VIbrations non-linéaires des cymbales

cole

Doctorale

COLE POLYTECHNIQUE

Modlisation et tude numrique des e e e vibrations non-linaires de plaques e circulaires minces imparfaites. Application aux cymbales.` THESEprsente et soutenue publiquement le 2 fvrier 2009 e e e pour lobtention du

Doctorat de lEcole Polytechniquepar

Cdric Camier e

Composition du jury Directeur de th`se : e Prsident : e Rapporteurs : Examinateurs : Cyril Touz e Emmanuel de Langre Bruno Cochelin Jean-Claude Golinval Francis Collino Jol Frelat e

Ecole Nationale Suprieure de Techniques Avances - Unit de Mcanique e e e e

Mis en page avec la classe thloria.

cole

Doctorale

COLE POLYTECHNIQUE

Modlisation et tude numrique des e e e vibrations non-linaires de plaques e circulaires minces imparfaites. Application aux cymbales.` THESEprsente et soutenue publiquement le 2 fvrier 2009 e e e pour lobtention du

Doctorat de lEcole Polytechniquepar

Cdric Camier e

Composition du jury Directeur de th`se : e Prsident : e Rapporteurs : Examinateurs : Cyril Touz e Emmanuel de Langre Bruno Cochelin Jean-Claude Golinval Francis Collino Jol Frelat e

Ecole Nationale Suprieure de Techniques Avances - Unit de Mcanique e e e e

Mis en page avec la classe thloria.

i

Dans le dsert de la science. l'homme scientique apparaissent durant ses dmarches humbles et pnibles qui sont bien souvent par force des marches travers le dsert, ces merveilleux mirages que l'on appelle systmes philosophiques : ils montrent, la porte de la main, avec la force magique de l'illusion, la solution de toutes les nigmes et la coupe rafrachissante de la vritable boisson de vie ; le cur palpite de joie et l'homme fatigu touche dj presque des lvres la rcompense de sa peine et de sa persvrance scientiques, en sorte qu'il va presque involontairement, toujours de l'avant. Il est vrai que certaines natures s'arrtent comme tourdies par le beau mirage : alors le dsert les engloutit et elles sont mortes pour la science. D'autres natures encore, celles qui ont souvent fait l'exprience de ces consolations subjectives, sont prises d'un extrme dplaisir et maudissent le got du sel que ces apparitions laissent la bouche et d'o rsulte une soif ardente, sans que l'on soit d'un pas seulement rapproch d'une source quelconque.

Friedrich Nietzsche, Opinions et sentence mles (Humain, trop humain, tome II).

ii

TABLE DES MATIRES

Chapitre 1 Introduction1.1 Applications de l'tude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Applications musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications industrielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vibrations non-linaires de coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modles rcents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle tendu et organisation du manuscrit . . . . . . . . . . . . . .

11 1 4 5 5 5 7

Cadre de l'tude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I Eet des imperfections gomtriques sur les vibrations non-linaires de plaques circulaires minces 9Chapitre 2 Imperfections gomtriques2.1 2.2 2.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exprience sur une coque de laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison au modle de coque sphrique mince . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 2.4 Comparaison sur les modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques lments de comparaison sur des coecients non-linaires .

1111 11 14 14 14 15

Autres exemples de la littrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 3 Modle de plaque circulaire imparfaite3.1 quations non-linaires des plaques circulaires minces parfaitement planes . . 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 Hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

1719 19 19 20 20

iv 3.1.5 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5

Table des matires

Projection modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition du dfaut de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ajout d'un dfaut dans les quations locales du cas parfait . . . . . . Projection modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalisation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discussion et introduction aux tudes de convergence . . . . . . . . .

22 23 23 24 26 32 33

quations non-linaires des plaques circulaires minces imparfaites . . . . . .

Chapitre 4 Application quelques dfauts de forme4.1 4.2 4.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul de la tendance de non-linarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas d'un dfaut de forme sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 Comparaison thorique avec le modle de coque sphrique mince . . . Comparaisons des rsultats entre dirents modles analytiques . . .

3535 36 38 38 40 46 46 46 52 53 53 59 61

Cas de dfauts axisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (0,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (2,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (3,0) . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cas de dfauts asymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusion sur les cas d'imperfections de formes donnes . . . . . . . . . . .

Chapitre 5 Cas de coques de laboratoire5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesure de la gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projection gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison sur les frquences propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaisons dans le domaine non-linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 5.5.2 5.6 5.7 Cas d'une rsonance interne 1 : 1 : 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coecients quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6363 64 65 67 71 71 72 74 77 78 80 82 82

Mise en vidence de l'erreur de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prise en compte de cette erreur. Retour sur les rsultats. 5.7.1 5.7.2 5.7.3 Nouveaux rsultats sur les coecients non-linaires et dveloppements Inuence des coecients cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rsultats sur d'autres coques de laboratoire . . . . . . . . . . . . . . .

5.8

Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

II

tude numrique de la transition vers le chaosChapitre 6 Introduction6.1 Exprience reproduire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1 6.2.2 Protocole de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stratgie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dicults numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

858787 87 87 88 88 88 90

Rappel sur la dynamique intgrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 7 Schmas numriques7.1 7.2 7.3 tat de l'art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition de quelques oprateurs aux dirences nies . . . . . . . . . . . . . Quelques proprits sur les intgrateurs temporels numriques 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.4 7.5 Stabilit . . . . . . . . Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9393 95 96 96 96 97 97 97 99 99

Mthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthodes multi-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 7.5.2 Mthodes d'Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mthodes des direntiations rtrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.6

Mthode de Strmer-Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Chapitre 8 Schmas conservatifs8.1 8.1.1 8.1.2 8.2

103

Proprit des systmes Hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Dnition du Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Proprit de symplecticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Exemple de l'oscillateur de Dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Chapitre 9 Application un oscillateur de Dung9.1 9.2

107

Expriences numriques tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 criture des direntes mthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 Mthode de Strmer-Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Mthodes de Runge-Kutta explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Mthode des direntiations rtrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Implmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

vi 9.3

Table des matires

Comparaison des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 Cas d'une excitation harmonique faible amplitude . . . . . . . . . . 110 Cas d'une excitation harmonique forte amplitude . . . . . . . . . . . 112 Cas particulier d'un diagramme de bifurcation jusqu'un forage trs lev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Cas d'une excitation impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Chapitre 10 Application au systme N degrs de libert10.2 Construction du schma conservatif appliqu la dynamique des plaques imparfaites

127

10.1 nergie continue drive des quations modales de plaques imparfaites . . . . 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.3 Implmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 10.4 Rsultats dans le cas d'un ot autonome 10.4.1 Exprience numrique test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.4.2 Mthode de Strmer-Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.4.3 Mthode conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Chapitre 11 Conclusions gnrales et perspectives

137

11.1 tude de l'eet du dfaut de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 11.1.1 Principaux rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 11.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 11.1.3 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 11.2 Intgrateurs numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11.2.1 Principaux rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11.2.2 Premires conclusions et suite des travaux . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Bibliographie Annexe A Variation de l'paisseur sur le pourtour de la coque 3 Annexe B Imperfections de la forme de cymbales

145 153 155

CHAPITRE

1INTRODUCTION

Sommaire

1.1 1.2

Applications de l'tude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1 1.1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3

1 55 5 7 1 4

Cadre de l'tude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Applications musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications industrielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vibrations non-linaires de coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modles rcents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle tendu et organisation du manuscrit . . . . . . . . . . . . .

1.1 Applications de l'tude1.1.1 Applications musicalesL'application premire vers laquelle sont orients les travaux prsents dans ce manuscrit est la comprhension des vibrations de cymbales de percussion. L'tude s'inscrit dans la ligne des travaux de Cyril Touz, qui a dirig cette thse, et d'Olivier Thomas. Leurs travaux, entrepris depuis leur thses respectives [94, 79] diriges par Antoine Chaigne taient motives par l'tude des instruments de percussion dits non-linaires 1 . Cyril Touz s'tait intress l'interprtation des signaux chaotiques dlivrs par de telles structures lorsqu'elles sont soumises de fortes sollicitations. Olivier Thomas a propos un modle complet de vibration de plaque circulaire puis de coque sphrique, ces gomtries correspondant aux approximations successives de la cymbale. Cette thse tend les rsultats prcdemment obtenus dans deux directions. Premirement, les modles mcaniques sont ans an de pouvoir prendre en compte les imperfections gomtriques et tre en mesure de traiter des formes arbitraires. Deuximement, la transition vers les rgimes chaotiques est tudie numriquement. Les rsultats de tous ces travaux sont assez gnraux pour permettre de dpasser l'application premire. La simplicit de la structure tudie, la coque mince circulaire, lui assure un usage courant et vari : industrie du transport, architecture, nanotechnologies, etc. Avant de se plonger dans les dveloppements mcaniques et numriques associs au sujet, il convient de dire quelques mots sur ces applications principales.1. Le terme vient du fait que les mcanismes de gnration sonore ne peuvent tre dcrit par un modle linaris.

1

2

Chapitre 1. Introduction

CymbalesLes cymbales sont des instruments d'origine asiatique caractriss gnralement par leur forme lgrement incurve, axisymtrique, et par leur condition libre au bord. Elles possdent souvent une forme bombe dans leur rgion centrale, nomme cloche et sont troues au centre an de pouvoir les xer sur des pieds ou pour les tenir au moyen de lanires. Les cymbales sont fabriques en bronze (alliage d'tain et de cuivre, parfois avec ajout d'or), la plupart du temps l'aide d'un tour. Aujourd'hui leur production est industrielle.

(a)Figure 1.1 Cymbales Chinoise (Zildjian).

(b)

(c)

de formes usuelles : (a) Ride (Paiste), (b) Crash (Sabian) et (c)

Les cymbales sont prsentes dans tous les registres musicaux. Leur timbre enrichit autant les orchestres symphoniques que les formations de Jazz, de Rock, etc. La classication usuelle des cymbales par les batteurs repose sur la spcicit de leur son, elle-mme relie l'utilisation qu'ils en font. Les 4 principales familles sont dcrites ci-dessous. La charleston 2 est en fait compose de deux cymbales se faisant face, dont la pression de contact, rgle via une pdale, agit sur le son lors de la frappe. Elle peut se jouer galement uniquement grce la pdale par choc ou frottement entre les deux parties. Son diamtre 3 varie communment de 13 14 (soit entre 33 cm et 35.6 cm) et son paisseur est de 1 mm environ. Son son, prcis et grsillant, marque le rythme et souligne le tempo. Cette fonction peut galement tre assure grce la ride (voir gure 1.1(a)). Son diamtre est compris entre 18 et 22 (45.7 cm et 55.9 cm) et son paisseur entre 2 3 mm. Lorsqu'elle est frappe par l'olive de la baguette, le son qu'elle produit appel ping est prcis et scintillant. Elle peut tre joue sur sa cloche, produisant alors un son plus sec et plus puissant comparable celui d'une cloche de carillon. Les crashs (voir gure 1.1(b)) ponctuent les temps forts de la musique. Leurs diamtres peuvent tre compris entre 14 et 20 (35.6 cm et 50.8 cm) et elles sont un peu plus nes que les rides. Elles sont frappes vigoureusement, avec le plat de la baguette de sorte que leur son est caractris par une explosion, remplissant l'espace frquenciel et sans hauteur tonale discernable.2. appelle ainsi car elle apparut au dbut du XXime sicle avec la danse du mme nom. 3. Dans le commerce, l'unit de rfrence du diamtre des cymbales et des peaux de batterie est le pouce technique international et vaut 2.54 cm.

