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Chapitre 7

Champ et potentiel-vecteurmagnetostatiques

7.1 Introduction

Les interactions magnetiques sont des interactions a distance entre particules chargees en mou-vement relatif. Elles sont decrites par un champ vectoriel, le champ magnetique. On concoit deslors qu’un tel champ puisse etre produit par un courant de charges dans un conducteur, maison sait qu’un aimant est aussi source de champ magnetique. On peut rendre compte de cette se-conde possibilite dans le cadre du “modele amperien” du magnetisme, qui interprete les proprietesmagnetiques de certains milieux en termes de courants microscopiques.

En effet, a l’echelle microscopique, le mouvement des electrons autour de son noyau fait quechaque atome se comporte comme une petite boucle de courant, creatrice de champ magnetique :c’est le magnetisme dit orbital. Dans la matiere non aimantee, ces mouvements ne font apparaıtreaucune direction privilegiee, et annulent statistiquement leurs effets. Par contre, dans la matiereaimantee, qui peut l’etre spontanement ou par la presence d’un champ magnetique exterieur,il existe une orientation preferentielle de ces boucles de courants microscopiques. Il y a alorscompensation incomplete des effets, ce qui provoque une aimantation a l’echelle macroscopique.A ce type de magnetisme peut se superposer celui provenant du fait que certaines particulespossedent un moment magnetique permanent (magnetisme de spin).

Les interactions magnetiques peuvent ainsi se manifester :

• Entre deux aimants ; on se rappellera qu’un pole Nord et un pole Sud s’attirent et que deuxpoles de meme nom se repoussent. On se rappellera aussi que les proprietes magnetiques d’unaimant affectent toute sa matiere, ce qui est mis en evidence si l’on casse l’aimant.

• Entre un aimant et un courant : un aimant a une action sur un courant et reciproquement.1

• Entre deux courants.2

Le vecteur champ magnetique−→B (M) en un point M est defini en direction et en sens par la

direction orientee pole Sud - pole Nord que prend une aiguille aimantee libre de s’orienter dans

1Au terme d’une longue serie d’experiences realisees de 1807 a 1820, le physicien danois Christian OERSTED(1777-1851) demontre qu’une aiguille aimantee placee a proximite d’un conducteur electrique est deviee de saposition d’equilibre dans un sens qui depend du sens du courant. L’etude quantitative des interactions entreaimants et courants fut menee par Biot et Savart a partir de 1820. A la meme epoque, F. ARAGO realisel’aimantation du fer au moyen d’un courant electrique.

2Tres peu de temps apres avoir eu connaissance de la decouverte d’Oersted, A. M. Ampere prouve par denombreuses experiences la relation etroite entre magnetisme et electricite, en reproduisant notamment les effetsdes aimants par des solenoıdes, montre que deux circuits electriques peuvent reagir l’un sur l’autre sans interventiond’aimants et enonce les lois d’attraction et de repulsion de ces courants.

153

Chapitre 7. Champ et potentiel-vecteur magnetostatiques

l’espace et placee au point M considere. Ceci fait bien sur reference au magnetisme terrestre. Anoter que si l’on assimile la Terre a un aimant, le pole Nord geographique constitue le pole Sudde cet aimant3 (figure 7.1).

Figure 7.1

Une spire conductrice parcourue par un courant continu cree un champ magnetique et se comportecomme un aimant. Elle est polarisee magnetiquement et possede une face Nord et une face Sud.La polarite de la spire est liee au sens du courant selon la regle du tire-bouchon de Maxwell : onenfonce avec sa main droite un tire-bouchon ou une vis avec un tournevis (figure 7.2).

Figure 7.2

L’intensite d’un champ magnetique peut etre definie au moyen de la force qui s’exerce sur unporteur de charge q se mouvant dans ce champ a la vitesse

−→v . Cette force, appelee force de

Lorentz est donnee par

−→F = q

−→v ∧

−→B (7.1)

Lorsque F est exprime en Newton, q en Coulomb et v en m/s, B s’exprime en Tesla.

De cette loi on peut deduire les faits suivants.

• Un champ magnetique ne peut modifier l’energie cinetique d’une particule chargee.

3Le medecin et physicien anglais William GILBERT (1544-1603), emit le premier l’idee que la terre est ungigantesque aimant et que les corps se distinguent entre isolants (idioelectriques) et conducteurs (anelectriques).

Christian Carimalo 154 Cours d’Electromagnetisme


• Une particule chargee penetrant dans un champ magnetique uniforme avec une vitesse perpen-diculaire au champ prend un mouvement circulaire uniforme avec un rayon proportionnel a laquantite de mouvement de la particule et inversement proportionnel au champ magnetique.

Rappelons aussi que cette force est a l’origine de l’effet Hall observe dans un materiau parcourupar un courant et place dans un champ magnetique exterieur4. Considerons par exemple unelement conducteur de forme parallelepipedique traverse par un courant (figure 7.3). Ses electronsde conduction sont devies vers la face S− par la force de Lorentz. A cause de ce desequilibre dans

la repartition des charges, il apparaıt un champ electrique−→E entre les faces S+ et S−, dirige

de la premiere face vers la seconde. Un etat d’equilibre s’instaure, ou la force electrique q−→E

compense exactement la force de Lorentz. On a alors

−→E = − −→

v ∧−→B (7.2)

−→v etant la vitesse moyenne des electrons. Il apparaıt aussi entre S+ et S− une difference de

potentiel V+ − V−, ici positive, dite tension de Hall. La mesure de cette tension permet notam-ment de determiner la nature des porteurs de charges dans des materiaux semi-conducteurs5. Onexploite aussi cet effet pour mesurer des champs magnetiques au moyen de sondes de Hall.

B

I

e

S

S+

E

Figure 7.3

La Magnetostatique est la branche de l’Electromagnetisme qui etudie les champs magnetiquescrees par des courants independants du temps. Le probleme general a resoudre est de determiner

le champ magnetique−→B (M) cree par une distribution de courants stationnaire de densite

connue−→ (M). Il s’agira principalement de courants circulant dans des conducteurs, mais les

resultats obtenus s’appliquent aussi aux champs crees par des faisceaux de particules chargees. Deplus, les champs crees par la matiere aimantee ne different pas fondamentalement des precedents.Cependant, dans ce cas, l’origine du magnetisme est plus difficile a decrire.

7.2 Loi de Biot et Savart

Considerant un circuit conducteur parcouru par un courant d’intensite totale I, definissons toutd’abord ce qu’on appelle un element de courant. Soit, au voisinage d’un point P , un tube de courantelementaire de longueur infinitesimale d` est de section droite dS. Il s’agit en fait d’un tube de

4C’est en 1879 que le physicien americain Edwin Herbert Hall, alors etudiant en these du professeur Rowlandde l’universite Johns Hopkins de Baltimore, placant une feuille d’or dans un champ magnetique et lui appliquantun courant electrique, observa alors une tension perpendiculaire a la direction du courant et a celle du champmagnetique.

5Montrer que V+ − V− est negative si les porteurs sont de charge positive.



champ elementaire du vecteur densite de courant volumique−→J (P ). L’intensite infinitesimale de

courant passant a travers dS est simplement6

dI = J(P )dS (7.3)

L’element de courant (figure 7.4) est un vecteur qui a pour expression

dI−→d` =

−→J (P ) dSd` =

−→J (P ) dτ (7.4)

ou :

♣−→d` est de longueur d` et a meme orientation que

−→J (P ) ;

♣ dτ = dSd` est le volume elementaire a l’interieur du conducteur.

d I

J

d l

d S

Figure 7.4

D’apres la loi de Biot et Savart, le circuit entier produit en un point M quelconque le champmagnetique

−→B (M) =

µ0

4π

∫

V

−→J (P ) ∧

−→PM

PM3dτ (7.5)

M

Pd l

d B

J

Figure 7.5

ou l’integrale est etendue a tout le volume du circuit, et ou µ0 est la permeabilite du vide, dontla valeur numerique dans le systeme S.I. est7

6On rappelle que l’unite S.I. de J est 1 A m−2.7Ici encore, le facteur 4π releve d’une rationalisation du systeme d’unites.



µ0 = 4π10−7 S.I. (7.6)

Selon cette expression, on peut dire que la contribution qu’apporte au champ total un elementde courant est (figure 7.5)

d−→B (P, M) =

µ0

4π

−→J (P ) ∧

−→PM

PM3dτ (7.7)

Si l’une des deux dimensions transversales du circuit est tres petite devant toutes les autres lon-gueurs, on peut modeliser le circuit comme une distribution superficielle de courant8. Envisageonsalors un tube elementaire de courant, de forme parallelepipedique (figure 7.6). Sa section droiteest prise egale a dS = ε dL ou ε represente l’epaisseur de la nappe, infiniment plus petite quetoutes les autres longueurs. L’intensite du courant traversant dS est dI = J(P ) ε dL. On admetque le produit

Js(P ) = ε J(P ) (7.8)

reste fini lorsque ε tend vers zero. Il represente la densite superficielle de courant de la nappe9.

ε

J

d Ld l

d S

d Σ

Figure 7.6

L’element de courant prend alors la forme

−→J dτ =

−→Js (P )dLd` =

−→Js (P ) dΣ (7.9)

ou dΣ = dLd` est l’element de surface de la nappe, et le champ magnetique cree par cette derniereen un point M s’exprime naturellement comme

−→B (M) =

µ0

4π

∫

Σ

−→Js (P ) ∧

−→PM

PM3dΣ (7.10)

l’integrale etant etendue a toute la surface de la nappe.

Si les deux dimensions transversales a la fois peuvent etre considerees comme infiniment petites,on aboutit alors a un circuit filiforme dont l’element de courant est ecrit simplement comme

−→J (P ) dτ = I

−→d` (P ) (7.11)

8On dit aussi nappe de courant.9Dans le systeme S.I., cette densite s’exprime en A m−1.



I etant l’intensite totale du courant circulant dans le circuit. Le champ magnetique cree en unpoint M par un tel circuit prend la forme

−→B (M) =

µ0

4π

∫

C

I−→d` (P ) ∧

−→PM

PM3(7.12)

ou l’integrale est etendue a toute la courbe decrivant le circuit (figure 7.7).

I d l

P

M

d B

Figure 7.7

Les expressions du champ magnetique donnees plus haut furent etablies par J.M. Biot et F.Savart en 1820 sur la base de nombreuses observations experimentales. Elles furent retrouveesplus tard dans le contexte de la theorie de la Relativite, lorsqu’on etudia la transformation duchamp electromagnetique dans le passage d’un referentiel galileen a un autre, au moyen destransformations de Lorentz. Pour les courants usuellement consideres en Magnetostatique, lesvitesses des porteurs de charge sont incomparablement plus petites que la celerite de la lumiereet l’on ne s’attend certes pas a voir emerger un effet relativiste. Pourtant, pour se convaincre de larelation relativiste entre champ electrique et champ magnetique, il suffit d’envisager un faisceaude particules homocinetique, de vitesse

−→v constante dans le referentiel R du laboratoire, puis

dans le referentiel R′ anime de la vitesse−→v par rapport a R. Dans R, les particules mobiles

creent un champ magnetique, alors que dans R′ elles sont vues au repos et ne creent qu’unchamp electrique. Ce lien relativiste entre champ electrique et champ magnetique est revele al’examen des dimensions des grandeurs ε0 et µ0. On sait d’une part que les produits QE et QvBsont homogenes a une force10. On a donc, du point de vue dimensionnel

[E] = [vB] (7.13)

et comme

[E] = [Q

ε0L2] , [B] = [

µ0I

L] , [I] = [

Q

T] (7.14)

il vient

[1

ε0µ0] = [v2] ≡ carre d′une vitesse (7.15)

Numeriquement, on obtient

1√ε0µ0

= 3 108 m/s = c (7.16)

ou c est la vitesse de la lumiere dans le vide...10Pour le dernier, voir la force de Lorentz.



