représentations des groupes finis

ContenusArticlesDualit de Pontryagin Caractre (mathmatiques) Analyse harmonique sur un groupe ablien fini Caractre d'un groupe fini Caractre d'une reprsentation d'un groupe fini Reprsentation de groupe Reprsentations d'un groupe fini Thorie des reprsentations d'un groupe fini Algbre d'un groupe fini Reprsentation des algbres de Clifford Anneau semi-simple Critre d'irrductibilit de Mackey Fonction centrale Fonction centrale d'un groupe fini Reprsentation induite d'un groupe fini Lemme de Schur Produit tensoriel et reprsentations de groupes finis Reprsentation d'un groupe topologique Reprsentation duale Reprsentation irrductible Reprsentations du groupe des quaternions Reprsentations du groupe symtrique d'indice quatre Reprsentations du groupe symtrique d'indice trois Rciprocit de Frobenius Reprsentation rgulire Tableau de Young Thorme d'Artin-Wedderburn Thorme de Burnside (groupe rsoluble) Thorme de Burnside (problme de 1902) Thorme de Maschke Analyse harmonique sur un espace vectoriel fini Caractre de Dirichlet Convolution de Dirichlet Fonction boolenne 1 5 6 13 17 26 29 44 53 60 67 74 77 79 83 87 92 96 97 98 101 105 111 116 119 123 125 128 129 132 136 139 143 147

Identit de MacWilliams Matrice circulante Priode de Gauss Somme de Gauss Thorme d'chantillonnage de Nyquist-Shannon Transforme de Fourier discrte Transforme de Walsh Transforme en cosinus discrte Thorie des groupes Action d'un groupe topologique Argument de Frattini Associativit Automorphisme intrieur Baby-step giant-step Bicommutant Centralisateur Centre d'un groupe Chiffrement par dcalage Classe suivant un sous-groupe Classification des groupes simples finis Cur d'un sous-groupe Cohomologie des groupes profinis Commutant Complment d'un sous-groupe Conjecture de Baum-Connes Courbe elliptique Espace homogne Exposant d'un groupe Formule du produit (thorie des groupes) Partie gnratrice d'un groupe Graphe de Cayley Graphe des cycles Groupe (mathmatiques) Groupe ablien de type fini Groupe ablien fini Groupe ablien libre Groupe ax + b Groupe caractristiquement simple

150 152 154 157 159 161 165 167 175 176 176 178 178 180 181 182 184 185 191 193 196 197 197 198 199 201 218 222 223 224 226 228 231 249 251 257 259 260

Groupe classique Groupe complet Groupe de symtrie Groupe de Weyl Groupe divisible Groupe driv Groupe gnral linaire Groupe parfait Groupe quotient Groupe rsoluble Groupe spcial unitaire Gnrateurs et relations dans le groupe du Rubik's Cube Holomorphe d'un groupe Indice d'un sous-groupe Thorme de Lagrange sur les groupes Lexique des groupes Logarithme discret Monstrous moonshine Morphisme de groupes Multiplicateur de Schur Normalisateur Notation additive Ordre (thorie des groupes) p-groupe Produit direct (groupes) Produit libre Produit semi-direct Groupe de Prfer Prsentation d'un groupe Groupe simple Sous-groupe Sous-groupe caractristique Sous-groupe de Fitting Sous-groupe de Frattini Sous-groupe maximal d'un groupe Sous-groupe normal Sous-groupe normal minimal Thorme de Cauchy (groupes)

261 275 277 281 282 284 286 289 291 293 294 296 299 302 303 305 305 306 309 311 312 312 313 315 316 325 326 328 330 332 333 336 337 338 340 341 343 344

Thorie mathmatique sur le Rubik's Cube Thorme de Cartan-Dieudonn Thorme de Cayley Thorme de correspondance Thorme de Feit et Thompson Thorme de Jordan-Hlder Thorme de Kronecker Thorme de Schmidt (thorie des groupes) Thorme de Schur-Zassenhaus Thorme de structure des groupes abliens de type fini Thorme du complment normal de Burnside Thormes d'isomorphisme Thormes de Sylow Torsion (algbre) Transfert (thorie des groupes) Transversale d'un sous-groupe Treillis des sous-groupes Action de groupe (mathmatiques) Action par conjugaison Domaine fondamental

344 350 350 351 352 353 354 357 357 358 361 361 363 366 367 368 369 369 373 375

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Dualit de Pontryagin

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Dualit de PontryaginEn mathmatiques, notamment en analyse harmonique et dans la thorie des groupes topologiques, la dualit de Pontryagin explique les principales proprits de la transforme de Fourier. Elle place dans un cadre plus gnral certaines observations propos de fonction dfinies sur ou sur un groupe ablien fini: Les fonctions priodiques valeur complexe suffisamment rgulires ont une srie de Fourier et on peut les dduire de cette srie; Les fonctions valeur complexe suffisamment rgulires ont une transforme de Fourier et, tout comme les fonctions priodiques, on peut les dduire de cette transforme; Les fonctions valeur complexe sur un groupe ablien fini ont une transforme de Fourier discrte dfinie sur le groupe dual, qui n'est pas canoniquement isomorphe au groupe de dpart. De plus, toute fonction sur un groupe fini peut tre dduite de sa transforme de Fourier discrte. La thorie, introduite par Lev Semenovich Pontryagin et combine avec la mesure de Haar introduite par John von Neumann, Andr Weil et d'autres, dpend de la thorie du groupe dual d'un groupe ablien localement compact.

Mesure de HaarUn groupe topologique est localement compact si et seulement si l'lment neutre du groupe admet un voisinage compact, ce qui quivaut encore ce que possde une base de voisinages compacts. Un des faits les plus remarquables propos des groupes localement compacts est qu'ils peuvent tre munis d'une mesure naturelle, unique un facteur multiplicatif prs : la mesure de Haar, qui permet de mesurer la taille d'un sous-ensemble suffisamment rgulier de . Ici, suffisamment rgulier signifie tre un borlien, c'est--dire un lment de la -algebre gnre par les ensembles compacts. Plus prcisment, une mesure de Haar droite sur un groupe localement compact est une mesure dfinie sur les borliens de , qui est invariante par translation droite dans le sens o si est un borlien et un lment de . La mesure de Haar nous permet de dfinir la notion d'intgrale pour une fonction mesurable valeur complexe dfinie sur le groupe. En particulier, on peut considrer les espaces associs la mesure de Haar. Plus prcisment :

Divers exemples de groupes abliens localement compact sont donns par : avec l'addition comme opration de groupe. Les rels strictement positifs munis de la multiplication. Ce groupe est clairement isomorphe , cet

isomorphisme tant la fonction exponentielle. N'importe quel groupe ablien fini, muni de la topologie discrte. Par le thorme sur la structure de ces groupes, ce sont des produits de groupes cycliques. Le groupe des entiers Le cercle unit de Le corps muni aussi de la topologie discrte (ie le groupe des complexes de module 1). . est isomorphe en tant que groupe

topologique au groupe quotient

des nombres p-adiques muni de l'addition, avec la topologie p-adique usuelle.


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Le groupe dualSi est un groupe ablien localement compact, un caractre de G est un morphisme de groupe continu de . On peut montrer que l'ensemble des caractres de appel le groupe dual de G, et not . Le produit sur dans est lui-mme un groupe ablien localement compact, est le produit de deux caractres en tant que fonction

valeur complexe, et l'inverse d'un caractre est son conjugu complexe. La topologie est celle de la convergence uniforme sur des compact. Elle n'est pas mtrisable en gnral. Cependant, si le groupe est de plus sparable, alors la topologie dfinie sur Thorme: dual. Canonique signifie qu'il y a une application "naturelle" de G dans . Ce terme apporte une nuance importante: par exemple, n'importe quel groupe ablien fini est isomorphe son dual, mais l'isomorphisme n'est pas canonique. L'isomorphisme canonique est dfini ainsi: Autrement dit, chaque lment de est identifi son valuation par les caractres du dual. est mtrisable. , autrement dit G est canoniquement isomorphe au dual de son est canoniquement isomorphe

ExemplesUn caractre du groupe cyclique infini des entiers effet pour tout caractre isomorphe au cercle unit de , on a est dtermin par sa valeur en 1, gnrateur de car . En est un morphisme de groupes, et cette formule est algbriquement

montre que l'on dfinit de manire unique un caractre par sa valeur en 1. Ainsi le dual de convergence simple. On montre aisment que c'est la topologie induite par le plan complexe. Le groupe dual de est donc canoniquement isomorphe . Rciproquement, un caractre de canoniquement isomorphe . tant de la forme , est de la forme , entier. Comme

. La topologie de convergence sur les compacts est alors la topologie de la

est compact, la topologie sur est

le groupe dual est celle de la convergence uniforme, qui est ici la topologie discrte. Ainsi le dual de Le groupe des rels est isomorphe son dual, les caractres de

. Avec ces

dualits, la nouvelle version de la transforme de Fourier prsente ci-aprs concide avec la transforme de Fourier classique sur .

Transforme de FourierLe groupe dual d'un groupe ablien localement compact sert comme espace de base d'une version plus abstraite de la transforme de Fourier. Si , alors sa transforme de Fourier est la fonction dfinie sur par:

o l'intgrale est prise par rapport la mesure de Haar transforme de Fourier d'une fonction sur transforme de Fourier inverse d'une fonction intgrable sur

sur G. Il n'est pas trop difficile de montrer que la . De mme, la est donne par

est une fonction continue borne sur

o l'intgrale est relative la mesure de Haar

sur le groupe dual

.


