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ANALYSE 3(Séries et Fonctions vectorielles)

SMA, 2010-2014

A. LesfariDépartement de Mathématiques

Faculté des SciencesUniversité Chouaïb DoukkaliB.P. 20, El-Jadida, Maroc.

E. mail : [email protected] Web : http://lesfari.com

A. Lesfari (Analyse 3) 2

Table des matières

1 Séries numériques ou vectorielles 31.1 Dénitions et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Séries à termes de signes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Opérations sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Associativité et commutativité . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Multiplication des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Produits innis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Suites et séries de fonctions 252.1 Convergence simple, convergence absolue . . . . . . . . . . . . . 252.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Dénitions et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 Continuité, intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Convergence normale et critère de Weierstrass . . . . . . . . . . 302.4 Critère d'Abel-Dirichlet de convergence uniforme . . . . . . . . 312.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Séries entières et résolution des équations diérentielles 383.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Comportement sur le bord du disque de convergence . . . . . . 413.3 Convergence normale et uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Continuité, dérivation et intégration d'une série entière . . . . . 423.5 Développement d'une fonction en série entière. Calcul de la

somme d'une série entère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Résolution des équations diérentielles à l'aide des séries entières 463.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Séries de Fourier 534.1 Séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Séries de Fourier, Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 544.3 Théorèmes de Cesaro, Fejér, Jordan et Weierstrass . . . . . . . . 644.4 Egalité de Parseval et inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . 664.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Fonctions vectorielles 715.1 Eléments de topologie (de Rn,...) . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Fonctions de Rn dans Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


1 Séries numériques ou vectorielles

1.1 Dénitions et propriétés générales

Soit (ak) une suite réelle ou complexe. Considérons les sommes partielles

S1 = a1

S2 = a1 + a2

...

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an =n∑

k=1

ak

...

L'expression∞∑

k=1

ak = a1 + a2 + · · ·+ an + · · ·

s'appelle série numérique de terme général ak.Si

limn→∞

Sn = S,

existe et est nie, on dira que la série∞∑

k=1

ak converge et a pour somme le

nombre S. Sinon, on dira qu'elle diverge.

On appelle reste Rn d'ordre n de la série∞∑

k=1

ak, la série

Rn =∞∑

k=n+1

ak.

Si la série∞∑

k=1

ak converge et a pour somme le nombre S, alors

S = Sn +Rn,

etlim

n→∞Rn = 0.

Il en résulte qu'une série converge si et seulement si son reste d'ordre n tendvers zéro lorsque n→∞. On en déduit aussi que la suppression d'un nombreni de termes, ne change pas la nature (càd. convergence ou divergence) d'unesérie.

On peut utiliser d'autres notations telles que :∑k∈N∗

ak,∑k≥1

ak,∑

ak, etc.


Exemple 1 La série géométrique

∞∑k=0

ak, a ∈ R

converge si |a| < 1 et diverge si |a| ≥ 1.

Théorème 2 (Critère de Cauchy). La série∞∑

k=1

ak converge si et seulement si

∀ε > 0,∃N(ε) > 0 : n > m ≥ N(ε) =⇒

∣∣∣∣∣n∑

k=m+1

ak

∣∣∣∣∣ ≤ ε

Cauchy

Exemple 3 La série harmonique

∞∑k=1

1

k,

diverge.

Corollaire 4 (Condition nécessaire de convergence). Si la série∞∑

k=1

ak converge,

alors limk→∞

ak = 0.

Remarques 5 a) Si limk→∞

ak 6= 0, alors la série∞∑

k=1

ak diverge.

b) La réciproque du corollaire précédent est fausse en général.

Propriété 6 Si la série∑ak converge, alors sa somme est unique.


Propriété 7 Si les séries∑ak et

∑bk convergent, alors

∑(αak+βbk) converge

et ∑(αak + βbk) = α

∑ak + β

∑bk, (α, β ∈ R ou C)

Propriété 8 Si∑ak converge et

∑bk diverge, alors

∑(ak + bk) diverge.

Propriété 9 Si les séries∑ak et

∑bk divergent, alors on ne peut rien dire

sur la nature de∑

(ak + bk).

Exemple 10 La convergence d'une suite (ak) équivaut à celle de la série ditetélescopique :

∞∑k=1

(ak − ak−1), a0 = 0.

En outre,∞∑

k=1

(ak − ak−1) = limn→∞

an.

1.2 Séries à termes positifs

Théorème 11 Soit∞∑

k=1

ak une série à termes positifs. Alors cette série converge

si et seulement si la suite des sommes partielles (Sn) =

(n∑

k=1

ak

)est majorée.

