Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°8 : Systèmes soumis à une force...

Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°8 :

Systèmes soumis à une force quelconque

Plan du cours :Systèmes soumis à une force quelconque

• Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque , développement en série de Fourier

• Réponse à une impulsion Ft=1• Réponse à une force F(t) quelconque• Réponse d’un système avec excitation de la base• Spectre de réponse

Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque

• Une force périodique quelconque peut être développée en séries de Fourier :

• L’équation du mouvement s’écrit :

1n 1n

nn0 tsinbtcosa

2

akxxxm

,...2,1n,dttnsintfT

2b

,...2,1,0n,dttncostFT

2a

tnsinbtncosa2

atF

T

0n

T

0n

1n 1nnn

0

Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque (suite)

• En utilisant le principe de superposition, la solution particulière est la somme des solutions particulières des trois équations suivantes :

dont les solutions sont respectivement :

avec

tnsinbkxxxm

tncosakxxxm;2

akxxxm

n

n0

n2222

n

pn2222

n

p tnsinnr2rn1

kb

tx;tncosnr2rn1

ka

tx

k2

atx 0

p

22

1n rn1

nr2tan

Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque (suite)

• La solution complète s’écrit :

• Quand n augmente, les amplitudes deviennent plus petites, quelques premiers termes sont suffisants pour obtenir une solution exacte.• Quand n=nat, l’amplitude de l’harmonique correspondante est grande.• La partie transitoire de la solution qui dépend des conditions initiales peut être

additionnée pour donner la solution complète du problème.

n

1n 2222

n

n1n 2222

n

0p

tnnsinr2rn1

kb

tncosnr2rn1

ka

k2

atx

Pour étudier les vibrations des valves utilisées dans les systèmes de contrôle hydrauliques, la valve et son joint élastique sont assimilés à un système amorti masse-ressort, comme le montre la figure. En plus de la force de rappel du ressort et de la force d’amortissement il existe une force de pression du fluide sur la valve qui change suivant la grandeur d’ouverture ou de fermeture de la valve.

Trouver la réponse du régime permanent de la valve quand la pression dans la chambre varie comme l’indique la figure. On supposera que k=2500N/m, =10N.s/m et m=0,25kg.

Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (1)

Vibrations périodiques d’une valve hydraulique

• La force est égale à

où A est la surface transversale de la chambre :

• F(t) peut être exprimée par une série de fourrier comme :

• La fonction F(t) est donnée par :

tpAtF

222

m000625,0mm6254

50A

...tsinbtsinb....tcosatcosa2

atF 2121

0

t

2pourt2A50000

2t0pourAt50000

tF


• Le calcul des coefficients de Fourier donne

0dtt3cost2A50000dtt3sinAt500002

2b

9

A102dtt3cost2A50000dtt3cosAt50000

2

2a

0dtt2sint2A50000dtt2sinAt500002

2b

0dtt2cost2A50000dtt2cosAt500002

2a

0dttsint2A50000dttcosAt500002

2b

A102dttcost2A50000dttcosAt50000

2

2a

A50000dtt2A50000dtAt50000a

1

0

2

13

2

51

0

2

13

1

0

2

12

1

0

2

12

1

0

2

11

2

51

0

2

11

1

0

2

10


En considérant seulement les trois premières harmoniques, on peut approximer la fonction force par :

Le régime permanent de la réponse peut être exprimé par :

t3cos9

A102tcos

A102A2500tF

2

5

2

5

3

222

2

5

1222

2

5

p

t3cosr6r91

k9A102

t3cosr6r91

kA102

k

A25000tx


• Nous avons :

• Les angles de phase 1 et 3 s’écrivent :

• La solution s’écrit :

s/rad2

22;s/rd100

25,0

2500

m

kn

rd0380483,0

031416,091

031416,02,06tg

r91

r6tg

rd0125664,0031416,01

031416,02,02tg

r1

r2tg

21

21

3

21

21

1

2,010025,02

10

m2;031416,0

100r

ncn

m0380483,0t3cos0017828,00125664,0tcos015930,0019635,0txp


Trouver la réponse totale d’un système à un degré de liberté avec amortissement visqueux soumis à une excitation harmonique de la base avec les données suivantes :

Solution : • L’ équation du mouvement du système est donnée par :