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Algbre de groupeL'espace des fonctions intgrables sur un groupe ablien localement compact est le produit de convolution: si : . ThormeL'espace de Banach est une algbre associative et commutative muni de la convolution. . Comme est complet, c'est une algbre de Banach. Elle ne et est une algbre, o la multiplication sont des fonctions intgrables alors leur produit de convolution est dfini par

Cette algbre est appele l'algbre du groupe

possde pas d'lment neutre pour la multiplication, moins que G soit un groupe discret. Cette algbre a cependant, en gnral, une unit approche(de) qui est une suite gnralise indexe par un ensemble inductif , satisfaisant la proprit suivante . La transforme de Fourier transforme la convolution en multiplication, c'est--dire : . En particulier, chaque caractre de groupe dfinie par : . Ce fait constitue une proprit importante des algbre de groupes : en effet on peut alors expliciter les fonctionnelles multiplicatives linaires non nulles de l'algbre du groupe. correspond une unique fonctionnelle multiplicative linaire de l'algbre du

Thormes d'inversion de Plancherel et FourierComme nonc ci-dessus, le groupe dual d'un groupe ablien localement compact est lui aussi un groupe ablien localement compact et par suite possde une mesure de Haar , ou plus prcisment une famille de mesures de Haar dtermines un facteur multiplicatif positif prs . Thorme : il existe un multiple positif de la mesure de Haar sur le groupe dual G^ de G telle que la restriction de la transforme de Fourier aux fonctions continues support compact de G soit une isomtrie linaire. Elle s'tend de faon unique un oprateur linaire

o est la mesure de Haar sur le groupe dual. Pour un groupe localement compact non compact, l'espace L1(G) ne contient pas L2(G), et il est ncessaire d'utiliser une astuce technique comme la restriction un sous-espace dense. En suivant Loomis (rfrence ci-dessous), on dit que les mesures de Haar sur G et G^ sont associes si la formule d'inversion de Fourier est satisfaite. Le caractre unitaire de la transforme de Fourier entrane la formule de Plancherel :

pour toute fonction continue sur G valeur complexe et support compact. C'est cette extension unitaire de la transforme de Fourier que l'on considre comme tant la transforme de Fourier sur l'espace des fonctions de carr intgrable. Le groupe dual possde aussi sa transforme de Fourier inverse ; c'est l'inverse (ou adjoint, puisque nous sommes dans le cas unitaire) de la transforme de Fourier, comme cela est nonc par le rsultat suivant. Thorme. L'adjoint de la transforme de Fourier restreinte au sous-espace des fonctions continues support compact sur G est la transforme de Fourier inverse


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o les mesures de Haar de G et G^sont associes. Dans le cas o G = Rn, nous avons G^ = Rn et l'on retrouve la transforme de Fourier usuelle de Rn en prenant

Dans le cas o G est le groupe entiers priodiques.

des nombres complexes unitaires, G^ est naturellement isomorphe au groupe des

et l'oprateur F n'est autre que l'oprateur d'extraction des coefficients de la srie de Fourier des fonctions

Si G est un groupe fini, F n'est autre que la transforme de Fourier discrte.

La dualit de Pontryagin dans le cadre de la thorie des catgoriesIl peut tre utile de considrer le groupe dual fonctoriellement. Dans ce qui suit, GALC dsigne la catgorie des groupes abliens localement compacts et des homomorphismes de groupes continus. La construction du groupe dual G^ est un foncteur contravariant GALC GALC. En particulier, le foncteur itr G (G^)^ est covariant. Thorme. Le foncteur de duali est un isomorphisme de catgories de la catgorie GALC vers sa catgorie oppose GALCop. Thorme. Le foncteur dual itr est naturellement isomorphe au foncteur identit de GALC. Cet isomorphisme peut se comparer la construction du bidual d'un espace vectoriel de dimension finie. Cette dualit change les sous-catgories des groupes discrets et des groupes compacts. Si A est un anneau et G est un A-module gauche, le groupe dual G^ devient un A-module droite; de cette faon les A-modules gauche discrets sont duaux au sens de Pontryagin des A-modules droite compacts. L'anneau End(G) des endomorphismes dans GALC est par dualit envoy sur son anneau oppos. Si G est par exemple un groupe cyclique discret infini (isomorphe ), G^ est un groupe circulaire (isomorphe au groupe ). L'anneau des endomorphismes du premier est , il en est donc de mme du second.

BibliographieLes ouvrages suivants possdent des chapitres consacrs aux groupes abliens localement compacts, la dualit et la transforme de Fourier. L'ouvrage de J. Dixmier possde aussi du matriel spcifique l'analyse harmonique non commutative. Jacques Dixmier, Les C*-algbres et leurs Reprsentations, Gauthier-Villars, 1969 Lynn H. Loomis(de), An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953 Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962 Hans Reiter(de), Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968 (2e d. par Jan D. Stegeman, 2000) Hewitt(en) et Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963 (en) Cet article est partiellement ou en totalit issu de larticle de Wikipdia en anglais intitul Pontryagin duality [1] (voir la liste des auteurs [2])


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Rfrences[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ En%3Apontryagin_duality?oldid=120995815 [2] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ En%3Apontryagin_duality?action=history

Caractre (mathmatiques)En mathmatiques, un caractre est une notion associe la thorie des groupes. Un caractre sur un groupe G, est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif (C*,) du corps des nombres complexes. Les caractres permettent une gnralisation de l'analyse harmonique de nombreux groupes.

DfinitionsIci G dsigne un groupe, C le corps des nombres complexes et C* son groupe des units. Un caractre de G est un morphisme de groupe de G dans C*. Ils correspondent un cas particulier de reprsentations, celles complexe de dimension un. Un exemple d'un tel caractre en mathmatiques est le caractre de Dirichlet. Le groupe dual de G est l'ensemble des caractres du groupe munis de la multiplication des fonctions. Si le groupe G est topologique, alors un caractre est par dfinition continu, si G est un groupe de Lie, alors un caractre est diffrentiable. La notion de caractre se gnralise aux structures d'algbres (i.e. un espace vectoriel muni d'une structure d'anneau). Un caractre sur une algbre est un morphisme d'algbre (au sens de la structure d'espace vectoriel et de la structure multiplicative) de l'algbre dans C. Dans le cas o l'algbre est l'algbre d'un groupe, alors les deux notions sont quivalentes. Un caractre d'une reprsentation est une notion associe aux reprsentations d'un groupe, elle correspond la trace de l'image d'un lment du groupe par la reprsentation.

Groupe finiStructure du groupe dualDans le cas d'un groupe fini, le groupe dual est aussi fini. Il s'identifie au caractres de l'algbre du groupe complexe associ et forme une famille orthogonale incluse dans le centre de l'algbre. Si le groupe est de plus ablien, alors le groupe dual est isomorphe G, les caractres forment alors une base orthonormale de l'algbre.

Analyse harmonique sur un groupe ablien finiDans le contexte d'un groupe ablien fini, la thorie de l'analyse harmonique est relativement simple tablir. La transforme de Fourier correspond une somme finie et le groupe dual est isomorphe G. En consquence, les rsultats classiques comme l'galit de Parseval, le thorme de Plancherel ou la formule sommatoire de Poisson s'appliquent.

Caractre (mathmatiques)

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Dualit de PontryaginL'objectif de la thorie de la dualit de Pontryagin est la gnralisation de l'analyse harmonique au cas o le groupe est ablien et localement compact. Associe la mesure de Haar introduite par John von Neumann, Andr Weil et d'autres, elle permet d'tablir les principaux rsultats associs la transforme de Fourier.

Rfrences Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmtique J.-P. Serre, Reprsentations linaires des groupes finis Andr Warusfel, Structures algbriques finies, Hachette, 1971 G. Peyr, L'algbre discrte de la transforme de Fourier, Ellipses, 2004 Jacques Dixmier, Les C*-algbres et leurs Reprsentations, Gauthier-Villars, 1969 (en) Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962

Analyse harmonique sur un groupe ablien finiEn mathmatiques, l'analyse harmonique sur un groupe ablien fini est un cas particulier d'analyse harmonique correspondant au cas o le groupe est ablien et fini. L'analyse harmonique permet de dfinir la notion de transforme de Fourier ou le produit de convolution. Elle est le cadre de nombreux thormes comme celui de Plancherel, l'galit de Parseval ou la dualit de Pontryagin. Le cas o le groupe est ablien et fini est le plus simple de la thorie, la transforme de Fourier se limite une somme finie et le groupe dual est isomorphe au groupe d'origine. L'analyse harmonique sur un groupe ablien fini possde de nombreuses applications, particulirement en arithmtique modulaire et en thorie de l'information.

ContexteAlgbre du groupeL'analyse harmonique constitue un outil d'tude de l'espace des applications CG d'un ensemble, ici un groupe ablien fini G (not dans tout l'article additivement), dans le corps des nombres complexes C. Cet espace dispose de plusieurs structures. Dans un premier temps, comme C est un corps, CG est un espace vectoriel complexe de dimension g si g dsigne l'ordre du groupe G. Il est naturellement muni d'un produit hermitien dfini par :

Ici, et dans le reste de l'article si z dsigne un nombre complexe, z* dsigne son conjugu. Ce produit hermitien dit canonique, confre CG une structure d'espace de Hilbert, not L2(G). Dans tout l'article (es) o s dcrit G, dsigne la base canonique de CG, c'est--dire que es dsigne la fonction qui t lment de G associe 0 sauf si t est gal s et alors es(s) = 1. L'espace vectoriel engendr par la famille (es) est muni de la multiplication interne suivante, prolongeant celle du groupe G :

Analyse harmonique sur un groupe ablien fini Cette multiplication confre L2(G) une structure d'algbre semi-simple, en gnral note C[G]. La thorie de l'analyse harmonique sur un groupe ablien fini utilise indiffremment les notations L2(G) ou C[G] pour dsigner la structure de base de la thorie. Dans cet article les notations utilises sont celles de C[G]. Ainsi, si a est un lment de l'algbre, on utilise ici la notation as pour dsigner la coordonne de a dans la base canonique, cette notation correspond l'galit as = a(s) si a est considr comme un lment de L2(G).

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Groupe dualLe groupe dual de G, not ici est constitu de l'ensemble de s caractres de G. Il forme un groupe isomorphe G. Il est constitu d'applications de G dans C, donc est inclus dans L2(G) identifi ici C[G]. Il forme en fait une base orthonormale de l'algbre. L'algbre du groupe dual est canoniquement isomorphe l'ensemble des applications du groupe dual dans C. Ces applications se prolongent par linarit en une application qui une combinaison linaire de caractre associe un complexe, c'est--dire un lment du dual de l'algbre C[G]. Le dual de C[G] est donc canoniquement isomorphe l'algbre du groupe dual de G.

Thorie de l'analyse harmoniqueTransforme de FourierL'galit de Parseval dans le cas d'un espace de dimension finie montre que tout lment a de C[G] vrifie l'galit suivante :

Ici (as) dsigne les coordonnes de a dans la base canonique et (a) les coordonnes de a dans la base des caractres. La transforme de Fourier d'un lment a de C[G] correspond la fonction gnralement note du groupe dual de G dans C, c'est--dire une fonction qui un caractre du groupe associe un complexe, dfinie par :

La transforme de Fourier est une application linaire de l'algbre de G dans son dual.

Egalit de ParsevalLe produit hermitien gnre une isomtrie canonique entre l'algbre de G et son dual. Il est donc possible de les identifier, dans ce contexte, la proprit suivante est vrifie : La transforme de Fourier sur le groupe G est une isomtrie linaire de l'algbre du groupe G dans l'algbre de son dual ce qui se traduit par l'galit suivante, dite de Parseval :

Dmonstration Si b est gal a, alors comme le groupe dual est une base orthonormale de son algbre :

Enfin, dans le cas gnral :

On en dduit :

Analyse harmonique sur un groupe ablien fini

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Le mme calcul sur montre que les parties imaginaires sont aussi gales. Ce qui dmontre le caractre isomtrique de la transformation. L'aspect injectif de la transformation provient du fait qu'elle est une isomtrie, la surjectivit se se dmontre en remarquant que les deux espaces de dpart et d'arrive ont mme dimension.

Formule de Plancherel La formule suivante, dite d'inversion de Plancherel, est vrifie.

