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Équations diérentiellesSMA5, 2012-2013

A. LesfariDépartement de Mathématiques

Faculté des SciencesUniversité Chouaïb DoukkaliB.P. 20, El-Jadida, Maroc.

E. mail : [email protected] Web : http://lesfari.com

A. Lesfari (Eqts Di.) 2

Table des matières

1 Généralités 3

2 Théorème local d'existence et d'unicité 5

3 Théorème global d'existence et d'unicité 8

4 Autres critères d'existence et d'unicité 9

5 Continuité et diérentiabilité des solutions 10

6 Quelques équations résolubles 11

7 Systèmes diérentiels linéaires, théorème d'existence 21

8 Systèmes diérentiels linéaires à coecients constants 26

9 Flot déni par une équation diérentielle 34

10 Equations aux dérivées partielles du 1er ordre 40

11 Equations aux dérivées partielles du 2ème ordre 45

12 Compléments : Résolution de quelques équations diérentiellesnon linéaires 50


1 Généralités

Soient Ω un ouvert de R× Rn et

f : Ω −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y),

une fonction continue. Considérons l'équation diérentielle

y′ = f(t, y), ′ ≡ d

dt.

Dénition 1 Soit I ⊂ R un intervalle non vide. Une solution de l'équationci-dessus est une fonction dérivable

y : I −→ Rn,

telle que : ∀t ∈ I, (t, y(t)) ∈ Ω et

∀t ∈ I, y′(t) = f(t, y(t)).

Si ϕ : I −→ R désigne une solution de l'équation diérentielle ci-dessus,alors la trajectoire de ϕ est dénie par l'ensemble (t, ϕ(t)) : t ∈ I ⊆ Ω.L'ensempble ϕ(t) : t ∈ I s'appelle l'orbite de la solution. Géométriquement,l'équation diérentielle ci-dessus peut s'interpréter comme un champ de vec-teurs sur Ω.

Comme ϕ′(t) = f(t, y), alors en chaque point de Ω, la courbe d'équationy = ϕ(t) (une telle courbe est dite courbe intégrale) possède une tangente depente f(t, y). La fonction f dénit un champ de vecteurs sur Ω : à chaque point(t, y) de la courbe, on associe le vecteur de coordonnées (1, f(t, y)). Ce vecteurest tangent à la courbe. La trajectoire d'une solution ϕ est donc une courbeattirée par ce champ de vecteurs. Autrement dit, en chacun de ses points cettecourbe est tangente au vecteur correspondant du champ.


Posons y = (y1, ..., yn) et f = (f1, ..., fn). Avec un abus d'écriture, l'équationdiérentielle ci-dessus s'écrit

y′1 = f1(t, y1, ..., yn),...

y′n = f1(t, y1, ..., yn),

Une solution de ce système est un système de n fonctions y1, ..., yn. L'équa-tion diérentielle ci-dessus est dite sous forme normale (ou résolu en y′).

Dénition 2 Étant donné un point (t0, y0) ∈ Ω, le problème de Cauchy (ouproblème à valeur initiale) pour l'équation

y′(t) = f(t, y),

consiste à chercher une solution y(t) sur un intervalle I contenant t0 telle que :y(t0) = y0

Dénition 3 On dit que la fonction y : I ⊂ R −→ R est une solution del'équation diérentielle du nème ordre :

y(n) = f(t, y, y′, ..., y(n−1)),

si elle est dérivable n fois et si ∀t ∈ I, (t, y(t), y′(t), ..., y(n−1)(t) ∈ Ω et

y(n)(t) = f(t, y(t), y′(t), ..., y(n−1)(t)).

Étant donné (t0, y0, y′0, ..., y

(n−1)0 ) ∈ Ω, le problème de Cauchy concernant

cette équation consiste à trouver une solution telle que :

y(t0) = y0, y′(t0) = y′0, ..., y

(n−1)(t0) = y(n−1)0 .

L'équation ci-dessus est dite sous forme normale (ou résolu en y(n)).

Proposition 4 Toute équation diérentielle d'ordre n sous forme normalepeut se ramener à un système de n équations du premier ordre sous formenormale.

Proposition 5 Soient Ω un ouvert de R × Rn et y : I ⊂ R −→ Rn, unefonction dont le graphe est inclus dans Ω. Alors la fonction y est solution duproblème de Cauchy

y′ = f(t, y), y(t0) = y0

si et seulement si elle est continue et vérie l'équation intégrale

y(t) = y0 +

∫ t

t0

f(τ, y(τ))dτ, ∀t ∈ I.


Théorème 6 Soit (E,d) un espace métrique complet et soit T : E −→ E uneapplication contractante (c-à-d. il existe un nombre réel k, 0 < k < 1 tel que :d(Tx, Ty) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ E). Alors T possède un et un seul point xe(c-à-d. un unique point x tel que : Tx = x).

Le théorème ci-dessus montre l'existence et l'unicité de la solution de l'équa-tion : Tx = x. En outre, il fournit une méthode eective de calcul approché decette solution (méthode dite des approximations successives) ; pour déterminercette solution, il sut de partir d'un point quelconque x0 ∈ E et de calculerla limite de la suite xn+1 = Txn, 0 ≤ n <∞.

Corollaire 7 Si T p = ToTo...oT est contractante, alors T admet un uniquepoint xe dans E.

Remarque 8 Notons que le fait que T p est une contraction n'implique pas queT en soit une.

2 Théorème local d'existence et d'unicité

Dénition 9 a) Soit f : Ω −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y) où Ω est un ouvert deR×Rn. On dit que f est lipschitzienne par rapport à y s'il existe une constantek telle que :

∀(t, y1) ∈ Ω, ∀(t, y2) ∈ Ω, ‖f(t, y1)− f(t, y2)‖ ≤ k‖y1 − y2‖.

Lorsque k < 1, la fonction f est contractante.b) On dit que f est localement lipschitzienne par rapport à y si tout point

(t, y) ∈ Ω, possède un voisinage appartenant à Ω et dans lequel f est lipschit-zienne par rapport à y.

Propriété 10 Soit f : Ω −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y) où Ω est un ouvert deR× Rn.

a) Si f(t, y) est lipschitzienne par rapport à y, alors elle est uniformémentcontinue par rapport à y.

b) Si f(t, y) est localement lipschitzienne par rapport à y, alors elle estcontinue par rapport à y.

c) Si f(t, y) possède des dérivées partielles premières continues par rapportà y, alors elle est localement lipschitzienne dans Ω.

d) Si Ω est connexe et si f(t, y) possède des dérivées partielles en y conti-nues, alors elle est lipschitzienne si et seulement si ses dérivées sont bornées.

e) Si f(t, y) est continue et localement lipschitzienne sur un compact, alorselle est lipschitzienne sur ce compact.


Soit

S = (t, y) ∈ R× Rn : |t− t0| ≤ l, ‖y − y0‖ ≤ r ⊂ Ω ⊂ R× Rn,

un cylindre de demi-axe l (placé le long de l'axe des t) et de rayon r, r et létant nis.

Lemme 11 Soit f : Ω ⊂ R × Rn −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y) une fonctionlocalement lipschitzienne par rapport à y. Alors que pour tout cylindre ferméS ⊂ Ω, f est lipschitzienne par rapport à y sur S.

Le théorème de Cauchy (ou théorème de Cauchy-Lipschitz, ou encore théo-rème de Picard-Lindelöf chez les anglophones) arme sous certaines condi-tions à préciser, que le problème de Cauchy (relatif à l'équation diérentielley′ = f(t, y)) avec donnée initiale (t0, y0) admet une unique solution. Plus pré-cisément, on a

Théorème 12 (Existence et unicité locale). Soit

f : Ω −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y),

où Ω est un ouvert de R × Rn. On suppose que f est continue en (t, y) etlocalement lipschitzienne par rapport à y. Alors

a) Pour tout point (t0, y0) ∈ Ω, il existe un intervalle fermé I centré en t0et une solution locale y : I −→ Rn de l'équation diérentielle y′ = f(t, y) aveccondition initiale y(t0) = y0.

b) En outre y ∈ C1 et cette solution est unique (c-à-d. si z : J −→ Rn,J ⊂ I, t0 ∈ J avec z(t0) = y0, alors ∀t ∈ J , z(t) = y(t)).

Remarques 13 a) Lorsque f est seulement supposée continue (et non lip-schitzienne) et si l'espace est de dimension innie, on ne peut rien dire surl'existence et l'unicité de la solution. Par contre si l'espace est de dimensionnie, nous verrons (voir plus loin : section 4, théorème 25) que la seule conti-nuité de la fonction f sut à assurer l'existence d'au moins une solution localede l'équation diérentielle en question. Par contre, la seule continuité de f nesut pas à assurer l'unicité en général. Pour s'en convaincre, il sut de consi-dérer l'exemple suivant : y′ = 3 3

√y2. On montre qu'il n'y a pas unicité de la

solution du problème de Cauchy pour les conditions initiales : (t0, y0) = (t0, 0).En eet, la solution s'obtient aisément, on trouve y(t) = (t− t0 + 3

√y0)

3 ainsique y(t) ≡ 0. Donc pour y0 = 0 et t0 quelconque, le problème de Cauchy aplusieurs solutions. Par exemple, pour t1 ≥ t0, la fonction ϕ(t) = 0 si t ≤ t1 et(t− t1)

3 si t > t1, en est une solution. Un autre exemple qui montre que si lafonction f n'est pas lipschitzienne la solution n'est pas unique en général, est


fournie par l'équation : y′ = 2√|y|. Les fonctions y(t) = 0 et y(t) = t2 sont

deux solutions du problème de Cauchy correspondant.b) D'après la propriété 4,c), on sait que si f(t, y) possède des dérivées par-

tielles premières continues par rapport à y, alors elle est localement lipschit-zienne dans Ω. On pourra donc remplacer (comme le font certains auteurs)dans l'énoncé, la condition localement lipschitzienne par rapport à y par celle-ci : ∂f

∂yexiste et est continue sur Ω. Mais tout de même ces hypoyhèes sont trop

fortes car il peut y avoir unicité dans d'autres cas comme le montre l'exemplesuivant : y′ = |y|. Ces hypothèses ne sont pas satisfaites et pourtant il y'a uni-cité. Les solutions sont y = y0e

t−t0 si y0 > 0, y = 0 si y0 = 0 et y = y0e−(t−t0)

si y0 < 0.

Corollaire 14 Le problème de Cauchy lié à l'équation diérentielle du nème

ordre :y(n) = f(t, y, y′, ..., y(n−1)),

y(t0) = y0,...

y(n−1)(t0) = y(n−1)0 ,

où f est continue en (t, y, y′, ..., y(n−1)) et localement lipschitzienne en (y, y′, ..., y(n−1)),admet localement une solution unique,

Proposition 15 On considère la suite x(t) = y0, x1(t), ..., xk(t), ... dénie par

xk(t) = y0 +

∫ t

t0

f(τ, xk−1(τ))dτ.

Si les hypothèses du théorème de Cauchy sont satisfaites, alors, la suite (xk(t))converge uniformément sur [t0−l, t0+l] vers l'unique solution y(t) de l'équationy′ = f(t, y) avec condition initiale y(t0) = y0. En outre, pour tout k,

‖xk(t)− y(t)‖∞ ≤ (ML)k

k!r.

Exemple 16 Le problème de Cauchy

2yy′ + 5t = 0,

y(0) = 1

possède la solution y(t) =√

1− 52t2, |t| <

√25.



yy′ − y2 − 3 = 0 = 0,

y(0) = 0

n'a pas de solution car sinon on aurait 0y′(0) = 3, ce qui est absurde.


y′ = e−t2 + y2, 0 ≤ t ≤ 1

2y(0) = 0

admet une solution unique.


x′′ = sinx

x(0) =π

4x′(0) = 0

admet une solution unique.

3 Théorème global d'existence et d'unicité

Soit f : Ω −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y) et

y′ = f(t, y),

une équation diérentielle.

Dénition 20 a) Une solution y : J −→ Rn est un prolongement d'une solu-tion x : I −→ Rn si I ⊆ J et ∀t ∈ I, x(t) = y(t).

b) Une solution maximale est une solution qui n'a pas de prolongementstrict. Autrement dit, une solution y dénie sur I est maximale s'il n'existepas de solution dénie sur un intervalle J contenant strictement I (c-à-d.I ⊆ J , I 6= J) dont la restriction à I soit égale à y.

Théorème 21 Toute solution se prolonge en une solution maximale mais pasnécessairement unique.


Dénition 22 Soit y :]α, β[−→ Rn, une solution de l'équation diérentielle

y′ = f(t, y).

On appelle bout gauche de y, tout point d'accumulation du graphe de la solutionde la forme (α, b). Autrement dit, c'est l'ensemble des points d'adhérence dela trajectoire de y quand t → α, t > α. En d'autres termes, un point (α, b) ∈R × Rn est un bout gauche s'il existe une suite (tk) dans ]α, β[ convergeantvers α, tk > α telle que la suite y(tk) converge vers b. On dénit de manièreanalogue un bout droit.

Exemple 23 On considère l'équation diérentielle

y′ =1

t2sin

1

t, Ω =]0,∞[×R

On montre que tout point de la forme (0, b) avec b ∈ [−1, 1] est un bout gauche.

Le théorème global d'existence et d'unicité s'énonce comme suit :

Théorème 24 Soit

f : Ω −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y),

une fonction continue en (t,y) et localement lipschitzienne en y sur l'ouvertΩ ⊂ R × Rn. Soit (t0, y0) ∈ Ω. Alors, il existe une unique solution maximaleau problème de Cauchy

y′ = f(t, y), y(t0) = y0

Si les bouts droits et gauches existent, alors ils sont inclus dans le bord de Ω.

