ( ) 1 1f x x sin x cos x, Rλ λ= + ∈
On en déduit sur ] [0;π l’ensemble des solutions f définie par :
( )1
2
02
2
x sin x cos x sur ;
y f x
x sin x cos x sur ;
πλ
πλ π
+ = = +
Raccordement en 2
π
• Continuité en 2
π
( ) ( )2 2
2 2
2x x
x x
lim f x lim f xπ π
π π
π
→ →
< <
= =
On pose donc 2 2
fπ π =
Dérivabilité de f en 2
π
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Exercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
x x
x x
x x
x x
lim f x lim sin x x cos x sin x
lim f x lim sin x x cos x sin x
π π
π π
π π
π π
λ λ
λ λ
→ →
< <
→ →
< <
′ = + − = −
′ = + − = −
le prolongement est donc dérivable si et seulement si 1 2λ λ=
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle sur l’intervalle [ ]0;π est donc
l’ensemble des fonctions f : ( )x y f x x sin x cos x, Rλ λ= = + ∈!
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(MATH12E01B)
Résoudre sur tout intervalle I de R l’équation différentielle :
( )1 0 1y y x et y′ − = − + =
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(MATH12E01C)
Résoudre sur tout intervalle I de R l’équation différentielle :
( ) ( )21 0 2x y xy x , et y′+ + = =
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(MATH12E02B)
Résoudre l’équation différentielle 23xy y x′ + =Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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(MATH12E02C)
Résoudre l'équation différentielle 2xy y x Arc tan x′ − =Existe-t-il des solutions définies sur R ?
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(MATH12E03B)
Résoudre l'équation différentielle ( ) ( )21 1 0xxy x y e x′ − + + + =
On se placera sur l’intervalle ] [0;+∞ .
Question facultative : Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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(MATH12E03C)
Résoudre l'équation différentielle 4
2
1
xxy y
x′ + =
−On se placera sur l’intervalle ] [0 1; .
Question facultative : Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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Exercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12E04B)
Résoudre l'équation différentielle ( )1x x y y Arc tan x′+ + =
On se placera sur l’intervalle ] [0;+∞ .
Question facultative : Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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Exercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12E04C)
Résoudre l'équation différentielle ( )2 21 2x x y y x′− + =
On se placera sur l’intervalle ] [0;+∞ .
Question facultative : Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
1
(MATH12E01A)
La fonction 21x x+! ne s’annule jamais. L'équation différentielle est donc définiesur R.
C'est une équation du premier ordre, linéaire et homogène (sans second membre).
On peut l’exprimer sous sa forme normalisée : 2
10
1y y
x′ − =
+
La fonction 2
1
1x
x+! est continue sur R, elle admet donc des primitives sur R,
en particulier, la fonction ( )21x ln x x+ +! .
La solution de l’équation différentielle est donc la fonction f définie sur R par :
( ) ( )21f x x xλ= + + où λ est un réel quelconque.
En tenant compte de la condition initiale au point 0 1x =
( ) ( ) 11 1 1 2
1 2f λ λ= = + ⇒ =
+
La solution Y de l’équation différentielle satisfaisant à la condition initiale : ( )1 1Y =
est la fonction Y définie sur R par : ( )21
1 2
x xY X
+ +=+
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
2
(MATH12E01B)
L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y′ ne s'annule pas.
• Résolution de l'équation sans second membre 0y y′ − =
La solution générale de cette équation différentielle est la fonction définie sur R
par : 0xy eλ=
• Solution particulière
On remarque une solution particulière évidente de l’équation complète définiesur R par x x!
• Solution générale de l’équation complète :Le principe de superposition des solutions donne la solution générale de
l’équation différentielle : ( ) xy f x e xλ= = + , où λ est un réel quelconque.
En tenant compte de la condition initiale
( ) ( )0 0 1 1y f λ= = ⇒ =
La solution de l’équation différentielle qui satisfait à la condition initiale ( )0 1f =
est donc la fonction f définie sur R par : ( ) xf x e x= +
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
3
(MATH12E01C)
L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y′ ne s'annule pas.
On peut donner la forme normalisée de l’équation : ( ) ( )2 21 1
x xy y
x x′ + =
+ +
• Résolvons l’équation sans second membre : ( )20
1
xy y
x′ + =
+.