En effet, les produits hermitiens de chacun des deux membres de l'galit par un mme caractre sont gaux :

Produit de convolutionLe produit de convolution se dfinit simplement dans ce contexte : Soit a et b deux lments de l'algbre du groupe G ayant pour coordonnes (as) et (bs), le produit de convolution de a et de b, not a * b, est l'lment de l'algbre ayant les coordonnes (cs) dfinies par :

On dispose de la proposition suivante : Soit a et b deux lments de l'algbre du groupe G, la transforme de Fourier de a * b est le produit des transformes de Fourier de a et de b.

En effet, si est un caractre du groupe :

Si l'on note u la valeur s - t, on obtient :

On en dduit les proprits usuelles du produit de convolution : Le produit de convolution est une opration interne de l'algbre du groupe commutative, associative, distributive par rapport l'addition. On peut exprimer ces proprits de la manire suivante : La structure (C[G], + , *) est une algbre semi-simple isomorphe l'algbre du dual de G et donc C[G]. En effet, il suffit de remarquer que G et son dual sont isomorphes.


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Dualit de Pontryagin Soit H un sous-groupe de G, on appelle groupe orthogonal de H, souvent not dual de G dfini de la manire suivante : , le sous-groupe du groupe

La dualit de Pontryagin s'exprime travers les trois proprits suivantes : G et son bidual sont canoniquement isomorphes. Le dual du quotient G/H est isomorphe l'orthogonal de H. Le dual de H est isomorphe au quotient du dual de G par l'orthogonal de H. Dmonstrations G et son bidual sont canoniquement isomorphes. La dmonstration est donne dans le paragraphe Bidual de l'article caractre d'un groupe fini. Le dual du quotient G/H est isomorphe l'orthogonal de H. Soit S la surjection canonique de G dans G/H, considrons l'application du dual de G/H dans le dual de G dfinie par :

Si est un caractre de G/H, alors () est la compose de deux morphismes donc est un morphisme et il est valeur dans C*, () est donc un caractre de G. On remarque de plus que est clairement un morphisme de groupe. Le noyau de S est gal H, possde donc une image incluse dans l'orthogonal de H. Montrons alors que tout lment de l'orthogonal de H possde un antcdent par . On remarque que est constant sur toutes les classes de G/H, en effet :

Soit le caractre du groupe G/H dfini par :

La fonction est bien dfinie car est constant sur toutes les classes de G/H, elle dfinit bien un morphisme et est un caractre de G/H. Son image par est clairement gal . L'application possde donc pour image l'orthogonal de H. Son noyau est compos du caractre constant gal un sur toutes les classes de G/H et l'application est donc injective, elle est donc un isomorphisme entre le dual de G/H et le groupe orthogonal de H, ce qui termine la dmonstration. Le dual de H est isomorphe au quotient du dual de G par l'orthogonal de H. Soit l'application du dual de G dans le dual de H qui un caractre du groupe G associe sa restriction H. L'application est un morphisme de groupe. Son noyau est compos des caractres constants gaux 1 sur H, c'est--dire l'orthogonal de H. Par passage au quotient, on obtient un morphisme du quotient du dual de G par l'orthogonal de H valeur dans le dual de H. La proposition prcdente montre l'galit entre les ordres des ensembles de dpart et d'arrive de , et comme est injective, la proposition est dmontre.


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Formule sommatoire de PoissonDans ce paragraphe H dsigne un sous-groupe de G, h son ordre et k l'ordre du groupe orthogonal de H. L'galit h.k = g est donc vrifie. On note a un lment de l'algbre de G et as ses coordonnes dans la base canonique. L'galit suivante, dite formule sommatoire de Poisson est vrifie :

Dmonstration Soit b0 l'lment de l'algbre de coordonnes (bs0) dans la base canonique de C[G] dfinies par les galits suivantes :

Les coordonnes de b0 sont constante sur chaque classe de G/H, ce qui permet de dfinir un lment b de l'algbre du groupe G/H dont les coordonnes dans la base canonique indexe par les lments de G/H sont :

Appliquons alors la formule de Plancherel l'lment b au point de coordonnes l'lment nul de G/H :

La dualit de Pontryagin montre qu'il existe un unique caractre de G tel que si t est un lment de une classe quelconque de G/H, alors (t) est gal ( ). Soit (ui) pour i variant de 1 k une famille de reprsentants des classes de G/H, les coefficients de Fourier vrifient les galits suivantes :

De plus, le caractre est constant sur chaque classe de G/H, on en dduit :

La dualit de Pontryagin indique que si dcrit les caractres de G/H, alors dcrit le groupe orthogonal de H, on en dduit :

Ce qui termine la dmonstration.


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ApplicationsArithmtique modulaireLes premires utilisations historiques des caractres ont pour objectif l'arithmtique. Le symbole de Legendre est un exemple de caractre sur le groupe multiplicatif du corps fini Z/pZ o Z dsigne l'anneau des entiers relatifs et p un nombre premier impair. Il est utilis pour le calcul des sommes de Gauss ou des priodes de Gauss. Ce caractre est la base d'une dmonstration de la loi de rciprocit quadratique. Symbole de Legendre Dans ce paragraphe p dsigne un nombre premier impair (c'est--dire diffrent de deux). G est ici le groupe Z/pZ. Le symbole de Legendre dsigne la fonction, qui un entier a, associe 0 si a est un multiple de p, 1 si la classe de a est un carr diffrent de 0 dans Z/pZ et -1 sinon. L'image de la fonction symbole de Legendre sur le groupe multiplicatif de Z/pZ correspond au caractre valeur dans l'ensemble {-1, 1}. En effet, le symbole de Legendre est dfini sur Z. Cette fonction est constante sur les classes d'entiers modulo p, elle est donc dfinie sur le groupe multiplicatif de Z/pZ. Sur ce groupe, le symbole de Legendre prend ses valeurs dans l'ensemble {-1, 1} et est un morphisme de groupe, car le symbole de Legendre est un caractre de Dirichlet. Les dmonstrations sont donnes dans l'article associ. Somme de Gauss Dans le reste de l'article, Fp dsigne le corps fini de cardinal p ou p est un nombre premier impair. Soit un caractre du groupe additif (Fp, +) et un caractre du groupe multiplicatif (Fp*, .), alors la somme de Gauss associ et est le nombre complexe, ici not G(, ) et dfini par :

En termes de transforme de Fourier, on peut considrer l'application qui associe G(, *) comme la transforme de Fourier du prolongement de Fp par l'galit (0) = 0 dans le groupe additif du corps et l'application qui associe G(*, ) comme la transform de Fourier de la restriction de Fp* dans le groupe multiplicatif du corps. Les sommes de Gauss sont largement utilises en arithmtique, par exemple pour le calcul des priodes de Gauss, elles par exemple, de dterminer la somme des valeurs du groupe des rsidus quadratiques des racines p-imes de l'unit et plus gnralement de dterminer les racines du polynme cyclotomique d'indice p. Loi de rciprocit quadratique Les sommes de Gauss ont une application historique importante, la loi de rciprocit quadratique, elle s'exprime de la manire suivante : Soit p et q deux nombres premiers impairs distincts, l'galit suivante est vrifie :

Ce thorme est dmontr dans l'article Somme de Gauss.

Analyse harmonique sur un groupe ablien fini Caractre de Dirichlet Pour dmonter le thorme de la progression arithmtique, affirmant que toute classe inversible de l'anneau Z/nZ contient une infinit de nombres premiers, Dirichlet gnralise les travaux de Gauss et tudie systmatiquement le groupe des caractres du groupe de l'unit d'un quotient de Z. L'utilisation de la transforme de Fourier est une tape cl de la dmonstration. Les caractres de Dirichlet ont un rle important dans la thorie analytique des nombres particulirement pour analyser les racines de la fonction de Rieman.

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Espace vectoriel finiUn cas particulier est celui des espaces vectoriels sur un corps fini. Les proprits des corps finis permettent d'tablir les rsultats de la thorie sous une forme lgrement diffrente. Ce cas est utilis par exemple en thorie de l'information travers l'tude des fonctions boolennes, correspondant au cas o le corps contient deux lments. La thorie est utilise pour rsoudre des questions de cryptologie notamment pour les botes-S, ainsi que pour les chiffrements par flot. L'analyse harmonique sur un espace vectoriel fini intervient aussi dans le contexte de la thorie des codes et particulirement pour les codes linaires, par exemple pour tablir l'identit de MacWilliams.

Notes et rfrencesLiens externes (fr) Dual d'un groupe fini [1] par G. Peyre (fr) Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs [2] par A. Bechata (fr) Mathmatiques discrtes de la transforme de Fourier [3] C. Bachoc Universit de Bordeaux I

Rfrences Michel Demazure Cours d'algbre. Primalit, divisibilit, codes Cassini 1997 Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmtique A. Warusfel Structures algbriques finies Hachette 1971 G. Peyr L'algbre discrte de la transforme de Fourier Ellipses Marketing 2004

Rfrences[1] http:/ / nikopol0. alrj. org/ articles/ files/ caracteres/ caracteres/ node3. html [2] http:/ / abdellah. bechata. free. fr/ telechargement/ harmonique/ finis_commutatifs/ pdf/ fourier_groupe_fini. pdf [3] http:/ / www. ufr-mi. u-bordeaux. fr/ CSI/ Cours/ mathdis. pdf

Caractre d'un groupe fini

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Caractre d'un groupe finiEn mathmatiques, un caractre d'un groupe fini est une notion associe la thorie des groupes. Un caractre d'un groupe fini G est un morphisme du groupe G dans le groupe multiplicatif C* des nombres complexes non nuls. Ce concept permet de dfinir le groupe dual de G, compos de l'ensemble des caractres de G. Il est la base de l'analyse harmonique sur les groupes finis. Cette notion correspond un cas particulier de caractre d'une reprsentation d'un groupe fini.

Dfinitions et exemplesDfinitions et premires propritsDans tout l'article, G dsigne un groupe fini d'ordre g, C le corps des nombres complexes et C* l'ensemble des nombres complexes non nuls. Sauf mention contraire, le groupe est not multiplicativement et l'inverse d'un lment s de G est not s-1. Le conjugu d'un nombre complexe z est not z*. Un caractre de G est un morphisme du groupe G dans C*. Un caractre correspond un cas particulier de reprsentation d'un groupe fini, celui o l'espace vectoriel de la reprsentation est celui des nombres complexes. Dans ce contexte, un caractre est aussi le caractre d'une reprsentation au sens de la trace. Un caractre de G prend ses valeurs dans les racines g-imes de l'unit et vrifie l'galit suivante : En effet, le thorme de Lagrange indique que si s est un lment de G, alors sg = 1, on en dduit que l'image de s par est une racine g-ime de l'unit et toute racine g-ime de l'unit admet pour inverse son conjugu. L'ensemble des caractres de G est appel groupe dual de G et est gnralement not .

