Boussinesq
 
 
Boussinesq, Joseph (1842-1929). Théorie analytique de la chaleur... / par J. Boussinesq. 1901-1903.
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Fin   d 'u ne s ér ie d e d o cu men ts
M couleut
3;5M   Quai   des Grands-Augustins,   55.
 
THÉORIE   ANALYTIQUE DE
PAR    J. BOUSSINESQ,
MEMBRE DE L'INSTITUT,
PROFESSEUR    ,A   L A FA CU LT E D ES S Ct EN OE S   DE   L 'U NI VE RSI TE D E FA Rf S.
TOME II
REFROIDISSEMENT   ET   É CH AU FF EME NT P AR R AY ON NE ME NT
CONDUCTIBILITÉ   DES   TIGES,   L AMES ET   MASSES   CRISTALLINES
CO URA NT S D F CO NV ECT IO N
THÉORIE   MECANIQUE   DR    LA LUMIÈRE.
~=~ PARIS,
GAUTHIER-VILLAIIS,   tMPRIMEUR-UBRAIRE
D U B UR EA U   DES   LONGITUDES,   DE   L'ÉCOLE   POH'TECHNtQt;E,
Quai   des Grands-Augustins,   55.
L'Introduction   mise en tête   du   premier    Volume   a indiqué
l'objet et le  plan   de l'Ouvrage   entier. Elle a   fait,   en  particulier,
connai tre au lecteur   que   le Tome II   contiendrait, d'abord,   la
réduction de  plusieurs problèmes   de   refroidissement ou d'échauf-
fement  par rayonnement,   dont quelques-uns   sont   célèbres,   aux
 problèmes analogues, beaucoup plus simples,   de refroidissement
ou   d'échauffement  par    contact;   en   deuxième   lieu,   l a théorie de l a
 propagation   de la chaleur autour     d'un centre   d'émanation,   dans
les   milieux indéfinis cristallisés   à une,   deux ou trois dimensions
(barres, plaques   et corps massifs);   enfin,   deux Mémoires   étendus,
consacrés, l 'un,   à l 'étude des résistances   exercées   sur    tout   fluide
oscillant  par    un solide immergé   à son   intérieur    et qui paraissent
être,   dans les  phénomènes   à notre  portée,   le véritable type   des
actions des   molécules  pondérables   sur l 'éther vibrant autour  
d'elfes,   ou   donner,   par    suite,   la   clef des faits optiques   et même
calorifiques,   l'autre,   à la   théorie détaillée   des  phénomènes   de
lumière.
Je ne  pensais   donc  pas, quand j'écrivis   cette   Introduction,   avoir 
à   faire  précéder    le Tome II d'aucun avertissement spécial.   Mais   il
est difficile que   l'auteur    d'un Ouvrage   c omme celui-ci n'ait  pas, au   cours de l'impression,   l'idée   de l e compléter,   notamment   sur 
des  points   qu'il   avait  jugés   d'abord tr op peu   élucidés  pour    en
entretenir    ses   lecteurs,   mais qu'il   se   décide   tardivement à aborder  
quand   même.   C 'est ce qui   m'est arrivé dés   le  premier    Volume,
dans la   seconde  partie   de la X X"   Leçon   (p.   3a<(   à 332),   où  j'ai
exposé   une   théorie que   l'Introduction ne   mentionnait  pas.   Cette
théorie,   d'un   intérêt  plutôt rétrospectif,   puisqu'elle   nous reporte
 
à l'hypothèse   justement   abandonnée   du c~o/K~,   est   une expli-
cation fictive   de   la  propagation   de la   chaleur,   ou des équations   de
Fourier  (et   même de   Duhamel  pour    les cr istaux) , par     l'assimila-
tion de l a chaleur à un   fluide expansif    filtrant   dans les corps   et
soumis à   la loi de   Mariette, bref,   pareil   à   ceux que   semblent   con-
stituer les   solutions satines   étendues,   se dif fusant dans un liquide
ou un solide.
De   même,   d ans le  présent   Tome II,   j 'ai jugé   devoir  ajouter 
trois Leçons   (les   XXXHL%   XXXIV et XXXV), pour     ébaucher 
un sujet   capital,   celui de l a  propagation   de la chaleur dans les
corps   en   mouvement,   comme   sont des f luides coulant  par    uleMs
inégalement   rapides   et des solides qui   se déforment ou vibrent.
L'Influence .réciproque   du mouvement visible et de l'agitation
calorifique   étant  peu   marquée   chez les   solides,   on  peut,   à   une
 première   approximation,   s'y   contenter  d'hypothèses   simples   qui
reviennent,   au   fond,   à admettre l'indépendance   mutuelle   de   ces
deux   sor tes de   mouvements.   J'y   ai ajouté   l'exposé   sommaire d'une
seconde approximation,   où apparaît   leur influence réciproque   et
où,   en  particulier,   l'on   retrouve,   d'une manière rapide, les équa-
tions aux   dérivées  partielles   obtenues vers i835  par    Duhamel,
 pour    les mouvements vibratoires vis ibles que   provoquent,   chez
les solides élastiques,   d'assez larges   variations   de la température.
Quant   aux fluides,   où les mouvements visibles  peuvent   être
très   étendus,   même sous l'influence   de   faibles   causes,   l'équation
caractéristique   de   leurs températures,   à adjoindre   aux équations
ordinaires de l'Hydrodynamique,   a été   donnée en  premier lieu par 
Fourier  (dans   un   Mémoire  posthume)   sous une forme au fond
suffisante  pour    les questions abordables,   mais qu'une légère
inadvertance   de s on I mmortel auteur a inutilement compliquée
quelque peu.
Poisson Fa retrouvée   sous   sa forme exacte et réduite.   Mais,   pour 
 pouvoir    tirer    dans les  problèmes   les  plus   intéressants quelque
chose du système,   encore trop complexe, qu'elle   fournit  par    son
adjonction   aux équations   ordinaires   de l'Hydrodynamique   ou
 
la  permanence   du mouvement   et   de la température   en chaque
 point   de l'espace   entourant le corps H   fallait encore   observer 
que,   dans la  plupart   des mouvements  provoqués parla chaleur    sur 
nos fluides  pesants,   les volumes   ou les   densités   s e conservent à
très  peu près,   quoique   ta variation correspondante   du  poids   de
l'unité   de volume fluide   soit  justement   la cause des  phénomènes
qu'il s'agit d'analyser.   De   là résulte la  possibilité   de négliger    les
variations   de la densité,   là où e lles ne sont  pas multipliées par la
gravité   g,   tout en   conservant,   dans les   calculs,   leur   produit par 
celle-ci.   Grâce aux simplifications   alors   obtenues,   la question,
encore très   difficile et  presque toujours   r ebelle à l'intégration,
n'est  plus   inabordable.
On   voit que   les mouvements   dont il s'agit   ici sont ceux dits de
convection calorifique   ou  produits,   a utour d'un corps   chaud
immergé   dans un f luide, par     l'échauSement et l'allègement,   à
volume égal,   des couches fluides   avolsinantes. Deux   cas   extrêmes,
tout au   moins,   y   sont   accessibles   à une étude théorique,   savoir,
celui où l'ensemble de la masse   fluide   est en repos,   et celui où
el le est animée d'une   translation uniforme   ils font l'objet   de la
XXXV   Leçon.
Dans le  premier,   expér imenté par     les  physiciens,   les intégra-
tions ne semblent  pas possibles.   Mais la for me même des équations
implique,   entre   autres   résultats,   certa ines tois de  proportionnalité
ou de   similitude,   qui   d.onnent   la ra ison des bel les formules empi-
riques   trouvées,   vers   !8t8,   par Dulong   et   Petit,   pour    le  pouvoir 
refroidissant   des gaz.
L'autre   cas   extrême es t   plus simple,   quand   le   courant général
enveloppant le corps   a une   vitesse   suffisante  pour que   les mouve-
ments n'y   soient  pas   sensiblement modifiés  par    l'échauSement.
Alors   le  pouvoir    refroidissant de   la   masse fluide   est,   notamment,
 proportionnel   à   l'excès   de température   du corps   sur    elle,   comme
l'avait  pressenti   Newton. L'intégr ation y   est  possible   et conduit   à
des résultats simples,   pleins   d'intérêt,   lorsque   le corps   immergé
n'a que   des   courbures   modérées   (sauf,   si   l'on   veut,   à sa  proue   et
 