La fonction ( ) ( )2 2
1 2
21 1
x xx
x x=
+ +! continue sur R admet des primitives, en
particulier, la fonction ( ) ( )2 211 1
2x ln x ln x+ = +! .
La solution générale de l’équation homogène est donc la fonction définie par :
021
yx
λ=+
où λ est un réel quelconque.
• Solution particulière
On remarque la solution particulière évidente de l’équation complète : 1x !
• Solution générale :
Le principe de superposition des solutions donne la solution générale f del’équation complète définie par :
( )2
11
y f xx
λ= = ++
En tenant compte de la condition initiale
( )0 2 2 1 11
fλ λ= ⇔ = + ⇔ =
La solution Y de l’équation qui satisfait à la condition initiale est définie sur R par :
( )2
11
1Y x
x= +
+
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons vivement de contacter votre tuteur.
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
4
(MATH12E02 A)
L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0.
On considère les deux intervalles : ] [ ] [1 20 0I , et I ,= −∞ = +∞
On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé. On donne sur jI la forme normalisée de l’équation
différentielle : 43y' y x
x− =
• Equation sans second membre : 3
0y yx
′ − =
L’application 3
xx
! est définie et continue sur jI , elle admet donc des
primitives sur chacun de ces intervalles, en particulier, la fonction ( )3x ln x!
La solution générale 0y de l’équation homogène est donc : 3
3ln xx e xλ λ=!
Soit :] [] [
31 1
0 32 2
0
0
x sur I ,y
x sur I ,
λ
λ
= − ∞= = + ∞
1 2etλ λ sont des réels quelconques.
• Solution particulière de l’équation complète.
En regardant la forme de l’équation complète, on cherche une solution sous la
forme : 5 45y Kx avec y Kx′= =
En remplaçant dans l’équation, on obtient : 5 5 5 15 3
2Kx Kx x K− = ⇒ =
• Solution générale :
En utilisant le principe de superposition des solutions, la solution générale de
l’équation différentielle est définie sur *R par :
( )] [
] [
53
1 1
53
2 2
02
02
xx sur I ,
y f xx
x sur I ,
λ
λ
+ = − ∞= =
+ = + ∞où 1 2etλ λ sont des constantes réelles.
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
5
Raccordement en 0.
• Continuité de la fonction en 0.
( ) ( )5 5
3 31 2
0 0 0 00 0 0 0
0 02 2x x x x
x x x x
x xlim f x lim x et lim f x lim xλ λ→ → → →< < > >
= + = = + =
la fonction f est donc continue en 0 et ( )0 0f =
• Dérivabilité en 0.
( ) ( ) ( ) ( )4 42 2
1 20 0 0 0
0 0 0 0
0 00 0
0 2 0 2x x x xx x x x
f x f f x fx xlim lim x et lim lim x
x xλ λ
→ → → →< < > >
− −= + = = + = − −
la fonction est donc dérivable en 0 quel que soient les réels 1 2etλ λ et ( )0 0f ′ =
• On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en 0 avec les conditionsexprimées ci-dessus.
Conclusion :
La fonction f définie sur R par :
( )] [
] [
53
1 1
53
2 2
xx I ,0
20 0
xx I 0,
2
sur
y f x si x
sur
λ
λ
+ = −∞
= = = + = + ∞
avec ( )0 0f ′ = représente l'ensemble des fonctions continues, dérivables sur R
vérifiant l'équation différentielle
On peut aussi utiliser les développements limités pour étudier le raccordement dessolutions
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
6
(MATH12E02B)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0.
On considère les deux intervalles de R : ] [ ] [1 20 0I , et I ,= −∞ = +∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé.
On peut alors exprimer l’équation sous la forme normalisée : 3
y y xx
′ + =
• Equation sans second membre :
La fonction 3
xx
! est continue sur jI et admet donc des primitives sur cet
intervalle, en particulier : ( )3x ln x!
La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction 0y définie
par :
31
3
lnx K
x Kex
=!