Théorème 12 (Critère de comparaison). Soient (ak) et (bk) deux suites véri-ant : 0 ≤ ak ≤ bk.

a) Si∑bk converge, alors

∑ak converge.

b) Si∑ak diverge, alors

∑bk diverge.

Exemple 13 La série∞∑

k=1

arcsin1√k,

diverge.

Corollaire 14 (Critère d'équivalence). Soient (ak) et (bk) deux suites positiveset supposons que :

limk→∞

ak

bk= L 6= 0,∞ (càd. ak ∼ Lbk pour k →∞)

alors les séries∑ak et

∑bk sont de même nature. Si L = 0 et si

∑bk

converge, alors∑ak converge. Si L = ∞ et si

∑bk diverge, alors

∑ak diverge.



k=1

1

k2 − ln k,

converge.

Corollaire 16 (Règle kαak)). Soit∑ak une série à termes positifs. Supposons

que :limk→∞

kαak = L, α ∈ R

Alors∑ak converge si L est nie et α > 1 et diverge si L 6= 0 et α ≤ 1.

Exemple 17 La série de Bertrand

∞∑k=2

1

kα(ln k)β, (α, β) ∈ R2,

- converge si α > 1, ∀β ∈ R.- diverge si α < 1, ∀β ∈ R.- converge si α = 1, β > 1.- diverge si α = 1, β ≤ 1.

Bertrand

Théorème 18 (Critère intégral de Cauchy). Soit f une fonction positive et

décroissante sur [1, u], ∀u ≥ 1. Alors la série∞∑

k=1

f(k) converge si et seulement

si l'intégrale généralisée

∫ ∞

1

f(x)dx converge.


Exemple 19 La série de Riemann

∞∑k=1

1

kα,

converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1. Pour α = 1, on obtient la série harmo-nique.

Riemann

Théorème 20 (Critère de la racine de Cauchy). Soit∑ak une série à termes

positifs.a) S'il existe un nombre L < 1 tel qu'à partir d'un certain rang

k√ak ≤ L ≤ 1,

alors∑ak converge et si

k√ak ≥ 1,

la série diverge.b) Si

limk→∞

k√ak = L,

alors∑ak converge si L < 1 et diverge si L > 1.

c) Silimk→∞

sup k√ak = L,



k=1

3k

k,

diverge.


Remarques 22 a) Si L = 1, on ne peut rien conclure.b) Si limk→∞ k

√ak = 1+, alors

∑ak diverge.

Théorème 23 (Critère du quotient de d'Alembert). Soit∑ak une série à

termes positifs.a) S'il existe un nombre L < 1 tel qu'à partir d'un certain rang

ak+1

ak

≤ L ≤ 1,

alors∑ak converge et si

ak+1

ak

≥ 1,

la série diverge.b) Si

limk→∞

ak+1

ak

= L,


c) Si

limk→∞

supak+1

ak

< 1,

alors∑ak converge et si limk→∞ inf ak+1

ak> 1, la série

∑ak diverge.

d'Alembert


k=1

k!

kk,

converge.


Remarques 25 a) Si L = 1, on ne peut rien conclure.b) Si limk→∞

ak+1

ak= 1+, alors

∑ak diverge.

c) Le critère de la racine de Cauchy est plus général que le critère duquotient de d'Alembert au sens suivant :

limk→∞

ak+1

ak

= L =⇒ limk→∞

k√ak = L.

La réciproque est fausse en général.

Proposition 26 (Règle de Raabe-Duhamel). Soit (ak) une suite strictementpositive.

a) Supposons que :

∃(α, β) ∈ R∗+×]1,+∞[,

ak+1

ak

= 1− α

k+O

(1

kβ

).

Alors, la série∑ak diverge si α ≤ 1 et converge si α > 1.

b) Supposons que :

∃α ∈ R∗+,

ak+1

ak

= 1− α

k+ o

(1

k

).

Alors, la série∑ak diverge si α < 1 et converge si α > 1. Pour α = 1, on on

ne peut rien conclure.

Raabe

Duhamel


Remarque 27 Les résultats obtenus dans cette section, concernent les sériesà termes positifs. On peut aussi les utiliser pour les séries à termes négatifscompte tenu de la relation :

∑ak = −

∑(ak) qui permet de passer d'une série

à termes négatifs à une série à termes positifs.

1.3 Séries à termes de signes quelconques

Dénition 28 On dit que la série∑ak converge absolument si

∑|ak| converge.

