Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction.

on note y la fonction inconnue, à déterminery' = sa dérivée

Les équations différentielles servent à modéliser de nombreux problèmes de physique, comme par exemple la décharge d’un condensateur au cours du temps.

C'est une équation: - d'ordre 1- à coefficients constant- sans second membre

EQUATIONS DIFFERENTIELLES] n t.ro x = -

'-

]

Préliminaire, :M .

inconnue en

4-d'= enExe : y

'= y Ckû)

'

: ke"

Que vaut y dans cet exemple ?Y > ke

"

(e")'

-- e

"

y'= y

E-x2 : 3g"

# 2g'+ y = e

"

eq diff d' ordre 2↳ y"

→Y'

IEquationsdifielle.edu

1) Equation du type y'

_ ay = o

-

la est une constante )

EI : y'_ 2g = o

⇒ y'= 2g

⇐ I = 2 si y ne s'annule pas

%fe.ge § b METHODE À retenir

⇐ fnlyl = 2x + c

2x + C(⇒ lyl = e k

⇒ y = ± é" +c

= ± × En

⇐ y = Ke"

où K = constante ¢")"

: 2e"

ylln ) - Zylul = 0on suppose que

la variable est nConclusion- t

2xLes solutions de y

'. 2g :O s'écrivent y =

Ke

où K est une constante

Pour trouver K,il faut en plus une condition initiale .

0 2nPar ex

, y (a) = 1 ⇒ Ke =L ⇒ K= % ⇒ y = je2 2

éËÏËj:ay=oadmetpouskhwgü1y( e")

'

.

- ae

"

Ex 2 : {5g'

. 4g = o ⇒ 5g ' = 4g

YH) -_ 2 ⇒ d : 4

%fe.ge Çd s

⇐ klyl = Ça + c

Ça te⇒ lyl = e

1 -b

- = e Ça + C c

eb (=) y = ± e K = te

atb Çaeaxeb = e ⇐ y = Ke

4-y (1) =L ⇒ Ke

'= 2 ⇒ K = Ça = 2 e-

%

s 5-4 1

-4g Ça -"çthç " g- = e =e=eLa solution est y = 2e xe =2e 4

y = zéttttn) % In - r ) e

= 2e

C'est une équation: - d'ordre 1- sans second membre

2) fquattypey-any.co ( alu) est une fonction)

[x1 : y'

-2mg = o- {ylo ) : 1 oËË fendu = n' + c

<⇒ y'= 2mg ← I = 2x ⇐ lnlyl = n' + c le')! 2x

y n'+ csi g ne s'annule pas ⇐, Iyl = e

m2 c

⇐ y = Ke k = Ie

De plus , ylo) - 1 donc Ke°

= 1

⇒ K = 1 ⇒ y-- e

" est l' unique solutionAln) = Salut du

Généralisation : /f1 = alu) ⇐ lnlyl = Aux ⇐ type

"""

Alnltc- ⇒ y

-_ te

l' équation y'- alnly = o admet pour solution générale y -_

Ke""

avec K = ± el

y = KEA '" où Adi :( aluldn est = primitive de alu )

K - constante

EI : ( n' +1) y'

. 2mg = 0 ⇐ (n'+ Dy ' = Zu y

I. = IL si y ne s'annule pas JÎ -_ hlulintègre § 2 n'+ n

lnxlnlyl = lnhitrl + c e :X

⇐ , pyp = eh tût"" =eh !"""

×! = (n'+1) ×!

⇐ y = t.ec ( n'+ n ) K : Iec

(⇒ y = K (n'+1) Pas de condition initiale . On s'arrête .

Ex 3 : à (n' + r ) y'= y

-

⇒ I = 1- si y ne s'annule pasy n'hîxr)

1on décompose

,

= % + ¥ + ↳n'+1

B-- [¥)

.

:b

ci + D= (E ); Ê : - t ⇒§?. .

pour A.in#+,.- A t ¥ +"

u-s.io

Xa +1 Je méthodeX = n' -↳ →

c↳ • °

1- = f- + B-

0 = A- + c ⇒ A = - C = O XIX tn ) Xt ,

SÉ» : É -1- 1=4+1-4n'+1

2e méthode : 1- =

n'+1 - n'

( astucieuse) ricain,= ÷ -¥

f- =! ⇒ ÷ - ÷.⇐ hdyl = - 1- arctann + c

k

(⇒ (g) = e

- t - archers + c

⇐ y = ± e'e- %

-octane

y = Ke- E - archange

TDI[x1 : Résoudre- D⑨ y

't 2 y = o Variable = n

④ y'

* y = 0

Correction TDy (1) = 1

Zoom¥3 : Résoudre

⑨ /! s' - a = .

