STT-3220Méthodes de prévision

Section 2

Modèle avec deux variances inconnues: Méthode reposant

sur un test préliminaire

Version: 21 janvier 2008

STT-3220; Méthodes de prévision2

Méthode reposant sur un test préliminaire

Dans le modèle:

On suppose la matrice de variance:

2

1

2

1

2

1

ε

εβ

y

y

X

X

m

nTT

I

IE

22

21

212

1

0

0

εεε

ε

STT-3220; Méthodes de prévision3

Moindres carrés ordinaire

Nous avons vu qu’une première stratégie consiste à utiliser:

Où:

C’est l’utilisation des moindres carrés ordinaire, ignorant le fait qu’il y a hétéroscédasticité.

yb TT XXX1

;,2

1

2

1

y

yy

X

XX

STT-3220; Méthodes de prévision4

Moindres carrés généralisés estimés (EGLS)

Une seconde stratégie est d’utiliser:

Où:

22

2221

11

1

22

2221

11

ˆˆˆˆˆ

yy

βTTTT XXXXXX

221

2222222222

2

111

1111111112

1

;ˆ;1

ˆˆˆ

;;ˆ;1

ˆˆˆ

ybbyεεε

ybbyεεε

TTT

TTT

XXXXpm

XXXXpn

STT-3220; Méthodes de prévision5

Test préliminaire

Une stratégie intermédiaire pourrait reposer sur le test de l’hypothèse:

Si l’hypothèse est retenue (faute de mieux), on utilise alors l’estimateur OLS. Si l’hypothèse, au contraire, est rejetée (ainsi on conclue à une évidence de variances inégales), alors l’estimateur EGLS est préconisé.

22

210 : H

STT-3220; Méthodes de prévision6

Test préliminaire (suite)

Ceci nous amène à définir l’estimateur suivant:

,rejetéeest:si,ˆ,retenueest:si,ˆ

22

210

22

210*

H

H

β

bβ

STT-3220; Méthodes de prévision7

Trois stratégies à comparer

Stratégie 1: Utiliser toujours l’estimateur OLS b, que les variances sont égales ou inégales;

Stratégie 2: Utiliser toujours l’estimateur EGLS, , que les variances soient égales ou inégales;

Stratégie 3: Utiliser ; On fait le test d’égalité des variances: Si est retenue, on prend l’estimateur OLS. Si est rejetée, on prend EGLS.

β̂

*β̂22

210 : H

22

210 : H

STT-3220; Méthodes de prévision8

Comparaison par simulation

Afin de comparer les stratégies: étude de simulation. Un certain modèle est adopté (avec une certaine

matrice de design X). On considère des cas où est vraie ainsi

que des cas où . Plus précisément: on génère des jeux de données,

disons 1000, lorsque est vraie; et 1000, lorsque .

On calcule la variance échantillonnale des estimateurs selon les trois stratégies.

22

210 : H

22

21

22

210 : H

22

21

STT-3220; Méthodes de prévision9

Discussion

Si est vraie, l’estimateur OLS est le meilleur, l’estimateur EGLS le pire, et l’estimateur reposant sur le test préliminaire est entre les deux.

Si , il ressort que l’estimateur EGLS est meilleur que l’estimateur OLS. Encore une fois, l’estimateur reposant sur le test préliminaire est entre les deux.

22

210 : H

22

21