Théorème 29 Toute série absolument convergente est convergente et on a∣∣∣∣∣∞∑

k=1

ak

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

k=1

|ak|.


k=0

(1

2

)k

eik π2 ,

converge.

Remarques 31 a) La réciproque du théorème précédent est fausse en général.b) Il est clair que les résultats de la section 1.2, fournissent en remplaçant

ak par |ak| des critères de convergence absolue de la série∑ak où ak n'est pas

nécessairement positif.

Dénition 32 Une série convergente∑ak telle que

∑|ak| diverge est dite

semi-convergente.

Théorème 33 (Critère d'Abel-Dirichlet). La série∞∑

k=1

akbk converge si les

conditions suivantes sont satifaites :(i) lim

k→∞bk = 0.

(ii)∞∑

k=1

|bk+1 − bk| converge.

(iii) ∃C :

∣∣∣∣∣n∑

k=1

ak

∣∣∣∣∣ ≤ C, ∀n ∈ N∗.


Abel

Dirichlet

Corollaire 34 Le critère d'Abel-Dirichlet reste vrai si au lieu de (i) et (ii),on suppose que (bk) décroît vers 0 pour k →∞. Autrement dit, il reste vrai siau lieu de (ii), on suppose que b1 ≥ b2 ≥ ...

Exemple 35 Les séries réelles

∞∑k=0

bk cos kα,∞∑

k=0

bk sin kα,

et la série complexe∞∑

k=0

bk(cos kα+ sin kα),

convergent si on suppose que (bk) décroît vers 0 pour k → ∞ et que α 6= 2lπ,l ∈ Z. La série

∑bk sin kα converge évidemment pour α = 2lπ, l ∈ Z.


Dénition 36 On dit qu'une série est alternée si ses termes sont alternative-ment positifs et négatifs (à partir d'un certain rang). Autrement dit, c'est unesérie dont le terme général est de la forme (−1)kbk ou (−1)k+1bk avec bk ≥ 0à partir d'un certain rang.

Théorème 37 (Critère de Leibniz). Soit (bk) une suite décroissante telle que :

limk→∞

bk = 0. Alors, la série altérnée∞∑

k=1

(−1)kbk converge.

Leibniz

Exemple 38 La série harmonique alternée

∞∑k=1

(−1)k

k,

converge.

Développement asymtotique : Considérons la série numérique∞∑

k=2

(−1)k

k + (−1)k.

On ne peut pas utiliser le critère de Leibniz car 1k+(−1)k ne décroît pas. Soit

ak =(−1)k

k + (−1)k=

(−1)k

k

1 + (−1)k

k

,

et posons x = (−1)k

k, f(x) = x

1+x. Ecrivons le développement limité de cette

fonction à l'ordre 2, au voisinage de 0 :

f(x) = x− x2(1 + ε(x)), limx→0

ε(x) = 0.


D'où,

ak =(−1)k

k− 1

k2

(1 + ε

((−1)k

k

))= bk + ck.

On montre aisément que∑bk converge,

∑ck converge absolument et par

conséquent∑ak converge.

1.4 Opérations sur les séries

1.4.1 Associativité et commutativité

Soient∞∑

k=1

ak une série numérique et ϕ : N∗ −→ N∗ une application stricte-

ment croissante. Posons

b1 = a1 + a2 + · · ·+ aϕ(1),

b2 = aϕ(1)+1 + aϕ(1)+2 + · · ·+ aϕ(2),

...bk+1 = aϕ(k)+1 + aϕ(k)+2 + · · ·+ aϕ(k+1), k ∈ N∗

Dénition 39 On dit que la série∞∑

k=1

bk est déduite de∞∑

k=1

ak par groupement

de termes (ou par sommation par paquets ou encore par insertion de paren-

thèses). Tandis que la série∞∑

k=1

ak est dite déduite de∞∑

k=1

bk par suppression de

parenthèses.

Théorème 40 a) Si la série∑ak converge, alors

∑bk converge vers la même

somme.b) Si

∑bk converge et si ak ≥ 0, alors

∑ak converge vers la même somme.

c) Si limk→∞

ak = 0 et s'il existe une constante C telle que :

ϕ(k + 1)− ϕ(k) ≤ C, ∀k ∈ N∗,

alors les séries∑ak et

∑bk sont de même nature.

Exemple 41 On reprend la série

∞∑k=2

(−1)k

k + (−1)k,

et on montre qu'elle converge (utiliser le théorème précédent, point c)).


Dénition 42 Une série∞∑

k=1

ak est dite commutativement convergente si pour

toute bijectionσ : N∗ −→ N∗, k 7−→ σ(k),

la série∞∑

k=1

aσ(k) est convergente. Cette dernière série est dite un réarrangement

de la série∞∑

k=1

ak.