③ {(1- n' ) y

'

+2mg = 0

yctz) -_ 1

txt : Résoudre y" '

# y":O en posant z = y

"

¥

:p :{÷:"" : ::::

'

.mu. . ÷c) Conclure

TDI¥ :

⑨ y't 2g = o ⇐ % = _

a ⇐ klyl = -2n + c

⇐ lyl = e-↳ + c

-2h C

⇐s y = Ke K -_te

④ y'

* y = o ⇒ by : -1 ⇐ lnlyl = - n + c-Utc

y (1) = 1 ⇐ lyl :cc

-u

⇐ y = KeK > te

guette-1=1 ⇒ K=¥=ê=ey : éxé

"= et_ n

¥3 :

(1 # n') y'- y

= o ⇒ I. = 1-⑨ { ylo)=z Y a + n'

⇐, hlyl = arctanu + c

ouctannx C

(⇒ lzl : e

orctanu c

⇐ y = KeK --Ie

y(01=2 ⇒ Ke"""

= 2 arctano = 0 car Tano = o

Î l'angle dont⇒ Ké = 2 la tau vaut 0

=) K - 2 aectanxdonc y = 2e

Ex ] t- u FÉ > brua③ (t - n' ) y

'

+2mg = o ⇐ % = f-{ ycrz) -- r d1- n'

←n

⇐ lnlyln.hr/1-n4+c

⇐ a lyl = eh"- à + c

F) lzl = 11- n'lxec

⇐ s y = ± (1-n'I éc

⇐ ) y = KU-n') K -

_te

yltz) --1 Kf1 - 2) = 1

- 4=1 ⇒ « = . ,/ ⇒ Y > - a- ay

y = n'_ 1

€10 : Résoudre y" '

# y":O en posant z = y

"

⇒ t'

t 2=0 eqd'ordre 1

2¥ = - 1 ⇐ lnlzl = - xtc

⇒ 2- = Ké"

on a y"> Ké

"

y'= - Ké

"+ c

y = Ké"

+ Cn xD

Ex 16 : j'+ ( y')'= o

- { %? :O, ÎÏÎ: mine . ¥c) Conclure

2-'= - ZZ

←y"

+ 1g ')! o ⇒ z'

+ -22=0 ordre 1 pas linéaire

⇒ t' = -s 1¥ : - en

ZZ

⇐ -f- = - rt c ⇐, f- = a - c1

⇐ 2- = -n - C

on a y'= 1- ⇒ y = lnlx - CI + D Int =L-ulZ - C

ylo) :O ⇒ ylot-lnl.cl + D = hlel t D = 0

y'lol = 2 ⇒ yyo) : ÷ = 2 ⇒ c = - ? ⇒ hlel = kÊ) : -h2

donc D= -hlel : bus

⇒ y = ln In + film 2 ha + lnb = lu@xD

⇒ y = luka +11

C'est une équation: - d'ordre 1- avec second membre

On note:(E) y’-a(x)y = b(x) l’équation à résoudre(Eo) y’-a(x)y = 0 l’équation homogène associée

Pour résoudre l’équation (E):

- On résoud l’équation (Eo), on note yo la solution générale de (Eo)- On trouve une solution particulière y1 de (E)

Alors la solution générale de (E) s’écrit:y = yo + y1

On applique ensuite éventuellement la condition initiale à y

3) fquatiousdutypeyt-alnly-bncavec.secoud membre)

E-x1 : y'_ 2mg = n' +2N

{ylo) :O

" sans second membre

Dans notre exemple ,(E) : y

'- 2mg = n' + La

⇐o) : y'- 2mg = 0

① les C. I.

