Topologie algbrique lmentaire

Frdric Paulin

Version trs prliminaire

Cours de premire anne de mastre

cole Normale SuprieureAnne 2009-2010

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Table des matires

1 Introduction 61.1 Exemples et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Remarques sur les prrequis de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Remarques (pseudo-)historiques sur lhomologie . . . . . . . . . . . . 9

Des arguments de connexit la notion de bord . . . . . . . . . . . . 9Du bord topologique son algbrisation . . . . . . . . . . . . . . . . 10La formulation axiomatique de lhomologie . . . . . . . . . . . . . . . 11De lhomologie lhomotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Homotopie et groupe fondamental 142.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Revtements 273.1 Catgorie des revtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Homomorphismes locaux et revtements . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Actions de groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Actions de groupes et revtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Unicit des relvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6 Relvement des chemins et des homotopies . . . . . . . . . . . . . . . 373.7 Action sur la bre du groupe fondamental de la base . . . . . . . . . 393.8 Relvement des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.9 Structure des morphismes de revtements . . . . . . . . . . . . . . . . 453.10 Revtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.11 Revtements universels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.12 Classication des revtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.13 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.14 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Groupe fondamentaux, revtements et CW-complexes 674.1 Proprits universelles sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Groupe libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Groupes dnis par gnrateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . 69Somme amalgame de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Formes normales dans les produits amalgams . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Le thorme de van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3 CW-complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4 Groupe fondamental des CW-complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Groupe fondamental des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Groupe fondamental de CW-complexe et prsentation de groupe . . . 85

4.5 Applications des revtements la thorie des groupes . . . . . . . . . 874.6 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

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4.7 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 Homologie singulire 1025.1 Un peu dalgbre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Complexes de chanes et homologie de complexes de chanes . . . . . 102Suite exacte longue dhomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Caractristique dEuler dun complexe de chanes . . . . . . . . . . . 106Complexes de cochanes, cohomologie, suite exacte longue de coho-

mologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Catgories et foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2 Construction et proprits axiomatiques de lhomologie singulire . . 110Chanes singulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Fonctorialit de lhomologie singulire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Premiers calculs dhomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Invariance homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Homologie relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Thorme des petites chanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Excision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3 Quelques calculs et applications de lhomologie . . . . . . . . . . . . . 128Calcul de lhomologie des sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Le thorme du point xe de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Homologie et limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Homologie du complmentaire dune sphre dans une sphre . . . . . 132Le thorme de sparation de Jordan-Brouwer . . . . . . . . . . . . . 135Le thorme dinvariance du domaine de Brouwer . . . . . . . . . . . 136

5.4 Groupe fondamental et homologie : le thorme dHurewicz . . . . . . 1375.5 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.6 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 144

6 Homologie cellulaire 1496.1 Le complexe de chanes cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Homologie relative du p-squelette par rapport au (p 1)-squelette . . 149Le complexe de chanes cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Degr des applications de la sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Calcul des morphismes de bords cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . 154Calcul des morphismes induits par les applications cellulaires . . . . . 156

6.2 Homologie cellulaire et homologie singulire . . . . . . . . . . . . . . 157Caractristique dEuler des CW-complexes. . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.3 Homologie des espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.4 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.5 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 162

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7 Cohomologie singulire et cellulaire 1647.1 Le foncteur Hom et les complexes de cochanes . . . . . . . . . . . . . 1647.2 Proprits de la cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Fonctorialit de la cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Cohomologie du point et en degr 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Invariance homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Suite exacte longue relative de cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . 168Excision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Thorme de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Relation entre cohomologie cellulaire et singulire . . . . . . . . . . . 169

7.3 Le cup produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.4 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.5 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . 172

8 Exercices et problmes rcapitulatifs 1748.1 noncs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748.2 Indications de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A Annexe : rappels de topologie gnrale 196A.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Topologie engendre, prbase et base douverts . . . . . . . . . . . . . 197Voisinages, systmes fondamentaux de voisinages . . . . . . . . . . . 198Intrieur, adhrence, frontire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Sparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Connexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

A.2 Constructions de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Comparaison de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Topologie initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Sous-espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Topologie nale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

A.3 Limites et valeurs dadhrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Proprits des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Valeurs dadhrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

A.4 Compacit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Espace compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Compacit et valeurs dadhrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Compacit et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Compacit et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Topologie compacte-ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

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A.5 Exercices rcapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Index 226

Bibliographie 2311

1. Je suis reconnaissant Bruno Calado pour sa relecture scrupuleuse et enthousiaste de lin-tgralit de la premire version de ce texte. Je remercie les lves de lEcole normale suprieurepour leurs corrections sur ce texte, en particulier Katarina Radermacher, Jrmy Daniel, Lin Shenet Louis Nebout

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1 Introduction

La topologie algbrique est la construction et ltude de foncteurs de la catgoriedes espaces topologiques valeurs dans celle des groupes (ou des modules sur unanneau). Le but est de classer (ou au moins comprendre), par exemple homo-morphisme prs, les espaces topologiques (au moins dans certaines familles) en leurassociant des invariants de nature algbrique (nombres entiers, groupes, anneaux,etc).

Nous renvoyons par exemple la n de la partie 5.1 (ou [McL]) pour les notionsde catgories et de foncteurs, dont nous naurons gure besoin dans ce cours. Parexemple, un foncteur (covariant) (resp. contravariant) de la catgorie des espacestopologiques valeurs dans celle des groupes est la donne,

pour tout espace topologique X, dun groupe F (X), pour toute application continue f : X Y entre espaces topologiques, dunmorphisme de groupes F (f) : F (X) F (Y ) (resp. F (f) : F (Y ) F (X) ),

vriant, pour tous les espaces topologiques X, Y, Z, F (idX) = idF (X), si f : X Y et g : Y Z sont des applications continues, alors F (g f) =F (g) F (f) (resp. F (g f) = F (f) F (g) ).

En particulier, si f est un homomorphisme, alors F (f) est un isomorphisme degroupes : les invariants associs des espaces topologiques homomorphes sont iso-morphes.

1.1 Exemples et applications.

1) Si X est un espace topologique, on note F (X) le groupe ablien libre engendrpar lensemble des composantes connexes de X,

F (X) =

c composante connexe de X

Zc.

Si f : X Y est une application continue, on note F (f) : F (X) F (Y ) luniquemorphisme de groupes tel que F (f)(c) soit, pour toute composante connexe c de X,la composante connexe de Y contenant f(c).

2) Pour n dans N, on note || || la norme euclidienne standard sur Rn (on rappelleque ||(x1, , xn)|| =

x21 + + x2n ). Soit Bn = {x Rn : ||x|| 1} la boule

unit (ferme) de Rn et Sn = {x Rn+1 : ||x|| = 1} la sphre de dimension n.On construira plus tard, pour tout q dans N, un foncteur (covariant) Hq(;Z)

(ou Hq() pour abrger) de la catgorie des espaces topologiques valeurs dans celledes groupes, appel q-me groupe dhomologie, tel que

Hq(Sn) =

Z+ Z si 0 = q = nZ si 0 = q < n0 si 0 < q < nZ si 0 < q = n0 si q > n

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Hq(Bn) =

{Z si 0 = q0 si 0 < q

Corollaire 1.1 (Thorme dinvariance du domaine de Brouwer I) Si n 6=m, alors Rn et Rm ne sont pas homomorphes.

Dmonstration. Si n 6= m, alors les groupes Hn(Sn) et Hn(Sm) ne sont pas iso-morphes. Par fonctorialit, les espaces topologiques Sn et Sm ne sont donc pas homo-morphes. Pour tout k dans N, le compacti dAlexandrov de Rk est homomorphe Sk (voir lexercice E.A.106). Si deux espaces topologiques localement compactssont homomorphes, alors leurs compactis dAlexandrov le sont (voir lexerciceE.A.106). Donc Rn et Rm ne sont pas homomorphes.

Corollaire 1.2 (Thorme du point fixe de Brouwer) Toute application conti-nue de Bn dans Bn admet un point fixe.

Dmonstration. Si A est une partie dun espace topologique X et i : A X estlinclusion, une rtraction de X dans A est une application continue r : X A telleque r i = idA.

Lemme 1.3 Il nexiste pas de rtraction r : Bn+1 Sn.

Dmonstration. Sinon, par fonctorialit, on a un diagramme commutatif

Hn(Bn+1)Hn(i) Hn(r)

Hn(Sn) Hn(Sn)idHn(Sn)

Si n > 0, alors Hn(Bn+1) = 0 et Hn(Sn) 6= 0, donc Hn(i) nest pas injective, ce quicontredit linjectivit de idHn(Sn). Si n = 0, alors Hn(Bn+1) = Z et Hn(Sn) = Z+ Zdonc Hn(r) nest pas surjective, ce qui contredit la surjectivit de idHn(Sn).

r(x)Sn

f(x)

x

Le thorme de Brouwer est vrai pour n = 0. Soitf : Bn+1 Bn+1 une application continue sanspoint xe. Alors lapplication r : Bn+1 Sn dniepar {r(x)} = Sn {f(x) + t(x f(x)) : t > 0} estune rtraction, ce qui contredit le lemme.

1.2 Remarques sur les prrequis de topologie

On supposera connues les notions de topologie gnrale suivantes (voir lappen-dice A, et les rfrences [Bou, Dug, Dix, Pau2]). Seules les notions marques dunetoile (*) seront rappeles en cours. Au point de vue mthodologie, il est demandde lire lappendice, puis de lire la liste ci-dessous. Si une notion nest pas claire,retourner lappendice.

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topologie, espace topologique ; ouverts, ferms ; application continue entre es-paces topologiques, homomorphisme ; topologie discrte, topologie grossire ; topo-logie induite par une distance, espace topologique mtrisable ; voisinage dune partie,dun point dun espace topologique ; intrieur, adhrence, frontire, leurs propritslmentaires ; topologie engendre par un ensemble de parties, prbase, systme fon-damental de voisinages dun point, base douverts, critre pour quune prbase soitune base ; topologie spare ; caractrisation des applications continues par les voi-sinages, les systmes fondamentaux de voisinages, les adhrences ; connexit, localeconnexit, composante connexe ; connexit par arcs, locale connexit par arcs, com-posante connexe par arcs ;

comparaison de topologies : topologie plus ne, moins ne quune autre ; topo-logie initiale sur un ensemble X (ou dnie par une famille dapplications de X valeurs dans des espaces topologiques) ; topologie nale sur un ensemble X (oudnie par une famille dapplications partant despaces topologiques valeurs dansX) ; sous-espace topologique, point isol ; topologie somme disjointe (*) ; topologieproduit (dune famille quelconque despaces topologiques), ouvert lmentaire, pro-prits lmentaires de la topologie produit (systmes fondamentaux de voisinages,continuit des applications valeurs dans un produit, associativit et commutati-vit de la topologie produit, adhrence des produits, un produit despaces sparsest spar) ; topologie quotient (*), proprits lmentaires de la topologie quotient(continuit de la projection canonique, continuit des applications dnies sur unquotient, caractrisation de la sparation des quotients par les ouverts saturs) ; re-lation dquivalence engendre (*) ; cne (*), suspension (*), crasement (*), recol-lement dun espace topologique X sur un espace topologique Y par une applicationcontinue f : X Y (*) ;

limite, caractrisation par les systmes fondamentaux de voisinages, unicit silespace but est spar, composition des limites, limites des applications valeursdans un produit ; valeur dadhrence, caractrisation de lensemble des valeurs dadh-rence, la limite est lunique valeur dadhrence si lespace but est spar ;

recouvrement (ouvert, ferm), sous-recouvrement ; espace compact (comme sparet tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement ni) ; caractrisation parles ferms, compacit des sous-espaces topologiques ; un compact dun spar estferm, un ferm dun compact est compact ; existence de valeur dadhrence pourune application valeurs dans un espace compact ; thorme de Tychonov : unproduit despaces compacts est un espace compact ; espace localement compact ;thorme de Riesz sur la locale compacit des espaces vectoriels norms ; compac-ti dAlexandrov dun espace localement compact (*) ; limage dun compact parune application continue valeurs dans un espace spar est compact ; une appli-cation continue bijective dun espace compact dans un espace spar est un homo-morphisme ; application propre (*) ; une application propre bijective entre espaceslocalement compacts est un homomorphisme ; topologie compacte-ouverte (*). (Etun raton laveur, comme dirait Prvert !)