1.1. Applications de l'tude

3

Les splashs et les chinas (voir gure 1.1(c)), appeles cymbales d'eet, viennent agrmenter la panoplie du percussionniste. Elles jouent le mme rle que les crashs. Les premires sont nes et petites, de diamtre compris entre 8 et 12 (20.3 cm et 30.5 cm). Leur son est plus brillant et moins sonore que celui des crash. Les secondes prsentent la particularit d'tre releves sur le bord. Elles orent un son agressif et puissant, se rapprochant de celui des gongs.

(a)

(b)

(c)

Figure 1.2 Nouvelles gnrations de cymbales aux formes exotiques : (a) Splash bossele (Istanbul ), (b) Ride avec cloches dcentres (Hammerax) et (c) Crash tordue (Zildjian).

Les appellations mentionnes ci-dessus viennent pour la plupart d'onomatopes. Ces familles de cymbales composaient jusqu' prsent l'attirail classique des batteries. Avec l'inuence des musiques lectroniques, les fabricants se sont essays, ces dernires annes, des formes plus exotiques, tentant ainsi d'obtenir des sonorits originales. Quelques unes de ces nouvelles cymbales sont montres gure 1.2. On note en particulier l'intrt port par les fabricants sur la recherche de formes plus irrgulires, asymtriques. On trouve mme parmi les modles les plus audacieux des formes non circulaires ou dcoupes.

Instruments plus complexesLes coques de formes circulaires sont galement prsentes dans plusieurs instruments de musique plus labors. Quelques uns sont cits ci-dessous. Originaire des carabes, le Steel-drum (voir gure 1.3(a)) est une coque sphrique sertie de creux de direntes tailles et encastre dans un cylindre mtallique clos. Frapp en dirents endroits par des mailloches, il produit tout une gamme de notes accordes et riches en harmoniques. L'accord de l'instrument se fait grce la forme particulire qu'on lui applique [43]. Le Hang-drum (voir gure 1.3(b)) est un instrument trs rcent (invent en 2000) et driv du Steel-drum. Il est compos de deux coques circulaires jointes en leurs bords. L'une est accorde la manire du Steel-drum grce la taille et la forme des creux pratiqus dans le mtal et l'autre fait oce de rsonateur de Helmoltz dont on peut faire varier la main la taille de l'embouchure [67]. L'onde Martenot (voir gure 1.3(c)) fut invente en 1928 et porte le nom de son constructeur. Il s'agit d'un instrument monodique, contrl par un clavier et/ou des potentiomtres qui engendre un signal partir d'oscillateurs lectroniques, traduit acoustiquement grce des diffuseurs spciques. Le diuseur gong est l'un d'entre eux. Ce transducteur est constitu

4


(a)Figure 1.3

(b)

(c)

Instruments utilisant des coques de formes particulires : (a) Steeldrum, (b) Hangdrum, (c) Diuseur Gong de l'onde Martenot.

d'un puissant systme bobine-aimant dont le noyau est li au centre d'une coque mince. travers la coque, les signaux accrochent des frquences de rsonances puis des phnomnes non-linaires qui enrichissent le son produit.

1.1.2 Applications industriellesHaut-ParleursParmi les secteurs industriels qui utilisent les coques minces en rgime de vibration, on trouve en particulier les constructeurs Hi-Fi, qui s'intressent de prs aux proprits de vibration des membranes de haut-parleurs lectrodynamiques. Leur principe est de faire vibrer une structure mince et rigide (membrane) via une bobine dans laquelle circule un courant alternatif et qui est place dans l'entrefer d'un aimant permanent. Les membranes pousent direntes formes selon qu'elles sont destines la restitution de bandes de frquences situes dans les basses frquences (boomer), dans les hautes frquences (tweeter) ou dans les frquences intermdiaires (medium). La forme agit sur la raideur de la membrane et inue sur son taux de distortion. Elle conditionne galement le rayonnement de la source en champ proche et en champ lointain [63].

Autres exemplesLes moyens de transport motoriss sont pour la plupart constitus de coques minces qui sont soumises aux vibrations du moteur ou celles dues au contact du milieu sur lequel ils voluent. Certaines parties de ces structures telles que les nez d'avion, de sous-marin, de fuse, les cockpits d'hlicoptre (gure 1.4) sont trs proches des structures que l'on tudie. De lourdes simulations numriques sont menes pour prvoir le comportement de ces structures et ce an de rduire les vibrations en vue d'attnuer l'endommagement des matriaux ou d'amliorer le confort des passagers. Dans le domaine mdical, des micro-systmes mcaniques sont aujourd'hui dvelopps pour laborer des capteurs et des actionneurs l'chelle microscopique. Un des capteurs de recon-

1.2. Cadre de l'tude

5

(a)Figure 1.4 Exemples

(b)

(c)

divers de produits industriels comprenant des structures minces circulaires ou approches : (a) haut-parleur boomer , (b) hlicoptre Robinson R44, (c) schma de microsystmes lectromcaniques.

naissance biomolculaire actuellement en dveloppement (cf. gure 1.4) utilise les vibrations de petites plaques circulaires pour mesurer des quantits molculaires [82].

1.2 Cadre de l'tude1.2.1 Vibrations non-linaires de coquesDans le cas de la cymbale, l'aspect trs simple de la structure contraste avec les phnomnes trs complexes qu'elle engendre. En rgime normal de jeu, les amplitudes de vibration sont grandes devant l'paisseur de la structure. La non-linarit gomtrique ne peut plus tre nglige [56, 77, 105] et c'est cette non-linarit qui est prise en compte dans ces travaux. Lors d'tudes exprimentales, plusieurs phnomnes typiquement non-linaires ont pu tre mis en vidence tels que des phnomnes de saut, d'hystrsis, de dpendance de la frquence de rsonance avec l'amplitude de vibration, de couplages internes, synonymes d'changes d'nergie entre les modes et un comportement chaotique [106, 91, 94]. Le but poursuivi est la modlisation des vibrations de ces structures an de comprendre et de prdire les comportements observs dans les dirents rgimes de vibration.

1.2.2 Modles rcentsLa premire approximation faite tait de considrer les cymbales comme des plaques circulaires minces bord libre. Les prcdentes recherches [98] avaient notamment conduit au dveloppement analytique des modes propres de cette structure. Quelques uns de ces modes sont d'emble prsents gure 1.5, ce qui nous donne l'occasion d'introduire une nomenclature qui sera utilise tout au long de cette monographie. Les modes sont ainsi nomms (k, n), k pour le nombre de diamtres nodaux et n pour le nombre de cercles nodaux. Particulirement, on distingue les modes axisymtriques, symtrie de rvolution, des modes asymtriques. Les dveloppements avaient pu tre pousss jusqu'au cas de la coque sphrique mince [80, 85]. Le modle dynamique, driv des quations de plaque de von Krmn, a t rsolu spatialement

6


(2, 0)

(0, 1)

(3, 0)

20 = 5.262

01 = 9.0689

30 = 12.2439

(1, 1)

(4, 0)

(5, 0)

11 = 20.5131

40 = 21.5272

50 = 33.0618

(2, 1)

(0, 2)

(6, 0)

21 = 35.2425

02 = 38.5070

60 = 46.8087

(3, 1)

(1, 2)

(7, 0)

31 = 52.9210

12 = 59.8591

70 = 62.7394

Figure 1.5

Dformes modales et pulsations propres adimensionnes kn correspondant aux 12 premiers modes propres transverses (k,n) d'une plaque circulaire mince ( = 0.33) . La nomenclature des modes adopte dans le prsent document est illustre ici ; le mode propre appel (k, n) possde k diamtres nodaux et n cercles nodaux.

1.2. Cadre de l'tude

7

de manire pouvoir crire le problme sous forme modale[80, 78, 56]. Dans le domaine nonlinaire, la rduction de modle ainsi que l'emploi du formalisme des modes non-linaires [100, 95] ont pu tablir des prdictions thoriques sur les changes d'nergie intermodaux et sur la tendance de non-linarit de certains modes [86]. Une fois compares aux rsultats exprimentaux dcrits plus en dtail par la suite, ces prdictions ont rvl qu'un facteur important faisait dfaut aux modles labors : les imperfections gomtriques.

1.2.3 Modle tendu et organisation du manuscritDivers exemples donns au prochain chapitre de ce manuscrit soulignent l'importance de l'effet des imperfections gomtriques, ou dfauts de forme, sur les caractristiques vibratoires. Le premier objectif de cette thse tait donc l'laboration d'un modle tendu incluant ce paramtre. Cette dmarche, ainsi que les rsultats originaux associs constituent la premire partie du prsent document. En premier lieu, le chapitre 2 rappelle brivement le modle de vibration de plaque parfaite. Les modes propres de plaques circulaires minces bord libre ainsi introduits servent discrtiser les quations locales de la plaque imparfaite, selon la mthode de Galerkin. Les nombreuses questions de prcision numrique, souleves ds le dbut de ces travaux nous ont rapidement conduit envisager des tudes de convergence systmatiques sur tous les paramtres impliqus dans les tapes de prise en compte analytique du dfaut tant la validit des rsultats obtenus y tait sensible, voire extrmement sensible pour certains. La prcision de ces paramtres de calcul, l'image de la minutie des dfauts de forme exprimentaux traiter, presqu'imperceptibles l'il nu, a exig l'optimisation de nos programmes. L'expression des nouveaux coecients dynamiques est donc explicite et quelques proprits remarquables sur ces coecients (expressions simples, symtries) et sur la projection du dfaut (invariance par rotation) sont en particulier dveloppes. Le chapitre 4 est consacr l'emploi du modle labor sur des dfauts de formes typiques. Tout d'abord, le cas de la coque sphrique sert de validation au modle de plaque imparfaite. Les termes des modles sont compars, ainsi que les rsultats, ce qui permet de dgager les limites de l'approximation de faible courbure faite dans le modle de coque. Ensuite, des dfauts de formes simples, axisymtriques et asymtriques sont tudis. La comparaison avec un code de calcul par lments nis permet de tester les rsultats dans le domaine linaire. Des nouveaux rsultats dans le domaine non-linaire sont tablis. Les cas de gomtries relles, correspondant des coques de laboratoire, sont regards chapitre 5. Une tude complte est propose, comprenant la mesure de la gomtrie tridimensionnelle des coques et des tests de convergence selon plusieurs paramtres ainsi qu'une confrontation avec des rsultats exprimentaux provenant d'une analyse modale ou d'expriences sur le comportement non-linaire. Une exprience pratique, permettant de questionner de manire reproductible les phnomnes non-linaires produits par les coques circulaires, consiste eectuer un forage harmonique de la coque [45, 94]. L'avantage est de pouvoir contrler les modes de vibrations en jeu et de pouvoir analyser le mouvement en rgime permanent. Lorsqu'on augmente progressivement l'amplitude de forage, la dynamique montre alors une succession de deux bifurcations [83]. La premire marque la n d'un rgime uni-modale et entame un rgime quasi-priodique ; la seconde aboutit un comportement chaotique. La simulation numrique par dirences nies de cette exprience constitue le deuxime objectif poursuivi pendant la thse et fait l'objet de la seconde partie du manuscrit.

