12. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE.colasapoil.free.fr/HEI/semestre...

UMN12 COURS MAI 2000

Cycles préparatoires du service de Formation continue de l’INPLCours : Philippe Leclère

Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère

12. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DUPREMIER ORDRE.

1 Généralités sur les équations différentielles

1.1 Définitions diverses

Donnons la définition la plus générale possible d’une équation différentielle.

On considère une fonction f de la variable x, n fois dérivable sur un intervalle I de R.

On appelle équation différentielle, toute relation entre x, f, f ′ , , ( )nf

n est appelé ordre de l’équation différentielle

si 1n = , on parlera d’équation différentielle du premier ordresi 2n = , on parlera d’équation différentielle du deuxième ordre

Intégrer ( ou résoudre ) une équation différentielle, c’est chercher toutes lesfonctions f qui vérifient cette relation.

Chacune de ces fonctions s’appelle une solution, ou intégrale de l’équationdifférentielle.

Le graphe de la fonction solution est appelé courbe intégrale de l’équationdifférentielle.

1.2 Le premier ordre

On peut classer les équations différentielles du premier ordre en trois catégories :

• Equations à variables séparables• Equations homogènes• Equations linéaires




2

Dans ce chapitre, nous nous contenterons d’étudier la dernière famille.

2 Equations différentielles linéaires du premier ordre

2.1 Définitions

Dans ce qui suit, le terme intervalle désigne un intervalle de R non réduit à un point.

Soit I un intervalle de R et a, b et c trois fonctions réelles définies et continues dans I.

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation de laforme ou se ramenant à la forme :

( ) ( ) ( ) ( )a x y b x y c x I′ + =

• ( )2 xxy cos x y e′ + = définie sur R.

• ( )22 xx y x y e sin x′ + = + définie sur [ [0;+∞ .

Une fonction y est solution de cette équation différentielle sur I si et seulement si y est dérivable sur I et ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x I , a x y x b x y x c x′∀ ∈ + =

L’équation différentielle 2 xy y e′ + = admet la fonction f définie sur R par

( ) xf x e= comme solution. En effet, f est dérivable sur R et 2x x xe e e+ = .

L’équation différentielle linéaire du premier ordre est dite normalisée si et seulementsi 1a = soit : ( ) ( ) ( )y a x y b x I′ + =

Dans tout ce qui suit, on ne considérera que des équations normalisées




3

L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre)est

( ) ( )0y ' a x y II+ =

2.2 Résolution de l’équation sans second membre (II).

On pose ( ) ( )0y ' a x y II+ =

On admettra sans démonstration, le théorème suivant :

a étant une fonction continue sur I, elle admet sur I des primitives . Soit A une de cesprimitives.L’ensemble des solutions sur I de l’équation différentielle ( )II est l’ensemble

( )0 A x

I RS

x Ke ; K R−

→ = ∈ !

On considère l’équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par :

( ) ( )21 2 0x y xy I′+ − =

Cette équation peut être normalisée sans problème car ( )21 0x R, x∀ ∈ + >

( ) ( )2

20

1

xI y y

x′⇔ − =

+

En appliquant le théorème ci-dessus, on obtient :

( ) ( )20 21 1ln x

R R R RS

x K x ; K Rx Ke ; K R+

→ → = = + ∈ ∈ !!

2.3 Résolution de l’équation complète (I)

2.3.1 Théorème général

On admettra sans démonstration, le théorème suivant :

La solution générale de l'équation complète (I) est la somme de la solution généralede l'équation sans second membre (II) et d'une solution particulière de l'équationcomplète (I).

( ) ( ) ( )SG I SG II SP Iy y y= +




4

C'est le principe de superposition des solutions (dû à la linéarité de l'équationdifférentielle).

2.3.2 Recherche d’une solution particulière de l’équation complète (I).

• Recherche d’une solution évidente

Avant de se lancer dans un calcul compliqué, on regarde la forme de l’équationdifférentielle et on essaie de deviner une solution de l'équation complète (I).Puis on applique le principe de superposition des solutions. Ce même principes'applique aussi dans le cas où le second membre est la somme de plusieursfonctions.

Soit l’équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par :

( )2 21 2 1x y xy x′+ − = −

On « voit » que la fonction x x! est solution « évidente » de cette équationdifférentielle.

La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction f définie par :

( )21x K x x, K R+ + ∈!

C’est la somme d’une solution particulière de l’équation complète et de la solutiongénérale de l’équation sans second membre.

Dans le cas où il n'apparaît pas de solution évidente, on applique le principe devariation de la constante.

• Méthode de variation de la constante.

On considère l’équation sans second membre définie sur un intervalle I de R, avec acontinue sur I : ( ) ( )0y ' a x y II+ =

(Cette méthode n'est valable que pour des équations linéaires)

On considère la solution générale de l’équation sans second membre :( )A xx Ke , K R− ∈! où A est une primitive de a sur I

Supposons que la constante K soit une fonction de x dérivable sur I et que la fonction

( ) ( )A xx K x e−! soit solution de (I)

En dérivant la fonction y et en reportant dans (I), les calculs se simplifient et l'ondéduit ( )K x′ puis ( )K x par primitivation et enfin la solution particulière y.




5

On considère l’équation différentielle définie sur tout intervalle ] [0I ;⊂ +∞ par

( )21xy y x I

x

−′ + =

Cette équation est normalisée.

• On résout l’équation sans second membre 1

0x

y yx

−′ + =

Une primitive de 1x

xx

−! sur I est : ( )x x ln x−!

Donc la solution générale est la fonction ( )x ln xx Ke , K R− + ∈! soit :xx Kxe , K R− ∈!

• On cherche une solution particulière de l’équation complète en utilisant laméthode de variation de la constante. On suppose que K est dérivable sur I et que

( ) xy : x K x xe−! est solution de l’équation complète.

Cela donne :

( ) ( ) ( )( )x x xy x K x xe K x e xe− − −′ ′= + −

On remplace dans ( )I

( ) ( )( ) ( ) 21x x x xxK x xe K x e xe K x xe x

x− − − −−′ + − + =

Comme prévu, les termes en K s’éliminent, il reste alors :

( ) ( )2x xK x xe x K x xe−′ ′= ⇔ =

On intègre maintenant cette équation différentielle : ( ) ( )1 xK x x e , Rλ λ= − + ∈

La fonction : ( ) ( )1 1x xy : x x e xe x x−− = −! est solution particulière de

l’équation différentielle complète.

• La solution générale est donc la fonction ( )1 xy : x x x Kxe , K R−− + ∈!

2.4 Existence et unicité d'une solution satisfaisant une condition initiale (problème deCauchy)

Pour tout couple ( )0 0x , y I R∈ × , il existe une solution et une seule y de (I) sur I telle

que : ( )0 0y x y=

Résoudre l’équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par :

( )2 2 0 2y ' xy x et y+ = =L'équation est linéaire et normalisée.




6

• L'équation sans second membre est : ( )02 0y' xy E+ =La fonction 2x x! est continue sur I et admet donc des primitives sur I , lasolution générale de l’équation sans second membre est donc la fonction

2

1xy : x Ke , K R− ∈!

• La fonction constante 2 1y : x ! est solution évidente de l’équationdifférentielle complète.

• Le principe de superposition des solutions donne la solution générale f de

l’équation différentielle sur I : 2

1 xf : x Ke−+!

• En tenant compte de la condition initiale ( ) ( )0 0 2y f= =On obtient : 1 2 1λ λ+ = ⇔ =La solution de l’équation différentielle qui vérifie sur I : ( )0 2y = est donc la

fonction définie sur I par : 2

1xx e− +!