Théorème 43 La série∑ak est commutativement convergente si et seule-

ment elle est absolument convergente.

On dit qu'une famille de nombres complexes (ak)k∈N∗ est sommable si etseulement si la série

∑ak converge absolument. Dans ce cas, la somme de la

série∑ak est la somme de la famille (ak)k∈N∗ .

Dans le cas d'une suite double

(akl), k ∈ N∗, l ∈ N∗

sommable, on a

∑k,l∈N∗

ak,l =∑k∈N∗

(∑l∈N∗

ak,l

)=∑l∈N∗

(∑k∈N∗

ak,l

), (série double)

1.4.2 Multiplication des séries

Dénition 44 Soient∞∑

k=1

ak et∞∑

k=1

bk deux séries numériques. La série∞∑

k=1

ck

où

ck =k∑

i=1

aibk−i+1,

est dite produit (au sens de Cauchy) des séries∞∑

k=1

ak et∞∑

k=1

bk.

Théorème 45 (Cauchy-Mertens). Si la série∑ak converge et a pour somme

A et si la série∑bk converge et a pour somme B, alors la série

∑ck converge

et a pour somme AB.


Mertens

Remarque 46 La série produit de deux séries convergentes peut-être diver-gente.

Proposition 47 Si les séries∑ak et

∑bk convergent absolument, alors la

série∑ck converge absolument et on a

∑ck = (

∑ak) (

∑bk).

Théorème 48 (Abel). Si la série∑ak converge et a pour somme A, si la

série∑bk converge et a pour somme B, si la série

∑ck converge et a pour

somme C, alors C = AB.

1.5 Produits innis

Soit (ak) une suite réelle ou complexe. On suppose que ces nombres sontnon nuls. Considérons les produits partiels

P1 = a1

P2 = a1a2

...

Pn = a1a2 . . . an =n∏

k=1

ak

L'expression∞∏

k=1

ak = a1a2 . . . an . . .

s'appelle produit inni de facteur général ak.Si

limn→∞

Pn = P,

est nie et non nulle, on dira que le produit inni∞∏

k=1

ak converge et P est sa

valeur. Sinon, on dira qu'il diverge.


Exemple 49 Les produits innis

∞∏k=1

(1 +

1

k

),

∞∏k=1

(1− 1

k

),

divergent.

Théorème 50 (Condition nécessaire de convergence). Si le produit inni∞∏

k=1

ak

converge, alors limk→∞

ak = 1.

Remarque 51 La réciproque du théorème précédent est fausse en général.

Il existe des critères de convergence analogues à ceux des séries numériques.On a aussi le résultat suivant qui lie l'étude des produits innis à celle des sériesnumériques.

Théorème 52 L'étude du produit inni∞∏

k=1

ak, ak > 0, se ramène à celle de

la série numérique∞∑

k=1

ln ak. De plus, on a P = eS, où P est la valeur de∞∏

k=1

ak

et S est la somme de∞∑

k=1

ln ak.

1.6 Exercices

Exercice 1.1 Etudier la convergence des séries suivantes :

a)∞∑

k=1

kk

k!,

b)∞∑

k=1

(−1)k−1

(2k − 1)ksin

1√2k − 1

,

c)∞∑

k=1

(k

k + 1

)k

,

d)∞∑

k=2

1

(ln k)ln k.

Réponse :a) Diverge.b) Converge absolument.c) Diverge.d) Converge.


Exercice 1.2 Soit l2(R) l'espace vectoriel des suites (ak) telles que la série∞∑

k=1

a2k converge. Soient (ak) et (bk) deux suites dans l2(R). Déterminer la na-

ture de la série∞∑

k=1

akbk.

Réponse :∑akbk converge absolument.

Exercice 1.3 On pose

Ik =

∫ k

1

dx

x√x+ 1

,

et on considère la série∞∑

k=2

ak de terme général

ak =(−1)k

kαIk, α ∈ R.

a) Montrer que la suite (Ik) converge.

b) Etudier suivant la valeur de α, la nature de la série∞∑

k=2

ak (convergence

absolue, semi-convergence, divergence).

Réponse :a) On peut utiliser un raisonnement théorique ou un calcul direct.b)∑ak converge absolument si α > 1, semi-convergente si 0 < α ≤ 1 et

diverge si α ≤ 0.

Exercice 1.4 (Extrait du concours CCP). Montrer la convergence et calculerla somme de la série

∞∑k=0

2k + 7

k3 + 7k2 + 14k + 8.