• Cette équation est similaire à un développement en série de Fourier avec a0=0, a1=Y, b1=kY et ai=bi=0 (i=2,3,…). La solution du système est :

•Pour les données de l’énoncé :

s/m10x;m02,0x;mt505,0ty;m/N4000k;;s/mN20;kg10m 00

Exemple 2: Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base (1)

tcosYtsinkYykykxxxm

1

11

1

222p tsin

k

btcos

k

a

r2r1

1tx

937833,025,005,0225,01r2r1

;rad02666,005,01

25,005,02tan

r1

r2tan

20005,04000kYb;5)05,0)(5)(20(Ya

;s/rad975,191;05,01040002

20

km2

;25,020

5r;s/rad20

10

4000

m

k;m05,0Y

222222

21

21

1

11

n2

ac

n

Solution : de l’équation homogène :

X0 et 0 dépendent des conditions initiales.

• La solution totale :

•

•

•

;t975,19coseXtcoseXtx 0t

00at

0hn


02666,0t5sin053314,002666,0t5cos001333,0t975,19coseX

t5sin4000

200t5cos

4000

5

937833,0

1t975,19coseXtx

0t

0

110t

0

733345,9sin975,19cosX

02666,0cos266572,002666,0sin006665,0sinX975,19cosX100txx

020088,0cosX

02666,0sin053314,002666,0cos001333,0cosX02,00txx

000

00000

00

000

02666,0t5cos266572,002666,0t5sin006665,0

t975,19sineX975,19t975,19coseXtdt

dxtx 0

t00

t0

02666,0t5sin053314,0

02666,0t5cos001333,0529683,1t975,19cose488695,0tx t


Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base où on voit la solution homogène au début qui disparaît à cause du facteur e -t et la solution permanente qui prend le relai par la suite.

• Force connue seulement expérimentalement : vent, tremblement de terre, valves hydrauliques, variations de pressions dans les pipelines, …• Il est possible de trouver les coefficients de Fourier en utilisant

une procédure d’intégration numérique. •Une fois les coefficients de Fourier calculés, on peut trouver la

réponse d’un système conséquence de la force d’excitation.

Réponse sous une force périodique de forme irrégulière

Exemple 3 : exercice effectué dans le premier chapitre au sujet des fluctuations périodiques de pression dans un pipeline qui après une analyse de Fourier ont donnés p(t). Supposer que sont ces fluctuations de pression que l’on retrouver pour la valve hydraulique, on écrit p(t) :

On trouve :

Réponse sou une force périodique de forme irrégulière

2

nn

2

m000625,0A;2,0;5236,0r;s/rad100;s/rad36,5212,0

22avec

m/N...t08.157sin3.2333t08.157cos3.5833t72.104sin3.3608

t72.104cos7.1416t36.52sin7.8307t36.52cos0.269963.34083tp

18,235236,091

5236,02,06tan

r91

r6tan

;01,775236,041

5236,02,04tan

r41

r4tan;1,16

5236,01

5236,02,02tan

r1

r2tan

21

21

3

21

21

221

21

1

322

322

222222

122122

p

t08.157sinr6r91

k/A3.2333t08.157cos

r6r91

k/A3.5833

t72.104sinr4r41

k/A3.3608t72.104cos

r4r41

k/A7.1416

t36.52sinr2r1

k/A7.8307t36.52cos

r2r1

k/A0.26996

k

A3.34083tx

Intégrale de convolution, réponse sous une force non-périodique, réponse à une impulsion

• La forme de force la plus simple est une force impulsive.• Une impulsion est le produit d’une force de large amplitude avec un temps très

court :

• Une impulsion unité est définie par :

• Pour un système masse-ressort amorti soumis

à une impulsion unité à t=0, l’équation du mouvement est :

• On retrouve l’impulsion à travers les conditions initiales.

t 1FdtLim~F Δt

t0Δt

tt

t12~

FdtxmxmtFF

0kxxxm

Intégrale de convolution, réponse à une impulsion (suite)

• La solution à ce système amorti

sans force extérieure est :

où

• Si la masse est au repos avant l’application de l’impulsion, on a pour t<0 ou à t=0-, on obtient : 0

~xm0txm0txm1f

tsinxx

tcosxetx aa

0n0a0

tn

m

k;

m2m

k1;

m2 n

22

nan

0xx

• Les conditions initiales de notre système sont donc :

