Vibrations Forcées de Structures Minces, Élastiques, Non Linéaires

Transcript of Vibrations Forcées de Structures Minces, Élastiques, Non Linéaires

Vibrations forces de structuresminces, lastiques, non linaires

Franck Prignon

sous la direction de Bruno Cochelin et Sergio Bellizzi

06 juillet 2004

Laboratoire de Mcanique et dAcoustique - Equipes MN et SACADS

p.0/44
Motivations de ltude (1/2)

Vibrations non linaires

I Pourquoi ?bruits

vibrations lorigine de ...dgradations (fatigue, rupture ...)

Enjeux : prdiction et/ou contrle dimensionnement, estimation de dure de vie ...

I Non linaire ?

Linaire concepts bien matriss,(modes propres, analyse modale ...), outils nombreux.

Non linaire plus complexe, domaine encore trs ouvert,pas dapproche systmatique.

Pourquoi ? allgement, optimisation des structures, contacts, jeux ...

p.1/44
Motivations (2/2)

I Quelques exemples de problmes concrets de vibrations non linaires ...

Aronautique Nuclaire

Instruments de musique Biophysique

p.2/44
Motivations (2/2)


Aronautique

Nuclaire


p.2/44
Motivations (2/2)




p.2/44
Motivations (2/2)



Instruments de musique

Biophysique

p.2/44
Motivations (2/2)




p.2/44
Cadre de ltude

I LMA : Opration de Recherche vibrations non linaires

Structures non linaires sous sollicitation externe

Numrique :description du

comportement dynamique

mthodes et outils desimulation

Exprimental : observation du comportementdynamique non linaire identification/validation du modle

Principaux axes de recherche :

modes non linaires

dfinition et calculutilisation (modles rduits ...)analyse des bifurcations

rponse force une excitation stochastique ou dterministe

p.3/44
Cadre de ltude

I LMA : Opration de Recherche vibrations non linaires

Structures non linaires sous sollicitation externe

Numrique :description du

comportement dynamique

mthodes et outils desimulation

Exprimental : observation du comportementdynamique non linaire identification/validation du modle

Principaux axes de recherche :

modes non linaires

dfinition et calculutilisation (modles rduits ...)analyse des bifurcations

rponse force une excitation stochastique ou dterministe

p.3/44
Objectifs de la thse

tude de la rponse force :

structures quelconques grands nombre de degrs de libert non linarits gomtriques sollicitation harmonique recherche de solutions priodiques

Numrique :dveloppement dun outil de simulation,par application de la mthode de lquilibrage harmonique,intgr un code lments finis gnraliste.

Exprimental :conception et dmarrage dessais sur des structures minces

p.4/44
PlanI Motivations et cadre de ltude

I Approche exprimentaleI Cadre mcaniqueI Mthodes de rsolution numrique

B Prsentation

B La mthode de lEquilibrage Harmonique (EH)

B La Mthode Asymptotique Numrique (MAN)

I Exemples de simulations

B tude dune poutre

B Recalage avec les rsultats exprimentaux

I Conclusions et perspectives

p.5/44
Approche exprimentale

p.5/44
Etude exprimentale

I poutre droite bi-encastre, en aluminium

zx

y30mm

600 mm

paisseur: h=2mm

hL

= 1300

comportement non linaire

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Systme dexcitation

I Excitation ponctuelle, mono-harmonique :

systme bobine-aimant sans contactAimant

Bobine

d=33.3mm

L=64mm

10mm

Structure

x

I

Deux paramtres de contrle : amplitude () et pulsation ()

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Dmarche exprimentale

Phase pilotage des paramtres

Source Traitement des sorties ...

Amplitude

p.8/44
Dmarche exprimentale

Phase pilotage des paramtres

Source Traitement des sorties ...

Amplitude

p.8/44
Quelques rsultats (1/4)

I En rgime linaire : (faible amplitude dexcitation : 0.03 N)

25 30 35 400

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

25 30 35 40

120

100

80

60

40

20

PSfrag replacements

frquences dexcitation (Hz)frquences dexcitation (Hz)

dpl

acem

ents

/pa

isse

ur

dph

asag

e

p.9/44

I En rgime non linaire : harmonique 1 (fondamentale)

27 27.5 28 28.5 29 29.5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

27 27.5 28 28.5 29 29.5

50

0

50

100

150

PSfrag replacements

frquences dexcitation (Hz) frquences dexcitation (Hz)

dpl

acem

ents

/pa

isse

ur

dph

asag

e

Amplitude de la force : 0.18 N

p.10/44

I harmoniques 2 et 3...