7.3 Symetries du champ magnetique

La loi de Biot et Savart fait intervenir le produit vectoriel des deux vecteurs polaires−→J et

−→PM

dans l’expression du champ magnetique, faisant de ce dernier un champ de nature axiale. Cettenature se revele lorsqu’on effectue une symetrie par rapport a un point. Alors que deux vecteurs

polaires−→U et

−→V changent de signe dans cette operation, leur produit vectoriel

−→W =

−→U ∧

−→V

ne change pas : un produit vectoriel de deux vecteurs polaires est un vecteur axial, sa parite vaut+1.

Voyons comment se transforme un champ de vecteurs axial dans une symetrie par rapport a unplan, par exemple le plan xOz. Soit un point M(x, y, z), et M ′(x,−y, z) son transforme danscette operation. On a

U ′x(M ′) = Ux(M) , U ′

y(M ′) = −Uy(M) , U ′z(M

′) = Uz(M) (7.17)

et de meme pour les composantes de−→V . Comme

Wx = UyVz − UzVy , Wy = UzVx − Uxvz , Wz = UxVy − UyVx (7.18)

on obtient

W ′x(M ′) = −Wx(M) , W ′

y(M ′) = Wy(M) , W ′z(M

′) = −Wz(M) (7.19)

c’est-a-dire une loi de transformation a l’oppose de celle d’un vecteur polaire.

Considerons alors une distribution de courants possedant un plan P+ de symetrie positive. Celasignifie que si l’on effectue l’operation de symetrie par rapport a ce plan, la distribution resteglobalement inchangee. Appliquant le principe de symetrie de Curie au champ magnetique, onvoit que

[−→B (M ′)

]

//

= −[−→

B (M)]

//

,

[−→B (M ′)

]

⊥=

[−→B (M)

]

⊥(7.20)

M ′ etant le transforme de M . Par suite, si M appartient a ce plan, on trouve[−→

B (M)]

//

= 0 (7.21)

Autrement dit,

♠ en tout point d’un plan de symetrie positive, le champ magnetiqueest perpendiculaire a ce plan.

On voit alors que dans l’etude des symetries eventuelles d’une distribution de courants, c’est larecherche de plans de symetrie positive qui est la plus efficace car le principe de symetrie permeteventuellement d’eliminer deux composantes du champ sur trois.

Supposons maintenant que la distribution etudiee possede un plan P− de symetrie negative ouencore d’antisymetrie. Cela signifie que dans une operation de symetrie par rapport a P−, toutse passe comme si l’on avait inverse le sens des courants. Or, d’apres la loi de Biot et savart,l’inversion de tous les courants change le signe du champ magnetique :

−→J → −

−→J =⇒

−→B → −

−→B (7.22)

C’est une symetrie interne du champ magnetique. On en deduit



[−→B (M ′′)

]

//

=[−→

B (M)]

//

,

[−→B (M ′)

]

⊥= −

[−→B (M)

]

⊥(7.23)

M ′′ etant le transforme de M . Par consequent, si M appartient a ce plan P−, il vient cette fois[−→

B (M)]

⊥= 0 (7.24)

♠ en tout point d’un plan de symetrie negative, le champ magnetique est dans ce plan.

Nous aurons l’occasion d’utiliser ces proprietes dans des calculs de champ cree par des distribu-tions possedant de fortes symetries.

7.4 Champ d’un courant rectiligne indefini

Comme premier exemple d’application de la loi de Biot et Savart, nous considererons un filconducteur rectiligne de tres grande longueur, prise ici comme etant infinie, et transportant uncourant d’intensite I.

Il est manifeste que, quel que soit le point M ou l’on veut calculer le champ, le plan contenantle fil et le point M est un P+. Le champ en M est donc orthoradial. Il est tout aussi manifesteque l’on dispose ici d’une invariance par rotation autour du fil et d’une invariance par translationparallelement au fil. Le resultat est que la composante restante du champ ne peut dependre que dela distance ρ du point M au fil, qui est la seule quantite invariante dans ces operations. Choisissonsalors le plan contenant le fil et le point M comme plan xOz et pour origine O la projection de Msur le fil (figure 7.8). La composante du champ s’identifie alors a celle parallelement a Oy. Avec−→d` = dz

−→ez et

−→ez ∧

−→PM=

−→ey ρ, la formule de Biot et Savart donne ici

z’

z

I

O

P

Mρ

αz

B

Figure 7.8

−→B (M) =

µ0Iρ

4π

−→ey

∫ +∞

−∞

dz

PM3(7.25)

z etant la cote du point courant P dans le repere choisi. En observe que l’integration sur les znegatifs donne le meme resultat que celle sur les z positifs. Pour z ≥ 0, posons alors z = ρ tan α.Il vient

dz

PM3=

dα cos α

ρ2



L’angle α variant entre 0 et π/2, on a donc

Bφ(ρ) ≡ By(M) = 2µ0I

4πρ

∫ π/2

0

cos α dα =µ0I

2πρ(7.26)

Le champ etant orthoradial, ses lignes de champ sont des cercles situes dans des plans perper-diculaires au fil et centres sur ce dernier11. En outre, le sens du courant etant donne (ici, sensz′Oz), l’orientation du champ sur ces lignes est conforme a la regle du tire-bouchon de Maxwell.De plus, les lignes de champ tournent autour du fil (figure 7.9). Ce resultat provient en fait d’unepropriete generale du champ magnetique12 :

♠ les lignes de champ du champ magnetique sont toujours des courbes fermees et enlacentles lignes de courant dans le sens donne par la regle du tire-bouchon.

z

I

Bz’

Figure 7.9

La circulation de−→B le long d’une ligne de champ vaut

∫ 2π

0

Bφ(ρ) ρdφ = µ0 I (7.27)

Ce resultat fait apparaıtre une difference fondamentale avec le champ electrostatique dont la cir-culation le long d’une courbe fermee est toujours nulle : la circulation du champ magnetostatiquen’est pas conservative d’une facon generale. En fait, le resultat ci-dessus est une consequence

d’une autre propriete generale du champ−→B qui fait l’objet du theoreme d’Ampere dont il sera

question plus loin. Enfin, une derniere propriete generale peut etre revelee ici : div−→B = 0.

7.5 Divergence du champ magnetique

Le calcul de la divergence du champ−→B sera fait dans le cas d’une distribution volumique de

courants, modelisation qui de toute facon semble plus conforme a la realite. On a ainsi

divM

−→B (M) =

µ0

4π

∫

VdivM

−→J (P ) ∧

−→PM

PM3

dτ (7.28)

11A demontrer.12Voir aussi le complement II.



ou nous avons place M en indice pour bien specifier que les derivations doivent etre effectueespar rapport aux coordonnees du point M . La formule (1.49) nous permet d’ecrire

divM

−→J (P ) ∧

−→PM

PM3

=

−→PM

PM3· −→rotM

−→J (P )−

−→J (P ) · −→rotM

−→PM

PM3(7.29)

Mais, d’une part,−→J (P ) est manifestement independant des coordonnees du point M , et, d’autre

part, on sait que le vecteur−→PM/PM3 derive d’un potentiel et a donc un rotationnel nul13. On

en deduit la propriete generale importante

div−→B = 0 (7.30)

c’est-a-dire, le champ magnetostatique est a flux conservatif. En effet, de cette equation combineeavec le theoreme de Green-Ostrogradski on conclut que

♠ le flux du champ−→B a travers une surface fermee est toujours egal a zero.

C’est une autre propriete qui distingue le champ magnetique du champ electrique dont le fluxn’est pas conservatif d’une facon generale, comme consequence du theoreme de Gauss. Rappelons

qu’en Electrostatique la divergence du champ−→E est donnee par

div−→E =

ρ

ε0

ou ρ est la densite volumique de charge. Si l’on voulait faire un rapprochement entre magnetismeet electricite en decrivant le magnetisme au moyen de “charges magnetiques”14, le fait que lechamp magnetique soit de divergence nulle montrerait qu’il est impossible de separer les chargesde signes opposes, de sorte que ρmagn = 0 en tout point. L’interpretation serait alors que laprincipale caracteristique du magnetisme est qu’il est de nature dipolaire.

Il resulte aussi de cette propriete que le champ magnetique derive d’un vecteur, c’est-a-dire qu’il

existe au moins un champ de vecteurs−→A tel que

−→B =

−→rot

−→A (7.31)

Ce nouveau champ de vecteurs−→A est appele potentiel vecteur. On peut en trouver une forme

possible comme suit. Puisque

−→PM

PM3= −

−→gradM

1PM

(7.32)

la relation13On admettra ici que toutes les derivations effectuees ont un sens.14On parle aussi de masses magnetiques.



−→rotM

−→J (P )PM

=1

PM

−→rotM

−→J (P )−

−→J (P ) ∧

−→gradM

1PM

≡ −−→J (P )∧

−→gradM

1PM

=−→J (P ) ∧

−→PM

PM3(7.33)

nous permet d’ecrire

µ0

4π

−→rotM

∫

V

−→J (P )PM

dτ ≡−→B (M) (7.34)

Une expression possible du potentiel vecteur est donc

−→A (M) =

µ0

4π

∫

V

−→J (P )PM

dτ (7.35)

expression qui peut eventuellement etre generalisee

♣ a des nappes de courant :

−→A (M) =

µ0

4π

∫

Σ

−→Js (P )PM

dΣ (7.36)

♣ ou a des circuits filiformes :

−→A (M) =

µ0

4π

∫

C

I−→d` (P )PM

(7.37)

Cependant, ces dernieres expressions peuvent etre divergentes si l’on considere des circuits d’ex-tension infinie et dans ce cas, la recherche d’un potentiel vecteur doit plutot se faire par integrationde la relation champ - potentiel vecteur (7.31).

Nous avons deja note que les formules ci-dessus ne fournissent que des expressions possibles dupotentiel vecteur. En effet, celui-ci n’est pas defini de facon univoque par la relation (7.31). Si−→A est un potentiel vecteur possible, le vecteur

−→A′=

−→A +

−→grad F (7.38)

ou F est un champ scalaire arbitraire, convient aussi, puisque le rotationnel d’un gradient esttoujours nul. On dit qu’il y a invariance de jauge, ou encore que le potentiel vecteur est defini aune jauge pres, faisant intervenir le gradient d’une fonction. Bien que nettement plus compliquee,cette indetermination est a rapprocher de celle du potentiel scalaire en Electrostatique, qui n’estdefini qu’a une constante pres.

On peut vouloir se limiter a une certaine classe de potentiels vecteurs en leur imposant unecontrainte. On dit alors que l’on fait un choix de jauge. Dans la jauge de Coulomb, on impose lacondition

div−→A = 0 (7.39)



Insistons sur le fait que (7.39) ne constitue en aucun cas une loi fondamentale : le choix de jauge estcompletement libre. On note que meme dans le cadre de la jauge de Coulomb, le potentiel vecteurn’est pas encore completement determine. En effet, choisissant un potentiel vecteur differant dupremier par un gradient et lui imposant la meme jauge, on obtient

div−→A′= div

−→A +div

−→grad F = ∆F = 0 (7.40)

C’est-a-dire que la fonction F doit satisfaire l’equation de Laplace. Or, il existe une infinite defonctions la verifiant. Pour mieux definir le potentiel vecteur, on fait donc generalement appel ad’autres ingredients et notamment, comme nous le verrons, a des symetries eventuelles.