Le dual de G est naturellement munis d'une multiplication, celle des fonctions valeur dans C : La multiplication confre au dual de G une structure de groupe ablien fini. En effet, le dual de G est non vide car il contient au moins l'application qui tout lment de G associe l'unit, ce caractre est l'lment neutre du groupe. L'associativit est une proprit gnrale de la multiplication des fonctions. Si est un caractre, l'application qui tout lment de G associe le conjugu de est un caractre qui correspond l'inverse de , tout lment du dual possde donc un symtrique. Enfin le corps des nombres complexes est commutatif, ce qui implique le caractre ablien du dual de G. Un caractre est une application d'un ensemble de dpart fini et son image, contenue dans le groupe des racines g-imes de l'unit est aussi finie, ce qui dmontre que le dual est un groupe fini.


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Premiers exemplesConsidrons le cas o G est le groupe symtrique d'indice n. L'application signature est un caractre valeur dans {-1, 1}. Si G est gal Z/2.Z o Z dsigne l'ensemble des entiers naturels, alors il existe deux caractres, celui qui la classe de 1 associe 1 et celui qui associe -1. Si G est gal Z/3.Z, alors il existe trois caractres, dfinis par les trois valeurs que peuvent prendre l'image de la classe de 1 : 1, j ou j*. Ici j dsigne la racine cubique de l'unit ayant une partie imaginaire positive.

Cas commutatifDans le cas o G est commutatif, le groupe dual possde une proprit intressante, il est isomorphe G, ce qui permet simplement de construire une analyse harmonique sur G.

Groupe cycliqueDans ce pararagraphe le groupe cyclique d'ordre g est not Cg et dsigne une racine primitive g-ime de l'unit, c'est--dire un gnrateur du groupe des racines g-imes de l'unit. Le symbole 1C dsigne ici un gnrateur du groupe Cg et si s est un entier compris entre 0 et g - 1, alors sC dsigne la valeur s.1C. Un cas simple d'analyse du groupe dual correspond au groupe cyclique, il est dcrit par les propositions suivantes : Pour tout caractre de Cg, il existe un entier i compris entre 1 et g - 1 tel que l'galit suivante est vrifie : Rciproquement, si i est un entier compris entre 1 et g - 1 et si i est l'application dfinie par l'galit suivante, alors i est un caractre de Cg. Si i est un entier compris entre 1 et g - 1, alors l'application de Cg dans son dual, qui iC associe i est un isomorphisme de groupe. Dmonstrations Pour tout caractre de Cg, il existe un entier i compris entre 1 et g - 1 tel que l'galit suivante est vrifie :

(1C) est une racine de l'unit et est une racine primitive, il existe donc un entier i compris entre 1 et g - 1 tel que (1C) est gal i. Les proprits de morphisme de montrent l'galit suivante, ce qui permet de conclure : Si i est un entier compris entre 1 et g - 1 et si i est l'application dfinie par l'galit suivante, alors i est un caractre de Cg. Il suffit de vrifier que i est bien un morphisme de groupe. Cette proprit dcoule des galits suivantes : Si i est un entier compris entre 1 et g - 1, alors l'application de Cg dans son dual, qui iC associe i est un isomorphisme de groupe. Vrifions que l'application est un morphisme :

Le noyau de est rduit l'lment neutre, l'application est donc injective, de plus les deux propositions prcdentes montrent que l'ordre du groupe dual est gal g, le cardinal de Cg, l'application est donc surjective, ce qui termine la

Caractre d'un groupe fini dmonstration.

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Groupe ablienLes rsultats du paragraphe prcdent se gnralisent tous les groupes abliens finis: Le dual d'un groupe ablien fini G est isomorphe G. Ce rsultat dcoule du fait qu'un groupe ablien fini est un produit de groupes cycliques et de la proposition suivante : Soit H et K deux groupes abliens, le dual du produit direct de H et de K est isomorphe au produit des duals de H et de K. Dmonstrations Soit H et K deux groupes abliens, le dual du produit direct de H et de K est isomorphe au produit des duals de H et de K. Notons iH (resp. iK) le morphisme canonique de H (resp. K) dans HxK. Considrons alors le morphisme du dual de HxK dans le produit des duals dfini par :

L'application est un morphisme injectif, soit H, K deux lments des duals de H et de K. On remarque que l'application HxK de HxK dans C* dfinie par : est un caractre de HxK antcdent de (H, K). L'application est donc bien surjective. Ce qui termine la dmonstration. Le dual d'un groupe ablien fini G est isomorphe G. Le thorme de structure des groupes abliens finis (cf l'article associ) montre que G est isomorphe un produit de groupe cycliques. Une rcurrence sur le nombre de cycles et la proposition prcdente permet alors de conclure.

Algbre du groupeIci G dsigne un groupe fini quelconque, C[G] dsigne l'algbre complexe du groupe G et (es) la base canonique de l'algbre indexe par les lments s de G. L'algbre du groupe G, not ici C[G] est un espace vectoriel de base canonique indexe par G. Un lment du groupe dual de G se prolonge linairement en un lment du dual de C[G] considr comme un espace vectoriel. Il est donc possible d'identifier le groupe dual de G comme un sous-ensemble de l'espace dual de C[G]. Si C[G] est muni du produit hermitien canonique < | >, dfini par la formule suivante, alors le dual de C[G] s'identifie avec l'algbre du groupe, le groupe dual est donc identifi avec un sous-ensemble de C[G] :

Le groupe dual de G est une famille orthonormale. Le groupe dual de G est lment du centre de l'algbre du groupe G. Le groupe dual de G est une base de l'algbre du groupe G si et seulement si G est un groupe ablien. Ces trois propositions correspondent des cas particuliers de la thorie des reprsentations d'un groupe fini, elles se dmontrent simplement dans le cas prsent : Dmonstrations Le groupe dual de G est une famille orthonormale.

Caractre d'un groupe fini Soit un caractre du groupe G, alors *. = -1. = 1C[G] o 1C[G] dsigne l'lment neutre de l'algbre du groupe. On en dduit :

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Si 1 et 2 sont deux caractres distincts de G. Notons le caractre 1-1.2 alors :

Si t est choisi de telle manire ce que (t) soit diffrent de 1, alors on en dduit que 1 et 2 sont orthogonaux. Le groupe dual de G est inclus dans le centre de l'algbre du groupe G. Il suffit pour cela de remarquer que tout caractre du groupe est une fonction centrale et que l'ensemble des fonctions centrales est le centre de l'algbre. Le groupe dual de G est une base de l'algbre du groupe G si et seulement si G est un groupe ablien. Le groupe dual est une famille orthogonale, elle est donc libre. Si le groupe G est ablien, le groupe dual possde le mme cardinal que le groupe G donc son ordre est celui de la dimension de l'algbre du groupe. Si le groupe G n'est pas ablien son algbre associe ne l'est pas non plus, le groupe dual engendre un espace vectoriel inclus dans le centre de C[G] qui n'est pas gal l'algbre entire.

BidualDans le cas o le groupe G est ablien, et de manire analogue l'algbre linaire, il existe un isomorphisme canonique entre G et son bidual (c'est--dire le dual de son dual). L'application , dfinie par l'galit suivante, est un isomorphisme entre G et son bidual :

En effet, l'application est un morphisme injectif, l'galit des cardinaux d'un groupe ablien et de son dual dmontre la surjectivit et termine la dmonstration.

ApplicationsAnalyse harmonique sur un groupe ablien finiDans le cadre d'un groupe ablien fini, il est possible de dfinir la transforme de Fourier et le produit de convolution. La thorie de l'analyse harmonique est analogue celle du corps des rels. On dmontre l'galit de Parseval, le thorme de Plancherel, la dualit de Pontryagin et la formule sommatoire de Poisson.

Notes et rfrencesLiens externes (fr) Dual d'un groupe [1] par G. Peyre (fr) Mathmatiques discrtes de la transforme de Fourier [3] C. Bachoc Universit de Bordeaux I


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Rfrences Michel Demazure Cours d'algbre. Primalit, divisibilit, codes Cassini 1997 Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmtique A. Warusfel Structures algbriques finies Hachette 1971 G. Peyr L'algbre discrte de la transforme de Fourier Ellipses Marketing 2004

Caractre d'une reprsentation d'un groupe finiEn mathmatiques le caractre d'une reprsentation d'un groupe fini est un outil utilis pour analyser les reprsentations d'un groupe fini. Le caractre d'une reprsentation (V, ) d'un groupe G correspond l'application de G dans le corps de l'espace de la reprsentation qui un lment s associe la trace de l'image de s par . Cette dfinition n'est pas compatible avec celle des caractres d'un groupe en gnral qui ne prend ses valeurs que dans l'ensemble des complexes diffrents de zro. L'utilisation du caractre d'une reprsentation d'un groupe fini est essentielle pour la classification des reprsentations. La somme directe de reprsentation possde pour caractre la somme des caractre et deux reprsentations irrductibles diffrentes possdent des caractres orthogonaux.

Dfinitions Le caractre de la reprsentation (V, ) est une application de G un groupe fini dans K le corps de la reprsentation qui s associe la trace de s.Ferdinand Georg Frobenius, fondateur de la thorie des caractres

Un cas important correspond celui o le corps K est gal celui des nombres complexes. Un exemple simple correspond au cas des reprsentations de dimension un. Il est alors possible d'identifier V K. Le caractre apparat comme un morphisme de groupe. Le thorme de Lagrange dmontre que l'ensemble des images est inclus dans celui des racines g-ime de l'unit. Un caractre irrductible est le caractre d'une reprsentation irrductible.

Caractre d'une reprsentation d'un groupe fini

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ContexteHistoireLes travaux de Jordan avec la publication d'un livre[1] sur les quations algbriques reprsentent une premire analyse d'un groupe fini de matrices reprsentant un groupe de Galois. Frobenius dmarre en 1896 l'tude de la thorie des caractres des groupes finis[2] , les caractres ne sont pas encore lis la notion de reprsentation. Cette mme anne il communique, dans une lettre Dedekind les caractres des reprsentations irrductibles des groupes symtriques d'ordre quatre et cinq. La thorie est rapidement dveloppe, entre 1897 et 1899 la machinerie est mise en place. Frobenius dveloppe le produit tensoriel, les reprsentations induites ainsi que son thorme de rciprocit. En 1900 il dtermine les caractres des groupes symtriques et l'anne suivante ceux des groupes alterns.durant cette poque, Heinrich Maschke(de) (1853 1908) dmontre le thorme portant maintenant son nom[3] qui stipule que toute reprsentation d'un groupe fini est somme directe de reprsentations irrductibles. William Burnside comprend rapidement la profondeur des travaux de Frobenius. Il utilise la thorie des caractres pour montrer[4] qu'un groupe d'ordre pn.qm si p et q sont premiers est un groupe rsoluble. Il publie en 1911 la deuxime dition d'un livre de rfrence[5] . Elle formalise en une thorie le savoir de l'poque sur les groupes finis, l'dition contient les travaux sur les caractres de Frobenius. Un autre acteur important de la thorie, Issai Schur, est un lve de Frobenius. Non seulement il travaille sur les aspects thoriques et dmontre son lemme[6] , mais de plus, dans l'anne 1925, il applique la thorie la physique quantique. La thorie est l'objet d'un large dveloppement durant le XXesicle. On peut citer les travaux d'Emil Artin avec la notion de caractre virtuel, ceux de Richard Brauer avec son thorme sur les combinaisons linaires coefficients entiers ou encore plus rcemment John Griggs Thompson, qui reoit en 1970 une mdaille Fields pour avoir dmontr une vieille conjecture de Burnside annonant que tout groupe fini d'ordre impair est rsoluble.