Réponse : 6536.

Exercice 1.5 Soient∑ak et

∑bk deux séries à termes strictement positifs

telles qu'à partir d'un certain rang

ak+1

ak

≤ bk+1

bk.

Montrer que si∑bk converge, alors

∑ak converge.


Exercice 1.6 (Critère de Kummer). Soient∑ak une série à termes stricte-

ment positifs. Posons

ck =ak

ak+1

.bk − bk+1,

où les bk sont des nombres positifs.a) Montrer que s'il existe un nombre L tel que pour presque toutes les

valeurs de k,ck > L > 0,

alors la série∑ak converge.

b) Montrer que si ck ≤ 0, pour tout k ≥ N > 0, alors∑ak diverge en

même temps que∑

1bk.

Kummer

Exercice 1.7 Soit (ak) une suite à termes positifs. Montrer que les séries∑ak et

∑ln(1 + ak) convergent ou divergent en même temps.

Exercice 1.8 Déterminer la nature des séries suivantes :

a)∞∑

k=2

(1− cos

π

k

)(ln k)20,

b)∞∑

k=1

∫ ∞

1

e−xkαdx, α > 0.

Réponse :a) Converge absolument.b) Converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1.

Exercice 1.9 Montrer que la série∞∑

k=1

ak où a1 ≥ a2 ≥ · · · ak ≥ · · · , converge

si et seulement si la série∞∑

k=0

2ka2k converge.


Exercice 1.10 Etudier la nature des séries suivantes :

a)∞∑

k=0

αk∏kj=0(1 + α)j

, α ≥ 0,

b)∞∑

k=1

2k

k2(sinα)2k, α ∈

[0,π

2

].

Réponse :a) Converge.b) Converge si 0 ≤ α ≤ π

4et diverge si π

4< α ≤ π

2.

Exercice 1.11 a) Soit∑ak une série à termes positifs, convergente et telle

que la suite (ak) soit décroissante. Montrer que : limk→∞ kak = 0.b) La réciproque est-elle exacte ? Justier la réponse.c) Application : soit (ak) une suite à termes strictement positifs vériant

pour tout k ∈ N, l'inégalité : ak ≤ (1 + ak)ak−1. Montrer que les séries∑ak

et∑bk où bk =

ak

1 + kak

, sont de même nature.

Réponse :b) La réciproque est fausse en général, choisir par exemple ak = 1

k ln k.

Exercice 1.12 Soit∑ak une série réelle absolument convergente. On pose

a+k = max(ak, 0), a−k = max(−ak, 0).

Déterminer la nature des séries∑a+

k et∑a−k . Même question si la série

∑ak

est semi-convergente.

Réponse : Si∑ak convverge absolument, alors les séries

∑a+

k et∑a−k convergent.

Si∑ak est semi-convergente, alors les séries

∑a+

k et∑a−k divergent.

Exercice 1.13 Calculer les réels α et β an que la série de terme général ak

déni ci-dessous soit convergente,

ak =3√k3 + k2 + k + 1−

√k2 + 1 + α+

β

k.

Réponse : α = −13, β = 5

18.

Exercice 1.14 (Extrait du concours CCP). a) Montrer que la suite

1 +1

2+ · · ·+ 1

n− lnn,

est décroissante et converge vers un réel strictement positif γ (constante d'Eu-ler).


b) Montrer la convergence de la série∑k≥2

(1

k+ ln(1− 1

k)

).

c) Etablir la relation

γ = 1 +∞∑

k=2

(1

k+ ln(1− 1

k)

).

d) En déduire la convergence de la série∑p≥2

ζ(p)− 1

poù ζ(p) désigne la

somme de la série∑k≥1

1

kpainsi que l'identité

γ = 1−∞∑

p=2

ζ(p)− 1

p.

Euler

Exercice 1.15 Déterminer la nature de série :∑ 1

1 +√

2 + 3√

3 + · · ·+ k√k.

Réponse : Diverge.

Exercice 1.16 Soient (ak), (bk) deux suites de nombres complexes. On pose

s0 = 0, sk = a1 + · · ·+ ak, k ≥ 1,

et on suppose que :

(i) la suite(

sk√k

)est bornée.


(ii) la série∑|bk − bk+1|

√k est convergente.

(iii) limk→+∞

bk√k = 0.

1) Montrer que la série∑akbk est convergente.

2) En déduire que la série∑ (−1)E(

√k)

kest convergente. Ici E(x) désigne la

partie entière du nombre réel x.