(MATH12E01A)

Résoudre sur tout intervalle I de R l’équation différentielle :

( )21 0 1 1x y' y et y+ − = =

2.5 Problème des raccords.

Dans les paragraphes précédents, nous n’avons traité que le cas de l’équationdifférentielle normalisée : ( ) ( ) ( )y a x y b x I′ + =

Nous allons maintenant traiter le cas général : ( ) ( ) ( ) ( )a x y b x y c x I′ + =

On dit qu'une solution est maximale sur un intervalle ] [a ,b si elle n'est pas

prolongeable sur un intervalle plus grand que ] [a ,b .

On s'appliquera à rechercher les solutions maximales




7

Considérons l'équation différentielle définie sur un intervalle I de R :

( ) ( ) ( ) ( )a x y ' b x y c x I+ =On suppose que sur cet intervalle I la fonction a s'annule en un réel et un seul 0x

y est solution de l’équation différentielle ( )I sur I si et seulement si :

• La restriction 1y de y à ] [1 0J , x I= − ∞ ∩ est solution de ( )I sur 1J

• La restriction 2y de y à ] [2 0J x ; I= +∞ ∩ est solution de ( )I sur 2J

• ( ) ( )0 0

0 0

1 2x x x xx x x x

lim y x lim y x l→ →< >

= =

• ( ) ( )

0 00 0

1 2

0 0x x x xx x x x

y x l y x llim lim l

x x x x→ →< >

− −′= =

− −

• ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =

On procède ainsi au raccordement des solutions sur l’intervalle I entier. On s’assureque y est continue en 0x , dérivable en 0x et que le point ( )( )0 0x , y x vérifie

l’équation différentielle pour la valeur ( )0y x′ de la dérivée y′ .

Résoudre et déterminer éventuellement une solution sur R de :

( )22

1

xxy' y I

x+ =

+

L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0.

On considère les deux intervalles : ] [ ] [1 20 0I , et I ,= −∞ = +∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1 et 2.

Supposons dorénavant j fixé.

• Première étape : résolution de l’équation sans second membre.L'équation sans second membre est : ( )2 0xy' y II+ =On peut sur chacun des intervalles écrire l’équation normalisée associée :

( )20y' y II

x+ =

La fonction 2

xx

! est continue sur chacun des intervalles et admet donc par

exemple ( )2x ln x! comme primitive.




8

La solution générale de (II) est donc la fonction y définie par :

] [

] [

112

222

0

0

si x I ,xy

si x I ,x

λ

λ

∈ = − ∞= ∈ = + ∞

• Deuxième étape : solution particulière de l’équation complète.Cherchons une solution particulière de (I) , en utilisant la méthode de variation dela constante

( )2

xy

x

λ= et ( ) ( ) ( )2

4

2x x x xy x

x

λ λ′ −′ =

en reportant dans l'équation (I), il reste après simplification

( )2

2 2

11

1 1

xx

x xλ ′ = = −

+ +d'où on tire une primitive : ( )x x Arc tan xλ = −Une solution particulière est donc la fonction définie par :

0 2

x Arc tan xy

x

−=

• Troisième étape : solution générale obtenue par superposition des solutions

( )] [

] [

112

222

0

0

x Arc tan xsi x I ,

xy f xx Arc tan x

si x I ,x

λ

λ

− + ∈ = − ∞= = − + ∈ = + ∞

• Raccordement sur R

Pour obtenir une solution sur R, il faut "raccorder " les solutions en 0.

• Continuité de la solution en 0

Le dénominateur tend vers 0 lorsque x tend vers 0, une condition nécessairepour obtenir une limite finie est que le numérateur tende aussi vers 0, soitdonc : 1 2 0λ λ= =Choisissons les deux constantes 1 2etλ λ nulles et considérons la fonction f

définie par: ( ) 2* x Arc tan x

x R , f xx

−∀ ∈ =

Le développement limité de la fonction f à l'ordre 1 au voisinage de 0 est

( ) ( )3

xf x xο= +

00

xlim f ( x )→

= , on peut donc prolonger f par continuité en 0 en posant

( )0 0f =




9

• Dérivabilité en 0

On obtient :( ) ( )0 1

10 3

f xo

x

−= +

− et

( )0

0 1

0 3x

f xlim

x→

−=

−

On pose ( ) 10

3f ′ =

• Reportons dans l'équation les valeurs trouvées en 0, pour constater que lepoint ( )0 0; est un point d'une courbe intégrale, avec une tangente de pente

1

3.

Conclusion : ( ) ] [ ] [2

0 0

0 0

x Arc tan xsi x , ,

y f x xsi x

− ∈ −∞ ∪ + ∞= = =

avec ( ) 10

3f ′ = est l'unique solution sur R.

(MATH12E02A)

Résoudre l’équation différentielle ( )53xy y x I′ − =Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?

3 Exemples divers

3.1 Exemple 1

Résolvons l'équation différentielle 2 1x y y′ + =


On étudie donc l’équation différentielle sur les intervalles ] [ ] [0 0; et ;−∞ +∞

Sur chaque intervalle, on peut donner la forme normalisée : 2 2

1 1y y

x x′ + =

• Résolution de l’équation homogène 2

10y y

x′ + = :




10

La fonction 2

1x

x! est continue sur chacun des ces deux intervalles. Elle y

admet donc des primitives. La fonction 1

xx

−! est une de ces primitives.

La solution de l’équation homogène est donc :

] [

] [

1

1

1

2

0

0

x

x

y e sur ;

y e sur ;

λ

λ

= −∞

= +∞( 1 2,λ λ réels indépendants l'un de l'autre).

• Recherche d’une solution particulière. La fonction constante 1x ! est unesolution particulière évidente de l'équation complète.

• Solution générale de l’équation complète. En appliquant le principe desuperposition des solutions, l'ensemble des solutions de (I) est

( ) ] [

] [

1

1

1

2

1 0

1 0

x

x

e si x ,y f x

e si x ,

λ

λ

+ ∈ − ∞= =

+ ∈ +∞

• Raccordement des solutions en 0 :

• Continuité de la fonction en 01

10

0

1

2 20

0

1 1

1 1 0

x

xx

x

xx

lim e

lim e

λ

λ λ

→<

→>

+ =

+ = ⇔ =

On peut donc prolonger les solutions par continuité en 0 en posant ( )0 1f =


( ) ( ) ( ) ( )11

0 0 00 0 0

0 00 0

0 0x

x x xx x x

y x y y x ylim lim e et lim

x x x

λ→ → →< < >

− − = = =− −

Le prolongement sera dérivable en 0 et ( )0 0f ′ = .

• Vérification dans l’équation différentielle : 0 0 1 1× + =

L’ensemble des solutions de l’équation complète sur R est donc :




11

( )1

1 0

1 0

xe si xy f xsi x

λ + <= = ≥

avec ( )0 0f ′ =

(MATH12E03A)

Résoudre l'équation différentielle ( )xxy y e E′ + =Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?

3.2 Exemple 2

Soit l'équation différentielle : ( )21 1x y xy′− + =

Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?

Le coefficient de y′ s’annule pour 1 1x et x= − = .intégrons l'équation sur chacun des intervalles

] [ ] [ ] [1 2 31 1 1 1I , , I , et I ,= − ∞ − = − = +∞

On se place sur l’un des ces trois intervalles.

