Automates tats finis

Damien Nouvel

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Langages et automates

Du langage Hirarchie (rguliers, hors-contexte, contextuels)

Mcanisme pour accepter / reconnatre un langage ? aux automates

Machine de Turing tats, transitions

Automates tats finis (langages rguliers) Reprsentations

Diagrammes de transition (dessin) Graphe : nuds, arcs

Tables de transition

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Diagrammes de transitions

Plan

1. Diagrammes de transitions

2. Notations formelles

3. Tables de transition

4. Automates non dterministes

5. Proprits des langages rguliers et complments

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Diagrammes de transitions

Diagrammes

Inspir des diagrammes de flux / organigrammes

Travail ?

Menteur !

non

Urgent ?

oui

Loisirs

non

Procrastination ?

oui

non

oui

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Diagrammes de transitions

tats

Indique o en est lanalyse dun mot tats : nuds

Cercle Label : qi avec i un entier

q2

tat initial Ajout dune flche devant Souvent q0 (mais pas obligatoire)

qO

tat final Double cercle

q5

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Diagrammes de transitions

Transitions

Indique quelles prochains symboles sont accepts Transitions : arcs

Arc orient (flche) qui relie deux tats Label : liste (ensemble) de symboles de

q1 q3a, c

Reconnat le langage ta, cu ou tau Y tcu (mais pas ta.cu !) Si depuis q1 le prochain symbole est a ou c aller en q3

Transition dun tat vers lui-mme

Boucle au dessus dun tatq1

a, c

Correspond ltoile de KleeneDamien Nouvel (Inalco) Automates 6 / 26

Diagrammes de transitions

Reconnaissance dun mot

Chemin suivi au travers dun automate Lautomate consomme les symboles Une liste dtat visits est tablie Arrive en fin de mot dans ltat final

Exemple : mots ab ou ac

qO q1a

q2b

q3

c

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Diagrammes de transitions

Automate tats finis dterministe

Contraintes Un seul tat initial Dterministe : par nud / symbole, max une transition

Remarques Autant dtats finaux que ncessaires Ltat initial peut-tre final Des transitions peuvent partir de ltat final

Boucles possible sur un tat ou par cycles Exemple : expression rgulire (a|bc)*(b(a|b))?

qO

a

q1

b

c

q2a, b

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Notations formelles

Plan

1. Diagrammes de transitions

2. Notations formelles

3. Tables de transition

4. Automates non dterministes

5. Proprits des langages rguliers et complments

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Notations formelles

Fonction de transition

Dfinition formelle de lautomate : A = (Q,, , q0,F) tats Q = tq0, q1, q2, . . .u Alphabet = ta, b, c, . . .u Fonction de transition : Q Q Y tHu tat initial q0 Ensemble dtats finaux F (avec F Q)

Importance de la fonction de transition Cur de lautomate (entre : tat et symbole / sortie : tat) Exemples : (q0, a) = q1 ou (q1, b) = q0 Valeurs dfinir : |Q| || Une transition qui nexiste pas peut tre note H

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Notations formelles

Fonction de transition tendue

La fonction de transition neffectue quune transition Comment savoir quel tat est atteint avec n transitions ? Pour abc, il faut calculer (((q0, a), b), c)

Impossible de savoir combien de fois appliquer Fonction rcursive : Q Q Y tHu

Forme gnrale : (q,w) avec w P Si w = x.a avec x P , a P Retourner ((q, x), a) Si w = a avec a P Retourner (q, a)

Permet de dterminer le chemin Quel tat est atteint pour un tat et un mot donn

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Notations formelles

Langage reconnu

Un automate reconnat un langage Concatnation de symboles telles que les transitions

conduisent, depuis ltat initial, un tat final L = tw|(q0,w) P Fu

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Tables de transition

Plan

1. Diagrammes de transitions

2. Notations formelles

3. Tables de transition

4. Automates non dterministes

5. Proprits des langages rguliers et complments

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Tables de transition

Table de transition

Reprsentation quivalente aux diagrammes Lignes : tats Colonnes : symboles Cases : rsultat de la fonction de transition

Notations tat initial : flche tat final : toile

Exemple (cf diagramme)Q a b c

q0 q0 q1 Hq1 q2 q2 q0

q2 H H H

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Tables de transition

Exercices

Modlisez par diagramme et faites la table de transision desautomates qui reconnaissent

