TOPOLOGIEd'après le cours de M. Nicolas Tosel

professeur en MP* au Lycée du Parc, LyonAnnée 2004­2005

1) DISTANCE, ESPACES    MÉTRIQUES   

a : distances :

une distance est une application d de E dans R+ telle que :d(x,y)=0   x=y⇔d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)

b : espaces métriques:

un ensemble muni d'une distance est appelé espace métrique.

c : boules ouvertes, boules fermées :

boule ouverte de E de centre x et de rayon r : Bo(x,r)={ y E \ d(x,y)<r }∈boule fermée : Bf(x,r)={ y E \ d(x,y)∈ ≤r }

d : parties bornées, diamètre :

une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ;définition : diamètre : diam(X)=min{ r R∈ +* \ ( x E \ X B∈ ⊂ f(x,r) ) }

e : espace métrique induit:

si X est une partie de E, X muni de la restriction de l'application distance de E à X est unespace métrique, dit espace métrique induit ;

f : suites dans un    EM   ,  convergence :   

(xn)n N∈ E∈ ℕ est dite convergente ssi il existe x dans E tel que

d(xn,x) 0 quand n +∞ ;→ →

g : suites extraites, valeurs d'adhérence :

_si une suite converge, elle admet une unique valeur d'adhérence ; réciproque fausse ;_caractérisation des VA : { n∈ℕ \ n <   } non majoréε

2) ESPACES NORMES :

a : définition :

un ev E est dit normé ssi il existe une application ℕ de E dans ℝ+ telle que :

N(x)=0   x=0⇔N( x)=| | N(x)λ λ

N(x+y)≤N(x)+N(y)

remarque : (x,y) → N(x,y) induit une distance sur E ;b : exemples :

dans ( C([0,1],R) , Np ) : Np(f)=(∫01|f|p)1/p, avec p dans ℝ, p≥1 ;

norme canonique de  ℝ² : x , y x²y²

c : CV dans un    evn    :   

(xn)n N∈ E∈ N est dite convergente ssi il existe x dans E tel que :N(xn­x)  0 quand n  ∞ ;

d : normes équivalentes :

_existe C > 0 tel que ∀ x, N(x) ≤ N'(x) : N'est plus fine que N ;_existe C > 0 et C' >0 tel que ∀ x, C*N'(x) ≤ N(x) ≤ C'*N'(x) : N et N' sontéquivalentes ;_traduction en terme de convergence :

une suite convergente pour une norme est convergente pour toute normemoins fine ;

d'où : les suites convergentes pour une norme N sont exactement les suites

convergentes pour toute norme équivalente à N ;

_exemples classiques dans ℝp : norme n :  ∥x∥n=n x1

n..x pn

théorème : si E et un evn de dimension finie, toutes les normes sur E sont équivalentes ;

attention : ceci est faux en dimension infinie ;

3) TOPOLOGIE D'UN ESPACE    MÉTRIQUE    :   

ici, (E,d) sera un EM ;

a : ouverts et fermés :

définition : une partie X de E est dite ouverte dans E ssi :∀ x ∈ E, ∃ r > 0 \ Bo(x,r) ⊂ X

une partie X de E est dite fermée dans E ssi son complémentaire dans E estouvert ;

attention : si X est une partie de E et Y une partie de X, les propriétés d'ouverture et defermeture de Y ne sont a priori pas les mêmes dans E et dans X !attention : ouvert n'est pas le contraire de fermé ! E et ∅ sont à la fois ouverts et fermésdans E ;

_une union quelconque  d'ouverts est ouverte ;_une intersection finie d'ouverts est ouverte ;_exemple de l'ensemble de Cantor (fermé, car intersection de fermés) ;

théorème : caractérisation séquentielle des fermés : une partie X de E est dite fermée dans E ssi la limite de toute suite convergente dans E de X est dans X ;

b : adhérence et intérieur :

définition : adhérence : on appelle adhérence de X, notée  X  , l'ensemble :X =∩ ⊂ , X F F fermé F

X est donc le plus petit fermé contenant X ;de plus X est l'ensemble des limites des suites de X

convergentes dans E ;

