Notions de calcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI Frédéric Magniez CNRS - LRI...

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Notions de calcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI http://www.lri.fr/~magniez/calcul-quantique.html

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Notions de calcul quantique

Frédéric MagniezCNRS - LRI

Frédéric MagniezCNRS - LRI

http://www.lri.fr/~magniez/calcul-quantique.html

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Vers la nanotechnologie

Taille des composants

Nombre des composants

Vitesse

Gordon Moore 1965

Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ?

Apparition de phénomènes quantiques

Limitation théorique atteinte en 2020 !!!

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Le photon

Caractéristiques :

• la position,

• la longueur d’onde,

• la polarisation.

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Filtre polarisant

?

Sortie d’un filtre polarisant :

Lumière polarisée selon la direction du filtre.

Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.

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Jouons avec les photons

50%

50%

• Polarisation verticale : Photon jamais détecté.• Polarisation horizontale : Photon toujours détecté.• Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 !

Polarisation diagonale = Mélange statistique ?

100 %

Polarisation diagonale = superposition quantique ...

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Superposition quantique

)

Etat polarisation : superposition

Filtre : mesure

Mesuredétecté

non détécté

L ’observation perturbe le système

θcos2θ

sin2θ

θ

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Evolution quantique

Transformations qui préservent la superposition ?

Condition nécessaire : isométrie

Une isométrie : la lame quart d’onde

Symétrie orthogonale autour de son axe

Transformations orthogonales :

telle queOrthogonale Réversible⇒

G ∈O(2)

G ∈R2×2 tGG=Id

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Le qubit

Bit classique : élément déterministe

Bit probabiliste : distribution probabiliste

Bit quantique : superposition quantique

b∈ 0,1{ }

d =(p,q) avec p,q∈ 0,1[ ] tq p+q=1

ψ ∈C 0,1{ } tq ψ =1

ψ =α 0 +β1 avec α 2

+β 2

=1

0 = → et 1 = ↑

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Evolution du qubit

Transformations unitaires :

G

Unitaire Réversible :⇒

G*

G ∈U(2)

G ∈C2×2 tq G*G =Id

ψ ′ ψ =Gψ

′ ψ =Gψ ψ

Mesure : Lire et Modifier

Mesureα 0 +β11

2

β 2

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Un premier exemple

Le problèmeEntrée :

Sortie : 0 ssi f est constante f : 1,K ,N{ }→ 0,1{ } soit constante, soit balancée

Complexité en requêtes

Contrainte : f est une boîte noire

Classique : 1+N/2 requêtes

Quantique : 1 requête

f(0) = ?

f(0) = 1

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Solution quantique (N=2)

Implémentation de f

Sfb −1( )f(b)

bα 0 +β1 (−1) f(0)α 0 + −1( )f (1)

β 1

Attention : n’est pas nécessairement réversible ! xa f (x)

Circuit quantique

0 H Sf MesureH ?

Porte HadamardHb

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0 + −1( )b1( )

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Analyse (N=2)

0 H Sf MesureH ?

Initialisation : 0

0 +1( )/ 2Parallélisation :

Appel de la fonction : −1( )f (0)

0 + −1( )f(1)

1( )/ 2

Interférences : −1( )f (0)

( 0 +1) + −1( )f(1)

(0 −1 )( )/2

−1( )f (0)

+ −1( )f (1)

( )0 + −1( )f (0)

− −1( )f(1)

( )1( )/2Au final :

f constante 0

f non constante 1

H Mesure0

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Systèmes à 2-qubit

Définition : ψ ∈C 0,1{ }2

tq ψ =1

ψ =α 00 +β 01+γ 10 +δ11 avec α 2

+β 2

+γ2

+δ2=1

C 0,1{ }2

=C 0,1{ } ⊗C 0,1{ } mais 00 + 01 = 0 ⊗ 0 +1( )

00 +11 ≠ψ 1 ⊗ ψ 2

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

Transformations unitaires : ψ a Gψ avec G ∈U(4)

Mesure

Mesureαx xx∈0,1{ }2∑ x

αx

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Le problème des cadenas

Le problèmeEntrée :Sortie : x tel que f(x)=1

f : 1,K ,N{ }→ 0,1{ } telle que ∃!x0; f(x0) =1

Contrainte : f est une boîte noire

Complexité en requêtes Classique : N requêtesQuantique : N requêtes

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Remarques préliminaires

Implémentation de f

Sfαxx∑ x

Double porte Hadamard

Ha 0 + −1( )a1( )/ 2

αxx∑ x −2αx0x0

Hb 0 + −1( )b1( )/ 2

Hx = x1x2

H−1( )

x•y

y∑ y( )/ 2

avec x•y=x1y1 +x2y2

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Solution quantique (N=4)

0 HSδ0

H?

0 H H

Initialisation : 00

00 + 01+10 +11( )/ 2Parallélisation :

Appel de f : −1( )f( x)

xx∑( ) /2= x

x∑( )/ 2− x0

Interférences : 00 − −1( )x0•y

y∑ y( )/ 2

Sf

H

H

Appel de :0

Regroupement :

−00 − −1( )x0•y

y∑ y −200( )/2=−H ⊗ H x0

−x0

Mesure0

0

H

H

H

H

H

HMesure x0

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Principales applications

• Cryptographie– Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84]

Implémentation : ~ 100 km

• Information quantique– Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93]

Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Weilinger 97]

• Algorithmique– Factorisation, logarithme discret, ... [Shor 94]

– Recherche [Grover 96]Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]

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Téléportation quantiqueLe problème

Alice : qubit inconnuBob : position éloignée et inconnue d’Alice.

ψBut : Transmettre à Bob

Solution

ψ