On peut alors écrire l’équation normalisée : ( ) ( )2 2

1

1 1

xy y

x x′ + =

− −

• Résolution de l’équation homogène : ( )20

1

xy y

x′ + =

−

La fonction 21

xx

x−! est continue sur chaque intervalle et y admet donc des

primitives. Soit 211

2x ln x−! une de ces primitives.

La solution générale de l’équation homogène est donc :

] [] [

] [

21 1

20 2 2

23 3

1 1

1 1 1

1 1

x si x I ,

y x si x I ,

x si x I ,

λ

λ

λ

− ∈ = − ∞ −= − ∈ = −

− ∈ = + ∞

1 2 3, etλ λ λ étant des constantes réelles indépendantes.

• Recherche d’une solution particulière. On remarque une solution évidente :x x!




12

• Solution générale de l’équation complète.

En utilisant le principe de superposition des solutions :

( )] [] [] [

21 1

22 2

23 3

1 1

1 1 1

1 1

x x sur I ,

y x x x sur I ,

x x sur I ,

λ

λ

λ

− + = − ∞ −= − + = −

− + = + ∞

1 2 3, etλ λ λ étant des constantes réelles.

On cherche maintenant à raccorder les solutions en −1 et en 1

• Raccordement en −−−−1

• Continuité de la solution en −1

( ) ( )1 1

1 1

1x xx x

lim f x lim f x→− →−<− >−

= = −

• Dérivabilité en −1

( ) ( ) ( )21

11 1 1

1 1 1

1 1 1 11

1 1 1x x xx x x

f x f x x xlim lim lim

x x x

λλ

→− →− →−<− <− <−

− − − + − − −= = + + + + .

Admet une limite 1 si et seulement si 1 0λ =

( ) ( ) ( )22

21 1 1

1 1 1

1 1 1 11

1 1 1x x xx x x

f x f x x xlim lim lim

x x x

λλ

→− →− →−<− <− <−

− − − + − − −= = + + + +

Admet une limite 1 si et seulement si 2 0λ =

• Vérification dans l’équation différentielle.

( )( ) ( )( )21 1 1 1 1 1− − × + − − =

Conclusion : la fonction x x! est solution sur ] [1;−∞• Raccordement en 1

• Continuité de la solution en 1

( ) ( )1 1

1 1

1x xx x

lim f x lim f x→ →< >

= =

• Dérivabilité de f en 1

Comme pour le raccordement en –1, on montre que

( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 11 1

1 11 0

1 1x xx x

f x f f x flim lim

x xλ λ

→ →< >

− −= = ⇔ = =

− −

On vérifie que la fonction x x! vérifie bien l’équation différentielle sur R




13

(MATH12E04A)

Résoudre l'équation différentielle ( ) 21x y x y x′ + − = .

Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?

1.3 Exemple 3

Résolvons l'équation différentielle ( ) ( ) ( )2

11 1

1

x xx x y ' x y

x x

+− + + =

− +L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0 et

−1.On considère les intervalles : ] [ ] [ ] [1 2 30 0 1 1I , I , et I ,= − ∞ = = + ∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1, 2 et 3.


On peut alors considérer l’équation normalisée : ( )( )

( )( )( )2

1 1

1 1 1

x xy ' y

x x x x x

+ ++ =

− − − +

• Résolvons l'équation sans second membre : ( )( )

10

1

xy ' y

x x

++ =

−

La fonction ( )1 1 2

1 1

xx

x x x x

+ = − +− −

! est continue sur jI et admet sur cet

intervalle des primitives, dont une est la fonction : ( )21x

x lnx

−!

La solution générale de l’équation homogène est donc sur jI :

( )

( )

21

0 21

xln

x xy Ke K

x

−−

= =−

, soit finalement :

( )] [

( )] [

( )] [

1 12

0 2 22

3 32

01

0 11

11

xsur I ,

x

xy sur I ,

x

xsur I ,

x

λ

λ

λ

= − ∞ −= =

− = + ∞ −

• Solution particulière de l’équation complète.

Ne remarquant pas de solution évidente, utilisons la méthode de variation de laconstante




14

( )( )

( )( )

( )( )

2

2 3

1

1

1 1

xy x

x

x xy x x

x x

λ

λ λ

=−

− −′ ′= +− −

Soit en reportant dans l'équation, il reste après simplification

( ) ( )( )( ) 22

1 1 1 2 1

11

x x xx

x x xx x xλ

− + −′ = = − +− +− +

Soit : ( ) ( )2 1x ln x ln x xλ = − + − +

On obtient donc une solution particulière : ( )

2

2

1

1

x x xy ln

xx

− +=−

• Solution générale :

En utilisant le principe de superposition des solutions

( )

( )] [

( )] [

( )] [

2

1 12

2

1 22

2

1 32

10

1

10 1

1

11

1

x x xln sur I ,

xx

x x xy f x ln sur I ,

xx

x x xln sur I ,

xx

λ

λ

λ

− + + = − ∞ − −

− += = + = −

− + + = + ∞ −

On cherche maintenant à raccorder les solutions en 0 et en 1

• Raccordement en 0

• Continuité en 0 : ( ) ( )0 0

0 0

0x xx x


= =

la continuité des solutions en 0 est réalisée quelles que soient les constantes

1 2etλ λ ,

• Dérivabilité en 0 : la solution n'est pas dérivable en 0 car

( ) ( )( )

2

220 00 0

0 1 1

0 1x xx x

f x f x xlim lim ln

x xxλ

→ →> >

− − += + = −∞ − − .

Il n'existe donc pas de solution de l’équation sur ] [ { }1 21 0, I I− ∞ = ∪ ∪ et à

fortiori il n'y a pas de solution sur R.




15

• Raccordement en 1

• Continuité en 1

au voisinage de 1 on pose 1 1x h ou x h− = = + :

( )( )

2 2

2 22 21 1 01 1 0

2

2

2 20 00 0

1 1 1

11

111 1

11

1

x x hx x h

h hh h

x x x h h hlim f x lim ln lim ln

x hhx

hln

hh h hOr lim ln lim

hh h

h

λ λ→ → →< < <

→ →< <

− + + + + = + = + +−

+ + + + + = = +

+ Donc f admet une limite 1 en 1 si et seulement si 2 0λ =De même on a :

( )

11

1xx

lim f x→>

= si et seulement si 3 0λ =

Donc: ( ) ( ) 2 31 1

1 1

0 0x xx x

lim f x lim f x λ λ→ →< >

= = ⇔ = =

On peut donc prolonger les solutions en 1 en posant ( )1 1f = ,

• Dérivabilité en 1 :

toujours au voisinage de 1 on a:

( ) ( )( )

2

21 11 1

2

20

1 1 1 1

1 1

1 1 10

1 1

x xx x

h

f x f x xlim lim ln

x x xx

h hlim ln

h hh

→ →< >

→

− − + = − − −

+ += − = + + le prolongement sera dérivable en 1 et ( )1 0f ′ =

• Vérification dans l’équation :

( ) ( )2

1 1 10 1 1 1

1 1 1

++ + =

− +

Il existe donc une solution de l’équation différentielle sur ] [ { }2 30 1, I I+ ∞ = ∪ ∪

définie par : ( )( )

2

2

1

1

x x xf x ln

xx

− +=−

UMN12 Exercices complémentaires MAI 2000

Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l’INPL

Cours : Philipe Leclère

Exercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

Exercices d’entraînement avec solutions.

(MATH12E05)

Résoudre sur R l’équation différentielle ( )2 31 1x y xy x′+ − = +

Indication : on pourra chercher une solution particulière sous la forme d’un polynôme de

degré 2.