Il est demand de faire les exercices de lappendice A pour se familiariser avecces notions.

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1.3 Remarques (pseudo-)historiques sur lhomologie

Nous concluons cette introduction en donnant une ide de lorigine historique dela notion dhomologie, voir [Pon, Die2] pour des prcisions et complments.

Les vrais dbuts de lhomologie peuvent tre attribus H. Poincar [Poi], quandla topologie algbrique sappelait lanalysis situs. Partant des travaux antrieurssur les notions de connexit, il a mis en vidence le concept de bord, qui joue unrle central en homologie.

Des arguments de connexit la notion de bordLes travaux dEuler (1736, cas des graphes), de Mbius (1865, cas des surfaces) et

de Riemann (1857)-Betti (1871) montrent que des arguments de connexit peuventpermettre de distinguer des espaces topologiques.

La connexit est un invariant topologique, au sens que limage dun espace connexepar une application continue est connexe (et donc si deux espaces topologiques nontpas le mme nombre de composantes connexes, alors ils ne sont pas homomorphes).Nous verrons dailleurs en la partie 5.2 que le 0-me groupe dhomologie H0(X) dunespace topologique X est le groupe ablien libre engendr par lensemble des com-posantes connexes par arcs de X. Linformation apporte par H0(X) est donc es-sentiellement celle dun nombre, le cardinal de lensemble des composantes connexespar arcs de X.

Parmi les arguments dit de connexit, il ny a pas que le nombre de composantesconnexes. Par exemple, R et R2 ne sont pas homomorphes, car R2 priv dun pointest connexe, mais R priv dun point ne lest pas. Les espaces S1 (le cercle) et S2 (lasphre) ne sont pas homomorphes, car S2 priv de deux points est connexe, mais S1priv de deux points ne lest pas. Les espaces S2 (la sphre) et T2 = S1S1 (le tore)ne sont pas homomorphes. En eet, S2 priv de nimporte quelle courbe fermesimple nest pas connexe (cest le thorme de Jordan, voir le thorme 5.26 de lapartie 5.3 pour une preuve utilisant lhomologie). Mais il existe au moins une courbeferme simple dans T2 telle que T2 soit connexe (par exemple = {1} S1).

Pour gnraliser (abstraire !) ces exemples lmentaires, il faut tout dabord d-nir une classe dobjets sur laquelle pourra sappliquer une gnralisation. Les es-paces topologiques comme les sphres Sn et tores Tn = (S1)n ressemblent vus deprs Rn. Une varit topologique de dimension n est un espace topologique (engnral suppos mtrisable sparable, voir lappendice pour des dnitions de topo-logie gnrale) dans lequel tout point possde un voisinage homomorphe lespacetopologique usuel Rn. Une sous-varit (topologique) V dune varit V est un sous-espace qui est une varit topologique. Si V est de dimension p, sa codimensiondans V est n p. (Remarquons quil dcoule du thorme dinvariance du domainede Brouwer 1.1 que lentier n est bien dni, et (en utilisant la version plus forte5.27) que n p 0.)

Ainsi Riemann et Betti dnissent lordre de connexion dune varit compacteconnexe V comme le nombre maximal de sous-varits compactes connexes de co-dimension 1 deux deux disjointes dont la runion ne disconnecte pas V . Sachantque toute varit compacte connexe de dimension 1 est homomorphe au cercle S1,

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on peut vrier en exercice que lordre de connexion de la sphre S2 est 0 et quecelui du tore T2 est 1.

Un point important remarquer est que la collection des varits topologiquesnest pas stable par dcoupage le long dune sous-varit compacte connexe de codi-mension 1. Ce que lon obtient est une varit topologique bord de dimension n 1,i.e. un espace mtrisable sparable dans lequel tout point possde un voisinage ho-momorphe Rn ou son sous-espace Rn+ = {(x1, ... , xn) Rn : xn 0}. Le borddune varit topologique bord V est le sous-espace des points dont un voisinageest homomorphe un voisinage de 0 dans Rn+. Il dcoule du fait que R

n+ {0} est

contractile alors que Rn {0} ne lest pas quaucun voisinage de 0 dans Rn+ nesthomomorphe un voisinage de 0 dans Rn. Une varit topologique est une varittopologique bord, de bord vide.

Du bord topologique son algbrisationIl est facile de voir que le bord dune varit topologique bord de dimension n

est une varit topologique (sans bord) de dimension n1. Ainsi Poincar connaissaiten 1895 le slogan fondateur de lhomologie :

le bord dun bord est vide.

Cest lalgbrisation de ce fait qui donna la notion de complexe de chanes (voir lapartie 5.1) : un complexe de chanes est une suite innie

C00 C1 1 C2 2 ... Cn n Cn+1 ...

avec Ci un groupe ablien et i un morphisme de groupes, appel oprateur bord,tel que, pour tout n dans N,

n n+1 = 0 .Le fait que les ches aillent dans ce sens vient du fait que prendre le bord dunevarit topologique bord diminue la dimension dune unit.

Nous serons plus rapide pour donner la premire dnition de Poincar desgroupes abliens Cn, voir [Poi]. Il saperut successivement des faits suivants.

Les varits topologiques bord semblent encore ne pas tre les bons objets. Carlorsque lon dcoupe une varit topologique le long de plusieurs sous-varits topo-logiques (pas forcment disjointes), lobjet obtenu porte des traces de dcoupages(que nous appelerons facettes), dont linformation serait importante conserver,pour pouvoir ventuellement eectuer loperation inverse de recollement. Comme unquart de plan (ou un huitime despace) est homomorphe un demi-plan (demi-espace), le monde purement topologique nest pas assez riche. Les bons objets sem-blaient donc tre les varits direntiables coins (et leurs facettes), dont nousne donnerons pas la dnition prcise ici (voir [Poi]). En eet, Poincar saperutdes dicults (et du manque de gnralit) de cette collection de sous-espaces. Il enchangea dans son Complment lanalysis situs), en travaillant dans des espacestrianguls ou cellulaires (voir la partie 4.3). Pour une gnralit maximale, ils furentremplacs dans la suite par les simplexes singuliers (voir la partie 5.2).

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Lorsque lon dcoupe le long dune sous-varit direntiable de codimension1, celle-ci sparant localement en deux composantes connexes, les deux morceauxlocaux obtenus aprs dcoupage ont une orientation naturelle de leur bord par lanormale sortante, ces orientations tant opposes quand on identie les bords par lerecollement. Lopration de recollement faisant disparatre le bord, il parat natureldattribuer un signe aux facettes (orientes) du bord, de sorte que si lon changedorientation, on change de signe. Il est donc utile de pouvoir compter les varits coins positivement, ngativement, voire avec multiplicit.

Ainsi Poincar introduisit le groupe Cp des sommes formelles nies avec multipli-cits (appeles chanes) de sous-varits direntiables coins connexes compactesorientes de dimension p dans une varit direntiable V donne :

ki=1

niVi

avec ni Z et Vi des sous-varits direntiables coins connexes compactes orien-tes de dimension p, o lon identie V i et Vi si V i est munie de lorientationoppose celle de Vi.

Loprateur bord alors introduit par Poincar est lunique application linairen+1 : Cn+1 Cn telle que Vi soit la somme (nie) formelle des facettes de codi-mension 1 de Vi, orientes par la normale sortante. Une chane est un cycle si sonimage par loprateur bord est nul, et est un bord si elle est limage par loprateurbord dune chane. On vrie que n n+1 = 0, cest--dire que tout bord est uncycle.

Ce nest en fait que vingt ans plus tard environ quEmmy Noether dnira lesgroupes qui mesurent lobstruction pour un cycle dtre un bord :

Hp(V,Z) = Ker p1 / Im p

est le groupe ablien quotient du groupe des cycles de dimension p par son sous-groupe des bords de dimension p. Ainsi, tout cycle dnit un lment [] dansHp(V,Z), appele sa classe dhomologie. Un cycle est un bord si et seulement si saclasse dhomologie est nulle.

La formulation axiomatique de lhomologieUne formulation axiomatique fut donne par Eilenberg et Steenrod, vers 1950.

Une thorie de lhomologie est la donne, pour tout n N, dun foncteur (cova-riant) de la catgorie des paires despaces topologiques dans la catgorie des groupesabliens (voir la partie 5.1) i.e. la donne

pour toute paire despaces topologiques (X, Y ) (i.e. dun espace topologique Xmuni dun sous-espace Y ), dun groupe ablien Hn(X, Y ), et

pour tout morphisme de paires despaces topologiques f : (X, Y ) (X , Y )(i.e. (X, Y ) et (X , Y ) sont deux paires despaces topologiques et f : X X est une application continue telle que f(Y ) Y ), dun morphisme de groupesfn : Hn(X, Y ) Hn(X , Y )

11

telle que idn = id et (g f)n = gn fn pour tous les morphismes de paires despacestopologiques f : (X, Y ) (X , Y ) et g : (X , Y ) (X , Y ), qui satisfait lesaxiomes suivants (o lon note Z = (Z, ) pour tout espace topologique Z, poursimplier).

1. Invariance par homotopieSi f, g : (X, Y ) (X , Y ) sont deux morphismes de paires despaces topolo-giques homotopes (i.e. sil existe un morphisme de paires despaces topologiquesh : ([0, 1] X, [0, 1] Y ) (X , Y ) tel que h(0, x) = f(x) et h(1, x) = g(x)pour tout x dans X), alors fn = gn pour tout n N.

2. Existence doprateurs bordsIl existe, pour tout n dans N{0} et toute paire despaces topologiques (X, Y ),un morphisme de groupes n : Hn(X, Y ) Hn1(Y ) tel que n fn = fn1 n pour tout morphisme de paires despaces topologiquesf : (X, Y ) (X , Y ) et tout n dans N {0},

en notant Y i X j (X, Y ) les inclusions, la suite de groupes ablienset de morphismes de groupes

... Hn+1(X, Y ) n+1 Hn(Y ) in Hn(X) jn Hn(X, Y ) n Hn1(Y ) ...

est exacte.