4 Autres critères d'existence et d'unicité

Comme nous l'avons déjà signalé, la seule continuité de la fonction f sutà assurer l'existence d'une solution du problème de Cauchy. Plus précisément,on a

Théorème 25 Soit

f : Ω −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y),

où Ω est un ouvert de R×Rn. Si f est continue, alors pour tout point (t0, y0) ∈Ω, il existe un intervalle fermé I centré en t0 et une solution locale y : I −→ Rn

de l'équation diérentielle y′ = f(t, y) avec condition initiale y(t0) = y0.


Par ailleurs, le critère suivant assure sous certaines conditions l'unicité dela solution.

Théorème 26 (Critère de Nagumo). On suppose que f(t, y) est continue dansun cylindre et qu'en outre

|t− t0|.‖f(t, y2)− f(t, y1)‖ ≤ ‖y2 − y1‖.

Alors, il existe une unique solution au problème de Cauchy

y′ = f(t, y), y(t0) = y0

Exercice 4.1 Soit l'équation diérentielle

ty′ + (1− t)y =t exp t

t2 + 1,

a) Résoudre cette équation sur R∗+ et sur R∗

−.b) Montrer qu'il existe une solution de cette équation et une seule dénie

sur R.

5 Continuité et diérentiabilité des solutions

Lemme 27 (Lemme de Gronwall). Soient t0 < t1 et f, g : [t0, t1] −→ R, deuxfonctions continues. Si pour tout t ∈ [t0, t1], f(t) ≥ 0, g(t) ≥ 0 et

f(t) ≤ a+ b

∫ t

t0

f(τ)g(τ)dτ,

où a > 0 et b > 0. Alors,

f(t) ≤ aeb∫ t

t0g(τ)dτ

, ∀t ∈ [t0, t1]

Théorème 28 (Continuité en fonction des données initiales). Soit

f : Ω −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y),

où Ω est un ouvert de R× Rn et

y′ = f(t, y),

l'équation diérentielle qui lui est associée. Supposons que f est lipschitzienneen y et continue. Soit (t0, y0) ∈ Ω, alors la solution y(t; t0, y0) de l'équationci-dessus (exprimée en fonction des conditions initiales) est continue en lestrois variables.


Théorème 29 (Continuité par rapport à un paramètre). Soient λ ∈ Rk unparamètre, ∆ un ouvert de R× Rn × Rk et

f : ∆ −→ Rn, (t, y, λ) 7−→ f(t, y, λ),

une fonction localement lipschitzienne en (y, λ) et continue. Soit y(t; t0, y0, λ)la solution de l'équation diérentielle

y′ = f(t, y, λ),

passant par le point (t0, y0) ∈ Ω ⊂ R× Rn. Alors y(t; t0, y0, λ) est continue.

Théorème 30 (Diérentiabilité par rapport aux données de Cauchy). SoientΩ est un ouvert de R× Rn et

f : Ω −→ Rn, (t, y) 7−→ f(t, y),

une fonction de classe C1. La solution de l'équation diérentielle

y′ = f(t, y),

passant par le point (t0, y0) ∈ Ω est une fonction y(t; t0, y0) de classe C1 parrapport à (t0, y0) et de classe C2 par rapport à t.

6 Quelques équations résolubles

Equation à variables séparables :

C'est une équation de la forme

y′ =f(t)

g(y),

ou sous forme symétrique

g(y)dy − f(t)dt = 0.

On a ∫g(y)dy −

∫f(t)dt = 0,

d'oùG(y)− F (t) = constante.

(G et F étant des primitives de g et f respectivement).


Equation linéaire du 1er ordre :


y′ + a(t)y = b(t),

avec a, b deux fonctions continues sur un intervalle. Cette équation est ditelinéaire ; les fonctions y et y′ sont de degré 1 et ne sont pas multipliées l'unepar l'autre.

(i) La solution générale de l'équation non-homogène est la somme de lasolution générale de l'équation homogène

y′ + a(t)y = 0,

et d'une solution particulière de l'équation non-homogène.(ii) L'équation homogène est à variables séparées et sa solution générale est

y = Ce−∫

a(t)dt, C = constante

(iii) Pour déterminer une solution particulière de l'équation non-homogène,on remplace la constante C par la fonction inconnue C(t) et enn substituery = C(t)e−

∫a(t)dt dans l'équation non-homogène pour trouver la fonction C(t)

(méthode de la variation de la constante). On obtient

C(t) =

∫b(t)e

∫a(t)dtdt+ constante.

Par conséquent,

y = e−∫

a(t)dt

(∫b(t)e

∫a(t)dtdt+ constante

),

est la solution générale de l'équation non-homogène.(iv) Selon une méthode de Bernoulli, on pose

y = uv,

où u et v sont deux fonctions inconnues (dont l'une peut être choisie de façonarbitraire). L'équation non-homogène devient

u′v + u(v′ + av) = b(t).

Notons que v′ + av = 0 car v peut être choisie de façon arbitraire. Donc onprend pour solution v une solution particulière de v′ + av = 0, par exemplev = e−

∫a(t)dt. Dès lors, u′v = b(t), d'où u =

∫b(t)e

∫a(t)dtdt + constante. Par

conséquent,

y = uv = e−∫

a(t)dt

(∫b(t)e

∫a(t)dtdt+ constante

).


Exercice 6.1 Résoudre l'équation suivante :

y′ +t

1− t2y = arcsin t+ t.

Réponse : y = (12arcsin2 t−

√1− t2 + C)

√1− t2.

Remarque 31 Certaines équations deviennent linéaires lorsqu'on permute lafonction cherchée et la variable indépendante comme le montre l'exemple sui-vant : (2t+ y3)y′− y = 0 où y est fonction de t, n'est pas linéaire. Ecrivons-laautrement,

(2t+ y3)dy = ydt,

ou

yt′ − 2t = y3, t′ ≡ dt

dy,

et il sut d'appliquer la méthode ci-dessus. On obtient t = (y + C)y2.

Equation linéaire à coecients constants :


a0y(n)(t) + a1y

(n−1)(t) + · · ·+ an−1y′(t) + any(t) = b(t),

où ai ∈ R, a0 6= 0. On associe à cette équation, l'équation homogène

a0y(n)(t) + a1y

(n−1)(t) + · · ·+ an−1y′(t) + any(t) = 0,

dont l'équation caractéristique est

a0rn + a1r

n−1 + · · ·+ an−1r + an = 0.

Rappelons que la solution générale de l'équation non-homogène est la sommede la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulièrede l'équation non-homogène. Indiquons diverses méthodes de résolution del'équation non-homogène :

(i) On peut utiliser la méthode de la variation de la constante (vue pré-cédemment), à condition que l'on connaisse la solution générale de l'équationhomogène.

(ii) Lorsque le second membre b(t) est de la forme

b(t) = eαtPm(t),

où Pm(t) est un polynôme de degré m, alors on cherche la solution particulièrede l'équation non-homogène sous la forme

y(t) = tseαtQm(t),


où Qm(t) est un polynôme de degré m et

s =

0, si α n'est pas racine de l'équation caractéristique.ordre de multiplicité de la racine α de l'équation caractéristique, sinon.

Lorsque le second membre b(t) est de la forme

b(t) = eαt(P (t) cos βt+Q(t) sin βt),

où P (t) et Q(t) sont des polynômes, alors on cherche la solution particulièrede l'équation non-homogène sous la forme

y(t) = tseαt(Rm(t) cos βt+ Tm(t) sin βt),

où Rm(t) et Tm(t) sont des polynômes de degré m égal au plus grand degrédes polynômes P , Q et

s =

0, si α+ iβ n'est pas racine de l'équation caractéristique.ordre de multiplicité de la racine α+ iβ de l'équation caractéristique, sinon.

Pour la résolution de telles équations, on peut aussi utiliser la transforméede Laplace, le produit de convolution, etc. (voir par exemple [12]).

Equation linéaire à coecients variables :


a0(t)y(n)(t) + a1(t)y

(n−1)(t) + · · ·+ an−1(t)y′(t) + an(t)y(t) = b(t).

Contrairement aux équations linéaires à coecients constants, lorsque les coef-cients sont variables il n'est en général plus possible d'exprimer les solutionsen termes d'un nombre ni de fonctions élémentaires. Par ailleurs, la résolu-tion de ces équations peut sous certaines conditions, se faire à l'aide des sériesentières convergentes. Prenons le cas des équations homogènes d'ordre 2 (pourde plus amples informations, voir par exemple [7]) :

Problème 1 : Considérons l'équation diérentielle

y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = 0,

où P1 et P2 sont des fonctions analytiques sur ]x0 − r, x0 + r[. On montre quedans ce cas toute solution de l'équation ci-dessus est analytique sur ce mêmeintervalle.


Exemple 32 On considère l'équation diérentielle

xy′′ + (1− x)y′ − y = 0,

où y est une fonction de la variable réelle x. Supposons qu'il existe une sérieentière, de rayon de convergence r > 0,

y =∞∑

k=0

akxk,

qui soit solution de cette équation et telle que : y(0) = 1. On montre que

ak+1 =ak

k + 1, r = +∞,

et

y =∞∑

k=0

xk

k!= ex.

Exemple 33 Etudier l'équation de Legendre :

(1− x2)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0,

où n est un nombre réel.

Problème 2 : Considérons l'équation diérentielle

(x− x0)2y′′ + (x− x0])P1(x)y

′ + P2(x)y = 0,

où P1 et P2 sont des fonctions analytiques sur ]x0 − r, x0 + r[. On cherche àsatisfaire l'équation ci-dessus par une relation dy type

y(x) = xα

∞∑k=0

ak(x− x0)k,

et il s'agira de déterminer α ainsi que les coecients ak.

Exemple 34 Etudier l'équation de Bessel :

x2y′′ + xy′ + (x2 − λ2)y = 0, λ ∈ R

Système linéaire à coecients constants :

(voir plus loin).


Equation homogène :

Il s'agit d'une équation de la forme

y′ = f(yt

), t 6= 0

ou encoreP (t, y)dt+Q(t, y)dy = 0,

où P (t, y) et Q(t, y) sont des fonctions homogènes de même ordre. Rappelonsqu'une fonction P (t, y) est dite homogène de degré n si pour tout t ∈ R,P (λt, λy) = λnP (t, y), n > 0). Pour résoudre une équation homogène, on peutsubstituer y = tu et obtenir ainsi une équation à variables séparables.


ty′ = t+ y.

Réponse : y = t(ln |t|+ C).

Equation de la forme :

y′ = f

(a1t+ b1y + c1a2t+ b2y + c2

).

(i) Si

det

(a1 b1a2 b2

)6= 0,

alors on pose t = τ + αy = τ + β

où (α, β) est la solution du système algébriquea1t+ b1y + c1 = 0a2t+ b2y + c2 = 0

(ii) Si

det

(a1 b1a2 b2

)= 0,

alors on posea1t+ b1y = u,

et l'équation en question se ramène à une équation à variables séparables.



(t+ 2y − 1)y′ + (2t+ y + 1).

Réponse : y2 + t2 + ty + t− y = C.


(2t+ 2y − 1)y′ + (t+ y + 2).

Réponse : t+ 2y + 5 ln |t+ y − 3| = C.

Equation de Bernoulli :

C'est une équation non linéaire de la forme

y′ + a(t)y = b(t)yn, (n 6= 0, 1)

En divisant cette équation par yn (n 6= 0), on obtient

y′

yn+ a(t)

1

yn−1= b(t).

Posons u = 1yn−1 , d'où

1

1− nu′ + a(t)u = b(t),

une équation linéaire.


y′ − 2ty = −ty2.

Réponse : y = 1

Ce−t2+ 12

, t ∈ R, C = constante.

Equation de Riccati :

C'est une équation non linéaire de la forme

y′ + a(t)y + b(t)y2 = c(t).

Cette équation ne peut pas être résolue en général. La méthode de résolutionde cette équation nécessite la connaissance d'une solution particulière. Si onconnait une solution particulière y1, on ramène, en posant y(t) = y1(t) + u(t),l'équation de Riccati à l'équation de Bernoulli :

u′ + (a+ 2by1)u = −bu2.


Equation exacte :

Soit l'équationP (t, y) +Q(t, y)y′ = 0,

ouP (t, y)dt+Q(t, y)dy = 0,

avec P et Q sonr dénies et de classe C1 sur un ouvert D. Rappelons quela forme diérentielle de degré 1, Pdt + Qdy, est fermée si et seulement si∂P∂y

= ∂Q∂t. Elle est dite exacte si et seulement si il existe une fonction f telle

que : P = ∂f∂t

et Q = ∂f∂y

ou ce qui revient au même df = Pdt + Qdy. Dèslors, en écrivant l'équation en question sous la forme df = 0, alors sa solutiongénérale sera donnée par f(t, y) = constante. Rappelons aussi que toute formediérentielle exacte est fermée. La réciproque est vraie si l'ouvert D esr étoilé(ou simplement connexe). Dans certains cas, même si ∂P

∂y6= ∂Q

∂t, on peut rendre

exacte une équation qui ne l'est pas, en la multipliant par un facteur intégrantc-à-d. une fonction h(t, y) 6= 0 telle que : ∂P

∂t= h.P , ∂Q

∂y= h.Q, ou ce qui

revient au même que hPdt + hQdy soit exacte. Pour déterminer un facteurintégrant h, on procède comme suit :

(i) Si∂P∂y− ∂Q

∂t

Q= α(t), alors h = e

∫α(t)dt, est un facteur intégrant.