54 55 56 57 58 59 60 610

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

3 Harmonique 2

80 82 84 86 88 90 920

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

3 Harmonique 3

PSfrag replacements

frquences dexcitation (Hz)frquences dexcitation (Hz)

dpl

acem

ents

/pa

isse

ur

dphasage

p.11/44

I En rgime non linaire : harmonique 1 (fondamentale)

26 27 28 29 30 310

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

26 27 28 29 30 31100

50

0

50

100

150

200

PSfrag replacements

frquences dexcitation (Hz) frquences dexcitation (Hz)

dpl

acem

ents

/pa

isse

ur

dph

asag

e

Amplitude de la force : 0.12, 0.18 et 0.35 N

p.12/44
Variation des frquences propres linaires

I Variations ...

relativement aux valeursthoriques/simules dun essai lautre au cours dun mme essai

Force (N) f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz)

rf. numrique 28.8-29.8 79.5-82.3 156.2-161.8

0.032 31.4 83.2 160.4

0.12 28.4 79 156

0.12 28.1 (29.5) 78.2 (80.75) 155.25 (157.5)

0.35 27.5 78 155

I Quelques explications ...

mise en place de la structure imparfaite ? influence de la temprature ? dfaut de forme ? prcontrainte ?

p.13/44
Bilan de lapproche exprimentale

I Essais sur la poutre :

Observation du comportement non linaire

rponse hystrtique (sauts ...) prsence dharmoniques

Aide la conception dun nouveau banc

Choix du matriel (excitation ...) Mise en place dun mode opratoire Identification de problmes (frquences propres ...)

p.14/44
Plaque encastre prcontrainte

Montage : Encastrement dans un cadre :

Dispositif de prcontrainte : interaction de modes

p.15/44
Perspectives

Poursuite des essais sur la poutre

observation des dformes vers un changement de rgime ?(amplitude dexcitation plus grande)

Exploitation du banc plaque

interaction de modes confrontation avec des simulations numriques

p.16/44
PlanI Motivations et cadre de ltude

I Approche exprimentaleI Cadre mcaniqueI Mthodes de rsolution numrique

B Prsentation

B La mthode de lEquilibrage Harmonique (EH)

B La Mthode Asymptotique Numrique (MAN)

I Exemples de simulations

B tude dune poutre

B Recalage avec les rsultats exprimentaux

I Conclusions et perspectives

p.17/44
Cadre mcanique

p.17/44
Quelles non linarits ?

I non linarits dans les structures

matriau (contraintes fonctions non linaires des dformations) conditions aux limites (chocs, jeux, frottements) gomtriques grands dplacements, petites dformations

I non linarits gomtriques

reprsentatives de nombreux casforme polynomiale quations quadratiques ou cubiques

Relation dformations-dplacements non linaire :

(u) = 12(u + tu) + 1

2tuu

=

l(u) +

nl(u, u)

u(x, t) : dplacements(x, t) dformations de Green-Lagrange.

termesnon linaires

p.18/44
Quelles non linarits ?

I non linarits dans les structures

matriau (contraintes fonctions non linaires des dformations) conditions aux limites (chocs, jeux, frottements) gomtriques grands dplacements, petites dformations

I non linarits gomtriques

reprsentatives de nombreux casforme polynomiale quations quadratiques ou cubiques

Relation dformations-dplacements non linaire :

(u) = 12(u + tu) + 1

2tuu

=

l(u) +

nl(u, u)

u(x, t) : dplacements(x, t) dformations de Green-Lagrange.

termesnon linaires

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criture du problme de llastodynamique (1/2)I Hypothses

Formulation 3D, Lagrangienne totale comportement lastique linaire non linarits gomtriques pas damortissement

I Inconnues

dplacements, u(x, t) Discrtisation spatiale q dformations (x, t) de Green-Lagrange par contraintes S(x, t), Piola-Kirchhoff II lments finis S

I Prise en compte dun dfaut et/ou dune prcontrainte :

prcontraintEtat

Etat dform

Etat "parfait"

u

d*

d

Etat avecdfaut

d : dfaut gomtrique(d, S) : tat prcontraint

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criture du problme de llastodynamique (2/2)

I Relation dformations-dplacements :

= (Bl + Bnl(d))q + 12Bnl(q)q

= (Bl + Bnl(d))q + Bnl(q)q

Bnl(q) oprateurlinaire en q

I Formulation du problme :

