Mathématiques – Algèbre et analyse

Fonction carré et opérations avec les fonctions

Vous apprendrez à :

· Construire la parabole représentant la fonction carré et donner son tableau de variations.

· Déduire de la courbe représentative d’une fonction sur un intervalle donné celle de la fonction qui à associe , où est un nombre réel donné, sur le même intervalle.

· Déduire de la courbe représentative de la fonction carré, l’allure de celle de la fonction définie par ,où est un nombre réel donné.

· Déduire des variations d’une fonction sur un intervalle donné celles de la fonction , où est un nombre réel donné, sur le même intervalle.

Activité 1 : saut en chute libre

Visionner la vidéo suivante : https://www.youtube.com/watch?v=kULOkpBZ_nE

Situation :

Felix Baumgartner est le premier homme à avoir franchi le mur du son en chute libre.

En sautant a 39 000 m d’altitude, il réussit à atteindre une vitesse de 1 341,9 km/h. Lors de la préparation du saut, on a estimé que la vitesse du son sera atteinte après une chute d’une durée comprise entre 42 et 47 secondes.

Comment l’équipe a-t-elle pu prévoir l’altitude à laquelle la vitesse du son serait atteinte ?

Activité 2 : histoire de Rugby

LA PÉNALITÉ PASSE-T-ELLE ?

Lors d’un match de rugby, le botteur de l’équipe doit « taper » une pénalité. Il est situé à 46 m face au poteau. On suppose que la direction du ballon est entre les poteaux. On veut savoir s’il va passer au-dessus de la barre transversale. La barre est située à 3 m du sol.

Voici ci-dessous modélisé la trajectoire décrite par le ballon réalisé sous Géogebra.

1) A l’aide du texte précédent, répondez aux questions suivantes en formulant une ou plusieurs phrases :

1.1) Quelle est la position du botteur ?

1.2) Quelle est la distance entre le ballon et les poteaux ?

1.3) Quelle est la hauteur de la barre transversale ?

2) Le ballon passe-t-il au-dessus de la barre transversale ? Emettre une hypothèse.

3) Proposer une méthode afin de valider votre hypothèse. Utiliser tous les outils que vous connaissez.

4) La trajectoire du ballon décrit une courbe particulière qui s’appelle une parabole. Cette courbe représente une fonction f.

Les valeurs de l’axe horizontal sont appelées « antécédents x », les valeurs de l’axe vertical sont nommées « images f(x) ou y ».

Placer au niveau de l’antécédent sur le graphique représentant la trajectoire du ballon un segment vertical jusqu’à la courbe. On obtient un point que l’on nomme P.

Lire l’image y de ce point P.y = ……………..

5) Répondre à la problématique :

A l’aide du travail précédent indiquer si la pénalité passe au-dessus de la barre transversale. Formuler une réponse correcte expliquant pourquoi.

6) Valider le résultat avec votre hypothèse de départ.

La courbe possède un point le plus haut. Ce point s’appelle un maximum.

Déterminer les coordonnées de ce point M ( ……… ; ………)

7) On peut utiliser ce graphique pour établir un tableau de valeurs.

Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

Nom du point

O

A

B

M

C

D

P

Antécédent x

0

10

……

……

40

……

46

Image y

……

……

6

……

……

14

……

On constate que la courbe augmente depuis le point O jusqu’au point M. On dit que la fonction est croissante sur l’intervalle [0 ; 25]. La fonction est ensuite décroissante.

8) On peut établir un tableau de variation. Ce tableau indique l’évolution de la fonction f par rapport aux valeurs de x. Les sens de variation sont indiqués par des flèches.

Compléter le tableau de variation de la fonction f.

x

0

50

Variation de la fonction

Un même antécédent ne peut avoir plusieurs images, c’est la définition d’une fonction. Il existe des images qui ont plusieurs antécédents.

Citer toutes les valeurs qui sont dans ce cas. Utiliser la notation mathématique convenable.

2NDE BAC PRO – FONCTION CARRE ET OPERATIONS AVEC LES FONCTIONS

1