(ii) Si∂Q∂t− ∂P

∂y

P= β(y), alors h = e

∫β(y)dy, est un facteur intégrant.

(iii) On peut trouver un facteur intégrant dépendant des deux variables tet y.


2t+ 3t2y + (t3 − 3y2)y′ = 0.

Réponse : t2 + t3y − y3 = C.


2y + t(2 + y)y′ = 0.

Réponse : 2tyey2 = C.

Equation de Lagrange :

Il s'agit d'une équation de la forme

y = tf(y′) + g(y′).


En dérivant cette équation et en posant u = y′, on obtient

u = f(u) + tu′f ′(u) + u′g′(u).

Introduisons la notationu′ =

du

dt=

1dtdu

=1

t′.

D'où,(u− f(u))t′ − f ′(u)t = g′(u).

Cette équation est linéaire par rapport à t en tant que fonction de u et sasolution s'obtient aisément. En désignant sa solution par t = F (u), alors lasolution générale de l'équation de Lagrange sera de la forme :

t = F (u)y = tf(u) + g(u) = F (u)f(u) + g(u)


y = (t+ 1)y′2.

Réponse : La solution générale est t = C(1−u)2

− 1, y = Cu2

(1−u)2, C = constante et

y = 0 est la solution singulière.

Equation de Clairaut :


y = ty′ + g(y′),

qui est un cas particulier de l'équation de Lagrange. En dérivant cette équation,on obtient

y′′(t+ g′(y′)) = 0.

Posons u = y′, d'oùu′(t+ g′(u)) = 0.

(i) u′ = 0, d'où u = y′ = C et y = Ct + g(C) (solution générale : unefamille de droites dans le plan).

(ii) t + g′(u) = 0 et l'équation en question s'écrit y = −g′(u)u + g(u). Parconséquent

t = −g′(u)y = −g′(u)(u) + g(u)

(solution singulière : enveloppe d'une famille de droites dénies par la solutiongénérale).



y − ty′ + ey′ = 0.

Réponse : y = (ln t− 1)t.

Equation d'Euler :


ak(αt+ β)ky(k) + ak−1(αt+ β)k−1y(k−1) + · · ·+ a1(αt+ β)y′ + a0y = 0,

où a0, ..., ak, α, β ∈ R. La substitution αt + β = ex transforme l'équation ci-dessus en une équation linéaire à coecients constants.


(4t− 1)2y′′ − 2(4t− 1)y′ + 8y = 0.

Réponse : y = C(4t− 1) +K√

4t− 1, (C,K = constantes).


F(t, y(k), y(k+1), ..., y(n−1), y(n)

)= 0.

Notons que cette équation ne contient pas la fonction y cherchée. On abaissel'ordre de cette équation en posant y(k) = z et l'équation devient

F(t, z, z′, ..., z(n−k)

)= 0.


ty′′ − y′ ln y′ + y′ ln t = 0.

Réponse : y = tCeCt+1 − 1

C2 eCt+1 +K, (C,K = constantes).


F(y, y′, ..., y(n)

)= 0.

Cette équation ne contient pas la variable t (c'est une équation autonome). Onpeut réduire cette équation à une équation d'ordre n−1 en posant z = y′ = dy

dt,

d'où y′′ = d2ydt2

= z dzdy, y(3) = d3y

dt3= z

(dzdy

)2

+ z d2zdy2 , etc.



yy′′ − y′2 − 1 = 0.

Réponse : 1√C

ln(√Cy +

√Cy2 − 1) = ±t+K, (C,K = constantes).

7 Systèmes diérentiels linéaires, théorème d'exis-

tence

On considère le systèmes diérentiel linéaire suivant :

y′1 = a11(t)y1 + · · ·+ a1n(t)yn + b1(t),...

y′n = an1(t)y1 + · · ·+ ann(t)yn + bn(t),

où ′ désigne la dérivée par rapport à t et

aij, bj : I ⊂ R −→ K(= R ou C)

On suppose que les n2 fonctions aij(t) et les n fonctions bj(t) sont continuessur I. Posons

y =

y1...yn

, b(t) =

b1(t)...

bn(t)

, A(t) = (aij(t))1≤i,j≤n ∈Mn(K)

Le système linéaire non-homogène ci-dessus s'écrit sous la forme matricielle :

y′ = A(t)y + b(t).

Ce système est dit homogène si b(t) = 0, c-à-d. si

y′ = A(t)y.

Théorème 35 (Cauchy). Si A et b sont continues sur I ⊂ R, alors le sys-tème linéaire non-homogène ci-dessus possède pour tout t0 ∈ I, une solutionmaximale unique y vériant la condition initiale :

y(t0) = y0 =

y01...y0n

, (vecteur donné).


D'après le théorème précédent, on sait que pour toute donnée de Cauchy(t0, y0) ∈ I × Rn, il existe une solution unique dénie sur tout I. On noteracette solution y(t; t0, y0).

Proposition 36 L'ensemble des solutions du système linéaire homogène ci-dessus est un espace vectoriel de dimension n.

L'application qui à y solution maximale associe y(t0), est un isomorphismelinéaire. Dès lors, l'application y0 7−→ y(t; t0, y0) étant linéaire, on peut lareprésenter dans une base par une matrice R(t, t0) d'ordre n, dont les élémentssont fonctions de t et t0.

Dénition 37 On appelle résolvante ("solution operator" en anglais), l'appli-cation

R : I × I −→Mn(K), (K = R ou C),

dénie par

∀t, s ∈ I, dR

dt(t, s) = A(t)R(t, s), R(s, s) = Id.

Autrement dit, la matrice résolvante R(t, t0) du système est dénie par la re-lation

y(t; t0, y0) = R(t, t0).y0, ∀y0 ∈ Rn

Si (ej)j=1,...,n est une base de Rn, la j-ème colonne deR(t, t0) est

R(t, t0).ej = R(t, t0)

0...10...0

,

et représente la solution y(t; t0, ej).

Propriété 38 R(t0, t0) = Id.

Propriété 39 R(t, s).R(s, r) = R(t, r).

Propriété 40 La matrice R(t, s) est inversible et R−1(t, s) = R(s, t).

Dénition 41 On appelle système fondamental de solutions du système li-néaire homogène, toute base (vj) de l'espace vectoriel des solutions de ce sys-tème.


Proposition 42 Un ensemble (v1, ..., vn) de n solutions du système linéairehomogène est un système fondamental si et seulement si ∀t ∈ I, (v1(t), ..., vn(t))est une base de Rn ou encore si et seulement si pour un t0 ∈ I, (v1(t0), ..., vn(t0))est une base de Rn

Dénition 43 Une matrice fondamentale est une matrice V (t) dont les co-lonnes sont les vecteurs (v1(t), ..., vn(t)) d'une base de l'espace des solutions dusystème linéaire homogène.

On a

V (t) = (v1(t), ..., vn(t)),

= (R(t, s)v1(s), ..., R(t, s)vn(s)),

= R(t, s)V (s).

Comme les colonnes de V (t) sont linéairement indépendants, alors V (t) est derang maximum et on a

R(t, s) = V (t).V −1(s).

En posant s = t0 dans les deux expressions ci-dessus, on remarque que laconnaissance de la matrice fondamentale V (t) est équivalente à celle de lamatrice résolvante R(t, t0).

Proposition 44 Pour le système de n× n équations diérentielles linéaires

R′(t, t0) = A(t)R(t, t0),

avec condition initiale R(t0, t0) = Id., l'unique fonction I −→ Rn×n solutionde ce système est la matrice résolvante R(t, t0).

Remarque 45 La connaissance de R(t, t0) nous permet de déterminer la solu-tion car y = R(t, t0)y0 est l'unique solution satisfaisant à la condition initiale.Or d'après la proposition précédente, R(t, t0) satisfait à une équation diéren-tielle semblable à l'équation originale. Donc il est rare que l'on puisse calculerfacilement la résolvante R(t, t0). Cette dernière est surtout d'un intérêt théo-rique. En général, on ne peut pas déterminer R(t, t0). Cependant, on connaitson déterminant :

Proposition 46 (Equation de Jacobi-Liouville). On a

detR(t; t0) = e∫ t

t0trA(τ)dτ

,

où trA(τ) désigne la trace de la matrice A(τ), ou pour toute matrice fonda-mentale V (t),

detV (t) = detV (t0)e∫ t

t0trA(τ)dτ

.


Exercice 7.1 Supposons que A(t) et A(s) commutent ∀t, s ∈ I. Montrer que

R(t; t0) = e∫ t

t0A(τ)dτ

.

Proposition 47 La solution générale du système linéaire non-homogène est lasomme de la solution générale du système homogène et d'une solution particu-lière du système linéaire non-homogène. Autrement dit, l'espace des solutionsdu système linéaire non-homogène est un sous-espace ane de dimension n del'espace vectoriel C0(I,Rn), obtenu en faisant la somme de l'ensemble des so-lutions du système linéaire homogène et d'une solution quelconque du systèmelinéaire non-homogène.

Proposition 48 La solution du système :

y′ = A(t)y + b(t),

satisfaisant y(t0) = y0 est donnée par

y(t) = R(t; t0)y0 +

∫ t

t0

R(t; τ)b(τ)dτ,

où R(t; τ) est la matrice résolvante du sytème homogène.

Résolution pratique : Lorsqu'on connait la solution générale du système li-néaire homogène, mais pas de solution particulière, on peut néamoins toujourstrouver la solution générale du système non-homogène par la méthode de va-riation des constantes de Lagrange. On suppose que y1, ..., yn sont des solutionslinéairement indépendantes du système linéaire homogène. On cherche alors ysolution du système linéaire non-homogène, avec

y(t) =n∑

j=1

cj(t)yj(t).

On a

y′(t) =n∑

j=1

c′j(t)yj(t) +n∑

j=1

cj(t)y′j(t),

=n∑

j=1

c′j(t)yj(t) +n∑

j=1

cj(t)A(t)yj(t),

=n∑

j=1

c′j(t)yj(t) + A(t)y(t).


Ory′(t) = A(t)y(t) + b(t),

donc y vérie cette équation si et seulement si

b(t) =n∑

j=1

c′j(t)yj(t).

Pour t xé, soit P = (Pij(t)) la matrice de passage de la base canonique(e1, ..., en) à la base (y1(t), ..., yn(t)) de Kn. On a

b(t) =n∑

j=1

c′j(t)

(n∑

i=1

Pijei

),

=n∑

j=1

n∑i=1

c′j(t)Pijei,

=n∑

i=1

(n∑

j=1

c′j(t)Pij

)ei,

=n∑

i=1

bi(t)ei,

d'oùn∑

j=1

c′j(t)Pij = bi(t),

ou sous forme matricielle

P (t).C ′(t) = b(t), C =

c1...cn

Par conséquent,

C ′(t) = P−1b(t).

La forme générale d'une équation linéaire d'ordre n est

a0(t)y(n) + a1(t)y

(n−1) + ...+ a(n−1)(t)y′ + an(t)y = b(t),

où les a0 6= 0, a1(t), ..., an(t), b(t) sont des fonctions continues dénies sur unintervalle ouvert I de R.

La résolution de cette équation peut se ramener à celle d'un système dié-rentiel de n équations linéaires du premier ordre.


Proposition 49 a) Pour chaque t0 ∈ I et chaque point (u0, u1, ..., un−1) ∈ Rn,il existe une solution unique

y : I −→ R, t 7−→ y(t),

de l'équation diérentielle ci-dessus dénie sur I et satisfaisant aux conditionsinitiales :

y(t0) = u0, y′(t0) = u1, ..., y

(n−1)(t0) = u(n−1).

b) L'ensemble S des solutions de l'équation linéaire homogène :

a0(t)y(n) + a1(t)y

(n−1) + ...+ a(n−1)(t)y′ + an(t)y = 0,

est un espace vectoriel de dimension n. Pour chaque t0 ∈ I, la fonction asso-ciant à une solution y, le n-uple (y(t0), y

′(t0), ..., y(n−1)(t0)) est une bijection

linéaire de S sur Rn.

Un système fondamental de solutions pour l'équation linéaire non-homogèneci-dessus est un ensemble de n solutions y1, ..., yn tels que les vecteurs yj(t),y′j(t),...,y

(n−1)j (t) soient linéairement indépendants pour tout t, c-à-d. tels que

le wronskien

W (t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1 y2 · · · yn

y′1 y′2 · · · y′n...

... · · · ...y

(n−1)1 y

(n−1)2 · · · y

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣soit non nul.

Notons que tr A = −a1

a0et l'équation de Jacobi-Liouville se réduit à

W (t) = detV (t) = W (t0)e∫ t1

t0

a1a0

(τ)dτ.

8 Systèmes diérentiels linéaires à coecients

constants

Considérons maintenant le système

y′(t) = Ay(t) + b(t),

où A est ici une matrice constante (c-à-d. indépendante de t) d'ordre n. Lesystème homogène correspondant est

y′(t) = Ay(t).

Lorsque la matrice A est diagonalisable, on obtient la solution en cher-chant les valeurs propres de A et les vecteurs propres associés. Lorsque A n'estpas diagonalisable, on alors besoin en général de la notion d'exponentielle dematrice.


Exercice 8.1 L'exponentielle eA d'une matrice A ∈ Mn(K),K = R ou C estdénie par la série

eA =∞∑

k=0

Ak

k!.

a) Montrer que cette série converge normalement.b) Montrer que pour une matrice diagonale

D =

λ1 0 · · · 0

0 λ2. . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 λn

,

on a

eD =

eλ1 0 · · · 0

0 eλ2. . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 eλn

.

c) Soit A,B ∈Mn(K. Montrer que si A et B commutent, alors

eA.eB = eA+B = eB.eA.

d)Montrer que pour A ∈Mn(K et P ∈ GLn(K, on a

eA = P−1.ePAP−1

.P

e) Montrer que : (eAt)′ = AeAt.f) Montrer que : det eA = etrA.