←s' appliquentà la finsur y = got

In

Explication : soit y la solution générale de E alors- {y, une solution particulière de (E)alors : y

'- alu) y = bla) _

a (a) y t alu) y, = - alu) (y - y, )-0

y! - alu) y, = b (x )

jazz:Odonc y - y,

est solution de o) donc y _ y, = y a

⇐ y = Yo + dr

1 :

{! 5-n' + an ces

① Résoudre y'- 2mg = o (Eo)

② Trouver une solution particulière y, de (E)

: on pourra chercher y, sous la ferme d'un polynôme

quel degré ?

① Conclure : y = y . + y, =

④ Appliquer la condition initiale-

Solution : ① (E) y'- 2x y=o ⇐ ¥ = 2x si y ne s'

annule pas

on intègre 4⇐ fnpyl = n' + C

⇐ lyl = entre2

⇒ y = ± et × en

⇐ y = Ke"

'

en posant K=±é0

②y'_ 2mg = n' + 2n (E) on cherche y, sous forme

{ylo)=o d'un polynôme de deg 2

y , =an' + but c

⇒ y! = 2am + b

on injecte dans (E) : ce pb , c ?

2am + b- 2x (axttbx + c) = n' + 2x-

Méthode: Pour trouver une solution particulière y1, on la cherche:

- soit sous forme polynomiale - soit sous une forme similaire aux autres termes de l'équation différentielle.

Attention! Cette méthode n'est pas systématique : il se peut qu’aucune solution de ce type n’existe!

2am + b- 2x (axttbx + c) = n' + 2x

Lan * b - 2ans -2bar' _ 2cm = à + 2h n'+0 n'+ 2n to

←-2am

?- 2bar + Ca - 2e) x + b = n

't 2x

- 2. a = 1 ⇒ a = - 1 y,

= - Ià - % est solution2

particulière de (E){÷.

Ï :. ⇒ a- a- e- ÷ -a-±n

⇒ y = yo + y,= Ke - Ià - %

Il reste à appliquer la C. I. pour trouverK

ylo) - o y (a) = Ké - trot - %

⇒ y (a) = K - t = 0 ⇒ K =3

doncç2

t÷÷÷:÷÷÷÷:üï:÷(E) ry

'- 2g = 0 (⇒ n y

'= 2g ⇒ % = En

2kW + cnlnn.hn" ⇐ hlyl = 2h41 + c ⇐ lyl = e

2hm = lnn'

duc y. = Kar⇐ lyl = eklaltxec

⇐ lyl = lutté⇐ y = * et à = Kat

On détermine d'abord yo puis on fait varier la constante K

(E) xy'- 2g = lnn y, =

alun + b

y,'= ±k

on injecte dans (E)

÷ - "aussi . p ii :O ? ÷⇒ b = ta = -É,

⇐ ce ←Zahra

-2b = lnx y,

= - flux - ¥1hm +0⇐ -

Zahra + ( a - 2b) -_¥ y = yo + y, = Ku'- then -¥

2e méthode pour trouver

{ la solution particulière y,

Mélatonine

Retour : (E) xy'- 2g = lnx

On a trouvé yo = K n'

,c) on fait varier la constante K

On pose y,= Klm n ① À# n'v

"

yé = K'lnl n' + Klntxsn ←s' = n'v + uv'

On injecte y,dans (E) :

x ( K'(a) n' + 2x Klm )) - 2Kfr) x' = lnu

⇐ , K'(a) n' +2¥- 2¥ = heu

⇐ K' (re) n' = lnn En pratique , le Kln ) s'élimine toujours⇒ on obtient que du K' (x)

(=, n' ln ) : kÊ ⇒ Kln) =) HÉ du

Kln) = 1k¥ du IPP lnnx %vln) = lnn fuir = un _ fav

'

fin : :-. IÏÏË sûr : + a

= En- 2

+ c= ¥ pas nécessaire

Klnl = - Érenn - f-£, du = - HÉ + f)¥ du /⇒ y , = Klnln"

