Cours Mecanique Vibrations

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  • ECOLE NATIONALE DINGENIEURS DE MONASTIR

    Mcanique Vibratoire Tronc Commun

    Tarek Hassine

    2009-2010

    0

    l l0

    = 0 c k

    F(t) m

  • Ecole Nationale dIngnieurs de Monastir Tarek Hassine __________________________________________________________________________________

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    Sommaire 1 Introduction gnrale ....................................................................................................................... 32 Modlisation d'un systme linaire un degr de libert ................................................................ 4

    2.1 Modle rel et modle physique .............................................................................................. 43 Mouvement vibratoire libre ............................................................................................................. 6

    3.1 Systme libre non amorti ......................................................................................................... 63.1.1 Modle masse-ressort ...................................................................................................... 63.1.2 Solution de l'quation de mouvement .............................................................................. 83.1.3 Etude nergtique du modle masse-ressort .................................................................. 103.1.4 Montage de ressorts (ou d'amortisseurs) ....................................................................... 11

    3.2 Systme libre amorti .............................................................................................................. 123.2.1 Modle masse-ressort-amortisseur ................................................................................ 123.2.2 Solution de l'quation de mouvement ............................................................................ 123.2.3 Dcrment logarithmique .............................................................................................. 16

    3.3 Stabilit d'un systme vibratoire ............................................................................................ 173.3.1 Etude d'un pendule invers (petites oscillations) ........................................................... 17

    4 Mouvement vibratoire forc .......................................................................................................... 194.1 Forme de la rponse d'un mouvement vibratoire forc ......................................................... 194.2 Rponse une excitation harmonique ................................................................................... 20

    4.2.1 Trac de l'amplitude et du dphasage de la solution permanente .................................. 214.3 Rponse une excitation due au dsquilibre du rotor ......................................................... 25

    4.3.1 Trac de l'amplitude et du dphasage de la solution permanente .................................. 264.4 Rponse une excitation par dplacement impos du support ............................................. 28

    4.4.1 Trac de transmissibilit du dplacement (TR) ............................................................. 294.4.2 Force transmise de la base la masse ............................................................................ 31

    4.5 Isolation d'un systme vibratoire ........................................................................................... 324.5.1 Exemple trait ................................................................................................................ 32

    4.6 Rponse une excitation priodique ..................................................................................... 364.6.1 Procdure de rsolution ................................................................................................. 36

    4.7 Rponse une excitation quelconque .................................................................................... 384.7.1 Rponse une impulsion ............................................................................................... 384.7.2 Rponse une excitation quelconque ............................................................................ 404.7.3 Exemples corrigs ......................................................................................................... 42

  • Ecole Nationale dIngnieurs de Monastir Tarek Hassine __________________________________________________________________________________

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    1 Introduction gnrale La mcanique vibratoire est ltude des mouvements rptitifs par apport une position de rfrence, gnralement la position dquilibre.

    Dfinition : Tout mouvement oscillatoire, d'un systme mcanique, autour de sa position d'quilibre est appele mouvement vibratoire.

    Les vibrations peuvent tre nuisibles et doivent tre vites comme elles peuvent tre utiles, et dans ce cas, souhaites. Dans tous les cas, la matrise des vibrations : comment les analyser ; les mesurer et les contrler est toujours souhaite. Ce qui est lobjet de ce cours.

    Exemples de vibrations familires :

    les vibrations des cordes dune guitare ; Le confort de conduite dune automobile ou dun motocycle ; Le mouvement des ailes dun avion ; Un tremblement de terre ; Le mouvement des grands immeubles cause des vents violents ;

    Modlisation d'un systme

    Dfinition : La

    modlisation permet d'analyser des phnomnes rels et de prvoir des rsultats partir de l'application d'une ou plusieurs thories un niveau d'approximation donn.

    La description mathmatique d'un problme d'ingnierie est ralise en appliquant les lois physiques connues. Ces lois ne peuvent pas tre appliques directement sur le systme rel. Il est ncessaire d'introduire des hypothses qui simplifieront le problme pour que ces lois puissent tre appliques. C'est la partie cration du modle physique. L'application des lois physiques donne des descriptions mathmatiques : c'est le modle mathmatique.

    Les vibrations peuvent tre modlises mathmatiquement, en se basant sur les principes fondamentaux comme les principes dquilibres dynamiques, et analyses travers les rsultats des quations diffrentielles (quations de mouvements).

    Remarque : Durant un mouvement vibratoire il y a un transfert dnergie continu entre lnergie potentielle et lnergie cintique.

    Position d'quilibre de la masse m

    m m

    Em, EC, Ep

    Temps

    m

    m

    m m

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    2 Modlisation d'un systme linaire un degr de libert Les vibrations peuvent se manifester dans toutes les directions et peuvent rsulter de linteraction de plusieurs objets. Pour simplifier la comprhension du phnomne des vibrations, seul le mouvement dans une seule direction et dune seule composante (masse) va tre abord.

    2.1 Modle rel et modle physique

    L'action de la barre sur la masse R dpend du dplacement et de la vitesse : = (, )

    La force R est appele aussi force de restauration. Elle tend ramener la barre sa forme initiale.

    = (, ) = + Fk : la partie de R qui modlise la force de rappel qui est due la rigidit de la barre. Fv : la partie de R qui modlise la force visqueuse qui est due au frottement visqueux dans la barre. Remarque : Le signe "-" signifie que la force R est toujours oppose au sens du mouvement. On modlise la rigidit de la barre par un ressort linaire sans masse de longueur initiale l0 et de rigidit k:

    = = = ( 0)

    On modlise le frottement visqueux interne de la barre par un amortisseur linaire de constante d'amortissement visqueux c:

    =

    On se limite aux parties linaires

    l0

    k

    c

    Barre

    () t

    Modle rel

    Poids

    R : action de la barre sur la masse

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    Gnralement la masse m est considre ponctuelle et = 0 + 3

    () t

    Modle rel

    () t

    Modlisation c k

    m m0

    mbarre

    Modle physique

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    3 Mouvement vibratoire libre 3.1 Systme libre non amorti

    Pour commencer, on traitera la rponse dun systme vibratoire non amorti et un seul degr de libert (1ddl) soumis des perturbations initiales. Par la suite, on traitera le cas dun systme vibratoire amorti un seul degr de libert.

    3.1.1 Modle masse-ressort

    Les quantits cinmatiques fondamentales utilises pour dcrire le mouvement dune particule sont : le dplacement, la vitesse et lacclration. En plus, les lois physiques montrent que le mouvement dune masse dont la vitesse est variable est dtermin par laction des forces agissant sur cette masse.

    Le systme le plus simple pour modliser un mouvement vibratoire est un ressort attach dun ct un objet fixe et son autre extrmit est attache une masse. On distingue deux types de modles.

    Modle vertical Modle horizontal

    3.1.1.1 Modle vertical

    Pour le modle vertical on prendra, pour l'instant, l'origine des dplacements le point d'attache du ressort.

    0

    m

    m 0

    m

    0

    0

    lq

    m

    A l'quilibre

    l0

    m

    En mouvement

    l z0 zq

    z

    0 = =

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    On applique le principe fondamental de la dynamiq