Exercice 8.2 Déterminer eA où

A =

1 −1 0 −10 2 0 3−1 0 2 60 0 0 −1

.

Réponse :

eA =

e e− e2 0 e− e2

0 e2 0 −e−1

e− e2 e e2 e+ 2e2 − 2e−1

0 0 0 e−1

.


Remarque 50 Notons que si A est une matrice constante, la résolvante dusystème homogène est y′(t) = Ay(t) est donnée par

R(t, s) = e(t−s)A.

De même si a : I −→ R est une fonction continue et y est valeurs réelles, alorsla résolvante (dans le cas scalaire) de l'équation y′(t) = a(t)y(t) est donnée par

R(t, s) = e∫ t

s a(τ)dτ .

On pourrait être tenté d'extrapoler ces résultats et vouloir les appliquer au casgénéral du système homogène et espèrer que la résultante R(t, s) soit égaleà e

∫ ts A(τ)dτ . Or ceci n'est possible que si les matrices commutent car d'après

l'exercice précédent, eA+B = eAeB = eBeA si A et B commutent.

Rappel d'analyse matricielle : soit A une matrice d'ordre n, à termes réels.Dans la base canonique (e1, ..., en) de Rn, la matrice A peut être considéréecomme une application linéaire

T : Rn −→ Rn, x =n∑

j=1

xjej 7−→ Tx =n∑

j=1

yieu,

avec y1...yn

=

a11 · · · a1n... . . . ...an1 · · · ann

x1

...xn

,

c'est-à-direy = Ax.

Dans une autre base (e′1, ..., e′n), le même endomorphisme peut-être représenté

par P−1AP où P est la matrice de passage de la base (e1, ..., en) à (e′1, ..., e′n) :

P =

P11 · · · P1j · · · P1n...

......

Pn1 · · · Pnj · · · Pnn

, ∀j, e′j =n∑

i=1

piej.

C'est une matrice inversible.

Proposition 51 Si A est la matrice de T dans (e1, ..., en), si A′ est la matricede T dans (e′1, ..., e

′n) et si P est la matrice de passage de (e1, ..., en) dans

(e′1, ..., e′n), alors

A′ = P−1AP.

(Les matrices A et A′ sont dites semblables).


On dit que la matrice A (ou T ) est diagonalisable si et seulement si, ilexiste une base de Rn (ou Cn) constituée de vecteurs propres de (v1, ..., vn) A(ou T ) :

Tvj = λjvj, 1 ≤ j ≤ n

Dans cette base, on a

P−1AP = D =

λ1 0 · · · 0

0 λ2. . . ...

... . . . . . . 00 · · · 0 λn

,

où P est la matrice de passage de la base canonique (e1, ..., en) de Rn à la base(v1, ..., vn).

Si A admet n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable. Onchoisit

v1 ∈ Eλ1\0, ..., vn ∈ Eλn\0

où Eλi= ker(T −λiId) est le sous-espace propre de T associé à la valeur propre

λi.Si A est symétrique ou anti-symétrique ou commute avec sa transposée,

alors A est diagonalisable.Si A admet k (< n) valeurs propres distinctes λ1, ..., λn, alors A est diago-

nalisable lorsquedimEλ1 + · · ·+ Eλk

= n.

Toute matrice peut être mise sous forme de Jordan : il existe une matriceP de changement de base telle que :

P−1AP =

J1 0 · · · 0

0 J2. . . ...

... . . . . . . 00 · · · 0 Jn

.

Ici chaque matrice carrée Jk est un bloc de Jordan et elle est de la forme

Jk =

λk 1 · · · 0

0 λk. . . ...

... . . . . . . 10 · · · 0 λk

, λk ∈ R

Le nombre de blocs dans la matrice est égal à la dimension de l'espace propreet il est aussi égal au nombre de vecteurs linéairement indépendants.


Soit A ∈ Mn(C), non diagonalisable. Pour calculer l'exponentielle etA, onpeut donc commencer par ramener la matrice A à sa forme de Jordan parle changement de base P , puis prendre l'exponentielle et enn revenir à labase de départ par P−1. Il reste à calculer l'exponentielle d'une matrice sousforme normale de Jordan. Or, dans chaque puissance de la matrice, les blocsse multiplient séparément sans se mélanger et il sut donc de calculer etJλ oùJλ est un bloc de Jordan (dordre m) :

Jλ =

λ 1 · · · 0

0 λ. . . ...

... . . . . . . 10 · · · 0 λ

.

Théorème 52 La solution générale du système homogène à coecients constants :y′ = Ay est donnée par

y(t) = e(t−t0)Ay0, ∀y0 ∈ Rn,

et c'est l'unique solution satisfaisant à la condition initiale : y(t0) = y0.

Proposition 53 Reprenons le système homogène à coecients constants :y′ = Ay.

a) On suppose que la matrice A est diagonalisable. Soit (v1, ..., vVn) unebase de vecteurs propres pour A et soit λ1, ..., λn les valeurs propres associées.Alors l'ensemble (eλ1tv1, ..., e

λntvn) forme un système fondamental de solutions.Autrement dit, on a

y(t) = c1eλ1tv1 + · · ·+ cne

λntvn.

C'est l'unique solution satisfaisant à la condition initiale : y(0) = y0.b) Si la matrice A est diagonalisable sur C mais pas sur R, il sut dans

la famille génératrice des solutions de remplacer, pour les valeurs non réelles,αeλtv + βeλtv par aRe(eλtv) + bIm(eλtv).

Exercice 8.3 Que peut-on dire si la matrice A est triangularisable ou réduitesous forme de Jordan ?

Les valeurs propres de la matrice A (d'ordre n) sont distinctes :La solution générale du système homogène est

y = c1eλ1tv1 + · · ·+ cne

λntvn,

où v1, ..., vn sont les vecteurs propres correspondants respectivement aux va-leurs propres λ1, ..., λn.


Exercice 8.4 Intégrer le système diérentiely1

′= y1 + 5y2

y2′

= y1 − 3y2

Réponse :y1 = 5C1e

2t − C2e−4t,

y2 = C1e2t + C2e

−4t.


′= 6y1 − 12y2 − y3

y2′

= y1 − 3y1 − y3

y3′

= −4y1 + 12y2 + 3y3

Réponse :y1 = 2C1e

t + 73C2e

2t + 3C3e3t,

y2 = C1et + C2e

2t + C3e3t,

y3 = −2C1et − 8

3C2e

2t − 3C3e3t.

Exercice 8.6 Résoudre matriciellement le problème de Cauchy :y1

′= y1 + y2

y2′

= y1 − y2

y1(0) = 2, y2(0) = 0.

Réponse :y1 = 2+

√2

2e√

2t + 2−√

22e−

√2t,

y2 =√

22e√

2t −√

22e−

√2t.

Les valeurs propres de la matrice A (d'ordre n) ne sontpas dis-tinctes :

Si λ est une valeur propre de A avec ordre de multiplicitém, alors la solutioncorrespondante est

y1 = P1(t)eλt, ..., yn = Pn(t)eλt

où P1(t), ..., Pn(t) sont des polynômes de degré ≤ m− 1.


′= 5y1 − y2

y2′

= y1 + 3y2


Réponse :y1 = (C1 + C2t)e

4t,y2 = (C1 − C2 + C2t)e

4t.


′= 2y1 + y2 + y3

y2′

= −2y1 − y3

y3′

= 2y1 + y2 + 2y3

Réponse :y1 = C3e

2t − C2et,

y2 = −2C3e2t + (C2t+ C1)e

t,y3 = 2C3e

2t + (−C2t+ C2 − C1)et.

Les valeurs propres de la matrice A (d'ordre n) sont imaginairesconjuguées :


′= 4y1 − 3y2

y2′

= 3y1 + 4y2

Réponse :y1 = (α cos 3t+ β sin 3t)e4t,y1 = (−α sin 3t+ β cos 3t)e4t.


′= y1 − y3

y2′

= y1

y3′

= y1 − y2

Réponse :y1 = aet + b cos t+ c sin t,y2 = aet + b cos t− c sin t,y3 = b(cos t+ sin t) + c(sin t− cos t).

La solution générale du système non-homogène est la somme de la solutiongénérale du système homogène et d'une solution particulière du système non-homogène. On a

y′(t) = Ay(t) + b(t),


où A est diagonalisable et b(t) est continue sur I. Posons y = Px) (P étant lamatrice de passage), d'où

Px′ = APx+ b, (P constant)

x′ = P−1APx+ P−1b = Dx+ P−1b,

où D = diag(λ1, ..., λn) est une matrice diagonale. En posant

P−1b(t) =

c1(t)...

cn(t)

,

le système ci-dessus devient

x′1 = λ1x1 + c1(t),...

x′n = λnxn + cn(t).

On cherche une solution particulière de chaque équation et y = Px permetde conclure. Ici on a besoin de P−1 pour calculer P−1b. Mais lorsque la di-mension est petite et le second membre est simple (exemple : polynôme, expo-nentielle,...), on peut ne pas calculer P−1 et chercher directement une solutionparticulière.

Pour déterminer une solution particulière du système non-homogène, onpeut procéder comme pour une équation linéaire à coecients constants à laseule diérence suivante : si

bi(t) = eαtPmi(t),

où Pmi(t) sont des polynômes de degré mi, on cherche une solution particulière

sous la formeyi = eαtQi

m+s(t), i = 1, 2, ..., n

où Qim+s(t) sont des polynômes de degré m + s ave m = maxmi et s = 0

si α n'est pas racine de l'équation caractéristique det(A − λI) = 0 et s = àl'ordre de multiplicité de la racine α de l'équation det(A − λI) = 0 (ou plusexactement, s est d'une unité plus grand que le degré supérieur des polynômesqui dans la solution générale du système homogène sont multiples par eαt).

Les coecients inconnus des polynômes se déterminent par introductiondes expressions yi = eαtQi

m+s(t) dans le système non-homogène et par identi-cation des coecients des termes semblables.


Les polynômes se déterminent de façon analogue même si les bi(t) contiennenteαt cos βt et eαt sin βt et que le nombre α + iβ soit racine de l'équation :det(A− λI) = 0. Plus précisément, si

bi(t) = eαt(Pmi(t) cos βt+Qmi

(t) sin βt),

on cherchera la solution sous la forme

yi = eαt(Rm+s(t) cos βt+ Tm+s(t) sin βt).

(Rm+s, Tm+s étant des polynômes à déterminer).La solution du système non-homogène peut être obtenue par la méthode

de la variation des constantes, si on connaît la solution générale du systèmehomogène.


′= y2 − 5 cos t

y2′

= 2y1 + y2


′= 4y1 − y2 + e3t(t+ sin t)

y2′

= y1 + 2y2 + xe3t cos t


′= 4(y1 + y2)

y2′

= y1 + 4y2

et trouver la solution particulière telle que : y1(0) = 0, y2(0) = 1.

9 Flot déni par une équation diérentielle

Toutes les questions liées à cette section seront étudiées de manière appro-fondie dans le cours de Géométrie (SMA6) où on aura à notre disposition deséléments de variétés diérentiables, espaces tangents, brés tangents, etc. Onse contente de donner ici quelques informations sur cet aspect important deséquations diérentielles.

Soit Ω un ouvert de Rm et considérons le problème de Cauchy

dx

dt= f(x), x(t0) = x0

où f est une fonction dénie sur Ω et (t0, x0) ∈ R × Ω. On a vu que si fest continue et localement lipschitzienne, alors pour tout (t0, x0) ∈ R × Ω, le


système ci-dessus admet une unique solution maximale sur un intervalle ouvertI. Dès lors, l'application (t, t0, x0) 7→ x(t; t0, x0) est bien dénie sur l'ouvertU = (t, t0, x0) ∈ R× R× Ω; t ∈ I.

On appelle ot de l'équation diérentielle ci-dessus, l'application

V ≡ (t, x0) ∈ R× Ω; t ∈ I −→ Rm, (t, x0) 7−→ gt(x0) = x(t; 0, x0).

Cette application est continue et vérie

d

dtgt(x0) = f(gt(x0)), g0(x0) = x0.

Notons que gt est une application indépendante de t0 :

∀(t, t0, x0) ∈ U, (t− t0, x0) ∈ V, x(t; t0, x0) = gt−t0(x0).

Une dénition similaire peut-être obtenue pour un système non-autonome.Notons que le ot gt (pour le système diérentiel linéaire vu précédemment)

n'est rien d'autre que la résolvante R(t, t0).

Exemple 54 Soit dxdt

= Ax, une équation diérentielle linéaire à coecientsconstants. Le ot de cette équation est gt(x) = etAx.

Supposons maintenant que Ω = Rm (on pourrait aussi considérer unesphère, un tore ou généralement un espace topologique muni d'une structurede variété diérentiable) et que f est globalement lipschitzienne. Le ot seradéni sur tout R× Rm (et V = R× Rm). L'application t 7−→ gt est un homo-morphisme de R dans l'ensemble des diéomorphismes de Rm dans lui-même.

Un champ de vecteurs surM est une application, notée X, qui à tout pointx ∈M associe un vecteur tangent Xx ∈ TxM .