YfH ËNCMtRATtON DE PARTIES NOUVELLES MSËREES DANS CE VOLUME.
un  pouvoir    refroidissant en raison directe de la racine carrée de
sa   vitesse générale.   Lesrécentes expériences d'un   jeune   physicien
de MontpeUier,   M. Paul Compan ( ') ,   où les excès de température
atteignaient   3oo°,   ont vérifié ces lois et apporté   en   outre,   dans
des limites très étendues de température   et de  pression,   une
confirmation nouvelle à celles de Dulong   et Petit  pour    une masse
gazeuse   Indéfinie en repos.
C'est surtout l'exposé   de   la   théorie mécanique   de la   lumière
annoncé au Tome   1 (dans l'Introduction),   qui   a   reçu   ici un déve-
loppement   considérable.   Citons,   parmi   les additions que   j'y   ai
faites   la  preuve   de la   détermination   complète   de la   suite   de%
mouvements vibratoires de l'éther,   dans un ensemble de milieux
transparents   contigus,   par l'adjonction,   aux trois équations   Indé-
finies,   des quatre   conditions définies   consistant   à égaler    de  part   et
d'autre,   aux surfaces séparatives,   les déplacements tangentiels   et
les   rotations moyennes;   la démonstration de   la  perpendicularité
de la vibration au rayon, par     les expériences   de Seebeck touchant
l'angle   de  polarisation   de   la   lumière   réfléchie   sur    un   cristal   uniaxe
et dans une section  principale; l'explication,   sur    les   bases  posées
 par    M.   Potier,   des  particularités   que   présente   la réflexion vitreuse
aux e nvirons de l'angle   de  polarisation   le calcul théorique   de   la
rotation,   étudiée expérimentalement par FIzeau,   que   la translation
du corps t ransparent imprime   au  plan   de  polarisation   du rayon
réfracté;   l'explication   des dispersions   anomales accompagnant
l'absorption   des radiations   par    les corps;   la démonstration   de
l'obliquité   sur les  plans   d'onde,   dans   les corps opaques Isotropes,
du rayon   lumineux,   qu'attire,   en quelque   sorte,   la normale à la
face   d'entrée;   le   calcul   de l a dispersion   des rayons   réfractés   par 
(1)   Mor t le   g   décembre   1902, cinq     mois seulement   après   avoir soutenu   (le
3o  juin),   devant la Facu)té des Sciences   de Montpellier,   sa Thèse   pour.le   Doctorat
èssciences physiques!   Cette   Thèse, intitulée   Essai sur   le pouvoir refroidissant de   l 'a ir e tïM~   les   lois   dit rayonnement,   contient [edÉtait   des expériences   dont
il   est   p ar lé c i- ap rès ( p. i 8j )   et 190).   Elle   a été   reproduite,   en août   1902, par les
Annales de Chimie et de   Physique   (7*   série,   t.   XXVI, p. 488   à 5~);   e t l e
Journal   de Physique théorique   et appliquée   (4* série,   t.   ï , p .   708   à   7:5)   en   a
 
EXTRÊME   SmPLtCtTË   DES LOIS   DTtfAUtQOBS   DE L'BTBBtt. IX
un corps transparent isotrope   en   mouvement,   reconnue identique
à celle qui   aurait   lieu,   dans le même corps   en repos, pour     des
radiations ayant   très   sensiblement   mêmes  périodes   apparentes
respect ives que   celles dont il s'agit,   conformément à une   assertion
de M.   Mascart;   la théorie des doubles réfractions circulaire et
elliptique   des ondes  planes   latéralement   limitées,   avec la démon-
stration   générale   du  principe d'Hnygens   sur la construction des
rayons par     le moyen   des surfaces d'onde courbes,   cette démon-
stration comprenant   soit le cas où les vibrations sont pendulaires,
mais régies   par    des équations   aux dérivées  partielles   d'ordre quel-
conque,   soit même le cas d'ébranlements   isolés   ou de f orme arbi-
traire,   quand   les équations   linéaires du mouvement ne contiennent
que   les d ér ivées du second ordre des déplacements,   mais les con-
tiennent affectées de coefficients   constants quelconques,   ou sans
qu'il   existe aucun  potentiel;   la théorie de l'absorption par     les
cristaux translucides et  par    les milieux dissymétriques   modé-
rément opaques;   celles des dispersion   et absorption   rotatoires;
la formule des vitesses de  propagation   des ondes,   en fonction
rationnelle de l'orientation moyenne   des   mouvements   de l'éther,
dans les corps   transparents   dissymétriques   enfin,   l'extension du
 principe   de Fermat sur l'économie du temps   au mouvement
relatif    de   la l umière dans les milieux hétérogènes transparents,
animés d'une translation rapide.
Dans toutes ces questions,   comme   dans   celles que   j'avais   trai-
tées   antérieurement,   les  phénomènes   lumineux offrent ce carac-
tère remarquable   d'avoir les lois   élémentaires   les  plus simples que
l'on  puisse imaginer.   L'éther,   soit à l 'état libre,   soit  parsemé   de
molécules  pondérables, paraît,   en effet,   réal iser dans ses équations
de mouvement,   bien  plus que   tous les autres milieux élastiques,   le
maximum   de la simplicité   compatible   avec le  pouvoir    de vibrer 
transversalement (').   C'est,   à chaque pas,   dans tout ordre nouveau
 
