Cadre théorique des MEGC et propriétés mathématiques des principales fonctions de comportement
3 types de fonction
• Fonctions de production,• Fonction d’utilité,• Fonctions de transformations.
Les fonctions de production• Les firmes font des choix sous contraintes. • Les intrants utilisés dans le processus de
productions sont habituellement : la terre, le capital, le travail.
• Le capital physique est à la fois un intrant et un extrant.
• Les intrants et les extrants sont des flux.• Les contraintes technologiques : L’entreprise est
limité par son ensemble de possibilité de production (combinaison d’input-output techniquement possible).
Fonction de production (suite)
• Puisque les intrants ont un coût pour l’entreprise
Le producteur souhaite maximiser sa productionla frontière de l’ensemble de production ==
fonction de production.
• Si 2 intrants : l’ensemble des toutes les combinaisons d’intrants donnant la même quantité d’output ==isoquant.
Fonction de Production (suite)
• Classe de fonction à élasticité de transformation constante (CET)
• L’élasticité de transformation (ET) :
où( ) σ=
=
=
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
rr
rrdx
xx
xd
TmsTTmsTd
xxx
xd
ET
2
1
1
2
xqx
q
dxdxTmsT
δδ
δδ
=−=
Fonctions de Production (suite)
• TmsT mesure le taux pour lequel la firme doit substituer un intrant par un autre étant donné une quantité d’output.
Fonctions de Production (suite)
σσρ −=1
• Forme générale d’une fonction CET :
– q = production,– xi (i=1,2) = inputs,– A > 0, constante de niveau,– 0<α<1 paramètre distributif,– -1<ρ<• paramètre tel que :
[ ] ρρρ αα1
21 )1(−−− −+= xxAq
Fonctions de Production (suite)
• Propriétés :– Rendement d’échelle constant ie homogène de
degré 1 (HD1),
– Les productivités marginales des deux intrants
sont décroissantes, " i=1,2
– L’isoquant est strictement convexe.ixq
δδ
Fonctions de Production (suite)
2 cas limites :I. ρ → ∞ la substitution est impossible
complète complémentarité ie le producteurs est indifférent au prix relatif des intrants. L’isoquanta un angle à 90°.
Fonction de production Leontiefq = Min {ax1, bx2}
Les intrants sont utilisés en proportions fixes
Fonction de Production (suite)
II. ρ → -1 les intrants sont des substituts parfaits et l’isoquant est une droite confondue avec la ligne des prix relatifs. Pour un prix donné, le producteur est indifférent à toutes combinaisons sur la ligne.
Fonctions de Production (suite)
Cas intermédiaire : fonction Cobb-Douglas (σ = 1 et ρ = 0)
α (resp. 1 - α) = élasticité de production relative à l’intrant 1 (resp. à l’intrant 2).
αα −= 121 xAxq
Fonctions de demande d’intrants
Minimisation des coûts : produire un niveau d’output, q, lorsque les prix des facteurs sont égaux à ri (i=1,2).
Condition de minimisation: TmsT = rapport des prix
ou21
21 x
rr
1x
σ
α−α
= 12
12 x
rr1x
σ
αα−
=
Fonctions de demande d’intrants (suite)
Maximisation de la fonction de profit:Condition de maximisation:
Valeurs des productivités marginales = Prix des inputs
qArPx 1
11
−σ
σ
α= ( ) qA
rP1x 1
22
−σ
σ
α−=
Propriétés des fonctions de demande d’intrants
Fonctions de demande : HD0
Si σ = 1 et ρ = 0 (CB)
Les fonctions de demande sont linéaires,
α et 1 − α = parts relatives de la
rémunération des intrants dans la valeur
totale de la production.Pq
xr 11=α
Fonctions d’utilité
La théorie du consommateur s’exprime en terme de préférences. La fonction d’utilité alloue une valeur à différents paniers de biens et la valeur associée au panier désiré est plus grande que toutes les autres.Les paniers sont classés.L’utilité est un concept ordinal : le rang est important et non sa valeur.
Fonctions d’utilité (suite)Courbes d’indifférence: panier sur la frontière de l’ensemble faiblement préféré.
Toute transformation monotone d’une fonction d’utilité caractérise les mêmes préférences que la fonction d’utilité initiale.
Tous les paniers sur la courbe d’indifférence donnent la même utilité.
Fonction d’utilité (suite)
Classe des fonctions d’utilité à élasticité de substitution constante (CES).L’élasticité de substitution (ES)
où( )
( )TmsTmSdqqqqd
ES 12
12
//
=2
1
1
2
qUqU
dqdqTmS
δδδδ
==
Fonction d’utilité (suite)
Forme générale d’une fonction d’utilité CES :
qi : quantités consommées de bien i =1,2 0<γ<1, paramètre de distribution,
-1<φ<• paramètre tel que oùξ représente l’élasticité de substitution >0.