(MATH12E06)

Résoudre sur l’intervalle 2 2

,π π −

l’équation différentielle : 2y y tan x sin x′ + =

(MATH12E07)

Résoudre l'équation différentielle 2 3xy' y x− = . Existe-t-il des solutions sur R.

(MATH12E08)

Résoudre sur R l'équation différentielle :

( )1 0x y y′+ − = , avec la condition : ( )1 1y − =

(MATH12E09)

Résoudre sur l’intervalle 02

;π

l’équation différentielle : y cos x y sin x x sin x cos x′ + = + .

Existe-t-il une solution sur [ ]0;π ?.

UMN12 SUPenonces MAI 2000

Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l’INPLCours : Philippe Leclère


(MATH12S01)

Résoudre sur l’équation différentielle sur l’intervalle ] [1;− −∞

x y y x+ ′ − = +1 2 1 4b g b gEst-il possible de trouver une solution définie sur R?

(MATH12S02)

Résoudre l’équation différentielle xy y x′ − = sur chacun l’intervalle 0;+∞ .

Est-il possible de trouver une solution définie sur R?

UMN12 COMPenonces MAI 2000


Exercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère

(MATH12E05)

L’équation différentielle peut se mettre sous la forme normalisée :3

2 2

1

1 1

x xy y

x x

+′ − =+ +

• Equation sans second membre.

La fonction 21

xx

x+! est continue sur R et admet donc des primitives, en

particulier la fonction : ( )2 211 1

2x ln x ln x+ = +! . La solution générale de

l’équation sans second membre est donc la fonction définie par :2

0 1y x , Rλ λ= + ∈

• Solution particulière :

On cherche une solution particulière (d'après l'énoncé) sous forme d'un polynômede degré deux (en effet, le terme en y est multiplié par x et le second membre estun polynôme du troisième degré).

On pose : 2 2y ax bx c avec y ax b′= + + = +En reportant dans l'équation différentielle initiale, on obtient :

( )( ) ( ) ( )2 2 3 3 31 2 1 2 1x ax b x ax bx c x ax a c x b x+ + − + + = + ⇔ + − + = +

par identification on obtient : 1 1 2a , b et c= = = . La solution particulière est

donc la fonction : 20 2x y x x= + +!


Le principe de superposition des solutions donne pour solution générale :2 21 2x y x x x , Rλ λ= + + + + ∈!




(MATH12E06)

L'équation est déjà sous forme normalisée.

• Equation sans second membre :

0y y tan x′ + =

La fonction x tan x! est continue sur 2 2

,π π −

et admet donc sur cet

intervalle des primitives, en particulier, la fonction : ( )x ln cos x−!

La solution générale de l’équation homogène associée est donc la fonction

0x y cos x, Rλ λ= ∈!

• Solution particulière.

Cherchons une solution particulière de l’équation complète en utilisant laméthode de variation de la constante.

( ) ( ) ( )y x cos x et y x cos x x sin xλ λ λ′ ′= = −On reporte dans l’équation initiale et après simplification, on obtient :

( ) ( )2 2x sin x soit x cos xλ λ′ = = −

La solution particulière est donc la fonction : 20 2:y x cos x−!


En appliquant le principe de superposition des solutions, la solution générale de

l’équation différentielle complète est donc la fonction f définie sur 2 2,

π π − par : ( ) 22f x cos x cos x, Rλ λ= − + ∈




(MATH12E07)

L'équation est définie sur [ [0 ,+ ∞ ; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule

en 0. On se place sur l’intervalle ] [0I ,= +∞ .

L’équation normalisée devient : 3 1

2 2y y

x x′ − =

• Equation sans second membre: 3

02

y' yx

− =

La fonction 3

2x

x−! est continue sur I, elle admet donc des primitives sur cet

intervalle, en particulier : 3

2x ln x−! .

La solution générale de l’équation homogène est donc la fonction :3 2

0/y : x x , Rλ λ ∈!

• Solution particulière

On peut deviner une solution particulière de la forme x K x!( Sinon il faut utiliser la méthode de variation de la constante)

En reportant dans l'équation, on obtient : 1

2 322

Kx K x x K

x− = ⇒ = −

Soit la solution particulière : 1

2x x−!


En utilisant le principe de superposition des solutions, on obtient la solutiongénérale de l’équation différentielle sur l’intervalle ] [0I ,= +∞

3 2 1

2/x y x x , Rλ λ= − ∈!

( ) ( )

3 2

00

1 2

0 00 0

10

2

0 1

0 2

/

xx

/

x xx x

lim x x

y x ylim lim x

x x

λ

λ

→<

→ →> >

− =

− = − = +∞ −

Donc l'ensemble des solutions sur [ [0 ,+ ∞ est vide.




(MATH12E08)

L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ ne s'annule pas.On peut donner la forme normalisée.

L'équation différentielle s'écrit

] [

[ [

10 0

1 1011

0 01

y y sur ;xy y

xy y sur ;

x

′ − = −∞ −′ − = ⇔ + ′ − = +∞ +On obtient alors la solution générale de l’équation différentielle :

] [( ) ] [

1

2

01

1 0

y sur ;x

y x sur ;

λ

λ

= −∞ − = + +∞

où 1 2etλ λ sont des réels.

La condition initiale impose 1 2λ =

Raccordement en 0 :

• Continuité en 0 :

La fonction est continue en 0 si et seulement si ( )1 2 0 2fλ λ λ= = = =


( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 00 0 0

0 00 0

220 11 2 2

1

0 2 1 22

x x xx x x

x xx x

f x f xlim lim limx x x

f x f xlim lim

x x

→ → →< < <

→ →> >

−− −= = = −

− + −= =

Finalement, on obtient la solution f définie sur R et vérifiant la condition initiale

( )] [

( ) ] [

20

12 0

2 1 0

sur ;x

f x si x

x sur ,

−∞ −= =

+ + ∞




(MATH12E09)

Sur l’intervalle 02

;π

on peut mettre l’équation différentielle sous sa forme

normalisée : x

y y tan x sin xcos x

′ + = +

• Equation sans second membre

La solution générale de l’équation homogène associée est donc la fonction

0x y cos x, Rλ λ= ∈! ( confère l’exercice MATH12E06)


On peut faire varier la constante ou remarquer que la fonction x x sin x! estsolution « évidente ».

• Solution générale.

La solution générale de l’équation différentielle sur l’intervalle 02

;π

est donc

la fonction f définie par : ( ) 1 1f x x sin x cos x, Rλ λ= + ∈

On en déduit sur ] [0;π l’ensemble des solutions f définie par :

( )1

2

02

2

x sin x cos x sur ;

y f x

x sin x cos x sur ;

πλ

πλ π

+ = = +

Raccordement en 2

π


π

( ) ( )2 2

2 2

2x x

x x

lim f x lim f xπ π

π π

π

→ →

< <

= =

On pose donc 2 2

fπ π =

Dérivabilité de f en 2

π




( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1

1

x x

x x

x x

x x

lim f x lim sin x x cos x sin x

lim f x lim sin x x cos x sin x

π π

π π

π π

π π

λ λ

λ λ

→ →

< <

→ →

< <

′ = + − = −

′ = + − = −

le prolongement est donc dérivable si et seulement si 1 2λ λ=

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle sur l’intervalle [ ]0;π est donc

l’ensemble des fonctions f : ( )x y f x x sin x cos x, Rλ λ= = + ∈!