3) Montrer que les séries∑ (−1)E(

√k)

kα sont convergentes pour α > 12et

divergentes pour α ≤ 12.


a)∞∑

k=1

∫ (k+1)π

kπ

e−αx sin x√xdx, α ≥ 0,

b)∞∑

k=2

ln

(1 +

(−1)k

√k

).

Réponse :a) Converge.b) Diverge.

Exercice 1.18 1) Soit (bk) une suite décroissante de nombres positifs conver-

geant vers zéro. Montrer que la série alternée∞∑

k=1

(−1)kbk, converge et soit S

sa somme.2) Montrer que : S2n+1 ≤ S ≤ S2n, où Sp est la somme partielle d'ordre p.3) Donner une majoration du reste de cette série.

Exercice 1.19 Montrer que le critère de la racine de Cauchy est plus géné-ral que celui du quotient de d'Alembert au sens suivant : soit (ak) une suiteà termes strictement positifs. Montrer que si limk→∞

ak+1

ak= L existe, alors

limk→∞ k√ak = L. Trouver un exemple montrant que la réciproque est fausse

en général.


a)∑ 2× 4× · · · × (2k)

3× 5× · · · × (2k + 1),

b)∑ (2k)!

(k!)222k.

Réponse : a) Diverge. b) Diverge.


Exercice 1.21 Soit∞∑

k=1

ak une série et Sk la suite de ses sommes partielles.

Posons

σ1 = S1, σ2 =S1 + S2

2, ..., σk =

S1 + S2 + · · ·+ Sk

k.

On dit que la série∞∑

k=1

ak converge au sens de Cesaro et a pour somme σ si

et seulement si la suite (σk) converge vers σ. Montrer que si la série∞∑

k=1

ak

converge (au sens usuel) et a pour somme S, alors elle converge au sens deCesaro vers la même somme. La réciproque est-elle exacte ? Justier la réponse.

Cesaro

Exercice 1.22 Montrer que : limα→1+

(α− 1)∞∑

k=1

1

kα= 1.

Exercice 1.23 Soient les deux séries de termes généraux respectifs,

ak =(−1)k

√k, bk =

(−1)k

√k + (−1)k

.

a) Montrer que : ak ∼+∞

bk.

b) Montrer que∑ak converge et que

∑bk diverge.

c) Qu'en conclure ?

Réponse :c)∑ak et

∑bk ne sont pas de même nature bien que ak ∼

+∞bk car ak et bk

ne sont pas de signe constant à partir d'un certain rang. La décroissance n'estpas conservée par équivalence.


Exercice 1.24 Déterminer la nature de la série∑ak, à termes positifs don-

née par a0 et

ak =1

keak−1.

Réponse : Diverge.

Exercice 1.25 Soit (ak) une suite telle que :

a0 = 0, limk→∞

ak = l ∈ ]0,∞[

Commek∑

i=1

(ai − ai−1) = ak alors

0 6= l = limk→∞

ak =∞∑i=1

(ai − ai−1)

= (a1 − a0) + (a2 − a1) + (a3 − a2) + · · ·= a1 + a2 − a1 + a3 − a2 + · · ·= a1 − a1 + a2 − a2 + · · ·= (a1 − a1) + (a2 − a2) + · · ·

=∞∑i=1

(ai − ai)

= 0

ce qui est absurde. Expliquer briévement pourquoi ce raisonnement est contra-dictoire.

Exercice 1.26 Les familles

(1

k2

)k∈N∗

et

((−1)k

k

)k∈N∗

sont-elles sommables ?

Que dire des séries associées ?

Réponse :(

1k2

)k∈N∗ est sommable,

((−1)k

k

)k∈N∗

n'est pas sommable.

Exercice 1.27 (Extrait du concours communs TSI). 1) Soit (ak) une suite

de réels non nuls telle que le produit inni∏k∈N

ak converge.

(a) Montrer que la suite (ak) tend vers 1.(b) Etudier la réciproque.

2) Soit (ak) une suite de réels strictement positifs. Montrer que le le produit

inni∏k∈N

ak converge si et seulement si la série∑k∈N

ln ak converge et que, dans

ce cas de convergence, on a :∞∏

k=0

ak = exp

(∞∑

k=0

ln ak

).


3) La première propriété motive l'écriture ak = 1 + uk avec (uk) à valeursdans R\−1, notation qui sera souvent adoptée dans la suite. Soit (uk) unesuite de réels positifs.

(a) Montrer que la suite Pn =n∏

k=0

(1 + uk) vérie :

∀n ∈ N, u0 + · · ·+ un ≤ Pn ≤ exp(u0 + · · ·+ un).