MotivationLe thorme de Maschke dmontre que si un corps K est soit de caractristique nulle soit premire avec l'ordre du groupe G tudi alors toutes reprsentation sur un K-espace vectoriel est somme directe de sous-espaces irrductibles. La thorie se concentre alors sur deux points cls : comment connatre les reprsentations irrductibles et comment, pour une reprsentation donne connatre ses facteurs irrductibles. La thorie des caractres rpond partiellement la premire des deux questions et totalement la deuxime.


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Introduction par l'exempleConsidrons le polynme P(X) = X3 + X + 1, coefficients dans le corps Q des rationnels. La thorie montre qu'il existe un espace vectoriel V sur Q de dimension six et que le groupe de Galois G opre sur V. Plus prcisment, G est un groupe d'automorphismes de V isomorphe S3. La difficult rside maintenant dans le fait que la dimension de l'espace est gale six. Le groupe se reprsente par six matrices carres 6x6, ce qui rend le problme plus ardu. Recherchons dans un premier temps toutes les reprsentations irrductibles. Il existe un premier cas ais, celui o V est de dimension un et identifi C et o le morphisme t associe tout lment de S3 la valeur un. On parle alors de reprsentation triviale. Un deuxime cas utilise le mme espace V, il associe tout lment de S3 sa signature, cest--dire

Reprsentation de S3 comme groupe des isomtries du triangle

-1 si la permutation est une transposition et 1 sinon. Le troisime cas est illustr sur la figure de gauche. L'espace vectoriel est de dimension deux et le morphisme associe aux trois transpositions les symtries orthogonales d'axes ceux reprsents en rouge sur la figure. Les deux lments d'ordre trois sont alors les rotations d'angles 2./3 et -2./3. La thorie des caractres montre qu'il n'existe pas d'autre reprsentation irrductible de ce groupe. Il existe deux manires de s'en rendre compte, soit par la reprsentation rgulire qui montre que l'ordre (ici gal 6) est gal la somme des carrs des degrs des diffrentes reprsentations irrductibles ici gal 1 + 1 + 4, soit par les fonctions centrales qui montre que le nombre de reprsentations irrductibles est gal aux nombre de classes de conjugaison du groupe. Une fonction centrale est une fonction du groupe constante sur les classes de conjugaison. Remarquons que le groupe S3 comporte trois classes de conjugaison, celle de l'unit, celle des trois transpositions T = {t1, t2, t3} et celle des deux cycles d'ordre trois C = {c1, c2}. Il est relativement simple de vrifier que les trois caractres sont constants sur chaque classe de conjugaison, cette proprit est gnrale pour tous les caractres. De plus, il existe un produit scalaire (dans le cas gnral un produit hermitien) tel que les caractres irrductibles forment une base orthonormale. Ce rsultat est au coeur de la thorie des caractres. Dans notre cas, si Si et sont deux fonctions centrales il est donn par :

Caractres du groupe symtrique d'indice trois.

Caractre d'une reprsentation d'un groupe fini Ces proprits permettent simplement de factoriser l'exemple donn sur S3. Notons t,, les caractres des trois reprsentations irrductibles et le caractre de la reprsentation du groupe de Galois. Comme, la famille des caractres irrductibles est une base, il existe trois scalaires a, b et c tel que :

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Comme la base est orthonorme, les trois coefficients sont donnes par les formules :

La figure de droite illustre les caractres du groupe S3. Les caractres reprsents par des boules orange sont les trois irrductibles, la boule bleu reprsente le caractre de la reprsentation de Galois. Elle est combinaison linaire des trois caractres irrductibles avec les coefficient un pour la triviale, un pour la signature et deux pour celle des isomtries du triangle.

Premires proprits L'image de l'unit par un caractre est gale la dimension n de V. Cette proprit provient du fait que 1 est gal l'identit de V. Si s et t sont deux lments du groupe, alors st et ts ont mme image par le caractre. Cette proprit est une consquence directe des proprits de la trace : deux matrices semblables (cest--dire qui reprsentent le mme endomorphismes dans deux bases diffrentes ont mme caractres). Si deux reprsentations sont isomorphes alors elles ont mme caractre. Cette proprit se dmontre comme la proprit prcdente. Si s et t sont deux lments conjugus du groupe, cest--dire s'il existe un lment u tel que usu-1 = t, alors ils ont mme image par le caractre. La trace est invariante par changement de base. Si la matrice associe u est considre comme une matrice de passage, on constate que les images de s et t par ont des matrices associes semblables. Si le corps K est inclus dans celui des complexes et s un lment du groupe, alors l'image de s-1 par le caractre est le conjugu de l'image de s. L'endomorphisme s possde comme polynme annulateur Xg - 1 d'aprs le thorme de Lagrange. Son polynme minimal est scind, car le corps est algbriquement clos et sparable cest--dire qu'il n'admet pas de racine multiple (cf polynme cyclotomique). En consquence l'endomorphisme est diagonalisable. Chaque valeur propre est une racine de l'unit et admet pour inverse sa valeur conjugue. En consquence l'image par de s-1, gal l'inverse de s et est diagonalise dans la mme base avec pour valeur sur la diagonale les conjugues de celle de s, ce qui dmontre la proposition. Ces proprits ne sont pas spcifiques aux caractre fini des groupes. On obtient le corollaire suivant : Si le corps K est inclus dans celui des rels et s un lment du groupe, alors l'image de s-1 par le caractre est la mme que celle de s. Cette proprit se gnralise au cas o le corps est de caractristique finie p s'il est algbrique. La thorie de Galois dmontre l'existence d'un automorphisme de corps laissant stable l'extension de dimension deux du corps premier Fp (cf corps fini). L'application joue le rle d'application conjugue. 2 est gale l'identit et si x est un lment de K, x.(x) est un lment du corps premier (celui engendr par 1). Si est une racine g-ime de l'unit alors .() est un lment du corps premier dont la puissance g est gal un. Comme g est premier avec p, la caractristique du corps, .() est gal un et () est gal -1. En consquence l'image de s-1 par le caractre est gal (s).


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ExempleLes caractres d'un groupe sont parfois donns sous forme de table. Comme un caractre est constant sur une classe de conjugaison, la table est ainsi donn sur les classes de conjugaison. Celle du groupe altern de degr 4 est par exemple :Car. irr. 1 (ab)(cd) (abc) (acb) t 1 2 1 1 1 3 1 1 1 -1 1 j j2 0 1 j2 j 0

Un lment du type (ab)(cd) possde son inverse dans la mme classe de conjugaison, la valeur du caractre est toujours relle pour cette classe. En revanche, l'inverse de (abc) est (acb), les deux valeurs sont toujours conjugues. Cette table est calcule dans l'article groupe altern.

OrthogonalitLemme de SchurLe thorme de Maschke donne une importance particulire aux reprsentations irrductibles. En effet, toute reprsentations est somme directe de reprsentations irrductibles. Soit deux reprsentations irrductibles (V1, 1) (V2, 2) de caractres respectifs 1 et 2. Les caractres sont des lments de l'espace vectoriel C des applications de G dans K. Soient M1 = (m1ij) et M2 = (m2kl) les reprsentations sous forme matricielles de 1 et 2. On dispose des relations suivantes :

En vue d'appliquer le corollaire 4 du lemme de Schur il est ncessaire de supposer que le corps K est de caractristique soit nulle soit premire avec g l'ordre du groupe et que le polynme Xg - 1 est scind dans K. On dispose alors des deux proprits suivantes : (1) Si les reprsentations 1 et 2 ne sont pas isomorphes, alors :

(2) Si les deux reprsentations sont isomorphes, alors :

O ij dsigne le symbole de Kronecker. Les dmonstrations sont donnes dans l'article associ.


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Caractristique nulleOn suppose que le corps K est de caractristique nulle et que le polynme Xg - 1 est scind dans K. Alors si l'on dfinit le produit hermitien suivant : Le produit hermitien canonique < | > de l'espace C des fonctions du groupe G valeur dans K est donne par la formule suivante :

Ici, si a est un lment de K a* dsigne le conjugu de a. La dfinition permet d'exprimer la proposition suivante : Si 1 et 2 sont deux caractres irrductibles, soit les reprsentations associes sont isomorphes et = 1, soit elles ne le sont pas et = 0. On peut exprimer cette dernire proposition par : La famille des caractres irrductibles est orthonormale. En effet, l'expression du produit hermitien prend la forme suivante :

La dernire galit provient du fait que le caractre d'un inverse est le conjugu d'un caractre (cf Premires proprits). En terme matricielle cette galit se traduit par :

Le corollaire 4 du lemme de Schur permet de conclure.

ExempleIl n'existe qu'un unique groupe simple d'ordre 168, il n'est pas ablien et correspond au deuxime groupe simple non commutatif, si ces groupes sont ordonns l'aide de leur ordre. On trouve la table suivante, tablie dans l'article dtaill :Car. irr. C1 C2 C3 C4 1 3a 3b 6 7 8 1 3 3 6 7 8 1 -1 -1 2 -1 0 1 0 0 0 1 -1 1 1 1 0 -1 0 C7a 1 C7b 1

1/2.(-1 + i7) 1/2.(-1 - i7) 1/2.(-1 - i7) 1/2.(-1 + i7) -1 0 1 -1 0 1

Les cardinaux des classes de conjugaisons sont C1 : 1, C2 : 21, C3 : 56, C4 : 42, C7a : 24, C7b : 24. On en dduit le produit hermitien pour deux caractres et , dans le cas d'une reprsentation complexe : Les caractres de la table sont bien tous de norme 1 et orthogonaux deux deux.


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ConsquencesCette proprit d'orthogonalit entraine des consquences thoriques immdiates : Soient (V, ) une reprsentation d'un groupe fini G, (Vi) une dcomposition de V en sous-espaces irrductibles et (W, ) une reprsentation irrductible de G. La reprsentation i dsigne la restriction de Vi, dsigne le caractre de et celui de . Le nombre de sous-espaces Vj de la famille (Vi) tel que (Vj, j) soit isomorphe (W, ) est gal . En effet, il suffit de remarquer que le caractre d'une somme directe est gal la somme des caractres. L'orthogonalit des reprsentations irrductibles permet de conclure. On en dduit les corollaires suivants : La norme d'un caractre par le produit hermitien canonique est gale un entier. Un caractre est irrductible si et seulement si sa norme par le produit hermitien canonique est gal un.

