Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un...

37
Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté

Transcript of Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un...

Page 1: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n° 9 :

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté

Page 2: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Plan de la leçon : Oscillations libres d’un système non-amorti à

deux degrés de liberté

• Equations du mouvement• Equation caractéristique et solutions• Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de

vibration• Système de torsion à deux degrés de liberté• Termes de couplage et coordonnées principales

Page 3: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équations du mouvement

• Energies cinétique et potentielle et Lagrangien

• les équations de Lagrange s’écrivent :

Ce qui nous donnent les équations du mouvement.

2122232

2121

222

211

223

2212

211

222

211

xxkxkk2

1xkk

2

1xm

2

1xm

2

1VTL

xk2

1xxk

2

1xk

2

1V;xm

2

1xm

2

1T

0x

L

x

L

dt

d;0

x

L

x

L

dt

d

2211

Page 4: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique

• Les équations du mouvement sont :

• Supposons que m1 et m2 peuvent osciller avec la même pulsation et la même phase mais avec des amplitudes différentes :

• Une substitution dans les équations du mouvement donne :

0txktxkktxm

0txktxkktxm

1223222

2212111

tcosXtx

tcosXtx

22

11

0tcosXkkmXk

0tcosXkXkkm

2322

212

221212

1

Page 5: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite)

• Pour une solution non triviale de X1 et de X2, le déterminant suivant des coefficients de X1 et de X2 doit être égal à zéro :

• qui donne l’équation caractéristique :

0

kkmk

kkkmdet

322

22

2212

1

0kkkkkmkkmkkmm 223221

2132221

421

Page 6: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite)

• Les pulsations propres, fréquences naturelles ou valeurs caractéristiques du système s’écrivent :

• Ces solutions 1 et 2 montrent qu’il est possible que le système ait comme mouvement les équations de x1(t) et de x2(t) avec la même pulsation, la même phase mais avec des amplitudes différentes.

21

21

223221

2

21

132221

21

13222122

21

mm

kkkkk4

mm

mkkmkk

2

1

mm

mkkmkk

2

1,

Page 7: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite)

• Il y’aura deux groupes de valeurs (X1, X2), un correspondant à 1 que l’on notera

(X1(1), X2

(1)), et l’autre correspondant à 2 que l’on notera (X1(2), X2

(2)).

• Puisque les équations qui donnent X1 et X2 sont homogènes, nous ne pouvons

déterminer que les rapports :

32212

2

2

21211

11

12

1 kkm

k

k

kkm

X

Xr

21

22

211

12

1 X

Xret

X

Xr

32222

2

2

21221

21

12

2 kkm

k

k

kkm

X

Xr

Page 8: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté, équation caractéristique (suite)

• Les vecteurs propres ou directions propres correspondant aux valeurs propres 1 et 2 peuvent s’écrire

• Ces vecteurs dénotent les modes normaux des vibrations.

1

11

11

12

111

Xr

X

X

XX

2

12

21

22

212

Xr

X

X

XX

Page 9: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration

• Le système aura deux modes de vibration que l’on écrira :

où les constantes X1(1), X1

(2), 1 et 2 sont déterminées par les conditions initiales.

modepremiertcosXr

tcosX

tx

txx

111

11

111

1

12

111

modedeuxièmetcosXr

tcosX

tx

txtx

222

12

222

1

22

212

Page 10: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite)

• Chaque équation du mouvement de chacune des masses demande deux conditions initiales. Le système peut être excité pour vibrer dans son ième mode (i=1,2) c’est à dire à la pulsation i , il suffit de prendre :

• Pour d’autres conditions initiales générales, les deux modes seront excités. Le mouvement résultant est obtenu en superposant les deux modes normaux :

00tx,Xr0tx

00tx,onstantecX0tx

2i

1i2

1i

11

txtxtx 21

Page 11: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite)

• Ce qui veut dire que le mouvement général s’écrit :

• Si les conditions initiales sont données par :