(b) En déduire que la série∑k∈N

uk converge si et seulement si le produit

inni∏k∈N

(1 + uk) converge.

(c) Reprendre (b) en utilisant le résultat de la question 2).4) Etudier les produits innis ci-après, en précisant la valeur de leur produit

en cas de convergence :

(a)∏k∈N

(1 +

1

(2k + 1)(n+ 2)

),

(b)∏k∈N

(1 + x2k

), x ∈ R.

(Indication : pour calculer les produits, en cas de convergence, on pourra :dans (a), écrire Pn comme produit de deux produits "télescopiques" ; dans (b),multiplier Pn par (1− x) et utiliser une identité remarquable).

5) On dénit la suite (λk) par λ1 = x > 1 et ∀k ≥ 1, λk+1 = 2λ2k − 1.

Démontrer avec soin la relation

∞∏k=1

(1 +

1

λk

)=

√x+ 1

x− 1.

(Indication : on pourra poser x = cosh θ et utiliser des formules de trigonomé-trie hyperbolique).

Réponse :1) b) La réciproque est fausse en général comme le montre l'exemple ak =

e1

k+1 .4) (a) Le produit inni en question converge et vaut 2. (b) Pour |x| ≥ 1, le

produit inni en question diverge. Pour |x| < 1, le produit inni en questionconverge et vaut 1

1−x.


2 Suites et séries de fonctions

2.1 Convergence simple, convergence absolue

Soient Ω un ensemble non vide et (fk) une suite de fonctions de Ω dans R(ou C).

Dénition 53 On dit que la suite (fk) converge simplement dans Ω vers unefonction

f : Ω −→ R(ou C)

si∀x ∈ Ω, lim

k→∞fk(x) = f(x).

Autrement dit, si

∀x ∈ Ω,∀ε > 0,∃N(ε, x) : k ≥ N(ε, x) =⇒ |fk(x)− f(x)| ≤ ε.

(N(ε, x) dépend en général de ε et x).

Exemple 54 La suite de fonctions (fk) dénie par

fk(x) = xk, x ∈ [0, 1]

converge simplement vers

f(x) =

0 si 0 ≤ x < 11 si x = 1

Dénition 55 On dit que la série de fonctions∞∑

k=1

fk converge simplement

dans Ω vers une fonction

S : Ω −→ R(ou C)

si la suite des sommes partielles (Sn) =

(n∑

k=1

fk

)converge simplement vers

S. On dit que S est la somme de la série∞∑

k=1

fk.

Par analogie avec les séries numériques, le reste de la série∞∑

k=1

fk s'écrit

Rn(x) =∞∑

k=n+1

fk = S(x)− Sn(x).


Dire que la série∞∑

k=1

fk converge simplement vers S équivaut à dire que la suite

(Rn) converge simplement vers 0.

Exemple 56 La série de fonctions

∞∑k=0

sin x

2k, x ∈ [0, 1]

converge simplement vers S(x) = 2 sin x.

Dénition 57 La série∑fk converge absolument dans Ω si

∑|fk| converge

simplement dans Ω

Proposition 58 Si la série∑fk converge absolument, alors elle converge

simplement.

2.2 Convergence uniforme

2.2.1 Dénitions et propriétés générales

Dénition 59 On dit que la suite (fk) converge uniformément dans Ω versune fonction

f : Ω −→ R(ou C)

si∀ε > 0,∃N(ε) : ∀k ≥ N(ε),∀x ∈ Ω =⇒ |fk(x)− f(x)| ≤ ε.

(N(ε) ne dépend que de ε), c'est-à-dire, si

limk→∞

(supx∈Ω

|fk(x)− f(x)|)

= 0.

Autrement dit, s'il existe une suite numérique ak, limk→∞

ak = 0 : |fk(x)−f(x)| ≤ak, pour tout x ∈ Ω.


fk(x) =sin kx√

k, k ∈ N∗, x ∈ R

converge simplement vers f(x) = 0.

Remarque 61 Pour montrer qu'une suite de fonctions (fk) ne converge pasuniformément vers f , il sut de trouver une suite numérique bk telle que :

limk→∞

(fk(bk)− f(bk)) 6= 0.



fk(x) =1

1 + kx2, k ∈ N

converge simplement sur R vers

f(x) =

0 si x 6= 01 si x = 0

On montre que la convergence n'est pas uniforme sur R, de (fk) vers f .

Théorème 63 La convergence uniforme entraine la convergence simple. Laréciproque est fausse en général.


k=1

fk converge uniformément

dans Ω vers une fonction

S : Ω −→ R(ou C)

si la suite des sommes partielles (Sn) =

(n∑

k=1

fk

)converge uniformément dans

Ω vers S. Il revient au même de dire que la suite

(Rn) =

(∞∑

k=n+1

fk

),

converge uniformément vers 0.

