Post on 03-Apr-2015
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GMC 6002ÉLÉMENTS FINIS EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
2
Matrice de rigidité locale en 3D (linéaire)
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
dVBHBKiV
Ti ...
)(
)(
nnnin wvuwvuwvuU ...222111)(
2
.21
00000
00000
00000
0001
0001
0001
.1..21
a
avec
a
a
a
EH
)(. inUB
.H
Matrice [H]:
3
Matrice de rigidité locale en 3D
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
.Q
wwwvvvuuu
)(. inUB
BQB .
)(. inUB
n
n
n
n
n
n
n
n
n
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
B
0000
0000
0000
0000
00......00
0000
0000
0000
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1
1
1
1
1
1
1
1
1Matrice [B]:
232221333231
131211333231
131211232221
333231
232221
131211
000
000
000
000000
000000
000000
jjjjjj
jjjjjj
jjjjjj
jjj
jjj
jjj
Q
4
Pour un tétraèdre linéaire
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
312121312141412141313141
213131214121214131414131
3121312141214121413141311
......
......
.-..-..-.
.6
1
yxyxyxyxyxyx
zxzxzxzxzxzx
yzzyzyyzyzzy
VJj
233322322131232221333231
133312321131131211333231
132312221121131211232221
333231333231
232221232221
131211131211
0000
0000
0000
00000000
00000000
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jjjjjjjjjjjj
jjjjjj
jjjjjj
jjjjjj
B
dVBHBKiV
Ti ...
)(
)( )(. inUB
.H
2
.21
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00000
00000
0001
0001
0001
.1..21
a
a
a
a
EH
5
Mécanique linéaire
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Système discret final où [K] et {F} ne sont pas affectés pas la
déformation de la pièce et donc par {UNd}
FUK Nd
.
6
Non linéarité matérielle
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Bilinéaire Élastique non linéaire Plastique
dVBUHBUK in
V
T
ini
i
..)(.)( )()()(
)(
FUUK NdNd
.)(
7
Non linéarité géométrique
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
On ne peut plus assimiler géométriquement la configuration déformée (coordonnées xi) à la configuration initiale (coordonnées ai)
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Non linéarité géométrique
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Deux configurations (peuvent agir ensemble) Grands déplacements: Ui << L n’est plus vrai Grandes déformations: Ui,j << 1 n’est plus vrai
Plus de proportionnalité entre {ε} et {Un(i)} [K] est affectée par la déformation de la
pièce et donc par {Und}
dVUBHUBUK in
V
T
inini
i
.)(..)()( )()()()(
)(
FUUK NdNd
.)(
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Non linéarité géométrique
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Grands déplacements
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Non linéarité géométrique
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Charges vives: {F} affecté par la déformation de la pièce et donc par {Und}
)(.)( NdNdNd UFUUK
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Autres non linéarités
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Conditions aux limites bilatérales
Contact FUK Nd
.
Conditionnement du système variable (déplacements imposés)Influence mutuelle entre plusieurs pièces
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Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion E = 1.2x109 Pa, L = 10 m Section 1 m x 0.1 m Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire (HPP)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
m
m
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Non linéarité géométrique: exemple1
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Grands déplacements (COSMOS/M) Déformée modèle non-linéaire/linéaire
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
m
m
m
m
Non linéarité géométrique: exemple
14GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – 15 000 N Déplacements en x et y
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
00 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Linéaire Non linéaire
m m
N N
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Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – 15 000 N Déplacement en y linéaire/non linéaire
Linéaire
Non linéaire
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
m
N
16
Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire Effort normal et effort tranchant
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Effort normal
New
tons
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000Effort tranchant
New
tons
élément élément
17
Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Effort normal et effort tranchant
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Effort normal
New
tons
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Effort tranchant
New
tons
élément élément
18
Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Forces et moments de réaction