Reprsentation rgulireIl existe une reprsentation qui possde toutes reprsentations irrductibles comme sous-reprsentations, elle est appele reprsentation rgulire. Le thorme de Cayley montre que le groupe G est isomorphe un sous-groupe du groupe symtrique d'ordre g. Si V est un K espace vectoriel de dimension G, il est possible d'indexer une base B de V par G. Le groupe G opre transitivement sur B. L'unique prolongement linaire de l'action de groupe V est une reprsentation, elle est dite rgulire. C'est une reprsentation de degr g gal l'ordre du groupe. Elle vrifie la proprit suivante : La reprsentation rgulire (V, ) de G est fidle. Cest--dire qu'elle est injective (cf thorie des reprsentations d'un groupe fini). Sous rserve que les caractres irrductibles forment une famille orthonormale de KG, alors si (W, ) est une reprsentation irrductible de G de degr d : Il existe exactement d sous-espaces invariants Wi de V, d'intersection nulle deux deux, tel que la restriction de , la reprsentation rgulire, Wi soit isomorphe (W, ). Cette dcomposition n'est pas unique. Le nombre de sous-espaces isomorphes W de V est en gnral suprieur d, mais ils ne sont pas en somme directe. Il existe nanmoins une unique dcomposition de la reprsentation rgulire. Il existe un unique sous-espace maximal SW de V contentant tous les sous-espaces isomorphe W. Il est appel composante isotypique de W dans V. Les composantes isotypiques sont en somme directe gal V. Sous reserve des mmes hypothses que prcdemment, si (Wj, j) est l'ensemble des reprsentations irrductibles de G quand j varie de 1 h, alors l'galit suivante est vrifie : Soit dj le degr de la reprsentation irrductible (Wj, j) et g l'ordre de groupe, alors :

Des dmonstrations sont donnes dans l'article associ. Ces proprits sont utilises, par exemple pour tablir la table des caractres du groupe altern d'indice 4 et 5, ou encore du groupe simple d'ordre 168.


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Fonction centraleUne fonction centrale est une application constante sur chaque classe de conjugaison du groupe. Les premires proprits des caractres montrent que ce sont des fonctions centrales. Dans le cas o ils forment une famille orthonormale, alors : Les caractres irrductibles forment une base orthonormale de l'espace vectoriel des fonctions centrales valeur dans K. On en dduit que : Si h dsigne le nombre de classes de conjugaison de G alors il existe h reprsentations irrductibles distinctes un isomorphisme prs.

ExtensionProduit direct et produit tensorielEn thorie des groupes, la premire mthode d'extension est donne par le produit direct de deux groupes. En termes de reprsentation, cette extension se traduit par un produit tensoriel de deux reprsentations de deux groupes. La relation entre une somme directe de reprsentations et ses caractres est donne par la proposition suivante : Le caractre de la somme directe de deux reprsentations (V, ) et (V',') d'un groupe G est la somme des caractres des deux reprsentations. En effet, si s est un lment de G, Rs et Rs' les matrices de s et 's dans des bases B et B' ,alors la runion des deux bases est une base de V V'. Dans cette base, la matrice Ss de 's prend la forme :

L'galit sur les caractres, vu comme trace des matrices est alors vidente. Cette proposition se gnralise par rcurrence au cas d'une somme directe d'un nombre fini de reprsentations. Une relation analogue existe pour le produit tensoriel de reprsentations : Le caractre du produit tensoriel de deux reprsentations (V, ) et (V',') d'un groupe G est le produit des caractres des deux reprsentations. En utilisant les notations prcdentes et si (rij) (resp. (r'i'j') est la matrice Rs (resp. Rs') la matrice Ps du produit tensoriel associe est gal (pij i'j') avec pij i'j' = rij.r'i'j'. Un simple calcul de trace permet de conclure. Si (resp. ) dsigne le caractre de la reprsentation du carr symtrique (resp. altern), alors les deux formules suivantes s'appliquent :

Les dfinitions des reprsentations du carr symtrique et altern sont donnes dans l'article dtaill.


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Produit semi-direct et reprsentation induiteUne reprsentation induite est un mode de construction d'une reprsentation d'un groupe G l'aide d'un de ses sous-groupes H. Soit (W, ) une reprsentation de H, une reprsentation (V, ) est dite induite par celle de (W, ) si et seulement si les diffrents sous-espaces cW o les valeurs de c forment un systme de reprsentants des classes gauche de G/H, sont, en somme directe, gale V. Il existe une unique reprsentation induite de G par une reprsentation (W, ) d'un sous-groupe H. En termes de G-module, la reprsentation induite s'exprime simplement :

La reprsentation induite correspond, en termes de G-module une extension des scalaires K[H] l'anneau K[G] sur le H-module W. Dans le cas o H est un sous-groupe normal de G, la reprsentation induite est quivalente un produit semi-direct. Il existe un mthode simple pour calculer le produit hermitien du caractre d'une reprsentation induite : la formule de rciprocit de Frobenius Si dsigne le caractre de la reprsentation de H et celui d'une reprsentation de G, si Ind dsigne le caractre d'une reprsentation induite et Res le caractre de la restriction de H, alors :

Notes et rfrencesNotes[1] C. Jordan, Trait des substitutions et des quations algbriques, 1870 [2] [3]

(de) F. G. Frobenius, ber Gruppencharaktere, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1896 (de) H. Maschke, Beweiss des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, dans Mathematische Annalen, vol.52,

1899, p.363-368 [ texte intgral (http:/ / gdz. sub. uni-goettingen. de/ en/ dms/ load/ img/ ?PPN=PPN235181684_0052& DMDID=dmdlog32)] [4] (en) W. Burnside, On the Representation of a Group of Finite Order as an Irreducible Group of Linear Substitutions and the Direct Establishment of the Relations Between the Group-Characteristics, dans Proc. London Math. Soc. s2-1, 1904, 117-123 [5] (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, 2e d., Dover Publications, rd. de 2004 [6] (de) I. Schur, Untersuchungen ber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochenen linearen Substitutionen, dans J. Reine. Angew. Math., vol.132, 1907, p.85-137

Lien externe Cours de reprsentation des groupes finis (http://www.math.jussieu.fr/~beck/pdf/td-repres-groupe-fini.pdf) par Michel Brou de l'universit de Paris VII

Rfrences Jean-Pierre Serre, Reprsentations linaires des groupes finis (en) Marshall Hall, Jr.(en), The theory of groups Serge Lang, Algbre N. Bourbaki, lments de mathmatique, Algbre, chap. VIII Pierre Colmez, Elments d'analyse et d'algbre (et de thorie des nombres), ditions de l'cole polytechnique

Reprsentation de groupe

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Reprsentation de groupeL'ide gnrale de la thorie des reprsentations est d'essayer d'tudier un groupe G en le faisant agir sur un espace vectoriel V de manire linaire : on essaie ainsi de voir G comme un groupe de matrices (d'o le terme reprsentation). On peut ainsi, partir des proprits relativement bien connues du groupe des automorphismes de V, arriver dduire quelques proprits de G.

Quelques dfinitionsDfinition la plus lmentaireCas gnral Soit G un groupe, K un corps commutatif et V un espace vectoriel sur K. On appelle reprsentation de G un morphisme de groupes de G dans GL(V), autrement dit, une application

c'est--dire que l'application prserve la loi du groupe. Pour crire l'action d'un lment on notera parfois , du groupe sur un lment ou mme de l'espace vectoriel travers la reprsentation , s'il n'y a aucune ambigut. On note parfois une reprsentation est injectif. Si par ailleurs V est de dimension finie (cas le

. On dit parfois galement (et abusivement) que V est une reprsentation de G. On dit que la reprsentation est fidle si le morphisme plus frquent), cette reprsentation permet alors de voir G comme un groupe de matrices. La dimension de V est alors appele degr de la reprsentation. Exemples : Soit G le groupe constitu des lments {1,-1} et V un espace vectoriel quelconque. On peut construire une reprsentation de G en prenant et pour . Soit G le groupe des rotations de . Puisque G est dj inclus dans GL(3), l'identit sur G dfinit une reprsentation triviale de G sur . Une autre reprsentation peut tre trouve dans le cas o V est un espace de fonctions dfinies sur , en notant , avec . L'image d'une fonction f par est en effet la fonction Cas des groupes topologiques : reprsentation continue Si G est un groupe topologique et V un espace vectoriel topologique, la reprsentation continue si l'application de dans V qui tout couple associe l'application c'est trs utile dans le cas des groupes compacts), pour tout Action de groupe fortement continue et points rguliers Si est une action d'un groupe topologique sur un espace topologique , on dit que celle-ci est fortement continue si quel que soit , l'application est continue pour les deux topologies considres. Une telle action induit une action sur l'espace des fonctions continues sur : il suffit de poser . Si G est un groupe de Lie et X une varit diffrentielle, le sous-espace des points rguliers pour l'action est le sous-espace de des points tels que est rgulire, c'est--dire continue avec toutes ses drives continues.[rf.ncessaire] est une reprsentation est continue. En particulier (et est continue. , et l'application dfinit un morphisme de groupes.

Reprsentation de groupe

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Dfinition plus savanteK-algbre d'un groupe Notons K[G] le K-espace vectoriel engendr par les lments de G (cest--dire l'ensemble des combinaisons linaires formelles finies coefficients dans K des lments de G). Un lment gnrique de K[G] s'crit

o les

sont des lments de K tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux (la somme est donc finie) et o les lettres

g sont considrer comme des symboles formels. On peut donner K[G] une structure d'anneau (et mme de K-algbre associative) en le munissant de la loi de multiplication suivante :

o toutes les sommes sont en fait finies. K[G] s'appelle la K-algbre du groupe G. Lien avec les reprsentations On peut alors tendre, et ce de faon unique, la reprsentation End(V), en posant G-module. Rciproquement, la donne d'un K[G]-module V fournit une reprsentation de G. un morphisme de K-algbres de K[G] vers

. Ceci fait de V un K[G]-module. On dit galement que V est un

MorphismesUn morphisme entre deux reprsentations et est simplement une application K-linaire de V dans W telle que pour tout g appartenant G on ait On dit alors aussi que est un morphisme G-quivariant. Deux reprsentations sont dites quivalentes lorsqu'il existe un isomorphisme G-quivariant entre les espaces correspondants.