Montrons que l’expression integrale

−→A (M) =

µ0

4π

∫

V

−→J (P )PM

dτ

verifie la jauge de Coulomb. On a

divM

−→A (M) =

µ0

4π

∫

VdivM

−→J (P )PM

dτ (7.41)

Mais

divM

−→J (P )PM

≡−→J (P )·

−→gradM

1PM

(7.42)

Comme PM ne depend des coordonnees de P et de M que par l’intermediaire de leurs coordonneesrelatives, on peut ecrire

−→gradM

1PM

= −−→gradP

1PM

de sorte que

−→J (P )·

−→gradP

1PM

≡ divP

−→J (P )PM

− 1PM

divP

−→J (P ) (7.43)

Puisque les courants sont supposes stationnaires, le deuxieme terme au second membre est nul

(divP

−→J (P ) = 0). En appliquant le theoreme de Green-Ostrogradski, il vient

divM

−→A (M) =

µ0

4π

∫

VdivP

−→J (P )PM

dτ =µ0

4π

∫

S

−→J (P )·

−→dS

PM(7.44)

ou la derniere integrale de flux doit etre etendue a toute la surface externe du conducteurconsidere. Or, puisqu’aucun courant ne sort de cette surface, le vecteur densite de courant lui est

tangent en chaque point et est donc perpendiculaire au−→dS correspondant. Par suite, le flux au

second membre est nul et l’on a bien

divM

−→A (M) = 0 (7.45)



7.6 Proprietes du potentiel vecteur

Les expressions possibles du potentiel vecteur trouvees precedemment ont tout au moins l’avan-tage de degager certaines proprietes generales qu’il est permis de lui attribuer. Ainsi, puisque levecteur densite volumique de courants est un vecteur polaire, le potentiel vecteur

−→A (M) =

µ0

4π

∫

V

−→J (P )PM

dτ

est lui aussi de nature polaire. Nous imposerons donc aux potentiels vecteurs admissibles d’etrecompletement de nature polaire.

En outre, si les courants sont inverses, le potentiel vecteur ci-dessus change de signe. Nous im-poserons donc cette propriete a tous les potentiels vecteurs admissibles. On evite ainsi des choixexotiques qui seraient sans rapport avec la physique etudiee.

Finalement, les proprietes de transformation du potentiel vecteur par les symetries sont tout a faitsimilaires a celles d’un champ electrostatique : si la distribution de courant possede un P+, alorsle potentiel vecteur en un point quelconque du P+ est contenu dans ce plan ; si la distributionpossede un P−, en chaque point de ce plan le potentiel vecteur lui est perpendiculaire.

Ici s’arrete cependant la similitude entre ces deux champs puisque, d’apres le theoreme de Stokes,

la circulation de−→A le long d’un contour ferme C n’est generalement pas nulle, etant egale au

flux de son rotationnel−→B a travers une surface quelconque Σ s’appuyant sur le contour :

∫

C

−→A ·

−→d` =

∫ ∫

Σ

−→B ·

−→dΣ (7.46)

A titre d’exemple, trouvons un potentiel vecteur pour le champ magnetique cree par un fil conduc-teur infini.

Pour tout point M , le plan contenant M et perpendiculaire au fil est un P−. Par consequent, lepotentiel vecteur n’a qu’une seule composante parallelement au fil, soit Az. Compte-tenu du faitque seule la composante Bφ est non nulle, l’application de la relation champ-potentiel vecteurconduit aux equations

∂Az

∂φ= 0 ,

∂Az

∂ρ= −Bφ = −µ0I

2πρ(7.47)

La premiere de ces relations est conforme au resultat escompte en invoquant l’invariance parrotation autour du fil : on trouve ici que Az doit etre independant de φ. L’integration de laseconde relation conduit a

Az(ρ, z) = −µ0I

2πln ρ + f(z) (7.48)

ou f(z) est une fonction arbitraire de z. Or, cette fonction de la seule variable z peut toujoursetre envisagee comme la derivee par rapport a z d’une autre fonction F (z), et ainsi consideree,comme la composante suivant l’axe des z du gradient de cette fonction F . On constate bien icil’indetermination du potentiel vecteur qui n’est defini qu’a un gradient pres. Cependant, si on luiimpose de verifier la jauge de Coulomb, on a

div−→A ≡ ∂Az

∂z= f ′(z) = 0 (7.49)

et f(z) n’est plus qu’une simple constante, que l’on peut fixer par un choix de zero du potentiel,par exemple, Az = 0 pour ρ = ρ0. D’ou l’expression



Az(ρ) = −µ0I

2πln

(ρ

ρ0

)(7.50)

On note en passant que la jauge de Coulomb force le potentiel vecteur a etre independant de z, cequi est finalement bien conforme a l’idee qu’on se fait de l’invariance par translation parallelementau fil.

Le lecteur pourrait a juste titre se demander pourquoi nous n’avons pas utilise ici l’expressionintegrale (7.37) du potentiel vecteur. Il est facile de voir que celle-ci est tout simplement divergenteet donc impossible a manier telle quelle ! On peut neanmoins extraire un resultat fini d’une formuleintegrale en limitant les variations de z, soit |z| ≤ L, de sorte que

Az =µ0I

4π

∫ L

−L

dz

PM=

µ0I

2π

∫ L

0

dz√z2 + ρ2

=µ0I

2πln

(L +

√L2 + ρ2

ρ

)(7.51)

En faisant tendre L vers l’infini, on trouve alors

Az = −µ0I

2πln ρ + K (7.52)

ou K est une constante, ici infinie. Cependant, le fait de rajouter une constante au potentielvecteur ne change rien pour ce qui concerne le champ magnetique, et l’on peut donc remplacercette constante par une autre, finie celle-la. Par ce tour d’adresse, on retrouve alors le resultatprecedent. L’exemple que nous venons de considerer illustre aussi une autre propriete du potentielvecteur : ses lignes de champ, qui sont ici des droites paralleles au fil, suivent peu ou prou leslignes de courant, en enlacant les lignes de champ du champ magnetique, encore une fois dans lesens conforme a la regle du tire-bouchon, vis-a-vis du sens du champ magnetique.

Si l’on compare l’expression

−→A (M) =

µ0

4π

∫

V

−→J (P )PM

dτ

du potentiel vecteur a celle

V (M) =1

4πε0

∫

V

ρ(P )PM

dτ

du potentiel scalaire en Electrostatique, on constate que la relation entre les densites sources et lepotentiel sont similaires, en mettant a part le fait que la premiere est plutot de nature vectorielle.En Electrostatique, cette relation se traduit localement par l’equation de Poisson

∆V +ρ

ε0= 0

Par analogie, on deduit l’equation suivante, liant le potentiel vecteur aux densites volumiques decourant

∆−→A + µ0

−→J = 0 (7.53)

Pour terminer ici, notons que d’apres la relation champ-potentiel, le potentiel vecteur est ho-mogene au flux du champ magnetique que divise une longueur. L’unite S.I. de flux magnetiqueest le weber, de symbole W. Dans ce systeme d’unites, le potentiel vecteur s’exprime donc enW/m.



Cependant, du point de vue dimensionnel, on remarque aussi que le potentiel vecteur est ho-mogene a un champ magnetique que multiplie une longueur, et comme le champ magnetique esthomogene a un champ electrique que divise une vitesse, le potentiel vecteur est donc homogenea un champ electrique que multiplie un temps...

7.7 Le theoreme d’Ampere

7.7.1 Le theoreme

En incorporant les relations

−→rot

−→A =

−→B , div

−→A = 0 , ∆

−→A = −µ0

−→J

dans la formule generale

−→rot

−→rot

−→A =

−→grad div

−→A − ∆

−→A

il vient immediatement

−→rot

−→B = µ0

−→J (7.54)

Cette derniere relation constitue la forme locale du theoreme d’Ampere, liant le champ magnetiquea ses sources. Cette equation conduit ainsi a

div−→J =

1µ0

div−→rot

−→B = 0 (7.55)

et n’est donc pas en contradiction avec la loi de conservation de la charge, puisque dans leregime stationnaire considere ici, la divergence du vecteur densite volumique de courants doiteffectivement etre nulle. On peut alors noter des a present qu’elle devra certainement etre remanieedans le cas des regimes variables dans le temps, puisqu’alors

div−→J = − ∂ρ

∂t6= 0

Le theoreme d’Ampere proprement dit est plutot connu sous sa forme integrale, qui resulte del’equation locale precedente par application du theoreme de Stokes :

∫

C

−→B ·

−→d` = µ0

∑

k

Ik (7.56)

et qui s’enonce ainsi :

♠ La circulation du champ magnetostatique le long d’une courbe fermee est egale auproduit par µ0 de la somme algebrique des intensites des courants enlaces par cette courbe,ces intensites etant comptees positivement selon le sens donne par la regle du tire-bouchon,

par rapport au sens de parcours de la courbe.



I

I

I

C

1

2

3

Figure 7.10

Par exemple, pour le cas represente dans la figure 7.10, la somme algebrique des intensites estegale a I3 − I1 − I2.

7.7.2 Application du theoreme

Comme le theoreme de Gauss en Electrostatique, le theoreme d’Ampere fournit une relationgenerale entre un champ et ses sources. Ici encore, il peut s’averer avantageux d’utiliser cetheoreme pour calculer le champ sans passer par la formule qui le donne sous forme integrale.Mais on se doute bien qu’un tel programme ne pourra etre mene a bien que si la distributionde courants etudiee possede suffisamment de symetrie. Voyons comment proceder d’une facongenerale.

La circulation fait intervenir un produit scalaire. Aussi, pour pouvoir en extraire l’integralite duchamp, celui-ci doit etre en tout point parallele a la tangente a la courbe selon laquelle est evalueela circulation. Mais une telle condition est aussi celle qui definit une ligne de champ. La questionest donc de savoir si les lignes du champ magnetostatique sont fermees. Comme nous l’avons dejasignale, la reponse est oui.

Dans un probleme donne, la premiere etude a mener consiste a rechercher systematiquement les

lignes de champ de−→B . Ceci fait, on considere la circulation du champ le long de la ligne de

champ C(M) passant par le point M ou l’on souhaite determiner ce champ :∫

C(M)

−→B ·

−→d` ≡

∫

C(M)

B(P ) d`(P ) = µ0

∑

k

Ik (7.57)

ou B(P ) represente la valeur algebrique du champ suivant la tangente a la courbe C(M), au signepres egale au module du champ, le sens de parcours de la courbe etant choisi arbitrairement.

La derniere etape consisterait a extraire cette valeur algebrique de dessous le signe integral, cequi donnerait immediatement

B =µ0

L

∑

k

Ik (7.58)

ou L est la longueur totale de la ligne de champ C(M). On se doute bien que, d’une facongenerale, ceci ne sera possible que si la distribution de courants possede suffisamment de symetrie.A nouveau, le maıtre mot est : symetrie.