A fermé ssi  A=A  ;

définition : l'intérieur de X, noté  X̊  est le plus grand ouvert de E contenu dans X, ou encore l'union de tous les ouverts contenus dans X ;

c : rappels sur les ensembles convexes :

définition : une partie C d'un ev est dite convexe ssi dès que C contient deux points, elle contient le segment qui les joints ;

d : parties denses de E :

une partie X de E est dite dense dans E ssi  X=E ;par exemple :  ℚ=ℝ

e : autres notions topologiques :

_frontière :  fr X =X ∖ X̊_voisinage de x : toute partie de E contenant une boule ouverte de centre x ;

4) APPLICATIONS D'UN    EVN    DANS UN AUTRE   

a : limite d'une application en un point :

soit f : (E,d) → (E',d')soient A une partie non vide de E, a ∈ A  et b ∈ E' ;odq f tend vers b en quand x tend vers a en restant dans A ssi :

∀ > , ∃ > ∀ ∈ , ( , )≤ ⇒ ( ( ), )≤0 0 \ x A d x a d' f x b

b : continuité, caractérisation séquentielle :

définition : une application f d'une métrique dans un autre est dite continue ssi :f(x)  f(a) quand x  a ;

séquentiellement cela signifie :xn  a  f(xn)  f(a) , pour toute suite x de Eℕ ;

définition : une application f est dite uniformément continue sur X ssi :∀ >0 ,  >0 \ ∀ (x,y)∈X , d(x,y)    d(f(x),f(y))  

c :    ℱ   (E,E') :    dissymétrie    des rôles de E et E' :   

théorème : si f est continue de (E,d) dans (E',d'), l'image réciproque d'un ouvert de E' estouverte dans E ; idem pour les fermés ;attention : on ne peut rien dire d'une image directe ;

d : exemples matriciels :

_  GLnK =M nK (nombre fini de racines du polynôme caractéristique : prendre M(k) = M­(1/k)*Id ; pour  k assez grand c'est inversible ) ;_ adhérence des matrices de rang r : matrices de rang inférieur ou égal ;  intérieur : vide ;_l'ensemble des projecteurs est fermé (image réciproque de {0} par la trace ) , d'intérieurvide ;

e : prolongement des égalités :

si deux applications continues sont identiques sur une partie dense de E, elle sontidentiques sur E ;

f : applications uniformément continues, applicationslipschitziennes :

_une fonction C­lipschitzienne est uniformément continue ;

_exemple important : distance à une partie : application 1­lipschitzienne ;attention, même sur un fermé, on n'est pas assuré que la distance soit atteinte;

g : homéomorphismes :

définition    :    on appelle homéomorphisme une application continue d'un EM dans un autre, bijective, de réciproque continue ;

5) COMPACTS :

a : définition :

_un métrique E est dit compact ssi toute suite de E admet une valeur d'adhérence._si E est compact, une suite de E converge ssi elle admet une unique VA.

b : parties compactes d'un métrique :

_une partie X d'un métrique est dite compacte ssi toute suite de X admet au moins uneVA dans X ;_Toute partie compacte d'un espace métrique est fermée et borné._si (E,d) est un métrique compact, les compacts de E sont exactement ses parties fermées._ un produit de compacts est compact pour la distance produit ;

c : applications continues sur un compact :

théorème : si f est une application continue de (E,d) dans (E',d') et E est compact, alors f(E) est un compact de E';

exercice très important :soit (E, ||) est un K­evn de dimension finie :soit f : E  R, continue;on suppose : quand ||x||  +∞ , |f(x)|  +∞alors f admet un minimum global sur E ;

théorème de    Heine    :    si f est continue sur un compact, elle y est uniformément continue ;

6) ESPACES NORMES DE DIMENSION FINIE

a : équivalence des normes (preuve) :

principe : prouver que toute norme est équivalente à la norme , pour un choix arbitrairede coordonnées ; conclure par transitivité ;

b : conséquences :

– si (E,||) est un evn de dim finie, toute suite bornée de E admet une VA ;– les compacts de E sont exactement les fermés bornés ;– exemples des polynômes de meilleure approximation ;– la distance à un fermé est toujours atteinte ;– La sphère unité est compacte (caractérisation des evn de dimension finie) ;

c : application : théorème d'Alembert­Gauss :

théorème d'Alembert­Gauss :  tout polynôme de ℂ[X] non constant admet au moins une racine ;

