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Un siècle autour du théorème de Morley

Commission Inter-Irem Epistémologie - 11 mars 2006

« Ce faisant, je n’ajouterai aucun résultat positif à ceux déjà connus ; peut-être cependant les réflexions qui

suivent intéresseront-elles ceux qui ne se contentent pas de collectionner les faits mathématiques mais aiment à

les retourner en tous sens pour les mieux comprendre… »

Henri Lebesgue

Frank MORLEY (1860 - 1937)

A

B C

P

QR

A

B

C

C’

A’

B’

A

B

C

D

A

B

C

C’

A’

B’

A

B C

P

QR

1.— Approches géométriques2.— La découverte de Morley

3.— Géométrie et « calculs »…

A

B C

P

QR

Un peu de Synthèse…

A

B C

P

QR

A

B C

P

QR

P’

A

B C

P

P’

3

3

A

B C

Q’

3

3

Q

Un peu d’Analyse…

A

B C

P

QR

P

P’

P’

Q’

R’

P

Q

R

P’

Q’R’

P

Q

R

A

B C

P’

Q’R’

P

A

B C

P’

A

B C

P’

Q’R’

P

Q

R

A

B C

— les segments rouges font toujours des angles de π/3

— SI le résultat est vrai, alors les segments rouges sont concourants…

— SI le résultat est vrai, alors les angles des triangles isocèles valent …

Raoul Bricard (1922)

P

Q

R

P

Q

R

A

B C

P

Q

R

A

B C

?

?

?

?

??

P

Q

R

A

B C

P

Q

R

B C

P

B C

P’

v + w)/2

U

V W

I

WV

U

v + w)/2

?

WV

v + w)/2

U

v + w)/2

WV

I

v + w)/2

U

Q

R

A

B C

P

P

Q

R

A

B C

John Horton Conway (1995)

P

Q

R

A

B C

A

B C

Démonstration “ directe ”…

A

B C

P

QR

P’

Q’R’

π/3

π/3

π/3

— les droites PP’, QQ’ et RR’font entre elles des angles de π/3

—SI LA CONCLUSION EST VRAIE, alors les droites PP’, QQ’ et RR’ sont concourantes.

P’

Q’R’

P

Q

R

A

B C

1°) supposons que les segments rouges(qui font toujours des angles de π/3)soient concourants …

A

B C

P

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2°) il reste à prouver que les segmentsrouges sont concourants …

A

B C

P

QR

P’

Q’R’

A

B

C

C’

A’

B’

A

B C

P

Q

R

A

B

C

C’

A’

B’

A

B C

P

Q

R

A

B C

P’

Q’ R’

A

B C

P’

Q’ R’

P

Q

R

A

B C

P

Q

RP’

Q’R’

P

Q

R

P’

Q’

R’

1

u

u 2

z = (u 2 + 2u) / 3

z + u 3 z – (u 2 + u) / 3 = 0

z + z + = 0 ] 3 + 2 – 3 + 2

O

u

v

w

1 u 3 u 2 + u

1 v 3 v 2 + v

1 uvw 0

1 u 3 u 2 + u

1 v 3 v 2 + v

1 w 3 w 2 + w

… / …

A

B

C

… / …

A

B

C

A

B

C

Triangle fixe

Triangle mobileSemblable à lui-même

Lieu géométriquedu centre ?

A

B

C

Pourquoi 60° ?…

… / …

Le calcul d’Alain Connes

B C

P

QR

A

V(2)

U(2)

W(2)

21

6

5 4

3

B C

P

QR

A

U(2)°U(2)°U(2)

21

1212

B C

P

QR

A

V(2)°V(2)°V(2)

U(2)°U(2)°U(2)

W(2)°W(2)°W(2)

6

54

3

1

2

W 3°V

3°U

3 = Identité

B C

P

QR

A

V(2)°U(2)

43

1

2

B C

P

QR

A

W(2)°V(2)

V(2)°U(2)U(2)°W(2)

4

1

centre P

4

6

51

centre Rcentre Q

si W 3°V

3°U

3 = Identité

alors les centres de

V°U , W°V et U°W

forment un triangle équilatéral 4

1

4

6

51

B C

P

QR

A

B C

P

QR

A

A

B C

P

Q

RP’