Par exemple, dans le cas du conducteur rectiligne infini, nous avons vu que ses symetries fontque le champ qu’il cree n’a qu’une seule composante orthoradiale et que celle-ci ne depend quede la variable ρ. Nous en avons deduit que les lignes de champ sont des cercles axes sur le fil etnous observons que l’intensite du champ reste constante le long d’une ligne de champ. Toutes lesconditions sont reunies pour appliquer fructueusement le theoreme d’Ampere en vue de calculer



le champ. En effet, la circulation de−→B le long de la ligne de champ passant par un point M a

la distance ρ du fil, qui est donc un cercle axe sur le fil et de rayon ρ, vaut∫

C(M)

−→B ·

−→d` ≡

∫ 2π

0

Bφ(ρ) ρdφ = 2πρBφ(ρ) = µ0 I (7.59)

d’ou l’expression deja rencontree

Bφ(ρ) =µ0 I

2πρ

7.8 Quelques calculs de champs magnetostatiques

7.8.1 Spire de courant

Soit un fil conducteur en forme de cercle de centre O et de rayon R, situe dans le plan xOy. Iltransporte un courant d’intensite I dans le sens indique par la figure 7.11.

Le plan contenant l’axe de la spire et le point M ou l’on veut calculer le champ est manifestementun P−. Ce plan contient donc le champ en ce point. En coordonnees cylindriques, cela signifieque la composante Bφ est nulle en tout point. En outre, le potentiel vecteur en ce point doit etreperpendiculaire a ce plan et n’a donc qu’une composante orthoradiale Aφ.

z’

z

Ix

yO

H

B

MBρ

Bz

φ

ρ

z

Figure 7.11

On a egalement une invariance par rotation autour de l’axe z′z de la spire. L’angle azimutal φ n’estdonc pas une variable sensible et les composantes restantes Bρ et Bz du champ magnetostatiquene doivent pas en dependre. On peut retrouver cette propriete de la facon suivante. Comme ona affaire a un circuit filiforme, en tout point en dehors du cercle schematisant le conducteur, ondoit avoir

−→rot

−→B =

−→0 (7.60)

Avec Bφ = 0, cela se traduit notamment par les equations

∂Bz

∂φ= 0 ,

∂Bρ

∂φ= 0 (7.61)

qui rassurent dans le sens ou l’idee qu’on se fait de l’invariance par rotation n’est pas en contra-diction avec les equations fondamentales...

Pour ce qui est du potentiel vecteur, le choix de la jauge de Coulomb conduit a l’equation



∂Aφ

∂φ= 0 (7.62)

y

x

z

O

Bz

Bx

Bz

x− x

− z

Figure 7.12

Du fait de cette invariance, il est suffisant d’etudier le champ uniquement pour les points du planxOz. De plus, comme, d’une part, le plan xOy est un P+ et que, d’autre part, le plan yOz estun P−, on peut ramener cette etude dans le premier quadrant du plan xOz, puisqu’on aura lescorrelations suivantes (x et z sont choisis positifs) :

Bx(−x, z) = −Bx(x, z) , Bx(x,−z) = −Bx(x, z)Bz(−x, z) = Bz(x, z) , Bz(x,−z) = Bz(x, z) (7.63)

ce qui donne deja une idee de la cartographie des lignes de champ (voir figure 7.12) et faitpressentir le fait deja signale que celles-ci sont fermees et qu’elles enlacent le courant.

En un point M de l’axe z′z, le champ est entierement porte par cet axe. C’est normal, puisquetout plan contenant cet axe est un P−. Calculons le champ en M tel que OM = z > 0 (figure

7.13). Il vient, avec−→d` = RdφP

−→eφ (P ) ou φP est l’angle azimutal du point P courant sur le

cercle,

O

M(z)

P

φeR

B

z’

z

x

y

α

Figure 7.13



Bz(z) =µ0I

4π

∫ 2π

0

−→ez ·

(Rdφ

−→eφ (P )∧

−→PM

)

PM3=

µ0I

4π

R

(R2 + z2)3/2

∫ 2π

0

(− −→eR ·

−→PM) dφP

soit

Bz(z) =µ0I

2R2

(R2 + z2)3/2=

µ0I

2Rsin3 α (7.64)

ou α = OMP est l’angle sous lequel est vue la spire depuis le point M . On note que pour z À R,on obtient l’expression asymptotique

Bz(z) ≈ µ0I

2R2

z3(7.65)

qui donne une decroissance du champ comme l’inverse du cube de la distance, typique de sourcesde nature dipolaire.

7.8.2 Le dipole magnetique

Reprenons l’etude du champ de la spire dans le cas ou r = OM À R et cherchons-en uneexpression asymptotique pour un point en dehors de l’axe z′z. Pour faire ce calcul, il est preferablede commencer a chercher une expression asymptotique du potentiel vecteur et d’en deduire lechamp magnetique par derivation.

x

y

z

M

A(M)

Mθ

r

Figure 7.14

Nous savons deja que le potentiel vecteur n’a qu’une seule composante orthoradiale. Celle-ci peutetre calculee comme (figure 7.14)

Aφ(r, θ) =µ0I

4π

−→ey ·

∫

C

−→d`

PM(7.66)

avec−→d` = RdφP

−→eφ (P ). Mais

−→ey · −→eφ (P ) = cos φP et PM2 = r2 + R2 − 2rR sin θ cosφP .

Effectuant alors un developpement limite au premier ordre en R/r, on a

1PM

≈ 1r

+R sin θ cos φP

r2(7.67)



d’ou

Aφ(r, θ) ≈ µ0IR

4π

[1r

∫ 2π

0

cosφP dφP +R sin θ

r2

∫ 2π

0

cos2 φP dφP

](7.68)

et comme∫ 2π

0

cos φP dφP = 0 ,

∫ 2π

0

cos2 φP dφP = π (7.69)

on obtient

Aφ(r, θ) ≈ µ0IπR2

4π

sin θ

r2(7.70)

La grandeur

M = IπR2 (7.71)

est le moment magnetique de la spire, ou plutot son intensite15, car pour un circuit filiformequelconque, son moment magnetique est defini vectoriellement comme

−→M =

∫

S

I−→N (P ) dS(P ) (7.72)

S etant une surface s’appuyant sur le contour du circuit, et−→N (P ) sa normale en un point P

courant, celle-ci etant orientee a partir du sens du courant selon la regle du tire-bouchon (figure7.15). Pour le circuit etudie ici, on a donc

−→M = IπR2 −→ez (7.73)

Figure 7.15

En fonction du moment magnetique, le potentiel vecteur ci-dessus prend la forme

Aφ(r, θ) ≈ µ0M4π

sin θ

r2(7.74)

ou, vectoriellement,15Dans le systeme d’unites S.I., elle s’exprime en Ampere-m2. La definition de l’Ampere sera donnee au chapitre

8.



−→A (M) =

µ0

−→M ∧

−→OM

4πr3(7.75)

Ces deux dernieres expressions, etablies pour le cas particulier d’une spire circulaire, sont enfait valables pour tout systeme de courants assimilable a un dipole, et aussi bien pour de petitsaimants (figure 7.16).

Les composantes spheriques du champ magnetique se deduisent ainsi :

Br =1

r sin θ

∂ sin θAφ

∂θ=

µ0M4π

2 cos θ

r3, Bθ = −1

r

∂rAφ

∂r=

µ0M4π

sin θ

r3

Bφ = 0 (7.76)

On notera la similitude frappante entre ces formules-ci et celles etablies pour le champ d’un dipoleelectrostatique :

Er =P

4πε0

2 cos θ

r3, Eθ =

P

4πε0

sin θ

r3, Eφ = 0

et que l’on passe des unes aux autres par la substitution

P

ε0⇐⇒ µ0 M (7.77)

Les lignes de champ du potentiel vecteur sont des cercles ayant pour axe celui portant le momentmagnetique. Elles enlacent completement les lignes du champ magnetique, dont les equationssont celles trouvees en Electrostatique pour le champ electrique d’un dipole electrostatique :

r = K ′ sin2 θ

Dans le cadre du modele ici presente ou le dipole est assimile a une petite spire de courant, onremarque a nouveau que ces lignes de champ sont fermees et enlacent a leur tour la ligne decourant16.

Figure 7.16

16Ce qui peut faire dire que le magnetisme est tres “convivial”.



7.8.3 Le solenoıde infini

Considerons maintenant un empilement indefini de spires circulaires identiques, telles que celleconsideree precedemment. Un tel systeme est suppose modeliser un enroulement serre d’un filconducteur tres mince sur un support isolant en forme de cylindre de rayon R. C’est ce qu’onappelle un solenoıde. Chaque tour de fil constitue une spire circulaire de courant dont l’axe estcelui du cylindre. Toutes les spires sont jointives. En outre, on etudie le champ loin des bords del’enroulement dont la longueur est supposee suffisamment longue pour qu’on puisse la considerercomme infinie (figure 7.17).

z’ z

Figure 7.17

Sachant que les lignes de champ du champ magnetique doivent enlacer toutes les lignes de courant,on doit s’attendre a ce qu’elles soient des droites paralleles a l’axe du solenoıde. Notons z′z l’axedu solenoıde. Pour tout point M , le plan perpendiculaire a z′z et contenant M est un P+. Lechamp en M doit lui etre perpendiculaire et est donc parallele a z′z, comme attendu. D’un autrecote, le plan contenant z′z et M etant un P−, le potentiel vecteur doit lui etre perpendiculaireet n’a donc qu’une seule composante orthoradiale Aφ.

Le modele de solenoıde presente ici a la particularite de conduire a des valeurs constantesdu champ magnetique. En effet, puisque les dimensions transversales du fil conducteur sontconsiderees comme nulles, le champ magnetique verifie “presque partout” l’equation

−→rot

−→B =

−→0

Comme−→B n’a qu’une seule composante Bz, on obtient ainsi, en coordonnees cartesiennes,

[−→rot

−→B

]

x

=∂Bz

∂y= 0 ,

[−→rot

−→B

]

y

= −∂Bz

∂x= 0

De plus,

div−→B =

∂Bz

∂z= 0

Iz’

z

Bi

Figure 7.18

d’ou la conclusion d’un Bz constant. Toutefois, cette constante peut etre differente selon qu’on setrouve a l’interieur ou a l’exterieur du solenoıde. Soient Bi

z et Bez les valeurs du champ a l’interieur



et a l’exterieur du solenoıde, respectivement. On peut facilement etablir une relation entre cesvaleurs en appliquant le theoreme d’Ampere au contour ferme represente a la figure 7.18. Il vient

[Bi

z −Bez

]` = µ0nI` (7.78)

en notant n le nombre de spires par unite de longueur de solenoıde, dans le sens de sa longueur,bien evidemment. Pour obtenir une seconde equation afin de determiner separement Bi

z et Bez ,

on peut proceder de trois facons.

La premiere ne s’appuie sur aucune demonstration et repose uniquement sur une “intime convic-tion”. Elle consiste a dire que pour tout point infiniment eloigne de l’axe du solenoıde, le champmagnetique doit etre nul. Comme il est constant a l’exterieur du solenoıde, il est donc nul danscette region. On obtient ainsi

Biz = µ0nI , Be

z = 0 (7.79)

La faiblesse de l’argument vient de ce que la longueur du solenoıde est infinie, et que les grandesdistances doivent a priori etre comparees a celle-ci : l’effet d’extension infinie fait que meme adistance infinie, on n’est pas assure de ne pas rencontrer d’autres courants.

z’

z

d z

Mα

d B

z

Figure 7.19

Une deuxieme facon plus precautionneuse consiste a evaluer directement le champ en des pointsou il est facile de le faire (figure 7.19). Nous ferons ici le calcul pour des points situes sur l’axedu solenoıde.

