Atelier N°1Document Lycée

2007-2008

ThèmeTrigonométrie et

nombres complexes

Liaison Lycée- UniversitéThèmes : « Trigonométrie et nombres complexes »

I) Les nombres complexes dans le programme de TS1.1) Enseignement Obligatoire

1.2) Enseignement de Spécialité

II) Proposition de quelques exercices

Les exercices proposés ci-dessous concernent uniquement le cadre du thème de la journée à savoir : « Trigonométrie et Nombres Complexes ». En effet, dans l’esprit du programme (voir extrait du programme de TS ci-dessus) et comme le reflète également le contenu des différents manuels, les nombres complexes sont un outil fondamental pour la géométrie. En consultant les manuels, on se rend compte de cette liaison étroite. Cette tendance se retrouve également dans les programmes des autres sections telles que la section STI. L’aspect appliqué des nombres complexes à la géométrie se retrouve également dans les annales Bac de TS ou de STI.

Exercice 1. « Une équation du 2d degré » (Hyperbole, Edit. 2006, page 316). t est un réel de l’intervalle ]0 ; 2π[

a) Exprimer en fonction de sin(2t

) le nombre :

d=sin²(t)-2[1-cos(t)].En déduire les racines carrées dans C, de d.b) Résoudre alors dans C, l’équation

2(1-cos(t))z² - 2(sin(t))z+1=0.

Exercice 2. (Hyperbole, Edit. 2006, page 316) « Une équation du type a.cos(x)+b.sin(t)=c».a) x est un nombre réel. Ecrire la forme algébrique et la forme exponentielle

de 3( )2 2

ixi e− .

b) Utiliser la question précédente pour résoudre dans ]- π ; π[, 3 cos( ) sin( ) 2x x+ = .

c) En déduire les valeurs exactes des nombres suivants :

cos( )12π

; sin( )12π

; 5cos( )12

π et

5sin( )12

π

Exercice 3. (Hyperbole, Edit. 2006, page 316) « Trigonométrie».p et q sont deux nombres réels.a) Factoriser ( )

2p qi

e+

dans la somme ipe et ipe .

b) En déduire une factorisation de cos( ) cos( )p q+ et sin( ) sin( )p q+ .c) Résoudre dans l’intervalle ]- π ; π[ :

cos( ) cos(3 ) 0x x+ =

Exercice 4 « un peu de trigonométrie » (Math’x, Terminale S, page 278).1) Démontrer que pour tout θ réel,

1cos( ) ( )2

i ie eθ θθ −= +

2) a. Calculer 3cos ( )θ en fonction de ie θ et de ie θ− .

b. En déduire une expression de 3cos ( )θ en fonction de cos(3 )θ et cos( )θ .

3) En adaptant la démarche précédente, déterminer une expression de 3sin ( )θ

en fonction de sin( )θ .

Exercice 5. (Hyperbole, Edit. 2006, page 316) « Un calcul de cos( )5π

».

1. z est un nombre complexe et 2 3 4' 1z z z z z= + + + +

a) Vérifier que si 1z ≠ alors 51'

1zzz

−=−

.

b) Que vaut z’ si 23

iz e

π

= ?En déduire la valeur de :

2 4 6 81 cos( ) cos( ) cos( ) cos( )5 5 5 5

S π π π π= + + + +

2. Montrer que 22 8cos( ) cos( ) 4cos ( ) 25 5 5π π π+ = − et que

4 6cos( ) cos( ) 2cos( )5 5 5π π π+ = − .

3. En déduire que cos( )5π

est une solution d’une équation du second degré.

4. Résoudre cette équation et donner une valeur exacte de cos( )5π

.

Exercice 6 « Nombres complexes en géométrie ».

Soit ABC un triangle quelconque. On construit à l’extérieur de ce triangle les carrés ABDE et BCFG. Montrer, en utilisant les nombres complexes, que la médiane issue de B dans le triangle ABC est la hauteur issue de B dans le triangle BGD.