• Le mouvement de notre système se réduit à :

• Si l’amplitude de notre impulsion est au lieu de l’unité, la vitesse initiale est et la réponse du système devient :

m

1x0tx;0x0tx 00

tsinm

etgtx a

a

ta

~F

mF~

tgFtsinm

eFtx

~a

a

t

~

n

Intégrale de convolution, réponse à une impulsion (suite)

Système amorti, masse-ressort sous critique soumis à une impulsion unité à t=0

Intégrale de convolution, réponse à une impulsion unité

• Si l’impulsion est appliquée à un temps arbitraire , on remplace t par t- dans l’équation précédente. La réponse est :

• Imaginons que F(t) soit une force quelconque. Celle-ci peut être vue comme la superposition de forces d’impulsion F().

tgFtsinm

eFtx

~a

a

t

~

0

Exemple 4 : réponse d’une structure à un choc

Dans le test de vibration d’une structure, un marteau d’impact et une cellule mesurant la charge de la force sont utilisés comme source d’excitation. En supposant m=5 kg, k= 2000N/m, α=10 N.s/m et trouver la réponse du système.

Solution :

A partir des données, on peut calculer :

En supposant l’impact donné au temps t=0,

la réponse est :

s/rad975,19,1

05,0520002

10

km2

;s/rad205

2000

m

k

n2

a

c

n

,sN20F~

mt975,19sine20025,0

975.19sine975,195

20

tsinm

eFtx

t

t2005,0

aa

t

~1

n

Exemple 5 : Réponse d’une structure sous double impactDans de nombreux cas un deuxième impact prend place après le premier et la force appliquée s’écrit :

où (t) est la fonction de Driac et désigne le temps entre les deux impacts de magnitude

Pour une structure avec m=5kg, k = 2000N/m, = 10N.s/m.

. Trouver la réponse de la structure. Nous avons :

On suppose les deux réponses :

2,0t;e100125,02,0t975,19sine

975,195

10tx 2,0t2,0t2005,0

2

tFtFtF~2

~1

2,0t;2,0t97,19sine100125,0t975,19sine20025,0

2,0t0;t975,19sine20025,0tx

2,0tt

t

~2

~1 FetF

N2,0t10t20tF

Intégrale de convolution, réponse à une force F(t) quelconque

• Nous pouvons décomposer n’importe quelle force F(t) en une somme d’impulsions de différentes amplitudes. La réponse totale du système peut être trouvée en additionnant toutes les réponses de toutes les impulsions élémentaires :

• En prenant et en remplaçant la sommation par une intégration, on trouve :

Cette équation appelée intégrale de Duhamel ou intégrale de convolution donne la réponse d’un système sous-critique à un degré de liberté soumis à une force d’excitation arbitraire F(t).

tgFtx

;tgFtx

0

t

0 at

a

t

0

dtsineFm

1tx

dtgFtx

0

Intégrale de convolution, réponse d’un système avec excitation de la base

• L’équation du mouvement dans ce cas s’écrit :

• Cette équation est similaire à l’équation :

• Ce qui revient à écrire :

ymkzzzm

Fkxxxm

t

0 at

a

dtsiney1

tz n

Exemple 6: Fonction escalier d’une machine de compactage

Une machine de compactage, modélisée comme un système à un degré de liberté est montrée sur la figure suivante. La force agissant sur la masse m, qui inclus les masses du piston, de la plate-forme et du matériel à compacter, due à une application soudaine de la pression peut être idéalisée comme une fonction constante, comme le montre la figure. Déterminer la réponse du système.

(a)

(b)

Exemple 6 : Fonction escalier d’une machine de compactage (suite)

Solution : l’intégrale de Duhamel avec F(t)=F0 donne :

avec

at

2

0

t

0

2a

2n

aaant

a

0

t

0 at

a

0

cose.1

11

k

F

tcostsine

m

F

dtsinem

Ftx

n

a

n

2

1

1tg

Exemple : Fonction escalier d’une machine de compactage (suite)

• La réponse montre que la solution est un mouvement sous critique classique. Elle montre aussi que si le système est non amorti, =0 et a=n, l’équation précédente se réduit à :

qui montre que le déplacement maximum est égal à deux fois l’élongation statique, xmax=2F0/k

tcos1k

Ftx n

0

Réponse d’une machine de compactage

Réponse lorsque le système est non amorti

Exemple 7 : Force escalier retardée à t=t0

• Si la fonction escalier est retardée, on substitue simplement t-t0 pour t dans la solution de l’exemple précédent, ce qui donne :