3. ExcisionSi f : (X, Y ) (X/Y , Y/Y ) est le morphisme canonique (voir lexemple(3) suivant lexercice E.A.101 pour la dnition de lespace topologiqueX/Y ,qui se dcrit comme lespace X o Y a t cras en un point), alors fn :Hn(X, Y ) Hn(X/Y , Y/Y ) est un isomorphisme de groupes pour tout ndans N

4. NormalisationSi X est rduit un point, alors

Hn(X) =

{Z si n = 00 sinon

Une grande partie du travail qui suit dans la construction de thories de lho-mologie sera de vrier (la plupart de) ces axiomes, mais nous ne nous intresseronspas au problme de lunicit abstraite de thories de lhomologie (voir par exemple[Spa]), prfrant montrer directement les galits des (peu nombreuses !) direntesthories de lhomologie que nous construirons, car la preuve de leur concidence estparfois utile.

De lhomologie lhomotopieLes groupes dhomologie introduits par Poincar lui apparurent tre des inva-

riants topologiques extrmement intressants. Par exemple, il dcoule du thormede classication des surfaces (par les travaux de Mbius, Jordan et Rado) que deux

12

surfaces topologiques compactes connexes sont homomorphes si et seulement sileurs groupes dhomologie sont isomorphes (voir par exemple la partie 5.4).

Mais Poincar saperut (aprs quelques errements !) que cet invariant ntaitpas aussi puissant quil lavait espr. Il construisit par exemple, vers lanne 1900,une varit compacte de dimension 3 (et mme une innit !), ayant ses groupesdhomologie isomorphes ceux de la sphre S3, mais non homomorphe S3. Pourdistinguer ces exemples de la sphre S3, il introduisit un nouvel invariant topologique,le groupe fondamental dun espace topologique X, qui repose sur les direntesmanires de dessiner et dformer continuement des courbes fermes sur X (voir lapartie 2.2). Ces notions intuitives de dformations continues sont formalises par lanotion dhomotopie (voir la partie 2.1).

Par exemple, une courbe ferme simple sur une varit topologique est homo-logue zro si elle est le bord dune chane de dimension 2 (voir ce qui prcde).Elle est dite homotope zro si elle est dformable continuement en un point. Unespace topologique X dans lequel toute courbe ferme est homotope zro (plusprcisment dans lequel toute application continue f : S1 X du cercle dans Xstend continuement en une application continue f : B2 X du disque dans X)est dit simplement connexe (voir la partie 2.2).

Cest ainsi que Poincar formula ce que lon appelle maintenant la conjecture dePoincar.

Conjecture 1.4 Toute varit topologique de dimension 3 compacte, connexe etsimplement connexe, est homomorphe la sphre S3.

Cette conjecture faisait partie de la liste de six grands problmes de mathma-tiques, dont la rsolution avait t dote en lan 2000 dun prix dun million dedollars. Elle a t rcemment rsolue, suite des articles non publis de G. Perel-man, par les travaux collectifs de la communaut mathmatique (voir par exemple[KL, CZ, MT, BBBMP]).

13

2 Homotopie et groupe fondamental

Lexercice suivant sera souvent utilis (de manire implicite) dans cette section :

Exercice E.1 Soient X et Y deux espaces topologiques, (Fi)iI un recouvrementferm fini de X, et fi : Fi Y une application continue pour tout i. Si fi et fjconcident sur Fi Fj pour tous i, j, alors il existe une et une seule applicationcontinue f : X Y gale fi sur Fi pour tout i.

2.1 Homotopie

Soient X et Y deux espaces topologiques. Deux applications continues f, g : X Y sont homotopes sil existe une application continue h : X [0, 1] Y telle queh(x, 0) = f(x) et h(x, 1) = g(x) pour tout x dans X. On notera alors f g, et ondira que h est une homotopie entre f et g. Pour tout t dans [0, 1], on notera aussiht : X Y lapplication ht(x) = h(x, t).

Si A est une partie de X, deux applications continues f, g : X Y sont homo-topes relativement A sil existe une application continue h : X [0, 1] Y telleque h(x, 0) = f(x) et h(x, 1) = g(x) pour tout x dans X, et h(a, t) = f(a) pour touta dans A et t dans [0, 1].

On notera alors f g rel A, et on dira que h est une homotopie relative Aentre f et g.

Il est immdiat que est une relation dquivalence sur C (X, Y ). En eet, f fpar lhomotopie constante h(x, s) = f(x) ; si f g par lhomotopie h, alors g fpar lhomotopie inverse h(x, s) = h(x, 1s) ; si f1 f2 par lhomotopie h1 et f2 f3par lhomotopie h2, alors f1 f3 par lhomotopie compose

h3(x, s) =

{h1(x, 2s) si 0 s 12

h2(x, 2s 1) si 12 s 1 .De mme, rel A est une relation dquivalence sur tout ensemble dapplicationscontinues de X dans Y qui concident sur A.

Exercice E.2 (Voir lexercice E.A.107.) Si X est localement compact, deux appli-cations continues f et g de X dans Y sont homotopes si et seulement sil existeun chemin (continu, voir la partie 2.2) entre f et g dans C (X, Y ) (lensemble desapplications continues de X dans Y , muni de la topologie compacte-ouverte).

Un espace topologique X est contractile sil est non vide et si lapplication iden-tique de X est homotope une application constante de X dans X.

Par exemple, un convexe non vide C dans un espace vectoriel topologique (i.e. unespace vectoriel rel, tel que laddition et la multiplication externe soient des applica-tions continues) est contractile : si x0 C, alors lapplication (x, s) 7 (1s)x+sx0de C [0, 1] dans C est une homotopie entre idC et x 7 x0.

14

Cette notion est importante, car la plupart des espaces topologiques que lonrencontre sont localement contractiles, i.e. admettent un systme fondamental devoisinages contractiles. Cest en particulier le cas des espaces vectoriels topologiques,des varits topologiques (i.e. les espaces topologiques X, en gnral supposs m-trisables sparables, tels que pour tout x dans X, il existe n N et V un voisinagede x dans X, tels que V soit homomorphe Rn), des CW-complexes (voir la partie4.3), des complexes simpliciaux (voir par exemple [Spa]).

Un espace topologique est simplement connexe sil est connexe par arcs et sitoute application continue du cercle S1 dans X se prolonge (continuement) en uneapplication du disque B2 dans X.

Exercice E.3 Montrer quun espace contractile est simplement connexe.

Soient X et Y deux espaces topologiques. Une application continue f : X Yest une quivalence dhomotopie sil existe g : Y X continue telle que f gsoit homotope lapplication identique de Y et g f soit homotope lapplicationidentique de X. Sil existe une quivalence dhomotopie entre X et Y , on dit que Xet Y ont le mme type dhomotopie.

Avoir mme type dhomotopie est une relation dquivalence sur tout ensembledespaces topologiques.

Lintrt de la notion dquivalence dhomotopie vient du fait que la plupart desinvariants de topologie algbrique que nous construirons (groupe fondamental (partie2.2), homologie singulire (partie 5.2),...) sont non seulement des invariants topolo-giques, mais aussi des invariants homotopiques (i.e. tels que les invariants associs deux espaces topologiques ayant mme type dhomotopie soient isomorphes).

Exemple : Un espace topologique non vide est contractile si et seulement sil a lemme type dhomotopie quun singleton.

Soient X un espace topologique et A un sous-espace. On dit que A est un rtractede X sil existe une application continue r : X A telle que r i = idA. On ditque A est un rtracte de X par dformation si de plus i r est homotope idX . Ondit que A est un rtracte de X par dformation forte si de plus i r est homotope idX relativement A. On dit que r est respectivement une rtraction, rtractionpar dformation, rtraction par dformation forte.

Si A est un rtracte par dformation de X, alors A et X ont le mme typedhomotopie.

Exemples : (1) Pour tout n N, la sphre Sn est un rtracte par dformation fortede Rn+1{0}. En eet, si i : Sn Rn+1{0} est linclusion et si r : Rn+1{0} Snest dnie par r(x) = x

||x||, alors r i = idSn et i r est homotope lapplication

identique de Rn+1 {0} par lhomotopie h(x, s) = sx + (1 s) x||x||

, qui xe Sn. Enparticulier, linclusion i de Sn1 dans Rn {0} est une quivalence dhomotopie, etSn1 et Rn {0} ont le mme type dhomotopie.

15

(2) Si X est un espace topologique, Y un espace contractile et y un point de Y ,alors X {y} est un rtracte par dformation de X Y . (Donc X Y et X ont lemme type dhomotopie.)

(3) Par le lemme 1.3, la sphre Sn nest pas un rtracte de la boule Bn+1.

2.2 Groupe fondamental

Composition et homotopie des chemins

Soit X un espace topologique. Un chemin dans X est une application continue : [0, 1] X ; son origine est x = (0), son extrmit est y = (1) ; on dit aussique est un chemin joignant x y.

Pour x dans X, on appelle chemin constant en x le chemin cx avec cx(t) = xpour tout t dans [0, 1].

Si est un chemin joignant x y, on appelle chemininverse de le chemin , joignant y x, dni par (t) =(1 t) pour tout t dans [0, 1].

x y

Soient et deux chemins dans X tels que(1) = (0). On note le chemin

t 7{

(2t) si t [0, 12]

(2t 1) si t [12, 1] .

On dit que est le chemin compos (concatn) de et . Deux chemins et sont composables si lextrmit de est lorigine de . Lapplication (, ) 7 delensemble des couples de chemins composables dans lensemble des chemins sappellela composition (ou concatnation) des chemins.

Deux chemins et dans X dorigine x0 et dextrmit x1 sont homotopes (ondit parfois homotopes relativement aux extrmits sil y a risque de confusion), et onnote (et rel 0, 1 sil y a risque de confusion), si les applications , de[0, 1] dans X sont homotopes relativement la partie {0, 1} de [0, 1], cest--dire silexiste une application continue h : [0, 1] [0, 1] X telle que

h(t, 0) = (t) et h(t, 1) = (t) pour tout t dans [0, 1], h(0, s) = x0 et h(1, s) = x1 pour tout s dans [0, 1].

Une telle application h est appele une homotopie de (on dit parfois homotopierelative sil y a risque de confusion). On note [] la classe dhomotopie (relativementaux extrmits) dun chemin .

Le rsultat suivant donne les principales proprits de la composition et de lho-motopie des chemins.

Lemme 2.1 Soient , , b, c, des chemins de X.

1. Si , alors .2. Si c , b et c(1) = b(0), alors c b .

16

3. Soient un chemin joignant x y, un chemin joignant y z, un cheminjoignant z w. Alors les chemins ( ) et ( ) sont homotopes.

4. Si est un chemin joignant x y, alors cx et cy sont homotopes .5. Si est un chemin joignant x y, alors et sont homotopes cx et

cy respectivement.