Soit :
] [
] [
113
02
23
0
0
sur I ,xy
sur I ,x
λ
λ
= − ∞= = + ∞
• Solution particulière :
Bien que de façon « intuitive », on conjecture une solution particulière de la
forme 2x Kx! , utilisons la méthode de variation de la constante
On pose ( ) ( ) ( )3 3 4
3x x xy avec y
x x x
λ λ λ′′= = −
On remplace dans l’équation de départ et il reste après simplification :
( ) ( )5
4
5
xx x d ' où xλ λ′ = = d’où ( )
2
5
xy x =
• Solution générale de l’équation complète
En utilisant le principe de superposition des solutions
( )] [
] [
21
13
22
23
05
05
xsur I ,
xy f xx
sur I ,x
λ
λ
+ = − ∞
= = + = + ∞
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7
Raccordement des solutions en 0
• Continuité de la fonction en 0.
Il apparaît évident qu’une limite ne peut exister que si 1 2 0λ λ= = , on a alors
( )0 0f =
• Dérivabilité en 0.
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0
0 0 0 0
0 00 0
0 5 0 5x x x xx x x x
f x f f x fx xlim lim et lim lim
x x→ → → →< < > >
− − = = = = − −
On peut poser ( )0 0f ′ =
• On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en 0
Conclusion, la fonction définie par ( )2
5
xy f x= = est la seule solution de
l’équation qui soit définie sur R.
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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8
(MATH12E02C)
L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0.
On considère les deux intervalles de R : ] [ ] [1 20 0I , et I ,= −∞ = +∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé.
On peut alors exprimer l’équation sous la forme normalisée : 1
y y xArc tan xx
′ − =
• Equation sans second membre :
La fonction 1
xx
! est continue sur jI et admet donc des primitives sur cet
intervalle, en particulier : x ln x!
La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction 0y définie
par : ln xx Ke K x=!
Soit :] [] [
1 10
2 2
0
0
x sur I ,y
x sur I ,
λ
λ
= − ∞= = + ∞
• Solution particulière :
Utilisons la méthode de variation de la constanteOn pose ( ) ( ) ( )y x x avec y x x xλ λ λ′ ′= × = × +On remplace dans l’équation de départ et il reste après simplification :
( )x Arc tan xλ ′ =On intègre par parties et on obtient :
( ) ( )22
11
21
xx Arc tan x dx xArc tan x dx xArc tan x ln x
xλ = = − = − +
+∫ ∫Soit une solution particulière définie par : ( ) ( )2 21
12
y x x Arc tan x x ln x= − +
• Solution générale de l’équation complète
En utilisant le principe de superposition des solutions
( )( ) ] [
( ) ] [
2 21 1
2 22 2
11 0
21
1 02
x x Arc tan x x ln x sur I ,y f x
x x Arc tan x x ln x sur I ,
λ
λ
+ − + = − ∞= = + − + = + ∞
1 2etλ λ étant des réels quelconques.
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9
Raccordement des solutions en 0
• Continuité de la fonction en 0.
( ) ( )2 21
0 0
11 0
2x xlim f x lim x x Arc tan x x ln xλ→ →
= + − + = Cette limite est vraie à droite et à gauche de 0.la solution est donc continue en 0 et ( )0 0f =
• Dérivabilité en 0.
( ) ( ) ( )21 1
0 00 0
0 11
0 2x xx x
f x flim lim xArc tan x ln x
xλ λ
→ →< <
− = + − + = −
( ) ( ) ( )22 2
0 00 0
0 11
0 2x xx x
f x flim lim xArc tan x ln x
xλ λ
→ →> >
− = + − + = −
On peut poser ( ) 1 20f λ λ λ′ = = =
• On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en 0
Conclusion, la fonction définie par ( ) ( )2 212
xy f x x x Arc tan x ln xλ= = + − + , λ
étant un réel quelconque, est la seule solution de l’équation qui soit définie sur R.
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons vivement de contacter votre tuteur.
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10
(MATH12E03A)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0.
On considère les deux intervalles de R : ] [ ] [1 20 0I , et I ,= −∞ = +∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé.
On peut alors exprimer l’équation sous la forme normalisée : 1 xe
y yx x
′ + =
• Equation sans second membre :
La fonction 1
xx
! est continue sur jI et admet donc des primitives sur cet
intervalle, en particulier : x ln x!
La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction 0y définie
par : ln x Kx Ke
x− =!
Soit :] [
] [
11
02
2
0
0
sur I ,xy
sur I ,x
λ
λ
= − ∞= = + ∞
où 1 2etλ λ sont des réels quelconques.