V

(t(Bl + Bnl(d))S + tBnl(q)S)dV + Fext = Mq

S = S + D(BL + Bnl(d))q + 12DBnl(q)q

PPVloi de comportement

Mq + (L0 + L

1(S) + L2(d

))q + Q(q, q) + Q1(d, q, q) + C(q, q, q) = Fext

L : linaireQ : quadratiqueC : cubique

dcalage desfrquences propres

ajout dunterme quadratique

p.20/44






V




Mq + (L0 + L

1(S) + L2(d





p.20/44






V




Mq + (L0 + L

1(S) + L2(d





p.20/44
Mthodes et outils numriques

de rsolution

p.20/44
Mthodes de rsolutionI Objectif : calcul de la rponse force rsolution dun systme

dquations diffrentielles non linaires.

I Combinaison de deux mthodes :

EH : Equilibre Harmonique, recherche de solutionspriodiques sous forme de sries harmoniques.

MAN : Mthode Asymptotique Numrique, recherche desolutions sous forme de sries entires.Mthode de perturbation-continuation.

lastodynamique,EDPNL

inconnues : q, Sparamtres : ,

EHEq. algbriques

non linaires

MANq(, )

S(, )

I implmentation dans un code lments finis maison, eve(Fortran 90).

p.21/44
Application de lquilibrage Harmonique

pour F ext = k=H1

k=0 Fk cos kt,

q(t) =k=H1

k=0 qk cos kt

S(t) =k=H1

k=0 sk cos kt

Dveloppements des inconnuesen sries harmoniquespas de sinus,tous les termes, pairs et impairs,paramtres de contrle : et .

n EDNLn inconnues+2 paramtres

V

t(BL + Bnl(q) + Bnl(d))SdV + Fext = Mq

S = S + D(BL + 12Bnl(q) + Bnl(d))q

Q = {qk}k=0..H1

S = {sk}k=0..H1

mmeforme

n H EANLn H inconnues

+2 paramtres

V

T (Bl + Bnl(Q) + Bnl(d))SdV 2MQ = F

S = S + D(Bl + 12Bnl(Q) + Bnl(d))Q

p.22/44

pour F ext = k=H1

k=0 Fk cos kt,

q(t) =k=H1

k=0 qk cos kt

S(t) =k=H1

k=0 sk cos kt



V



Q = {qk}k=0..H1

S = {sk}k=0..H1

mmeforme


+2 paramtres

V



p.22/44

pour F ext = k=H1

k=0 Fk cos kt,

q(t) =k=H1

k=0 qk cos kt

S(t) =k=H1

k=0 sk cos kt



V



Q = {qk}k=0..H1

S = {sk}k=0..H1

mmeforme


+2 paramtres

V



p.22/44

pour F ext = k=H1

k=0 Fk cos kt,

q(t) =k=H1

k=0 qk cos kt

S(t) =k=H1

k=0 sk cos kt



V



Q = {qk}k=0..H1

S = {sk}k=0..H1

mmeforme


+2 paramtres

V



p.22/44
EH : construction des nouveaux oprateurs

criture gnralisable H construction automatique

I Autres oprateurs ...(matrices diagonales par blocs)

I Exemple pour H = 3...

Bnl(q)S = ( ) + ( ) cost + ( ) cos 2t

termes constants en cos t en cos 2t

Bnl(Q)S

(Bnl(q)S)0

(Bnl(q)S)1

(Bnl(q)S)2

=

Bnl(q0) 12Bnl(q1) 1

2Bnl(q2)

Bnl(q1) Bnl(q0 + 12q2) 1

2Bnl(q1)

Bnl(q2) 12Bnl(q1) Bnl(q0)

S0

S1

S2

D =

D 0 . . .

0 D...

. . .

Bl =

Bl 0 . . .

0 Bl

.... . .

M =

0 0 . . .

0 M 0 . . .... 0 4M

... 9M. . .

p.23/44
MAN : principe gnral

?R(U , ) = 0 U()

U Rn (n + 1) inconnues R n quations

Problme algbrique non linaire

Dveloppements en sries entires

U = U0 +

k=1

akUk (U0, 0) : point solution

= 0 +

k=1

akk a : paramtre de chemin

R(U , ) = aR1 + a2R2 + = 0

ie Rp = RU

0Up +

R

0

p Fnlp = 0

Kt(0)

[

Up

p

]

= F nlp

Succession de problmes linaires

Morceaux de branchePSfrag replacements

U

p.24/44

?R(U , ) = 0 U()