Dmonstration. (1) Si h est une homotopie relative de , alors (t, s) 7h(1 t, s) est une homotopie relative de .

(2) Soit h une homotopie relative de c et kune homotopie relative de b . Alors lappli-cation

(t, s) 7{

h(2t, s) si t [0, 12]

k(2t 1, s) si t [12, 1]

est une homotopie relative de c b .

h k

c b

c b

(3) Lapplication

(t, s) 7

( 4t1+s

) si 0 t 1+s4

(4t s 1) si 1+s4 t 2+s

4

(4ts22s

) si 2+s4 t 1

est une homotopie relative de ( ) ( ).

3/4

1/2

1/2

1/4

s

t0 1

(4) Lapplication

(t, s) 7{

( 2t1+s

) si 0 t 1+s2

y si 1+s2 t 1

est une homotopie relative de cy . Onconstruit de mme une homotopie relative decx .

cy

1/2 t

s

0 1

17

(5) Lapplication

h : (t, s) 7

x si 0 t s

2

(2t s) si s2 t 1

2

(2 2t s) si 12 t 2s

2

x si 2s2 t 1

est une homotopie relative de cx. Onconstruit de mme une homotopie relative de cy.

cx cx

1/2

1/2

s

t0

hs

1

Lacets et groupe fondamental

Soit x un point de X. Un lacet en x dans X est un chemin dans X dorigine etdextrmit x. Le point x est appel le point base de ce lacet. Les chemins constantssont des lacets, et le chemin inverse dun lacet est un lacet. Deux lacets sont ho-motopes sils sont homotopes en tant que chemin (donc relativement leur pointbase).

Sur lensemble L(X, x) des lacets en x, la relation tre homotope est une rela-tion dquivalence, densemble quotient not 1(X, x).

La composition des chemins, restreinte aux lacets en x, est une loi de compositioninterne sur L(X, x), qui (par le lemme 2.1 (2)) passe au quotient en une loi decomposition interne sur 1(X, x).

Proposition 2.2 La composition des chemins induit une structure de groupe surlensemble 1(X, x) des classes dhomotopie de lacets dans X de base x.

Dmonstration. Lassociativit dcoule du lemme 2.1 (3). La classe du lacet constanten x est lment neutre par le lemme 2.1 (4). Si [c] est une classe dans 1(X, x), laclasse de c ne dpend pas du choix du reprsentant c de [c] par le lemme 2.1 (1). Et[c] est linverse de [c] pour la loi de 1(X, x) par le lemme 2.1 (5).

Le groupe 1(X, x) sappelle le groupe fondamental de X en x (ou groupe dePoincar, ou premier groupe dhomotopie).

Changement de point base

Rappelons que par le lemme 2.1 (3), si 1, ..., n sont des chemins conscutive-ment composables, alors la classe [1 2 ... n] ne dpend pas des parenthsages.

Proposition 2.3 Soit c un chemin dorigine x et dextrmit y dans X. Lapplica-tion c : [] 7 [c c] est un isomorphisme de groupes de 1(X, y) dans 1(X, x),qui ne dpend que de la classe dhomotopie (relativement aux extrmits) de c. Si est un autre chemin joignant x y, alors les isomorphismes c et sont conjugus.

18

Dmonstration. En eet,

c([ ]) = [c c] = [c c c c] =

[c c][c c] = c([])c([]).De plus, c = 1c , et si g est la classe du lacet c de base x,alors

([]) = [ ] = [ c c c c ] =[ c][c c][ c]1 = g c([]) g1.

c

y

x

Corollaire 2.4 Si X est connexe par arcs, et x, y X, alors 1(X, x) et 1(X, y)sont isomorphes. Si 1(X, x) est ablien, cet isomorphisme est canonique.

On notera souvent 1(X, x0) par 1X, quand un point base x0 de X est sous-entendu et indirent. La proposition prcdente laisse penser que cet abus de no-tation ne pose que peu de problmes. Mais peu de problmes ne signie pas pasde problmes, et du soin est ncessaire en ce qui concerne le traitement des pointsbases.

Exercice E.4 Soit (Xi, xi)iI une famille despaces topologiques points. Montrerque les groupes 1(

iI Xi, (xi)iI) et

iI 1(Xi, xi) sont isomorphes. En particu-

lier,1(X Y, (x, y)) 1(X, x) 1(Y, y) .

Proprit fonctorielle du groupe fondamental

Soient X et Y deux espaces topologiques, et f : X Y une application continue.Si c est un chemin joignant x y, alors f c est un chemin joignant f(x) f(y). Lacomposition c 7 f c est compatible avec lhomotopie (relativement aux extrmits)des chemins :

si et sont homotopes, alors f et f aussi,(car f h : [0, 1]2 Y est une homotopie entre f et f si h : [0, 1]2 X estune homotopie entre et ) et avec la composition des chemins :

f ( ) = (f ) (f ).Le rsultat suivant en dcoule.

Proposition 2.5 Une application continue f : X Y induit un morphisme degroupes f : [] 7 [f ] de 1(X, x) dans 1(Y, f(x)).

19

De plus, si f est lapplication identique de X, alors f est lapplication identiquede 1(X, x) ; si g est une application continue de Y dans un espace topologique Z,alors (g f) = g f.

Avec les dnitions de la partie 5.1, la collection des espaces topologiques points(X, x) est la collection des objets dune catgorie, de morphismes f : (X, x) (Y, y)les applications continues f : X Y telles que f(x) = y. La donne, pour toutespace topologique point (X, x) du groupe 1(X, x), et, pour tout morphismedespaces topologiques points f : (X, x) (Y, y), du morphisme de groupesf : 1(X, x) 1(Y, y), est un foncteur (covariant) de la catgorie des espacestopologiques points dans la catgorie des groupes.

Groupe fondamental et homotopie

Proposition 2.6 Soient f, g : X Y deux applications continues homotopes. Pourtout x dans X, il existe un isomorphisme de groupes u : 1(Y, g(x)) 1(Y, f(x))tel que le diagramme suivant commute :

1(Y, f(x))f

1(X, x) ug

1(Y, g(x))

Si f et g sont homotopes relativement {x}, alors f = g.Dmonstration. Soit h une homotopie entre f et g. Soit c le chemin s 7 hs(x) =h(x, s) dans Y entre f(x) et g(x). Par la proposition 2.3, lapplication u : [] 7[c c] est un isomorphisme de 1(Y, g(x)) dans 1(Y, f(x)). Pour montrer quef = u g, il sut de montrer que pour tout lacet dorigine x dans X, les lacets(c (g )) c et f sont homotopes (relativement aux extrmits).

f

cg

hs

cs

Pour tout s dans [0, 1], considrons lechemin cs : t 7 h(x, st). Lapplica-tion (s, t) 7 ((cs (hs )) cs)(t) estcontinue. En s = 0, elle vaut (cf(x) (f )) cf(x) (o cf(x) est lapplicationconstante en f(x) ), qui est homotope f . En s = 1, elle vaut (c (g)) c.

Corollaire 2.7 Si f : X Y est une quivalence dhomotopie, alors f : 1(X, x)1(Y, f(x)) est un isomorphisme de groupes.

Dmonstration. Soit g : Y X une application continue telle que f g etg f soient homotopes lidentit. Par la proposition prcdente et les propritsfonctorielles, fg et gf sont des isomorphismes de groupes. Donc f est surjectiveet injective.

20

Corollaire 2.8 Les groupes fondamentaux de deux espaces connexes par arcs, ayantmme type dhomotopie, sont isomorphes.

Corollaire 2.9 Tout groupe fondamental despace contractile est trivial.

Soient X un espace topologique et x X. Nous identions lespace topologiquequotient [0, 1]/{0, 1} (voir lexemple (3) suivant lexercice E.A.101) avec S1 R2 =C par lhomomorphisme [] 7 e2i. tout lacet dans X dorigine x est ainsiassoci une application continue, encore note , de S1 dans X telle que (1) = x.

Si est un lacet de X, on appelle classe dhomotopie relative la classe dhomo-topie relativement {1} de lapplication continue : S1 X ainsi dnie, et, pourdistinguer, classe dhomotopie libre la classe dhomotopie de lapplication continue : S1 X ainsi dnie.

La proposition suivante est souvent utilise pour vrier ou utiliser lannulationdune classe dhomotopie.

Proposition 2.10 Soit : S1 X une application continue, telle que (1) =x. Alors [] = 1 dans 1(X, x) si et seulement si stend continuement en uneapplication continue B2 X.

Dmonstration. Si stend continuement en f : B2 X, si i : S1 B2 estlinclusion, alors, par fonctorialit, le diagramme suivant est commutatif :

1(B2, 1)i f

1(S1, 1) 1(X, x) .

Or si : [0, 1] S1 = [0, 1]/{0,1} est le lacet induit par passage au quotient delidentit de [0, 1], alors [] = []. Comme 1(B2, 1) = {1}, ceci montre le rsultat.

Rciproquement, si [] = 1, alors soit h : S1 [0, 1] X une homotopie entre et lapplication constante. Alors h factorise en une application continue de lespacetopologique quotient

Y = (S1 [0, 1])/S1 {1} valeurs dans X. Or Y est homomorphe au disque, par un homomorphisme valantlidentit sur S1, en identiant S1 avec un sous-espace de Y par lapplication induitepar x 7 (x, 0).

Exercice E.5 Soient X un espace connexe par arcs et x un point de X. On note[S1, X ] lensemble des classes dhomotopies dapplications du cercle S1 dans X. Mon-trer que lapplication de 1(X, x) dans [S1, X ] qui la classe dhomotopie relativedun lacet associe la classe dhomotopie libre de lapplication de S1 dans X, estsurjective et induit une bijection de lensemble des classes de conjugaison du groupe1(X, x) sur [S1, X ].

21

Exercice E.6 Soit X un espace connexe par arcs. Montrer que les proprits sui-vantes sont quivalentes :

X est simplement connexe ; il existe x dans X tel que 1(X, x) = 0 ; 1(X, x) = 0 pour tout x dans X ; deux chemins de mme origine et mme extrmit sont homotopes (relative-ment aux extrmits).

Proposition 2.11 Soient X un espace topologique, U et V deux ouverts connexespar arcs de X, tels que X = U V et tel que U V soit connexe par arcs. Pour toutx dans U V , si i : U X et j : V X sont les inclusions, alors i1(U, x) j1(V, x) engendre 1(X, x). En particulier, si U et V sont de plus simplementconnexes dintersection non vide, alors X est simplement connexe.

Dmonstration. Soit un lacet en x. Par compacit de [0, 1] et continuit de ,il existe n N non nul tel que ([ i

n, i+1

n]) soit contenu dans U ou dans V pour tout

i = 0, ..., n1. Pour tout i = 0, ..., n, soit ci un chemin entre x et ( in), contenu dansU, V, U V si ( i

n) appartient U, V, U V respectivement (ce qui est possible car

U, V, U V sont connexes par arcs), avec c0 et cn constants. On note i le chemint 7 ( i+t

n). Par le lemme 2.1, le lacet en x est homotope

(c0 0 c1) (c11 c2) ... (cn2 n2 cn1) (cn1 n1 cn) .

