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TP : Num´ erisation d’un signal analogique J. C. Magniez, PCSI Louis Thuillier Corrig´ e du TP : Num´ erisation d’un signal analogique 1 ´ Echantillonnage L’objectif est ici d’apprendre ` a faire le spectre d’un signal num´ eris´ e et de voir les contraintes impos´ ees par la num´ erisation sur la transform´ ee de Fourier (crit` ere de Shannon) On souhaite num´ eriser un signal ´ electrique sinuso¨ ıdal g´ en´ er´ e par un GBF, de fr´ equence f = 100 Hz et d’amplitude U 0 = 2 V. On cr´ ee donc un signal sinuso¨ ıdale ` a l’aide d’un GBF. On r` egle le type de signal et la fr´ equence sur le GBF. On envoie le signal sur un oscilloscope ` a l’aide d’un cˆ able coaxial afin d’observer le signal. 1. On v´ erifie les caract´ eristiques du signal ` a l’aide de l’oscilloscope. Dans un premier temps, on mesure ces caract´ eristiques ` a l’aide des curseurs de l’oscilloscope. 1
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TP : Numerisation d’un signal analogique J. C. Magniez, PCSI Louis Thuillier
Corrige du TP : Numerisation d’un signalanalogique
1 EchantillonnageL’objectif est ici d’apprendre a faire le spectre d’un signal numerise et de voir les contraintes imposees par
la numerisation sur la transformee de Fourier (critere de Shannon)
On souhaite numeriser un signal electrique sinusoıdal genere par un GBF, de frequence f = 100 Hz etd’amplitude U0 = 2 V. On cree donc un signal sinusoıdale a l’aide d’un GBF. On regle le type de signal et lafrequence sur le GBF. On envoie le signal sur un oscilloscope a l’aide d’un cable coaxial afin d’observer le signal.
1. On verifie les caracteristiques du signal a l’aide de l’oscilloscope. Dans un premier temps, on mesure cescaracteristiques a l’aide des curseurs de l’oscilloscope.
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On mesure ainsi la distance entre la valeur maximale et minimale du signal valant deux fois l’amplitude dusignal, notee A : 2A = 3,96 ± 0,04√
3 V (l’incertitude de type B est ici essentiellement due a l’experimentateurlors du pointage avec le curseur d’une valeur).
A = 1,98 ± 0,01 V
De meme, on mesure la periode du signal notee T : 4T = 40,0 ± 0,2√3 ms.
T = 10,0 ± 0,1 ms
En deduit la frequence du signal, notee f avec la formule de propagation des incertitudes ∆TT = ∆f
f .
f = 100 ± 1 Hz
Nous utilisons dans un deuxieme temps, les fonctions ”measures” de l’oscilloscope pour verifier les ca-racteristiques du signal. On obtient alors les valeurs suivantes (l’incertitude de type B est mesuree graceaux fluctuations de la valeur affichee) :
A = 2,00 ± 0,01 V T = 10,0 ± 0,1 ms f = 100 ± 1 Hz
2. On branche la sortie du GBF sur l’une des entrees analogiques de la carte d’acquisition. On selectionnela voie appropriee sur le logiciel Latis-Pro. On regle ensuite la periode d’echantillonage (Tech = 1 mspour avoir fech = 1000 Hz), la duree totale d’acquisition T0 = 1 s. La relation NTech = T0 fixe alors lenombre N de points d’acquisition.
Remarque : Dans le menu courbe, on peut regler le style de la courbe affichee et ainsi relier les pointspar des traits.
3. On retrouve la frequence de 100 Hz sur le spectre correspondant au signal acquis. Le spectre est donc cor-rect. 200<1000, le critere de Shannon est donc respecte. La frequence maximale que l’on peut echantillonerest de 500 Hz d’apres le critere de Shannon (fech/2).