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Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Éléments de plaque COSMOS/M Modèle linéaire (HPP) Déplacements semblables
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Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Éléments de
plaque Modèle linéaire
(HPP) Contraintes Von-
MisesFace dessus
Face dessous
Feuillet moyen
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Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Éléments de plaque (COSMOS/M) Modèle non linéaire Déplacements semblables
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Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle non linéaire Contraintes Von-Mises
Face dessus
Face dessous
Feuillet moyen
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Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Maillée en 3D Modèle non-linéaire (Solidworks) Déplacements semblables
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Non linéarité géométrique: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Poutre en flexion Comparaison Modèle non-linéaire Contraintes Von Mises
25
Non linéarité matérielle: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Plaque trouée en traction Modèle 2D (dimensions en pouces),
contraintes planes
Pression P (constante)
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Non linéarité matérielle: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Plaque trouée (COSMOS/M solveur itératif)Modèle linéaire Modèle non-linéaire
(parfaitement plastique à 40 000 Psi)
P = 10 000 Psi
P = 12 000 Psi
P = 15 000 Psi
P = 20 000 Psi
Échelle de couleurs différente
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Non linéarité matérielle: exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Plaque trouée : contraintes résiduelles
P = 12 000 Psi
P = 20 000 Psi
Échelle de couleurs différente
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Formalismes
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Eulerien
Lagrangien
29
Lagrangien: problématique
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Déformations trop importantes
30
Lagrangien: solutions
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Remaillage Formalisme ALE
31
Tenseur de Green-Lagrange
Configurations initiale et déformée
GMC 6001- Dynamique des structures
32
Grandes déformations : exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Élément de barre L = 1 E = 0.21 1012, A = 0.1 10-3
q = 105
Déplacement Green-Lagrange (linéarisé et non)
33
Grandes déformations : exemple
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Élément de barre L = 1 E = 0.21 1012, A = 0.1 10-3
q = 106 q=107 q = 108
Green-Lagrange linéarisé (rouge) et non linéarisé (vert)
34
Décomposition polaire
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
35
Tenseur de Green-Lagrange: exemple
GMC 6001- Dynamique des structures
Déformation d’un carré
36
Tenseur de Green-Lagrange: exemple
GMC 6001- Dynamique des structures
Décomposition
37
Tenseur de Green-Lagrange: exemple
GMC 6001- Dynamique des structures
Décomposition
38
Tenseur des contraintes
Configurations initiale et déformée
GMC 6001- Dynamique des structures
NdS
fNMT
dS
.),( lim
0
[σ] Tenseur de Cauchy
39
Tenseur des contraintes
Configurations initiale et déformée
GMC 6001- Dynamique des structures
dS
fNMT
dS
lim0
),(
40
Tenseur des contraintes Formule de Nanson
GMC 6001- Dynamique des structures
00
1
0
1
..
.
ndSFJNdS
dSFJdST
T
41
Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 1 (PK1)
GMC 6001- Dynamique des structures
1..
TFJ 0
00
.lim0
ndS
fdS
42
Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 2 (PK2)
GMC 6001- Dynamique des structures
11 ... TFFJS 0
0
*
0.lim
0
nSdS
fdS
43
Formulations
GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire
Lagrangienne totale Lagrangienne réactualisée
0.26011542860.2601154286
44
Méthodes numériques
GMC 6001- Dynamique des structures
Newton-Raphson
Newton-Raphson modifiée
45
Méthodes numériques: exemple
GMC 6001- Dynamique des structures
Itération Substitution Newton-Raphson
Newton-Raphsonmodifiée
1 0.2000000000 0.2000000000 0.2000000000
2 0.2500000000 0.2666666667 0.2400000000
3 0.2666666666 0.2761904761 0.2576000000
4 0.2727272728 0.2763931105 0.2663577600
5 0.2750000000 0.2763932022 0.2709464563
6 0.2758620690 0.2763932022 0.2734119822
7 0.2761904762 0.2763932022 0.2747541120
Ressort non linéaire F=0.2, k=1-u, u0=0
Valeur théorique: u = 0.2763932023
46
Méthodes numériques: exemple
GMC 6001- Dynamique des structures
Itération Substitution Newton-Raphson
Newton-Raphsonmodifiée
Premier incrément F=0.1
1 0.1000000000 0.1000000000 0.1000000000
2 0.11111111110 0.1125000000 0.1100000000
3 0.1125000000 0.1127016129 0.1121000000
Deuxième incrément F=0.2
1 0.2253521126 0.2418010927 0.2125664100
2 0.2581818182 0.2740759692 0.2451844787
3 0.2696078432 0.2763813187 0.2601154286
Méthode incrémentale (deux incréments de force)
Valeur théorique: u = 0.2763932023