Problème (Type Bac, Déclic TS page 304). Pour tout nombre complexe z, on définit :

3 2( ) 2( 2 1) 4(1 2) 8P z z z z= + − + − −1°) Calcule P(2). Déterminer une factorisation de P(z) par (z-2).2°) Résoudre dans £ l’équation P(z)=0.On appelle 1z et 2z les solutions de l’équation autres que 2, 1z ayant une partie imaginaire positive.Vérifier que 1 2 2 2z z+ = − .

Déterminer le module et un argument de 1z et de 2z .

3°) a) Placer le plan, muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u vr r (unité : 2 cm),

les points : A d’affixe 2, B et C d’affixes respectives 1z et 2z , et I milieu de [AB]. b) Démontrer que le triangle OAB est isocèle.En déduire une mesure de l’angle ( ; )u OI

rr.

c) Calculer l’affixe Iz de I, puis le module de Iz .

d) Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de 3cos( )8π

et 3sin( )8π

.

Atelier N°2

2007-2008

ThèmeLimites et continuité

Document Lycée

Extraits de cours

Limites

Definition 1 Soit f une fonction f a pour limite +∞ en +∞ si tout intervalle ouvert]M ; +∞[ contient tous les f(x) pour x suffisamment grand (c’est a dire pour les x plus grandsqu’une valeur A).

Les valeurs de f(x) finissent par depasser n’importe quel nombre M .

Definition 2 Soit f une fonction f a pour limite +∞ en a si tout intervalle ouvert]M ; +∞[ contient tous les f(x) pour x suffisamment proche de a (x ∈ ]a− α; a + α[).

Interpretation graphique : La droite d’equation x = a est une asymptote verticale a la courbe.

Exemple : limx7→0+

1x2

= +∞

Theoreme 1 Soient f , g et h trois fonctions definies sur I =]b; +∞[, et l un reel.Si, pour tout x dans I on a : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et si g et h ont la meme limite l en +∞,

alors limx7→+∞ f(x) existe et vaut l.

Preuve : Soit un intervalle ouvert centre en l. Puisque g tend vers l en +∞, il existe un reel A apartir duquel tous les g(x) seront dans cet intervalle. De meme il existe un reel B a partir duqueltous les h(x) seront dans cet intervalle.Donc des que x depasse max(A,B), et puisque g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)on peut en deduire que les f(x) sont dans l’intervalle ouvert centre en l.

continuite

f est une fonction et I un intervalle inclus dans Df .

Definition 3 Soit a ∈ I, on dit que f est continue en a si f a une limite en a (et cettelimite vaut alors forcement f(a)).

limx7→a

f(x) = f(a)

Theoreme 2Si f est derivable en a alors f est continue en a.

Preuve : Si f est derivable en a alors son taux d’accroissement en a, T (x) =f(x)− f(a)

x− aa pour

limite f ′(a) en a.Pour x 6= a, T (x)(x− a) = f(x)− f(a) et donc f(x) = f(a) + T (x)(x− a).Or lim

x7→aT (x) = f ′(a) et lim

x7→a(x− a) = 0 donc lim

x7→af(x) = f(a) ce qui prouve la continuite.

Extrait d’un Devoir surveille

Partie BSoit g la fonction definie sur R∗+ par :

g(x) = x + 1 + lnx

1. Etudier les variations de g et calculer ses limites en 0 et en +∞.

2. Montrer que l’equation g(x) = 0 admet une solution unique α.Prouver que 0, 2 < α < 0, 3.

3. En deduire le signe de g sur R∗+.

Partie COn considere la fonction f definie sur R+ par :

f(0) = 0

f(x) =x ln x

x + 1si x > 0

On souhaite retrouver les renseignements visibles sur la courbes de f . Cette courbe est fournie enannexe et sera completee par tous les renseignements graphiques que vous jugerez necessaires.

1. Montrer que f est continue en 0.

2. Calculer la limite de f en +∞.

3. Montrer que f(α) = −α.

4. Calculer la derivee de f et etudier son signe.En deduire le tableau de variations de f .

5. Determiner une equation de la tangente a la courbe au point d’abscisse 1. Ce resultat est-ilcompatible avec le graphique ?

6. Determiner la limite en +∞ de f(x)− lnx. Que peut-on en deduire au sujet des courbes de fet de ln ?

Exercices

• Determiner si elle existe : limx→0x6=0

x sin1x

• On sait que pour tout x > 1 on a :3x + cosx

x≤ f(x) ≤ 3x + 7

x− 1. Quelle est la limite de f en +∞ ?