• Solution particulière :
Utilisons la méthode de variation de la constante
On pose ( ) ( ) ( )2
1 1 1y x avec y x x
x x xλ λ λ ′ ′= = × + × −
On remplace dans l’équation de départ et il reste après simplification :
( ) ( )x xx e x eλ λ′ = ⇒ =
Soit une solution particulière définie par : ( )xe
y xx
=
• Solution générale de l’équation complète
On obtient la solution générale de l’équation différentielle complète en utilisantle principe de superposition des solutions
( )] [
] [
11
22
0
0
x
x
esur I ,
x xy f xe
sur I ,x x
λ
λ
+ = − ∞= =
+ = + ∞1 2etλ λ étant des réels quelconques.
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11
Raccordement des solutions en 0
• Continuité de la fonction en 0.
On rappelle qu’au voisinage de 0 on a : ( )2
212
x xe x o x= + + +
Donc on obtient : ( )1 11
2
xo x
x x
λ+ + + + qui existe si et seulement si 1 1λ = −
De même on doit avoir 2 1λ = −On peut alors prolonger par continuité en posant ( )0 1f =
• Dérivabilité en 0.
( )0 0
0 0
1 1 11 1 1
122
x
x xx x
e xo x
x x x xlim limx x→ →
< <
− − + − + + + + − = =
, on obtient évidemment
la même limite à droite de 0.
On peut poser ( ) 10
2f ′ =
• On vérifie que l'équation différentielle est alors satisfaite en 0
010 1 1
2e× + = =
Conclusion, la fonction définie par ( ) 1xey f x
x
−= = , est la seule solution de
l’équation qui soit définie sur R.
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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12
(MATH12E03B)
On travaille donc sur l’intervalle ] [0;+∞ sur lequel on peut normaliser l’équation
différentielle : ( ) ( )2 11 x
xxy y e
x x
++′ − = −
• Equation sans second membre : ( )1
0x
y yx
+′ − =
La fonction 1 1
1x
xx x
+ = +! est continue sur ] [0;+∞ et admet sur cet intervalle
des primitives, en particulier x x ln x+!
La solution générale de l’équation homogène est donc : 0xy xeλ=
• Solution particulière :
Cherchons une solution particulière de (E), en utilisant la méthode de variationde la constante.
( )( ) ( ) ( )
x
x x x
y x xe
y x xe x e x xe
λ
λ λ λ
=
′ ′= + +En reportant dans l'équation, on obtient après simplification
( )2
2 2
1 11
xx
x xλ +′ = − = − −
En intégrant, on obtient
( ) 1x x
xλ = − + soit finalement ( )2 1 xy x e= − +
• Solution générale de l’équation complète.
En utilisant le principe de superposition des solutions, on obtient :
( )2 1 xy x x eλ= − + + , où λ est un réel quelconque.
Question facultative : raccordement en 0.
On a ( ) ] [
( ) ] [
21
22
1 0
1 0
x
x
x x e sur ;y
x x e sur ;
λ
λ
− + + −∞= − + + +∞
1 2etλ λ sont des réels quelconques
• Continuité en 0
( ) ( )0 0
0 0
1x xx x
lim f x lim f x→ →< >
= =
On peut donc prolonger les solutions en 0 en posant ( )0 1f =
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• Dérivabilité en 0
( ) ( ) ( )1 10 0
0 0
0 11
0
xx
x xx x
f x f elim lim x e
x xλ λ
→ →< <
− −= − + + = + −
( ) ( ) ( )2 20 0
0 0
0 11
0
xx
x xx x
f x f elim lim x e
x xλ λ
→ →> >
− −= − + + = + −
le prolongement sera dérivable en 0 si et seulement si 1 2λ λ=
La fonction définie par ( ) ( )2 1 xf x x x eλ= − + + , Rλ ∈ , est la seule solution de
l’équation différentielle définie sur R
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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(MATH12E03C)
L'équation est définie sur ] [1 1,− ; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en
0.On résout cette équation sur l’intervalle ] [0 1; .
L’équation normalisée associée est : 4
1 2
1y' y
x x+ =
−• Equation sans second membre.
La fonction 1
xx
! est continue sur ] [0 1; et admet donc des primitives sur cet
l’intervalle, en particulier la fonction x ln x! . La solution générale del’équation sans second membre est donc la fonction définie sur ] [0 1;
par : 0ln xy e , R
x
λλ λ−= = ∈
• Solution particulière.