U = U0 +

k=1


= 0 +

k=1


R(U , ) = aR1 + a2R2 + = 0

ie Rp = RU

0Up +

R

0

p Fnlp = 0

Kt(0)

[

Up

p

]

= F nlp



U

p.24/44

?R(U , ) = 0 U()




U = U0 +

k=1


= 0 +

k=1


R(U , ) = aR1 + a2R2 + = 0

ie Rp = RU

0Up +

R

0

p Fnlp = 0

Kt(0)

[

Up

p

]

= F nlp



U

p.24/44
MAN (2)I Application au problme de vibrations forces :

V



surfaces (2 paramtres),adaptation de la MAN

=N

k=1

akk =

= 0 +N

k=1 akk fix

ou2 = 20 +

Nk=1 a

kk fix

et

Q = Q0 +N

k=1 akQk

S = S0 +N

k=1 akSk

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

q

PSfrag replacements

U

0

0.5

1

1.5

2 0

2

4

6

0

2

4

6

8

10

q

PSfrag replacements

U

p.25/44
MAN (3)I Problmes linariss chaque ordre

Ordre 1 : Ordre p :{ [

Kt(0) 20M

]

Q1 = 1FmantQ1PQ1 +

21 = 1

{ [

Kt(0) 20M

]

Qp = pFman + Fnlp

tQ1PQp + 1p = 0

Kt(0) =

0

T B(Q0)DB(Q0)d0 K

fnlp =

0(T B

(Q0)Snlp +

p1r=1

T Bnl(Qpr)Sr)d0

Continuation ... en force en pulsation

k = . . . k k

Fman = . . . F MQ0

Fnlp = . . . fnlp f

nlp +

p1

r=1

rMQpr

p.26/44
Intgration de la mthode Eve

Eve : code lments finis, gnraliste, en Fortran 90

Apports :

I Equilibrage Harmonique :

lment existant(DKT, DKQ ...)

Assemblage des

matrices blocslment EH

I MAN : adaptation au problme en dynamique solveur non linaire

I Autres :

dfaut et prcontrainte nouveau type de stockage solveur linaire pour des matrices non symtriques post-traitement (interface Matlab)

p.27/44
BilanElments Harmoniques construction automatique desoprateurs, H procdure indpendante dellment de base taille des systmes fonction de H augmentation du temps de calcul

MAN simplicit dutilisationet de pilotage solutions analytiques :sries riches en informations une seule inversion dematrice par morceau de branche traitement des bifurcations

OutilI Intgr un code lments finis capable de traiter une large classe de structuresI Valid sur des exemples issus de la littratureI Amliorations possibles : ajout de nouveaux lments

optimisation (solveur, stockage ...)

p.28/44
Exemples de simulations

p.28/44
Introduction

IRponse force dune poutre mince, bi-encastre

60 cm

1.5 cm

h=2mm 40 lments DKQ-EH

E = 0.7e11Pa

= 0.33

= 2762kg.m3

Cas traits : excitation 0 mode non linaire excitation 6= 0, fixe rponse force

Rappel :