Soit (x1, ..., xm) un système de coordonnées locales dans un voisinage Ω.Dans ce système le champ de vecteurs X s'écrit sous la forme

X =m∑

k=1

fk (x)∂

∂xk

, x ∈ Ω,

où les fonctionsf1, . . . , fm : Ω −→ R,

sont les composantes de X par rapport à (x1, ..., xm). Un champ de vecteursX est diérentiable si ses composantes fk(x) sont des fonctions diérentiables.Cette dénition de diérentiabilité ne dépend pas évidemment du choix dusystème de coordonnées locales. En eet, si (y1, ..., ym) est un autre systèmede coordonnées locales dans Ω, alors

X =m∑

k=1

hk (x)∂

∂yk

, x ∈ Ω,


oùh1, . . . , hm : Ω −→ R,

sont les composantes de X par rapport à (y1, ..., ym) et le résultat découle dufait que

hk(x) =m∑

l=1

∂yk

∂xl

fl(x), x ∈ Ω.

Au champ de vecteurs X correspond un système d'équations diérentielles

dx1

dt= f1 (x1, ..., xm) ,

... (9.1)dxm

dt= fm (x1, ..., xm) .

Un champ de vecteurs diérentiable X sur Ω s'appelle système dynamique. Unchamp de vecteurs s'écrit localement sous la forme (9.1). Une courbe intégrale(ou trajectoire) du champ de vecteurs X est une courbe diérentiable

γ : I −→ Ω, t 7−→ γ(t),

telle que :

∀t ∈ I, dγ (t)

dt= X (γ (t)) ,

où I est un intervalle de R.Si

m∑k=1

fk (x)∂

∂xk

,

est l'expression locale de X, alors les courbes intégrales (ou trajectoires) de Xsont les solutions γ(t) = xk(t) de (9.1).

On suppose dans la suite que le champ de vecteurs X est diérentiable (declasse C∞) et à support compact (c-à-d., X est nul en dehors d'un compact deΩ).

Etant donné un point x ∈ Ω, intuitivement le ot gXt (x) (ou tout simple-

ment gt(x)) désigne la position de x après un déplacement d'une durée t ∈ R.


On a ainsi une application gXt : Ω −→ Ω, t ∈ R, qui est un diéomorphisme,

en vertu de la théorie des équations diérentielles (voir théorème ci-dessous).Plus précisément, au champ de vecteurs X est lié un groupe à un paramètrede diéomorphismes gX

t sur Ω c'est-à-dire une application diérentiable (declasse C∞) : Ω× R −→ Ω, vériant une loi de groupe :

i) ∀t ∈ R, gXt : Ω −→ Ω est un diéomorphisme de Ω sur Ω.

ii) ∀t, s ∈ R, gXt+s = gX

t gXs .

La condition ii) signie que la correspondance t 7−→ gXt , est un homomor-

phisme du groupe additif R dans le groupe des diéomorphismes de Ω dans Ω.Elle implique que

gX−t =

(gX

t

)−1,

car gX0 = idΩ est la transformation identique qui laisse chaque point invariant.

Le groupe à un paramètre de diéomorphismes ou ot gXt sur Ω, que l'on

vient de décrire admet le champ de vecteurs X pour champ de vitesses

d

dtgX

t (x) = X(gX

t (x)),

avec la condition initialegX0 (x) = x.

Evidemmentd

dtgX

t (x)

∣∣∣∣t=0

= X (x) .

Donc par ces formules gXt (x) est la courbe sur Ω qui passe par x et telle que

la tangente en chaque point est le vecteur X(gX

t (x)).

Nous allons maintenant voir comment construire le ot gXt sur Ω.

Théorème 55 Le champ de vecteurs X est générateur d'un unique groupe àun paramètre de diéomorphismes de Ω.

Démonstration : a) Construction de gXt pour t assez petit. Pour x xé, l'équa-

tion diérentielled

dtgX

t (x) = X(gX

t

),

fonction de t avec la condition initiale

gX0 (x) = x,

admet une solution unique gXt dénie au voisinage du point x0 et dépendant de

façon C∞ de la condition initiale. Donc gXt est localement un diéomorphisme.

Dès lors pour chaque point x0 ∈ Ω, on peut trouver un voisinage U (x0) ⊂ Ω,un nombre réel positif ε ≡ ε (x0) tels que pour tout t ∈ ]−ε, ε[, l'équation


diérentielle en question avec sa condition initiale admet une solution uniquegX

t (x) diérentiable dénie dans U (x0) et vériant la relation de groupe

gXt+s (x) = gX

t gXs (x) ,

avec t, s, t+ s ∈ ]−ε, ε[ . En eet, posons

x1 = gXt (x) , t xé,

et considérons la solution de l'équation diérentielle satisfaisant dans le voisi-nage du point x0 à la condition initiale

gXs=0 = x1.

Cette solution vérie la même équation diérentielle et coincide en un point

gXt (x) = x1,

avec la fonction gXt+s. Donc, par unicité de la solution de l'équation diéren-

tielle, les deux fonctions sont localement égales. Par conséquent, l'applicationgX

t est localement un diéomorphisme. Rappelons que le champ de vecteurs Xest supposé diérentiable (de classe C∞) et à support compact K. Du recouvre-ment de K formé par des ouverts U (x), on peut extraire un sous-recouvrementni (Ui), puisque K est compact. Désignons par εi les nombres ε correspon-dants aux Ui et posons

ε0 = inf (εi) , gXt (x) = x, x /∈ K.

Dès lors, l'équation en question admet une solution unique gXt sur Ω× ]−ε0, ε0[

vériant la relation du groupe

gXt+s = gX

t gXs ,

l'inverse de gXt étant gX

−t et donc gXt est un diéomorphisme pour t susamment

petit.b) Construction de gX

t pour tout t ∈ R. D'après a), il sut de construiregX

t pour t ∈ ]−∞,−ε0[ ∪ ]ε0,∞[ . Nous allons voir que les applications gXt

se dénissent d'après la loi de multiplication du groupe. Notons que t peuts'écrire sous la forme

t = kε0

2+ r,

avec k ∈ Z et r ∈[0, ε0

2

[. Posons, pour t ∈ R∗

+,

gXt = gX

ε02 · · · gX

ε02︸︷︷︸

k−fois

gXr ,


et pour t ∈ R∗−,

gXt = gX

− ε02 · · · gX

− ε02︸︷︷︸

k−fois

gXr .

Les diéomorphismes gX± ε0

2

et gXr ont été dénis dans a), et on en déduit que

pour tout réel t, gXt est un diéomorphisme déni globalement sur Ω.

Corollaire 56 Toute solution de l'équation diérentielle

dx (t)

dt= X (x (t)) , x ∈ Ω,

avec la condition initiale x (pour t = 0), est indéniment prolongeable. Lavaleur de la solution gX

t (x) à l'instant t est diérentiable par rapport à t et àla condition initiale x.

Avec un léger abus de notation, on peut écrire l'équation précédente sous laforme du système d'équations diérentielles (9.1) avec les conditions initialesx1, ..., xm pour t = 0.

Au champ de vecteursX est lié l'opérateur diérentiel LX d'ordre 1. Il s'agitde la diérentiation des fonctions suivant la direction du champ de vecteursX. On a

LX : C∞ (Ω) −→ C∞ (Ω) , F 7−→ LXF,

oùLXF (x) =

d

dtF(gX

t (x))∣∣∣∣

t=0

, x ∈ Ω.

Ici C∞ (Ω) désigne l'ensemble des fonctions F : Ω −→ R, de classe C∞. L'opé-rateur LX est linéaire

LX (α1F1 + α2F2) = α1LXF1 + α2LXF2, (α1, α2 ∈ R) ,

et satisfait à la formule de Leibniz

LX (F1F2) = F1LXF2 + F2LXF1.

Comme LXF (x) ne dépend que des valeurs de F au voisinage de x, on peutdonc appliquer l'opérateur LX à des fonctions dénies seulement au voisinaged'un point, sans avoir besoin de les prolonger à tout Ω. Soit (x1, ..., xm) unsystème de coordonnées locales sur Ω. Dans ce système le champ de vecteurs Xa pour composantes f1, . . . , fm et le ot gX

t est déni par le système d'équationsdiérentielles (9.1). Donc la dérivée de F = F (x1, ..., xm) suivant la directionde X s'écrit

LXF = f1∂F

∂x1

+ · · ·+ fm∂F

∂xm

.


Autrement dit, dans les coordonnées (x1, ..., xm) l'opérateur LX s'écrit

LX = f1∂

∂x1

+ · · ·+ fm∂

∂xm

,

ceci n'est autre que la forme générale de l'opérateur diérentiel linéaire dupremier ordre.

10 Equations aux dérivées partielles du 1er ordre

Soit f une fonction de n variables x1, x2, ..., xn, continue et partiellementdérivable sur un ouvert Ω de Rn.

Une équation aux dérivées partielles du 1er ordre est une relation de laforme

F

(x1, x2, ..., xn, f,

∂f

∂x1

, ...,∂f

∂xn

)= 0,

entre les variables x1, x2, ..., xn, la fonction f et ses dérivées partielles du 1erordre.

Dans le cas de deux variables x, y, on a

F

(x, y, f,

∂f

∂x,∂f

∂x

)= 0.

Exemple 57∂f

∂x= 0 ⇐⇒ f(x, y) = ϕ(y).

Exemple 58∂f

∂y= 0 ⇐⇒ f(x, y) = ϕ(x).

Exemple 59∂f

∂x= g(x).

Si g est intégrable et si G est l'une de ses primitives, alors

∂

∂x(f(x, y)−G(x)) = 0,

d'oùf(x, y) = G(x) + ϕ(y).


La solution générale d'une équation aux dérivées partielles du 1er ordredépend d'une fonction arbitraire.

Soit le système diérentiel

dy1

dx= ϕ1(x, y1, y2, ..., yn),

...dyn

dx= ϕn(x, y1, y2, ..., yn),

de solution générale

y1 = f1(x, c1, c2, ..., cn),...

yn = fn(x, c1, c2, ..., cn).

Si ces équations peuvent être résolues par rapport à c1, c2, ..., cn, on peut écrire

Φ1(x, y1, y2, ..., yn) = c1,...

Φn(x, y1, y2, ..., yn) = cn.

Les fonctions Φ1, ...,Φn, constantes si l'on remplace y1, ..., yn, par les solu-tions du sytème sont dites intégrales premières du système.

En général, on appelle intégrale première d'un système diérentiel toutefonction de x, y1, ..., yn qui se réduit à une constante si l'on remplace y1, ..., yn

par une solution du système. Si Φ est une telle intégrale première, on a donc

Φ(x, ϕ1(x), ..., ϕn(x)) = constante.

Exercice 10.1 Déterminer deux intégrales premières du systèmey1

′= y3 − y2

y2′

= y1 − y3

y3′

= y2 − y1

Réponse :Φ1 = y1 + y2 + y3,Φ2 = y2

1 + y22 + y2

3.

Exercice 10.2 Même question pour le système

dx

xy2=

dy

x2y=

dz

z(x2 + y2).


Si le système diérentiel

dy1

dx= ϕ1(x, y1, y2, ..., yn),

...dyn

dx= ϕn(x, y1, y2, ..., yn),

admet n intégrales premières indépendantes, alors la solution générale est dé-nie implicitement en égalant ces intégrales premières à n constantes arbitraires.

Soit le système diérentieldy

dx= f1(x, y, z),

dz

dx= f2(x, y, z).

La condition nécessaire et susante pour que la fonction Φ soit une intégralepremière de ce système est

Φ(x, y(x), z(x)) = constante,

donc∂Φ

∂x+∂Φ

∂y.dy

dx+∂Φ

∂z.dz

dx= 0,

ou encore∂Φ

∂x+∂Φ

∂y.f1(x, y, z) +

∂Φ

∂z.f2(x, y, z) = 0,

c'est l'équation aux dérivées partielles associée au système diérentiel. Parconséquent, une fonction Φ(x, y, z) est une intégrale première d'un systèmediérentiel si et seulement si elle est solution de l'équation aux dérivées par-tielles associée.

Soit f une fonction de deux variables. Une équation aux dérivées partielleslinéaire du 1er ordre est une relation de la forme

P (x, y, z)∂f

∂x+Q(x, y, z)

∂f

∂y= R(x, y, z),

où P , Q, R sont des fonctions de x, y, z dénies sur un ouvert de R3.Soit z = f(x, y) une solution de l'équation précédente. Posons

Φ(x, y, z) = f(x, y)− z.

On a∂Φ

∂x=

∂f

∂x,

∂Φ

∂y=

∂f

∂y,

∂Φ

∂z= −1.


L'équation précédente s'écrit

P (x, y, z)∂Φ

∂x+Q(x, y, z)

∂Φ

∂y+R(x, y, z)

∂Φ

∂z= 0,

d'où∂Φ

∂x+Q(x, y, z)

P (x, y, z)

∂Φ

∂y+R(x, y, z)

P (x, y, z)

∂Φ

∂z= 0.

Cette équation aux dérivées partielles peut être considérée d'après ce qui pré-céde, comme associée au système diérentiel

dy

dx=

Q(x, y, z)

P (x, y, z),

dz

dx=

R(x, y, z)

P (x, y, z),

ou sous forme plus symétrique

dx

P (x, y, z)=

dy

Q(x, y, z)=

dz

R(x, y, z).

Ce système est appelé système caractéristique de l'équation aux dérivées par-tielles. Dès lors,

Les solutions de l'équation aux dérivées partielles :

P (x, y, z)∂f

∂x+Q(x, y, z)

∂f

∂y= R(x, y, z),

sont dénies parΦ(x, y, z) = 0,

où Φ représente l'intégrale première la plus générale du système caractéris-tique :

dx

P (x, y, z)=

dy

Q(x, y, z)=

dz

R(x, y, z).