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4. On a trace le spectre du meme signal mais avec une frequence d’echantillonage fech = 166,7 Hz nerespectant plus le critere de Shannon. On observe alors un spectre avec deux pics ne correspond pas ausignal acquis. Ainsi, lorsque le critere de Shannon n’est pas respecte, le spectre du signal numerise esterrone.
Ces mesures illustrent le theoreme de Shannon : lorsque le critere de Shannon n’est pas respecte, il y a moinsde 2 prises de mesure (echantillons) par periode du signal, ce qui est insuffisant pour rendre compte fidelementde la frequence du signal.
On modifie la forme du signal emis. On cree a l’aide du GBF un signal electrique rectangulaire, de frequencef = 50 Hz et d’amplitude U0 = 2 V. On verifie a nouveau les caracteristiques du signal emis par le GBF a l’aidede l’oscilloscope.
5. On realise une nouvelle acquisition avec fech = 1000 Hz et T0 = 1 s. Le spectre obtenu est alors pluscomplexe car c’est un signal rectangulaire. Un signal rectangulaire est constitue d’une somme de si-nusoıdes. On retrouve sur le spectre les amplitudes et les frequences des sinusoıdes constituant le signalrectangulaire.
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6. La frequence maximale ayant une amplitude non negligeable sur le signal rectangulaire precedente etaitd’environ 350 Hz, le critere de Shannon est respecte si 700 Hz est inferieur a la frequence d’echantillonnagefech. C’etait donc le cas sur la derniere acquisition. Ici, on augmente la frequence du signal a numeriser afinde ne plus respecter le critere de Shannon. Lorsque celui-ci n’est plus respecte, on observe un repliementde spectre.
7. D’apres la notice d’utilisation de la carte d’acquisition, la frequence maximale d’echantillonnage est de10 MHz. Ainsi, la frequence maximale que l’on peut acquerir avec cette carte est de 5 MHz.
Conclusion : Le critere de Shannon doit etre respecte afin d’obtenir un signal numerise representantavec fidelite le signal analogique. Dans le cas contraire, le spectre du signal presente des artefacts numeriquescorrespondant a l’echantillonnage et donnant lieu a un repliement de spectre.
1.0.1 Applications
1. Les signaux audio des CD sont echantillonnes a 44,1 kHz car la plus grande frequence audible est de 20kHz. Afin de respecter le critere de Shannon, la frequence d’echantillonnage est au moins 2 fois superieura la frequence maximale du signal, soit 40 kHz.
2. La voix humaine parcourt un intervalle de frequence compris entre 100 Hz et 3400 Hz, ainsi les cartes d’ac-quisition (convertisseur analogique-numerique) des telephones doivent avoir une frequence d’echantillonnaged’au moins 6800 Hz (typiquement 7000 Hz).
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2 QuantificationNous allons mettre en evidence la quantification d’une conversion analogique-numerique et mesurer le nombre
de bits sur lequel est code le signal acquis a l’aide de la carte d’acquisition.1. On regle grace au GBF un signal sinusoıdal d’amplitude 0,2 V (utilisation d’un attenuation a l’issue
du GBF pour pouvoir atteindre de si faibles amplitudes) et de frequence f = 100 Hz. On verifie cesparametres sur l’oscilloscope et on envoie le signal dans la carte d’acquisition. On regle l’acquisitionLatisPro avec les parametres suivants : duree d’acquisition T0 = 1 s ; frequence d’echantillonnage fech =100 kHz.
2. Afin de remonter au nombre de bits de l’acquisition, nous allons essayer de mesurer la distance separantdeux niveaux de quantification sur la courbe precedente. En connaissant cette ecart et la calibre del’acquisition (fenetre des valeurs acceptees pendant l’acquisition), nous pourrons remonter au nombre debits de codage. On fait donc un zoom sur la courbe pour pouvoir observer la distance separant deuxniveaux de quantification successifs. On obtient ainsi la mesure de δV .