• Si le système est non amorti, nous avons :

0a

tt2

2

0 ttcose11k

Ftx 0n

0n0 ttcos1

k

Ftx

Exemple 8 : Force de pulsation rectangulaire

Si nous avons affaire à une impulsion rectangulaire, la réponse est la différence entre les solutions des deux exercices précédents :

avec

0a

ta2

0 ttcosetcos1k

Ftx 0n

2

1

1tg

(a) (b)

Exemple 8 : Force de pulsation rectangulaire (suite)

Pour voir la réponse à une impulsion rectangulaire graphiquement, on prend un système non amorti , c’est-à-dire =0 et a= n. On trouve la réponse suivante :

Qui est différente suivant la durée de l’impulsion.

tcosttcosk

Ftx n0n

0

Exemple 9 : Choc sur le cadre d’un building (1)

Un bâtiment est modélisé comme un système non-amorti à un degré de liberté comme le montre la figure. Trouver la réponse du cadre si celui-ci est soumis à une charge explosive représentée par la pulsation triangulaire de la figure (b).

Solution : La fonction force est donnée par :

L’équation donnant la réponse d’un système à un degré de liberté, non amorti soumis à une force d’excitation arbitraire s’écrit :

• Réponse pendant l’intervalle 0 : t t0

0

00

0

tpour0F

;t0pourt

1FF

t

0 nn

dtsinFm

1tx

nn

t

00

n0

nn

t

00

n0

t

0 nnnnn0

2n

0

d.sint

1tcosk

Fdcos

t1tsin

k

F

dsintcoscostsint

1m

Ftx

Exemple 9 : Choc sur le cadre d’un building (2)

•En notant que l’intégration par partie donne :

on obtient :

En simplifiant, on trouve :

Réponse pendant l’intervalle t > 0 : la limite supérieure de l’intégrale doit être t0

puisque F() pour > t0 :

nn

nnnnn

nnn sin1

cosd.sinetcos1

cosd.cos

tsint

1tcos

t

t1tcostcos

t

1tcos

t

1tsin

t

ttsintsin

k

Ftx

n0n

n0

nn

0nn

0nn

0nn

0

tsin

t

1tcos

t

t1

k

Ftx n

0nn

0

0

tcostsinttsintcos1tk

Ftx n0n0nn0n

0n

0

Exemple 11 : Spectre de réponse d’une pulsation sinusoïdale (2)

•

• On peut donc trouver

• une demi sinusoïde est un cas simple. En général, on doit résoudre de manière numérique

tsin'Btcos'Atx:ttPour nn0

0n0nn

0

0

n2

0

n

st0 tsin'Btcos'A

t2sin

t2

t21

ttx

0

nnn

02

0n

0n

st2

0

n

st0n

0n

0n0n

0nn0nnn

0

0

n

02

0

n

st0

tt,t

2sintt

2sint2/1

t/tx

t21

;tcos1t

'B

;tsint

'Atcos'Btsin'At2

cost2t

t21

tt'x

n

0

st

tfonct

tx

maxn

t

0n

maxtsinF

m

1tx

Spectre de réponse pour une excitation de la base

• Utilisé dans la conception de machine ou de structures pouvant subir des chocs au sol comme ceux causés par les tremblements de terre (constructions parasismiques). On utilise dans ce cas le spectre de réponse en vitesse. Les spectres de réponses en accélération ou en déplacement sont facilement déduit :

•A partir du résultat trouvé du déplacement relatif d’un système sous critique soumis à une excitation de la base :

on obtient :

où la relation

vnan

vd SSet

SS

,dtsiney1

tz att

0a

n

dtsintsiney1

tz aaantt

0a

n

ttfd,tt

fd,tf

t

0

t

0

Spectre de réponse pour une excitation de la base

• on peut donné à la forme

où

• Le spectre de réponse en vitesse s’écrit :

On écrit aussi :

tsinQP1

etz a

22

2

tn

tz

2

21

t

0 att

0 at

1QP

Q1Ptanet

dsineyQ;dcoseyP nn

max

22

2

t

maxv QP1

etzS

n

vnmaxamaxvn

vmaxd SzS;zS;

SzS

Exemple 12 : Château d’eau sujet à une accélération de la base (1)

• Soit un château d’eau, sujet à une accélération linéaire du sol due à un tremblement de terre. La masse du château d’eau est m, la raideur de la colonne est k, et l’amortissement est négligeable.