8


La mthode envisage repose sur les rsultats obtenus en premire partie. C'est donc le systme d'quations modales dcrivant la dynamique de la plaque imparfaite qu'il est question d'intgrer. Un descriptif des rsultats exprimentaux et des dicults numriques inhrentes au systme et l'exprience que l'on veut reproduire est donn chapitre 6. Aprs avoir dress un panorama des schmas numriques classiques et de leurs principales proprits chapitre 7, nous nous penchons plus spciquement sur des schmas conservant certaines proprits spciques au systme Hamiltonien que l'on discrtise. Le chapitre 8 est ddi au rappel de quelques proprits utiles de tels systmes et l'laboration d'un schma aux dirences nies prservant l'nergie d'un oscillateur de Dung. Un ventail d'expriences numriques sur l'oscillateur de Dung, forage faible puis lev met en vidence des dirences notables entre les dynamiques simules. Ce rsultat original est comment chapitre 9. L'extension de la proprit de conservation un systme N degrs de libert coupls est ensuite dtaille puis teste chapitre 10. Les premiers rsultats sont tablis sur un forage impulsionnel, n'ayant eu la possibilit de pousser plus en avant l'tude numrique.

Premire partie

Eet des imperfections gomtriques sur les vibrations non-linaires de plaques circulaires minces

9

CHAPITRE

2IMPERFECTIONS GOMTRIQUES

Sommaire

2.1 2.2 2.3 2.4

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exprience sur une coque de laboratoire . . . . . . . . . . . . . . Comparaison au modle de coque sphrique mince . . . . . . . .2.3.1 2.3.2

11 11 14 1514 14

Autres exemples de la littrature . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comparaison sur les modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques lments de comparaison sur des coecients non-linaires

2.1 IntroductionCe chapitre propose de reprendre les principales observations dsignant les imperfections gomtriques comme un facteur essentiel intgrer dans les modles de vibration, d'abord sur l'exemple d'une coque de laboratoire puis travers quelques exemples tirs de la littrature.

2.2 Exprience sur une coque de laboratoireLes prcdents travaux l'Unit de Mcanique incluent une campagne exprimentale sur les vibrations de coques sphriques minces. cette n, une srie de coques sphriques de faible courbure a t spcialement usine. Les caractristiques gomtriques retenues couvrent un panel reprsentatif de congurations adaptables au modle de coque sphrique savoir, 3 courbures direntes et 2 paisseurs. Ces caractristiques sont rapportes en dtail dans le tableau 2.1. Elles incluent, pour chaque coque, le rayon de courbure stipul dans le cahier des charges Rth dirent de celui Ropt correspondant l'arc de cercle approchant de manire optimale les cotes d'un prol mesur au comparateur. Figurent galement dans le tableau leurs dnominations adoptes dans le reste du texte : coque peu courbe, coque paisse, coque de rfrence (celle sur laquelle on s'attardera dans nos comparaisons et nos dveloppements) et coque fortement courbe. Les rsultats exprimentaux livrs dans la suite de ce paragraphe proviennent de l'analyse modale exprimentale trs complte mene antrieurement et que l'on peut trouver dans [80] et [86]. Seuls les rsultats essentiels, et qui serviront pour la suite, sont prsents dans ce manuscrit. Les dirences maximales observes entre le prol mesur et le prol d'une coque sphrique de rayon de courbure optimis sont de 1.17 mm pour la coque 1, de 0.51 mm pour la coque 11

12

Chapitre 2. Imperfections gomtriques

Coque 1 15 Hauteur [mm] 10 5 0

Rth = 4505 mm Ropt = 4158 mm 0 50 100 150 Coque 2 200 250 300

Hauteur [mm]

30 20 10 0 Rth = 1515 mm Ropt = 1480 mm

0

50

100

150 Coque 3

200

250

300

Hauteur [mm]

30 20 10 0 Rth = 1515 mm Ropt = 1557 mm

0

50

100

150 Coque 4

200

250

300

Hauteur [mm]

40

20

Rth = 925 mm Ropt = 958 mm 0 50 100 150 Rayon [mm] 200 250 300

0

Figure 2.1 Prols des 4 coques de laboratoire prsentes. Rth est le rayon fourni par le constructeur et Ropt celui mesur grce arc de cercle passant au plus prs des points de mesure (o).

2.2. Exprience sur une coque de laboratoire

13

coque n 1 2 3 4Table 2.1

Dnomination coque peu courbe coque paisse coque de rfrence coque fortement courbe

h [mm] 1 1.5 1 1

a [mm] 300 300 300 300

Rth [mm] 4505 1515 1515 925

Ropt [mm] 4158 1480 1557 958

Dnominations et donnes gomtriques des coques du laboratoire.

50 45 40 35 Hauteur [mm] 30 25 20 15 10 5 0 coque fortement courbe coque peu courbe coque paisse coque de rfrence

0

50

100

150 200 Rayon extrieur [mm]

250

300

350

Figure 2.2 Prols des 4 coques de laboratoire ramens sur une mme chelle.

14


2, de 1.21 mm pour la coque 3 et de 1.91 mm pour la coque 4. Ces dirences, de l'ordre de l'paisseur, semblent petites compares aux autres dimensions gomtriques de la structure tudie. Cependant elles ont une inuence quantitative et qualitative sur la dynamique plus grande qu'on ne pourrait le souponner.

2.3 Comparaison au modle de coque sphrique minceLes rsultats prsents dans les paragraphes suivants concernent en particulier la coque de rfrence. Cet exemple rete les raisons qui nous ont motivs nous intresser l'eet des imperfections gomtriques sur la dynamique des plaques et coques sphriques.

2.3.1 Comparaison sur les modes propresDans le domaine linaire, lorsqu'on calcule les frquences propres thoriques des coques sphriques quivalentes aux coques de laboratoire grce au modle de coque sphrique dvelopp par O. Thomas [80, 85], et qu'on les compare aux frquences mesures, des erreurs importantes apparaissent. Le tableau 2.2 rassemble les frquences propres de quelques modes asymtriques et axisymtriques mesures sur la coque de rfrence et calcules grce au-dit modle. Si les frquences propres des modes asymtriques semblent tre correctement prdites, l'erreur sur les modes axisymtriques est parfois trs grande. Elle atteint 70% pour le mode (0,1) par exemple. On remarque par ailleurs la scission des frquences propres des modes asymtriques compagnons. La coque n'est en eet pas rellement symtrie de rvolution et les valeurs propres de multiplicit 2, issues du problme spatial, se trouvent spares en deux valeurs propres distinctes, ce que ne dcle pas le modle de coque sphrique dans lequel le problme spatial respecte la symtrie de rvolution. Nous reviendrons par la suite en dtail sur l'obtention des valeurs dimensionnes des frquences issues du modle thorique. Les rsultats sont ici brivement prsents pour conclure sur l'intrt d'un modle de plaque imparfaite. Toujours dans le domaine linaire, la gure 2.3 prsente les dformes mesures des modes (0,1) et (0,2) de la coque de rfrence en comparaison des dformes thoriques calcules partir du modle de coque sphrique. La dirence entre exprience et thorie y est notable. En eet, dans le cas des dformes mesures, l'amplitude de la dforme se concentre dans la rgion centrale de la coque, contrairement ce que prdit le modle thorique.

2.3.2 Quelques lments de comparaison sur des coecients non-linairesDans le domaine non-linaire, on choisit de ne prsenter pour le moment que quelques coecients non-linaires. Les eets non-linaires qui en dcoulent seront dtaills dans la partie suivante. Les dveloppements exprimentaux qui permettent de les dduire, dcris dans [86], seront galement rappels dans la partie suivante. Nanmoins, on peut noter ds prsent que les comportements non-linaires typiques observs tels que les comportements raidissants ou assouplissants, les changes d'nergie intermodaux, sont directement dduits des valeurs de ces coecients. Les zones de stabilit et de couplage des coordonnes modales y sont d'ailleurs extrmement sensibles. titre d'exemple le tableau 2.3 rapporte quelques coecients non-linaires mesurs et calculs partir du modle de coque sphrique. Sans rentrer dans les dtails, on peut noter un facteur multiplicatif entre les ordres de grandeur de l'exprience et de la thorie allant

2.4. Autres exemples de la littrature Mode Dforme exprimentale Dforme thorique

15

(0,1)

(0,2)

Dformes exprimentales des modes (0,1), (0,2) et calcules d'aprs le modle de coque sphrique mince.Figure 2.3

de 10 jusqu' 30.

M ode (2, 0) (3, 0) Fexp (Hz) 13.75 34 17.5 35.5 Fth (Hz) 11.02 26.37Table 2.2

(4, 0) (5, 0) (6, 0) (7, 0) (8, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4) 57.25 83 110 141 172.25 225 354 444.25 555.5 58.25 83.75 111 141.5 176 46.90 72.17 101.77 135.45 173.01 386.03 393.11 423.17 495.65

Valeurs exprimentales et thoriques des frquences propres de la coque de rfrence. Fexp sont les frquences mesures exprimentalement et Fth sont les frquences thoriques donnes par le modle de coque sphrique parfaite de [86] ; les frquences propres des modes compagnons sont direntes cause de la partie asymtrique de la gomtrie de la coque.