X StNPUCtTt   D ES LO IS   DTNAM!QCES   DE L'BTHER, EXPLIQUANT   LA   DECOUYEHTE,
de questions que
l'esprit, qui   explique
et  prévolt   tes  phénomènes.
à   346,   ou   encore   38~,   touchant les relat ions   définies, spéciales   aux surfaces
limites.
Même quand   il   s'agit   s eu le me nt d e   milieux   i so tr op es i ndé fi ni s, l es   lois du
m ou vem ent so nt   notablement sin)p)inées,   dans l 'é ther , par     l 'absence de   vibrations
longitudinales,   absence   entMtnant,   comme   on sait,   la séparation   des trois fonc-
tions t),   petits déplacements   suivant   les   a;   à i 'ép oq ue t ,   des diverses
particules   d'éther,   distinguées les unes   des autres  par    leurs situations   mêmes
(x, y,   ~)   d'état naturel. Une   seule   de   ces   fonctions   figure   donc dans chacune
des trois équations   aux   dérivées  partielles.. Celles-ci   sont,   par exemple, pour     l'éther    libre,
f e t j j.  désignant   respectivement   ta densité e t le coeff ic ient d 'é last ic ité de t 'é ther .
Or  comme,   d'une part,   f),   expriment   l'état statique   du milieu et   que   leur 
 paramètre   difïér entiet est leur d érivée natur ette dans l'espace   ou la mesure
de leur   rapidité   même   d'accroissement autour     du  point (,c, ~) (ainsi que   je le démontre dans mon   Cours   d'Analyse   [<t~tH<e~[fHa~e~OHr<<.[Jtfe'cay!:<~Mee< la Physique,   au   Tome   l, Compléments,   p.   Ti*), comme,   d'autre   part,   les   vi-
tesses   définissent l 'état   dynamique   du   milieu et   que   les accéléra-
tions   en sont la   dérivée   par    rapport   au   temps,   ces équations   si-
gnifient   que   la   dérivée,   par rapport   au   temps, de   l'état   dynamique,   est
 proportionnelle   à la   dérivée,   par    rapport   à   l'espace,   de l'état statique. t t n e   serait évidemment pas   possible d'imaginer    des équations   de mouvement
plus   simples,   sachant   que   de telles équations   doivent donner l 'accélération
de la   particule   (.c,)   en f onction de l'état actuet de la matière environ-
nante   ou,   plus précisément ( à   r ai so n de l a n at ur e élastique   du milieu), en
fonction   des   déptacements   relat ifs de cette mat ière (par rapport   à la   particule
même).
Quant   aux cas d'hétérotropie~   les sol ides les moins compliqués   sont les solides
 primitivement isotropes, déformés   d'une   manière  permanente   par    des actions
temporaires   soit déjà disparues,   soit  partiellement   subsistantes   encore. Or,   com-
 parés   à   l' éther d'un cristal dans leur manièr e de   vibrer,   ces solides   sont   bien
 plus éloignés que   lui   d'être isotropes;   car la transformation   anamorphique,
co nsi st an t à remplacer    les coordonnées   d'état   naturel et les   déplacements   par 
t rois var iables e t trois fonct ions respectivement   proportionnelles   à ces quantités
(avec   s ix c oe ff ic ien ts de  proportionnalité   différents) , qui   r éd ui t l es   équations
indéfinies   d'équilibre   de ces corps   i celles   des   corps isotropes,   r éd ui t l es équa- t io ns i nd éf in ie s d e l eu rs m ou vem en ts à   une forme comme   celle des équations   de
mouvement   de   t'éther    des   cristaux. En d 'autres   termes,   il y   a   à   faire, pour  
 
PRESQUEA   PMORf,   M PLMtEMS M CES t.OtS,   PAR MESNBt.. Xl
Aussi Fresnel a-t-H  pu,   sur    les   indications fournies  par quelques
faits d'expérience   le  plus souvent très vulgaires,   deviner au moyen
de ce  principe   de simplicité   m axima les  phénomènes   les  ptusdéii-
r ent s l es   plus complexes,   un   pas   c on si dé ra bl e v er s l a s implicité, qui   serait
même   suffisant,   à   l'état   statique, pour     atteindre   l'isotropie.
On peut   voir,   s ur c e   sujet   des   solides   isotropes déformés,   considérés   dans   les
lois de leur   équilibre   et   de   leurs   vibrations,   comparativement   aux sol ides iso-
tropes   et a )'étherdes   cristaux  biréfringents,   les  pages   665 à 673   de mon Volume
de   i885 intitulé   Application des potent ie ls   à <'e<tt6<~ de   l 'é qu il ib re et   du m ou -
ventent   des   solides   élastiques,   etc.;   e t m on M ém oi re   sur    les ondes   dans les
milieux   isotropes déformés, résumé,   dès le   3  juillet   i865,   da ns l es   Comptes
r en dus d e l' Aca dém ie d es S ci en ces (t.   L XI , p . 1 9) ,   mais  publié,   en 1868   seule-
ment,   au   Journal   de M at hém at iq ue s p ur es   et a~/t~Ke~   ( 2' série,   t. XIII,
 p. aog   à   a~t).   1
Le  principe,   m is en v ue ci-après (p. XIII) ,   de   Fresnel,   to uc han t l a dépendance
exclusive où   serait,   de la d ir ec ti on d es   vibrations,   la   vitesse   w   de   propagation   des
ondes  planes;   ne s 'ap pl iq ue p as   entièrement à ces   milieux, quoique   les for-
mules (<3)   et (18)   du M ém oi re ci t<~ y   donnent (avec   te s no tat io ns d u  présent
Ouvrage),   entre la direction (approchée) (<   m'   n',)   de la vibr ation et celle
(l,   M , n )   de l a n or mal e a ux   ondes,   une double  proportion, de forme   rationnelle,
définissant généralement la   direction   des   ondes en   fonction   de   celle des   vibrations
et,   par    suite, faisant,   en   définitive,   tout   dépendre   de celle-ci.   En effet,   dans   te cas
le   plus   intéressant,   point   de départ   indispensable   de   la général isat ion qui   a   con-
duit   F re sn el a ux l ois d e la d ou bl e réfraction,   et qui   est le cas d'isotropie   autour 
d'un   axe,   comme   l'axe   des z par exemple,   où b   =   a,   cette double proportion devient   indéterminée,   du moins en   partie,   à   raison   d e l a f or me qu'elle prend alors et qui est,   comme on le recoiinait   aisément,
Ette   se trouve   satisfai te , quelle que   Mit la direction   (l, w , n)   de l a normale à
l 'onde, par     les deux vibrations (~,   m~, ; t' , )   se   faisant,   dans le plan   de   l'onde,   l'une
 perpendiculairement   à   l'axe,   ou avec n,   == o,   l 'au tr e da ns le   plan   de   l'axe et de
'la   normale   à l'onde,   on rendant   l,   m respectivement proportionnels   à 1:, yttj.   Or,
si   l'on   c on si dèr e l a  première,   où < m~,   sont entr e eux comme m, l, o, mais qui   fai t un   angle   constant avec   l'axe,   sa   vitesse   w  de  propagation   "ans   avec
l'inclinaison   de   l'axe sur     le   plan   d e l' on de e t   dépend   ainsi d 'autre chose que   de
l a d ir ect io n d e la   vibration  par rapport   à   l'axe   ca r c' est se ul em en t d an s u n   cas
particulier,   où tes   pressions   dëformatrices subsistent   encore,   savoir, pour     une
loi   d'act ions moléculaires t rès spéciale,   que   cet te vitesse de   propagation   se réduit
 