Cherchons une solution particulière de l’équation complète en utilisant laméthode de variation de la constante.
On pose ( ) ( ) ( )
2
x x x xy avec y
x x
λ λ λ′ −′= =
En reportant dans l'équation, il reste après simplification :
( ) ( )4 4
22
1 1
x dxxx soit x
x xλ λ′ = =
− −∫
En posant 2X x= , on obtient : ( ) ( )2x Arc sin xλ =
Soit la solution particulière définie par : ( )2Arc sin x
yx
=
• Solution générale.
En utilisant le principe de superposition des solutions, on en déduit la solution fgénérale de l’équation différentielle proposée.
( )( )2Arc sin x
x f x , Rx x
λ λ= + ∈!
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15
Question facultative :
On considère maintenant la solution de l’équation différentielle sur l’intervalle
] [1 1;− . On a alors la solution générale définie par :
( )
( )] [
( )] [
2
1
1 22
2
1 0
0 1
Arc sin xsur ;
x xx f x , R et RArc sin x
sur ;x x
λ
λ λλ
+ −
= ∈ ∈ +
!
• Continuité en 0.
On sait que ( )2 2 2Arc sin x x o x= +
( )( )
( )2 2x o x
f x x o xx x x
λ λ+= + = + +
Une condition nécessaire pour obtenir une limite finie lorsque x tend vers 0 est
1 2 0λ λ= =On peut donc prolonger f par continuité en 0 en posant ( )0 0f =
• Dérivabilité en 0.
( ) ( ) ( )( )
2
2
01 1
0
Arc sin xf x fo
x x
−= = +
−
On peut donc aussi prolonger la dérivée en posant ( )0 1f ′ =
On vérifie dans l’équation différentielle de départ que le point ( )0 0; est un point
d’une courbe intégrale, avec une tangente de pente 1.
Conclusion :
La fonction définie par :
( )( )
] [ { }2
1 1 0
0 0
Arc sin xsi x ,y f x xsi x
∈ − −= = =
est l'unique solution de l’équation différentielle sur ] [1 1,− .
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons vivement de contacter votre tuteur.
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16
(MATH12E04A)
Sur l’intervalle ] [0;+∞ , l’équation différentielle s’écrit sous la forme normalisée :
1xy y x
x
−′ + =
• Equation sans second membre.
La fonction 1
1xx
−! est continue sur ] [0;+∞ et admet donc des primitives sur
cet l’intervalle, en particulier la fonction x x ln x−! . La solution générale del’équation sans second membre est donc la fonction définie sur ] [0;+∞
par : 0x ln x xy e xe , Rλ λ λ− + −= = ∈
• Solution particulière.
On remarque que la fonction x x! est solution évidente de l’équation complète.
• Solution générale.
En utilisant le principe de superposition des solutions, on en déduit la solution fgénérale de l’équation différentielle proposée.
( ) xx f x xe x, Rλ λ−= + ∈!
Question facultative :
Vous pourrez vérifier que sur l’intervalle ] [0;−∞ , on obtient la solution générale
suivante : 1 12
2xe
y x où Rx x
λ λ= + + + ∈
Et donc sur ] [0;+∞ 2 2xy xe x, Rλ λ−= + ∈
Raccordement en 0 :
• Continuité de la fonction en 0
( ) ( )11 1
1 222 2 1
x o xy x x o
x x x
λλ λ+ + +
= + + + = + + + +
La fonction f solution de l'équation différentielle sur R impose que la limite en 0soit finie. Cette condition est réalisée pour 1 2λ = − et l'on obtient alors
( )0
0
0xx
lim f x→<
= . De plus ( )0
0
0xx
R, lim y xλ→>
∀ ∈ =
On peut donc prolonger par continuité la fonction f en 0 en posant ( )0 0f =
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17
• Dérivabilité en 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 33
2 20 0 00 0 0
00
0 2 21 1 1
0 2 6
03
x
x x xx x x
xx
f x f x xlim lim e x lim x
x x x
xlim x
ο
ο
→ → →< < <
→<
− − − = − − + = + + + −
= − + =
( ) ( ) ( )2 20 0
0 0
01 1
0x
x xx x
f x flim lim e
xλ λ−
→ →> >
−= + = +
−
la fonction est dérivable en 0 si et seulement si 2 1λ = −
Conclusion :
La seule fonction f continue en 0 et dérivable en 0, vérifiant l'équation différentielleest la fonction f définie par ::
( )( ) ] [
( ) ] [
21 2 0
0 0
1 0
x
x
e x sur ;x
f x si x
x e sur ;−
− + + −∞
= =
− +∞
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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18
(MATH12E04B)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0 et en
−1On considère: ] [ ] [ ] [1 2 31 1 0 0I , I , et I ,= − ∞ − = − = + ∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1, 2 et 3.