• Calculer : limx→−∞

√−x + 1x2 + 1

• Determiner si elle existe : limx→−∞

2x + sin x

x− 1

• Calculer limx→2x>2

x2 + 3x− 10x2 − 9x + 14

• On considere la fonction f definie sur R \ {4} par : f(x) =2x2 − 7x− 3

x− 4

1. Determiner a, b et c tels que f(x) = ax + b +c

x− 42. En deduire une asymptote oblique a la courbe en +∞ et −∞3. Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote.

• Calculer limx→0x6=0

sinx

x

Devoirs Maison

• Pour mardi 27 septembre 2005 TS1Devoir Maison 3 : Asymptotes et limites

Soit la fonction f definie par f(x) =√

4x2 − 4x + 3

1) Demontrer que cette fonction est definie sur R .

2) Ecrire 4x2 − 4x + 3 sous forme canonique.

3) Determiner la limite en −∞ et +∞ de la fonction h definie par :

h(x) = f(x)−√

(2x− 1)2

4) Montrer que la courbe representative de f admet deux asymptotes obliques dont vous donnerezles equations et les positions relatives avec la courbe.

• Pour mardi 19 septembre 2006 TSDevoir Maison 2 : Limites et autres

Exercice 1.On considere la fonction f definie par :

f(x) =√

x2 − 2x− 3− x + 1

Apres avoir determine son ensemble de definition, calculer les limites de f aux bornes de Df .

Exercice 2. Recherche :Vous vous tenez debout face a la mer. Vos yeux sont a 1,60 m du sol. A quelle distance est l’horizon ?

• Pour lundi 23 octobre 2006 TS1-TS2Devoir Maison 4 : Continuite-Derivee

Soit la fonction f definie sur [0; +∞[ par :

f(x) = 2 + x2 sin (1x

) pour x > 0 et f(0) = 2

1. Continuitea) Montrer que f est continue sur ]0;+∞[.b) Etudier la continuite de f en 0.c) En deduire l’ensemble de continuite de f .

2. Derivabilitea) Justifier que f est derivable sur ]0; +∞[.b) Etudier la derivabilite de f en 0.c) En deduire l’ensemble de derivabilite de f .d) Determiner precisement la fonction derivee f ′ sur cet ensemble.

3. Et plus...a) Etudier la continuite de f ′ en 0.b) En deduire les ensembles de continuite et de derivabilite de f ′.

Extraits de copies

Atelier N°3

2007-2008

ThèmeEquations différentielles

et primitives

Document Lycée

Extraits des programmes

Extraits du programme :Certaines propriétés sont considérées comme règles opératoires (par exemple, si deux fonctions admettent une limite en un point, la limite de leur somme est la somme de leurs limites). Dire qu’une propriété est utilisée comme règle opératoire signifie qu’on n’est pas tenu d’en justifier l’usage dans une démonstration ou dans un calcul.

L’étude des suites et fonctions sera motivée par la résolution de problèmes : elle n’est pas une fin en soi. Ces problèmes pourront être d’origine mathématique, physique, biologique, économique ou autre et amèneront à des recherches d’extrema, des comparaisons de fonctions, des résolutions graphiques d’équations ou d’inéquations, etc.

Une bonne maîtrise des fonctions classiques (dérivées, extrema, comportements asymptotiques, courbes représentatives) est nécessaire ; elle doit permettre une certaine aisance dans les problèmes qui les mettent en jeu. La notion de continuité est introduite et permet de disposer du langage nécessaire pour énoncer les théorèmes de façon satisfaisante. L’étude théorique de la continuité des fonctions classiques est exclue.

Le théorème dit des valeurs intermédiairesCe théorème pourra être admis ou démontré à l’aide de suites adjacentes. On démontrera le corollaire suivant : « si f est une fonction continue strictement monotone sur [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k a une solution unique dans [a;b] ».

On conviendra, dans les tableaux de variations, que les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré. Dans la rédaction de la solution à un problème, une simple référence au tableau de variations suffira pour justifier l’existence et l’unicité d’une solution d’une équation du type f(x)=k.