Trouver la réponse pour le déplacement relatif z=x-y du château d’eau.

(a) (b)


Solution• L’accélération de la base peut s’écrire :

• Réponse pour 0 t 2t0 : en substituant dans l’équation de la réponse due à une excitation de la base, on trouve :

0

00

max

t2tpour0ty

t2t0pourt

t1yty

tsint

1tcos

t

t1

ytz

dsintcoscostsint

1y1

tz

n0n

n0

2n

max

t

0 nnnn0

maxn

ty


Pour trouver la réponse maximale z, on écrit :

Pour trouver

et

0tcostsint1t

ytz nn0n2

n0

max

mn0n

mn0

m2n

max tsint

1tcos

t

t1

ytz

0n1

nm ttg

2t


Réponse lorsque t > 2t0 : puisqu’il n’y a pas d’excitation durant ce temps, on utilise l’équation trouvée pour les problèmes des vibrations libres :

avec à partir de la solution trouvée pour 0 t 2t0 :

Le maximum de z(t) peut être trouvé de la même manière, la solution est :

tsinz

tcosztz nn

0n0

21

2

n

020max

zzz

0000 t2tzzett2tzz

Accélérogramme et spectre de réponse d’un tremblement de terre

• Accélérogrammes imprimés par des instruments appelés accélérographes de mouvements forts.•On obtient de l’accélérogramme : le maximum de l’accélération du sol, la durée et le fréquence du tremblement de terre.•On intègre à partir de l’accélérogramme pour trouver la vitesse et le déplacement du sol en fonction du temps.•Le spectre de réponse est utilisé pour donner la meilleure représentation descriptive de l’influence d’un tremblement de terre donné sur une structure ou une machine. •Le spectre de réponse d’un accélérogramme particulier montre des intégralités dans le domaine des fréquences. On a développé les spectres de design (de conception) qui sont des spectres moyens correspondant à un ensemble d’accélérogramme pour concevoir des structures et des machines.

Spectre de réponse d’un tremblement de terre

Spectre de design d’un tremblement de terre

Exemple 13 : Réponse du cadre d’un bâti à un tremblement de terre (1)

Un bâti a une masse de 6800 kg et est formé de deux colonnes de raideur k, comme indiqué sur la figure. Le rapport d’amortissement de la bâtisse est de 0,05 et sa période naturelle est de une seconde. Utiliser le spectre de réponse donné comme exemple en cours pour trouver le déplacement relatif maximum de la dalle et la force maximale de cisaillement (kx) de la dalle. Celle-ci peut servir à trouver la force maximale de flexion des colonnes.

Exemple 13 : Réponse du cadre d’un bâti à un tremblement de terre (2)

Solution : On peut lire sur le spectre de réponse n= 1 s et = 0,05 :

Sv= 25 in/s = 25 × 2,54 = 63,5 cm/s = 0,635 m/s

Sd = 4,2 in = 10,668 cm et Sa = 0,42 g = 0,42 × 9,8 = 4,116 m/s²

Le déplacement maximum de la dalle est de 10,668 cm (ce qui est énorme).

La force maximale de cisaillement sur les deux colonnes est de :

Ce qui peut mettre à rude épreuve la flexion des colonnes.

N28000N8,27988116,46800xmkxF maxmax

Exemple 14 : Trolley d’une grue électrique roulante

Le trolley d’une grue électrique roulante bouge sur une poutre métallique comme le montre la figure.

On suppose que le trolley est un une masse ponctuelle. L’ensemble du système peut être assimilé à un système à un degré de liberté avec une période de 2 secondes et un rapport d’amortissement de 2 %. Déterminer si le trolley déraille sous l’influence d’un tremblement de terre dont le spectre de design est donné par la figure exemple de cours.

Solution : pour n=2s et =0,02 la figure donne Sa=0,25g, ce qui est inférieur à g donc le trolley ne déraillera pas.

Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°8 : Systèmes soumis à une force...

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