2.4 Autres exemples de la littratureEntre les annes 1960 et 1980, de nombreuses tudes exprimentales sur les coques minces ont dsign les dfauts de forme comme tant la cause des divergences entre prdiction partir d'une forme idale et mesures sur une structure invitablement imparfaite [20, 15, 16, 88]. En raison de leur importance dans le gnie civil ainsi que dans d'autres domaines de l'ingnierie, les coques cylindriques ont t tudies en priorit[42, 19, 22]. Les premires tudes s'astreignaient des chargements axisymtriques [42, 65]. Puis furent tudies les imperfections asymtriques [66]. Aujourd'hui, nous trouvons dans la littrature nombre de travaux sur l'eet des imperfections gomtriques sur les vibrations grande amplitude de ces coques, tant sur le plan exprimental que grce des modles thoriques. Nous en devons une bonne part Amabili [2, 6, 5]. Du fait de leur utilisation courante, les plaques rectangulaires ont galement retenu une grande atten-

16


.1 .2 .3 .4Table 2.3

Exprience 476 455 635 667

Thorie 19 057 19 057 8 766 8 766

Valeurs exprimentales et thoriques de quelques coecients non-linaires.

tion dans ce domaine. Ainsi, Hui et Leissa ont utilis un dveloppement de Galerkin tronqu au premier mode pour regarder l'eet d'un dfaut simple sur les frquences propres [38]. Les tudes sur les coques cylindriques et les plaques rectangulaires attestent de la grande inuence d'un dfaut de forme sur les modes propres. Les tudes exprimentales menes sur des structures relles montrent que de faibles dfauts, de l'ordre de l'paisseur conditionnent invitablement et drastiquement les dformes modales et les frquences propres associes [4, 3, 44] Dans le domaine non-linaire, Lin et Chen [46] puis Ostiguy et Sassi [59] montrent que la prsence d'imperfections gomtriques dans les plaques rectangulaires peut dtourner leur comportement classiquement raidissant vers un comportement assouplissant. Le cas de plaques circulaires minces fut quant lui moins tudi [24, 30, 77, 89]. Des rsultats sur la tendance de non-linarit ont d'abord t tablis par Hui mais avec l'hypothse trop restrictive d'une dynamique un seul degr de libert [37]. Yamaki poussa ensuite l'tude de la plaque encastre une dynamique dveloppe sur 3 modes en prenant en compte un dfaut axisymtrique [108, 109]. Finalement, Touz et Thomas dvelopprent les cas de la plaque circulaire mince bord libre puis de la coque sphrique mince bord libre [93, 97]. Un nombre susant de modes tait conserv dans la dynamique, permettant notamment de mieux prdire le comportement non-linaire de la structure. Le modle de coque sphrique mince n'inclut pas proprement parler de dfaut de forme. Cependant, comme nous le verrons par la suite, cette gomtrie peut tre vue comme une plaque circulaire mince comportant une imperfection de la forme d'une calotte sphrique. Les rsultats issus de ce modle montrent ainsi l'eet de la courbure sur les modes propres d'une part puis sur le calcul de la tendance de non-linarit et sur les changes d'nergie d'autre part. La tendance de non-linarit de certains modes devient assouplissante, ce partir de lgres courbures. La symtrie de la structure, brise cause de la courbure, permet des relations de couplages supplmentaires entre les modes, complexiant ainsi le spectre de rponse de la coque en rgime de vibrations grande amplitude.

CHAPITRE

3CIRCULAIRE MINCE IMPARFAITE

MODLISATION DE LA DYNAMIQUE D'UNE PLAQUE

Sommaire

3.1

quations non-linaires des plaques circulaires minces parfaitement planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 Hypothses . . . . . . . quations locales . . . Conditions aux limites Adimensionnement . . Projection modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1919 19 20 20 22

3.2

quations non-linaires des plaques circulaires minces imparfaites 23Dnition du dfaut de forme . . . . . . . . . . . . . . . . Ajout d'un dfaut dans les quations locales du cas parfait Projection modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalisation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . Discussion et introduction aux tudes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 24 26 32 33

17

18

Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite

Les principales grandeurs introduites dans ce chapitre sont rpertories dans le tableau suivant :

Notationa h E D F w(r, , t) w0 (r, ) ap qp (t) Xp (t) wmp Gp p p p p p pp rs

Signicationrayon extrieur paisseur masse volumique module d'Young coecient de Poisson rigidit en exion fonction de force paramtre de courbure du dfaut sphrique facteur d'adimensionnement des termes nonlinaires dplacement transverse imperfection gomtrique projection du dfaut sur le mode de plaque parfaite p coordonne modale dans la base des modes de plaque parfaite coordonne modale dans la base des modes de plaque imparfaite hauteur de l'imperfection forces extrieures projetes sur le mode p amortissement modal adimensionn pour le mode de plaque parfaite p amortissement modal adimensionn pour le mode de plaque imparfaite p pulsation propre adimensionne du mode de plaque parfaite p pulsation propre adimensionne du mode de plaque imparfaite p

Dnition 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1 Eq. (3.2) Eq. (3.6) Eq. (4.7) Eq. (3.10) 3.1 Eq. (3.27) Eq. (3.35) Eq. (3.23) Eq. (3.32) Fig. 4.11a Eq. (3.32) Eq. (3.29) Eq. (3.65) Eq. (3.23) Eq. (3.64) Eq. (3.19) Eq. (3.21) Eq. (3.32) Eq. (3.32) Eq. (3.65) Eq. (3.65) Eq. (3.33b) Eq. (3.35) Eq. (3.33a)

p

i`me e

mode propre transverse (plaque parfaite)

e pi`me mode propre de membrane (plaque parfaite)

coecient quadratique crit dans la base des modes propres de plaque parfaite coecient cubique crit dans la base des modes propres de plaque parfaite coecient quadratique crit dans la base des modes propres de plaque imparfaite coecient cubique crit dans la base des modes propres de plaque imparfaite nombre de modes propres membranaires retenus dans les quations modales nombre de modes propres transverses retenus lors de la projection du dfaut dimension du systme d'quations modales rgissant le mouvement

p rsqp grs

hp rsq NF N0 Nw

3.1. quations non-linaires des plaques circulaires minces parfaitement planes

19

3.1 quations non-linaires des plaques circulaires minces parfaitement planesNous considrons une plaque mince de diamtre 2a, d'paisseur h constitue d'un matriau homogne et isotrope de densit , de coecient de Poisson et de module d'Young E . Les quations du mouvement de plaques circulaires minces vibrant grande amplitude adoptes sont connues comme les analogues dynamiques des quations de von Krmn. Le dveloppement de ces quations peut tre trouv dans [79, 24, 98, 56]. On en rappelle nanmoins ici les principales articulations, an d'tablir un canevas d'quations dans lequel nous insrerons ensuite les dveloppements analytiques dcoulant de l'ajout de l'imperfection.

3.1.1 HypothsesLe modle est tabli sous les hypothses suivantes : 1. La plaque est mince : h/a 1; 2. Les hypothses cinmatiques de Kirchho-Love sont respectes : le cisaillement transverse est nglig et ainsi tout segment normal et droit avant dformation reste normal et droit aprs dformation ; 3. Les rotations sont faibles (sinus et cosinus des rotations de tout segment de la plaque sont linariss au premier ordre) ; 4. Le dplacement transverse w est de l'ordre de l'paisseur h ; 5. Le dplacement longitudinal est d'un ordre infrieur au dplacement transverse ; 6. Le comportement du matriau est lastique linaire ; 7. Les termes d'inertie longitudinale sont ngligs, ainsi que l'inertie de rotation.

3.1.2 quations localesLes quations dynamiques locales pour le dplacement transverse w, relatif au plan mdian de la plaque plane circulaire s'crivent, en un point de coordonnes polaires (r, ), r [0 a] et [0 2[ :

Dw + hw = L(w, F ) cw + p, Eh F = L(w, w), 2o D est la rigidit en exion :

(3.1a) (3.1b)

D=

Eh3 . 12(1 2 )

(3.2)

L'expression du Laplacien en coordonnes cylindriques est donne par :

1 1 () = (),rr + (),r + 2 (), r ret L est l'oprateur quadratique bilinaire :

(3.3)

L(w, F ) = w,rr

F, F,r + 2 r r

+ F,rr

w, w, w,r w,r + 2 2 2 r r r r

F, F,r 2 r r

.

(3.4)

c est le coecient d'amortissement et p la pression locale normale applique la plaque ; w et w, sont respectivement les drives secondes partielles de w par rapport au temps et aux

20


coordonnes spatiales. On note que l'oprateur L est symtrique, c'est dire que pour toute fonction f et g , dnie sur [0 a] [0 2[ et de classe L2 :

L(f, g) = L(g, f ).

(3.5)

La fonction de force F dcrivant les eorts de membrane (ou fonction d'Airy) est dnie par :

1 1 Nr = F,r + 2 F, , r r

N = F,rr ,

Nr = Nr =

1 1 F F,r , 2 , r r

(3.6)

o N , , {r, } sont les eorts de membrane par unit de surface en coordonnes polaires, issues des composantes du second tenseur lagrangien des contraintes de Piola-Kirchho , appel aussi tenseur des contraintes de Kirchho-Tretz :h/2

[Nr , Nr , N ] =

h/2

[r , r , ]dz.

(3.7)

L'Eq.(3.1b) provient de l'quation de compatibilit qui lie de manire non-linaire le dplacement transverse w et l'longation du plan mdian de la plaque et introduit ainsi la fonction de force F . C'est prcisment de ce couplage que natra le terme cubique puis, lors de l'introduction d'un dfaut, le terme quadratique.

3.1.3 Conditions aux limitesNotre tude se restreint au problme de vibration en bord libre. On impose ainsi aux eorts extrieurs d'tre nuls sur le bord de la plaque. Ainsi, pour tout t et [0; 2], il vient :

F et w sont borns 1 1 F,r + F, = 0, F,r + F, = 0, a a w,rr + w,r + 2 w, = 0, a a 1 1 2 3 w,rrr + w,rr 2 w,r + w,r w, = 0, a a a2 a3

en r = 0, en r = a, en r = a, en r = a.

(3.8a) (3.8b) (3.8c) (3.8d)

Ces conditions aux limites sont valables pour la coque sphrique bord libre ainsi que pour la plaque imparfaite bord libre.

3.1.4 AdimensionnementLes prcdentes tudes [84, 85] faisaient tat de plusieurs adimensionnements possibles. Le mouvement transverse pouvait tre adimensionn selon plusieurs facteurs, h, h2 /a, h3 /a2 . Le choix de cet adimensionnement tait bas sur l'ordre de grandeur des termes non-linaires adimensionns. En eet, lors de l'tude de la rduction du modle et plus particulirement lors de l'application de la mthode perturbative des chelles multiples, il semblait important d'obtenir des termes quadratiques et cubiques d'un ordre infrieur aux termes linaires. Cette hypothse n'a en fait gure d'importance dans l'application de la mthode [55, 56]. De fait l'adimensionnement le plus simple, en h, est donc adopt pour la suite :

w = hw.

(3.9)

3.1. quations non-linaires des plaques circulaires minces parfaitement planes La coordonne radiale est galement adimensionne, selon a :

21

r = aret les facteurs d'adimensionnement suivants sont introduits :

(3.10)

F = Fadim F ,

t = Tadim t,

p = padim p.