Comme Φ s'exprime au moyen de deux intégrales premières indépendantesΦ1 et Φ2, donc l'intégration de l'équation aux dérivées partielles se trouveramenée à la recherche de deux intégrales premières de son système caracté-ristique.

Exercice 10.3 Trouver l'intégrale générale de l'équation

y∂f

∂x− x

∂f

∂y= 0.

Interprétation géométrique ?


Réponse : Φ(x2 + y2, z) = 0.

Exercice 10.4 Intégrer l'équation aux dérivées partielles

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y= z.

Réponse : Φ( yx, z

x) = 0.

Exercice 10.5 Intégrer

(x2 + y2)∂f

∂x+ 2xy

∂f

∂y= 0.

Réponse : Φ( yx2−y2 , z) = 0.

Exercice 10.6 Soit z = f(x, y). Déterminer la surface vériant l'équation

yz∂z

∂x+ xz

∂z

∂y= −2xy,

et passant par la circonférence x2 + y2 = 0

z = 3

Réponse : x2 + y2 + z2 = 25 (sphère).

Exercice 10.7 Déterminer la surface générale de l'équation

xz∂z

∂x+ yz

∂z

∂y= −xy,

et la surface intégrale passant par la courbey = x2

z = x3

Réponse :(

yx

)3+(

yx

)6= xy + z2.

Exercice 10.8 Déterminer la surface vériant l'équation

1

x

∂z

∂x+

1

y

∂z

∂y= 4,

et passant par la parabole y2 = zx = 0


Réponse : z = x2 + y2 (paraboloïde de révolution).

On utilise les mêmes méthodes pour étudier une équation de la forme

a1∂z

∂x1

+ · · ·+ an∂z

∂xn

= b,

où a1, ..., an, b sont fonctions de x1, ..., xn, z. Le système caractéristique est

dx1

a1

= · · · = dxn

an

=dz

b.

On détermine n intégrales premières indépendantes :

ϕ1(x1, ..., xn, z) = c1,...

ϕn(x1, ..., xn, z) = cn,

et la solution générale de l'équation ci-dessus s'écrit sous la forme

Φ(ϕ1, ..., ϕn) = 0,

où Φ est une fonction dérivable arbitraire.

11 Equations aux dérivées partielles du 2ème

ordre

Soit f une fonction de deux variables x et y. On appelle équation auxdérivées partielles du 2ème ordre, une relation de la forme

F

(x, y, f,

∂f

∂x,∂f

∂y,∂2f

∂x2,∂2f

∂x∂y,∂2f

∂y2

)= 0,

faisant intervenir f et ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre 2. Cette équations'écrit encore sous la forme

F

(x, y, z,

∂z

∂x,∂z

∂y,∂2z

∂x2,∂2z

∂x∂y,∂2z

∂y2

)= 0.

Exemple 60

∂2f

∂x2= 0 =⇒ ∂

∂x

(∂f

∂x

)=⇒ ∂f

∂x= g(y),

d'oùf(x, y) = xg(y) + h(y),

où g et h sont des fonctions arbitraires.


Exemple 61

∂2f

∂x∂y= 0 =⇒ ∂

∂y

(∂f

∂x

)=⇒ ∂f

∂x= ϕ(x),

d'oùf(x, y) = Φ(x) + Ψ(y),

où Φ et Ψ sont des fonctions arbitraires.

La solution d'une équation aux dérivées partielles du 2ème ordre dépend dedeux fonctions arbitraires.

Considérons une équation aux dérivées patielles du second ordre de la forme

a(x, y)∂2z

∂x2+ 2b(x, y)

∂2z

∂x∂y+ c(x, y)

∂2z

∂y2= F

(x, y, z,

∂z

∂x,∂z

∂y

), (11.1)

où z = f(x, y) est la fonction inconnue et a, b, c, F sont des fonctions donnéesdans un domaine D ⊂ R2.

On cherche une solution z de l'équation ci-dessus en supposant que la valeurde z sur une courbe γ ainsi que celle de ses dérivées ∂z

∂x, ∂z

∂ysont connues.

Autrement dit, on cherche une solution z de cette équation connaissant z et ladérivée normale ∂z

∂nsur γ (problème de Cauchy).

Une caractéristique (Monge) pour l'équation ci-dessus est une courbe dansD satisfaisant à l'équation diérentielle :

a

(∂y

∂x

)2

− 2b

(∂y

∂x

)+ c = 0. (11.2)

L'équation (11.1) est dite du type :(i) hyperbolique dans D si en tout point de D, b2− ac > 0. Dans ce cas, on

peut résoudre l'équation (11.2) localement ce qui montre que par tout pointpassent deux caractéristiques réelles. On montre que la transformation

ξ =−b+

√b2 − ac

ax+ y,

η =−b−

√b2 − ac

ax+ y,

où a 6= 0, ramène l'équation (11.1) à une équation du type

∂2z

∂ξ∂η= F

(ξ, η, z,

∂z

∂ξ,∂z

∂η

),

et s'appelle forme canonique de type hyperbolique.


Exemple 62 L'équation des cordes vibrantes :

∂2z

∂x2= k2∂

2z

∂t2,

où z(x, t) est le déplacement du point d'abcisse x à l'instant t. C'est une équa-tion hyperbolique (a = 1, b = 0, c = −k2). Elle se généralise à trois dimensionsspaciales en l'équation des ondes :

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= k2∂

2z

∂t2,

(ii) parabolique si b2 − ac = 0. Dans ce cas, les deux caractéristiques sontconfondues. Supposons que a 6= 0 et posons

ξ =b

ax+ y,

η =−bax+ y.

L'équation (11.1) s'écrit

∂2z

∂ξ2= F

(ξ, η, z,

∂z

∂ξ,∂z

∂η

),

et s'appelle forme canonique de type parabolique.

Exemple 63 L'équation de la chaleur :

∂z

∂t= α

∂2z

∂x2,

où t est le temps, z est la température d'un corps et α une constante. C'estune équation parabolique (a = α2, b = c = 0).

(iii) elliptique si b2 − ac < 0. Dans ce cas, les caractéristiques sont imagi-naires. Si a 6= 0, la transformation

ξ = − bax+ y,

η =

√ac− b2

ax.

permet d'écrire l'équation (11.1) sous la forme

∂2z

∂ξ2+∂2z

∂η2= F

(ξ, η, z,

∂z

∂ξ,∂z

∂η

),

et s'appelle forme canonique de type elliptique.


Exemple 64 L'équation des fonctions harmoniques (ou équation de Laplaceà deux variables) :

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0,

est elliptique (a = c = 1, b = 0). En dimension trois, l'équation de Laplace (ouéquation du potentiel) s'écrit

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0.

Exercice 11.1 Montrer que toute solution de classe C2 de l'équation des cordesvibrantes :

∂2z

∂t2=∂2z

∂x2,

est de la formez = g(x− t) + h(x+ t),

où g et h sont des fonctions quelconques de classe C2.

Exercice 11.2 Etant données deux fonctions u ∈ C2[a, b] et v ∈ C2[a, b], trou-ver une solution z(x, t) de l'équation

∂2z

∂t2=∂2z

∂x2,

telle que pour t = 0 et x ∈ [a, b],

z(x, 0) = u(x),∂z

∂t(x, 0) = v(x).

Exercice 11.3 Intégrer l'équation

∂2z

∂x2= x+ y,

Réponse : z = x3

6+ x2y

2+g1(y)x+g2(y) où g1 et g2 sont des fonctions arbitraires

de y.

Exercice 11.4 Déterminer la solution de l'équation

∂2z

∂x2= (1 + y2)z,

vériant les conditions initiales suivantes :

z(0, y) = y,∂z

∂y(0, y) = 0.


Réponse : z = y cosh(x√

1 + y2).

Exercice 11.5 Réduire à la forme canonique l'équation aux dérivées partielles :

x2 ∂2z

∂x2− y2∂

2z

∂y2= 0.

Réponse : ∂2z∂ξ∂η

= 12ξ

∂z∂η.

Exercice 11.6 Réduire à la forme canonique l'équation :

sin2 x∂2z

∂x2− 2y sin x

∂2z

∂x∂y+ y2∂

2z

∂y2= 0.

Réponse : ∂2z∂η2 = 2ξ

ξ2+η2∂z∂ξ.

Exercice 11.7 Réduire à la forme canonique l'équation :

∂2z

∂x2− 2

∂2z

∂x∂y+ 2

∂2z

∂y2= 0.

Réponse : ∂2z∂ξ2 + ∂2z

∂η2 = 0.

Exercice 11.8 On considère l'équation aux dérivées partielles de fonction in-connue z(x, y) :

x4 ∂2z

∂x2− ∂2z

∂y2= 0.

a) Déterminer ses caractéristiques.b) Former l'intégrale générale de cette équation.c) Déterminer des solutions élémentaires de cette équation par la méthode

de séparation des variables.

Réponse :a) y = 1

x+ C1 et y = 1

x+ C2, (C1, C2 : constantes).

b) z(x, y) = x2(g( 1

x+ y) + h(− 1

x+ y)), (g, h : fonctions arbitraires).

c) Si λ > 0, alors z(x, y) = x(Ae−√

λy +Be√

λy)(Ce−√

λx +De

√λ

xy). Si λ = 0,

alors z(x, y) = (A+By)(Cx+D). Si λ < 0, alors z(x, y) = x(A cos(−√λy) +

B sin√λy)(C cos(−

√λ

x) +D sin

√λ

xy). (A, B, C, D : constantes).

Exercice 11.9 Déterminer la solution de l'équation aux dérivées partielles :

∂2z

∂x2− 1

k2

∂2z

∂t2= sin(αx− ωt),

qui satisfait aux conditions initiales

z(x, 0) = 0,∂z

∂t(x, 0) = 0.


Réponse :z(x, t) = 1

2α(α−λ)sinα(x− kt) + 1

2α(α+λ)sinα(x + kt) + 1

λ2−α2 sin(αx− ωt),λ = ω

k.

Exercice 11.10 Résoudre l'équation aux dérivées partielles :

∂3z

∂x2∂y+

∂3z

∂x∂y2− 6

∂3z

∂y3= 0.

Réponse : z(x, y) = f(x)+g(2x+y)+h(−3x+y), (f , g, h : fonctions arbitraires).

Exercice 11.11 (Problème de Dirichlet). Etant donné un domaine D dont lebord ∂D est une courbe et ϕ : ∂D → R une fonction continuen, chercher unefonction f ∈ C0(D) ∩ C2(D) telle que :

∆f = 0 sur D, f |∂D = ϕ.

Exercice 11.12 (Problème de Neumann). Sous les mêmes hypothèses (exer-cice précédent) sur D et étant donnée une fonction continue ψ : ∂D −→ R,chercher une fonction f ∈ C1(D) ∩ C2(D) telle que :

∆f = 0 sur D, ∂νf |∂D = ψ.

(∂ν représente la dérivation suivant le vecteur unitaire normal extérieur).

12 Compléments : Résolution de quelques équa-

tions diérentielles non linéaires

Le pendule simple :

La résolution de l'équation diérentielle du mouvement du pendule simplen'est étudiée ordinairement que dans le cas de petites oscillations car la résolu-tion dans le cas général n'est pas aisée. Nous allons voir que dans le cas généralcette équation est résoluble sous forme explicite au moyen d'intégrales ellip-tiques, donc sa solution s'obtient à l'aide de fonctions elliptiques. Ces dernièressont des fonctions méromorphes doublement périodiques (pour de plus amplesinformations sur les fonctions et intégrales elliptiques, on pourra consulter avecprot notre article [9]).

Le pendule simple est constitué par un point matériel suspendu à l'extré-mité d'un l (ou une tige théoriquement sans masse) astreint à se mouvoir sansfrottement sur un cercle vertical. On désigne par l la longueur du l (c-à-d., lerayon du cercle), g l'accélération de la pesanteur et x l'angle instantané du lavec la verticale.


L'équation du mouvement est

d2x

dt2+g

lsinx = 0. (12.1)

Posonsθ =

dx

dt,

l'équation (12.1) s'écritθdθ +

g

lsin xdx = 0.

En intégrant, on obtientθ2

2=g

lcosx+ C,

où C est une constante. Lorsque t = 0, x = x0 (angle initial), alors θ = 0 (lavitesse est nulle), d'où

C = −gl

cosx0.

Par conséquent

l

2g

(dx

dt

)2

=l

2gθ2,

= cosx− cosx0. (12.2)

Nous allons étudier plusieurs cas :a) Considérons le cas d'un mouvement oscillatoire, i.e., le cas où la masse

passe de x = x0 (le plus grand angle atteint par le pendule ; il y correspondune vitesse θ = 0) à x = 0 (vitesse maximale). Comme

cosx = 1− 2 sin2 x

2,


alors l'équation (12.2) devient

l

4g

(dx

dt

)2

= sin2 x0

2− sin2 x

2. (12.3)

Posonssin

x

2= sin

x0

2sinϕ,

d'où1

2cos

x

2dx = sin

x0

2cosϕdϕ,

1

2

√1− sin2 x

2dx = sin

x0

2

√1− sin2 ϕdϕ,

1

2

√1− sin2 x0

2sin2 ϕdx = sin

x0

2

√1− sin2 ϕdϕ,

et donc

dx =2 sin x0

2

√1− sin2 ϕ√

1− sin2 x0

2sin2 ϕ

dϕ.

Par substitution dans (12.3), on obtient(dϕ

dt

)2

=g

l

(1− k2 sin2 ϕ

),

où k = sinx0

2est le module et

x0

2l'angle modulaire. Notons que pour x = 0

on a ϕ = 0 et dès lors

t = ±

√l

g

∫ ϕ

0

dϕ√1− k2 sin2 ϕ

.