UMN 12 ENONCESglobal MAI2000

Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l’INPLCours : Philippe leclère


(MATH12E01B)


( )1 0 1y y x et y′ − = − + =




(MATH12E01C)


( ) ( )21 0 2x y xy x , et y′+ + = =




(MATH12E02B)

Résoudre l’équation différentielle 23xy y x′ + =Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?




(MATH12E02C)

Résoudre l'équation différentielle 2xy y x Arc tan x′ − =Existe-t-il des solutions définies sur R ?




(MATH12E03B)

Résoudre l'équation différentielle ( ) ( )21 1 0xxy x y e x′ − + + + =

On se placera sur l’intervalle ] [0;+∞ .

Question facultative : Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?




(MATH12E03C)

Résoudre l'équation différentielle 4

2

1

xxy y

x′ + =

−On se placera sur l’intervalle ] [0 1; .





(MATH12E04B)

Résoudre l'équation différentielle ( )1x x y y Arc tan x′+ + =






(MATH12E04C)

Résoudre l'équation différentielle ( )2 21 2x x y y x′− + =



UMN12 SOLUTIONS MAI 2000

Cycles Préparatoires de Formation Continue de l’INPLCOURS : Philippe Leclère

EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch

1

(MATH12E01A)

La fonction 21x x+! ne s’annule jamais. L'équation différentielle est donc définiesur R.

C'est une équation du premier ordre, linéaire et homogène (sans second membre).

On peut l’exprimer sous sa forme normalisée : 2

10

1y y

x′ − =

+

La fonction 2

1

1x

x+! est continue sur R, elle admet donc des primitives sur R,

en particulier, la fonction ( )21x ln x x+ +! .

La solution de l’équation différentielle est donc la fonction f définie sur R par :

( ) ( )21f x x xλ= + + où λ est un réel quelconque.

En tenant compte de la condition initiale au point 0 1x =

( ) ( ) 11 1 1 2

1 2f λ λ= = + ⇒ =

+

La solution Y de l’équation différentielle satisfaisant à la condition initiale : ( )1 1Y =

est la fonction Y définie sur R par : ( )21

1 2

x xY X

+ +=+

Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).




2

(MATH12E01B)

L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y′ ne s'annule pas.

• Résolution de l'équation sans second membre 0y y′ − =

La solution générale de cette équation différentielle est la fonction définie sur R

par : 0xy eλ=


On remarque une solution particulière évidente de l’équation complète définiesur R par x x!

• Solution générale de l’équation complète :Le principe de superposition des solutions donne la solution générale de

l’équation différentielle : ( ) xy f x e xλ= = + , où λ est un réel quelconque.

En tenant compte de la condition initiale

( ) ( )0 0 1 1y f λ= = ⇒ =

La solution de l’équation différentielle qui satisfait à la condition initiale ( )0 1f =

est donc la fonction f définie sur R par : ( ) xf x e x= +





3

(MATH12E01C)

L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y′ ne s'annule pas.

On peut donner la forme normalisée de l’équation : ( ) ( )2 21 1

x xy y

x x′ + =

+ +

• Résolvons l’équation sans second membre : ( )20

1

xy y

x′ + =

+.

La fonction ( ) ( )2 2

1 2

21 1

x xx

x x=

+ +! continue sur R admet des primitives, en

particulier, la fonction ( ) ( )2 211 1

2x ln x ln x+ = +! .

La solution générale de l’équation homogène est donc la fonction définie par :

021

yx

λ=+

où λ est un réel quelconque.


On remarque la solution particulière évidente de l’équation complète : 1x !


Le principe de superposition des solutions donne la solution générale f del’équation complète définie par :

( )2

11

y f xx

λ= = ++

En tenant compte de la condition initiale

( )0 2 2 1 11

fλ λ= ⇔ = + ⇔ =

La solution Y de l’équation qui satisfait à la condition initiale est définie sur R par :

( )2

11

1Y x

x= +

+

Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vousconseillons vivement de contacter votre tuteur.




4

(MATH12E02 A)

L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0.

On considère les deux intervalles : ] [ ] [1 20 0I , et I ,= −∞ = +∞

On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1 et 2.

Supposons dorénavant j fixé. On donne sur jI la forme normalisée de l’équation

différentielle : 43y' y x

x− =

• Equation sans second membre : 3

0y yx

′ − =

L’application 3

xx

! est définie et continue sur jI , elle admet donc des

primitives sur chacun de ces intervalles, en particulier, la fonction ( )3x ln x!

La solution générale 0y de l’équation homogène est donc : 3

3ln xx e xλ λ=!

Soit :] [] [

31 1

0 32 2

0

0

x sur I ,y

x sur I ,

λ

λ

= − ∞= = + ∞

1 2etλ λ sont des réels quelconques.


En regardant la forme de l’équation complète, on cherche une solution sous la

forme : 5 45y Kx avec y Kx′= =

En remplaçant dans l’équation, on obtient : 5 5 5 15 3

2Kx Kx x K− = ⇒ =


En utilisant le principe de superposition des solutions, la solution générale de

l’équation différentielle est définie sur *R par :

( )] [

] [

53

1 1

53

2 2

02

02

xx sur I ,

y f xx

x sur I ,

λ

λ

+ = − ∞= =

+ = + ∞où 1 2etλ λ sont des constantes réelles.




5

Raccordement en 0.

• Continuité de la fonction en 0.

( ) ( )5 5

3 31 2

0 0 0 00 0 0 0

0 02 2x x x x

x x x x

x xlim f x lim x et lim f x lim xλ λ→ → → →< < > >

= + = = + =

la fonction f est donc continue en 0 et ( )0 0f =

• Dérivabilité en 0.

( ) ( ) ( ) ( )4 42 2

1 20 0 0 0

0 0 0 0

0 00 0

0 2 0 2x x x xx x x x

f x f f x fx xlim lim x et lim lim x

x xλ λ

→ → → →< < > >

− −= + = = + = − −

la fonction est donc dérivable en 0 quel que soient les réels 1 2etλ λ et ( )0 0f ′ =

• On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en 0 avec les conditionsexprimées ci-dessus.

Conclusion :

La fonction f définie sur R par :

( )] [

] [

53

1 1

53

2 2

xx I ,0

20 0

xx I 0,

2

sur

y f x si x

sur

λ

λ

+ = −∞

= = = + = + ∞

avec ( )0 0f ′ = représente l'ensemble des fonctions continues, dérivables sur R

vérifiant l'équation différentielle

On peut aussi utiliser les développements limités pour étudier le raccordement dessolutions





6

(MATH12E02B)


On considère les deux intervalles de R : ] [ ] [1 20 0I , et I ,= −∞ = +∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1 et 2.


On peut alors exprimer l’équation sous la forme normalisée : 3

y y xx

′ + =


La fonction 3

xx

! est continue sur jI et admet donc des primitives sur cet

intervalle, en particulier : ( )3x ln x!

La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction 0y définie

par :

31

3

lnx K

x Kex

=!

Soit :

] [

] [

113

02

23

0

0

sur I ,xy

sur I ,x

λ

λ

= − ∞= = + ∞


Bien que de façon « intuitive », on conjecture une solution particulière de la

forme 2x Kx! , utilisons la méthode de variation de la constante

On pose ( ) ( ) ( )3 3 4

3x x xy avec y

x x x

λ λ λ′′= = −

On remplace dans l’équation de départ et il reste après simplification :

( ) ( )5

4

5

xx x d ' où xλ λ′ = = d’où ( )

2

5

xy x =

• Solution générale de l’équation complète


( )] [

] [

21

13

22

23

05

05

xsur I ,

xy f xx

sur I ,x

λ

λ

+ = − ∞

= = + = + ∞




7

Raccordement des solutions en 0


Il apparaît évident qu’une limite ne peut exister que si 1 2 0λ λ= = , on a alors

( )0 0f =


( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

0 0 0 0

0 00 0

0 5 0 5x x x xx x x x

f x f f x fx xlim lim et lim lim

x x→ → → →< < > >

− − = = = = − −

On peut poser ( )0 0f ′ =

• On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en 0

Conclusion, la fonction définie par ( )2

5

xy f x= = est la seule solution de

l’équation qui soit définie sur R.