• Les constantes X1(1), X1

(2), 1 et 2 peut être trouvées en résolvant les quatre équations algébriques suivantes :

22

21211

111

22

122

222

1111

12

11

11

tcosXrtcosXrtxtxtx

tcosXtcosXtxtxtx

0x0tx,0x0tx

0x0tx,0x0tx

2222

1111

2

21221

111122

2121

1112

22

1211

11122

111

11

sinXrsinXr0x,cosXrcosXr0x

sinXsinX0x,cosXcosX0x

Page 12: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite)

• Il est plus facile de calculer d’abord les valeurs X1(1) cos 1, X1

(2) cos 2, X1(1)

sin1, X1(2) sin2 que l’on écrit

12

2112

21

12

2121

11 rr

0x0xrcosX,

rr

0x0xrcosX

122

2112

21

121

2121

11 rr

0x0xrsinX,

rr

0x0xrsinX

Page 13: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Conditions initiales pour exciter un mode spécifique de vibration (suite)

• A partir desquels on obtient les solutions :

21

21

22122

21212

21

2

11

1

2

11

11

1

0x0xr0x0xr

rr

1

sinXcosXX

21

22

2112211

12

21

2

22

1

2

22

12

1

0x0xr0x0xr

rr

1

sinXcosXX

0x0xr

0x0xrarctg

cosX

sinXarctg

0x0xr

0x0xrarctg

cosX

sinXarctg

2112

211

22

1

22

12

2121

212

11

1

11

11

Page 14: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (1)

Solution :

• Si on mesure x1 et x2 des positions d’équilibre statique, les équations que nous venons de développer sont valables avec m1=m2=m, k1=k2=k3=k, on trouve les équations de mouvement suivantes :

0kx2kxxm

0kxkx2xm

212

211

Enoncé : Trouver les fréquences naturelles et les

modes de vibration du système masse-ressort de la figure qui est contraint de se déplacer dans la direction verticale. Prenez n=1

Page 15: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (2)

• On supposera une solution harmonique de la forme :

• En substituant dans les équations du mouvement, on obtient l’équation des fréquences :

0k3km4m

ou

0k2mk

kk2m

2242

2

2

2,1i,tcosXtx ii

Page 16: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (3)

• Les fréquences naturelles du système sont :

• Les rapports d’amplitude sont donnés par :

1k2m

k

k

k2m

X

Xr

1k2m

k

k

k2m

X

Xr

22

22

21

22

2

21

21

11

12

1

m

k3

m2

km12mk16km4

m

k

m2

km12mk16km4

2

21

2222

2

2

21

2222

1

Page 17: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (4)

• Les modes naturels de vibration sont donnés par :

22

1

22

12

11

1

11

1

1

tm

k3cosX

tm

k3cosX

txmode deuxième

tm

kcosX

tm

kcosX

txmodepremier

Page 18: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (5)

• Quand les masses vibrent dans le premier mode, les amplitudes des deux masses restent les mêmes, ce qui implique que la longueur du ressort du milieu reste la même et les deux masses sont en phase.

• Quand les masses vibrent dans le deuxième mode, leurs déplacements ont la même amplitude mais sont en opposition de phase. Dans ce cas, le centre du ressort central reste stationnaire quelque soit t. un tel point est appelé un nœud.

• En général, le mouvement du système s’écrit :

22

111

12

22

111

11

tm

k3cosXt

m

kcosXtx

tm

k3cosXt

m

kcosXtx

Page 19: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 1 : Fréquence d’un système masse-ressort (6)

Les deux modes de vibrations

Page 20: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique

Enoncé : Trouver les conditions initiales que l’on doit appliquer au système précédent pour le faire vibrer dans son (a) premier mode, (b) deuxième mode :

• Nous avons vu que pour des conditions initiales arbitraires, le mouvement des masses est décrit : où nous avons trouvé que :