Remarquons d’abord qu’une tranche de longueur dz du solenoıde contient ndz spires, produisantchacune sur son axe un champ sensiblement egal a (voir 7.64)

Bz(z) =µ0I

2R2

(R2 + z2)3/2

ou z est la cote moyenne de la tranche par rapport au point considere sur l’axe z′z. Posant encorez = R cot α, ou α varie de 0 a π lorsque la tranche est envisagee de z = −∞ a z = +∞, lacontribution de la tranche consideree au champ total est

dBiz = ndz

µ0I

2R2

(R2 + z2)3/2= −nµ0I

2sin α dα (7.80)

d’ou



Biz =

nµ0I

2

∫ π

0

sin α dα = µ0nI

C’est-a-dire qu’on obtient le meme resultat que precedemment, mais de maniere plus rigoureuse.

Enfin, une troisieme facon s’attache, en evaluant directement le champ a grande distance de l’axe,a verifier que celui-ci est bien nul (figure 7.20).

z’

z

d z

θr

ρ

M

d Az

Figure 7.20

Une methode tres directe consiste a calculer le potentiel vecteur dans cette region. Il est clairque pour ρ À R (ρ etant la distance du point M considere a l’axe du solenoıde), chaque spirepeut etre assimilee a un dipole. Dans ces conditions, une tranche de ndz spires produit en M lepotentiel vecteur (voir 7.70)

dAφ =nµ0IπR2

4π

sin θ

r2dz

Avec z = ρ cot θ et faisant varier θ de 0 a π pour couvrir tout le solenoıde, on obtient

Aφ(M) =nµ0IπR2

4πρ

∫ π

0

sin θdθ

soit

Aφ(M) =µ0nIπR2

2πρ(7.81)

Appliquant alors la relation−→B =

−→rot

−→A en coordonnees cylindriques, on obtient

Bez =

1ρ

∂(ρAφ)∂ρ

= 0

ce qui confirme les resultats precedents. A titre de comparaison, la figure 7.21 montre la topo-graphie des lignes du champ magnetique cree par une bobine de longueur finie.

Montrons que l’expression trouvee ci-dessus pour le potentiel vecteur est en fait valable en toutpoint a l’exterieur du solenoıde. En effet, appliquons le theoreme de Stokes au potentiel vecteuren prenant un cercle C d’axe z′z et de rayon ρ > R, qui est l’une de ses lignes de champ.Compte-tenu du fait que Be

z = 0, on obtient



∫

C

−→A ·

−→d` = 2πρAe

φ(ρ) =∫ ∫

D

−→B ·

−→dS = πR2Bi

z = µ0nIπR2 (7.82)

D’ou le resultat plus haut. L’application du meme theoreme pour ρ ≤ R conduit cette fois a

2πρAiφ(ρ) = πρ2Bi

z = µ0nIπρ2 (7.83)

soit

Aiφ(ρ) =

µ0nIρ

2(7.84)

On observe que le potentiel vecteur est continu au passage a travers le solenoıde. Par contre, lechamp magnetique subit une discontinuite :

Biz −Be

z = µ0nI

Une telle discontinuite s’observe a chaque fois que l’on a affaire a des courants superficiels, ce quise demontre a l’aide du theoreme d’Ampere.

Figure 7.21

7.8.4 Discontinuites du champ magnetostatique

Considerons une distribution superficielle de courants sur une surface Σ. Au point M de Σ ou la

normale est−→N (M), la densite superficielle de courant est

−→Js (M). Envisageons alors un contour

ferme infinitesimal, de forme rectangulaire, dont deux cotes de longueur ` sont de part et d’autrede la surface et paralleles a celle-ci, les deux autres cotes de longueur ε traversant la surface,

parallelement a−→N (M). Nous supposerons que ε est lui-meme beaucoup plus petit que `. En

fait, nous ferons tendre ε vers zero tout en supposant ` infinitesimal, mais fini (figure 7.22).

N

n

t

Js

M

Figure 7.22



Notons−→n le vecteur normal a la surface dS du contour, oriente conformement a la regle du tire-

bouchon, selon le sens de parcours du petit contour. L’intensite du courant traversant dS = `εest

dI =−→Js · −→n ` (7.85)

tandis que la circulation du champ magnetique le long du contour en question est[−→B> −

−→B<

]· −→t ` + O(ε) (7.86)

ou, premierement,

−→t =

−→n ∧

−→N (7.87)

ou, deuxiemement, les symboles “>” et “<” veulent signifier, respectivement, “au-dessus” et“au-dessous” de la surface, et ou, troisiemement, O(ε) represente la circulation du champ sur lesdeux cotes de longueur ε, quantite a priori proportionnelle a ε. Nous admettrons que le champreste fini lorsqu’on s’approche de la surface et que, par consequent, ce bout de circulation tendvers zero avec ε. Passant a cette limite, on obtient

[−→B> (M)−

−→B< (M)

]· −→t = µ0

−→Js · −→n (7.88)

ou ici−→B> (M) et

−→B< (M) sont les limites du champ lorsqu’on se rapproche de M par dessus et

par dessous de la surface, respectivement.

Or, finalement,−→t est un vecteur tangent a la surface et la relation ci-dessus montre qu’une

composante tangentielle de−→B subit alors une discontinuite. Plus precisement, si

−→t est pris

parallele a la ligne de courant en M ,−→n est perpendiculaire a cette ligne, et

−→Js · −→n = 0. On

trouve alors que

♠ la composante du champ tangentiellement a la surface et parallelement a laligne de courant est continue.

Par contre, si−→t est perpendiculaire a la ligne de courant,

−→n est oriente dans le meme sens que

−→Js . On trouve dans ce cas que

♠ la composante du champ tangentiellement a la surface etperpendiculairement a la ligne de courant subit une discontinuite, egale a

B>⊥(M)−B<⊥(M) = µ0Js (7.89)

Or, le solenoıde est un cas particulier de distribution superficielle de courant, dont la densitesuperficielle est bien egale a nI 17 et Bz est bien la composante perpendiculaire a la ligne decourant, d’ou la discontinuite observee.

17A demontrer



Quant a la composante du champ magnetique perpendiculairement a la surface (composantenormale), nous montrerons plus loin qu’elle est toujours continue.

Pour completer cette etude, on peut, comme nous l’avons fait en Electrostatique, repertorier lessingularites les plus classiques du champ magnetique en procedant a une analyse dimensionnelle.On s’apercoit alors que

♣ pour des circuits filiformes, la variation standard du champ est du type

B ∼ I

L(7.90)

♣ pour des courants superficiels, une variation standard du champ est du type

B ∼ constante (7.91)

et le champ peut dans ce cas subir des discontinuites.

Ce n’est que pour les distributions volumiques, et sous la condition que le vecteur densite volu-mique de courant (macroscopique) n’ait pas lui-meme de singularite, que le champ est partoutcontinu. Selon la region, on peut alors trouver pour le champ des variations du type

B ∼ Jv L (7.92)

7.8.5 Nappe epaisse et nappe mince de courant

Cet exemple permet d’illustrer les circonstances suivant lesquelles une distribution volumique estmodelisable par une distribution superficielle.

e/2

e/2

J

x

zB

B

A

y

Figure 7.23

Considerons un conducteur ayant la forme d’un parallelepipede rectangle de tres grande longueurL, de largeur `, d’epaisseur e et transportant un courant d’intensite I, dans le sens de sa longueur.Supposons que nous voulions etudier le champ magnetique cree par ce conducteur dans uneregion suffisamment eloignee des bords et situee soit a l’interieur du conducteur, soit a proximiteimmediate de sa surface. Dans ces conditions, il est legitime, en premiere approximation, de fairecomme si les dimensions transversale et longitudinale etaient infinies. Par contre, pour le moment,l’epaisseur e est supposee non nulle. Nous supposerons aussi que dans la region du conducteur qui

nous interesse, le vecteur densite volumique de courant−→J est uniforme. Les axes de reference

sont choisis comme indique dans la figure 7.23, de sorte que

−→J = −J

−→ey



Le conducteur est ainsi modelise comme une nappe epaisse de courants.

Comme les lignes du champ magnetique doivent enlacer les lignes de courant, on pressent, iciencore, qu’elles sont constituees chacune de deux droites perpendiculaires a l’axe longitudinaldu conducteur, de part et d’autre de ce dernier (figure 7.23). On peut en faire la demonstrationcomme suit.

Comme pour tout point M , le plan contenant ce point et parallele au plan yOz est un P+, lechamp doit lui etre perpendiculaire et est donc oriente selon l’axe x′x, comme attendu. L’equation

div−→B =

∂Bx

∂x= 0 (7.93)

montre que Bx ne depend pas de x, ce qui, dans ce modele, est en accord avec l’invariance partranslation parallelement a l’axe x′x. Comme le vecteur densite de courant est, selon la regionconsideree, soit nul soit oriente selon y′y, on a

[−→rot

−→B

]

z

= −∂Bx

∂y= 0 (7.94)

et Bx ne depend pas non plus de y qui, du fait de l’invariance par translation parallelement a y′yne devait pas etre non plus une variable sensible.

Le plan mediateur xOy etant aussi un P+, on a la relation

Bx(−z) = −Bx(z) (7.95)

Comme on a affaire a une distribution volumique de courants, le champ est continu en tout pointet la relation precedente conduit ainsi a la conclusion que

Bx(0) = 0 (7.96)

Pour determiner le champ, utilisons la relation locale

[−→rot

−→B

]

y

=∂Bx

∂z= −µ0 J , si − e/2 < z < e/2

[−→rot

−→B

]

y

=∂Bx

∂z= 0 , si |z| > e/2 (7.97)

On trouve ainsi qu’a l’exterieur du conducteur le champ est uniforme. L’integration de la premiereequation ci-dessus pour 0 < z < e/2, conduit a

Bx(z) = −µ0 J z + constante

Mais puisque le champ doit etre nul pour z = 0, la constante d’integration est nulle aussi. D’ou

Bx(z) = −µ0 J z , pour 0 ≤ z ≤ e/2 (7.98)

La valeur du champ pour z ≥ e/2 s’obtient simplement en imposant la continuite du champ pourz = e/2. Puisqu’il est constant dans cette region, la valeur du champ y est donc egale a

Bx = −µ0Je

2, pour z ≥ e/2 (7.99)

Les valeurs du champ pour z ≤ 0 s’obtiennent ensuite par symetrie.