8

(MATH12E02C)

L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0.



On peut alors exprimer l’équation sous la forme normalisée : 1

y y xArc tan xx

′ − =


La fonction 1

xx


intervalle, en particulier : x ln x!


par : ln xx Ke K x=!

Soit :] [] [

1 10

2 2

0

0

x sur I ,y

x sur I ,

λ

λ

= − ∞= = + ∞


Utilisons la méthode de variation de la constanteOn pose ( ) ( ) ( )y x x avec y x x xλ λ λ′ ′= × = × +On remplace dans l’équation de départ et il reste après simplification :

( )x Arc tan xλ ′ =On intègre par parties et on obtient :

( ) ( )22

11

21

xx Arc tan x dx xArc tan x dx xArc tan x ln x

xλ = = − = − +

+∫ ∫Soit une solution particulière définie par : ( ) ( )2 21

12

y x x Arc tan x x ln x= − +



( )( ) ] [

( ) ] [

2 21 1

2 22 2

11 0

21

1 02

x x Arc tan x x ln x sur I ,y f x

x x Arc tan x x ln x sur I ,

λ

λ

+ − + = − ∞= = + − + = + ∞

1 2etλ λ étant des réels quelconques.




9



( ) ( )2 21

0 0

11 0

2x xlim f x lim x x Arc tan x x ln xλ→ →

= + − + = Cette limite est vraie à droite et à gauche de 0.la solution est donc continue en 0 et ( )0 0f =


( ) ( ) ( )21 1

0 00 0

0 11

0 2x xx x

f x flim lim xArc tan x ln x

xλ λ

→ →< <

− = + − + = −

( ) ( ) ( )22 2

0 00 0

0 11

0 2x xx x

f x flim lim xArc tan x ln x

xλ λ

→ →> >

− = + − + = −

On peut poser ( ) 1 20f λ λ λ′ = = =

• On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en 0

Conclusion, la fonction définie par ( ) ( )2 212

xy f x x x Arc tan x ln xλ= = + − + , λ

étant un réel quelconque, est la seule solution de l’équation qui soit définie sur R.





10

(MATH12E03A)




On peut alors exprimer l’équation sous la forme normalisée : 1 xe

y yx x

′ + =


La fonction 1

xx


intervalle, en particulier : x ln x!


par : ln x Kx Ke

x− =!

Soit :] [

] [

11

02

2

0

0

sur I ,xy

sur I ,x

λ

λ

= − ∞= = + ∞

où 1 2etλ λ sont des réels quelconques.


Utilisons la méthode de variation de la constante

On pose ( ) ( ) ( )2

1 1 1y x avec y x x

x x xλ λ λ ′ ′= = × + × −

On remplace dans l’équation de départ et il reste après simplification :

( ) ( )x xx e x eλ λ′ = ⇒ =

Soit une solution particulière définie par : ( )xe

y xx

=


On obtient la solution générale de l’équation différentielle complète en utilisantle principe de superposition des solutions

( )] [

] [

11

22

0

0

x

x

esur I ,

x xy f xe

sur I ,x x

λ

λ

+ = − ∞= =

+ = + ∞1 2etλ λ étant des réels quelconques.




11



On rappelle qu’au voisinage de 0 on a : ( )2

212

x xe x o x= + + +

Donc on obtient : ( )1 11

2

xo x

x x

λ+ + + + qui existe si et seulement si 1 1λ = −

De même on doit avoir 2 1λ = −On peut alors prolonger par continuité en posant ( )0 1f =


( )0 0

0 0

1 1 11 1 1

122

x

x xx x

e xo x

x x x xlim limx x→ →

< <

− − + − + + + + − = =

, on obtient évidemment

la même limite à droite de 0.

On peut poser ( ) 10

2f ′ =

• On vérifie que l'équation différentielle est alors satisfaite en 0

010 1 1

2e× + = =

Conclusion, la fonction définie par ( ) 1xey f x

x

−= = , est la seule solution de

l’équation qui soit définie sur R.





12

(MATH12E03B)

On travaille donc sur l’intervalle ] [0;+∞ sur lequel on peut normaliser l’équation

différentielle : ( ) ( )2 11 x

xxy y e

x x

++′ − = −

• Equation sans second membre : ( )1

0x

y yx

+′ − =

La fonction 1 1

1x

xx x

+ = +! est continue sur ] [0;+∞ et admet sur cet intervalle

des primitives, en particulier x x ln x+!

La solution générale de l’équation homogène est donc : 0xy xeλ=


Cherchons une solution particulière de (E), en utilisant la méthode de variationde la constante.

( )( ) ( ) ( )

x

x x x

y x xe

y x xe x e x xe

λ

λ λ λ

=

′ ′= + +En reportant dans l'équation, on obtient après simplification

( )2

2 2

1 11

xx

x xλ +′ = − = − −

En intégrant, on obtient

( ) 1x x

xλ = − + soit finalement ( )2 1 xy x e= − +

• Solution générale de l’équation complète.

En utilisant le principe de superposition des solutions, on obtient :

( )2 1 xy x x eλ= − + + , où λ est un réel quelconque.

Question facultative : raccordement en 0.

On a ( ) ] [

( ) ] [

21

22

1 0

1 0

x

x

x x e sur ;y

x x e sur ;

λ

λ

− + + −∞= − + + +∞

1 2etλ λ sont des réels quelconques


( ) ( )0 0

0 0

1x xx x


= =

On peut donc prolonger les solutions en 0 en posant ( )0 1f =




13


( ) ( ) ( )1 10 0

0 0

0 11

0

xx

x xx x

f x f elim lim x e

x xλ λ

→ →< <

− −= − + + = + −

( ) ( ) ( )2 20 0

0 0

0 11

0

xx

x xx x

f x f elim lim x e

x xλ λ

→ →> >

− −= − + + = + −

le prolongement sera dérivable en 0 si et seulement si 1 2λ λ=

La fonction définie par ( ) ( )2 1 xf x x x eλ= − + + , Rλ ∈ , est la seule solution de

l’équation différentielle définie sur R





14

(MATH12E03C)

L'équation est définie sur ] [1 1,− ; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en

0.On résout cette équation sur l’intervalle ] [0 1; .

L’équation normalisée associée est : 4

1 2

1y' y

x x+ =

−• Equation sans second membre.

La fonction 1

xx

! est continue sur ] [0 1; et admet donc des primitives sur cet

l’intervalle, en particulier la fonction x ln x! . La solution générale del’équation sans second membre est donc la fonction définie sur ] [0 1;

par : 0ln xy e , R

x

λλ λ−= = ∈


Cherchons une solution particulière de l’équation complète en utilisant laméthode de variation de la constante.

On pose ( ) ( ) ( )

2

x x x xy avec y

x x

λ λ λ′ −′= =

En reportant dans l'équation, il reste après simplification :

( ) ( )4 4

22

1 1

x dxxx soit x

x xλ λ′ = =

− −∫

En posant 2X x= , on obtient : ( ) ( )2x Arc sin xλ =

Soit la solution particulière définie par : ( )2Arc sin x

yx

=


En utilisant le principe de superposition des solutions, on en déduit la solution fgénérale de l’équation différentielle proposée.