• Dans notre cas, r1=1 et r2=-1, les équations se réduisent à :

txtxtx 21

22

)2(1211

)1(11

)2(2

)1(22

22)2(

111)1(

1)2(

1)1(

11

tcosXrtcosXrtxtxtx

,ettcosXtcosXtxtxtx

2)2(

11)1(

12

2)2(

11)1(

11

tm

k3cosXt

m

kcosXtx

,ettm

k3cosXt

m

kcosXtx

Page 21: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique

• Les constantes X1(1), X1

(2), 1 et 2 d’intégration qui sont déterminées à partir des conditions initiales s’écrivent pour r1=1 et r2=-1 :

0x0xk3

0x0xmtg

0x0xk

0x0xmtg

0x0xk3

m0x0x

2

1X

0x0xk

m0x0x

2

1X

21

2112

21

2111

21

221

221

21

21

221

221

11

Page 22: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique (3)

(a) Le premier mode normal du système est donné par :

En comparant avec les équations du mouvement du système trouvées dans l’exercice précédent, on voit que cela est possible si X1

(2)=0. Ce qui donne d’après l’équation de X1

(2) en fonction des conditions initiales :

11

1

11

1

tm

kcosX

tm

kcosX

tx

0x0xet0x0x 2121

Page 23: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 2 : Conditions initiales pour exciter un mode spécifique (4)

(b) Le deuxième mode normal du système est donné par :

En comparant avec les équations du mouvement du système trouvées dans l’exercice précédent, on voit que cela est possible si X1

(1)=0. Ceci implique que :

22

1

22

1

2

tm

k3cosX

tm

k3cosX

tx

0x0xet0x0x 2121

Page 24: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Systèmes de torsion à deux degrés de liberté

Système de torsion composé de deux disques montés sur une barre. Les disques ont les moments d’inerties J1 et J2 et les degrés de liberté de rotation θ1 et θ2. Les trois segments de l’arbre ont les constantes de torsion kt1 , kt2, kt3

Page 25: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Systèmes de torsion à deux degrés de liberté(2)

• Les énergies cinétiques et potentielles s’écrivent :

• L’application de l’équation de Lagrange donne :

22t

212t

21t

222

211

321k

2

1k

2

1k

2

1V

J2

1J

2

1T

0kkkJ

0kkkJ

23t2t12t22

22t12t1t11

Page 26: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 3 : Fréquences naturelles d’un système de torsion

Enoncé : trouver les fréquences naturelles et les modes de vibration du système de torsion de la figure avec J1=J0, J2=2J0 et kt1=kt2=kt

Solution : Les équations du mouvement de réduisent à :

0kkJ2

0kk2J

2t1t20

2t1t10

Page 27: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 3 : Fréquences naturelles d’un système de torsion (suite)

• En substituant la solution harmonique :

• On trouve l’équation des fréquences, après des arrangements simples :

• la solution de l’équation donne les fréquences propres :

• Les rapports d’amplitude sont données par :

2,1i;tcosti

0kkJ5J2 2tt0

240

4

175J4

ket175

J4

k

0

t2

0

t1

4

1752ret

4

1752r

21

22

211

12

1

Page 28: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Termes de couplages et coordonnées principales

• Les équations différentielles d’un système à deux ou plusieurs degrés de liberté sont en général couplées. Dans le cas des équations que nous avons vu, la première contient un terme en x2, et la seconde un terme en x1. Ces termes sont appelés termes de couplage ou termes rectangles.• Le mouvement général du système a est donné précédemment dans des équations donnant x1(t) et x2(t) avec les constantes obtenues à partir des conditions initiales. Par exemple, nous avons vu que pour le système horizontale de trois ressorts et deux masses :

•Ces équations nous permettent d’écrire :

tqrtqrtx

tqtqtx

22112

211

222

12

111

11

tcosXtq

tcosXtq

22

)2(1211

)1(112

22)2(

111)1(

11

tcosXrtcosXrtx

tcosXtcosXtx

Page 29: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Termes de couplages et coordonnées principales (suite)

• Ces nouvelles coordonnées q1(t) et q2(t) sont des fonctions harmoniques qui satisfont donc les équations du mouvement suivantes :