δV = 4,026 ± 0,001 mV
Le calibre de l’acquisition est visible a l’aide d’un clic droit sur la voie d’acquisition choisie. Ici, le calibreest regle par defaut sur +10 V/ -10 V (+Vc/ -Vc). Ainsi, les 20 V constituant la fenetre d’acquisitionsont divises en 2N nombres de niveaux de tension (avec N le nombre de bits d’acquisition). On a doncδV = 2Vc
2N . On en deduit
N = 1ln 2 ln
(2Vc
δV
).
N = 12,27 ± 0,01 bits
On retrouve 12 bits comme indique sur la notice d’utilisation de la carte d’acquisition.Conclusion : Nous avons donc mis en evidence la quantification d’un signal numerique et nous avons ete
capable de mesurer le nombre de bits sur lesquels sont realises cette quantification.Le nombre de points associes a un signal audio d’une duree T0 est de nfeT0. Chacun de ces points est code
sur N bits. On a donc une taille de fichier de nfeT0N . Pour exprimer le resultat en octets, il suffit de diviser ce
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nombre par 8. Ainsi la taille d’un fichier audio est donnee par :
nfeT0N/8
Ainsi, un fichier audio d’une duree de 3 minutes est numerise a 8 kHz et 16 bits stereo pese 5,76 Mo.
3 Analyse spectrale du son d’un instrumentNotre objectif est ici d’observer le spectre du signal emis par un instrument de musique.
On utilise le meme dispositif que precedemment sauf que cette fois le signal n’est pas emis par un GBF maispar un instrument de musique tel qu’un diapason ou un ukulele. Le signal analogique et sonore de l’instrumentest capte par un microphone qui en donne un signal analogique et electrique. Le signal est amplifie avant d’etrenumerise par la carte d’acquisition.
Afin d’enregistrer le signal, il nous faut un temps d’acquisition suffisamment long pour pouvoir existerl’instrument de musique. On choisit donc une duree d’acquisition de T0= 5 s. Les frequences des notes quenous allons jouer etant de l’ordre de 1000 Hz, nous choisissons une frequence d’echantillonnage de 10 kHz (nousaurions pu utiliser une frequence superieur a 40 kHz pour respecter le critere de Shannon vis a vis de la frequencemaximale du domaine audible mais la frequence de 10 kHz est ici suffisante). Le nombre de points d’acquisitionest donc de 50 000.
On obtient alors le signal et le spectre suivant pour un diapason :
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Spectre du signal emis par un diapason
On observe pour le diapason un unique pic dans le spectre a 440 Hz (La de la troisieme octave). Le son emispar un diapason est donc tres pur.
On acquiere le signal et le spectre du son emis par les cordes d’un ukulele :
Spectre du signal emis par la premiere corde d’un ukulele. On peut mesurer des pics a 269 Hz, 538 Hz et 812Hz. La note jouee est proche du Do de l’octave 3.
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Spectre du signal emis par la premiere corde d’un ukulele. On peut mesurer des pics a 284,5 Hz, 569,0 Hz et854,4 Hz. La note jouee est proche du Re de l’octave 3.
Spectre du signal emis par la premiere corde d’un ukulele. On peut mesurer des pics a 273 Hz, 546 Hz, 821 Hzet 1094 Hz. La note jouee est proche du Re de l’octave 3.
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Spectre du signal emis par la premiere corde d’un ukulele. On peut mesurer des pics a 319 Hz, 639 Hz, 958 Hz,1281 Hz, 1614 Hz, 2263 Hz et 2908 Hz. La note jouee est proche du Mi de l’octave 3
On observe donc que le son emis par un ukulele est bien plus complexe que celui d’un diapason. On remarqueque le son est constitue d’une frequence fondamentale et d’harmoniques (les frequences des pics ulterieurs sontdes multiples de la frequences du fondamental). On retrouve en definitive les modes propres d’une corde vibrante.Ainsi, le son emis par une corde vibrante est issu d’une superposition des modes propres de la corde lorsquecelle-ci est excitee.
Remarque : De toute evidence, le ukulele n’est pas accorde...
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