( )( )2Arc sin x

x f x , Rx x

λ λ= + ∈!




15

Question facultative :

On considère maintenant la solution de l’équation différentielle sur l’intervalle

] [1 1;− . On a alors la solution générale définie par :

( )

( )] [

( )] [

2

1

1 22

2

1 0

0 1

Arc sin xsur ;

x xx f x , R et RArc sin x

sur ;x x

λ

λ λλ

+ −

= ∈ ∈ +

!

• Continuité en 0.

On sait que ( )2 2 2Arc sin x x o x= +

( )( )

( )2 2x o x

f x x o xx x x

λ λ+= + = + +

Une condition nécessaire pour obtenir une limite finie lorsque x tend vers 0 est

1 2 0λ λ= =On peut donc prolonger f par continuité en 0 en posant ( )0 0f =


( ) ( ) ( )( )

2

2

01 1

0

Arc sin xf x fo

x x

−= = +

−

On peut donc aussi prolonger la dérivée en posant ( )0 1f ′ =

On vérifie dans l’équation différentielle de départ que le point ( )0 0; est un point

d’une courbe intégrale, avec une tangente de pente 1.

Conclusion :

La fonction définie par :

( )( )

] [ { }2

1 1 0

0 0

Arc sin xsi x ,y f x xsi x

∈ − −= = =

est l'unique solution de l’équation différentielle sur ] [1 1,− .





16

(MATH12E04A)

Sur l’intervalle ] [0;+∞ , l’équation différentielle s’écrit sous la forme normalisée :

1xy y x

x

−′ + =

• Equation sans second membre.

La fonction 1

1xx

−! est continue sur ] [0;+∞ et admet donc des primitives sur

cet l’intervalle, en particulier la fonction x x ln x−! . La solution générale del’équation sans second membre est donc la fonction définie sur ] [0;+∞

par : 0x ln x xy e xe , Rλ λ λ− + −= = ∈


On remarque que la fonction x x! est solution évidente de l’équation complète.


En utilisant le principe de superposition des solutions, on en déduit la solution fgénérale de l’équation différentielle proposée.

( ) xx f x xe x, Rλ λ−= + ∈!

Question facultative :

Vous pourrez vérifier que sur l’intervalle ] [0;−∞ , on obtient la solution générale

suivante : 1 12

2xe

y x où Rx x

λ λ= + + + ∈

Et donc sur ] [0;+∞ 2 2xy xe x, Rλ λ−= + ∈

Raccordement en 0 :

• Continuité de la fonction en 0

( ) ( )11 1

1 222 2 1

x o xy x x o

x x x

λλ λ+ + +

= + + + = + + + +

La fonction f solution de l'équation différentielle sur R impose que la limite en 0soit finie. Cette condition est réalisée pour 1 2λ = − et l'on obtient alors

( )0

0

0xx

lim f x→<

= . De plus ( )0

0

0xx

R, lim y xλ→>

∀ ∈ =

On peut donc prolonger par continuité la fonction f en 0 en posant ( )0 0f =




17


( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 33

2 20 0 00 0 0

00

0 2 21 1 1

0 2 6

03

x

x x xx x x

xx

f x f x xlim lim e x lim x

x x x

xlim x

ο

ο

→ → →< < <

→<

− − − = − − + = + + + −

= − + =

( ) ( ) ( )2 20 0

0 0

01 1

0x

x xx x

f x flim lim e

xλ λ−

→ →> >

−= + = +

−

la fonction est dérivable en 0 si et seulement si 2 1λ = −

Conclusion :

La seule fonction f continue en 0 et dérivable en 0, vérifiant l'équation différentielleest la fonction f définie par ::

( )( ) ] [

( ) ] [

21 2 0

0 0

1 0

x

x

e x sur ;x

f x si x

x e sur ;−

− + + −∞

= =

− +∞





18

(MATH12E04B)

L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en 0 et en

−1On considère: ] [ ] [ ] [1 2 31 1 0 0I , I , et I ,= − ∞ − = − = + ∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1, 2 et 3.

Supposons dorénavant j fixé. On peut alors la forme normalisée de l’équation

différentielle : ( ) ( )1

1 1

Arc tan xy y

x x x x′ + =

+ +


01

y yx x

′ + =+

La fonction 1 1 1

1 1x

x( x ) x x− = − +

+ +! est continue sur jI et admet donc sur

cet intervalle des primitives, en particulier, 1x

x lnx

+!

La solution générale de l’équation homogène est donc définie par :

] [

] [

] [

1

0 2

3

11

11 0

10

xsur ;

xx

y sur ;x

xsur ;

x

λ

λ

λ

+ −∞ −

+= −

+ +∞Où 1 2 3, etλ λ λ sont des constantes réelles.


Cherchons une solution particulière de l’équation complète en utilisant laméthode de variation de la constante. On pose :

( ) ( ) ( )2

1 1 1x xy x avec y x x

x x xλ λ λ+ + ′ ′= = + −

En reportant dans l'équation, et après simplification, on obtient :

( )( )2

1

Arc tan xx

xλ ′ =

+En intégrant par parties et en utilisant la décomposition en éléments simples, onobtient

( ) ( )21 1 11 1

1 2 4 2

Arc tan xx ln x ln x Arc tan x

xλ = − + + − + +

+La solution générale est la fonction y définie sur jI

( )2

11 1

2 1

xArc tan x xy x ln Arc tan x

x xx

+ += − + + +




19


En utilisant le principe de superposition des solutions :

( ) ( )

] [

] [

] [

12

22

32

1 1 1 11

2 21

1 1 1 11 0

2 21

1 1 1 10

2 21

x x xln Arc tan x sur ;

x xx

x x xy x f x ln Arc tan x sur ;

x xx

x x xln Arc tan x sur ;

x xx

λ

λ

λ

− − + − + + −∞ − +

+ + −= = + + − + + + − + + +∞ +

On cherche maintenant à raccorder les solutions en −1 et en 0

Raccordement en −−−−1

• Continuité en –1

( ) ( ) ( )1 1

1 1

14x x

x x

lim f x lim f x Arc tanπ

→− →−<− >−

= = − = −

la continuité des solutions en −1 est réalisée quelles que soient les constantes

1 2etλ λ , en revanche, la solution n'est pas dérivable en −1.

Il n'existe pas de solution définie sur ] [0,− ∞ .

Raccordement en 0

• Continuité en 0 :

au voisinage de 0 on a:

( ) ( ) ( )2 2

2 211 1 1

3 3

x x xArc tan x x x x x

xο ο

− = − − + = − + + +

( ) ( ) ( )3

2 2 311 1

2 3

xln x ln x x x xο+ − + = − + +

( )2 2

2

1 1 21

31

x xln x x

xxο+ +× = − +

+( ) ( ) 2 3

0 00 0

0 0x xx x

lim f x lim f x λ λ→ →< >

= = ⇔ = =

On peut donc prolonger les solutions en 0 en posant ( )0 0f =




20


Toujours au voisinage de 0 on a:

( ) ( ) ( )2

2 2 2 21 2 1 11 1

2 3 3 2 6

xf x x x x x x xο ο

= − + + + − + = − +

Le prolongement sera dérivable en 0 et ( ) 10

2f ′ =

Il existe donc une solution f de l’équation différentielle sur l’ensemble

] [ { }2 31 0; I I− +∞ = ∪ ∪ définie par :

( ) ( ) ( )2

1 11 1

2 1

xf x x Arc tan x x ln

x x

+= − + ++





21

(MATH12E04C)

L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y′ s'annule en −1, 0et 1. On considère les intervalles :

] [ ] [ ] [ ] [1 2 3 41 1 0 0 1 1I , I , I , et I ,= − ∞ − = − = = + ∞On cherche des solutions sur jI pour j prenant les valeurs 1, 2,3 et 4.