⇒ y;tf÷ -⇒ à= -hÊtI×Ë= -¥. -÷

⇒ ya :- HE - f- ⇒ y =- g. + y, -- Kui- then - tu

¥: (E) my't 2N - y =

0 ⇐ ny'- y = - 2x eq avec Zhdmenhx

On commence par résoudre Go) xy'- y = o ⇐ ny

'= y

faut

⇐ I = 1g ⇐ lnlyl = lnlnl + c D Isl # INIIÈKY

⇐s.ly/=elnWtC-.ecxlnl(--sy--IeCnc--sy--KxOn a trouvé Yo = Km

) on fait varier la constante K

On pose y,= Kfr1 n y! = K' lnln tkln)

| n'lnln?= -2x

On injecte y,dans (E) : ny! - g. = - 2x K'ln) = -E

n

⇐ n ( K' bla tklns) - Klm)x = - 2x Klm ) = - 2kW

⇐ K' (ntm' +4) - Kenya = - zu ( ds = KH "⇒ y,

= - Znhlnldonc y = g. + y,

= Kn - Znhlnl

TD 5 TD 11"le, → zoom

-

vins 12"

Ea) y

'. 2g = 2n' + n on cherchera y, sous forme polynomiale{ y (a) = 1 quel degré ? deg ] y

,= ans + boit + en + d

m'= 11¥ d:

b) y'- Iy = 2e

?"

{ y 11=4,3Méthode de Variation de la constante

E Résoudre (E) 2 nyy't 4n' = y

'

eq diff non linéaire

On pourra poser Zlx) = In))'

2-'In) = écrire une eq en 2-

TDS : solution-

-

Ea) y

'. 2g = 2n' + n on cherchera y, sous forme polynomiale{ ylo) > 1 quel degré ?

deg ] y,= ans + britten + d

y! = Ian ' +2bar + c

y'. 2g = 2n' + a1 1

⇒ 3am'+ 2bar + c- 2 (au

'+ boiteuxd) = 2. n' + a

⇒ 3am' +2bar + c - 2ans - 2bar- 2cm - 2d = 2ns + se

⇒ -2ans t ( Ia - 2b) n' + ( 2b - 4) n + Ce -2 d) = 2ns tu

f ÷ . ⇐¥ ⇒ "ËÏË" " "2b - 2e = 1 2e = Lb - 1 ⇒ c = b-± = -¥ - { = - 2c- 2d = 0 2d = c ⇒ D= § = = - 1

Résoudre LED : yl.2y.ro ⇐ 9} =L ⇐ g. = Ke"

y = y. + y, = Ke"_n'_ { n'- 2x - 1

Jlott ⇒ ylo) = Kei - o_0 - o - 1 = K - 1=1 ⇒ K=L

b) y'- ↳ = zesn

Y=2e↳-à-%ù.z

{ y 11=4,3Méthode de Variation de la constante

(E) y'- Sy -- o on trouve yo = Ke

"

y. =Kel" ⇒ y, =

Klnlé" ⇒ y! = K' bien + Klx)x3e"

y'- Iy -_ 2e

?" @anY-.aean⇒ n'aient sn¥¥é -- 2e" cent > n' en⇒ n' aie"- zén

⇒ K' (a) = 2 ⇒ Klm) = 2n

donc y, = Kln) e"= 2x é"

⇒ y = go + y,= Ke"+ 2nd" = ( K +2nde"

⇒ Kf2-_4

y 4) = hé ⇒ y (1) = (Ktz)es= les ⇒ K - 2

Y :(2f24 én

E Résoudre (E) 2 nyy'

+ 4n' = y'

On pourra poser Zlx) = In))'

4)'

= Zulu

2-'In) = 2 y

'

y écrire une eq en 2-

xz'+4n' = -2 ⇐ xz

'

- Z = - 4N eq d' f1 linéaired'ordre 1

(E) xz' - Z = o ⇐ rez'

= Zavec 2

" membre

⇐ É = ¥ ⇐ lntzl.lu/nI-c-

z

⇐ IZI = lnlxec RZ'- 2- = -hé

⇐ 1 -2 = Ka tp = _ Un'

°2-n' = - 8N

on pou z, =K (x ) x

Zé = K' ln ) x + Kpn)- 844n' = -4N

? ✓

KZ,

'- z,= - 4 n' ⇒ × ( K' (a) xtkcns) - Klm ) x = -

là

⇐ n' Kllu ) turfu ) - Xx = - hé

⇐ x2 t' (a) = - ha' es K' ln) = - 4

donc Kln ) : - 4N ⇒ -4 = Klnln = - hnxu = -4x?

-2 = Zo t -2, = Km _ 4 n'

Z = y'⇒ y =K¥2

2e méthode: pour Zp = au

'+ bar + c

↳ on trouve a = - 4 b=o c-- o

Zr = - 4mL