q(t, ) =H1

k=0

qk cos jt q0() = q(0, ) =H1

k=0

qk en un point

dformes de la structure fix

p.29/44
Premier mode

1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

/1

2345

C

D

E

PSfrag replacements

q0/h

p.30/44
Premier mode

1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

/1

2345

C

D

E

PSfrag replacements

q0/h

p.30/44
Premier mode : harmoniques

H = 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.51

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Harmonique 1

Harmonique 3

/1

C E

PSfrag replacements

p.31/44
Premier mode : bifurcation

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/1

5678

A

B

F

G PSfrag replacements

q0/h

35

,rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/1

qk/h

Harmonique 1

Harmonique 5

PSfrag replacements

/1

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1

mode 1branche de liaisonmode3

PSfrag replacements

q0/h

= 15 = 3

= 1

5 = 3

p.32/44

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/1

5678

A

B

F


q0/h

35


0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/1

qk/h

Harmonique 1

Harmonique 5

PSfrag replacements

/1

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1


PSfrag replacements

q0/h

= 15 = 3

= 1

5 = 3

p.32/44

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/1

5678

A

B

F


q0/h

35


0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/1

qk/h

Harmonique 1

Harmonique 5

PSfrag replacements

/1

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1


PSfrag replacements

q0/h

= 15 = 3

= 1

5 = 3

p.32/44

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/1

5678

A

B

F


q0/h

35


0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/1

qk/h

Harmonique 1

Harmonique 5

PSfrag replacements

/1

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1


PSfrag replacements

q0/h

= 15 = 3

= 1

5 = 3

p.32/44

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/1

5678

A

B

F


q0/h

35


0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/1

qk/h

Harmonique 1

Harmonique 5

PSfrag replacements

/1

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1


PSfrag replacements

q0/h

= 15 = 3

= 1

5 = 3

p.32/44

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/1

5678

A

B

F


q0/h

35


0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/1

qk/h

Harmonique 1

Harmonique 5

PSfrag replacements

/1

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1


PSfrag replacements

q0/h

= 15 = 3

= 1

5 = 3

p.32/44

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/1

5678

A

B

F


q0/h 3

5,

rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/1

qk/h

Harmonique 1

Harmonique 5

PSfrag replacements

/1

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1


PSfrag replacements

q0/h

= 15 = 3

= 1

5 = 3

p.32/44

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/1

5678

A

B

F


q0/h 3

5,

rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/1

qk/h

Harmonique 1

Harmonique 5

PSfrag replacements

/1

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1


PSfrag replacements

q0/h

= 15 = 3

= 1

5 = 3

p.32/44
Mode 2

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

/1

235689

A

B

C

PSfrag replacements

q0/h

/1

43


2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

/1

Harmonique 3

Harmonique 1

PSfrag replacements

p.33/44
Mode 2

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

/1

235689

A

B

C

PSfrag replacements

q0/h

/1

43


2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

/1

Harmonique 3

Harmonique 1

PSfrag replacements

p.33/44
Mode 2

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

/1

235689

A

B

C

PSfrag replacements

q0/h

/1

43


2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

/1

Harmonique 3

Harmonique 1

PSfrag replacements

p.33/44
Mode 2

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

/1

235689

A

B

C

PSfrag replacements

q0/h

/1

43


2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

/1

Harmonique 3

Harmonique 1

PSfrag replacements

p.33/44
Mode 2

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

/1

235689

A

B

C

PSfrag replacements

q0/h

/1

43


2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

/1

Harmonique 3

Harmonique 1

PSfrag replacements

p.33/44
Mode 3

5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

/1

3568

A

B

C

PSfrag replacements

q0/h

62


p.34/44
Mode 3

5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

/1

3568

A

B

C

PSfrag replacements

q0/h

62


p.34/44
Mode 3

5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

/1

3568

A

B

C

PSfrag replacements

q0/h

62


p.34/44
Mode 3

5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

/1

3568

A

B

C

PSfrag replacements

q0/h

62


p.34/44
Rponse forceI Rponse force, excitation damplitude 1 N rsonances autour des modes rsonances secondaires

1 2 3 4 5 6 7

1

0.5

0

0.5

1

1.5

/1

q 0/h

Mode 1 Mode 2 Mode 3

p.35/44
Rsonances secondaires

1.85 1.9 1.95 20.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

/1

A

B

1.85 1.9 1.95 20.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Harmonique 7

Harmonique 1

Harmonique 3

/1

Rsonances super-harmoniques :A : = 3

3

B : = 56

p.36/44

1.85 1.9 1.95 20.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

/1

A

B

1.85 1.9 1.95 20.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Harmonique 7

Harmonique 1

Harmonique 3

/1


3

B : = 56

p.36/44

1.85 1.9 1.95 20.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

/1

A

B

1.85 1.9 1.95 20.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Harmonique 7

Harmonique 1

Harmonique 3

/1


3

B : = 56

p.36/44

1.85 1.9 1.95 20.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

/1

A

B

1.85 1.9 1.95 20.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Harmonique 7

Harmonique 1

Harmonique 3

/1


3

B : = 56

p.36/44
Rponse force autour du mode 2

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.30.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

/1

PSfrag replacements

q0/h

/1

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

/1

q 0/h

PSfrag replacements/1

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1

q 0/h


2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

/1

A B

C PSfrag replacements

q0/h

/1

p.37/44

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.30.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

/1

PSfrag replacements

q0/h

/1

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

/1

q 0/h


2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1

q 0/h


2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

/1

A B


q0/h

/1

p.37/44

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.30.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

/1

PSfrag replacements

q0/h

/1

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

/1

q 0/h


2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1

q 0/h


2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

/1

A B


q0/h

/1

p.37/44

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.30.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

/1

PSfrag replacements

q0/h

/1

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

/1

q 0/h


2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1

q 0/h


2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

/1

A B


q0/h

/1

p.37/44
Rsonances autour des modes 1 et 3

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

/1

0/h

PSfrag replacements5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

/1

q 0/h

p.38/44
Comparaison avec les rsultats exprimentaux

Force : 0.3 N f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz)num . 29 80 157

Exp. 27.5 78 155

0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

/1

q1/h

SimulationEssai

Harmonique 1

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.080

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

3 Harmonique 3

/1

q3/h

SimulationEssai

p.39/44
Recalage du modle ...