Supposons dorénavant j fixé. On peut alors la forme normalisée de l’équation
différentielle : ( ) ( )1
1 1
Arc tan xy y
x x x x′ + =
+ +
• Equation sans second membre : ( )1
01
y yx x
′ + =+
La fonction 1 1 1
1 1x
x( x ) x x− = − +
+ +! est continue sur jI et admet donc sur
cet intervalle des primitives, en particulier, 1x
x lnx
+!
La solution générale de l’équation homogène est donc définie par :
] [
] [
] [
1
0 2
3
11
11 0
10
xsur ;
xx
y sur ;x
xsur ;
x
λ
λ
λ
+ −∞ −
+= −
+ +∞Où 1 2 3, etλ λ λ sont des constantes réelles.
• Solution particulière :
Cherchons une solution particulière de l’équation complète en utilisant laméthode de variation de la constante. On pose :
( ) ( ) ( )2
1 1 1x xy x avec y x x
x x xλ λ λ+ + ′ ′= = + −
En reportant dans l'équation, et après simplification, on obtient :
( )( )2
1
Arc tan xx
xλ ′ =
+En intégrant par parties et en utilisant la décomposition en éléments simples, onobtient
( ) ( )21 1 11 1
1 2 4 2
Arc tan xx ln x ln x Arc tan x
xλ = − + + − + +
+La solution générale est la fonction y définie sur jI
( )2
11 1
2 1
xArc tan x xy x ln Arc tan x
x xx
+ += − + + +
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19
• Solution générale :
En utilisant le principe de superposition des solutions :
( ) ( )
] [
] [
] [
12
22
32
1 1 1 11
2 21
1 1 1 11 0
2 21
1 1 1 10
2 21
x x xln Arc tan x sur ;
x xx
x x xy x f x ln Arc tan x sur ;
x xx
x x xln Arc tan x sur ;
x xx
λ
λ
λ
− − + − + + −∞ − +
+ + −= = + + − + + + − + + +∞ +
On cherche maintenant à raccorder les solutions en −1 et en 0
Raccordement en −−−−1
• Continuité en –1
( ) ( ) ( )1 1
1 1
14x x
x x
lim f x lim f x Arc tanπ
→− →−<− >−
= = − = −
la continuité des solutions en −1 est réalisée quelles que soient les constantes
1 2etλ λ , en revanche, la solution n'est pas dérivable en −1.
Il n'existe pas de solution définie sur ] [0,− ∞ .
Raccordement en 0
• Continuité en 0 :
au voisinage de 0 on a:
( ) ( ) ( )2 2
2 211 1 1
3 3
x x xArc tan x x x x x
xο ο
− = − − + = − + + +
( ) ( ) ( )3
2 2 311 1
2 3
xln x ln x x x xο+ − + = − + +
( )2 2
2
1 1 21
31
x xln x x
xxο+ +× = − +
+( ) ( ) 2 3
0 00 0
0 0x xx x
lim f x lim f x λ λ→ →< >
= = ⇔ = =
On peut donc prolonger les solutions en 0 en posant ( )0 0f =
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20
• Dérivabilité en 0
Toujours au voisinage de 0 on a:
( ) ( ) ( )2
2 2 2 21 2 1 11 1
2 3 3 2 6
xf x x x x x x xο ο
= − + + + − + = − +
Le prolongement sera dérivable en 0 et ( ) 10
2f ′ =
Il existe donc une solution f de l’équation différentielle sur l’ensemble
] [ { }2 31 0; I I− +∞ = ∪ ∪ définie par :
( ) ( ) ( )2
1 11 1
2 1
xf x x Arc tan x x ln
x x
+= − + ++
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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(MATH12E04C)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en −1, 0et 1. On considère les intervalles :
] [ ] [ ] [ ] [1 2 3 41 1 0 0 1 1I , I , I , et I ,= − ∞ − = − = = + ∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1, 2,3 et 4.