D'après la théorie des fonctions et intégrales elliptiques, on a donc

ϕ = ±am√g

lt, sinϕ = ± sin am

√g

lt = ±sn

√g

lt,

où am

√g

lt est l'amplitude de

√g

lt et sn

√g

lt est la fonction elliptique de

Jacobi (pour les dénitions et propriétés concernant ces fonctions, voir parexemple [9]). Par conséquent

sinx

2= ± sin

x0

2sn

√g

lt.


b) Considérons le cas d'un mouvement circulaire. On écrit l'équation (12.2)sous la forme

l

2g

(dx

dt

)2

= 1− 2 sin2 x

2− cosx0,

= (1− cosx0)(1− k2 sin2 x

2

),

oùk2 =

2

1− cosx0

,

avec 0 < k < 1. En tenant compte de la condition initiale x(0) = 0, on obtient

dt = ±

√2l

g(1− cosx0)

∫ ϕ

0

dϕ√1− k2 sin2 ϕ

, ϕ =x

2.

Donc

ϕ = ±am√g(1− cosx0)

2lt,

et

x = ±2am

√g(1− cosx0)

2lt.

c) Considérons enn le cas d'un mouvement asymptotique. C'est le cas oùx0 = ±π et l'équation (12.2) s'écrit

l

2g

(dx

dt

)2

= cos x+ 1 = 2 cos2 x

2.

D'où

t = ±1

2

√l

g

∫ x

0

dx

cos x2

= ±

√l

gln tan

(xπ

+π

4

),

et

x = 4 arctan e±

√g

lt− π.

On vérie que x→ ±π quand t→∞.

Remarque 65 Pour des petites oscillations, on peut approcher sin x par x etl'équation (12.1) se ramène à une équation linéaire,

d2x

dt2+g

lx = 0,


dont la solution générale est immédiate :

x(t) = C1 cos

√g

lt+ C2

√l

gsin

√g

lt,

où

C1 = x(0), C2 =dx

dt(0).

Pour des petites oscillations la période T du pendule (le temps nécessité pourune oscillation complète ; un aller-retour) est

T = 2π

√l

g.

Par contre, dans le cas des oscillations qui ne sont pas nécessairement petites,la période vaut

T = 4

√l

g

∫ π2

0

dx√1− k2 sin2 x

,

avec k = sinx0

2.

Le corps solide d'Euler :

Les équations du mouvement de rotation d'un corps solide autour d'unpoint xe s'écrivent, dans le cas d'Euler, sous la forme

dm1

dt= (λ3 − λ2)m2m3,

dm2

dt= (λ1 − λ3)m1m3, (12.4)

dm3

dt= (λ2 − λ1)m1m2,

où m1,m2,m3 sont les composantes du moment angulaire du solide et λi ≡ I−1i

avec I1, I2, I3 les moments d'inertie du solide. Ici le point xe est le centre degravité du solide.


Nous allons résoudre explicitement ce problème. Notons d'abord que queles équations admettent deux intégrales premières quadratiques :

H1 =1

2

(λ1m

21 + λ2m

22 + λ3m

23

),

etH2 =

1

2

(m2

1 +m22 +m2

3

).

Nous supposerons que λ1, λ2, λ3 sont tous diérents de zero1. Dans ces condi-tions, H1 = 0 entraine m1 = m2 = m3 = 0 et donc H2 = 0 ; le solide est aurepos. Nous écartons ce cas trivial et supposons dorénavant que H1 6= 0 etH2 6= 0. Lorsque λ1 = λ2 = λ3, les équations (12.4) montrent évidemment quem1, m2 et m3 sont des constantes. Supposons par exemple que λ1 = λ2, leséquations (12.4) s'écrivent alors

dm1

dt= (λ3 − λ1)m2m3,

dm2

dt= (λ1 − λ3)m1m3,

dm3

dt= 0.

On déduit alors que m3 = constante ≡ A etdm1

dt= A (λ3 − λ1)m2,

dm2

dt= A (λ1 − λ3)m1.

1C'est-à-dire que le solide n'est pas réduit à un point et n'est pas non plus concentré sur

une droite.


Notons qued

dt(m1 + im2) = iA(λ1 − λ3)(m1 + im2),

on obtientm1 + im2 = CeiA(λ1−λ3)t,

où C est une constante et donc

m1 = C cosA(λ1 − λ3)t,

m2 = C sinA(λ1 − λ3)t,

L'intégration des équations d'Euler est délicate dans le cas général où λ1,λ2 et λ3 sont tous diérents ; les solutions s'expriment à l'aide de fonctionselliptiques. Dans la suite nous supposerons que λ1, λ2 et λ3 sont tous diérentset nous écartons les autres cas triviaux qui ne posent aucune diculté pourla résolution des équations en question. Pour xer les idées nous supposeronsdans la suite que : λ1 > λ2 > λ3. Géométriquement, les équations

λ1m21 + λ2m

22 + λ3m

23 = 2H1, (12.5)

etm2

1 +m22 +m2

3 = 2H2 ≡ r2, (12.6)

représentent respectivement les équations de la surface d'un ellipsoide de demi-axes :

√2H1

λ1(demi grand axe),

√2H1

λ2(demi axe moyen),

√2H1

λ3(demi petit axe),

et d'une sphère de rayon r. Donc le mouvement du solide s'eectue sur l'in-tersection d'un ellipsoide avec une sphère. Cette intersection a un sens caren comparant (12.5) à (12.6), on voit que 2H1

λ1< r2 < 2H1

λ3, ce qui signie

géométriquement que le rayon de la sphère (12.6) est compris entre le pluspetit et le plus grand des demi-axes de l'ellipsoïde (12.5). Pour étudier l'alluredes courbes d'intersection de l'ellipsoïde (12.5) avec la sphère (12.6), xonsH1 > 0 et faisons varier le rayon r. Comme λ1 > λ2 > λ3, les demi-axes del'ellipsoïde seront 2H1

λ1> 2H1

λ2> 2H1

λ3. Si le rayon r de la sphère est inférieur au

demi petit axe 2H1

λ3ou supérieur au demi grand axe 2H1

λ1, alors l'intersection en

question est vide ( et aucum mouvement réel ne correspond à ces valeurs deH1 et r). Lorsque le rayon r est égal à 2H1

λ3, alors l'intersection est composée de

deux points. Lorsque le rayon r augmente(

2H1

λ3< r < 2H1

λ2

), on obtient deux

courbes autour des extrémités du demi petit axe. De même si r = 2H1

λ1, on

obtient les deux extrémités du demi grand axe et si r est légérement inférieurà 2H1

λ1, on obtient deux courbes fermées au voisinage de ces extrémités. Enn,

si r = 2H1

λ2alors l'intersection en question est constituée de deux cercles.

Théorème 66 Les équations diérentielles (12.4) d'Euler, s'intégrent au moyende fonctions elliptiques de Jacobi.


Démonstration : A partir des intégrales premières (12.5) et (12.6), on exprimem1 et m3 en fonction de m2. On introduit ensuite ces expressions dans laseconde équation du système (12.4) pour obtenir une équation diérentielle enm2 et dm2

dtseulement. De manière plus détaillée, on tire aisément de (12.5) et

(12.6) les relations suivantes

m21 =

2H1 − r2λ3 − (λ2 − λ3)m22

λ1 − λ3

, (12.7)

m23 =

r2λ1 − 2H1 − (λ1 − λ2)m22

λ1 − λ3

. (12.8)

En substituant ces expressions dans la seconde équation du système (12.4), onobtient

dm2

dt=√

(2H1 − r2λ3 − (λ2 − λ3)m22)(r

2λ1 − 2H1 − (λ1 − λ2)m22).

En intégrant cette équation, on obtient une fonction t(m2) sous forme d'uneintégrale elliptique. Pour réduire celle-ci à la forme standard, on peut supposerque r2 > 2H1

λ2(sinon, il sut d'intervertir les indices 1 et 3 dans toutes les

formules précédentes). On réecrit l'équation précédente, sous la forme

dm2√(2H1 − r2λ3)(r2λ1 − 2H1)dt

=

√(1− λ2 − λ3

2H1 − r2λ3

m22)(1−

λ1 − λ2

r2λ1 − 2H1

m22).

En posant

τ = t√

(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1),

s = m2

√λ2 − λ3

2H1 − r2λ3

,

on obtientds

dτ=

√(1− s2)(1− (λ1 − λ2)(2H1 − r2λ3)

(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1)s2),

ce qui suggère de choisir comme module des fonctions elliptiques

k2 =(λ1 − λ2)(2H1 − r2λ3)

(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1).

Les inégalités λ1 > λ2 > λ3, 2H1

λ1< r2 < 2H1

λ3et r2 > 2H1

λ2montrent qu'eecti-

vement 0 < k2 < 1. On obtient donc

ds

dτ=√

(1− s2)(1− k2s2).


Cette équation admet la solution2

τ =

∫ s

0

ds√(1− s2)(1− k2s2)

.

C'est l'intégrale d'une diérentielle holomorphe sur une courbe elliptique

E : w2 = (1− s2)(1− k2s2).

(Courbe elliptique)

La fonction inverse s(τ) constitue l'une des fonctions elliptiques de Jacobi :s = snτ, qui détermine également m2 en fonction du temps, c-à-d.,

m2 =

√2H1 − r2λ3

λ2 − λ3

· snτ.

D'après les égalités (12.7) et (12.8), on sait que les fonctions m1 et m3 s'ex-priment algébriquement à l'aide de m2, donc

m1 =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3

·√

1− sn2τ ,

et

m3 =

√r2λ1 − 2H1

λ1 − λ3

·√

1− k2sn2τ .

2On convient de choisir l'origine des temps telle que m2 = 0 pour t = 0.


Compte tenu de la dénition des deux autres fonctions elliptiques (voir [9])

cnτ =√

1− sn2τ ,

dnτ =√

1− k2sn2τ ,

et du fait queτ = t

√(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1),

on obtient nalement les formules explicites suivantes :

m1 =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3

cn(t√

(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1)),

m2 =

√2H1 − r2λ3

λ2 − λ3

sn(t√

(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1)), (12.9)

m3 =

√r2λ1 − 2H1

λ1 − λ3

dn(t√

(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1)).

Autrement dit, l'intégration des équations d'Euler s'eectue au moyen de fonc-tions elliptiques de Jacobi.

Remarque 67 Notons que pour λ1 = λ2, on a k2 = 0. Dans ce cas, lesfonctions elliptiques snτ, cnτ,dnτ se réduisent respectivement aux fonctionssin τ, cos τ, 1. Dès lors de (12.9), on tire aisément que

m1 =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3

cos√

(λ1 − λ3)(r2λ1 − 2H1)t,

m2 =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3

sin√

(λ1 − λ3)(r2λ1 − 2H1)t,

m3 =

√r2λ1 − 2H1

λ1 − λ3

.

On retrouve les solutions établies précédemment avec

A =

√r2λ1 − 2H1

λ1 − λ3

,

C =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3

.


Solutions méromorphes :

Soit le système d'équations diérentielles non-linéaires

x1 = f1 (t, x1, ..., xm) ,... (12.10)

xm = fm (t, x1, ..., xm) ,

où f1, ..., fm sont des fonctions de m+1 variables complexes t, x1, ..., xm et quiappliquent un domaine de Cm+1 dans C. Le problème de Cauchy consiste enla recherche d'une solution (x1 (t) , ..., xm (t)) dans un voisinage d'un point t0,passant par le point donné (t0, x

01, ..., x

0m) c'est-à-dire satisfaisant aux condi-

tions initiales x1(t0) = x01, ..., xm(t0) = x0

m. Le système (12.10) peut s'écriresous forme vectorielle dans Cm

x = f(t, x(t)),

en posant x = (x1, ..., xm) et f = (f1, ..., fm). Dans ce cas, le problème de Cau-chy consistera à déterminer la solution x(t) telle que x(t0) = x0 = (x0

1, ..., x0m).

On sait que lorsque les fonctions f1, ..., fm sont holomorphes au voisinage dupoint (t0, x

01, ..., x

0m) alors le problème de Cauchy admet une solution holo-

morphe et une seule. Une question se pose : le problème de Cauchy peut-il ad-mettre quelque solution non holomorphe au voisinage du point (t0, x

01, ..., x

0m)?