7) APPLICATIONS    LINÉAIRES    CONTINUES,    ALGÈBRES   NORMÉES

a : caractérisation :

théorème :  si (E,|| ||) et (E',|| ||') sont deux K­evn, et f   L(E,E'), f est continue ssi f est ∈lipschitzienne ;

Remarque : c'est toujours par ce critère qu'on montre la continuité d'une applicationlinéaire, jamais epsilonesquement ;

b : norme subordonnée :

– ||| f ||| = sup x   E et ||x||=1∈ { ||f(x)||' }si E est de dimension finie le sup est atteint (c'est un max) : cela vient de la compacité dela sphère  unité ;||| ||| est une norme sur ℒC(E,E') ;– cas particulier du dual topologique : ℒC(E,K) ;

théorème : si E est de dimension finie, tous les endomorphismes de E sont continus ;

c : composition, algèbres normées :

– si u et v sont des ALC, ||| u°v |||  ||| u |||*||| v |||– (A,|| ||) est une K­algèbre normée ssi A est une K­algèbre, (A,|| ||) est un evn, ||1A||=1, et

(x,y)   A², ||∀ ∈ xy||  ||x|| ||y||

exercice : théorème de Hahn­Banach :

soient (E,||) un evn réel, F un sev de E, et f   F* avec ||| f ||| = 1 ;∈soient e   E\F et G tels que G=F   ∈ ⊕ ℝe ;mq l'on peut prolonger f en une forme linéaire de norme 1 sur G ;(analyse synthèse)

– extension aux applications multilinéaires :si f est n­linéaire, f est continue ssi   C > 0 tq   x=(x∃ ∀ 1, .. ,xn), ||f(x)||  C*∏ ||xi||

8) ESPACES COMPLETS

a : suite de Cauchy, espace complet :

définition :  on appelle suite de Cauchy d'un espace métrique (E,d) toute suite u de E vérifiant :∀ > , ℕ , , (0 N \ m n N d um,un)

– un EM est complet ssi toute suite de Cauchy de cet espace converge ;– un evn complet pour la distance associée à la norme est dit Espace de Banach ;

b : exemples d'espaces complets :

lemme : toute suite de Cauchy est bornée ;lemme : si une suite de Cauchy admet une VA, elle CV ;théorème : tout K­evn de dim finie (K=ℝ ou ℂ) est un Banach ;

exemple : si X est un ensemble non vide et (E,|| ||) un Banach, ( B(X,E) ,|| ||∞ ) est un

Banach (applications bornées) ;

c : parties complètes, exemples :

soient (E,d) un métrique et X une partie non vide de E : si (X,d) est complet, X est fermédans E ;si (E,d) est complet, les parties complètes de E sont exactement les fermés ;

exemple (HP) : ( C([0,1],R) ,|| ||∞ ) est un Banach ;attention ( C([0,1],R) , ||p ) n'est pas complet ;

critère de Cauchy uniforme : on dit d'une suite de fonctions qu'elle vérifie le critère deCauchy uniforme ssi cette suite est de Cauchy pour || || ;

d : théorème du point fixe (HP) :

Toute fonction contractante sur E un EM complet y admet un unique point fixe ;pour un telle fonction et (xn)n   N ∈ définie par x0   E et   n   N, x∈ ∀ ∈ n+1=f(xn), la suite (x) CVgéométriquement vers le point fixe de f dans E ;

exercice : théorème du point fixe de Kakutani (version faible) :si (E,||) est un evn, K un compact convexe de E, f une application affine de E dans E telleque f(K)   K, alors f a un point fixe ;⊂

e : fermés emboîtés et théorème de Baire (HP) :

théorème des fermés emboîtés : soit (E,d) un EM completsoit (Fn)n   N∈  une suite de fermés non vides tels que :

 n   N, F∀ ∈ n+1   F⊂ n et diam(Fn)  0 ;alors :   x   E tel que  ∃ ∈ ∩n   N∈  Fn= {x} ;

théorème de Baire : si (E,d) est un EM complet, une intersection quelconque d'ouverts denses de E est dense dans E (pas forcément ouverte) ;

corollaire : une union quelconque de fermés d'intérieurs vides est d'intérieur vide(complémenter)

exemple d'application : un banach n'a pas de base algébrique exactement dénombrable ;