Un nombre entre 0 et 20 Une dizaine (10, 20, 3090) Un nombre avec ou sans virgule Un nombre pair entre 10 et 999 Une heure au format HH:MM Une date au format JJ/MM/AAAA Une adresse postale

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Automates non dterministes

Plan

1. Diagrammes de transitions

2. Notations formelles

3. Tables de transition

4. Automates non dterministes

5. Proprits des langages rguliers et complments

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Automates non dterministes

Types dautomates

Terminologie FSA : Finite State Automata DFA : Deterministic Finite state Automata NFA : Non-deterministic Finite state Automata -NFA : NFA avec transitions

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Automates non dterministes

NFA

Fonction de transition renvoit un ensemble : Q Q

Dans les reprsentations Diagramme : plusieurs transitions pour un tat / symbole Table : une case peut contenir plusieurs tats

Comment reconnatre tous les mots se terminant par ab ? Fonction de transition tendue : Q Q

Forme gnrale : (q,w) avec w P Si w = x.a avec a P Retourner YrP(q,x)(r, a) Union des tats atteints selon les tats prcdents Si w = a avec a P Retourner (q, a)

Langage reconnu : L = tw|(q0,w) X F HuDamien Nouvel (Inalco) Automates 18 / 26

Automates non dterministes

Exercice

Dessinez un automate qui reconnat des codes couleurs Avec 3 chiffres hxadcimaux (par ex. AA0318) Avec 3 chiffres de 0 256 en dcimal (par ex. 138027250)

Excutez lautomate pour indiquer les tats atteints pour FFFFFF 524317 005132075 213A5B

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Automates non dterministes

Exercice

Dessinez les DFA et NFA sur : ta, b, c, du qui reconnaissent Les mots contenant ad suivi dau moins un c suivi de da Les mots dont lavant dernire lettre est un b ou un d

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Automates non dterministes

-NFA

Fonction de transition peut renvoyer : Q Y tu Q

Extension des NFA Facilit de transition : Exemple : reconnatre le langage tabcde, abdde, cd, ddu

q0 q1a q2b

q3c, d q4d

Calcul de la fermeture transitive dun tat Initialisation : @qi P Q, qi P fermeture(qi) Itration : @qi P Q, si (qi, ) = R alors R fermeture(qi)

fermeture(qi) contient tous les tats atteints avec Fonction de transition tendue sur

(q, x.a) = YrP(q,x) YsP(r,a) fermeture(s)Damien Nouvel (Inalco) Automates 21 / 26

Automates non dterministes

Exercice

Dessinez un automate qui reconnat des dates Des annes seules (par ex. 2010) Des mois / annes (par ex. 11/2020) Des jours / mois / annes (par ex. 21/05/2010) Les jours et les mois peuvent tre sans 0

Excutez lautomate pour indiquer les tats atteints pour 2017 1193 05/1980 12/1995 31/10/1979 3/5/2015 10/10/2010

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Proprits des langages rguliers et complments

Plan

1. Diagrammes de transitions

2. Notations formelles

3. Tables de transition

4. Automates non dterministes

5. Proprits des langages rguliers et complments

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Proprits des langages rguliers et complments

Proprits des automates et langages rguliers

Pour un NFA, il existe un DFA quivalent tats comme sous-ensembles dtats

Le complmentaire dun langage rgulier est rgulier Inversion tats initial / finaux

La fermeture dun langage rgulier est rgulire Transitions finaux vers initial

Lunion de deux langages rguliers est rgulire Le produit de deux langages rguliers est rgulier Lintersection de deux langages rguliers est rgulier Par homomorphisme, un langage reste rgulier

Homorphisme : f(x y) = f(x) f(y)

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Proprits des langages rguliers et complments

Complments

Drivation comme transition entre configurations Configuration : tat et mot lire (q,w) Drivation : (q,w) (q1,w1)

Transition avec w = a.w1 par (q, x) = q1

Calcul du langage gnr partir dun tat Fonction rcursive

L(q) = YaPa.L((q, a)) Y f(q)avec f(q) = si q P F

Lensemble peut tre de cardinalit infinie

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Proprits des langages rguliers et complments

TP Unitex

Unitex Disponible en ligne sur le site de lIGM Logiciel base dautomates (dictionnaires, grammaires, etc.)

Travail sur un projet dfinir par promotion 2015/2016 : textes de loi (codes : civil / pnal / travail) 2016/2017 : te