L'existence et l'unicité de la fonction exponentielle

Th : Il existe une seule et unique fontion f, dérivable sur ℝ telle que f'=f et f (0)=1.

Preuve (Terracher TS):

L'existence : On désigne par S(t) l'aire du domaine défini par 1xt et 0 y 1t .

On interprète S t −S t 0 en terme d'aire, on encadre cette aire par celle de rectangles de hauteur respective t et t 0 .

On en déduit 1t

S t −S t 0t−t0

1t0

et donc que S est dérivable et que S ' t =1t .

On vérifie ensuite que la fonction inverse de S vérifie nos conditions ce qui prouve l'existence de exp.

L'unicité repose sur le théorème admis « Si g'=0 Alors g est constante ».

Exemple d'exercices

Exemple 1

Résolution de l’équation différentielle (1) : xxeyy =− 2'1. Résoudre l’équation différentielle (2) : 02' =− yy , où y désigne une fonction dérivable sur IR.2. Soient soit u la fonction définie sur IR par xexxu )1()( +−= .

a) Montrer que u est solution de l’équation (1).b) Montrer que v est une solution de (1) si, et seulement si, v – u est solution de (2).c) En déduire l’ensemble des solutions de (1).

3. Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.

Exemple 2

Calculer l’intégrale : 12

21

1I e dt tt

−= ∫ , puis, à l’aide d’une intégration par parties :

12

31

1J e dt tt

−= ∫

Exemple 3

On se propose de calculer I = 2

1[ln( 1) ln( )]x x x dx+ −∫

1) Calculer J = dxxx∫ +

2

1 1 ( On pourra chercher deux réels a et b tels que xbax

x++=+ 11 )

2) Calculer I en utilisant une intégration par parties.

Exemple 4

Soit In=∫0

1

xn e1− x dx

1) Montrer que , pour tout x de [0,1], xnxn e1−x e x n

2) Exprimer, en fonction de l'entier n, J n=∫0

1

xn dx

3) En déduire que 1

1 1nI e

nn+≤ ≤

+. Que vaut lim nx

I→ + ∞ ?

Sujets de BAC

France 2007:

France 2006

France 2005

ThèmeGéométrie

Atelier N°4

2007-2008

Document Lycée

Géométrie en terminale S

Programme officiel.

Enseignement obligatoire :

CONTENUS MODALITÉS DE MISE EN OEUVRE COMMENTAIRESProduit scalaire dans l’espaceRappels sur le produit scalaire dans le plan.Définition du produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Propriétés, expression en repère orthonormal.

Expression en repère orthonormal de la distance d’un point à une droite dans le plan. Plan orthogonal à un vecteur passant par un point. Equation cartésienne en repère orthonormal. Expression de la distance à un plan.Inéquation définissant un demi-espace.

On généralisera aux vecteurs de l’espace la définition du produit scalaire donnée dans le plan; à cette occasion, on présentera la projection orthogonale sur une droite ou sur un plan.

Droites et plans dans l’espaceCaractérisation barycentrique d’une droite, d’un plan, d’un segment, d’un triangle. Représentation paramétrique d’une droite de l’espace. Intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de trois plans. Discussion géométrique; discussion algébrique

On reprendra les problèmes d’alignement et de concours déjà abordés en classe de première.

On fera clairement apparaître que les problèmes géométriques considérés ici sont aussi l’étude des systèmes d’équations linéaires, que l’on résoudra algébriquement.On traitera aussi quelques situationsnumériques (issues de l’analyse, desituations économiques ou autres)s’y ramenant.

Les élèves doivent aussi savoir qu’une droite de l’espace peut être représentée par un système de deux équations linéaires.

Enseignement de spécialité :

Sections planes de surfacesSections de cônes et cylindres illimités d’axes (Oz) par des plans parallèles aux plans de coordonnées.

Surfaces d’équation z=x2+y2 ou z=xy coupées par des plans parallèles de coordonnées.

L’objectif est de montrer qu’une fonction de deux variables peut être représentée par une surface et que des études de coupes par des plans permettent leur étude à l’aide des outils déjà vus pour les fonctionsd’une variable.Pour les sections de cônes, on pourra faire le lien avec les hyperboles d’équations xy=k.