• Ces équations représentent le même système à deux degrés de liberté mais sans les termes de couplage. Ces nouvelles coordonnées sont appelées les coordonnées principales du système. Les équations de x1(t) et x2(t) nous permettent d’écrire :

0qq

0qq

2222

1211

txtxrrr

1tq

txtxrrr

1tq

21112

2

21212

1

Page 30: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Termes de couplages et coordonnées principales (suite)

• Les équations différentielles du mouvement écrites sous forme matricielle montrent le type de couplage présent dans le choix des cordonnées. Un couplage existe si une ou plus des matrices masse, amortisseur et raideur possèdent un terme non diagonal.

• Le système vibre suivant sa nature sans relation avec les coordonnées utilisées.

• Il est toujours possible de choisir un système de coordonnées (q1(t), q2(t)) qui donne des équations de mouvement sans couplage.

0

0

x

x

kk

kk

x

x

x

x

mm

mm

2

1

2212

1211

2

1

2212

1211

2

1

2212

1211

Page 31: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemples 4 : Coordonnées principales d’un système masse ressort

Enoncé : déterminer les coordonnées principales du système de la figure qui comprend deux masses et trois ressorts.

Solution : le mouvement général du système est donné par :

où B1=X1(1), B2=X1

(2), 1 et 2 sont des constantes.

• On définit les nouvelles coordonnées q1(t) et q2(t) telles que

22112

22111

tm

k3cosBt

m

kcosBtx

tm

k3cosBt

m

kcosBtx

222

111

tm

k3cosBtq

tm

kcosBtq

Page 32: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemples 4 : Coordonnées principales d’un système masse ressort (suite)

• Puisque q1(t) et q2(t) sont des fonctions harmoniques, leurs équations du mouvement correspondantes s’écrivent :

• On peut écrire

qui donnent

0qm

k3q

0qm

kq

22

11

tqtqtx

tqtqtx

212

211

txtx2

1tq

txtx2

1tq

212

211

Page 33: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemples 5 : Fréquences et modes d’une voiture

Enoncé : Déterminez les fréquences et les localisations des nœuds de vibration, des mouvements angulaire et linéaire d’une voiture avec les données suivantes :

Masse m=1000kg,

Rayon de giration r=0,9m,

Distance entre l’axe frontal et le centre de gravité ℓ1=1m,

Distance entre l’axe arrière et le centre de gravité ℓ2=1,5m,

Raideur des amortisseurs avant kf=18kN/m,

Raideur des amortisseurs arrières kr=22kN/m.

Page 34: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemples 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite)

Réponse : l’énergie cinétique, potentielle et le lagrangien s’écrivent :

L’équation de Lagrange

donne :

2

0

22r

21f

20

2

22r

21f

20

2

mrJoù

lxk2

1lxk

2

1J

2

1xm

2

1L

lxk2

1lxk

2

1V

,J2

1xm

2

1T

,xq,0q

L

q

L

dt

di

ii

0llxkllxkJ

0lxklxkxm

2221110

2211

Page 35: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemples 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite)

• Nous supposons une solution harmonique de la forme

On obtient :

en utilisant les données, on trouve :

tcost,tcosXtx

0

0X

lklkJlklk

lklkkkm222

211

202211

2211212

0

0X

6750081015000

150004000010002

2

Page 36: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite)

• On en déduit, l’équation des fréquences qui s’écrit :

• Les fréquences naturelles du système sont :

• Avec ces valeurs, le rapport des amplitudes est calculé à partir de l’équation

0247509991,8 24

s/rad4341,9,s/rad8593,5 21

3061,0X

,6461,2X

2

2

1

1

Page 37: Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n° 9 : Oscillations libres d’un système non-amorti à deux degrés de liberté.

Exemple 5 : Fréquences et modes d’une voiture (suite)

• Les nœuds de vibration sont localisés aux points -2,646m pour 1 et 0,3061m pour 2. Les modes de vibration sont montrés en pointillés sur la figure :