1 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire.

1

GMC 6002ÉLÉMENTS FINIS EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE

GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

2

Matrice de rigidité locale en 3D (linéaire)


dVBHBKiV

Ti ...

)(

)(

nnnin wvuwvuwvuU ...222111)(

2

.21

00000

00000

00000

0001

0001

0001

.1..21

a

avec

a

a

a

EH

)(. inUB

.H

Matrice [H]:

3

Matrice de rigidité locale en 3D


.Q

wwwvvvuuu

)(. inUB

BQB .

)(. inUB

n

n

n

n

n

n

n

n

n

NN

NN

NN

NN

NN

NN

NN

NN

NN

B

0000

0000

0000

0000

00......00

0000

0000

0000

0000

1

1

1

1

1

1

1

1

1Matrice [B]:

232221333231

131211333231

131211232221

333231

232221

131211

000

000

000

000000

000000

000000

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

jjj

jjj

jjj

Q

4

Pour un tétraèdre linéaire


312121312141412141313141

213131214121214131414131

3121312141214121413141311

......

......

.-..-..-.

.6

1

yxyxyxyxyxyx

zxzxzxzxzxzx

yzzyzyyzyzzy

VJj

233322322131232221333231

133312321131131211333231

132312221121131211232221

333231333231

232221232221

131211131211

0000

0000

0000

00000000

00000000

00000000

jjjjjjjjjjjj

jjjjjjjjjjjj

jjjjjjjjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

B

dVBHBKiV

Ti ...

)(

)( )(. inUB

.H

2

.21

00000

00000

00000

0001

0001

0001

.1..21

a

a

a

a

EH

5

Mécanique linéaire


Système discret final où [K] et {F} ne sont pas affectés pas la

déformation de la pièce et donc par {UNd}

FUK Nd

.

6

Non linéarité matérielle


Bilinéaire Élastique non linéaire Plastique

dVBUHBUK in

V

T

ini

i

..)(.)( )()()(

)(

FUUK NdNd

.)(

7

Non linéarité géométrique


On ne peut plus assimiler géométriquement la configuration déformée (coordonnées xi) à la configuration initiale (coordonnées ai)

8



Deux configurations (peuvent agir ensemble) Grands déplacements: Ui << L n’est plus vrai Grandes déformations: Ui,j << 1 n’est plus vrai

Plus de proportionnalité entre {ε} et {Un(i)} [K] est affectée par la déformation de la

pièce et donc par {Und}

dVUBHUBUK in

V

T

inini

i

.)(..)()( )()()()(

)(

FUUK NdNd

.)(

9



Grands déplacements

10



Charges vives: {F} affecté par la déformation de la pièce et donc par {Und}

)(.)( NdNdNd UFUUK

11

Autres non linéarités


Conditions aux limites bilatérales

Contact FUK Nd

.

Conditionnement du système variable (déplacements imposés)Influence mutuelle entre plusieurs pièces

12

Non linéarité géométrique: exemple


Poutre en flexion E = 1.2x109 Pa, L = 10 m Section 1 m x 0.1 m Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire (HPP)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

m

m

13

Non linéarité géométrique: exemple1


Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Grands déplacements (COSMOS/M) Déformée modèle non-linéaire/linéaire

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

m

m

m

m


14GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire

Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – 15 000 N Déplacements en x et y

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

00 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Linéaire Non linéaire

m m

N N

15



Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Évolution de la force 0 – 15 000 N Déplacement en y linéaire/non linéaire

Linéaire

Non linéaire

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

m

N

16



Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle linéaire Effort normal et effort tranchant

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Effort normal

New

tons

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000Effort tranchant

New

tons

élément élément

17



Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Effort normal et effort tranchant

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Effort normal

New

tons

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Effort tranchant

New

tons

élément élément

18



Poutre en flexion Maillée 10 éléments de poutre Modèle non linéaire Forces et moments de réaction

19



Poutre en flexion Éléments de plaque COSMOS/M Modèle linéaire (HPP) Déplacements semblables