On note que le produit Js = Je represente ce que pourrait etre une densite superficielle decourants si l’epaisseur du conducteur pouvait etre consideree comme tres petite. Si c’est le cas, leconducteur est assimilable a une mince nappe de courants et la region intermediaire a l’interieurdu conducteur ne presente plus d’interet. On observe alors une apparente discontinuite du champ,puisque, les valeurs du champ a l’exterieur du conducteur etant seules prises en compte, on ecrira

Bx = −µ0Js

2, pour z > 0

Bx = +µ0Js

2, pour z < 0 (7.100)

Lorsqu’on passe du dessous (z < 0) au dessus (z > 0) du conducteur, la discontinuite du champest, comme prevu, egale a

∆Bx = µ0 Js (7.101)



7.9 Complement I : moment magnetique d’un circuit

7.9.1 Expression generale

Etablissons en premier lieu la formule utile suivante. Soit C un contour ferme, Σ une surfacequelconque ayant ce contour pour bord et O un point fixe. On a

12

∮

C

−→OM ∧

−→d` =

∫ ∫

Σ

−→dΣ (P ) (7.102)

M etant le point courant sur le contour et P le point courant sur la surface. Dans cette formule,la normale en P a la surface est orientee conformement a la regle du tire-bouchon, une fois choisile sens de parcours du contour. Introduisons le champ de vecteurs

−→W =

12

−→a ∧

−→OM

ou−→a est un vecteur quelconque constant et non nul. Ses composantes cartesiennes sont

Wx =12

(ayz − azy) , Wy =12

(azx− axz) , Wz =12

(axy − ayx)

En utilisant les coordonnees cartesiennes, il est alors facile de montrer que

−→rot

−→W =

−→a

En appliquant le theoreme de Stokes, on obtient la relation∮

C

−→W ·

−→d` =

∫ ∫

Σ

−→rot

−→W ·

−→dΣ (P )

soit

−→a · 1

2

∮

C

−→OM ∧

−→d` =

−→a ·

∫ ∫

Σ

−→dΣ (P )

Puisque cette relation doit etre vraie pour tout vecteur−→a , on en deduit la formule (7.102).

Supposons que le contour C corresponde a un circuit filiforme parcouru par un courant d’intensiteI. En toute generalite, le moment magnetique de ce circuit est defini par

−→M = I

∫ ∫

Σ

−→dΣ (P )

ou Σ est en fait une surface quelconque s’appuyant sur C. On a donc, de facon equivalente,

−→M =

I

2

∮

C

−→OM ∧

−→d` (7.103)

formule qui a l’avantage de ne faire intervenir que le contour du circuit, car elle elimine l’ambiguıtedu choix de la surface Σ, surtout lorsque le circuit n’est pas plan.

Si le circuit n’est pas filiforme, on peut le decomposer en tubes elementaires de courant, trans-portant chacun l’intensite dI. A ce tube de courant correspondra une contribution au momentmagnetique total egale a



−→dM =

dI

2

∮

tube

−→OM ∧

−→d`

ou l’integration doit etre effectuee le long du contour defini par le tube de courant. Par definitionde ce tube, l’intensite dI est conservee tout le long de son contour, ce qui permet de recrire

−→dM =

12

∮

tube

dI(M)−→OM ∧

−→d`

Or, au point M du tube, on a

dI(M) =−→J (M) ·

−→ds (M)

ou−→J (M) est le vecteur densite volumique de courant en ce point et

−→ds (M) le vecteur surface

infinitesimal definissant la section droite du tube en M . Comme−→J (M),

−→ds (M) et

−→d` sont en

fait paralleles, on peut ecrire

−→dM =

12

∮

tube

−→OM ∧

−→J (M)d`ds

Le moment magnetique total s’obtient ensuite en integrant l’expression ci-dessus sur tous lestubes de courant du circuit. En notant que dτ = d`ds represente l’element de volume du circuit,il vient

−→M =

12

∫ ∫ ∫

V

−→OM ∧

−→J (M)dτ (7.104)

ou l’integration porte sur l’ensemble du volume V du circuit.

De facon evidente, l’expression du moment magnetique pour une distribution superficielle decourants est

−→M =

12

∫ ∫

S

−→OM ∧

−→Js (M)dS (7.105)

ou−→Js (M) est le vecteur densite superficielle de courant au point M et ou l’integration porte

sur toute la surface sur laquelle sont distribues les courants (a supposer qu’elle soit finie).

7.9.2 Rapport gyromagnetique

Il y a un rapport etroit entre le moment magnetique d’un circuit et le moment cinetique de l’en-semble des porteurs de charge, consecutif a leur mouvement dans le circuit. En effet, consideronsles porteurs, supposes identiques, se trouvant a un instant donne dans un volume dτ(M) autourd’un point M . La quantite de mouvement totale qui leur est due est

N∑

k=1

mk−→vk = m N

1N

N∑

k=1

−→vk

ou N est leur nombre, m leur masse. Bien qu’a notre echelle macroscopique le volume dτ(M) soitconsidere comme infinitesimal, il contient, dans les circonstances qui nous interessent, un nombreenorme de porteurs. Aussi, le vecteur



−→u (M) =

1N

N∑

k=1

−→vk

represente-t-il la vitesse moyenne d’un porteur de charge en M . C’est cette meme vitesse moyenne,appelee aussi ”vitesse de derive”, qui sert a definir le vecteur densite volumique de courant :

−→J (M) = n(M) q

−→u (M)

ou q est la charge des porteurs et n(M) leur densite numerique en M . La quantite de mouvementdes porteurs dans dτ(M) s’ecrit donc

−→dp (M) =

N∑

k=1

mk−→vk = m N

−→u (M) = m n(M) dτ(M)

−→u (M) =

m

q

−→J (M)

Au mouvement des charges est associe une autre grandeur cinetique : le moment cinetique. Onsait que, dans un referentiel donne et par rapport a un point fixe O dans ce referentiel, le momentcinetique d’une particule de masse m animee d’une vitesse instantanee

−→v a pour expression

−→L part =

−→OM ∧ m

−→v

M etant la position de la particule a la date consideree. Assimilant l’ensemble des porteurs decharges dans le volume dτ a une particule unique de masse m n(M) dτ(M), il lui sera attribuele moment cinetique

−→dL (M) = m n(M) dτ(M)

−→OM ∧ −→

u (M)

d’ou, pour l’ensemble du circuit de volume V, un moment cinetique egal a

−→L = m

∫ ∫ ∫

Vn(M) dτ(M)

−→OM ∧ −→

u (M) =m

q

∫ ∫ ∫

V

−→OM ∧

−→J (M) dτ(M)

Comparant cette expression a celle du moment magnetique du circuit, on obtient l’importanterelation

−→M = γ

−→L (7.106)

ou le parametre

γ =q

2m(7.107)

porte le nom de rapport gyromagnetique. Notons que l’evaluation precedente du moment cinetiquedu aux mouvements des charges n’est pas complet, dans la mesure ou seul le mouvement globalde chaque element dτ a ete pris en compte. En effet, le moment cinetique total des charges al’interieur d’un tel element dτ au voisinage d’un point M s’ecrit

−→dLtot (M) =

N∑

k=1

−→OMk ∧ mk

−→vk =

−→OM ∧

N∑

k=1

mk−→vk +

N∑

k=1

−→MMk ∧ mk

−→vk



Le premier terme est celui considere plus haut et est attache au mouvement global de l’elementdτ . Dans le second, ecrivons la vitesse de chaque charge comme somme de la vitesse de derive−→u (M) de l’element dτ et d’une vitesse relative

−→wk de cette charge a l’interieur de cet element.

On peut toujours considerer que le point M represente le centre de gravite de dτ , de sorte que

N∑

k=1

mk

−→MMk =

−→0

Il vient alors

−→dLrel =

N∑

k=1

−→MMk ∧ mk

−→vk =

N∑

k=1

−→MMk ∧ mk

−→wk

ou l’on voit que cette contribution au moment cinetique total de l’element dτ est liee a unmouvement relatif interne de ses charges, et pour laquelle il faut envisager la possibilite qu’ellesoit non nulle, meme en l’absence de mouvement de derive, du fait des mouvements microscopiquesincessants des charges. On peut alors etre tente d’appliquer au monde microscopique la relationentre moment cinetique et moment magnetique observee a l’echelle macroscopique, en assimilantles mouvements internes des charges a des courants microscopiques. On rejoint ainsi l’hypotheseavancee par A. M. Ampere en 1827 pour expliquer le magnetisme a l’echelle microscopique,en admettant l’existence de boucles de courants microscopiques susceptibles de produire, par deseffets conjoints, une aimantation observable a l’echelle macroscopique. Nous admettrons donc quece moment cinetique “interne” est la source d’un moment magnetique dont la densite volumique

−→dM

dτ(M) =

−→µ (M)

est appelee aimantation. Definissant une “densite de moment cinetique interne” par

−→dLrel

dτ(M) =

−→` (M)

nous ecrirons une relation de la forme

−→µ (M) = γ′

−→` (M)

ou γ′ est un rapport gyromagnetique correspondant au moment cinetique interne. La theorieclassique donnerait pour ce rapport la valeur

q

2m.

L’existence d’un tel lien entre moment magnetique et moment cinetique a ete confirmee qualita-tivement par les experiences de Barnett (1914) et celles de Einstein et de Haas (1915), qui ontnotamment permis de sonder les sources du magnetisme a l’echelle microscopique18.

7.9.3 Moment magnetique d’une sphere uniformement chargee en ro-tation

Considerons une sphere Σ de centre O, de rayon R, en rotation autour de l’un de ses axes z′Oz ala vitesse angulaire constante ω et portant des charges distribuees uniformement avec la densitesuperficielle constante σ. La vitesse d’un point P de la sphere est donnee par

−→v (P ) =

−→ω ∧

−→HP

18Einstein et de Haas ont montre qu’on peut mettre un corps en rotation en modifiant son aimantation. L’effetinverse est celui de Barnett : un corps mis en rotation s’aimante.



ou H est le projete orthogonal de P sur l’axe de rotation et ou−→ω = ω

−→ez . Le vecteur densite

superficielle de courant est donc

−→Js (P ) = σ

−→ω ∧

−→HP

D’ou le moment magnetique

−→M =

σ

2

∫ ∫

Σ

−→OP ∧

[−→ω ∧

−→HP

]dΣ =

σ

2

∫ ∫

Σ

[(−→OP ·

−→HP )

−→ω −(

−→OP · −→ω )

−→HP

]dΣ

Utilisons les coordonnees spheriques R, θ, φ de P . On a

−→OP ·

−→HP= HP 2 = R2 sin2 θ ,

−→OP · −→ω = ωR cos θ , dΣ = R2 sin θdθdφ

−→HP = R

[cos φ

−→ex +sin φ

−→ey

]

D’ou

∫ 2π

0

dφ−→HP =

−→0

et

−→M =

−→ω

σR4

2

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ sin3 θ

Comme

∫ 2π

0

dφ = 2π ,

∫ π

0

dθ sin3 θ =∫ 1

−1

du(1− u2) =43

il vient

−→M =

−→ω

4πR4σ

3

soit, en notant Q = 4πR2σ la charge totale de la sphere

−→M =

−→ω

QR2

3

Le calcul du moment cinetique total−→L de la sphere par rapport a O est tout a fait similaire, le

seul remplacement a faire etant

Q → 2M , donc−→L =

−→ω

23

MR2

M etant la masse totale de la sphere. On retrouve donc ici un rapport gyromagnetique egal aQ

2M.



7.9.4 Moment magnetique de l’atome d’hydrogene

Nous utiliserons ici le modele classique suivant. L’atome d’hydrogene comporte un proton, supposeimmobile a l’origine O, autour duquel un electron gravite sur une trajectoire circulaire de centreO, de rayon a, situee dans le plan xOy et ce, d’un mouvement de rotation uniforme de vitesse

angulaire ω. Le moment cinetique−→` de l’electron par rapport a O se calcule aisement comme

suit

−→` = me

−→OM ∧ −→

v = mea−→er ∧ ωa

−→eφ = mea

2ω−→ez

me = 9, 1093826 10−31 kg etant la masse de l’electron.