(3.11)

Selon les nouvelles variables r et F , les oprateurs linaires de drivation () et L(, ) deviennent :

() =et

1 () a2

(3.12)

L(w, F ) =

1 L(w, F ). a4

(3.13)

Les facteurs adimensionns peuvent tre alors dnis :

Fadim = Eh3 , = a4 c, Eh3

Tadim = padim

ha4 , D h4 E = 4 . a

=

Eh3 = 12(1 2 ), D

(3.14a) (3.14b)

Les quations (3.1) deviennent alors :

Dh h2 hFadim w + 2 w = L(w, F ) chw + padim p, 4 a a4 T0 Fadim Eh h2 F = L(w, w) . a4 2 a4

(3.15a) (3.15b)

En choisissant d'ter la notation () pour plus de clart, les quations du mouvement de la plaque parfaite s'crivent de manire adimensionne :

w + w = [L(w, F ) 2w + p], 1 F = L(w, w). 2Par ailleurs les conditions aux limites (3.8) s'crivent alors :

(3.16a) (3.16b)

F et w sont borns F,r + F, = 0, w,rrr + w,rr F,r + F, = 0, w,rr + w,r + w, = 0, 1 w,r + (2 )w,r (3 )w, = 0, a2

en r = 0, en r = 1, en r = 1, en r = 1.

(3.17a) (3.17b) (3.17c) (3.17d)

22


3.1.5 Projection modaleLa mthode la plus largement utilise pour rsoudre analytiquement les problmes de vibration est de discrtiser les quations locales du mouvement sur une base de fonctions (mthode de Galerkin). Une application pertinente de cette mthode consiste donc projeter les quations dynamiques sur la base forme par les modes propres du problme linaris associ [56, 47]. Le problme temporel est alors scind du problme spatial. Il en rsulte un systme constitu d'une innit d'quations direntielles du second ordre, non-linaires et couples permettant de rsoudre les volutions temporelles de chacune des coordonnes modales. Les problmes de plaque puis de coque ont t traits en dtail [79, 99, 85, 80]. Le problme spatial peut tre rsolu analytiquement dans les cas de gomtries simples et de conditions aux limites classiques, telles que la plaque rectangulaire simplement supporte, la plaque circulaire en condition de bord libre, appui simple, bord encastr, etc. Les dveloppements de ce paragraphe concernent les quations modales du mouvement de la plaque circulaire mince bord libre et sont issus de [99, 79]. On y trouve galement le dtail du calcul des modes propres, lui mme inspir des travaux de [48, 31]. Supposant que le dplacement transverse w(r, , t) peut tre crit comme le produit d'une fonction spatiale et d'une fonction temporelle et que le comportement non-linaire du mouvement est port par la partie temporelle, nous pouvons crire :

w(r, , t) =p=1

p (r, )qp (t)

(3.18)

o qp (t) est l'amplitude temporelle et o p (r, ) est le mode propre linaire solution du problme spatial associ 2 p p p = 0

(3.19)

et aux conditions limites (3.17a,c,d) . De la mme manire, le fonction de force F (r, , t) peut tre crite sous la forme :

F (r, , t) =s=1

s (r, )s (t)

(3.20)

o s est l'inconnu temporelle et o p (r, ) est choisie comme la solution de

(r, ) = 4 (r, )

avec ( rel)

(3.21)

et des conditions aux limites (3.17a-b). De fait, les fonctions s montrent la mme dpendance spatiale que les modes propres linaires d'une plaque circulaire encastre au bord. On introduit le produit scalaire :

< f |g >=S

f g dS

(3.22)

valable pour toutes fonctions f et g dnies en tout point du domaine (r, ) [0 1] [0 2]. Aprs avoir substitu (3.18) et (3.20) dans (3.16), et projet le rsultat par (3.22) sur le mode , nous obtenons les quations modales de la plaque parfaite (3.23).

3.2. quations non-linaires des plaques circulaires minces imparfaites 2 q (t) + q (t) = p=1 q=1 u=1

23

qp (t)qq (t)qu (t) 2 q (t) + Q (t) pqu

(3.23)

avec

Q =

S

p dS 2 dS

,

(3.24a)

S

2

=

S

dS 2 dS S

et

(3.24b)

S

upq

1 = 2

b=1

L(u , b )dS 4 b S 2 dS

S

b L(p , q )dS . 2 S b dS

(3.24c)

La simplicit des termes ci-dessus prsupposent bien entendu la proprit d'orthogonalit des modes propres transverses p et encastrs s . L'orthogonalit des modes propres de plaque bord libre par rapport au produit scalaire utilis est dmontre dans [79]. Le cas particulier des modes de solide rigide mritent cependant de s'y attarder. Ces modes de dplacements nonnuls mais auxquels aucune nergie n'est associe sont solutions du problme spatial. Ils font donc partie de la base des modes propres dynamiques du systme et leurs frquences propres correspondantes est 0. Dans le cas des plaques circulaires minces bord libre, les modes propres de vibrations s'crivent :

0n (r, ) = R0n (r) kn1 (r, ) cos k = Rkn (r) kn2 (r, ) sin k

pour k = 0, pour k > 0.

(3.25)

Comme la gomtrie du systme tudi est symtrie circulaire, les variables r et peuvent tre nouveau spares. Rkn (r) sont les composantes des dformes modales selon r. Ils sont solutions d'quations de Bessel ordinaires et modies non dtailles ici mais que l'on peut retrouver dans [53, 85, 79, 98]. On retrouve dans ces expressions les congurations prfrentielles des modes asymtriques kn,k=0 , l'une en cosinus et l'autre en sinus. Ce sont des modes propres dgnrs ; leurs valeurs propres possdent une multiplicit gale 2. On trouve parmi ces derniers le mode de solide rigide (0,0) (le mode piston-plan), et les modes de solide rigide (1,0,c) et (1,0,s) (correspondant aux deux rotations, radiale et orthoradiale selon l'axe = 0). Leurs expressions sont :

00 (r, ) = 1, (1,0,c) (r, ) cos () =r sin () (1,0,s) (r, )

(3.26a) (3.26b)

3.2 quations non-linaires des plaques circulaires minces imparfaites3.2.1 Dnition du dfaut de formeLa plaque imparfaite est vue comme une plaque parfaite dans laquelle est introduite une imperfection gomtrique, appele galement dfaut de forme. Ce dernier rend compte d'une

240.8 1 1 0.5 0 0.5 0.6


0.4

0.2 0.2 0 0.4 0.6 0.8 1

Position dynamique Position de la plaque au repos w

r ~ w wo

ar1

a

(a)Figure 3.1

(b)

Denition de l'imperfection gomtrique w0 . (a) Vue suprieure et coordonnes polaires. (b) Prol d'une coupe arbitraire.

position gomtrique de la plaque au repos dirente du plan mdian (gure 3.1). Notre but est d'insrer ce dfaut de forme dans les dveloppements analytiques rappels prcdemment. Pour ce faire, le dplacement transverse local de la structure imparfaite est dcompos selon une quantit uctuante et une composante statique non nulle :

w(r, , t) = w(r, , t) + w0 (r, ).

(3.27)

La modication de l'tat au repos de la structure impose une compensation statique des contraintes F et des forces appliques p :

F (r, , t) = F (r, , t) + F0 (r, ), p(r, , t) = p(r, , t) + p0 (r, ).

(3.28a) (3.28b)

Ces termes sont ajouts de manire articielle an de retrouver l'quilibre statique sous-jacent aux quations dynamiques (3.1) du cas parfait. En eet, nous voulons tudier ici l'eet d'un dfaut gomtrique initial, hors de toute prcontrainte ou de force applique. Ces termes permettent l'quilibrage statique des quations de mouvement alors modies. Il conviendra d'ailleurs par la suite de faire abstraction des termes issus de la contrainte ajoute pour ne s'intresser qu' l'eet de la composante gomtrique.

3.2.2 Ajout d'un dfaut dans les quations locales du cas parfaitEn substituant (3.28a) et (3.28b) dans (3.1), on obtient :

Dw + D w0 +hw = L(w, F ) + L(w0 , F ) + L(w, F0 ) + L(w0 , F0 ) cw + p + p0 ,T.C. T.P. T.C. T.C.

(3.29a) (3.29b)

F + F0 = T.C.

Eh [L(w, w) + 2L(w, w0 ) + L(w0 , w0 )] . 2T.C.

3.2. quations non-linaires des plaques circulaires minces imparfaites

25

quilibrage statique des nouvelles quationsL'quilibrage statique de (3.29) tablit :

Dw0 = L(w0 , F0 ) + p0 , Eh F0 = L(w0 , w0 ). 2

(3.30a) (3.30b)

Exemptes des termes constants (T.C.) et galement du terme non-linaire issu de la prcontrainte ajoute (T.P.), les quations non-linaires du mouvement (3.29) deviennent :

Dw + hw = L(w, F ) + L(w0 , F ) cw + p, Eh F = [L(w, w) + 2L(w, w0 )]. 2

(3.31a) (3.31b)

Discussion sur l'apparition des nouveaux termesL'inertie longitudinale tant nglige, la fonction de force F dpend du dplacement transverse selon {w} et {w}2 . En eet, l'oprateur L(, ) tant bilinaire, le terme L(w0 , F ) de (3.31a) cre un terme linaire et un terme quadratique en w. Ainsi, la premire partie du terme L(w0 , F ) de (3.31a) traduit le couplage linaire entre le mouvement transverse et l'tirement membranaire rsultant de la gomtrie non plane du dfaut (dpendance en w0 ). La seconde partie du terme L(w0 , F ) quant lui, ainsi que le terme L(w, F ) rendent compte du couplage non-linaire d aux grandes longations. Il comporte un terme quadratique issu la fois de L(w0 , F ) et de L(w, F ) et un terme cubique issu uniquement de L(w, F ), indpendant du dfaut w0 . Ce dernier est donc naturellement gal celui de la plaque plane circulaire sans dfaut. Par contre, le terme quadratique tait auparavant absent des quations non-linaires de plaque [98]. En eet, il a t montr dans [90, 107, 60, 77, 98] que les quations non-linaires rgissant la dynamique d'une structure symtrique prsentent des termes non-linaires seulement d'ordre impair. Les quations rgissant les mouvements d'une plaque plane ne prsentent d'ailleurs qu'un terme cubique alors que celles rgissant les mouvements d'une coque prsentent la fois un terme cubique et quadratique. Ici, le dfaut fait perdre la plaque sa proprit de symtrie, d'o le terme quadratique supplmentaire, rsultats galement retrouvs dans [60, 62, 83].