Lorsque les fonctions f1, ..., fm sont holomorphes, la réponse est négative.D'autres circonstances peuvent se produire pour le problème de Cauchy re-latif au système d'équations diérentielles (12.10), lorsque l'hypothèse d'holo-morphie relative aux fonctions f1, ..., fm n'est plus satisfaite au voisinage d'unpoint. On constate dans une telle éventualité que les comportements des so-lutions peuvent revêtir les aspects les plus divers. En général, les singularitésdes solutions sont de deux types : mobiles ou xes, suivant qu'elles dépendentou non des conditions initiales. Des résultats importants ont été obtenus parPainlevé [15]. Supposons par exemple que le système (12.10) s'écrit sous laforme

x1 =P1(t, x1, ..., xm)

Q1(t, x1, ..., xm),

...

xm =Pm(t, x1, ..., xm)

Qm(t, x1, ..., xm),

avec

Pk (t, x1, ..., xm) =∑

0≤i1,...,im≤p

A(k)i1,...,im

(t)xi11 ...x

imm , 1 ≤ k ≤ m,


Qk (t, x1, ..., xm) =∑

0≤j1,...,jm≤q

B(k)j1,...,jm

(t)xj11 ...x

jmm , 1 ≤ k ≤ m,

des polynômes à plusieurs indéterminées x1, ..., xm et à coecients algébriquesen t. On sait

(i) que les singularités xes sont constituées par quatre ensembles de points.Le premier est l'ensemble des points singuliers des coecients A(k)

i1,...,im(t) ,

B(k)j1,...,jm

(t) intervenant dans les polynômes Pk (t, x1, ..., xm) et Qk (t, x1, ..., xm).En général cet ensemble contient le point t = ∞. Le second ensemble estconstitué des points αj tels que : Qk (t, x1, ..., xm) = 0, circonstance qui seproduit si les coecients B(k)

j1,...,jm(t) s'annulent tous pour t = αj. Le troisième

est l'ensemble des points βl tels que pour certaines valeurs (x1′ , ..., xm′) de(x1, ..., xm), on ait Pk (βl, x1′ , ..., xm′) = Qk (βl, x1′ , ..., xm′) = 0. Dès lors les se-conds membres du système ci dessus se présentent sous la forme indéterminée 0

0

aux points (βl, x1′ , ..., xm′) . Enn, l'ensemble des points γn tels qu'il existe desvaleurs u1, ..., um, pour lesquelles Rk (γn, u1, ..., um) = Sk (γn, u1, ..., um) = 0,où Rk et Sk sont des polynômes en u1, ..., um obtenus à partir de Pk et Qk enposant x1 = 1

u1, . . . , xm = 1

um. Chacun de ces ensembles ne comporte qu'un

nombre ni d'éléments. Les singularités xes du système en question sont ennombre ni.

(ii) que les singularités mobiles de solutions de ce système sont des singu-larités mobiles algébriques : pôles et (ou) points critiques algébriques. Il n'y apas de points singuliers essentiels pour la solution (x1, ..., xm).

Considérant le système d'équations diérentielles (12.10), peut-on trouverdes conditions susantes d'existence et d'unicité de solutions méromorphes ?Nous établirons un théorème d'existence et d'unicité pour la solution du pro-blème de Cauchy relatif au système d'équations diérentielles (12.10), en fai-sant appel à la méthode des coecients indéterminés. La solution sera expli-citée sous la forme d'une série de Laurent. Il se posera dès lors le problème dela convergence. Celui-ci sera résolu par la méthode des fonctions majorantes(pour cette notion voir par exemple [6], [7]). Nombreux sont les problèmes,aussi bien théorique que pratique, ou apparaissent des équations diérentiellesdont le second membre n'est pas holomorphe.

Dans ce qui suivra, nous envisagerons le problème de Cauchy relatif ausystème normal (12.10) dans l'hypothèse où f1, ..., fm ne dépendent pas expli-citement de t, c'est-à-dire

x1 = f1 (x1, ..., xm) ,... (12.11)

xm = fm (x1, ..., xm) .

On suppose que f1, ..., fm sont des fonctions rationnelles en x1, ..., xm et que lesystème (12.11) est quasi-homogène, c'est-à-dire ils existent des entiers positifs


s1, ..., sm telles que

fi (αs1x1, ..., α

smxm) = αsi+1fi (x1, ..., xm) , 1 ≤ i ≤ m,

pour chaque constante non nulle α. Autrement dit, le système (12.11) estinvariant par la transformation

t −→ α−1t, x1 −→ αs1x1, . . . , xm −→ αsmxm.

Notons que si le déterminant

∆ ≡ det

(xj∂fi

∂xj

− δijfi

)1≤i,j≤m

,

est non identiquement nul, alors le choix des nombres s1, ..., sm est unique.Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons, pour simplier que t0 = x0 =

0, ce qui n'aecte pas la généralité des résultats.

Théorème 68 Supposons que

xi =1

tsi

∞∑k=0

c(k)i tk, 1 ≤ i ≤ m, (12.12)

où c(0) 6= 0, soit la solution formelle en séries de Laurent, obtenue par la mé-thode des coecients indéterminés, du système quasi-homogène (12.11). Alors,les coecients c(0)

i satisfont aux équations non-linéaires

sic(0)i + fi

(c(0)1 , ..., c(0)

m

)= 0, (12.13)

où 1 ≤ i ≤ m, tandis que c(1)i , c

(2)i , ... satisfont chacun à un système d'équations

linéaires de la forme

(M− kI) c(k) = polynôme en c(0)i , ..., c

(k−1)i , 1 ≤ i ≤ m, k ≥ 1, (12.14)

où c(k) =(c(k)1 , ..., c

(k)m

)>et

M≡(∂fi

∂xj

(c(0)1 , ..., c(0)

m

)+ δijsi

)1≤i,j≤m

,

est la matrice jacobienne de (12.14). En outre, la série (12.13) est convergente.


Démonstration : En substituant (12.13) dans (12.11), tout en tenant comptede la quasi-homogénéité du système, on obtient

∞∑k=0

(k − si) c(k)i tk−si−1

= fi

(∞∑

k=0

c(k)1 tk−s1 , ...,

∞∑k=0

c(k)m tk−sm

),

= fi

(t−s1

(c(0)1 +

∞∑k=1

c(k)1 tk

), ..., t−sm

(c(0)m +

∞∑k=1

c(k)m tk

)),

= t−si−1fi

(c(0)1 +

∞∑k=1

c(k)1 tk, ..., c(0)

m +∞∑

k=1

c(k)m tk

).

Ensuite, on développe le second membre comme suit

∞∑k=0

(k − si)c(k)i tk = fi

(c(0)1 , ..., c(0)

n

)+

m∑j=1

∂fi

∂xj

(c(0)1 , ..., c(0)

m

) ∞∑k=1

c(k)j tk

+∞∑

k=2

tk∑

(α,τ)∈∆k

1

α!

∂αfi

∂xα

(c(0)1 , ..., c(0)

m

) m∏j=1

(c(τj)j

)αj

,

où α = (α1, ..., αm) , τ = (τ1, ..., τm), |α| =∑m

j=1 αj, α! =∏m

j=1 αj!,

∆k =

(α, τ) : τj > 0,∀j, |α| > 2,

m∑j=1

αjτj = k

.

En identiant les termes ayant même puissance au premier et au secondmembre, on obtient successivement pour k = 0 l'expression (12.14), pour k = 1,(M−I) c(1) = 0, et pour k ≥ 2,

((M− kI) c(k)

)i= −

∑(α,τ)∈Dk

1

α!

∂αfi

∂xα

(c(0)1 , ..., c(0)

m

) m∏j=1

(c(τj)j

)αj

, (12.15)

où τj > 0,m∑

j=1

αjτj = k, ce qui conduit aux expressions explicites (12.15). La

solution obtenue par la méthode des coecients indéterminés est formelle dufait que nous l'obtenons en eectuant sur des séries, que nous supposons a prioriconvergentes, diverses opérations dont la validité reste à justier. Le théorèmese trouvera donc établi dès que nous aurons vérié que ces séries sont conver-gentes. On utilise à cette n la méthode des fonctions majorantes. Notons tout


d'abord que des paramètres libres apparaissent soit dans le système (12.14) dem équations à m inconnues, lorsque celui-ci admet un ensemble continue desolutions, soit par le fait que λi ≡ k ∈ N∗, 1 ≤ i ≤ m, est une valeur proprede la matrice M. Dès lors, les coecients peuvent être vus comme étant desfonctions rationnelles sur une variété ane V, de bre le lieu

m⋂i=1

sic

(0)i + fi

(c(0)1 , ..., c(0)

m

)= 0.

Soit m0 ∈ V et soit K un sous-ensemble compact de V, contenant un voisinageouvert de m0. Notons que K peut-être muni de la topologie du plan complexe.Posons

A = 1 + max∣∣∣c(τi)

i (m0)∣∣∣ , 1 ≤ τi ≤ λm, 1 ≤ i ≤ m,

où λm désigne la plus grande valeur propre de la matrice M. Soient B et Cdeux constantes avec C > A telles que dans le compact K on ait∣∣∣∣∂αfi

∂xα(m0)

∣∣∣∣ ≤ α!B|α|,

∣∣(M(m0)− kIm)−1∣∣ ≤ C, k ≥ λm + 1.

De (12.16) on déduit que∣∣∣c(k)i (m0)

∣∣∣ ≤ C∑

(α,τ)∈D

B|α|m∏

j=1

∣∣∣c(τj)j

∣∣∣αj

, k ≥ λm + 1.

Considérons maintenant la série

Φ (t) = At+∞∑

k=2

βktk,

où βk sont des nombres réels dénis inductivement par β1 ≡ A et

βk ≡ C∑

(α,τ)∈D

B|α|m∏

j=1

βαjτj, k ≥ 2.

On vérie aisément par récurrence que la série Φ (t) est une majorante pour

∞∑k=1

c(k)i tk, 1 ≤ i ≤ m.


En eet, on a∣∣∣c(1)

i

∣∣∣ ≤ A. Supposons que∣∣∣c(j)i

∣∣∣ ≤ βj, j < k, ∀i. Alors

∣∣∣c(k)i (m0)

∣∣∣ ≤ C∑

(α,τ)∈D

B|α|m∏

j=1

∣∣∣c(τj)j

∣∣∣αj

, k ≥ λm + 1,

≤ C∑

(α,τ)∈D

B|α|m∏

j=1

∣∣∣βαjτj

∣∣∣ ,= βk.

D'autre part, il résulte de la dénition des nombres βk que

Φ (t) = At+ CB2 (mΦ (t))2

1−BmΦ (z).

La racine

Φ(t) =1 +mABt−

√(1− 2mAB(1 + 2mBC)t+m2A2B2t2)

2mB(1 +mBC),

fournit la majorante cherchée. D'où la possibilité d'un développement en sérieentière au voisinage de t = 0. Ceci achève la démonstration.

Remarque 69 La série (12.13) est l'unique solution méromorphe dans le sensoù cette solution résulte de ce que les coecients c(k)

i se trouvent déterminésde façon univoque avec la méthode de calcul adopté.

Exercice 12.1 Montrer que le résultat du théorème précédent s'applique àl'équation diérentielle quasi-homogène d'ordre m suivante :

x(m) = f(x, x, ..., x(m−1)

), (12.16)

où f est une fonction rationnelle en x, x, ..., x(m−1) et

x(t0) = x01, x(t0) = x0

2, ... , x(m−1)(t0) = x0m.

Solution : En eet, l'équation (12.16) se ramène à un système de m équationsdu premier ordre en posant

x(t) = x1(t), x(t) = x2(t), ... , x(m−1)(t) = xm(t).

On obtient ainsi

x1 = x2, x2 = x3, ... , xm−1 = xm, xm = f (x1, x2, ..., xm) .

Un tel système constitue un cas particulier du système normal (12.11).


Exercice 12.2 Etudier les équations non linéaires suivantes : ces équationssont diciles et jouent un rôle important dans plusieurs domaines.

a) Equation de Korteweg et de Vries :

∂u

∂t− 6u

∂u

∂x+∂3u

∂x3= 0.

b) Equation de Kadomtsev-Petviashvili :

∂2u

∂y2− ∂

∂x

(4∂u

∂t− 12u

∂u

∂x− ∂3u

∂x3

)= 0.

c) Equation de Schrödinger non linéaire :

i∂ψ

∂t+∂2ψ

∂x2+ ψ|2ψ = 0.

d) Equation de Sine Gordon :

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2+ sinu = 0.

e) Equation de Boussinesq :

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2+∂4u

∂x4+∂2u2

∂x2= 0.

f) Equation de Camassa-Holm :

∂u

∂t− ∂3u

∂t∂x2+ 3u

∂u

∂x= 2

∂u

∂x

∂2u

∂x2+ u

∂3u

∂x3.

g) Le réseau de Toda décrit par un système :

dxj

dt= yj,

dyj

dt= −exj−xj+1 + exj−1−xj .

Références

[1] Arnold, V.I. : Ordinary dierential equations. Springer-Textbook, 3rd ed.1992.

[2] Arnold, V.I. : Mathematical methods in classical mechanics. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York, 1978.

[3] Cartan, H. : Cours de calcul diérentiel, 1997, Hermann.


[4] Coddington, E.A., Levinson, N. : Theory of ordinary dierential equations,McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955.

[5] Dieudonné, J. : Éléments d'analyse, Tome 1, Fondements de l'analyse mo-derne, Gauthier-Villars, 3ème édition 1979 - tirage 1990.

[6] Hille, E. : Ordinary dierential equations in the complex domain. Wiley-Interscience, New-York, 1976.

[7] Lesfari, A. : Eléments d'Analyse Mathématique. Cours et exercices. Soche-press Université, Casablanca, 252 pages (1991), épuisé.

[8] Lesfari, A. : Etude des solutions méromorphes d'équations diérentielles.Ren. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino Vol.65, 4, pp.451-464 (2007).

[9] Lesfari, A. : Fonctions et Intégrales elliptiques. Surv. Math. Appl., 3, pp.27-65 (2008).

[10] Lesfari, A. : Fonctions diérentiables. Quadrature, Paris, No. 84, pp.45-47(2012).

[11] Lesfari, A. : Interversion des dérivées partielles. Quadrature, Paris, No.91, pp. 41-43, (2014).

[12] Lesfari, A. : Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de La-place (Cours et exercices), 380 pages, éditions Ellipses, Paris, 2012.

[13] Lesfari, A. : Géométrie complexe et Systèmes dynamiques. Accepté pourpublication, 453 pages, Cassini éditions scientiques, Paris.

[14] Mawhin, J. : Analyse. Fondements, techniques, évolution, 1997, De BoeckUniversité, Bruxelles.

[15] Painlevé, P. : Oeuvres : tomes 1,2,3. Edition du C.N.R.S. 1975.[16] Rouche, N. et Mawhin, J. : Equations diérentielles, tome 1, 1973, Masson.

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