cats et   les  plus   cachés. Parmi les   mémorables   applications qu'il
en fit d urant sa   brève   carrière,   il faut signaler    s urtout le   double
 postulatum,   si bien   confirmé  par    la   théorie mécanique (p.   420
l'axe   et   à laquelle   la   principe   de Fresnel ferai t supposer    une vitesse   M  de  propa-
gation   variable   aussi,   c'est  justement   elle   qui   a vitesse   de propagation constante ,
du moins dans un milieu désormais soustrait aux  pressions   déformatrices ayant altéré d'une   manière   permanente   son isotropie.   Ces détails   sont   démontrés   au
Paragraphe   VIII   du   Mémoir e cité du   Journal   de Mathématiques   j'y   reviendrai
d 'ai ll eu rs à l a   fin   de cet te Note.
Le  principe   d e F res nel n e s'applique   donc  pas   aux solides   primitivement   iso-
tropes,   déformés  pareillement   tout   au to ur d 'u n a xe.
M ai s i n si st on s u n i nst an t su r l e   cas,   plus   général,   d'un   milieu   isotrope   déformé
où   a, b,   c sont   inégaux,   et o ù ce  principe s'applique   à t rès  peu prés.   1/oft
remarque,   en remp)acant   l'   par !–nt~–n'   dans le  premier rapport   de la
double proportion   (e) ci-dessus,   et,   de   même,   M~, n;' par     les   valeurs   analogues
da ns l es d eu x au tr es r ap po rt s, q ue   cette double proportion   (e)   prend   la   for,me
suivante,   où entrent seulement  par    leurs différences les constantes   a~,   c~ du
milieu et seulement   par    leurs rapports   les cosinus directeurs < fH' 7:~
Quant   à l a vi tes se M d e  propagation   des ondes dans le même milieu isotrope
déformé,   elle a pour    carré,   à   des   écarts près comparables   aux carrés des petites
dif férences existant entre a ', b ' et c ',
Al or s l es car rés d es t ro is d én om in at eu rs b in om es o nt  pour    leur    somme,   figu- rant   par    sa r acine carr ée dans les   formules   correspondantes   des   trois   cosinus
directeurs ~M, ntM, ftM,   ou cosct , cosp, ces '   de la normale à   l'onde, l'expression
simple
a,   p y désignent   deux certains coefficients, spécifiés   dans   le   Mémoi re c it é et c a-
ractéristiques,   l'un,   p,   de la nature du   milieu isotrope   primitif, l 'autre,   a,   par. so n exc éde nt su r    p,   de   la  partie   des  pressions   déformatrices   qui   subsiste encore.
Enfin,   les   constantes  positives   peu   différentes   a~, &   c~   dépendent   de la   nature
du corps isotrope   primitif    et des déformations qu'il   a s ubi es e ll es   auraient,   avec
l es n ot at io ns d u   Mémoire   cité de i865 ou d e t868,   les expressions respectives
a+b+c   c (b   'b   1 d   é   d)t.  +   a   -)-   p  (a, b , c) ,   ou   a , b,   c sont alors de tr ès   petites quantités   dee
 
PRESQUE   A   PRIORI,   DE PHJStEUM DE CES LOIS,   PAR FMSNBL.   xm
et   486)   que,   dans les corps   non isotropes,   la v itesse de  propaga- tion des ondes et   leur  absorption   graduelle   varient seulement avec
la direction   des vibrations hypothèse   éminemment naturelle,
mais des  plus   hardies à force d'êt re simple ( ),   et sans laquelle   lui
aurait été impossible   sa magnifique   découverte des cristaux  biaxes,
 par    une   induction (p. 4'9)   également   mervei lleuse de simplicité.
constants   supposés gardés,   durant   tout   le temps   de /eMr   act ion, par     les trois
 pressions   déformatrices   principales   ou mutuellement rectangulaires. Ainsi ,   tan-
dis que   le c arré de la vitesse de  propagation   est,   d an s l 'é the r d es c ri st au x
transparents, fonct ion   l in éai re d es c ar ré s d es t r oi s c osi nu s d ir ec te ur s appro- chés de la   vibration,   il l 'est   Œ ~ybM, dans   les solides isotropes déformés,   de
c es t ro is c ar ré s e t de ce ux d es co si nu s   directeurs de   la nor male aux   o/M~M.
L'hypothèse   <T == o,   qui   réduit l 'e xp res si on ( ~ )   de N' à la forme   convenant   pour 
l'éther    des   cristaux,   suppose donc,   comme  j'ai   dit  plus   haut   (p.   xt)   dan s l e   cas
 particulier    d 'u n ax e   d'isotropie,   une   relat ion t rès spéciate   entre le coefficient
s péc if iq ue p e t   la  partie   encore subsistante   des actions   déformatrices.   En réalité,
lorsque   celles-ci   ont disparu,   ou qu'il   r este seulement la ~or7Ka;<ton perma- nente  pour    altérer  l 'isotropie primitive,   la différence <r–p p s'annule;   et   la   rela-
tion (~) devient
Ainsi,   les c osinus directeurs de la normale aux ondes et c eux de l a direction
approchée   de l a v ib ra ti on en tr ent al or s ensemble,   de   la   même   manière,   d an s l a
formule rationnelte   approchée,   linéaire   par ~N[p~o/'<   à   leurs   carrés,   de w2.
Faisons b   = a,   ou   supposons que l 'isotropie   autour de l'axe des se soit con-
servée. H viendra
Et la vibration  perpendiculaire   à l'axe,   ou  pour laquelle   s 'annule le cosinus
directeur    se comportera   tout autrement que   celle du rayon   lumineux ordi-
n ai re de s   cristaux   uniaxes;   car sa vi tesse   M   de   propagation   restera   variabte
avec   cosy,   c 'e st -à -d ir e av ec l 'i ncl in ai so n d e l 'a xe   sur    le   plan   des on~tes.   Mais,
comme   il a été dit également   ci-dessus,   l'autre   vibration,   située   dans   le   plan   de
l 'axe e t de la normale   aux   ondes,   ou pour    laquelle   est sensiblement )e cosinus
du   comptëntcnt   de Y)   aura   sa   vitesse   de  propagation   constante;   car  !'bypothcse
n',   =   sin   y donne
(' )   Même  pour    l'éther,   e ll e a   besoin d'être convenablement interprétée.   C'est,
 par exemple,   en f on ct io n n on   pas précisément   des cosinus directeurs   de la vibra-
tion,   mais de c eux de sa  projection   sur l e   plan   de   l'onde,   que   !a   vitesse de   pro-
 pagation   de celle-ci s'exprime simplement.   I l es t vr ai   que   l es deu x d ir ec ti ons d e
la   vibration   e t d e sa  projection   sur l e   plan   de l'onde  peuveat,   d an s l a  pratique,
être  presque toujours   confondues,   comme le faisait Fresnel .
 
XtY   AVERTISSEMENT.
Ce   second Volume   contient,   à raison même   des quest ions qui
s'y   trouvent   traitées,   plus   de formules que   le Tome I. Mais   il   est
fidèle au même esprit,   consistant   à   ne faire intervenir  l'Analyse
que   dans la mesure   où   elle semble   nécessaire  pour    Sxer l'intuition
et arr iver aux résultats numériques.   Les questions y   sont   donc,
comme dans le  premier    Volume,   présentées autant que possible
d'une manière   concrète,   à la fois géométrique   et  physique.
 