Conditions aux limites et adimensionnementLes conditions aux limites de la plaque imparfaite bord libre sont les mmes que celles de la plaque parfaite bord libre [98] de mme que celles de la coque sphrique mince [80, 85]. Elles proviennent de l'absence de toute force externe sur le bord. Elles sont dcrites par les quations (3.8). De mme que pour le cas de la plaque parfaite, on choisit d'adimensionner le mouvement transverse w et par consquent le dfaut w0 par l'paisseur h de la plaque. Les facteurs d'adimensionnement (3.14) sont donc conservs. En omettant la notation (), les quations non-linaires rgissant le mouvement transverse de la plaque avec dfaut deviennent :

26


w + w = [L(w, F ) + L(w0 , F ) 2w + p], 1 F = [L(w, w) + 2L(w, w0 )]. 2

(3.32a) (3.32b)

3.2.3 Projection modaleAn de pousser au plus loin les dveloppements analytiques, on se propose maintenant de projeter le dfaut de forme sur les modes propres transverses de vibration de la structure parfaite dans laquelle il est introduit. Cette opration est rendue possible grce aux proprits de base des modes propres et est facilite par la proprit d'orthogonalit. Comme soulign dans le paragraphe 3.1.5, il est important de noter ici que les modes de solide rigide font partie de la base des modes propres dynamiques de la structure parfaite. Lors de la projection du dfaut de forme, la composante piston-plan traduit ainsi la position du centre de masse de la structure non parfaite. L'objectif de ce paragraphe est d'crire le systme d'quations aux drives ordinaires nonlinaires et couples de la structure imparfaite, de manire similaire aux quations (3.23). L'criture numrique du systme de dimension innie passe de manire vidente par une troncature, que l'on eectue sur les modes transverses et membranaires :Nw

w(t, r, ) =p=1 NF

qp (t)p (r, ),

(3.33a) (3.33b)

F (t, r, ) =p=1

p (t)p (r, ).

Nous faisons en outre l'hypothse que les fonctions (i )iN et (i )iN sont normalises selon le produit scalaire (3.22), si bien que pour tout p N ,

S

2 dS = 1 , p

S

2 dS = 1. p

(3.34)

Projection du dfaut sur les modes propres dynamiquesLe dfaut est discrtis sur la base tronque N0 des modes propres transverses de la plaque parfaite :N0

w0 =p=1

ap p (r, ).

(3.35)

D'aprs la proprit d'orthogonalit des modes propres, les amplitudes ap des projets du dfaut sur les modes se dduisent par :

ap =

S

w0 p dS.

(3.36)


27

Projection du dfaut sur les modes de solide rigideDans le cas particulier des modes de solide rigide voqus prcdemment, (0,0) (3.26a), (1,0,c) et (1,0,s) (3.26b) qui une fois normaliss deviennent :

1 (0,0) = et 2 (1,0,c) cos = r , (1,0,s) sin

(3.37a) (3.37b)

les projets modaux associs renseignent d'une part sur la position du centre de masse zg et d'autre part sur les composantes angulaires t et r du plan mdian de la structure imparfaite, ainsi :

zg = a00 =

S

w0 (0,0) dS ,avec

(3.38a)

t a = arctan 10c r a10s

a10c = a10s

S

w0

(1,0,c) dS . (1,0,s)

(3.38b)

criture des nouvelles quations modalesEn injectant les quations de projection (3.35), (3.33b) et (3.33a) dans les quations compltes du mouvement (3.32), on obtient :Nw Nw Nw Nw Nw Nw

qs s +p=1 p=1

s = qs

qp qq L(p , q ) +p=1 q=1 Nw NF p=1 q=1 Nw

ap qq L(p , q ) q s s + p , ap qq L(p , q ) .p=1 q=1

(3.39a)

+p=1 q=1 NF

qp q L(p , q ) 2s=1

s s = s=1

1 2

Nw Nw

Nw Nw

qp qq L(p , q ) + 2p=1 q=1

(3.39b)

Les quations (3.39) projetes sur les modes propres fournissent les quations modales de la plaque comportant l'imperfection :

+ 2 qu = qu u 1 q = 4 2qavec Qu =S Nw Nw r=1 s=1

Nw NF p=1 q=1 S

u L(p , q )dS qp q + ap q 2u q u + Qu ,Nw Nw r=1 s=1 S

(3.40a) (3.40b)

1 q L(r , s )qr qs dS 4 q S

q L(r , s )ar qs dS,

p.u dS et u l'amortissement modal associ au mode u.

Pour visualiser plus aisment l'origine des termes quadratique et cubique issus du dfaut de forme, on reprend le systme d'quations (3.32) en dressant un parallle entre chacun des termes

28 dsigns par :


w + w = [L(w, F ) + L(w0 , F ) 2w +terme 1 terme 2 terme 3

p

],(3.41)

terme 4

1 F = [L(w, w) + 2L(w, w0 )] 2et leur projets :Nw NF Nw Nw

< L(w, F ) |u >terme 1

= p=1 q=1 r=1 s=1 Nw Nw Nw Nw

1 4 2q 1 4 q 1 4 2q 1 4 q

S

u L(p , q )

S

q L(r , s )dS.qp qr qs

p=1 q=1 r=1 s=1 Nw NF Nw Nw

S

u L(p , q )

S

q L(r , s )dS ar qp qs ,

< L(w0 , F ) |u > = terme 2 p=1 q=1 r=1 s=1 Nw NF Nw Nw

S

u L(p , q )

S

q L(r , s )dS ap qr qs

p=1 q=1 r=1 s=1

S

u L(p , q )

S

q L(r , s )dS ap ar qs ,

< 2w |u >terme 3

= 2q u , = Qu =S

pu dS .(3.42)

Ces dveloppements corroborent les prvisions nonces puisque l'on retrouve bien ici que le terme linaire provient de L(w0 , F ), que le terme quadratique provient la fois de L(w0 , F ) et de L(w, F ) et que le terme cubique provenant de L(w, F ) n'a aucune dpendance en w0 . On retrouve d'ailleurs ici l'expression du coecient cubique des quations modales de la plaque mince circulaire sans dfaut introduite quation (3.24c). En substituant l'expression de la variable membranaire (3.40a) dans (3.40b) et en utilisant l'expression du coecient cubique de plaque (3.24c), les quations modales peuvent ensuite grandement se simplier.

Expressions analytiques des nouveaux coecientsAinsi, en ajustant les indices de sommation de chaque quadruple somme dans les termes ci-dessus Eq.(3.42), on dduit l'quation suivante :Nw Nw Nw p=1 r=1 s=1

+ 2 qu = qu u

u qp qr qs + 2qp ar qs + ap qr qs + 2ap ar qs 2u q u + Qu . rsp

(3.43)

Nous pouvons ainsi regrouper termes linaires, quadratiques et cubiques pour former les u u nouveaux coecients linaires et quadratiques p et pr :


29

+ 2 qu = qu uavec

Nw u p qp + p=1

Nw Nw u pr qp qr + p=1 r=1

Nw Nw Nw p=1 r=1 s=1

u qp qr qs 2u q u + Qu rsp

(3.44)

Nw Nw u p = r=1 s=1 Nw u pr = s=1

2u ar as , rps

(3.45)

(u + 2u )as . rps srp

(3.46)

Ces quations constituent un rsultat important des travaux prsents. Nous obtenons en eet des expressions analytiques simples (3.45, 3.46) pour dcrire les nouveaux coecients modaux contrlant la dynamique du nouveau systme et ce pour toute structure circulaire imparfaite, sans restriction de symtrie. Les nouveaux coecients linaires et quadratiques s'crivent uniquement en fonction des coecients cubiques issus du cas parfait et des projets modaux du dfaut de forme. Les coecients cubiques de la structure modie ne subissent quant eux pas d'altration. Ces formes simples, drives des expressions analytiques, faciliteront grandement l'tude des modes propres dans un premier temps puis dans un second temps l'tude du comportement non-linaire des coques imparfaites.

Inuence d'un dcalage angulaire du dfautLa base utilise pour la projection du dfaut ncessite de dnir une origine pour la coordonne . Dans le cas d'une plaque circulaire parfaite ou bien mme dans celui d'une structure symtrie de rvolution telle que la coque sphrique, il ne se pose pas l de problme particulier. Dans le cas d'un dfaut quelconque par contre, il devient intressant de regarder comment la position angulaire du dfaut inuence sa projection sur une base modale tronque. On considre ici les modes {p }p[1 N0 ] sous leur formulation en variables spares selon r et (Eq. (3.25)). On peut donc dtailler la projection (3.35) de w0 en introduisant les coordonnes aknc et akns des congurations en cosinus et en sinus du mode dcrit par k diamtres nodaux et n cercles nodaux. Les modes axisymtriques peuvent galement tre pris en compte dans cette notation en considrant qu'ils sont dcrits pour k = 0. Les composantes radiales des modes axisymtriques s'criront donc a0nc . Ainsi pour tout k [0 Nk ] et tout n [0 Nn ], avec (Nk + 1) (Nn + 1) = N0 , on a :

aknc = akns =On peut ainsi crire :Nk Nn

S

w0 Rkn (r)cos(k)dS , w0 Rkn (r)sin(k)dS .

S

w0 =

Rkn (r)(aknc cos(k) + akns sin(k)) .k=0n=0

(3.48)

30


Et on dnit par ailleurs akn et kn :

akn = knce qui nous permet d'crire :Nk Nn

a2 + a2 , knc kns akns , = atan aknc

w0 =

Rkn (r)akn cos(k kn ) .k=0n=0

(3.50)

On considre maintenant le mme dfaut dcal de 0 :

w0 (r, 0 ) = w0 (r, )

(3.51)

On introduit la variable = + 0 puis on procde aux mmes dveloppements. On pose cette fois :Nk Nn

w0 =et

Rkn (r)akn cos(k kn )k=0n=1

(3.52)

aknc = akns =

S

w0 Rkn cos(k)dS = w0 Rkn sin(k)dS =

S

w0 (r, )Rkn cos(k k0 )dS , w0 (r, )Rkn sin(k k0 )dS .

(3.53a) (3.53b)

S

S

Les relations fondamentales de la trigonomtrie, ainsi qu'un changement de variable = 0 sous les intgrales des quations (3.53), nous permettent d'crire :

aknc = aknc cos(k0 ) + akns sin(k0 ) akns = akns cos(k0 ) aknc sin(k0 )On cherche dduire les grandeurs similaires au premier dfaut et il vient en dveloppant :

akn =De mme,

2 2 aknc + akns =

a2 + a2 . knc kns

(3.55)

a akns aknc tan(k0 ) tan(kn ) = kns = = tan k0 atan akns aknc 1 + aknc tan(k0 ) akncce qui nous permet de dduire kn :

akns

,

kn = kn k0 .