On visualisera sur écran les surfacesaux plans étudiées. On entraînera à la reconnaissance des surfaces à partir de coupes parallèles à un plan, et on associera les visions géométrique et analytique.

Exemples de TD : (Extrait de Math’x pour les 3 premiers)

TD 1 : Barycentre : constructions et lieux.

Objectif : Utiliser l’homogénéité et l’associativité du barycentre, l’appartenance à un plan, à une droite, à un segment.

On considère un cube ABCDA’B’C’D’, I est le centre de la face A’B’C’D’ et m un réel.Soit Gm le barycentre des points pondérés (B’ ; m), (C’ ; 4m), (D’ ; m) et (B ; 6 – 6m).

1) a. Justifier l’existence de Gm pour tout réel m.b. Représenter la figure et placer les points G0 , G1, G0,5 et G2.

2) Montrer que Gm appartient au plan (BA’C’).

3) a. Montrer que pour tout réel m non nul, Gm est le barycentre des points B et G1.b. Déterminer l’ensemble de points Gm quand m décrit IR .c. Quel ensemble doit décrire m pour que Gm décrive le segment [BG1] ?

TD2 : Intersections de droites et plans de l’espace.

Objectif : Etudier l’intersection de deux droites, d’une droite et d’un plan par l’utilisation des représentations géométriques.

ABCDEFGH est un cube d’arête égale à 1. On note I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CG].On prend pour repère orthonormal de l’espace le repère

1) a. Reproduire la figure et la compléter au fur et à mesure.b. Donner les sommets des huit sommets du cube et des points I et J.c. Ecrire une représentation paramétrique des droites (BH) et (IJ).d. Etudier l’intersection de ces deux droites.

2) Soit L le point d’intersection du plan (FIJ) et de la droite (BH).a. Justifier l’existence de réels λ et µ tels que :

Montrer que les coordonnées (x, y, z) du point L sont :

b. En utilisant les questions 1c et 2a, déterminer les coordonnées du point L.

3) a. Ecrire une représentation graphique de la droite (FL).b. Déterminer les coordonnées du point P, intersection des droites (IJ) et (FL).c. Montrer que P est le centre de gravité du triangle ABJ.

TD3 : Produit scalaire et maximum.

Objectif : Optimiser la mesure d’un angle.

ABCDEFGH est un cube d’arête a. M un point de la diagonale [HB].On souhaite déterminer la position du point M pour que l’angle CMA ˆ soit maximum.

1) A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, réaliser la figure puis émettre une conjecture.

2) a. Montrer que MA = MC.

b. On pose CMAx ˆ= . Montrer que )cos(12

2

xMAa −= .

3) a. Déterminer les variations de la fonction )cos(1 xx −→ sur ];0[ π .b. En déduire que x est maximal lorsque MA est minimale. Que représente alors le point M sur la droite (HB) pour le point A ?

c. Montrer que x est maximal pour 3

2 22 aMA =

d. En déduire la valeur maximale de CMA ˆ .

TD4 : Enseignement de spécialité (Collection Indice)

Exercice type-bac.

Juin 2007 – Liban

Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

L’espace est muni d’un repère orthonormal ),,;( kjiO

.

On considère la droite (d) dont un système d’équations paramétriques est :

−=

=

−=

235

12

2

tz

y

tx

( ∈t IR )

On note A le point de coordonnées (2 ; -1 ; 1), B le point de coordonnées (4 ; -2 ; 2) et C le point de (d) d’abscisse 1.

Proposition 1.« La droite (d) est parallèle à l’axe );( jO

»

Proposition 2.« Le plan (P) d’équation x + 3z – 5 = 0 est le plan passant par A et orthogonal à (d) »

Proposition 3.

« La mesure de l’angle géométrique CAB ˆ est de 3π

radians. »

Soit G le barycentre des points pondérés (A ; -1), (B ; 1) et (C ; 1).Proposition 4.« Les segments [AG]et [BC) ont le même milieu. »

Proposition 5.

« La sphère de centre C et passant par B coupe le plan (P) d’équation x + 3z – 5 = 0 .»