Par contre, le calcul du moment magnetique est plus subtil. Considerant un point fixe sur la

trajectoire de l’electron, a chaque periode T =2π

ωil passe en ce point une charge egale a celle de

l’electron, soit −e = −1, 60217653 10−19 C. Ceci doit etre considere comme equivalent au passaged’un courant d’intensite

i =−e

T= −e

ω

2π

Le mouvement de l’electron est donc de ce point de vue similaire a celui d’une spire circulaire decourant dont le moment magnetique est

−→M = iπa2 −→ez = − e

ω

2a2 −→ez

On a donc ici encore

−→M = − e

2me

−→`

Pour des raisons evidentes, le magnetisme induit par ce mouvement est qualifie de magnetisme or-bital. La mecanique quantique, seule theorie valable pour decrire les phenomenes a l’echelle micro-scopique, prevoit aussi cette relation entre moment cinetique et moment magnetique avec le memerapport gyromagnetique que celui de la theorie classique, pour ce qui concerne le magnetismeorbital. Cependant, ce que prevoit de plus la mecanique quantique, c’est l’existence, pour quasi-ment toutes les particules, d’un moment cinetique intrinseque, appele spin, inexplicable en theorieclassique. Son moment de spin, note

−→σ , confere ainsi a l’electron un moment magnetique

−→µ

egal a

−→µ = − e

me

−→σ (7.108)

et pour lequel, donc, le rapport gyromagnetique est le double de celui de la theorie classique. Cetype de magnetisme est qualifie de magnetisme de spin19.

En physique des particules, deux grandeurs jouent le role d’unites naturelles de moments magne-tiques. La premiere, concernant notamment le magnetisme atomique, est le magneton de Bohr,defini par

µB =eh

2me= 9, 274009 10−24 Am2

19A noter que selon le theoreme de Van Leeuven-Bohr etabli en 1919, un systeme de particules chargees enequilibre thermique et se comportant conformement aux lois de la physique classique ne peut avoir de proprietesmagnetiques macroscopiques. Autrement dit, il ne devrait pas exister de milieux aimantes ! Ce resultat surprenantconstitue un echec total des theories classiques dans leur capacite a decrire le magnetisme.



ou h = 1, 05457168 10−34 J s est la constante de Planck reduite. Experimentalement, on trouve quele moment magnetique de l’electron est en fait egal a (1, 001159652187 ± 0, 000000000004) µB

20.La seconde, concernant plutot le magnetisme nucleaire, est le magneton nucleaire

µN =eh

2mp= µB

me

mp= 5, 050783 10−27 Am2

ou mp = 1, 67262171 10−27 kg (≈ 1836 me) est la masse du proton. Experimentalement, ontrouve que le proton dispose d’un moment magnetique egal a (2, 792847351 ± 0, 000000028) µN

et que le neutron, bien qu’etant electriquement neutre, possede lui aussi un moment magnetiqueegal a (−1, 9130427 ± 0, 0000005) µN

21 .

7.10 Complement II : potentiel scalaire associe au champmagnetique

En dehors des courants, le champ magnetique est irrotationnel. Or, on sait qu’un champ devecteurs dont le rotationnel est nul peut s’exprimer comme le gradient d’une fonction. Il est donctentant de rechercher s’il est possible de trouver une fonction scalaire V dont deriverait le champmagnetique, c’est-a-dire, telle que l’on ait

−→B (M) =

−→gradM V(M) (7.109)

en tout point en dehors des courants. Envisageons tout d’abord le cas d’un circuit filiforme, pourlequel le champ magnetique en tout point en dehors de ce circuit est donne par la formule (7.12).Soit

−→u un vecteur unitaire constant. On a

−→B (M) · −→u =

µ0I

4π

∮

C

−→d` ·

−→u ∧

−→MP

MP 3

En utilisant le theoreme de Stokes, transformons l’integrale de contour apparaissant dans laformule ci-dessus en integrale de surface :

∮

C

−→d` ·

−→u ∧

−→MP

MP 3=

∫ ∫

Σ

−→dΣ · −→rotP

−→u ∧

−→MP

MP 3

ou Σ est une surface quelconque s’appuyant sur le contour C et orientee selon la regle du tire-bouchon de Maxwell, en se referant, pour cette orientation, au sens du courant circulant dans cecircuit. On a

−→rotP

−→u ∧

−→MP

MP 3=

1MP 3

−→rotP

(−→u ∧

−→MP

)+

( −→gradP

1MP 3

)∧

(−→u ∧

−→MP

)

Comme22

−→rotP

(−→u ∧

−→MP

)= 2

−→u , et

−→gradP

1MP 3

= −3

−→MP

MP 5

il vient finalement, tous calculs effectues,

20Le spin de l’electron vaut h/2.21Le spin du proton et celui du neutron sont aussi egaux a h/2.22A verifier.



−→rotP

−→u ∧

−→MP

MP 3= −

−→u

MP 3+ 3

−→MP (

−→u ·

−→MP )

MP 5(7.110)

Envisageons maintenant l’angle solide sous lequel depuis le point d’observation M on voit lasurface orientee Σ :

ΩΣ(M) =∫ ∫

Σ

−→dΣ (P ) ·

−→MP

MP 3(7.111)

C’est une fonction de la position de M dont le gradient est

−→gradM ΩΣ(M) =

∫ ∫

Σ

−→gradM

−→

dΣ (P ) ·−→MP

MP 3

Or, par exemple,

∂

∂xM

−→

dΣ (P ) ·−→MP

MP 3

= − dΣx

MP 3− 3 (xP − xM )

−→dΣ (P )·

−→MP

MP 5

et des relations analogues pour les autres coordonnees. On a donc

−→gradM

−→

dΣ (P ) ·−→MP

MP 3

= −

−→dΣ

MP 3+ 3

−→MP (

−→dΣ ·

−→MP )

MP 5

et

−→u ·

−→gradM

−→

dΣ (P ) ·−→MP

MP 3

=

−→dΣ ·

−

−→u

MP 3+ 3

−→MP (

−→u ·

−→MP )

MP 5

(7.112)

Comparant (7.110) et (7.112), on conclut que

−→u ·

−→gradM ΩΣ(M) =

∫ ∫

Σ

−→dΣ · −→rotP

−→u ∧

−→MP

MP 3=

∮

C

−→d` ·

−→u ∧

−→MP

MP 3(7.113)

On trouve ainsi qu’un potentiel scalaire possible pour le champ magnetique d’un circuit filiformeC, pour tout point M en dehors de ce circuit, est donne par

V(M) =µ0I

4πΩC(M) (7.114)

ou ΩC(M) est l’angle solide sous lequel le circuit est vu depuis M .

Cette relation etonnante entre le champ magnetique et un angle solide permet notamment decomprendre pourquoi et comment les lignes du champ magnetique enlacent le courant.

Pour simplifier le propos, considerons le cas d’un circuit plan circulaire, de centre O, de rayon aet d’axe z′z. Un courant d’intensite I y circule dans le sens pour lequel l’axe z′z correspond biena la normale orientee du circuit. Le plan du disque est le plan xOy (voir figure 7.24-a).

L’angle solide sous lequel on voit le circuit est l’angle solide sous lequel est vu le disque D qu’ildelimite. Il est clair que pour un point M de cote z positive, l’angle solide correspondant est

negatif, car−→ez et

−→MP pointent vers des hemispheres opposes (figure 7.24-a) ; si z est negatif,

l’angle solide est positif (figure 7.24-b). Il est facile de voir que, selon que le point M approche



l’interieur du disque depuis la region z > 0 ou depuis la region z < 0, l’angle solide tend soit vers−2π, soit vers +2π. Il devient nul si le point M approche le plan xOy, a l’exterieur du disque,independamment du signe de z (figure 7.24-c) 23.

D

I

O

C

M

Ω < 0

x y

z

M

z

x y

(c)

(a)

Ω > 0(b)

M Ω = 0

x y

Figure 7.24

Le gradient d’une fonction etant toujours oriente vers les zones ou celle-ci croıt, on concoit deslors que les lignes du champ magnetique doivent partir des points de plus petit angle solide,c’est-a-dire des points a l’interieur du disque ou il vaut −2π, tourner autour du circuit en passantpar des points a l’exterieur du disque et dans son plan, points pour lesquels l’angle solide estnul, et revenir ensuite vers l’interieur du disque mais cette fois dans le sens de sa normale z′z.En dehors du circuit, le champ magnetique est une fonction continue et ses lignes de champ nepresentent aucune singularite. C’est pourquoi le point d’arrivee de la ligne de champ doit etreidentique au point de depart. On explique ainsi pourquoi les lignes du champ magnetique sontfermees et pourquoi elles enlacent le courant. Le sens de leur rotation autour du circuit se faitselon la regle du tire-bouchon de Maxwell, en se referant au sens du courant, de la face nord versla face sud du circuit (figure 7.25).

I

z

z’ Ω = 0

B

Ω = − 2 π

Ω = + 2 π

face sud

face nord

Figure 7.25

La relation (7.109) doit cependant etre manipulee avec prudence. En effet, nous venons juste deconstater que, une ligne de champ du champ magnetique etant d’une part orientee vers les anglessolides croissants et d’autre part fermee, il existe au moins un point de cette ligne correspondanta deux valeurs distinctes de cet angle solide. Dans le cas qui vient d’etre etudie, selon la facondont on approche un point donne a l’interieur du disque D, celui-ci correspond a un angle solide

23Pour un point M sur l’axe z′z, l’angle solide a pour expression −2πzM

1

|zM | −1√

a2 + z2M

. Lorsque

|zM | → 0, il tend bien vers −2π ou +2π selon que l’on a zM > 0 ou zM < 0.



−2π ou +2π. Autrement dit, l’angle solide ainsi defini n’est pas une fonction continue de M ,bien que son gradient, lie a la grandeur physique champ magnetique, soit une fonction vectoriellecontinue (au moins en dehors des courants). La non-continuite du potentiel V est aussi reveleepar le theoreme d’Ampere. En effet, s’il etait continu, la circulation du champ magnetique le longd’un contour ferme devrait etre toujours egale a zero. On sait que ce n’est pas le cas si ce contourenlace un courant.

Cette non-continuite du potentiel magnetique est une difficulte tout a fait similaire a celle concer-nant la definition de l’angle azimutal ϕ : un point donne de l’axe x′x peut correspondre aux deuxvaleurs ϕ = 0 ou ϕ = 2π. Pour cette raison, la valeur 2π est couramment exclue de l’intervallede variation de ϕ.

A titre d’exercice, nous laissons au lecteur le soin de montrer que l’angle solide sous lequel depuisun point M on voit le demi-plan xOz (x > 0) oriente suivant

−→ey est donne par

Ω = 2(ϕ− π)

En imaginant que l’axe z′z represente un fil conducteur infini transportant un courant d’intensiteI dans le sens z′z, le champ magnetique est alors donne par (7.26). D’un autre cote, on a

−→grad V =

µ0I

4π

−→grad Ω =

µ0I

2πρ

−→eϕ ≡

−→B (M)

et la relation (7.109) est bien verifiee.

Notons qu’il existe un artifice permettant de rendre continu l’angle azimutal, en imaginant unempilement infini de plans xOy, chacun correspondant a une determination differente de cetangle. Ainsi, pour le plan xOy usuel, ϕ varie de 0 a 2π compris. Mais a partir de cette dernierevaleur, au lieu de traverser l’axe des abcisses, on s’oblige a passer dans un autre plan xOy situeen dessous du precedent et pour lequel l’angle variera cette fois entre 2π et 4π, et ainsi de suite.De cette maniere, on construit une fonction continue dont la determination dans le premier planxOy est l’angle azimutal usuel. Ce type de construction est classique dans la theorie des fonctionsd’une variable complexe, et porte le nom de surface de Riemann. Un exemple24 de surface deRiemann est represente a la figure 7.26.