20



Poutre en flexion Éléments de

plaque Modèle linéaire

(HPP) Contraintes Von-

MisesFace dessus

Face dessous

Feuillet moyen

21



Poutre en flexion Éléments de plaque (COSMOS/M) Modèle non linéaire Déplacements semblables

22



Poutre en flexion Éléments de plaque Modèle non linéaire Contraintes Von-Mises

Face dessus

Face dessous

Feuillet moyen

23



Poutre en flexion Maillée en 3D Modèle non-linéaire (Solidworks) Déplacements semblables

24



Poutre en flexion Comparaison Modèle non-linéaire Contraintes Von Mises

25

Non linéarité matérielle: exemple


Plaque trouée en traction Modèle 2D (dimensions en pouces),

contraintes planes

Pression P (constante)

26



Plaque trouée (COSMOS/M solveur itératif)Modèle linéaire Modèle non-linéaire

(parfaitement plastique à 40 000 Psi)

P = 10 000 Psi

P = 12 000 Psi

P = 15 000 Psi

P = 20 000 Psi

Échelle de couleurs différente

27



Plaque trouée : contraintes résiduelles

P = 12 000 Psi

P = 20 000 Psi

Échelle de couleurs différente

28

Formalismes


Eulerien

Lagrangien

29

Lagrangien: problématique


Déformations trop importantes

30

Lagrangien: solutions


Remaillage Formalisme ALE

31

Tenseur de Green-Lagrange

Configurations initiale et déformée

GMC 6001- Dynamique des structures

32

Grandes déformations : exemple


Élément de barre L = 1 E = 0.21 1012, A = 0.1 10-3

q = 105

Déplacement Green-Lagrange (linéarisé et non)

33

Grandes déformations : exemple


Élément de barre L = 1 E = 0.21 1012, A = 0.1 10-3

q = 106 q=107 q = 108

Green-Lagrange linéarisé (rouge) et non linéarisé (vert)

34

Décomposition polaire


35

Tenseur de Green-Lagrange: exemple


Déformation d’un carré

36



Décomposition

37



Décomposition

38

Tenseur des contraintes



NdS

fNMT

dS

.),( lim

0

[σ] Tenseur de Cauchy

39

Tenseur des contraintes



dS

fNMT

dS

lim0

),(

40

Tenseur des contraintes Formule de Nanson


00

1

0

1

..

.

ndSFJNdS

dSFJdST

T

41

Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 1 (PK1)


1..

TFJ 0

00

.lim0

ndS

fdS

42

Tenseur des contraintes Tenseur Piola-Kirchhoff 2 (PK2)


11 ... TFFJS 0

0

*

0.lim

0

nSdS

fdS

43

Formulations


Lagrangienne totale Lagrangienne réactualisée

0.26011542860.2601154286

44

Méthodes numériques


Newton-Raphson

Newton-Raphson modifiée

45

Méthodes numériques: exemple


Itération Substitution Newton-Raphson

Newton-Raphsonmodifiée

1 0.2000000000 0.2000000000 0.2000000000

2 0.2500000000 0.2666666667 0.2400000000

3 0.2666666666 0.2761904761 0.2576000000

4 0.2727272728 0.2763931105 0.2663577600

5 0.2750000000 0.2763932022 0.2709464563

6 0.2758620690 0.2763932022 0.2734119822

7 0.2761904762 0.2763932022 0.2747541120

Ressort non linéaire F=0.2, k=1-u, u0=0

Valeur théorique: u = 0.2763932023

46

Méthodes numériques: exemple


Itération Substitution Newton-Raphson

Newton-Raphsonmodifiée

Premier incrément F=0.1

1 0.1000000000 0.1000000000 0.1000000000

2 0.11111111110 0.1125000000 0.1100000000

3 0.1125000000 0.1127016129 0.1121000000

Deuxième incrément F=0.2

1 0.2253521126 0.2418010927 0.2125664100

2 0.2581818182 0.2740759692 0.2451844787

3 0.2696078432 0.2763813187 0.2601154286

Méthode incrémentale (deux incréments de force)

Valeur théorique: u = 0.2763932023

1 GMC 6002- Éléments finis en mécanique non linéaire.

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