Pages.
J5'r/'<t<aauxtomesIetH. xx:x
VtNaT   ET UN)f:ME   LEÇON.   Réduction e!e cer<at/  problèmes   de refroidisse-
ment   ou d'échauffement par     r ay on ne men t, au c as p lu s s im pl e du r ef roi di s.
s em en t o u   de l'échauffement   des   mêmes   corpspar    contact.. refroidissement d'un mur   d'épaisseur    indéfinie.
i 6t . Di ff ér en ce d es d eu x   modes, par     co nt ac t e t   par rayonnement,   de refroi-
d is se me nt o u d 'é ch au ff eme nt d es   corps.   )
t62. Manière   d on t se f er a   la réduction   du   c as d e   rayonnement   au cas de
contact.   3
seurindéfinie;catcu)de)afonctionauxiiiaire(p.   5
164.   Formules   de   Fourier e t de Poisson  pour    les températures   du mur.   8
VINGT-DEUXIÈME   LEÇON.   ~joHcat t'OM, /<t t'<e jcar ~ 'OMr/er,   du  problème
 précédent   au refroidissement   s éc ul ai re de   la   croûte terrestre.
t65.   Cas   d'une   température   initiale   constante  première   réduction.
166.   Expression   des   températures   successives   du   mur    par    l'intégrale
e-M'cfM.3 b)
Possibilité d'une réduction   asa'ogue,   dans   le   cas de   températures   ini-
tialesnonuniformes(Note).   <5
167.   Formule asymptotique des températures   de la surface.
168.   Application   au r efroidissement séculair e de la croate   t er re st re ; et ,
d'abord,   manière d'éliminer du   problème   l'action   solaire,   supposée
oupermanente,ou   périodique. 19 t69.   Hypothèses   de   Fourier,   r ela ti vem en t a u r ef ro id iss em ent d u globe.   9t
170. Calculs de Fourier, prouvant   l'extrême lenteur     actuelle du refroidisse-
ment. aa
VmoT-TMisiÈME   LEÇON.   ~Mtte   ~<Md'e, par    la même   méthode,   du refroi-
dissement,   en   tous sens,   d u mur   rayonnant d 'épaisseur indéfinie .
171.   Deuxième exemple dissipation,   en tous   sens,   d e la   chaleur,   d ans l e
même murd'épaisseurindéMnie.   ~5
172. Formation   delafonctionauxiliairef.   ~6
173. Formule   de s t em pér at ur es d u   mur.   28
t74.Autreformedel'intégraleobtenne. ag
t76.Résultatsdivers.   32
ViNOT-QUATRfÈME   LxcoN.   Suite   Étude,   par la   M~nte   m ét ho de, d e   i"e'cA<tM/
fement,   soit variable,   soit   permanent   et inégal,   du   mur  rayonnant
d'épaisseur indéfinie.
d'epaisseurindéBnie.   36
179. Formutedestemp~raturesdumarchauffë.M t80.   Application   au  prabtème   du~  retroidhsement.   de l a   cronte tert'estt'e.   B8
t8i.   Quatrième   exemple   échauffement   permanent,   mais   inegat,   d u m ur  
indéfini,   parle   rayonnement   de   sources   extérieures   constantes   4t
182. Calcul de la fonction   auxi)iaire<p.   4~
183.   Détermination des températures   internes   permanentes. 43
t84. Évanouissement   graduel,   dans   l'intérieur,   des inégali tés que   ca use l a
non-uniformité de t 'échauuement   de ia   surface, 4 Í
VîNOT-OtNQDMME LEÇON.   P roblème de !'e'cA<!M~eme/!t'M<tnen<   et tfte'g'ot!
d'une sphère,   traité  par    la   même   méthode é ch au ff eme nt d e   la sp hè re p ar  
contact.
t85.   Cinquiemeexemp)e:Èchauftementpermanentd'unesphere;et,d'abord,
r ech er che d e   la   solution   pour    son échauffement   par    contact.   47
t86.   S ol ut io n d u   proMème pour     un   corps quelconque,   danst'hypothèse   où
l 'on aurai t cer ta ines données   surabondantes,   relatives   a ta surface.   48
F or mu le de Gr ee n (Note).   48
187.   Solution effective pour )asphère.   So
188. Forme deCcitivedecettesotution.   5i
189.   Température   moyenne   des couches sphériques   concentriques.   52
190. Retour    a u c as d 'u n   mur  épais,   c'est-à-dire d'un   solide limité   par    une
face plane   et mde(!oi dans tous les autres   sens.   53
VtNST-StXtÈME   LEÇON.   Suite':   échauffement   <sfe  <a!   ~pAë/'e   par ro~onnenMttt.
1 91 . É ch auf fem en t d e l a   sphère par     rayonaement:   de:crmin~tion de la fonc-
tion auxiliaire~   55
192.   Température   a u c en tr e d e   la sphère.56 t 93 . F or mu le d es   températures   de   la   sphère   chauffée   par    rayonnement.   5~
194. Cas extrême d'une conductibilité   extérieure   ou   infinie,   ou   nulle.   60
195. Solution   directe, pour     le   cas   où   les flux de chaleur à la   surface   sont
donnés.   61
B.–H.   &
VINGT-SEPTIÈME   LEÇON.   Propagation   de la chaleur dans   un   solide /t0~t0~<te
M~e~f:   à   une,   deux   ou trois dimensions   ( barre prismatique   mince, plaque
 plane   à faces   parallèles,   corps Mtù!Mt/ ') équat ions   du  problème   dans   les
ca s d e   O'oM et de deux dimensions. Pages.
196.   Objet   de l'étude   abordée dans cet te   leçon 64
197.   Équations   du  problème pour    un corps   massif,   pourvu   de sources calo-
rifiques   distribuées   arbitrairement dans son intérieur. 65
198. Cas   où les   sources,   dans   le même corps   massif,   sont dis tr ibuées unifor-
mément sur toute la   longueur    de droites  parallèles   indénnies.   66
199.   Expression   très générale   et simple, pour     ce   cas,   de la chaleur cédée
 par    conductibilité   à   l'élément   de vo)ume.   66
200.   Cas de sources dis tr ibuées uniformément   sur toute l'étendue de plans
para))èles   indéSnis. 68
201.   Recherche de   l'équation   indéfinie   du  problème pour    une  plaque p!ane c hoi x d e t' ët ém en t d e v ol ume  permettant   de fo rm er ce tt e   équation
le   plus simplement possiMe. 70
202.   Expression   de la chaleur fournie  par    co nd uc ti bi ii té a u n tronçon   de la
ptaque.   ~a
203.   Expression   d e l a   chaleur fournie   par rayonnement   oit  par    convection
au   même   tronçon.   73 Existence   de   cas divers   o ù l e f lu x ém is  par    la surface d 'un corps   n'est
 pas   f onc ti on l in éa ir e d e l 'e xcé den t d e température   d e ce corps (Note).   74 204.   Équation   indéfinie   des températures   de la plaque. ~5
VINGT-HUITIÈME   LEÇON.   Suite   coy:t<Mc<<7t'<M   principales   d'une  plaque;
équat ion du problème   dans   le   c as d 'un e s eu le d im en si on n ot ab le.
205.   Direction   et   grandeur    des   conductibitités   principales   d e l a plaque.   79 206.   Cylindre portant l 'ellipse   i ndi ca tr ice de   ces   conductibilités   principales.   80
207.   Substitution,   à   ce   cylindre,   d'un e ll ip so ïd e, h om ot hé ti qu e p ar ra pp or t
à celui des conductibilités. 81
2 08 . Co nst ruc ti on d e   cet ellipsoïde   et,   s ur l a  plaque donnée,   de   l'ellipse
représentant   ses   deux conductibilités principales.   83
209. L ieu des   ellipses figuratives   ou   indicatrices.   85
210.   F or mat io n d e réquation   indéfinie   du  problème pour    une   barre chaleur  
gagnée   par    chaque   tronçon   de bar re s ur se s   deux voisins. 86
211. Chaleur cédée au t ro nço n p ar     l'air    ambiant   et  par    t'éther. 88
2t2.   Équation   indéfinie des   températures   de   la   barre. go
ViNGT-NF.tJYMME   LEÇON.   Suite   intégration   des équat ions pour     les trois cas,
lorsque   le   corps   ne reçoit plus   de chaleur.
213. Réduction   générale   au cas d 'un corps isotrope   Q[ 214. Problème de   la dissémination et d u rayonnement   d e l a chaleur,   pour 
un corps   isotrope   indéfini,   à une,   deux ou trois   dimensions. (p 2 15 . R ef roi di sse me nt d 'u n t el   corps,   d an s l es hypothèses   d'une matière
athermane   et d'une   conductibilité   extér ieure nulle formation d'un
élément   de l'intégrale,   g3 216.   Intégrale générale, pour     ce cas d'un corps   athermane   et d'une conduc-
tibilité   extérieure nuUc. 95
T AB LE D ES M AT IÈ II ESXYt)!
Pages.
217. Tentative   pour    calculer le refroidissement dans les hypothèses   con-
traires. 96
mative. 98
219. Sa vérification   exacte, quand   la  production   de chaleur    rayonnante   est
proportionnelle   aux excès de   température.   100
TRENTIÈME   LEÇON.   Suite intégration   des   équat ions pour     le   problème   général de l'échauffement
220.   Ret ou r au   problème   de   réchauffement: sa solution dans le   cas d'une
températureextérieureconstante.   io3
221. Parité de t 'échauftement   d'un corps isotrope,   dans toutes les directions
autour d'une source élémentaire.   !o5
222.   Différence   profonde   existant,   sous ce rapport ,entrela propagation par     M
conduct ib il ité et la propagation par     ondes. 106
223.   Extension  probable   du même fai t au cas de fonctions !j)(M)nontinéaires
ou d'une conductibilité   ex té ri eu re v ar iab le a ve c l a température. 107
224. Échauffement  produit   par    une source élémentaire dont on   donne   les
débitssuccessifs.   108
225.   Casparticutierd'unétat   permanent. log
226.   Démonstration directe,   d an s ce   cas,   d e la  parité   de l 'échauffement tout
autourd'unesourceétémentaire.   tto
227.   Expressions   qu'y   reçoit   la   température,   dans   une barre   e t d an s u n corps
massif.   tt~4
TRENTE ET UNIÈME   LEÇON.   Suite e'c/MtM~e/M<M</)ey'n!a/:e/!<   de <a   ~N~Me
<)6!<t/MHCeM<C.
228.   Re ch er che d e l'expression, beaucoup   plus   compliquée,   des températures
permanentes   d'une plaque.   jtë
229.   Intégration   de l'équation   du problème,   sous la condition que t'intégrale
restefinieat'infini. tt~
230. Manière   dont l'intégrale   s'évanouit   alors   aux   d ist anc es i nf in ie s de
t'origine. nj)
231.   Détermination de la constante arbitraire   qui   y   subsiste. tM
232.   Développement   en série de t'intégrate   obtenue. i;:t
233.   A u tr e f or me de l a m êm e intégrale,   obtenue  par    une m ét ho de d e Laplace.   ia3
234.   Expression asymptotique qui   s'en déduit   pour    les températures   perma- nentes dans   la plaque,   et qui   est conforme   à leur  expression générale
dMsunebarreetuncorpsmas'iif.   n5
TRENTE-CEUXtÈME   LEÇON.–7)M<t'&M<tOK    des températures   autour ~'MfieMM/'Ce
calorifique   émanation,   soit   /'ec<<<tg't:e,   soit   tourbillonnante,   de l a   c/t<eM/
suivant   que   la con<e.<M/'e   est,   ou   y:om, symétrique.
235.   Points, lignes   et sur fac es i so th er me s a ut ou r d 'u ne so ur ce élémentaire,
dans des   barres, ptaquesctmasseshétérotropes.   127
 