IDfaut gomtrique damplitude maximale correction de la courbure augmentation des frquences propres

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.30.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

z/h

d1d2d3

0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

/1

q1/h

=0Essai =1.6mm=0.6 mm

Dfaut 1

Harmonique 1

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

/1

q1/h

=0=0.5=0.4Essai

Dfaut 2

Harmonique 1

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.060

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016Harmonique 2

/1

q2/h

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10

1

2

3

4

5

6x 10

3 Harmonique 3

/1

q3/h

Essai d1, =0.6 mmd2, =0.4 mmCas parfait

p.40/44
Recalage du modle ...

IDfaut gomtrique damplitude maximale correction de la courbure augmentation des frquences propres

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.30.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

z/h

d1d2d3

0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

/1

q1/h

=0Essai =1.6mm=0.6 mm

Dfaut 1

Harmonique 1

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

/1

q1/h

=0=0.5=0.4Essai

Dfaut 2

Harmonique 1

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.060

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016Harmonique 2

/1

q2/h

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10

1

2

3

4

5

6x 10

3 Harmonique 3

/1

q3/h

Essai d1, =0.6 mmd2, =0.4 mmCas parfait

p.40/44
Recalage (2)

IPrcontrainte seule (compression) recalage des frquences propres, pas ou peu deffet sur la rponse force.

IPrcontrainte (compression, dx=4.6e-3mm) + dfaut gomtrique,amplitude max :0.4mm (mode 1)

0.95 1 1.05 1.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

/1

q 1/h

Cas parfaitEssai 3Recalage

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.060

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016Harmonique 2

/1

q2/h

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10

1

2

3

4

5

6x 10

3 Harmonique 3

/1

q3/h

Cas parfaitEssaiRecalage

p.41/44
Conclusion des simulations

Observation de phnomnes non linaires :

scenari de bifurcation compliqus rsonances internes et secondaires MNL : support de la rponse force

Recalage du modle sur les rsultats exprimentaux

Limites :

Pas damortissement Pas dtude de stabilit

p.42/44
Conclusion gnrale

p.42/44
Bilan

Ralisation dun banc dessai

Outil numrique pour le calcul de la rponse force, en non linaire

lmnts finis EH+MAN

Observation/simulation de phnomnes non linaires

exprimentale et numrique bifurcations (rsonances internes, secondaires ...) intrt des modes non linaires

p.43/44
Perspectives

Amliorations du code

amortissement stabilit optimisation (stockage, solveurs ...)

Poursuite des tudes ...

exprimentale (plaque ...) numrique : traitement de structures complexes

Comparaison avec dautres mthodes

intgration temporelle dorbites priodiques sous-espaces invariants

Autres types dexcitation

multi-priodique alatoire

Reflexion sur lutilisation des modes non linaires

p.44/44
Fin

p.44/44

Motivations de l'tude (1/2)Motivations (2/2)Cadre de l'tudeObjectifs de la thsePlanApproche exprimentaleEtude exprimentaleSystme d'excitationDmarche exprimentaleQuelques rsultats (1/4)Quelques rsultats (2/4)Quelques rsultats (3/4)Quelques rsultats (4/4)Variation des frquences propres linairesBilan de l'approche exprimentalePlaque encastre prcontraintePerspectivesPlanCadre mcaniqueQuelles non linarits?criture du problme de l'lastodynamique (1/2)criture du problme de l'lastodynamique (2/2)Mthodes et outils numriques de rsolutionMthodes de rsolutionApplication de l'quilibrage HarmoniqueEH: construction des nouveaux oprateursMAN: principe gnralMAN (2)MAN (3)Intgration de la mthode EveBilanExemples de simulationsIntroductionPremier modePremier mode: harmoniquesPremier mode: bifurcationMode 2Mode 3Rponse forceRsonances secondairesRponse force autour du mode 2Rsonances autour des modes 1 et 3Comparaison avec les rsultats exprimentauxRecalage du modle ...Recalage (2)Conclusion des simulationsConclusion gnraleBilanPerspectivesFin

Vibrations Forcées de Structures Minces, Élastiques, Non Linéaires

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