IrrductibilitDfinitionsOn dit qu'un module V est simple s'il ne contient pas d'autre sous-module que {0} et V. Si est une reprsentation, on dit que cette reprsentation est irrductible si V est simple en tant que

K[G]-module. Formul autrement, ceci signifie que V n'admet pas de sous-espace vectoriel propre qui soit stable sous l'action de G. En termes matriciels, cela signifie qu'on ne peut pas trouver de base dans laquelle la reprsentation de G soit donne par des matrices ayant toutes la mme structure triangulaire suprieure par blocs (avec au moins 2 blocs). Une reprsentation est compltement rductible si V est somme directe de sous-espaces stables (par G) irrductibles. En termes de K[G], cela signifie que V peut-tre dcompos en somme directe de K[G]-modules simples (on dit alors aussi que V est semi-simple). En termes matriciels, cela signifie qu'on peut trouver une base dans laquelle la reprsentation de G soit faite par des matrices diagonales par blocs, o chacun des blocs est une reprsentation irrductible.

Reprsentation de groupe Le fait de considrer des modules simples permet de beaucoup simplifier certains raisonnements : par exemple, un morphisme entre deux reprsentations irrductible est soit nul, soit inversible. On peut souvent ramener l'tude des reprsentations de G l'tude de ses reprsentations irrductibles : si V n'est pas irrductible, on peut toujours considrer un sous-espace vectoriel de V qui soit stable par G. Si jamais V est de dimension finie, on pourra ainsi finir par trouver un sous-module simple.

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Thorme de MaschkeSi G est fini et si la caractristique de K est nulle ou ne divise pas card(G), alors tout K[G]-module est semi-simple (ou de faon quivalente toute reprsentation de G dans K est compltement rductible). En fait, plus gnralement, on peut noncer un thorme similaire pour les groupes compacts (un groupe fini est toujours compact) et les reprsentations de groupes topologiques.

Quelques exemples Commenons par l'exemple le plus trivial : si G est un sous-groupe de GLn(K), G agit naturellement sur reprsentation associe est appele reprsentation standard. G agit sur lui-mme par multiplication gauche ; ceci dfinit une reprsentation sur K[G]. La reprsentation associe est appele reprsentation rgulire. Si G est un groupe fini, toute reprsentation irrductible est une sous-reprsentation de la reprsentation rgulire. . La

RfrenceJean-Pierre Serre, Reprsentations linaires des groupes finis

Articles connexes Reprsentations d'un groupe fini Reprsentations du groupe symtrique d'indice trois Reprsentations du groupe symtrique d'indice quatre

Reprsentations d'un groupe fini

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Reprsentations d'un groupe finiEn mathmatiques, un groupe est une structure algbrique qui consiste en un ensemble muni d'une unique opration. Cette opration possde de bonnes proprits, elle est associative, il existe un lment neutre et tout lment admet un inverse. Un groupe fini est un groupe dont le nombre d'lments est fini. La simplicit de la dfinition cache une structure dont la complexit peut devenir redoutable si l'ordre, c'est--dire le nombre d'lments, du groupe grandit. Une reprsentation d'un groupe fini est une mthode pour tudier une telle structure. Elle revient tudier le groupe comme un ensemble de symtries d'un espace euclidien. Par exemple, le groupe des permutations d'un ensemble trois lments se reprsente comme le groupe des applications linaires du plan laissant globalement invariant un triangle quilatral dont le centre est l'origine. Une reprsentation se dcompose en lments simples, appels reprsentations irrductibles et qui sont en nombre fini. Elles reprsentent les briques lmentaires qui permettent de construire toutes les reprsentations. La gomtrie euclidienne joue un rle dans cet univers. Une reprsentation quelconque se dcompose en reprsentations irrductibles qui agissent sur des plus petits espaces tous orthogonaux les uns par rapport aux autres. Une manire d'tudier une reprsentation donne est de considrer l'application qui, un lment du groupe, associe la somme des coefficients diagonaux d'une matrice reprsentant l'application linaire image. Cette application porte un nom, on parle du caractre de la reprsentation. Elle fait aussi partie d'un espace euclidien appel l'espace des fonction centrales. Une base orthonorme de cet espace est compose des caractres des reprsentations irrductibles et le calcul des coordonnes d'un caractre quelconque dans cette base permet d'obtenir la dcomposition en lments simples. Comme souvent en algbre, l'tude est plus simple si l'espace vectoriel utilise comme nombres les imaginaires. Le produit scalaire dont il est question ici est alors dfini sur les nombres complexes, on parle parfois de produit hermitien et de gomtrie hermitienne. Historiquement, cette thorie est apparue pour rpondre une question provenant de la thorie de Galois. L'tude des solutions d'une quation polynomiale amne l'tude d'une reprsentation d'un groupe, dit de Galois. Dedekind, un mathmaticien allemand de la deuxime moiti du XIXesicle cherchait factoriser, c'est--dire dcomposer en lments simples, le groupe de Galois d'une quation du quatrime degr. La tche n'est pas si simple, un tel groupe est reprsent par 24 matrices de chacune 576 coefficients. N'y parvenant pas, il crit Frobenius, qui comprend rapidement pourquoi les caractres sont la rponse cette dlicate question et comment rsoudre la difficult. Frobenius pressent qu'il dispose l d'une approche fructueuse, ouvrant la voie une vaste thorie, source de progrs en thorie des groupes. Cette thorie offre de fait des outils puissants pour lucider la thorie des groupes finis, permettant par exemple de dterminer le caractre rsoluble d'un groupe en fonction de son ordre. De manire moins anecdotique, la reprsentation des groupes finis est l'outil de base de la classification. L'apport algbrique ne s'arrte pas l. Les applications linaires s'additionnent, ce qui permet de dfinir un anneau, si l'on considre l'espace vectoriel engendr par les images du groupe. Les outils de la reprsentation d'un groupe fini interviennent dans l'tude de la structure d'un anneau, comme l'illustre le thorme d'Artin-Wedderburn. Enfin, la thorie de Galois, l'origine des travaux de Frobenius, n'est pas en reste. travers la thorie des corps de classes ou celle, moins aboutie, du programme de Langlands, la reprsentation des groupes est au cur de la recherche mathmatique actuelle. Le savoir purement mathmatique associ cette thorie est trait dans l'article thorie des reprsentations d'un groupe fini.


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HistoireAvant les reprsentationsThorie des groupes finis La thorie des groupes trouve son origine dans l'tude du groupe des bijections d'un ensemble fini. Cette notion, appele permutation date au moins du XVIIesicle. Le japonais[1] Kowa Seki (1642-1708) et l'allemand[2] Leibniz (1646-1716) utilisent les permutations et la notion de signature pour dfinir un dterminant dans des espaces de dimension trois et quatre. Une utilisation plus systmatique est l'uvre de Lagrange[3] (1736 1813) et Vandermonde[4] (1735 1796) dans le cadre de l'quation polynomiale. En revanche, l'ensemble des permutations n'est, dans aucun des cas cits, considr comme une structure disposant d'une loi interne. L'aube du XIXesicle voit un apport de premire importance pour ce qui deviendra la thorie des groupes finis. En 1801, Carl Friedrich Gauss utilise[5] les groupes cycliques pour fonder l'arithmtique modulaire et rsoudre l'quation cyclotomique d'indice un nombre premier de Fermat. Un ensemble fini muni d'une opration interne confrant une structure de groupe est enfin utilise. La connaissance d'une telle structure devient indispensable pour tout mathmaticien tudiant l'arithmtique. Cependant, tout au long de sa vie, Gauss ne verra pas l'intrt d'une formalisation.

variste Galois 1811-1832

variste Galois (1811-1832), la suite des travaux[6] du mathmaticien norvgien Niels Abel (1802 1829) permet la ralisation d'un bond fondateur de l'algbre moderne. travers la problmatique de l'quation algbrique, il dcouvre[7] non seulement la porte du champ applicatif de la structure, mais de plus, voque un nouveau formalisme avec la notion de groupe abstrait. Ce n'est que quinze ans plus tard que la dimension de ses travaux est perue par la communaut. La redcouverte[8] par Joseph Liouville des crits de Galois en 1846 place la thorie des groupes finis comme un sujet de premier plan. Augustin Cauchy (1789 1857) publie vingt-cinq articles sur la question dont un sur son clbre thorme[9] . Arthur Cayley (1821 1895) donne une premire dfinition abstraite d'un groupe[10] . Le domaine d'application s'tend, Carl Friedrich Gauss en 1877, Felix Klein remarque[11] que le groupe des isomtries laissant invariant l'icosadre est isomorphe au groupe de Galois d'une quation quintique, la gomtrie algbrique nat et les groupes finis y jouent un rle cl. La connaissance du sujet s'accrot, Ludwig Sylow nonce ses clbres thormes[12] en 1872 et Heinrich Weber donne la dfinition[13] moderne d'un groupe en 1895.

Reprsentations d'un groupe fini Caractre et groupe d'automorphismes Un outil essentiel aux reprsentations des groupes est celui du caractre. Il correspond, avec notre regard moderne, la trace des diffrents automorphismes correspondant au groupe reprsent. Une fois encore, le sujet n'est pas vierge au moment de la naissance de la thorie des reprsentations. On peut citer le symbole de Legendre du sicle prcdent pour l'explicitation de la loi de rciprocit quadratique, comme premier exemple de caractre avant la lettre. Gustav Dirichlet (1805 1859) utilise pour la premire fois le terme de caractre[14] pour une fonction multiplicative, proche du symbole prcdent. Richard Dedekind (1831 1916) transporte les ides associes aux groupes finis. Il dfinit formellement la notion de caractre comme un morphisme d'un groupe ablien valeur dans le corps des nombres complexes non nulle. Les caractres sont parfaitement connus ainsi que leurs relations d'orthogonalit, mais uniquement dans le contexte commutatif.

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Richard Dedekind, fondateur de la thorie des dterminants de groupe, anctre des reprsentations

Enfin, l'ide de groupe fini d'automorphismes n'est pas non plus inconnue. Camille Jordan, en 1870, tudie les groupes de Galois[15] comme un groupe de matrices qu'il appelle le groupe linaire. Il tudie le cas sur les corps finis premiers, cest--dire de cardinal un nombre premier et traite le cas de la factorisation d'un unique automorphisme. Felix Klein, depuis son clbre programme d'Erlangen est aussi un familier du concept. Leopold Kronecker (1823 1891) et Richard Dedekind dveloppent les prmisses de la thorie des anneaux et des corps[16] . Le groupe de Galois n'est dfini qu' partir d'automorphismes et non plus comme un groupe de permutations de racines. Si l'ide d'une incarnation d'un groupe fini comme une famille d'automorphismes est parfaitement comprise la fin du sicle, elle se heurte une difficult relle. Par exemple, pour une quation du quatrime degr, le groupe comprend dj 24 lments correspondant chacun une matrice 24x24. Dedekind dveloppe la mthode des dterminants de groupes[17] . S'il russit factoriser le groupe symtrique d'ordre trois, il est dans une impasse pour le cas gnral. En 1896 la thorie des groupes finis, ainsi que les outils ncessaires l'laboration de la thorie des reprsentations sont largement dvelopps. Cependant, la taille ainsi que la complexit calculatoire reprsentent une barrire que Dedekind ne voit pas comment franchir. Il envoie deux lettres ce sujet[18] adresses Ferdinand Georg Frobenius les 25 mars et 6 avril 1896. Le destinataire n'est pas un novice. Il a, par exemple, dmontr les thormes de Sylow dans le cas des groupes abstraits[19] et dtermin la structure des groupes abliens de type fini[20] .