DU TOM n.   XtX
236. Surfaces   isothermes d 'un corps   massif e t  points   isothermes des   barres
qu'onenextrait.   ttS
238.   Importance   particulière   de l'ellipsoïde   des conductibitités. t~g
239.   Construction   des   surfaces,   planes   ou cylindriques,   isothermes   d an s l es
 barres et   les ptaques. ta~
240.   Analogie   avec cer ta ins modes   simples   d'échauuement   d'un corps   massif . t3o
241.   Émission de l a chaleur en   ligne   dr oi te a ut our d 'u ne   source,   dans   les
corps   massifs et les plaques   de contexture symétrique.   f3t
242.   Tourbillonnem ent   d e l a   chaleur    autour des   sources,   dans les corps
massifs de   contexture asymétrique. t3i}
243. Tourbillonnement   analogue   de la   chaleur,   dans les   plaques   de contex-
ture asymétrique.   t35
244.   Courants   et   f lux d e ch al eu r au to ur d 'un e   source, dans   un corps   massif . <36
245.   Débit calorifique   d'un tourbillon   élémentaire. <M
246.   Débit catorinque   d'un   élément   de surface   isotherme.   !38
TRENTE-TROISIÈME   LEÇON.   De l'agitation calorifique   ou   invisible,   dans les
corps   an im és d e mo uv em en ts t )t <t '6 <e <   <<e/orntŒ<to/t   ou de vibration
équation fondamentale   d e l a Thermodynamique.
247. Retour à   l'équation   des forces vives démontrée dans la deuxième leçon, t~o 248.   Cequ'estt'ëtatétastiq:<ede)a   matière.   t~
249. Extension de la notion de température,   et des formules   des   flux de
chaleur,   aux  particules   .matérieXes   élastiques,   a ni mée s à l a f oi s d'agi- tation calorifique   et   de mouvements visibles.   i~3
250.   Variables   dont dépendent l 'énergie interne,   les  pressions   et   les   coefficients
de   conductibilité,   dans les fluides e t dans les sol ides élastiques. t~ 25t.   Équation   f on dam en ta le de l a   Thermodynamique.   t~ 2 52. Le t ra va il t <E d es   pressions   q ui y   figure   est un t ravail de déformation
ou   relatif    au   changement   des   dimensions   d e l a  particule.   i~g
Expression générale   du t ravail c!E et démonstration analytique   de la
memeéquationfondamentatc   (Note).   )5o
253. Expression   de ce t ravail t t5 pour    une particule   (tuide. t5<
TRENTE-QUATnjEME LEÇON.   Suite   mise en ~Ma«oH   des  phénomènes   de
convection   calorifique   par    les fluides propagation   de la   chaleur dans un
solide ~eyo/Me   ou vibrant.
254.   Équation   indéfinie,   aux dérivées partiettes,   de la température   dans   un
Ouideenmouvement.   i5/i 955. Conditionsdéfinies adjointes.   t5!)
256.   Importantes   simplifications,   dans   les  phénomènes   fréquents   où   la con-
servation des volumes f luides est admissible tS? 2 57. Ac co rd d e ces équations   a vec c el le d e Fo ur ie r    pour    les fluides ather-
manes.   i58
258.   Équation   indéfinie des températures,   dans un sol ide élastique   déformé
ou   vibrant.   t6<
Pages.
259.   Indépendance   mutuelle   approchée   du   m ou vem en t v is ibl e et   de l'agitatton
calorifique,dansunsolide.   <6~
Petites   dilatations thermiques   d'un   solide;   son  potentiel   d'élasticité   et
son   énergie   interne   à   une deuxième approximation (Note).   166
260. Problèmes   les  plus simples   de convection calorifique. t6~
261.   Manière dont y   varie le  poids   d e l' un it é d e   volume fluide.   <72
262.   Mise en équation   de ces   problèmes. i~
TRENTE-OtNQUtKME LEçoN.   Sur    le  pOUfO~   refroidissant   d'ttne   massefluide
indéfinie,   soit dépourvue   de tout mouvement général,   so it à l' ét at de c our an t
uniforme.
X63. Courants   de   convection,   a u se in d 'u ne m as se f lu id e d' ai ll eur s e n   repos:
lois de simple proportionnalité   ou de similitude '77
2 64 . C e   qui   résulte   de ces lois  pour    les flux   calorifiques   de convect ion éma-
nant de la surface du   corps.   f~o
265.   Recours à une donnée de l'observation et conséquences importantes touchant le pouvoir refroidissant   des   Ouides.   t8o
2 66 . Au tr e l oi   simple,   dans le c as de   corps   à   surface   presque   verticale:
 proportionnalité   de   l 'accélération ascendante à i 'échauftement.   t82
267.   Équation   aux dérivées   partielles   du   quatr ième ordre,   non   linéaire,   a
laquelle   se ramène le  problème   pour    un   mince  plateau   vertical t83
268.   Passage   au  probtème   d'un courant Ouide   indéfini,   d'une rapidité   donnée,
refroidissant   un sol ide qu' il envcloppe de   toutes parts.   t86
269. Lois'de   proportionnalité   ou de similitude  pour  les températures   d'un
tel   courant.   t88
270.   Proportionnalité   des   flux calorifiques   de convect ion émis  par    te corps à ses excès   de température.   ;88
Expériences   de M. Compan,   c on ur ma tr ic es d e l a théorie; explication
 plausible   des faits   découverts   par    d e l a Provostaye et   Desains   (Note). 189
271.   Intégration   de   l'équation   des   températures   dans le cas d'un   piateau
mince. tgo
272. Lois   des flux   dechaleurémisdans   le   fluide   par    leplateau.   tQt 273. Extension   approchée   des mêmes   lois,   a u ca s d e t ou t   corps   à courbures
modérées. 192
274.   In fl ue nc e de s s au ts d e température   se   produisant   sur le  parcours des
f ilets f luides qui   sillonnent !esoiide. tg~
275.   Pouvoir    refroidissant   du   courant;   réflexions générales.   ]o5
 NOTE I. SUR LA RÉSISTANCE OPPOSEE AUX PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE
tNDMINt,   PAR UN SOLIDE INNERUÉ DANS   CE   FLUIDE.
P RE Mt ËRE P A RTI E. ~ o: ~'e'y:e'a!<e~   de   la résistance,   dans ~/t~)o~/tMe d'une fluidité par fa ite.
t. Exposé   du  problème   dans le cas d 'un nuide sans f rottements . tog
2.   Formation,   pour    ce   cas,   d'équations   d'où les vitesses   u,   (f    soient
éliminées. 300
4.   Équations   régissant   et   déterminant   la  pression   du fluide M9
5. Comment   varie cette   pression   avec les dimensions absolues du   corps
et a ve c l e   mouvement relat if     du fluide :o5
6. Formules   générales   d e l a   résistance,   quand   il n'y   a  pas   de frottements. M6
7. Ëga!ité,   deux   à deux,   de six coefficients   de résistance;   valeur    positive
des troisautres.   M?
7 b is. E xi st en ce d 'u n   potentiel   de la r ésistance et d 'un système   d'axes
 principaux,   pour    tout solide   immergé 909
DEUxtÈME PARTIE.   Suite: calcul des coe~/tCt'emM   de   résistance,   pour    les
formes   les  plus simples   du corps   solide.
8. Résistance   d'unesphére.   2:2
9~ Cas d 'un cylindre   de   longueur indéfinie;   d ét er mi nat io n d u   problème.   at4
tO.Hésistanceducy)indrecircuIaire.ndé(ini.   ~i5
Il.   Extension des résultats précédents   au c as d e l'eUipsotde.   2t6
12. Résistance d 'une aiguille;   résis tance d 'un disque   plat.   :ao
TROistÈME PARTI E. ~Me en   compte   <<e~o«e7Kem« t'ytte'rMt~ résistance de la   sphère.
13. Mise   en compte   des   frottements   intérieurs   du   fluide; équations   du  pro-
 blème.   a~4
!4.Sadétermination. 226
15. Sa décomposition   en t rois problèmes   plus simples,   où le mouvement
relat if du f luide éloigné   et du sol ide a lieu suivant un axe coordonné. 229 16. ïntégratioa deséquationspourun corps sphérique. M() t7.Hésistancedc)a sphère.   aM
18. Influence que   les frottements y   font  prendre   à la vitesse actuelle   et aux
accétérationsantérieures. a3~ 19.   Cas   d'un mouvement   uniforme   de   i'eusemMedu   fluide  par rapport   à la
sphère. a3() 20. Cas d 'un   mouvement périodique.   ~o
QUATRIEME   P ARTI E. S ui te :   résis tance du cyl indre   ctrcM~t'e.
21.   Essai d'intégration   des   équations pour     le   cylindre   circulaire.   2~3
2 2. Ré si st an ce d u cylindre,   sous une forme implicite. a.~ 23.   Tentative pour    la rendre explicite,   du moins dans certains cas.   a5o
24. Impossibilité,   à vitesse devenue   constante,   d'un régime permanent   où
la  perturbation s'éteigne   aux distances   beaucoup   moindres   que   la
iongueurducytindre.   ~5t
25.   Cas d'un   mouvement penduiaire équations   à y intégrer préalable-
ment.   255
2 6. R ési st an ce d u cylindre   au   mouvement   pendulaire 27. Cas d 'un cylindre   à   grand   rayon   ou   d' un m ou vem ent à c our te  période:
lois simples,   approchées,   de   résistance. t6o
28. Aperçu   des c alculs à   faire   dans   le   cas   générât   leur mise   fréquente   en
défaut par    les ruptures   du Cuide. a6:
 