(3.56)

3.2. quations non-linaires des plaques circulaires minces imparfaites Finalement, l'quation (3.52) devient grce Eq. (3.55) et Eq. (3.56) :Nk Nn

31

w0 (r, ) = w0 (r, ) =

Rkn (r)akn cos(k( + 0 ) + kn ).k=0n=1

(3.57)

Cette dernire quation est comparer (3.50). L'eet d'un dcalage en 0 sur le dfaut n'intervient pas sur le module akn . L'eet sur la composante asymtrique est un dcalage uniforme en 0 pour tout couple (k, n) de [1 Nk ] [1 Nn ]. En prenant ce rsultat en compte travers les dveloppements des deux paragraphes prcdents, il apparat que tant que la troncature Nw conserve les deux congurations en cosinus et en sinus pour chaque mode asymtrique pris en compte, les coecients linaires et non-linaires seront les mmes quelque soit le dcalage 0 . On n'a donc pas a priori 4 se soucier de la position angulaire de la gomtrie que l'on veut discrtiser, mme sur un nombre rduit de modes. Cette conclusion a par ailleurs t vrie numriquement sur des dfauts arbitraires introduits dans le modle et dont on faisait varier le dcalage angulaire. Les rsultats en terme de modes propres et coecients non-linaires, en sortie de modle, taient rigoureusement identiques.

Proprit de symtrie des coecients non-linairesDans ce paragraphe, sont mises en lumire d'importantes relations de symtrie, utiles la fois pour la rduction des oprations numriques et galement pour les dveloppements des calculs de la seconde partie de la monographie. La proprit de symtrie (3.5) de l'oprateur bilinaire L dnit par (3.13) nous permet d'crire (les termes commutants sont crits en gras pour une meilleure lisibilit) :

k = k . pij pji

(3.58)

De plus, d'aprs les travaux d'O. Thomas [81], l'oprateur L crit pour une plaque plane de forme arbitraire vrie sous certaines conditions aux limites 5 , dont celle de bords libres, la relation de symtrie suivante :

S

k L(p , s )dS =

S

L(k , p )s dS.

(3.59)

Il vient ainsi les relations de symtrie suivantes :

k = p pij kij k = i . pij jkp

et

(3.60a) (3.60b)

Les coecients k respectent donc trois symtries distinctes. Grce ces relations, nous pouvons pij k dduire une proprit de symtrie sur les coecients i dnis par (3.45). En eet :4. Cette assertion concerne en eet le domaine continu. Lors d'une projection numrique, il faut prendre garde au placement du maillage en regard des ventuels dfauts localiss sur la gomtrie tudie. 5. Les hypothses que doivent vrier ces conditions aux limites sont dtailles dans l'article en question.

32


Nw Nw k i = p=1 j=1

2k ap aj pij Nw Nw

relation de symtrie (3.60b)

k i = p=1 j=1

2i ap aj jkp Nw Nw

permutation des sommes

k i = j=1 p=1

2i aj ap pkj

La relation de symtrie respecte par les coecients est donc :k i i = k

(3.61)

k Une relation particulire peut galement tre tablie sur les coecients pp . En utilisant les relations de symtrie prcdentes, on peut montrer que : p p k 2pp = pk + kp .

(3.62)

3.2.4 Diagonalisation du problmeAn de pouvoir tudier l'inuence du dfaut de forme sur les caractristiques linaires et non-linaires de la plaque imparfaite, il nous faut crire les quations modales obtenues dans la nouvelle base des vecteurs propres de la structure dforme. Soit A la matrice de la partie linaire de (3.44) :u 2 A = {p + u up }u,p[1 Nw ] .

(3.63)

j La relation de symtrie sur les coecients p nous permet de montrer que la matrice A est symtrique, proprit gnralement retrouve dans les systmes mcaniques. La diagonalisation de A permet de calculer numriquement les pulsations propres p et les dformes modales de la plaque avec dfaut selon la formule :

{u up }u,p[1

Nw ]

= P1 AP,

(3.64)

o P est la matrice des vecteurs propres. En appliquant le changement de coordonnes q = PX avec q = (qi )i[1 Nw ] et X = (Xi )i[1 Nw ] , il vient :

Xu + 2 Xu = u

Nw Nw u gpr Xp Xr p=1 r=1

Nw Nw Nw

+p=1 r=1 s=1

hu Xp Xr Xs 2u Xu + Gu , rsp

(3.65)

o Xu est la coordonne modale, associe aux modes propres de la plaque imparfaite. u , Gu u sont respectivement l'amortissement et le forage modal crits dans la nouvelle base. gpr et hu rsp sont les nouveaux coecients non-linaires quadratiques et cubiques. Ils s'crivent en fonction 1 des termes Pij et Pij des matrices P et P1 :


33

Nw u gpr = i,j,k=1 Nw 1 i jk Pui Pjp Pkr ,

(3.66a) (3.66b)

hu = rspi,j,k,n=1

1 i Pui Pjr Pks Pnp . jkn

3.2.5 Discussion et introduction aux tudes de convergenceDans le cas parfait comme dans le cas imparfait, il n'existe pas de solution exacte au problme non-linaire de vibration de plaque. Dans le cas de la plaque parfaite, les dveloppements ont t pousss jusqu' obtenir une formulation analytique de la solution du problme spatial, dcoupl du problme temporel. Les modes propres sont alors dduits analytiquement. Cet avantage non-ngligeable en terme de cot de calcul tient la simplicit de la gomtrie et des conditions limites tudies. Dans le cas de gomtries plus complexes, il est d'usage d'avoir recours des techniques numriques, telles que les lments nis. La mthode prsente a pour avantage de permettre le dveloppement analytique des coecients linaires et non-linaires partir du cas parfait. Le calcul des modes propres de la structure imparfaite impose toutefois de passer par une tape de diagonalisation du problme qui exige de tronquer le systme d'quations aux drives ordinaires non-linaires et couples. Les direntes troncatures appliques concernent : la projection de l'imperfection sur les N0 modes propres dynamiques de la plaque parfaite, la discrtisation des quations locales du mouvement de la plaque imparfaite sur les Nw modes transverses et sur les NF modes de membrane. La troncature sur les modes de membranes ne fait pas l'objet d'une tude de convergence particulire. Il a t montr au cours des prcdents travaux, et vri au cours de cette thse, qu'une troncature 12 modes de membrane permettait de garantir une prcision sur les coefcients non-linaires cubiques de 4 chires signicatifs. En revanche, les paramtres N0 et Nw , intimement lis la prcision de la reconstruction du dfaut grce la base de modes propres et la prcision du rsultat de la diagonalisation sont laisss libres. Ils seront l'objet d'une attention particulire dans les deux prochains chapitres dans lesquels des dfauts de forme typiques puis correspondant des coques relles sont tudis.

34


CHAPITRE

4APPLICATION QUELQUES DFAUTS DE FORME

Sommaire

4.1 4.2 4.3 4.4

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul de la tendance de non-linarit . . . . . . . . . . . . . . . Cas d'un dfaut de forme sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1 4.3.2 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5.1 4.5.2

35 36 38 4646 46 52 53 59 38 40

Cas de dfauts axisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comparaison thorique avec le modle de coque sphrique mince . Comparaisons des rsultats entre dirents modles analytiques . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (0,2) . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (2,0) . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (3,0) . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 4.6

Cas de dfauts asymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion sur les cas d'imperfections de formes donnes . . . .

53 61

4.1 IntroductionDans ce chapitre, le modle de coque imparfaite est confront deux autres, l'un aux dveloppements analytiques pousss ddi aux coques sphriques minces et l'autre utilisant les lments nis. Dans le domaine linaire, une comparaison systmatique est mene sur les modes propres. Dans le domaine non-linaire, lorsque le modle comparer nous le permet, nous confrontons, terme terme, des coecients quadratiques et cubiques (les rsultats de ces travaux peuvent galement tre trouvs dans [12, 13]). Nous regardons galement la tendance de non-linarit pour quelques modes, an de mettre en vidence un eet global impliquant un grand nombre de coecients (ces travaux sont galement reports dans [96, 92]). Cette quantit, ainsi que le moyen de la calculer (grce au formalisme des modes non-linaires) sont dnis section 4.2. Le modle de coque sphrique mince est compar au modle de coque imparfaite au sein duquel l'imperfection introduite est une calotte sphrique. On regarde en dtail les dirences analytiques ventuelles et leurs eets sur les rsultats. Ces premires validations sont reportes section 4.3.1. Ensuite, les cas d'imperfections de formes donnes sont documents sections 4.4 et 4.5. Le modle par lments nis vient conforter ces rsultats dans le domaine linaire. 35

36

Chapitre 4. Application quelques dfauts de forme

Enn, les gomtries compltes des coques de laboratoire (prsentes au chapitre 2 de ce manuscrit) sont implmentes dans le nouveau modle. Dans le cas de la coque de rfrence, une exprience, dtaille dans le chapitre appropri, a permis de dgager quelques coecients nonlinaires. Nous pouvons donc comparer les prdictions des modles thoriques au comportement non-linaire de la coque. Dans tous les cas d'tude qui suivent, la convergence sur les troncatures N0 et Nw est regarde ; les rsultats importants sont comments.

4.2 Calcul de la tendance de non-linaritDans cette section sont livrs les lments thoriques des calculs de tendance de non-linarit eectus pour les dfauts typiques de la forme du mode (0,1) et du mode (2,0) et dont les rsultats gurent sections 4.4.2 et 4.5.1. la dirence des oscillateurs linaires, un des comportements typiques des oscillateurs nonlinaires est la dpendance de la frquence avec l'amplitude de vibration. La tendance de nonlinarit dnit ce comportement, qui peut tre raidissant (la frquence crot quand l'amplitude de vibration crot) ou bien assouplissant (la frquence dcrot quand l'amplitude crot). Une abondante littrature est consacre la prdiction de cette tendance de non-linarit pour les structures continues et spcialement dans le cas de structures comportant une courbure telles que les arches et les coques pour lesquelles les quations comportent un terme quadratique, rendant le calcul plus compliqu. En eet, il est avr thoriquement et exprimentalement que les structures planes prsentent des tendances de non-linarit raidissantes [88, 107, 60, 77, 98, 84]. La prsence d'un terme quadratique peut modier le comportement raidissant en comportement assouplissant. La rduction du systme d'quations direntielles ordinaires (EDOs) couples non-linairement, un seul degr de libert reprsent par un mode linaire est trop restrictive et fournit des rsultats errons, comme l'attestent [57, 100]. Pour prdire correctement le type de non-linarit, il faut soit conserver un grand nombre de modes linaires, soit utiliser le formalisme des modes nonlinaires an de rduire le systme dynamique un degr de libert. Cette mthode a notamment t applique avec succs dans le cas de la coque sphrique mince [97] pour lequel la tendance de non-linarit et l'eet des rsonances internes peuvent tre correctement prdits avec un seul mode non-linaire au lieu d'une dizaine de modes linaires. La dmarche consiste appliquer aux quations modales crites dans la base Xp un changement de coordonnes non-linaires an d'crire la dynamique dans une base de coordonnes normales Rp dcrivant le mouvement dans une varit invariante de l'espace des phases. Le changement de coordonnes est calcul selon les thormes de Poincar et Poincar-Dulac, en liminant successivement les termes de couplage superus dans les quations des oscillateurs non-linaires. Le changement de coordonnes peut tre ainsi crit :