Pour i = 0, ..., n1, le chemin ci i ci+1, est un lacet en x contenu dans U ou dansV . Donc i1(U, x) j1(V, x) engendre 1(X, x).

Montrons la dernire assertion. Si U V est non vide, alors X est connexe pararcs. Si U et V sont simplement connexes, alors chaque ci i ci+1 est homotope aulacet constant en x. Donc est homotope au lacet constant en x. Par consquent,X est simplement connexe.

Corollaire 2.12 Pour n 2, la sphre Sn est simplement connexe.

Dmonstration. Elle scrit comme runion de louvert U complmentaire du plenord, et de louvert V complmentaire du ple sud. Les ouverts U, V sont contrac-tiles, donc simplement connexes. Lintersection U V se rtracte par dformationforte sur lquateur Sn1, qui est connexe par arcs si n 2.

Corollaire 2.13 Pour n 1, lespace projectif complexe Pn(C) est simplementconnexe.

Dmonstration. On rappelle que pour tout n N{0}, lespace projectif complexede dimension n est lespace des droites complexes de Cn+1

Pn(C) = (Cn+1 {0})/C.

22

On raisonne par rcurrence sur n. Daprs lexercice E.A.110, la droite projectiveP1(C) est homomorphe la sphre S2. Donc

1(P1(C)) = 0.

On suppose maintenant Pn(C) simplement connexe. Si f : B2n+2 = S2n+1 Pn(C)est la projection canonique, alors le recollement B2n+2 f Pn(C) est homomorphe Pn+1(C) (voir lexercice E.A.110). Lintrieur

B2n+2 de B2n+2 est un ouvert Ude B2n+2 f Pn(C). Le complmentaire de lorigine de B2n+2 est un ouvert V deB2n+2 f Pn(C). Comme U est contractile, et V se rtracte par dformation fortesur Pn(C), donc est simplement connexe, la proposition 2.11 montre que Pn+1(C)est simplement connexe.

2.3 Autres exercices

Exercice E.7 On appelle peigne le sous-espace topologique X de R2 suivant :

X = [0, 1] {0}

{0}{2n : nN}

{} [0, 1] .

Montrer que le peigne est contractile. Soit x0 = (0, 1). Montrer que idX est homotope lapplication constante en x0, mais nest pas homotope lapplication constanteen x0 relativement {x0}.

Colle

r en

tord

ant u

ne fo

is

112

0 14

Le peigne

x0

Le ruban de Mbius

Exercice E.8 Montrer que le ruban de Mbius M = [0, 1] [0, 1]/ , o est larelation dquivalence engendre par (0, s) (1, 1 s), a le mme type dhomotopieque le cercle S1. On pourra par exemple montrer que A = ([0, 1] {12}), o :[0, 1] [0, 1]M est la projection canonique, est un rtracte par dformation fortede M .

Exercice E.9 Montrer que le tore trou S1 S1 {(1, 1)} a le mme type dho-motopie que le bouquet de deux cercles (S1, 1) (S1, 1) (voir lexemple (4) suivantlexercice E.A.101 dans la partie A.2 pour la dnition dun bouquet de cercles).

23

(1, 1)

Exercice E.10 Montrer que pour tout n N, le plan euclidien, priv de n points,a le mme type dhomotopie que le bouquet de n cercles (voir lexemple (4) suivantlexercice E.A.101 pour la dnition dun bouquet de cercles).

Exercice E.11 1) Soient X un espace topologique et CX = (X [0, 1])/X{1}le cne sur X (voir lexemple (1) suivant lexercice E.A.101). On note [x, t] la classedans CX de llment (x, t) de X [0, 1]. Montrer que CX est contractile, et quesi x0 = [x, 1] (pour tout x dans X) est le sommet de ce cne, alors CX {x0} sertracte par dformation forte sur X (identi par x 7 [x, 0] avec une partie deCX).

2) Si f : X Y est une application continue, on appelle cne de f , et onnote C(f) lespace topologique obtenu par recollement (voir lexemple (5) suivantlexercice E.A.101 pour la dnition dun recollement) du cne de X sur Y parlapplication f (comme ci-dessus, X est identi une partie de CX) :

C(f) = CXfY .

On note encore x0 limage de x0 CX dans C(f).Montrer que C(f) {x0} se rtracte par dformation forte sur Y .

Exercice E.12 Soit G un groupe topologique, dlment neutre e. Si f, g : [0, 1]G sont deux lacets en e, on note fg : [0, 1] G le lacet dni par fg(t) = f(t)g(t).

1) Montrer que les lacets f g et fg sont homotopes (rel {0, 1}).2) Montrer que 1(G, e) est ablien.

(En particulier avec les notations qui seront introduites plus loin, les groupes1(T

n, 0), 1(SO(n), e) et 1(SLn(R), e) sont abliens.)

Exercice E.13 On rappelle tout dabord le thorme de relvement des applica-tions et des homotopies valeurs dans le cercle (voir le corollaire 3.24 pour unepreuve dans un cadre gnral).

Si f : [0, 1] S1 est une application continue, pour tout t0 R tel quef(0) = e2it0 , il existe une et une seule application continue f : [0, 1] R telleque f(0) = t0 et f(t) = e2if(t) pour tout t [0, 1].

Si h : [0, 1] [0, 1] S1 est une application continue, et si f : [0, 1] R estune application continue telle que h(0, t) = e2if(t) pour tout t [0, 1], alorsil existe une et une seule application continue h : [0, 1] [0, 1] R telle queh(0, t) = f(t) et h(s, t) = e2ih(s,t) pour tout t [0, 1].

24

1) Montrer que, pour tout x dans S1, lapplication x : 1(S1, x) Z, dniepar [] 7 (1) (0) o est un relvement du lacet dni ci-dessus, est unisomorphisme de groupes.

Si c est un lacet dans S1, dorigine x et dextrmit y, et si c : 1(S1, y) 1(S1, x) est lisomorphisme de groupe dni dans la proposition 2.3, montrer quex c = y.

Soient f : S1 S1 une application continue et x un point de S1. Posons y = f(x).La composition des morphismes de groupes

Z1x 1(S1, x) f 1(S1, y) y Z

est un morphisme de groupe de Z dans Z. Cest donc la multiplication par un entiern, qui ne dpend pas de x par ce qui prcde. On le note deg(f), et on lappelle ledegr de f . Cette notion concide avec la notion de degr des applications continuesde Sn dans Sn, introduite dans la partie 6.1 lorsque n = 1.

Dans ce qui suit, f et g sont des applications continues de S1 dans S1.

2) Si f est une rotation, calculer deg(f). Pour n N, calculer le degr de lap-plication z 7 zn.

3) Montrer que deg(f g) = deg(f)deg(g). En dduire que si f est un homo-morphisme, alors deg(f) = 1.

4) Montrer que deg(f) = deg(g) si et seulement si f et g sont homotopes. En d-duire que deg(f) = 0 si et seulement si f se prolonge continment en une applicationcontinue f : B2 S1.

5) Montrer quil nexiste pas de rtraction B2 S1. (Cest un cas particulier dulemme 1.3 dj dmontr en introduction en admettant des rsultats dhomologie.)

6) Dmontrer le thorme de dAlembert : tout polynme complexe non constantadmet au moins une racine complexe.

7) Soit f : S1 S1 une application continue telle que f(x) = f(x). Montrerque f est de degr impair.

Exercice E.14 Soient B un espace topologique, K le corps R ou C, et n N.Un fibr vectoriel topologique de base B et de rang n sur le corps K est un espacetopologique E muni dune application continue p : E B, dont la fibre p1(b)au-dessus de b est, pour tout b B, munie dune structure despace vectoriel sur Kde dimension n, tel que, pour tout b dans B, il existe un voisinage V de b dans B(appel voisinage distingu) et un homomorphisme : V Kn p1(V ) tel quele diagramme suivant commute

V Kn p1(V )pr1 p

V

25

et tel que |{b}Kn : {b}Kn p1(b) soit un isomorphisme despaces vectoriels pourtout b V . Par exemple, le br tangent dune varit direntielle C1 de dimensionn est un br vectoriel rel de rang n (voir un cours de gomtrie direntielle, parexemple [Laf, Die1, DNF, Pau1]).

1) Soit E B un br vectoriel. Montrer que E et B ont mme type dhomo-topie.

Deux brs vectoriels topologiques p : E B et p : E B au-dessus de Bsont dit isomorphes sil existe un homomorphisme : E E tel que le diagrammesuivant commute

E E

p pB

et tel que |p1(b) : p1(b) p1(b) soit un isomorphisme despaces vectoriels pourtout b B. Un br vecoriel est trivial sil est isomorphe au br vectoriel pr1 :B Kn B.

2) On rappelle quun espace topologique est paracompact si de tout recouvre-ment ouvert, on peut extraire un sous-recouvrement localement ni (i.e. tel quetout point admette un voisinage ne rencontrant quun nombre ni de parties dusous-recouvrement). Montrer que tout br vectoriel, de base contractile et para-compacte, est trivial.

26

3 Revtements

3.1 Catgorie des revtements

Dans cette partie, nous dnissons la catgorie des revtements au-dessus dunespace topologique donn.

Lapplication f : R S1 dnie par t 7 e2it vrie la proprit suivante : pourtout x = e2i dans S1, si V = S1 {x}, alors f1(V ) =

kZ ] + (2k 1), +

(2k+1)[ (union disjointe) et la restriction de f chaque ]+(2k1), +(2k+1)[est un homomorphisme sur V .

Pour tout espace topologique X et tout espace discret D non vide, la premireprojection pr1 : X D X est aussi, en restriction chaque X {d}, un homo-morphisme sur X.

Soient X et B deux espaces topologiques, et f : X B une application continue.On dit que f est un revtement si pour tout y B, il existe un voisinage V de ydans B, un espace discret D non vide et h : V D f1(V ) un homomorphismetel que le diagramme suivant commute :

V D h f1(V )pr1 f

V .

On dit que B est la base de f , X lespace total de f , f1(y) la fibre de f au-dessusde y, V un voisinage distingu de y pour f , h une trivialisation locale de f au-dessusde V .

Si lon remplace D par un espace topologique F quelconque, on obtient la notionde fibr localement trivial de bre F au-dessus de B. Voir par exemple [Spa] ouun cours de gomtrie direntielle comme [Laf, Die1, DNF, Pau1] pour dautresexemples. Les revtements sont donc les brs localement triviaux bres discrtes.

Remarque. Comme D est non vide, un revtement est surjectif.

Soient f : X B et f : X B deux revtements ayant mme base. Unmorphisme de revtements de f sur f est une application continue : X X telleque le diagramme suivant commute

X X

f f B .

Lapplication id est un morphisme de revtements, dit identit de f sur f . Si f :X B est un revtement de base B et un morphisme de revtements de f surf , alors est un morphisme de revtements, dit compos. On dnit ainsi lacatgorie des revtements au-dessus dun espace topologique donn B.