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Naissance de la thorie (1896)Peu de thories possdent une date de naissance prcise. Les groupes apparaissent par exemple petit petit, depuis Lagrange jusqu la dfinition exacte de Weber, l'volution est lente et continue. La thorie des reprsentations est une exception, les historiens associent systmatiquement sa naissance au mois d'avril[21] 1896. Frobenius rpond Dedekind par trois missives[22] dat du 12, 17 et 26 du mois. Il parvient factoriser les groupes symtriques d'ordre quatre et cinq ainsi que leurs sous-groupes alterns et le groupe simple d'ordre 168. Il comprend que son approche est la base d'une vaste thorie et rdige rapidement les traits fondateurs. Le 16 juillet, il publie un premier article[23] . On peut y lire je dvelopperai ici le concept (de caractre pour un groupe fini quelconque) avec la croyance que, travers cette introduction, la thorie des groupes sera substantiellement enrichie . Les caractres ne se limitent plus au cas ablien, voil la premire cl de son succs. Cette gnralisation permet une factorisation de dterminant de groupe, Lettre de Frobenius Dedekind du 12 avril 1896 ce qui amne une deuxime publication[24] . Enfin il existe un produit hermitien naturel pour lequel les caractres irrductibles forment une base orthonormale est le sujet d'un troisime article[25] . Tous ces rsultats sont publis la mme anne. la fin de l'anne 1896, beaucoup reste faire. La notion de reprsentation n'est pas apparente, l'objet d'tude reste le dterminant de groupe. La notion d'irrductibilit n'est pas l, aucune technique d'extension ne permet d'analyser un groupe partir de ses sous-groupes, le rapport entre la reprsentation et l'arithmtique n'est pas tabli et seul le cas des nombres complexes est tudi. Cependant, la gnralisation des caractres a permis un saut important et laisse prsager de la naissance d'une thorie aux consquences riches.

Essor (1897-1917)Frobenius L'ide fondatrice est fertile, les diffrentes questions associes la thorie trouvent des rponses rapides et Frobenius reste un acteur majeur. Il publie jusqu' la fin de sa vie vingt articles sur la thorie des groupes finis[26] , essentiellement sur le sujet des reprsentations. En 1897, les notions de reprsentation et d'irrductibilit apparaissent[27] mme si de nombreuses volutions seront encore ncessaire pour que les caractres prennent notre dfinition moderne, savoir la trace d'une reprsentation. L'enrichissement de la structure, travers l'anctre de notion d'algbre de groupe est aussi prsente dans cet article, dans le cas des nombres complexes ou hyper-complexes. Frobenius l'emprunte aux travaux du mathmaticien Theodor Molien(de) (1861-1941) qui a, de manire totalement indpendante[28] ,[29] travaill sur le caractre semi-simple de l'algbre associe. Si Frobenius reconnat l'importance de ses travaux, Molien reste essentiellement dans l'obscurit. L'anne suivante, Frobenius dcouvre une premire mthode d'extension[30] correspondant notre reprsentation induite, il tablit la remarquable formule de rciprocit qui porte maintenant son nom. En 1899, il tablit[31] les formules du produit tensoriel de caractres alors que la notion de produit tensoriel n'est pas encore formalise, il parle de composition. En 1900 le mathmaticien dtermine[32] les caractres des groupes symtriques et l'anne suivante ceux des groupes alterns[33] . Au dbut de XXesicle, les travaux de Frobenius assurent la thorie une base solide, les caractres sont gnraliss aux groupes non abliens, les thormes d'orthogonalit sont prsents, et les techniques d'extension soit par produit tensoriel soit par induction sont comprises. Un regard rtrospectif y voit nanmoins encore trois lacunes. La thorie

Reprsentations d'un groupe fini garde les traces de son origine, les dterminants de groupes forment toujours la structure fondamentale. L'aspect lourd et calculatoire reste invitable. Les seuls corps vritablement tudis sont de caractristique nulle, vacuant ainsi un pan qui apparat maintenant comme essentiel. Enfin, la dimension arithmtique est quasiment absente. Si le troisime point est juste esquiss et doit attendre les annes 1920 avec les travaux d'Emil Artin pour prendre son essor, les deux autres sont largement traits dans la priode de temps du paragraphe. Cependant, les contributions majeures sur ces domaines sont le fruit d'autres mathmaticiens. Universit de Chicago Une jeune cole mathmatique, l'cole amricaine, influence la thorie naissante. Durant cette poque, l'Universit de Chicago est la pointe de la recherche sur le nouveau continent. R. C. Archibald crit : Durant la priode 1892-1908 l'Universit de Chicago est insurpassable aux tats-Unis comme institution pour l'tude des mathmatiques avances[34] . La thorie est tudie partir d'un autre angle, Leonard Eugene Dickson crit en 1896 sa thse de doctorat l'universit de Chicago propos des groupes linaires sur des corps finis quelconques, gnralisant les rsultats de Jordan. Il dmontre que tout corps fini commutatif est une Universit de Chicago en automne extension de Galois d'un corps premier. Elle est publie[35] en Europe en 1901. Heinrich Maschke(de) (1853 1908), un lve de Klein, rejoint l'Universit de Chicago en 1892, il dmontre son thorme[36] qui stipule que toute reprsentation est somme directe de reprsentations irrductibles. En suivant l'esprit de l'cole de Chicago, la dmonstration est aussi donne pour les corps finis (avec une invitable condition sur l'ordre du groupe). Le mathmaticien allemand Alfred Loewy(de) avait, sans preuve, publi ce rsultat deux ans auparavant en 1896. Enfin Joseph Wedderburn rejoint l'universit de Chicago durant les annes 1904-1905 et travaille avec Dickson sur les structures d'algbres semi-simples dont un exemple important est donn par les algbres de groupes finis. C'est cependant en 1907 dimbourg qu'il publie son article[37] peut-tre le plus clbre, classifiant toutes les algbres semi-simples et finalisant les travaux de Molien et Frobenius. L'apport de Chicago peut se rsumer en deux points essentiels pour la thorie des reprsentations : l'approche par les dterminants de groupes tombe en dsutude au profit de la notion de reprsentation, simplifiant les calculs et la thorie est tudie sur les corps de caractristiques quelconques.

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Issai Schur Une autre figure de la thorie de la reprsentation est essentielle pour la simplification des dmonstrations et l'enrichissement de la thorie. Issai Schur est un lve de Frobenius. En 1901, il soutient sa thse[38] sur les reprsentations rationnelles d'un groupe fini sur un espace vectoriel complexe. Il travaille sur le sujet entre les annes 1904 et 1907 et utilise le lemme son nom. Si quelques lignes suffisent sa dmonstration, il simplifie considrablement bon nombre de preuves, particulirement sur les caractres et leur orthogonalit. La thse de Schur apporte, durant cette priode une autre contribution majeure. L'analyse de l'aspect rationnel des reprsentations permet l'introduction des outils de l'arithmtique dans la thorie. Cet enrichissement est l'origine de nombreuses dmonstrations, on peut citer par exemple le fait que toute reprsentation irrductible possde un degr qui divise l'ordre du groupe (cf Algbre d'un groupe fini).

Reprsentations d'un groupe fini William Burnside William Burnside, aprs Frobenius, est gnralement considr comme le deuxime fondateur[39] de la thorie des reprsentations. Son intrt pour les groupes finis est antrieur aux travaux de Frobenius. Il est l'auteur d'un article[40] de 1895 dmontrant que tout groupe fini possdant un 2-groupe maximal cyclique n'est pas simple. Il comprend immdiatement l'apport de la thorie des reprsentations. Sa dmarche est nanmoins diffrente de celle de Frobenius ou de Schur. Sur la cinquantaine[41] d'articles publis sur la thorie des groupes, l'essentiel de son travail consiste utiliser les rsultats de la thorie pour tablir les fondements d'une classification des groupes finis. Il ouvre des conjectures comme le problme de Burnside de 1902(en) sur les groupes de type fini et d'exposant fini[42] et utilise les reprsentations pour dfricher[43] cette question. Cette conjecture, malgr de nombreux travaux, comme ceux[44] d'Efim Zelmanov qui lui apporte une mdaille Fields en 1994, reste encore essentiellement ouverte en 2006.

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William Burnside

Ses travaux[45] de 1905 l'amnent tudier le cardinal d'un groupe rsoluble. Il utilise, pour la dmonstration d'un de ses thormes, l'un des thormes de Sylow et de nombreuses facettes de la thorie des reprsentations, comme les caractres de Frobenius ou l'arithmtique de Schur. Une fois encore, il donne un dbut de rponse une grande question, largement tudie au XXesicle. Elle est finalement tranche par John Thompson qui reoit en 1970 une mdaille Fields pour son article[46] crit en commun avec Walter Feit(en) et qui dmontre que tout groupe d'ordre impair est rsoluble. Burnside crit un livre de rfrence[45] sur la thorie des groupes. La seconde dition, datant de 1911 est toujours d'actualit.


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Introduction par l'exempleGroupe symtrique d'indice troisLa premire question associe la thorie est la recherche d'un ensemble d'applications linaires inversibles, que l'on associe aux lments d'un groupe fini G. Dans cet exemple G est le groupe des permutations d'un ensemble trois lments not S3. L'association entre les lments du groupe et les applications linaires doit respecter la loi du groupe. Si g et h sont deux lments du groupe, l'application linaire associe g.h doit tre la composition des applications associes g et h :

Reprsentation de S3 comme groupe des isomtries du triangle

On parle de morphismes de groupe. L'exemple le plus simple est l'application qui, n'importe quel lment, associe l'application linaire identit. Cette association est manifestement une reprsentation, mais elle n'apporte que peu d'intrt, on parle de reprsentation triviale. Un deuxime cas associe un lment de S3, 1 si la permutation est une transposition et -1 sinon, cette reprsentation porte le nom de signature. L'espace vectoriel est encore de dimension 1. Le troisime cas est illustr sur la figure de droite. L'espace vectoriel est de dimension 2 et quip d'un produit scalaire. On considre trois vecteurs i, j et k, de norme 1, et faisant chacun un angle de /3 avec les deux autres. Le groupe S3 opre sur ces trois vecteurs, c'est--dire qu'une permutation g du groupe peut s'appliquer l'ensemble de ces trois vecteurs, ce qui dfinit une application de l'ensemble {i, j, k} dans lui-mme. Il existe une unique manire de prolonger ces applications en applications linaires de E et toutes ses applications linaires sont inversibles. On a ainsi dfini une troisime reprsentation. la diffrence des deux autres, celle-ci est fidle, c'est--dire qu' deux lments de G distincts on associe deux applications linaires diffrentes. En

représentations des groupes finis

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