Supposons dorénavant j fixé. On peut exprimer l’équation différentielle sur chacun
des intervalles sous forme normalisée : ( ) ( )2 2
2
1 1
xy y
x x x′ + =
− −
• Equation sans second membre : ( )2
20
1y y
x x′ + =
−
La fonction ( )2
2
1x
x x −! est continue sur jI et admet donc sur chacun de ces
intervalles des primitives, en particulier,
2
2
1xx ln
x
−
!
La solution générale de l’équation homogène est donc :
] [
] [
] [
] [
2
1 2
2
2 2
2
3 2
2
4 2
11
1 01
0 11
11
xsur ;
x
xsur ;
xyx
sur ;x
xsur ;
x
λ
λ
λ
λ
−∞ −
− − −= −
+∞−
• Solution particulière de l’équation complète.
Cherchons une solution particulière de (E), en utilisant la méthode de variationde la constante
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 22
2
1 1 1
x x xy x avec y x x
x x xλ λ λ′ ′= = −
− − −
En reportant dans l'équation initiale et en simplifiant, on obtient :
( ) 1x
xλ ′ = soit : ( )x ln xλ =
On obtient donc comme solution particulière la fonction définie par :
( )2
2 1
xy x ln x
x=
−
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22
• Solution générale.
En utilisant le principe de superposition des solutions
( )( ) ] [
( )( ) ] [
( ) ] [
( ) ] [
( )
2
1 2
2
2 24
1 2 3 42
3 2
2
4 2
11
1 01
0 11
11
xln x sur ;
x
xln x sur ;
xy , , , Rx
ln x sur ;x
xln x sur ;
x
λ
λλ λ λ λ
λ
λ
− + −∞ −
− − + − −= ∈ + −
+ +∞−
Raccordement en −−−−1
• Continuité en –1.
f est continue en −1 si et seulement si 1 2 0λ λ= = . On pose alors : ( ) 11
2f − =
• Dérivabilité en –1
On effectue le développement limité au voisinage de –1 de la fonction :
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
22
22
222
1 111 121 1212
1 1
1 1
2 2 2 1
2
Xx ln Xln xf x Xx
x x X
XXX o X
X Xo X
X
−− −− −− − −−= =
+ + −
− − + − − = = +
On peut donc poser ( ) 11
2f ′ − =
Il y a donc raccordement en –1.
Raccordement en 0
On pose ( ) ( )0 0 0 0f et f ′= = qui assurent le prolongement de f par continuité
en 0 et la dérivabilité de f en 0.Il y a donc raccordement en 0.
Raccordement en 1
f est continue en 1 si et seulement si 3 4 0λ λ= = , on pose alors ( ) 11
2f =
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23
Pour la dérivabilité on a : ( ) 11
2f ' =
Il existe une solution unique sur R donnée par :
( ) ] [
( ) ] [
] [
] [
2
2
2
2
2
2
2
2
11
11
2
1 01
0 0
0 11
11
2
11
xln x sur ;
x
si x
xln x sur ;
xy si x
xln x sur ;
x
si x
xln x sur ;
x
− −∞ −
−
= −
− −−= =
− = +∞ −
avec ( ) ( ) ( )11 1 0 0
2f f f′ ′− = = =
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons vivement de contacter votre tuteur.
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(MATH12E01A)
Le facteur de y′ ne s'annulant pas l’équation est sous forme normalisée. Il existe donc une
fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que ( ) ( )1 1 1Y f= =
On rappelle qu'une primitive de la fonction 2
1
1f ; x
x+! est ( )21ln x x+ +
( x Argsh x! serait maladroit dans cet exercice)
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Exercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12E01B)
Le facteur de y′ ne s'annulant pas l’équation est sous forme normalisée. Il existe donc une
fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que ( ) ( )0 0 1Y f= =
Il existe une solution polynomiale de degré 1 pour l'équation complète
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(MATH12E01C)
Le facteur de y′ ne s'annulant pas l’équation est sous forme normalisée. Il existe donc une
fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que ( ) ( )0 0 2Y f= =
La fonction ] [ ] [0f : x ln x est une bijection de , sur ,+ ∞ −∞ + ∞!
0 0
ln a lnba b
a et b
=⇒ =
> >
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(MATH12E02A)
Le facteur de y′ s'annule pour 0x = , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ] [ ] [0 0; et ;−∞ +∞ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en 0x = et la dérivabilité en 0x = .