( )[ ] φ−φ−φ− γ−+γ= /121 q1qU
ξξ−
=φ1
Fonctions d’utilité (suite)
Pourquoi absence de constante de niveau?
A = 1 puisqu’il est impossible d’associer une valeur cardinale à l’utilité, U.
Fonctions d’utilité (suite)
Propriétés:
Rendement d’échelle constant (HD1),Utilités marginales décroissantes,TmS est décroissant ==> stricte convexité des courbes d’indifférence.
Fonction d’utilité (suite)
2 cas limites:• φ → ∞ la substitution est impossible
parfaites complémentarité des biens.• φ → -1 les biens sont des substituts
parfaits.
Cas intermédiaire:
φ → 0 = Fonction d’utilité Cobb Douglas
Fonctions de demande de biens
Maximisation de l’utilité totale sous la contrainte de budgétaire pour des prix donnés :
Condition de maximisation: TmS = Prix relatif des biens
et YM = P1 q1 + P2 q2 γ−
= 12 P1qξ
γ 21 Pq
Fonctions de demande de biens (suite)
Si ξ = 1 (Cobb-Douglas)
où γ et (1-γ) sont les parts dépensées pour chaque produit dans la dépense totale.
Propriétés : . Demandes linéaires. HD0
11 P
YMq γ=
( )2
2 PYM1q γ−
=
Fonction de Transformation
• Classe à élasticité constante de transformation des produits (CETP)
• L’élasticité de transformation des produits (ETP)
où( ) σ=
=
=
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
pp
ppd
qqq
qd
TmTPTmTPd
qqq
qd
ETP
2
1
1
2
xqx
q
dqdqTmTP
δδ
δδ
=−=
Fonction de Transformation (suite)
ττκ −=1
• Forme générale de la fonction CETP :
– Q = production totale,– qi (i=1,2) = quantités de biens inputs,– B > 0 : constante de niveau,– 0<β <1 paramètre distributif– - • <κ <-1 paramètre tel que :
( )[ ] κκκ ββ1
21 1 −−− −+= qqBQ
Fonction de Transformation (suite)
• Propriétés :– Homogène de degré 1 (HD1),
– Les productivités marginales des deux inputs sont
décroissantes, " i=1,2
– Stricte concavité de la frontière des possibilités de production.
iqQδδ
Fonctions de transformation (suite)
2 cas limites :
I. κ → −∞ parfaite complémentarité des produits dans la production totale. L’ensemble des possibilités de production ont un angle à 90°inversé. Les biens sont produits en quantités fixes.
Fonctions de Transformation (suite)
II. κ → −1 Les deux produits sont des substituts parfaits et la frontière des possibilités de production est confondue avec la ligne de prix relatifs Pour un prix donné, le producteur est indifférent à toutes les combinaisons sur la ligne.
Fonction de Transformation (suite)
Cas intermédiaire : Fonction Cobb-Douglas (τ = −1 et κ = − 2)
ββ −= 121 qqBQ
Fonctions d’offre de produits
Maximisation de la fonction de profit: Condition de maximisation:
TmTP = Ratio des prix
ou ( )1
1212
2
1
τ
ββ
−+
=
PPPP
PQq( ) τβ
β
−+
=
2121
11
PPPP
PQq
Propriétés des fonctions d’offre de produits
PQ
Si σ = 1 et ρ = 0 (CB)
Les fonctions d’offres sont linéaires,
β et 1 − β = parts relatives de la
rémunération des produits dans la valeur
totale de l’output.qp 11=β
EXEMPLES D’UTILISATION DE FORMES FONCTIONNELLES
Présentation
2 exemples seront présentés :
• Modèle sur la filière Coton au Bénin• Modèle SAVARD et ADJOVI
Présentation
Pour chacun on présentera :
* la fonction de production* la fonction de demande de produits* la fonction de transformation de la Production en exportation et en ventes sur le marché local
Modèle Filière Coton
• Fonction de ProductionTRAVAIL CAPITAL
Cobb-Douglas
CI VA
Léontief
PRODUCTION
Modèle Filière Coton (suite)
Fonction de demande de produits :Linear Expenditure System
fonction de transformation (CETP) Fonction de demande d’exportation
ci
hi
ciihh
ihi
hi p
mvvpCtmmvvCm ∑−+=
)(α
Modèle Filière Coton(suite)
fonction CES du bien composite Fonction d’offre d’importation
Modèle SAVARD et ADJOVI
• Même chose que le précédent pour les fonctions liées au commerce extérieur
• Différence au niveau de la fonction de production parce que on distingue :
• * 3 types de travail• * le capital• * les consommations intermédiaires
Modèle SAVARD et ADJOVI(suite)
LDI LDM
CES
LLD
CES
Capital
VA CILEONTIEF
Production
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