Figure 7.26

Pour l’angle solide, cela consisterait a l’augmenter de 4π a chaque fois que l’on tourne autour ducircuit en traversant la surface du disque D, ce qui, d’ailleurs, n’est pas en contradiction avec letheoreme d’Ampere25.

La generalisation du potentiel magnetique au cas de circuits non filiformes est immediate : pourune distribution volumique de courants par exemple, il suffit d’appliquer a chaque tube de courant

24Il correspond a la fonction f(z) = z1/4 de la variable complexe z.25La circulation du champ magnetique le long d’un contour ferme entourant p fois le circuit dans le meme sens

est p µ0 I.



elementaire le resultat etabli pour un circuit filiforme, la grandeur Ω qui generaliserait un anglesolide total etant alors definie par

Ω =1I

∫

tubes

dI Ωtube (7.115)

ou I est l’intensite totale du courant dans le circuit, dI celle du courant circulant dans un tubeelementaire modelise comme un circuit filiforme, Ωtube l’angle solide sous lequel depuis le pointd’observation M on voit la surface delimitee par ce tube.

Il est clair que pour tout point exterieur au circuit on aura encore la relation

−→B (M) =

−→grad

µ0I

4πΩ(M)

mais il est vain de vouloir trouver une fonction potentiel magnetique pour un point a l’interieur

du circuit, puisqu’alors−→rot

−→B = µ0

−→J 6=−→0 .

Notons enfin que puisque le champ magnetique est de nature axiale, le potentiel magnetique, s’ilexiste, est de nature pseudo-scalaire26.

7.11 Complement III : champ magnetique sur l’axe d’unsolenoıde de longueur finie

Reprenons le calcul du champ magnetique cree par un solenoıde en un point de son axe, aborde auparagraphe 7.8.3, et considerons plus precisement la formule (7.80) que nous modifierons ainsi :

dBz =µ0nI

2R2dzC

(R2 + (z − zC)2)3/2(7.116)

ou z et zC sont les cotes respectives du point d’observation M et du centre C de la tranchede solenoıde comportant ndzC spires, ces cotes etant comptees par rapport au centre O de lapremiere spire, pris comme origine sur l’axe z′z du solenoıde. La premiere spire se trouve donca la cote zC = 0, et la derniere a la cote zC = L ou L est la longueur du solenoıde, supposee icifinie.

dzc

zc

z’ z

L

M(z)

Figure 7.27

Le champ total s’obtient par une integration de (7.116) pour zC compris entre ces deux limites.Comme

d

(zC − z√

R2 + (zC − z)2

)=

R2dzC

(R2 + (z − zC)2)3/2

il vient26Ses proprietes de transformation par symetrie sont analogues a celles d’un produit mixte de vecteurs polaires.



Bz =µ0nI

2

(L− z√

R2 + (L− z)2+

z√R2 + z2

)(7.117)

Distinguons les trois cas : z ≤ 0 (cas 1) ; 0 ≤ z ≤ L (cas 2) ; z ≥ L (cas 3).

• Cas 1 (figure 7.28)

Nous poserons ici

cos θ0 =|z|√

R2 + z2, cos θL =

L + |z|√R2 + (L + |z|)2 θL

Les angles θ0 et θL sont ceux sous lesquels on voit depuis le point M la premiere et la dernierespire, respectivement (de facon evidente, on a θ0 > θL et cos θL > cos θ0). Le champ magnetiqueprend alors la forme

Bz =µ0nI

2(cos θL − cos θ0) (7.118)

θ0

θL

M1

z’ z

Figure 7.28


Posons

cos θ0 =z√

R2 + z2, cos θL =

L− z√R2 + (L− z)2

θL

ou les angles θ0 et θL ont le meme signification que dans le cas precedent. On a maintenant

Bz =µ0nI

2(cos θL + cos θ0) (7.119)

Si la longueur L peut etre consideree comme tres grande, alors pour un point tres a l’interieurdu solenoıde, θ0 et θL sont tres petits, donc cos θ0 et cos θL sont tres voisins de 1 et l’on retrouvealors l’expression Bz ' µ0nI du champ.

M20θ

θLz’ z

Figure 7.29


On posera ici

cos θ0 =z√

R2 + z2, cos θL =

z − L√R2 + (z − L)2

θL



d’ou

Bz =µ0nI

2(cos θ0 − cos θL) (7.120)

avec cette fois θ0 < θL et cos θ0 > cos θL.

z’ z

Lθ3M

0θ

Figure 7.30

Les formules (7.118), (7.119) et (7.120) peuvent etre retrouvees de la facon suivante. On sait quele champ bz cree par une spire en un point de son axe peut etre exprime au moyen de l’anglesolide Ω sous lequel depuis ce point on voit ladite spire (formules (7.109) et (7.114)), soit

bz =µ0I

4π

∂Ω∂z

(7.121)

d’ou

Bz = nµ0I

4π

∫ L

0

dzC∂Ω∂z

Or, Ω ne depend de zC que par l’intermediaire de la difference zC − z. On a donc

∂Ω∂z

= − ∂Ω∂zC

et par consequent

Bz = nµ0I

4π(Ω0 − ΩL) (7.122)

Ω0 et ΩL etant les angles solides sous lesquels depuis M on voit la premiere et la derniere spire,respectivement.

• Cas 1

Lorsque z est negatif, on a

Ω0 = 2π(1− cos θ0) , ΩL = 2π(1− cos θL) , Ω0 − ΩL = 2π(cos θL − cos θ0)

et l’on retrouve bien (7.118).

• Cas 2

Ici, il faut prendre garde au fait que la surface de la premiere spire a ete traversee dans le sensz′z et que l’on passe alors a une autre determination de l’angle solide Ω0, qui revient a ajouter4π a l’expression −2π(1− cos θ0) correspondant a sa premiere determination pour z > 0, soit27

Ω0 = 4π − 2π(1− cos θ0) = 2π(1 + cos θ0) avec cos θ0 =z√

R2 + z2

d’ou27Cela revient en fait a prendre pour angle sous lequel on voit la spire le supplementaire π − θ0.



Ω0 − ΩL = 2π(cos θ0 + cos θL)

et l’on retrouve ainsi la formule (7.119).

• Cas 3

Dans ce cas, la surface de la derniere spire ayant aussi ete traversee, il faut prendre

ΩL = 4π − 2π(1− cos θL) = 2π(1 + cos θL)

d’ou

Ω0 − ΩL = 2π(1 + cos θ0 − 1− cos θL) = 2π(cos θ0 − cos θL)

ce qui conduit a la formule (7.120).

Il est interessant de suivre l’evolution du champ en fonction de la position du point d’observation,a mesure que celui-ce se rapproche d’un bord du solenoıde, puis s’en eloigne vers l’interieur.

Supposons encore une fois que L puisse etre consideree comme tres grande, de sorte que le champmagnetique a proximite de la premiere spire prend alors la forme approchee (7.117 avec L À |z|)

B(z) ' B0

2(1 +

z√R2 + z2

) , avec B0 = µ0 n I (7.123)

Le tableau suivant donne les valeurs de B/B0 pour quelques valeurs de u = z/R.

u B/B0 u B/B0

- 0,5 0,28 0 0,5- 1 0,15 0,5 0,72

- 1,5 0,08 1 0,85- 2 0,05 2 0,95- 5 0,01 5 0,99

Pour z < 0, le champ decroit tres vite vers zero lorsque |z| croıt, comme R2/z2 lorsque |z| À R :le rapport B/B0 n’est plus que de 5% pour |z| = 2R, et devient inferieur a 1% pour |z| ≥ 5R. Enz = 0, le champ vaut B0/2. Pour z > 0, le champ passe tres vite a la valeur B0 avec z croissant :il en differe de seulement 5% pour z = 2R et s’en ecarte de moins de 1% pour z ≥ 5R.

7.12 Complement IV : Modele ameliore du solenoıde

Le lecteur perspicace n’aura pas manque de relever l’incoherence que recele le modele classiquedu solenoıde qui le represente comme un emplilement de spires circulaires identiques coaxiales.En effet, ce solenoıde fait partie d’un circuit ou circule un courant continu d’intensite I. Letheoreme d’Ampere prevoit donc que la circulation du champ magnetique le long d’un contourferme entourant le solenoıde soit egal a µ0I, tandis que ledit modele en donne une valeur nulle,puisqu’il conduit a une valeur nulle du champ a l’exterieur du solenoıde.

Le modele du paragraphe 7.8.3 revient a considerer le solenoıde comme une nappe de courant surun cylindre avec une densite superficielle de courant orthoradiale

−→J1 = n I

−→eφ



Il est clair que cette densite ne peut reproduire une avancee d’un courant dans la direction z′z,d’ou l’incoherence precitee. Pour rendre compte de cette avancee du courant, l’existence d’unecomposante suivant z′z de la densite superficielle de courant s’avere indispensable.

On peut des lors esperer ameliorer le modele en prenant pour densite superficielle :

−→Js = J1

−→eφ +J2

−→ez , avec J1 = nI (7.124)

J2 etant une constante que nous determinerons ci-apres. La densite (7.124) est en fait censeemodeliser un enroulement helicoıdal tres serre d’un fil fin sur le cylindre d’axe z′z et de rayon R.

Pour obtenir le champ magnetique du a la nouvelle distribution de courants decrite par (7.124), ilsuffit de proceder par superposition. En effet, les equations de la magnetostatique etant lineaires,

le champ cherche peut etre envisage comme la somme vectorielle du champ−→B1 associe a la densite

−→J1 = J1

−→eφ , deja connu, et du champ

−→B2 associe a la densite

−→J2 = J2

−→ez et que nous allons

maintenant calculer (figure 7.31).

2Jz’

z

M

ρ

Figure 7.31

Manifestement, la distribution de courants decrite par−→J2 possede les memes symetries que celles

d’un fil infini sur l’axe z′z. Le champ correspondant est donc orthoradial :−→B2= B2

−→eφ , sa

composante B2 est independante de l’angle azimutal du fait de l’invariance par rotation autourde z′z, et elle ne depend pas non plus de la cote z de M , du fait de l’invariance par translationparallelement a z′z, si la longueur de l’enroulement dans cette direction peut etre consideree

comme infinie. On a donc B2 = B2(ρ). Les lignes de champ de−→B2 sont des cercles dont les

centres sont sur z′z, sur chacune desquelles B2 garde une valeur constante. Appliquant le theoremed’Ampere a la ligne de champ passant par M , on trouve

2πρB2(ρ) = 0 si ρ < R , = µ0 2πRJ2 si ρ > R (7.125)

soit

B2 = 0 pour ρ < R , B2 = µ0 J2R

ρpour ρ > R (7.126)

Le champ total est donc tel que

−→B = µ0 n I

−→ez pour ρ < R ,

−→B = µ0 J2

R

ρ

−→eφ pour ρ > R (7.127)

Imposons maintenant que la circulation du champ le long d’un contour ferme entourant le

solenoıde soit egale a µ0I. Cette circulation est finalement aussi celle de−→B2 le lond de l’une

de ses lignes de champ pour ρ > R. On a donc



µ0 2πRJ2 = µ0I soit J2 =I

2πR(7.128)

Avec cette valeur ainsi trouvee pour J2, le modele ameliore decrit par (7.124) est en conformiteavec les previsions du theoreme d’Ampere.


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