Supposons dorénavant j fixé. On peut exprimer l’équation différentielle sur chacun

des intervalles sous forme normalisée : ( ) ( )2 2

2

1 1

xy y

x x x′ + =

− −


20

1y y

x x′ + =

−

La fonction ( )2

2

1x

x x −! est continue sur jI et admet donc sur chacun de ces

intervalles des primitives, en particulier,

2

2

1xx ln

x

−

!

La solution générale de l’équation homogène est donc :

] [

] [

] [

] [

2

1 2

2

2 2

2

3 2

2

4 2

11

1 01

0 11

11

xsur ;

x

xsur ;

xyx

sur ;x

xsur ;

x

λ

λ

λ

λ

−∞ −

− − −= −

+∞−


Cherchons une solution particulière de (E), en utilisant la méthode de variationde la constante

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2 22

2

1 1 1

x x xy x avec y x x

x x xλ λ λ′ ′= = −

− − −

En reportant dans l'équation initiale et en simplifiant, on obtient :

( ) 1x

xλ ′ = soit : ( )x ln xλ =

On obtient donc comme solution particulière la fonction définie par :

( )2

2 1

xy x ln x

x=

−




22



( )( ) ] [

( )( ) ] [

( ) ] [

( ) ] [

( )

2

1 2

2

2 24

1 2 3 42

3 2

2

4 2

11

1 01

0 11

11

xln x sur ;

x

xln x sur ;

xy , , , Rx

ln x sur ;x

xln x sur ;

x

λ

λλ λ λ λ

λ

λ

− + −∞ −

− − + − −= ∈ + −

+ +∞−

Raccordement en −−−−1

• Continuité en –1.

f est continue en −1 si et seulement si 1 2 0λ λ= = . On pose alors : ( ) 11

2f − =

• Dérivabilité en –1

On effectue le développement limité au voisinage de –1 de la fonction :

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

22

22

222

1 111 121 1212

1 1

1 1

2 2 2 1

2

Xx ln Xln xf x Xx

x x X

XXX o X

X Xo X

X

−− −− −− − −−= =

+ + −

− − + − − = = +

On peut donc poser ( ) 11

2f ′ − =

Il y a donc raccordement en –1.

Raccordement en 0

On pose ( ) ( )0 0 0 0f et f ′= = qui assurent le prolongement de f par continuité

en 0 et la dérivabilité de f en 0.Il y a donc raccordement en 0.

Raccordement en 1

f est continue en 1 si et seulement si 3 4 0λ λ= = , on pose alors ( ) 11

2f =




23

Pour la dérivabilité on a : ( ) 11

2f ' =

Il existe une solution unique sur R donnée par :

( ) ] [

( ) ] [

] [

] [

2

2

2

2

2

2

2

2

11

11

2

1 01

0 0

0 11

11

2

11

xln x sur ;

x

si x

xln x sur ;

xy si x

xln x sur ;

x

si x

xln x sur ;

x

− −∞ −

−

= −

− −−= =

− = +∞ −

avec ( ) ( ) ( )11 1 0 0

2f f f′ ′− = = =


UMN12 Aides MAI 2000

Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l’INPL

Cours : Philippe Leclère


(MATH12E01A)

Le facteur de y′ ne s'annulant pas l’équation est sous forme normalisée. Il existe donc une

fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que ( ) ( )1 1 1Y f= =

On rappelle qu'une primitive de la fonction 2

1

1f ; x

x+! est ( )21ln x x+ +

( x Argsh x! serait maladroit dans cet exercice)





(MATH12E01B)



Il existe une solution polynomiale de degré 1 pour l'équation complète





(MATH12E01C)



La fonction ] [ ] [0f : x ln x est une bijection de , sur ,+ ∞ −∞ + ∞!

0 0

ln a lnba b

a et b

=⇒ =

> >





(MATH12E02A)

Le facteur de y′ s'annule pour 0x = , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les

deux intervalles ] [ ] [0 0; et ;−∞ +∞ .

On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.

Il faut donc vérifier la continuité de la solution en 0x = et la dérivabilité en 0x = .

Soit :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0

0 00 0

0

0 00

0 0

x xx x

x xx x

lim f x lim f x f l

et

f x f f x flim lim f l

x x

→ →< >

→ →< >

= = =

− −′ ′= = =

− −

Et enfin ( ) ( ) ( )0 0 0a x l b x l c x′ + =

La solution étant de classe nC , les développements limités fournissent aussi la réponse





(MATH12E02B)





Soit :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0

0 00 0

0

0 00

0 0

x xx x

x xx x

lim f x lim f x f l

et


x x

→ →< >

→ →< >

= = =

− −′ ′= = =

− −


Pour obtenir une limite finie en 0x = , vous devez éliminer les termes contenant des

puissances négatives de x.





(MATH12E02C)

Une primitive de x Arc tan x! s'obtient en intégrant par parties





(MATH12E03A)





Soit :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0

0 00 0

0

0 00

0 0

x xx x

x xx x

lim f x lim f x f l

et


x x

→ →< >

→ →< >

= = =

− −′ ′= = =

− −


Le raccordement des solutions en 0x = s'effectuera en utilisant le développement limité

de xe à un ordre correct





(MATH10 E 03B)





Soit :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0

0 00 0

0

0 00

0 0

x xx x

x xx x

lim f x lim f x f l

et


x x

→ →< >

→ →< >

= = =

− −′ ′= = =

− −






(MATH12E03C)





Soit :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0

0 00 0

0

0 00

0 0

x xx x

x xx x

lim f x lim f x f l

et


x x

→ →< >

→ →< >

= = =

− −′ ′= = =

− −


Le raccordement des solutions en 0x = s'effectuera en utilisant le développement limité

de x Arc sin x! à un ordre correct





(MATH12E04A)





Soit :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0

0 00 0

0

0 00

0 0

x xx x

x xx x

lim f x lim f x f l

et


x x

→ →< >

→ →< >

= = =

− −′ ′= = =

− −






(MATH12E04B)

Le facteur de y′ s'annule pour 0x = et 1x = − , il faut donc résoudre cette équation

différentielle sur les intervalles ] [ ] [ ] [1 1 0 0; , ; et ;−∞ − − +∞ .

On essaiera de « raccorder » les solutions trouvées sur chaque intervalle. Il faut donc vérifier

la continuité de la solution en 0x x= et la dérivabilité en 0x x= pour 0 00 1x puis x= = − .

Soit :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0

0 00 0

0

0 00

0 0

x x x xx x x x

x x x xx x x x

lim f x lim f x f x l

et

f x f x f x f xlim lim f x l

x x x x

→ →< >

→ →< >

= = =

− −′ ′= = =

− −


On cherche des solutions sur l'intervalle le plus grand possible

L'intégration par parties est utile pour trouver une solution particulière de l'équation complète





(MATH12E04C)

Il faut considérer les intervalles :

] [ ] [ ] [ ] [1 2 3 41 1 0 0 1 1I , I , I , et I ,= − ∞ − = − = = + ∞

Le raccordement doit être envisagé aux points −1, 0 et 1

12. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE.colasapoil.free.fr/HEI/semestre...

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