Soit :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 00 0
0 00 0
0
0 00
0 0
x xx x
x xx x
lim f x lim f x f l
et
f x f f x flim lim f l
x x
→ →< >
→ →< >
= = =
− −′ ′= = =
− −
Et enfin ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =
La solution étant de classe nC , les développements limités fournissent aussi la réponse
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Cours : Philippe Leclère
Exercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère
(MATH12E02B)
Le facteur de y′ s'annule pour 0x = , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ] [ ] [0 0; et ;−∞ +∞ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en 0x = et la dérivabilité en 0x = .
Soit :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 00 0
0 00 0
0
0 00
0 0
x xx x
x xx x
lim f x lim f x f l
et
f x f f x flim lim f l
x x
→ →< >
→ →< >
= = =
− −′ ′= = =
− −
Et enfin ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =
Pour obtenir une limite finie en 0x = , vous devez éliminer les termes contenant des
puissances négatives de x.
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(MATH12E02C)
Une primitive de x Arc tan x! s'obtient en intégrant par parties
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(MATH12E03A)
Le facteur de y′ s'annule pour 0x = , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ] [ ] [0 0; et ;−∞ +∞ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en 0x = et la dérivabilité en 0x = .
Soit :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 00 0
0 00 0
0
0 00
0 0
x xx x
x xx x
lim f x lim f x f l
et
f x f f x flim lim f l
x x
→ →< >
→ →< >
= = =
− −′ ′= = =
− −
Et enfin ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =
Le raccordement des solutions en 0x = s'effectuera en utilisant le développement limité
de xe à un ordre correct
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(MATH10 E 03B)
Le facteur de y′ s'annule pour 0x = , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ] [ ] [0 0; et ;−∞ +∞ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en 0x = et la dérivabilité en 0x = .
Soit :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 00 0
0 00 0
0
0 00
0 0
x xx x
x xx x
lim f x lim f x f l
et
f x f f x flim lim f l
x x
→ →< >
→ →< >
= = =
− −′ ′= = =
− −
Et enfin ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =
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(MATH12E03C)
Le facteur de y′ s'annule pour 0x = , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ] [ ] [0 0; et ;−∞ +∞ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en 0x = et la dérivabilité en 0x = .
Soit :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 00 0
0 00 0
0
0 00
0 0
x xx x
x xx x
lim f x lim f x f l
et
f x f f x flim lim f l
x x
→ →< >
→ →< >
= = =
− −′ ′= = =
− −
Et enfin ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =
Le raccordement des solutions en 0x = s'effectuera en utilisant le développement limité
de x Arc sin x! à un ordre correct
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(MATH12E04A)
Le facteur de y′ s'annule pour 0x = , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ] [ ] [0 0; et ;−∞ +∞ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en 0x = et la dérivabilité en 0x = .
Soit :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 00 0
0 00 0
0
0 00
0 0
x xx x
x xx x
lim f x lim f x f l
et
f x f f x flim lim f l
x x
→ →< >
→ →< >
= = =
− −′ ′= = =
− −
Et enfin ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =
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(MATH12E04B)
Le facteur de y′ s'annule pour 0x = et 1x = − , il faut donc résoudre cette équation
différentielle sur les intervalles ] [ ] [ ] [1 1 0 0; , ; et ;−∞ − − +∞ .
On essaiera de « raccorder » les solutions trouvées sur chaque intervalle. Il faut donc vérifier
la continuité de la solution en 0x x= et la dérivabilité en 0x x= pour 0 00 1x puis x= = − .
Soit :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 00 0
0 00 0
0
0 00
0 0
x x x xx x x x
x x x xx x x x
lim f x lim f x f x l
et
f x f x f x f xlim lim f x l
x x x x
→ →< >
→ →< >
= = =
− −′ ′= = =
− −
Et enfin ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =
On cherche des solutions sur l'intervalle le plus grand possible
L'intégration par parties est utile pour trouver une solution particulière de l'équation complète
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(MATH12E04C)
Il faut considérer les intervalles :
] [ ] [ ] [ ] [1 2 3 41 1 0 0 1 1I , I , I , et I ,= − ∞ − = − = = + ∞
Le raccordement doit être envisagé aux points −1, 0 et 1