Un isomorphisme de revtements de f sur f est un isomorphisme de f sur f

dans la catgorie ainsi dnie, i.e. un morphisme de revtements : X X de27

f sur f tel quil existe un morphisme de revtements : X X de f sur f telque = idX et = idX . Si de plus X = X , on parle dautomorphismede revtements. Deux revtements sont isomorphes sil existe un isomorphisme derevtements de lun sur lautre.

On note Aut(f) le groupe des automorphismes de revtements de f (on noteaussi parfois AutB(X) ce groupe, mais cette notation est abusive, car il peut existerdeux revtements non isomorphes entre deux espaces topologiques donns, commeles applications z 7 zn et z 7 zm avec n 6= m du cercle S1 = {z C : |z| = 1}dans lui-mme. voir aussi lexercice E.28).

Un revtement f : X B est dit trivial sil est isomorphe au revtement pr1 :B D B, o D est un espace discret non vide.

Si f : X B est un revtement etW un ouvert de B, alors f|f1(W ) : f1(W )W est un revtement, qui est trivial si W est un ouvert distingu.

Proposition 3.1 Lapplication f est un revtement si et seulement si tout point yde B admet un voisinage V tel que f1(V ) =

iI Ui soit une union disjointe non

vide douverts Ui de X tels que f|Ui : Ui V soit un homomorphisme.

Dmonstration. Si f est un revtement, alors pour tout y B, notons V unvoisinage distingu de y et h une trivialisation locale de f au-dessus de V . En posantI = D et Ui = h(V {i}) pour tout i dans I, lapplication f vrie la propritdemande.

Rciproquement, si I et (Ui)i I comme dans lnonc existent, alors notons Dlensemble I muni de la topologie discrte, et considrons lapplication g : f1(V ) =

iI Ui V I telle que g(x) = (f(x), i) si x Ui. On vrie que g est unhomomorphisme, dont linverse h est une trivialisation locale de f au-dessus de V .

3.2 Homomorphismes locaux et revtements

Dans cette partie, nous comparons les homomorphismes locaux et les revte-ments.

Soient X et Y deux espaces topologiques. Un homomorphisme local est uneapplication continue f : X Y telle que pour tout x dans X, il existe un voisinageouvert U de x tel que f(U) soit ouvert et f|U : U f(U) soit un homomorphisme.Remarques.

(1) Un homomorphisme local est une application ouverte.

(2) Sil existe un homomorphisme local surjectif entre deux espaces topologiques,alors ceux-ci ont les mmes proprits topologiques locales (locale connexit,locale connexit par arcs, locale contractibilit, etc).

(3) Un revtement est un homomorphisme local.

28

(4) Si X, Y sont deux varits direntielles de mme dimension, alors une appli-cation direntiable f : X Y est une submersion (i.e. sa direntielle enchaque point est surjective) si et seulement si elle est une immersion (i.e. sadirentielle en chaque point est injective), et alors f est un homomorphismelocal, par le thorme dinversion locale (voir un cours de gomtrie diren-tielle, par exemple [Laf, Die1, DNF, Pau1]).

(5) Si f : X B est un revtement et si B est connexe, alors le cardinal de f1(y)est constant en y.

Un revtement f : X B est un revtement fini si pour tout y dans B, lecardinal de f1(y) est ni. Soit n N {0}. Un revtement f : X B est unrevtement n feuillets si pour tout y dans B, le cardinal de f1(y) est n. Unrevtement un feuillet est un homomorphisme (car il est alors injectif, et toutrevtement est continu, ouvert, surjectif).

Proposition 3.2 Soit f : X Y un homomorphisme local, et supposons que Xsoit spar. Si lune des conditions suivantes

le cardinal de chaque fibre f1(y) est fini constant non nul, f est propre (voir la dfinition A.22) et Y connexe,

est vrife, alors f est un revtement fini, donc n feuillets pour un n N {0}.Dmonstration. Pour tout y dans Y , et tout x dans F = f1(y), il existe unvoisinage ouvert Ux de x tel que f|Ux : Ux f(Ux) soit un homomorphisme.Comme X est spar, si F est ni, on peut supposer que les Ux pour x dans F sontdeux deux disjoints.

Sous la premire hypothse, on pose V =

xF f(Ux), qui est ouvert car f estouverte. Alors f1(V ) xF f1(V ) Ux (union disjointe) et comme le cardinaldes bres est constant, il y a galit. De plus la restriction de f f1(V ) Ux estun homomorphisme.

Si f est propre, alors le cardinal de chaque bre est ni non nul. En eet, lap-plication f est ouverte, car cest un homomorphisme local, et ferme car propre.Comme Y est connexe, on a donc f(X) = Y . Donc f est surjective. Pour tout ydans Y , la bre F est compacte car f est propre. Elle est aussi discrte, car f tantun homomorphisme local, pour tout x F , il existe Ux un voisinage de x tel queUx F = {x}. Elle est donc nie.

Soit Ux pour x F comme ci-dessus. Comme f est ferme, V = Y f(X xF Ux) est un voisinage ouvert de y tel que f

1(V ) xF Ux. Donc f1(V ) =xF f

1(V ) Ux (union disjointe) et la restriction de f f1(V ) Ux est unhomomorphisme.

Exemples. Lapplication ]0, 2[ S1 avec t 7 e2it est un homomorphisme local, de bresnies non vides, mais qui nest pas un revtement.

Si X = {0} ]0, 1] est lespace topologique de lexercice E.A.88, lapplicationX [0, 1] avec 0 7 0 et t 7 t si t > 0 est un homomorphisme local, debres nies non vides, mais qui nest pas un revtement.

29

Soit n N{0}. Lapplication de C dans C, ainsi que de S1 dans S1, dniepar z 7 zn est un revtement n feuillets.

Soit P un polynme complexe de degr n > 0. Soit Z lensemble des racinesdu polynme driv P , F lensemble ni P (Z) et U louvert connexe C P1(F ). Alors P|U : U C F est un revtement n feuillets. En eet,cest un homomorphisme local, car P est une immersion sur U , et les imagesrciproques de chaque point de C F ont exactement n racines.

Si X et Y sont des varits direntielles connexes compactes de mme dimen-sion, et si f : X Y est une submersion/immersion, alors f est un revtement(car un homomorphisme local propre).

3.3 Actions de groupes topologiques

Cette partie est compose de rappels sur les actions de groupes et sur les groupestopologiques.

Un groupe topologique est un ensemble G muni dune structure de groupe etdune structure despace topologique compatibles, i.e. telles que lapplication

GG G(x, y) 7 xy1

est continue. Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupequi est continu. Munies de la composition des applications, ces donnes dnissentune catgorie (voir la n de la partie 5.1). Un isomorphisme de groupes topologiquesest un isomorphisme dans cette catgorie, ou, de manire quivalente, un isomor-phisme de groupes qui est un homomorphisme. Deux groupes topologiques sontisomorphes si ce sont des objets isomorphes dans cette catgorie, cest--dire silexiste un isomorphisme de groupes topologiques de lun sur lautre.

Exemple. Soit G un groupe. Muni de la topologie discrte, G est un groupe topo-logique, que lon appelle groupe discret.

Soit n N {0}. Notons GLn(C) le groupe linaire complexe des matricescomplexes n-n inversibles, muni de la topologie induite par la topologie usuelle surCn

2, et GLn(R) le sous-groupe des matrices coecients rels, appel le groupe

linaire rel. Soient

SLn(C) = {x GLn(C) : det x = 1}le groupe spcial linaire complexe,

U(n) = {x GLn(C) : x1 = x}le groupe unitaire, o x = xt est la matrice adjointe de x, et SU(n) = U(n)SLn(C)le groupe spcial unitaire. Soient

SLn(R) = {x GLn(R) : det x = 1}30

le groupe spcial linaire rel,

O(n) = {x GLn(R) : x1 = xt}

le groupe orthogonal, et SO(n) = O(n) SLn(R) le groupe spcial orthogonal.

Exercice E.15 1. Montrer que tout sous-groupe dun groupe topologique, munide la topologie induite, est un groupe topologique. Montrer que le produit dunefamille (quelconque) de groupes topologique, muni de la topologie produit et dela structure de groupe produit, est un groupe topologique. Montrer que si G estun groupe topologique et H un sous-groupe distingu, alors le groupe quotientG/H, muni de la topologie quotient, est un groupe topologique.

2. Montrer que le groupe ablien Rn, muni de la topologie usuelle, est un groupetopologique localement compact. Montrer que Tn = Rn/Zn est un groupe topo-logique compact.

3. Montrer que GLn(C) est ouvert dans Cn2, et que GLn(R) est ouvert dans Rn

2.

4. Montrer que GLn(C) est un groupe topologique localement compact.

5. Montrer que SLn(C),U(n), SU(n),GLn(R), SLn(R),O(n) et SO(n) sont dessous-groupes ferms de GLn(C). Ce sont donc des groupes topologiques lo-calement compacts.

6. Montrer que GLn(C), SLn(C),U(n), SU(n),GLn(R), SLn(R),O(n) et SO(n) sontdes varits topologiques (mtrisables sparables), donc sont localement contrac-tiles.

7. Montrer que S1 = {z C : |z| = 1}, muni de la multiplication des nombrescomplexes, est un groupe topologique, isomorphe (en tant que groupe topolo-gique) SO(2) et U(1).

8. Montrer que U(n), SU(n),O(n) et SO(n) sont compacts.

9. Montrer que U(n), SU(n) et SO(n) sont connexes par arcs, et que O(n) a deuxcomposantes connexes.

10. Soit H (respectivement H +) le sous-espace topologique de Cn2form des

matrices hermitiennes (respectivement hermitiennes dfinies positives). Mon-trer que lapplication exponentielle est un homomorphisme de H sur H +.Montrer quil existe un homomorphisme x 7 x et un seul de H + danslui-mme tel que

x2= x pour tout x H +. Montrer que lapplication

H + U(n) GLn(C) dfinie par (x, y) 7 xy est un homomorphisme (ap-pel dcomposition polaire de GLn(C) ), dinverse x 7 (

xx,

xx

1x). En

dduire que GLn(C) est homomorphe U(n) R n2, que SLn(C) est homo-morphe SU(n)R n21, que GLn(R) est homomorphe O(n)Rn(n+1)2 , queSLn(R) est homomorphe SO(n) Rn(n+1)2 1.

Soient X un espace topologique et G un groupe topologique. Une action (gauche) continue de G sur X est une action ( gauche) de G sur X qui est continue,

31

i.e. une applicationGX X(g, x) 7 gx

continue telle que g(gx) = (gg)x et ex = x pour tous g, g dans G et x dans X, o eest llment neutre de G. On dit que G opre (ou agit) continuement sur X sil estmuni dune action continue de G sur X. On suppose souvent de manire implicitequune action dun groupe topologique sur un espace topologique est continue.

Remarque. Pour tout g dans G, lapplication x 7 gx est alors un homomorphis-me, dinverse x 7 g1x.Exemple. Une action dun groupe discret G sur un espace topologique est continuesi et seulement si x 7 gx est continue pour tout g dans G.

Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. La relation

xRy ( g G, y = gx)

est une relation dquivalence. La classe dquivalence dun point de X est appelelorbite de ce point. Lensemble des classes dquivalence est not G\X, et appellespace des orbites de G dans X.

Soient G un groupe et H un sous-groupe. Alors H agit par translation gauchesur G :

H G G(h, g) 7 hg .

On note Hg lorbite de g G, et H\G le quotient. Le groupe H agit aussi partranslation droite sur G :

H G G(h, g) 7 gh1 .

On note gH lorbite de g G et G/H le quotient. Laction par translation gauchede G sur lui-mme induit une action de G sur G/H :

GG/H G/H(g, gH) 7 ggH .

Lorsque G est un groupe topologique, X un espace topologique et laction estcontinue, lespace des orbites sera muni de la topologie quotient (voir la partie A.2).Si H est un sous-groupe dun groupe topologique G, alors lapplication g 7 g1induit un homomorphisme entre H\G et G/H . Si H est distingu, alors G/H =H\G.Remarque. La projection canonique : X G\X est continue, et ouverte : siU est un ouvert de X, alors le satur 1((U)) =

gG gU de U est ouvert, donc

(U) est ouvert.

32

Si G et X sont spars, une action continue de G sur X est dite propre silapplication graphe

gr : GX X X(g, x) 7 (x, gx) ,

qui est continue, est propre (i.e. ferme, et dont les images rciproques de points sontcompactes, voir la partie A.4 dans lappendice). Lorsque G est discret, une action(continue) propre de G sur X est aussi appele une action proprement discontinue.

Proposition 3.3 Si X est localement compact et G spar, une action continue deG sur X est propre si et seulement si, pour tout compact K de X, la partie

{g G : K gK 6= }est compacte dans G.

Une action (continue) dun groupe discret sur un espace localement compact estdonc proprement discontinue si et seulement si pour tout compact K de X, la partie{g G : K gK 6= } est nie. Cest cette dnition quil faut retenir/utiliserdans la plupart des applications.

Dmonstration. Si laction est propre, pour tout compact K de X, alors gr1(KK) est compact (voir la proposition A.22), donc {g G : K gK 6= } =pr1(gr

1(K K)) est compact.Rciproquement, pour tout compact L de X X, soit K un compact de X tel

que L K K (par exemple K = pr1(L) pr2(L) X). Alors gr1(L) est unferm, contenu dans le compact {g G : K gK 6= } K, donc est compact.Comme XX est localement compact et GX spar, la proposition A.22 montreque gr est propre.

Proposition 3.4 Si X et G sont spars et si G agit proprement sur X, alors lesorbites sont fermes et lespace des orbites G\X est spar.Dmonstration. Comme lapplication graphe gr est propre, elle est ferme, doncson image im gr = {(x, y) X X : g G, y = gx} est ferme dans X X.Si x nest pas dans la mme orbite que y, alors (x, y) nest pas dans imgr, donc ilexiste U, V ouverts de X tels que (x, y) UV XX im gr. Alors (U), (V )sont des ouverts (car est ouverte), disjoints (car (U V ) im gr est vide), etcontenant (x), (y) respectivement. Donc G\X est spar.

Les orbites, images rciproques par (continue) des singletons (ferms car G\Xest spar) sont donc fermes.

Exercice E.16 1. Si G est un groupe topologique compact agissant (continue-ment) sur un espace topologique spar X, montrer que laction de G sur Xest propre.

2. Montrer que les espaces topologiques quotients SLn(C)/ SU(n) et SLn(R)/ SO(n)

sont homomorphes respectivement Rn21 et R

n(n+1)2

1.

33

3. Si SO(n) est identifi un sous-groupe de SO(n + 1) par lapplication x 7(1 00 x

)en notation par blocs, montrer que lespace topologique quotient

SO(n+ 1)/SO(n) est homomorphe Sn.

Une action dun groupe G sur un ensemble X est dite libre si le stabilisateurGx = {g G : gx = x} de chaque point x de X est trivial (i.e. vaut {e} o e estlidentit de G). Ceci quivaut

x X, g, g G, gx = gx g = g .Donc laction de G est libre si et seulement si lapplication graphe gr est injective.

3.4 Actions de groupes et revtements

Cette partie introduit une classe dexemples fondamentaux de revtements, ceuxdnis par les actions propres et libres de groupes discrets. Ils jouent un rle essentieldans la thorie des revtements.

Thorme 3.5 Soit G un groupe discret agissant (continuement) librement et pro-prement sur un espace topologique spar X. Alors

(1) pour tout x dans X, il existe un voisinage V de x tel que gV V = pourtout g dans G {e}

(2) chaque orbite de G est discrte ;

(3) la projection canonique X G\X est un revtement.

Dmonstration. (1) Lapplication graphe gr est continue, injective et ferme (carpropre), donc est un homomorphisme sur son image. Comme {e}X est un ouvertde G X, son image par gr, qui est la diagonale de X X, est ouverte dansim gr. Pour tout x dans X, il existe donc un voisinage V de x dans X tel que(V V ) im gr soit contenu dans la diagonale de X X. Donc si V gV est nonvide, alors g = e.

(2) Ceci dcoule de (1).

(3) Pour tout x dans X, soit V un voisinage ouvert de x comme dans (1). AlorsU = (V ) est un ouvert, car est ouverte. De plus 1(U) =

gG gV et cette

union est disjointe, car si y gV gV , alors g1y V (g1g)V , donc g1g = eet g = g. De plus, lapplication |gV : gV U est continue, ouverte, surjective. Elleest aussi injective. En eet, si x, x gV vrient (x) = (x), alors il existe g Gtel que x = gx ; llment x appartient gV (gg)V , donc g = e et x = x.

Corollaire 3.6 Soit G un groupe fini (discret) agissant librement (par homomor-phismes) sur un espace spar X. Alors G\X est spar, et la projection canoniqueX G\X est un revtement Card(G) feuillets.

34

Dmonstration. Par la proposition 3.4 et le thorme 3.5 prcdent, il sut demontrer que lapplication graphe gr est propre. Comme un groupe ni discret estcompact, ceci dcoule de lassertion (1) de lexercice E.16. Mais nous donnons uneautre preuve ci-dessous.

Comme G est ni, limage rciproque dun point est nie, donc compact carGX est spar. Enn, si F est un ferm de GX, alors pour tout g dans G, leferm F ({g} X) est de la forme {g} Fg o Fg est un ferm de X. CommeXX est spar, le sous-ensemble F g = {(x, y) XX : pr1(x, y) = g pr2(x, y)}est ferm (voir par exemple lexercice E.A.108). Do

gr(F ) =gG

gr(F ({g} X)) =gG

pr11 (Fg) F g

est ferm (car lunion est nie).

Exemples.1. Si {1} agit sur Sn par x 7 x, alors Pn(R) = {1}\Sn est un espace to-

pologique spar, et lapplication canonique Sn Pn(R) est un revtement deux feuillets (par le corollaire 3.6).

2. Soient n N et p N {0}. Le groupe Up des racines p-mes de lunit agit(continuement) sur la sphre de dimension impaire

S2n+1 = {(z0, ..., zn) Cn+1 : |z0|2 + ...+ |zn|2 = 1}par (, (z0, ..., zn)) 7 (z0, ..., zn). Cette action est libre, donc Ln,p = Up\S2n+1est un espace topologique spar, appel espace lenticulaire, et la projectioncanonique S2n+1 Ln,p est un revtement p feuillets (par le corollaire 3.6).

Corollaire 3.7 Soit H un sous-groupe discret dun groupe topologique spar G,alors H est ferm, H\G est spar et la projection canonique G H\G est unrevtement.

Dmonstration. Soit U un voisinage de lidentit, tel que U H = {e}. Soit Vun voisinage de lidentit tel que V V 1 U . Supposons par labsurde quil existeg H H . Alors V g est un voisinage de g, qui rencontre H en au moins deuxlments distincts h, h (car G est spar). Soient v et v dans V tels que vg = het vg = h. Alors hh1 = vv1 est dirent de e et appartient U , contradiction.Donc H est ferm.

Maintenant, par la proposition 3.4 et le thorme 3.5, il sut de montrer quelapplication graphe gr : H G G G dnie par gr(h, g) = (g, hg) est propre.Comme elle est injective, dimage

im gr = {(g, g) GG : gg1 H}et puisque gr1 : (g, g) 7 (gg1, g) est continue, il sut de montrer que H estferm.

Exemple. Lapplication canonique Rn Rn/Zn est un revtement. Par le pa-ragraphe prcdant lexercice E.A.98, lapplication Rn (S1)n avec (t1, ..., tn) 7(e2it1 , ..., e2it1) est un revtement.

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3.5 Unicit des relvements

Lune des proprits fondamentales des revtements est de pouvoir relever demanire unique en une application valeurs dans lespace total certaines applications valeurs dans la base. Dans cette partie, nous tudions le problme de lunicit (voirla partie 3.8 pour le problme de lexistence).

Soient p : X B un revtement et f : Y B une application continue.Un relvement (ou relev) de f est une application continue f : Y X telle que

p f = f , cest--dire telle que le diagramme suivant commute :X

f pY

f B .Une section de p est un relvement de lidentit B B, cest--dire une appli-

cation continue s : B X telle que p s = idB :X

p sB .

Exemples. (1) Si p est un revtement trivial, si y Y , b = f(y) et x p1(b) alorsf admet au moins un relvement f tel que f(y) = x. En eet, si D est un espacediscret non vide, si pr1 : BD B est la premire projection, et si h : BD Xest un isomorphisme de revtements au-dessus de B, alors pour tout d dans D,lapplication f : y 7 h(f(y), d) est un relvement de f . En prenant f = id, nousobtenons que tout revtement trivial (par exemple la restriction dun revtement la primage dun ouvert distingu de la base) admet, pour tout point x de la breau-dessus dun point b de la base, au moins une section s telle que s(b) = x.

(2) Si p : X B est un revtement, alors tout morphisme de revtements de psur p est un relvement de lapplication continue p par le revtement p.

Nous donnerons plus loin un critre ncessaire et susant pour lexistence derelvements.

Proposition 3.8 (Unicit des relvements) Si Y est connexe, alors deux rel-vements de f qui concident en un point sont gaux.

Dmonstration. Soient f , f : Y X deux relvements de f concidant en unpoint y Y , et

A0 = {u Y : f (u) = f (u)}, A1 = {u Y : f (u) 6= f (u)} ,qui sont deux parties disjointes de Y . Soient u Y , V un voisinage ouvert distingude f(u), h : V D p1(V ) une trivialisation de p au-dessus de V , et Vd =h(V {d}) pour tout d D. Si u A0, soit d D tel que f (u) Vd. Alors

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(f )1(Vd) (f )1(Vd) est un voisinage ouvert de u contenu dans A0, donc A0 estouvert. Si u A1, soient d et d dans D tels que f (u) Vd et f (u) Vd . Alorsd 6= d et (f )1(Vd) (f )1(Vd) est un voisinage ouvert de u contenu dans A1,donc A1 est ouvert. Comme y A0, et par connexit de Y , nous avons donc A1 = et f = f .