XXII TABLE DES MATtEMS
 NOTE H. EXPOSE DE LA THÉORIE DES ONDES LUMINEUSES CONTENUE EN GERME
DANS   LES TROISIEME ET  QUATRIÈME   LEÇONS.
PREMIÈRE PARTIE. Formules générales   et e'~M<t<My! d'M./O/'CM   vives.
Pages.
1. Objet   de cette seconde   Note   <ina)e.   26~
2. R ésistance de la matière   pondérable   au mouvement vibratoire de
l'éther,   dans les corps transparents,   et   équations   indéunies approchées du   mouvement lumineux. 269
3. Relation   qui remplace généralement   celle   de conservation   des volumes
d'éther    propre   aux corps   transparents, isotropes   et homogènes 2':2
4. Simplification   de ces équations,   d an s l e ca s d 'u n corps possédant   trois
plans   rectangulaires,   ou t roi s ax es rectangulaires,   de symétrie   de
conLexture.   2~3
5.   Réduction des   r ési st an ces et de s   é qu at io ns ap pr och ées d u   mouvement
à   l eu rs f or mes l es   plus   simples.   2~
6.   Équation   des forces   vives,   d an s l e m ouv em en t v ib ra toi re d e l 'é th er d es
corps   t ra nsp ar en ts én er gi e   potentielle   de   résistance de la matière
pondérabte.   277 7. Énergie élastique   de l'éther  équation   définitive des   forces   vives. 279
8.   Valeur, toujours   positive,   de l'énergie   élastique   de l 'éther vibrant.   28:
9.   Stabi li té de   l'état   naturel,   dans l 'éther vibrant.   a83
10. Application   d u t hé or ème d u v ir ie t au m ou ve men t v ib rat oi re de l' ét her  
des corps transparents.   384
11. Les ondes lumineuses conservent,   en se  propageant,   leur    force   vive
totale   286
DEU XI ÈME P ART IE. Co nst it ut io n d 'u n   pinceau   de   lumière,dans   MM milieu
ou M0<o~e, OM biréfringent.
f!.   Propagation   d'un  pinceau   de lumière,   venant   de   l'infini,   dans   un   milieu
homogène t ransparent : première approximation   288
13.   Réduction   approchée   d'un tel pinceau,   dans toute étendue   restreinte,
à   des   systèmes   d'ondes planes,   où les   vibrations   sont  polarisées   recti-
lignement   289 14. Relat ions entre la direction des ondes  planes,   leur    vitesse   de  propagation
et   l'orientation   des   vibrations.   291
Lois   générâtes   des   ondes planes   latéralement illimitées   (Note). 293 15.   Surface   courbe   dite   « onde   de   Fresnel»;   ses   rapports   a ve c l e   plan   de
l'onde et   avec !a   direction   des vibrations.   29~
tS.   Équation   de l'onde de Fresnel 300
17. Deuxième   approximation   du calcul d 'un  pinceau   de tumière  parallèle éléments qu'on peut y supposer     constants. So<
18. Éléments qui   seront variables à cette deuxième   approximation   manière
d'y opérer.   3o2
20. Sa délimitation latérale dans les deux sens. 3o6
 