4.2. Calcul de la tendance de non-linarit

37

N

N

Xp = Rp +i=1 j1 N N

(ap Ri Rj ijN

+

bp Si Sj ) ij

N

N

+i=1 j=1

cp Ri Rj + ij

p (rijk Ri Rj Rk + sp Si Sj Sk )+ ijk

i=1 j1 k1 N N N

(tp Si Rj Rk + up Ri Sj Sk ), ijk ijk + p Si Sj ) ijN N

(4.1a)p ij Ri Rj +

i=1 j=1 k1 N N

Yp = Sp +i=1 j1 N N

p (ij Ri Rj N

+i=1 j=1

(i=1 j1 k1 N N N

p ijk Ri Rj Rk

+ p Si Sj Sk )+ ijk(4.1b)

p (op Si Rj Rk + ijk Ri Sj Sk ). ijk

i=1 j=1 k1

Une approximation au troisime ordre est applique au changement de coordonnes. Les p expressions analytiques des coecients ci-dessus, savoir {ap , bp , cp , rij , sp , tp , up } et {p , ij ij ij ij ij ij ij p p p ij , ij , p , p , ij , op } ne sont pas dtailles dans ce paragraphe mais peuvent tre trouves ij ij ij dans [100] et [95]. Une fois le changement de coordonnes eectu, des troncatures adquates peuvent tre opres. En l'occurrence, en ne conservant qu'un seul mode normal non-linaire Rp , on peut correctement prdire le type de non-linarit du pime mode. Ainsi rduite un seul mode non-linaire, la dynamique s'crit :2 3 p p 2 2 Rp + p Rp + 2p p Rp + (hp + Ap )Rp + Bppp Rp Rp + Cppp Rp Rp = 0, ppp ppp

(4.2)

p p o Ap , Bppp et Cppp sont les nouveaux coecients issus du changement de coordonnes. Leurs ppp i expressions font seulement intervenir les coecients quadratiques gij et quelques coecients du changement de coordonnes, {ap , bp , cp } : ij ij ij N

Ap pppp Bppp

=li N

p gpl al + pp li p gpl bl + pp li p gpl cl + pp li

p glp al , pp

(4.3a) (4.3b) (4.3c)

=li N

p glp bl , pp

p Cppp

=li

p glp cl . pp

A partir du dveloppement asymptotique au troisime ordre de la dynamique tronque un mode non-linaire (4.2), on peut correctement prdire la tendance de non-linarit du mode tudi. Un dveloppement perturbatif au 1er ordre permer d'exprimer la dpendance de la pulsation non-linaire d'oscillation N L en fonction de l'amplitude de vibration a :

38

Chapitre 4. Application quelques dfauts de forme

N L = p (1 + Tp a2 ),

(4.4)

o p est la pulsation propre de l'oscillateur p. Tp est le coecient traduisant le type de nonlinarit, son expression est (voir [95]) :

Tp =

1 2 p [3(Ap + hp ) + p Bppp ]. ppp ppp 2 8p

(4.5)

Lorsque Tp est positif, le comportement est raidissant ; il est assouplissant lorsque Tp est ngatif. Des rsultats de calculs de tendance de non-linarit sont donns dans les chapitres prochains, dans les cas particuliers de dfauts typiques. Sont montres en particulier les volutions de ces tendances en fonction de l'amplitude de l'imperfection contenue dans la plaque.

4.3 Cas d'un dfaut de forme sphrique4.3.1 Comparaison thorique avec le modle de coque sphrique mincequations du modle de coque sphriquew0

h R H r a

Figure 4.1

Caractristiques gomtriques d'une plaque comportant un dfaut sphrique.

An de valider la mthode d'introduction d'un dfaut de forme dans les quations de mouvement de la plaque circulaire, nous nous appliquons retrouver les termes du modle de vibration de coque sphrique mince de [85] partir du modle de plaque plane circulaire dans lequel est introduit une imperfection de forme sphrique, telle que prsente gure 4.1. Les quations non-linaires de vibrations de coques sphriques peu profondes donnes par [85] sont les suivantes :

1 F + hw = L(w, F ) cw + p, R Eh Eh F w = L(w, w). R 2 Dw +

(4.6a) (4.6b)

Les conditions aux limites restent les mmes que pour la plaque plane circulaire (cf. Eqs (3.8)). On adopte le mme adimensionnement que pour la plaque circulaire mince, (3.9), et les facteurs

4.3. Cas d'un dfaut de forme sphrique

39

d'adimensionnement (3.10, 3.11) restent valables. Il convient en outre d'ajouter le paramtre adimensionn : a4 = 12(1 2 ) 2 2 . (4.7) R h Dans le cas des coques sphriques, est le seul paramtre gomtrique libre car il permet de caractriser entirement la gomtrie courbe. Les quations (4.6) s'crivent de manire adimensionnes :

w +

Rh a2 F +w = L(w, F ) + [2 w + p] , a2 Rhterme coque a2

(4.8a)

F

1 w = L(w, w), Rh 2

(4.8b)

terme coque

o la mention terme coque dsigne les termes supplmentaires par rapport aux quations de plaque mince circulaire parfaite.

Gomtrie du dfautOn se propose maintenant de comparer les termes coques aux termes supplmentaires issus de l'introduction d'un dfaut sphrique dans les quations de mouvement de plaque mince circulaire. Il sut pour cela d'expliciter les termes des quations (3.32a) et (3.32b) o apparat le dfaut w0 . tablissons tout d'abord la gomtrie du dfaut sphrique. En posant H la hauteur du dfaut et R son rayon de courbure (voir gure 4.1), un dfaut sphrique peut s'crire de manire adimensionne :

w0 (r) =avec

1 h

R 2 a2 r 2 + H R , R 2 a2 .

(4.9) (4.10)

H =R

Dveloppement de Taylor de quelques termesr La condition de petite courbure ( R/a Nw ou bien ajouter des coecients ap supplmentaires lorsque N0 < Nw .

10.2 Construction du schma conservatif appliqu la dynamique des plaques imparfaitesNotre but est ici de trouver une quantit discrte consistante l'nergie totale continue dveloppe ci-dessus. De la mme manire que dans le cas une dimension, c'est le placement judicieux des oprateurs de moyennage t , t et de l'oprateur de dcalage et qui nous permet ce tour de main. Plusieurs tentatives de discrtisation des quations (10.6) ont t ncessaires avant l'obtention d'une criture discrte adquate des quations de mouvement. Nous ne dcrivons pas ici ces tentatives infructueuses. Nous dtaillons plutt le calcul permettant d'obtenir l'nergie discrte partir de la formulation propose. Le schma que nous adoptons par la suite est implicite et multi-pas. Par ailleurs, pour allger l'criture des quations suivantes, la notation ( est omise. ) Un schma aux dirences nies correspondant aux quations (10.14) peut tre crit :Nw NF

tt qu +

2 u qu

=p=1 q=1

Gu qp t q + ap t q pqNw Nw q Hrs qr et qs + qs et qr + 4ar t qs r=1 s=1

(10.15a) (10.15b)

1 t q = 4 4q

En multipliant l'quation (10.15a) par t qu et en sommant sur u, on obtient, de mme que dans le cas plaque :Nw Nw NF

t+ Hlin = u=1 p=1 q=1

Gu t qu (qp + ap )t q pqHlin =

(10.16a) (10.16b)

avec

1 2

Nw 2 2 (t qu )2 + u t q . u=1

10.3. Implmentation

131

Ainsi, en suivant les dveloppements du cas continu et en se servant de la proprit de symtrie de G (donnes par les quations (10.11a,10.11b), on peut crire :Hlin =

2

NF

Nw Nw

t qq=1 p=1 u=1

Gu t qu qp + t qp qu + 2t qu ap . pq

(10.17)

Ensuite, d'aprs (7.12, 7.11),Hlin

= 4

t qq=1 p=1 u=1

t+ Gu qu et qp + qp et qu + 4ap t qu . pq

(10.18)

En utilisant l'quation (10.15a) et en identiant l'expression obtenue ((10.15b)) puis aux identits remarquables (7.11-7.13), on crit :NF Nw 4 q t q t+ t q q=1

Hlin =

= q=1

4 q t q t q

= 2

Nw 4 2 q t+ t q . q=1

(10.19)

Et nalement, on peut crire la conservation de la quantit discrte H :

t+ H = 0 avec H =

1 2

Nw 2 2 (t qu )2 + u t q + u=1

NF 4 2 q t q . q=1

(10.20)

Nous vrions que la quantit H est bien consistante l'nergie H du systme continu. Nous pouNw

vons d'ailleurs en dtailler les parties discrtes correspondant l'nergie cintiqueNw

1 2 u=1 NF

(t qu )2 ,4 2 q t q .

l'nergie potentielle linaire

1 2 u=1

2 2 u t q et l'nergie potentielle non-linaire

1 2 q=1

En notant H0 la quantit d'nergie injecte au systme initialement. On peut tablir que 2H0 2H0 u |qu | et |qu | , u u ce qui garantit la stabilit du schma tout pas de temps.

10.3 ImplmentationBien que le schma propos soit implicite, la dpendance au vecteur yn+1 peut tre crite de manire linaire. On montre dans cette partie les calculs qui aboutissent l'criture matricielle du problme de rsolution du pas n+1. crit explicitement, le systme (10.15) devient :

1 n+1 2 n+1 n n1 n1 qu 2qu + qu + u qu + qu = 2 k 2 2 1 n+1 1 n q + q = 4 2 4qNw Nw

Nw NF n n+1 n1 Gu qp + ap q + q pq p=1 q=1

(10.21a) (10.21b)

q n+1 n n+1 n n+1 n Hrs qr qs + qs qr + 2ar qs + qs r=1 s=1

.

132

Chapitre 10. Application au systme N degrs de libert

En se servant de la relation de symtrie (10.11a), on peut remarquer que :Nw Nw q n+1 n Hrs (qr qs r=1 s=1 Nw Nw

+

n n+1 qr qs )

=2r=1 s=1

q n+1 n Hrs (qr qs ).

(10.22)

Ainsi (10.21b) devient :n+1 n q = q

1 4 q

Nw Nw q n+1 n n+1 n Hrs qr qs + ar (qs + qs ) . r=1 s=1

(10.23)

En injectant l'expression den+1 qu

n+1 q

dans (10.21a), on obtient : (10.24a)

1 2 1 n1 2 n1 n + u + 2 (qu 2q

VIbrations non-linéaires des cymbales

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