(donc notamment ℝ[X] n'est de Banach pour aucune norme )

exemple : existence de fonction de [0,1] dans R continues partout et dérivables nulle­part(l'ensemble de ces fonctions est même dense) ;

f : critère de Cauchy pour les applications : 

soient (E,d) et (E',d') deux EM, A une partie non vide de E, a   A, et f de E dans E' ;∈odq f vérifie le critère de Cauchy en a selon A ssi :

 ∀  > 0,   ∃ε  > 0 tq   (x,y)   ( A   B∀ ∈ ∩ o(a,) )², d'( f(x),f(y) ) ≤   ; (1)ε

si f converge en a selon A, f vérifie (1) ;si (E',d') est complet et f vérifie (1), f CV en a selon A ;

9) CONNEXITÉ PAR ARCS

a : chemins :

on appelle chemin tracé dans E un métrique une application continue de [0,1] dans E ;

on considère la relation d'équivalence sur E définie par :a~b  il existe un chemin tracé sur E reliant a à b

les classes d'équivalence sont appelées composantes connexes par arcs de E

b : exemples :

– partie étoilée : on appelle partie étoilée d'un evn une partie X dont un des élémentspeut être relié à chaque autre par un segment ;

– épigraphe : l'épigraphe d'une fonction f : I  ℝ est l'ensemble :{(x,y)∈Iℝ ( ) }\ f x y

– exemple important : SLn(R) est connexe par arcs ;

c : image d'un CA par une application continue :

L'image par une application continue d'un CA est CA ;

Remarque : les CCA de ℝ sont les intervalles donc ceci généralise le TVI ;

d : parties ouvertes et fermées d'un CA :

théorème : si (E,d) est un EM CA, les seules parties ouvertes et fermées de E sont E et .∅

preuve : considérer un chemin joignant un point de X ouvert et fermé et un point de E ;supposer que le chemin joignant ces deux points n'est pas contenu dans X en entier, ettrouver une contradiction ;

10) COMPACITÉ (bis)

a : théorème de Riesz (HP) :

théorème : dans un evn de dimension infinie, la sphère unité n'est pas compacte ;lemme :  soient V un evn, F un sev de V de dim finie, avec F ≠ V :

 x   V tq ||x||=1 et d(x,F)=1 ;∃ ∈

b : théorème d'Ascoli (HP) :

théorème d'Ascoli : soit (fn)n   N∈  une suite de fonctions continues de [a,b] segment deℝ dans ℝ ;on suppose les fn EC et les ||fn||∞ bornés ;alors il existe une extraction  tq (f(n)) CVU sur [a,b] ;

lemme : procédé diagonal :  pour tout k dans ℕ, uk est une suite bornée de ℝ ;alors il existe une extraction  telle que pour tout k dans ℕ, uk

(n) converge.

preuve : on construit 1 telle que u11(n) converge, puis 2 telle que u2

°2 1(n) converge,etc... puis on pose  : n  1°..°n(n) ;  convient ;

lemme (des trois topologies) :pour une suite équicontinue (gn)n≥0de fonctions de [a,b] dans R et D une partie dense de[a,b], les trois propositions suivantes sont équivalentes :_(gn) CVU sur [a,b] ;_(gn) CVS sur [a,b] ;_  d   D, (g∀ ∈ n(d)) CV (CVS sur D) ;

corollaire au théorème d'Ascoli : les compacts de ( C([a,b],R) , || ||) sont les fermésbornés, équicontinus ;

c : "continuité" des racines de polynômes :

lemme : soit P un polynôme unitaire de ℂ[X] ;soit S la somme de ses coefficients non dominants ;soit z une racine de P ;alors |z| ≤ max(1,S) ;

d :    précompacité    :   

un EM est précompact ssi il est la réunion d'un nombre fini de ses boules ;une partie d'un EM E est précompacte ssi elle incluse dans la réunion d'un nombre fini deboule ayant pour centre des éléments de E ;

théorème : un EM est compact ssi il est complet et précompact ;

remarque : les parties compactes d'un Banach sont les parties fermées et précompactes

exercice : preuve du théorème d'Ascoli par la précompacité