Ptt<t.
21.   Légère   incurvation   ou ellipticité imposée   aux trajectoires   par    cette
limitation   latérale.   3og
Cas   particulier    d'un  pinceau   de   lumière parallèle   dans un corps   iso-
trope(Note).   3<o
22.   Des erreurs   graves qu'entratnerait l 'hypothèse   de   vibrations   rigoureu-
sement   rectilignes,   s i on l'acceptait   d'une manière générale,   pour    la
lumièrepolariséerectilignement.   3o
Sur le   motif   probable pour    lequel   Poisson est resté   longtemps   favo-
r ab le au système   d e l 'é mi ssi on et   sur    une raison   extrinsèque,   mais
importante,   qu'a   du   avoir Newton d'adopter    ce système   (Note) 3t~
23. Étude d 'un   pinceau de   lumière   divergenteou   émanée d'un centre d'ébran-
lement   si tu é à d is tan ce f in ie c al cu l d es s ur fa ce s   d'onde. 3t6
24. Polarisation   approchée   des vibrations sur   chaque rayon,   et   variations,
suivant   sa longueur,   de   l'amplitude   d e to ut e on de .   3'g
25.   Conservat ion, par     toute   onde,   de   sa   force   vive,   dans chaque   pinceau ou rayon   de lumière émanée d'un centre   3~3
26.   Léger    é ca rt de l a f or me   rectiligne, imposé   aux   déplacements   par    leur 
variation d'amplitude   d'un  point   à l'autre d' une même onde et   par la
courburedesondes.   3~
Cas   particulier    d'un   milieu   isotrope (Note).   3a5
Justi fication de la méthode de Fresnel   pour    le calcul   approché   des  phé-
nomènes   de dif fr act ion ( Not e) .».   3~~ 27. Du mouvement de Féther dans les   régions d'ébranlement   tentative
 pour l'exprimer    à t 'intér ieur d 'un corps isotrope.   3:8
28 . Lo is d u   mouvement   aux grandes   distances   de   la région   d'ébrantemeut.   33t
29. Distribution arbitraire   de   t'énergie   des ondes dans tes diversesdiree-
tions,   ou  possibitité   de  pinceaux   lumineux tatératement l imités .   336
TROISIÈME PARTIE. 7~e.Ct'o?t   et réfraction.
30. Recherche de condit ions   spécia)es   à   l a l im it e d es corps; impossibilité d'admettre celles de la théorie de l'élasticité,   d an s un   éther    indiffé-
rent aux mouvements longitudinaux.   338
31.   Formation des   conditions   auxhmites,   dans t'hypothèse   d'une   épaisseur  suffisante   de !a couche de transition.   3~o
Expression générate   d e ce s r el at io ns d éf ini es et f or mes en r ésu tt an t
 pour    tes   équations   d es fo rc es v iv es e t du vi ri el d ét er mi nat io n c om-
 p)ète   du   problème   de l a réOexion et de l a   réfraction   (Note) 3~6 32. Réflexion et réfract ion de la )umière  par    les corps transparents isotropes:
formules générales.   Mo
33. Lois de Fresnel pour    la   réflexion et la réfraction   vitreuses.   354 34. Problème   de   la r éf le xi on et de   la réfr action cristallines sa mise en
équation.   358
35. Proportion   générale   des sinus,   pour    les perpendiculaires   aux ondes
tant   réf léchies ou   réfractées qu'incidentes,   et   construction   d'Huygens
 pourles   rayons   correspondants.   363
36. Réflexion,   sur un cristal   uniaxe,   d'un rayon   à vibrations  parallèles   au
 
vibration aurayon.   Ma
38.   Extension des condi tions de   continuité au cas   de corps très opaques   et
équationsindéCniespources corps. 3~t
39. For mul es de Cauchypourtaréflexionmétallique.   3~4
40. Mêmes  problèmes,   dans l'hypothèse   d'un   ét he r se   prêtant   à des   vibra-
tions longitudinale~   localisées.   38o
41.   Ondes   évanescentes,   l'une,   réfléchie, l 'autre,   réf rac té e, q ui   deviennent
possibles,   avec condensations   et   dilatations cubiques.   38t
42. Relat ions déf in ies t rès   simples   qui   conviennent alors.   384
43.   Leur    vëriBcation. 385
44. Particularités que   présente ta   r éf le xi on su r t es   corps   transparents,   au
voisinage   de l'angle   de  polarisation   défauts de leur   explication par  
l'hypothèse   des vibrations longitudinales   localisées.   387
45.   Leur  explication effective, par     le fait d'une certaine épaisseur    de la
couche de   transition.   39o
QUATRIÈME   PARTIE.   Entraînement c!M O/'a~M/jOMM.M/tCe réfractive des mélanges.
46.   ImmobiU.té   d e l 'ét her d an s l'espace   et   entralnement  partiel   des ondes
lumineuses  par    les corps   en   mouvement. 3g4
Impondérabilité   de   l'éther    (Note). 3g5
47. Explication   simple,   par    notre   théorie,   d e ce t e ntr aî ne me nt d es o n des . 3g6 48. Réflexion et réfraction  par    un   corps   animé d 'une   translation   rapide   et
emportant   l'observateur.   ~oo
49.   Extension,   à ce   cas,   des   formules régissant   les   amplitudes   des   vibrations
réfléchies et réfractées   ~o3
50. L'aberration   astronomique   est   indépendante   de l a n at ur e d u f lu id e r em -
plissant   la lunette d'observation. ~o4 51. Les rayons   réfléchi et réfracté   ont,   a vec l e rayon   i nc ide nt e t a vec la
normale à la surface séparative,   les mêmes rapports   de  position qu'à l 'ét at d e repos. ~o5
52.   Influence   de   la translation   du corps   transparent   et   de   l'observateur,
sur la rotation   que   la réfraction imprime   au  plan   de vi br at io n de la
lumière  polarisée rectilignement   ~08
53.   Puissance réfractive des mélanges. ~t3
CiNQUitiM   P ARTI E. Gé nér al isa ti on de c er tai ne .. t hé or ies  précédentes,
 pour    d es m ilieux non y/ne~MM.
54.   Aperçu   sur les lois des ondes  planes,   dans un milieu   qui   serait dépourvu
de plans   de symétrie rectangulaires   4i3
55.   Équations approchées,   pour    les   vitesses   de  propagation   et  pour    la   di-
rection   des vibrations.   4*5
56.   Ellipsoïde dit (improprement)   «d'élasticité   ou ellipsoïde   inverse.   4'6
57. Axe d'asymétrie;   obliquité   mutuelle des deux   plans   de   polarisation. 422
58.   Co nd it ion s d e transparence.   4~4
69.   Impossibilité   de l'asymétrie   dans tous où  presque   tous les cristaux
transparents   des cinq premiers systèmes   cristallins.   4~8
 
Pages.
60.   I nt ro du ct io n d e  petits   termes   proportionnels   aux déplacements   vibra-
toires,   dans les équations   d e m ou ve men t d e l 'é th er d 'un corps. ~3u
61.   L'effet de   ce s t er me s e st d'ajouter,   aux coefficients   de   résistance,   et aux
 puissances   réfractives,   de   petites   parties,   proportionnelles   au ca rr é d e
la   période. ~3x
62. Des corrections   que   doivent   subir les équations   du mouvement,   à   raison
de l'extrême   petitesse   des longueurs   d'onde   dans tes   corps. <j35
63. Termes   exprimant   la   plus importante   de ces corrections.   ~38
64. Dispersion   so it d an s l es   corps   en   r