Q’R’

P

Q

R

P’

Q’

R’

B C

P

QR

A

V(2)

U(2)

W(2)

21

6

5 4

3

U : z u.z + a.(1 – u)

U 3 : z u 3.z + a.(1 – u 3)

V°U : z vu.z + r.(1 – vu)

Q : z u.z + q.(1 – u)P : z u.z + p.(1 – u) avec u 3 = 1

P°Q : z u 2.z + (uq + p)(1 – u)

Q2

1

P3

4

P°Q : z v.z + r.(1 – v)

si Q 3 = Id et P 3 = Id

alors, si P°Q a un point fixe, (P°Q) 3 = Id

v = u 2 , donc v 3 = 1 uq + p = r.(1 + u) , …

[…] Au lieu de faire appel aux aires visuelles du cerveau [l’algèbre] fait appel aux aires du langage.

D’un côté, vous avez un résultat géométrique qui est simple à appréhender, de l’autre côté vous avez un résultat algébrique qui fait appel à des manipulations élémentaires.

« On peut en donner une démonstration géométrique simple qui consiste à partir d’un triangle équilatère PQR et à reconstruire un triangle quelconque ABC, mais cette démonstration reste artificielle. »

« Ce résultat géométrique se perçoit directement par les aires visuelles du cerveau et même si l’on n’en connaît pas la démonstration, on peut en comprendre l’énoncé de manièredirecte grâce à la richesse de la perception visuelle. »

B C

P

QR

A

« Nous ne pouvons pas nous contenter de formules simplement juxtaposées et qui ne s’accorderaient que par un hasard heureux ; il faut que ces formules arrivent pour ainsi dire à se pénétrer mutuellement. L’esprit ne sera satisfait que quand il croira apercevoir la raison de cet accord, au point d’avoir l’illusion qu’il aurait pu le prévoir. »

Henri Poincaré (1905)

… / …

[Au début du XIXème siècle, la géométrie analytique] se renouvelait […] par une révolution en quelque sorte inversede la réforme cartésienne.

Mais une méthode purement mécanique, qui ne demande à l’esprit d’invention aucun effort, ne peut être réellement féconde.

Une nouvelle réforme était donc nécessaire : Poncelet et Chasles en furent les initiateurs.

Grâce à eux, ce n’est plus ni à un hasard heureux, ni à une longue patience que nous devons demander la solution d’un problème, mais à une connaissance approfondie des faits mathématiques et de leurs rapports intimes. Les longs calculs d’autrefois sont devenus inutiles, car on peut le plus souvent en prévoir le résultat.

Avant Descartes, le hasard seul, ou le génie, permettait de résoudre une question géométrique ; après Descartes, on a pour arriver au résultat des règles infaillibles ; pour être géomètre, il suffit d’être patient.

Les théorèmes de Miquel et le théorème de Clifford

1er Théorème de Miquel (1838)

Démonstrations…

Démonstration synthétique…

1

2

3

4

5

6

9



1

2

3

4

5

6

9

1

2

3

4

5

6 7

8

9

La démonstration de Clifford (1870)


I

J

F

2ème Théorème de Miquel (1838)

4

3

1

2

1

2

3

4

4

3

1

2

1

2

3

4

1 23 4

1

4

1 23 443

21

4

3

2


I

J

F

Cas de 6 droites (Clifford 1870)

Le théorème de « de Longchamps »

Miquel

de Longchamps (1877)

Programme de Leibniz (1679) :

« Il nous faut encore une autre analyse géométrique ou linéaire, qui nous exprime directement situm comme l’algèbre exprime magnitudinem. […] »

« L’algèbre n’est autre chose que la caractéristique des nombres indéterminés, ou des grandeurs. Mais elle n’exprime pas directement la situation, les angles et le mouvement. D’où vient qu’il est souvent difficile d’enfermer dans le calcul les conditions de la figure et qu’il est encore plus difficile de trouver des démonstrations et des constructions géométriques assez commodes, alors même que le calcul d’algèbre est tout fait. »

« Faire comprendre un résultat, c’est essentiellement l’intégrer dans un tout cohérent dont certaines parties sont déjà bien familières. »

Henri Lebesgue (1939)

… / …

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