Corollaire 3.9 1. Soient p : X B et p : X B deux revtements. Si X estconnexe, alors deux morphismes de p sur p qui concident en un point sontgaux.

2. Soit p : X B un revtement, despace total X connexe. Le groupe desautomorphismes du revtement p agit librement sur X.

3. Soit p : X B un revtement, de base B connexe. Deux sections de p quiconcident en un point sont gales.

4. Soit G un groupe discret agissant proprement et librement sur un espace connexespar X, et p : X G\X le revtement associ. Si x X, alors lapplicationqui un automorphisme de revtements associe lunique lment g de G telque (x) = gx, est un isomorphisme du groupe Aut(p) sur le groupe G.

3.6 Relvement des chemins et des homotopies

Dans cette partie, nous montrons que les revtements ont la proprit de relve-ment unique des chemins et des homotopies.

Proposition 3.10 (Relvement des chemins) Soit p : X B un revtement.Pour tout chemin dans B dorigine b, pour tout x dans p1(b), il existe un uniquerelvement de dorigine x.

Cette proposition est en fait un cas particulier de la proposition suivante, enprenant pour Y lespace rduit un point.

Proposition 3.11 (Relvement des homotopies) Soient p : X B un revte-ment et f : Y B une application continue, admettant un relvement f : Y X.Pour toute application continue h : Y [0, 1] B telle que h(, 0) = f(), il existeun unique relvement h de h tel que h(, 0) = f().

Dmonstration. Le rsultat est immdiat si p est trivial.Par compacit de [0, 1], pour tout y Y , il existe un voisinage ouvert Uy de y

et n = ny N non nul tel que h(Uy [ i1n , i+1n ]) soit contenu dans un voisinagedistingu Vy,i de h(y, in).

Soit g0 un relvement de h|Uy[0, 1n ] tel que g0(z, 0) = f(z) pour tout z dans Uy. Parrcurrence, on construit un relvement gi de h|Uy[ in , i+1n ] tel que gi(z,

in) = gi1(z,

in)

pour tout z dans Uy. En recollant ces relevs, on obtient un relvement gy de h|Uy[0,1]tel que gy(z, 0) = f(z) pour tout z dans Uy.

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Si y Y , et pour tout z dans Uy Uy , les relvements gy et gy concident en(z, 0), donc par connexit par arcs de {z} [0, 1], concident sur {z} [0, 1]. Donc gyet gy concident sur (Uy Uy) [0, 1]. En recollant les gy, on obtient un relvementh cherch.

Pour tout y dans Y , deux tels relvements concident en (y, 0), donc sur {y} [0, 1] par connexit par arcs de [0, 1], donc ils sont gaux.

p

(0) = (0)

(1) = (1)

p1((1))

(0) = (0)

(1) = (1)

Corollaire 3.12 Si et sont deux chemins homotopes, si et sont des re-lvements de et respectivement ayant mme origine, alors et ont mmeextrmit et sont homotopes.

Dmonstration. Si h : [0, 1] [0, 1] B est une homotopie entre et , telle que

h(t, 0) = (t), h(t, 1) = (t), h(0, s) = (0) = (0), h(1, s) = (1) = (1) ,

si h : [0, 1] [0, 1] X est le relvement de h tel que h(t, 0) = (t), alors parlunicit dans la proposition 3.10, et comme les chemins constants se relvent en deschemins constants, nous avons

h(t, 1) = (t), h(0, s) = (0) = (0), h(1, s) = (1) = (1) .

Corollaire 3.13 Soient x X et b = p(x). Le morphisme p : 1(X, x) 1(B, b)est injectif.

Dmonstration. Soit un lacet en x dans X. Si le lacet p en b dans B esthomotope au lacet constant en b, alors , qui par unicit est le relev de p dorigine x, est homotope au lacet constant en x, par le corollaire 3.12.

Corollaire 3.14 Soient p : X B un revtement, despace total X connexe pararcs, b B et x p1(b). Les proprits suivantes sont quivalentes :

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(1) X est simplement connexe,

(2) deux lacets c et c en b dans B sont homotopes si leurs relvements doriginex ont mme extrmit.

Dmonstration. Nous utilisons la caractrisation de la simple connexit donnepar le dernier point de lexercice E.6.

Si X est simplement connexe, deux chemins dans X ayant mme origine et mmeextrmit sont homotopes, donc leurs images par p aussi.

Rcipropquement, si et sont deux chemins dans X ayant mme origine x etmme extrmit, alors les chemins p et p dans B ont leurs relevs dans Xayant mme origine et mme extrmit, donc sont homotopes par lassertion (2), etpar relvement des homotopies, et sont homotopes.

Exercice E.17 Montrer que si X est connexe par arcs, si b B et x, y p1(b),alors p1(X, x) et p1(X, y) sont conjugus dans 1(B, b).

3.7 Action sur la fibre du groupe fondamental de la base

Dans cette partie, nous construisons et tudions une action naturelle du groupefondamental de la base sur la bre dun revtement.

Soient p : X B un revtement, b B et F = p1(b) la bre au-dessus de b.Pour tout x dans F et g 1(B, b), soit un lacet en b dans B reprsentant g.

On note xg = (1) F lextrmit de lunique relvement de dorigine x. Parle corollaire 3.12, le point xg de F ne dpend pas du choix du reprsentant de g.

Proposition 3.15 Lapplication (g, x) 7 xg est une action droite du groupe1(B, b) sur la fibre F .

Dmonstration. Par unicit, pour tous les lacets et en b, le relvement dorigine x de la concatnation deschemins est la concatnation du relvement de dorigine x et du relvement de dorigine (1). Lerelev dorigine x du chemin constant en b est le cheminconstant en x. On obtient donc

x F, g, g 1(B, b), (xg)g = x(gg) et xe = x

o e est llment neutre de 1(B, b).

b

x

x[]

p

Proposition 3.16 Le stabilisateur de x F par laction de 1(B, b) sur la fibre Fest p1(X, x).

Dmonstration. Soit g 1(B, b) xant x. Si est unlacet en b reprsentant g, de relev dorigine x not ,alors (1) = x, donc est un lacet en x, dont la classedhomotopie a pour image g par p. b

p

x

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bp

p

x Rciproquement, soit g 1(X, x) et un lacet en xreprsentant g. Alors est par unicit le relev de p dorigine x et (1) = x. Donc xp(g) = x.

Si X est un espace topologique, notons 0X lensemble de ses composantesconnexes par arcs.

Proposition 3.17 Si B est connexe par arcs, lapplication de F dans 0X, qui x F associe sa composante connexe par arcs dans X, induit une bijection

F/1(B, b) 0X

entre 0X et lensemble des orbites de 1(B, b) dans F .

Dmonstration. Lapplication F 0X est surjective, car si y X, si est unchemin dans B entre p(y) et b, alors le relvement de dorigine y a pour extrmitun point de F .

Si deux points x et x de F sont joints par un chemin dans X, alors p est un lacet en b dans B, dont le relvement dorigine x a pour extrmit x. Doncx[p ] = x.

Enn, par construction, pour tous x et x dans F , si x = xg pour un g dans1(B, b), alors il existe un chemin entre x et x.

Il dcoule des propositions 3.17 et 3.16 que si B est connexe par arcs, alors Xest connexe par arcs si et seulement si 1(B, b) agit transitivement sur F . On a deplus le fait suivant

Corollaire 3.18 Si X est connexe par arcs, pour tout x dans F , lapplication de1(B, b) dans F dfinie par g 7 xg induit une bijection

p1(X, x)\1(B, b) F .

En particulier, si X est connexe par arcs et n N{0}, alors p est un revtement n feuillets si et seulement si p1(X, x) est un sous-groupe dindice n de 1(B, b).

Corollaire 3.19 Si X est connexe par arcs, alors p est un homomorphisme si etseulement si le morphisme p : 1(X, x) 1(B, b) est un isomorphisme de groupes(sa surjectivit suffit par le corollaire 3.13).

Le corollaire suivant est assez souvent utilis pour montrer que deux espaces sonthomomorphes (voir par exemple la preuve du thorme de Poincar sur les groupesde rexions [Har1]).

Corollaire 3.20 Un revtement connexe par arcs dun espace simplement connexeest un homomorphisme.

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Dmonstration. Si p : X B est un tel revtement, alors p est injective, etdimage nulle, donc est un isomorphisme. Par le corollaire prcdent, p est donc unhomomorphisme.

Proposition 3.21 Soient G un groupe discret, agissant proprement et librementsur un espace topologique X spar et connexe par arcs, p : X B = G\X laprojection canonique, b B et x F = p1(b). Pour tout 1(B, b), il existe unet un seul g G tel que x = gx. Lapplication 1(B, b) G dfinie par 7 gest un morphisme de groupes, surjectif, de noyau p1(X, x).

Dmonstration. Par dnition, F est lorbite de x par G, ce qui montre lexistencede g. Lunicit vient du fait que laction est libre. Il est clair que ge = e.

Soient g dans G et dans 1(B, b). Soit un lacet en b reprsentant . Alorsx est lextrmit du relvement de dorigine x et g(x) est donc lextrmit durelvement g de dorigine gx. Par unicit, on a donc g(x) = (gx).

Par consquent, pour tous , dans 1(B, b),

gx = x() = (x) = (gx) = g(x) = g(gx) = (gg)x

ce qui montre que 7 g est un morphisme de groupes.La surjectivit dcoule du fait que 1(B, b) agit transitivement sur F . Le noyau

de 7 g est le stabilisateur de x dans 1(B, b), donc est p1(X, x). En particulier, sous les hypothses de la proposition prcdente, p1(X, x) est

alors un sous-groupe distingu de 1(B, b) et 1(B, b)/p1(X, x) est isomorphe G.

Corollaire 3.22 Soient G un groupe discret, agissant proprement et librement surun espace topologique X spar et simplement connexe, et B = G\X. Alors 1(B, b)est isomorphe G.

Exemples :

1. Comme la projection canonique R R/Z est un revtement, et puisque S1est homomorphe R/Z, nous avons donc

1(S1) Z .Plus gnralement, 1(Rn/Zn) Zn.

2. Comme la projection canonique Sn (Z/2Z)\Sn = Pn(R) est un revtement,et que Sn est simplement connexe pour n 2, on a donc

si n 2, alors 1(Pn(R)) Z/2Z .Comme P1(R) est homomorphe au cercle, nous avons bien sr 1(P1(R)) Z.

3. Comme S2n+1 Up\S2n+1 = Ln,p est un revtement, et puisque S2n+1 estsimplement connexe pour n 1, le groupe fondamental de lespace lenticulaireLn,p est donc

1(Ln,p) Z/pZ .41

3.8 Relvement des applications

Dans cette partie, nous tudions lexistence de relvements dapplications va-leurs dans la base dun revtement.

Thorme 3.23 (Thorme du relvement) Soient p : X B un revtement,Y un espace connexe et localement connexe par arcs, et f : Y B une applicationcontinue. Soient y Y , b = f(y) et x p1(b). Il existe un relvement f : Y Xde f tel que f(y) = x si et seulement si

f1(Y, y)