Théorème 65 (Critère de Cauchy pour la convergence uniforme). a) La suitede fonctions (fk) converge uniformément dans Ω si et seulement si

∀ε > 0,∃N(ε) > 0 : ∀n ≥ N(ε),∀m ≥ N(ε),∀x ∈ Ω =⇒ |fn(x)− fm(x)| ≤ ε

b) La série∞∑

k=1

fk converge uniformément dans Ω si et seulement si

∀ε > 0,∃N(ε) > 0 : ∀n > m ≥ N(ε),∀x ∈ Ω =⇒

∣∣∣∣∣n∑

k=m+1

fk

∣∣∣∣∣ ≤ ε

Théorème 66 Si la série∞∑

k=1

fk converge uniformément dans Ω, alors limk→∞

fk(x) =

0 uniformément dans Ω. La réciproque est fausse en général.


2.2.2 Continuité, intégration et dérivation

Théorème 67 Soient fk : Ω −→ R, des fonctions continues.a) Si la suite (fk) converge uniformément dans Ω vers f , alors f est conti-

nue sur Ω.

b) Si la série∞∑

k=1

fk converge uniformément dans Ω vers S, alors S est

continue sur Ω.

Remarque 68 (continuité). Soient fk : Ω −→ R, des fonctions continues.a) Si la suite (fk) converge simplement dans Ω vers f et si f est discontinue,

alors la convergence n'est pas uniforme.

b) Si la série∞∑

k=1

fk converge simplement dans Ω vers S et si S est discon-

tinue, alors la convergence n'est pas uniforme.


fk(x) =k(x2 + 1)x

(kx+ 1)ex, x ∈ [0, 1]

converge simplement vers

f(x) =

x2+1

ex si x ∈]0, 1]0 si x = 0

On montre que la convergence n'est pas uniforme sur [0, 1], par contre, il y'aconvergence uniforme sur [a, 1], a > 0.

Remarque 70 Soit a ∈ Ω un point d'accumulation (c-à-d. tout voisinage dea contient au moins un point de Ω autre que a). Le théorème précédent signieque

limx→a

(limk→∞

fk(x))

= limk→∞

(limx→a

fk(x)),

limx→a

∞∑k=1

fk =∞∑

k=1

limx→a

fk(x).

Théorème 71 (Dini). Soit (fk) une suite de fonctions réelles continues conver-geant vers une fonction continue f sur [a, b]. Si la suite (fk) est monotone, alorselle converge uniformément vers la fonction f .


Dini

Théorème 72 (dérivation). Soit (fk) une suite de fonctions de classe C1 de[a, b] dans R.

a) Si la suite (fk) converge simplement en x0 ∈ [a, b] et si la suite desdérivées (f ′k) converge uniformément sur [a, b], alors la suite (fk) convergeuniformément vers f sur [a, b], f est de classe C1 et on a(

limk→∞

fk(x))′

= limk→∞

f ′k(x).

b) Si la série∑fk converge simplement en x0 ∈ [a, b] et si la série des

dérivées∑f ′k converge uniformément sur [a, b], alors la série

∑fk converge

uniformément vers S sur [a, b], S est de classe C1 et on a(∞∑

k=1

fk(x)

)′

=∞∑

k=1

f ′k(x).

Théorème 73 (intégration). Soit (fk) une suite de fonctions intégrables de[a, b] dans R.

a) Si la suite (fk) converge uniformément vers f dans [a, b], alors f estintégrable sur [a, b] et on a

limk→∞

∫ u

a

fk(x)dx =

∫ u

a

limk→∞

fk(x)dx =

∫ u

a

f(x)dx, u ∈ [a, b]

(la convergence de la suite ainsi obtenue est uniforme sur [a, b]).b) Si la série

∑fk converge uniformément vers S dans [a, b], alors S est

intégrable sur [a, b] et on a

∞∑k=1

∫ u

a

fk(x)dx =

∫ u

a

(∞∑

k=1

fk(x)

)dx =

∫ u

a

S(x)dx, u ∈ [a, b]

(la convergence de la série ainsi obtenue est uniforme sur [a, b]).


2.3 Convergence normale et critère de Weierstrass

Théorème 74 (Critère de Weierstrass). Si

|fk(x)| ≤ ak ∈ R, ∀x ∈ Ω,

et si la série numérique∞∑

k=1

ak converge, alors la série de fonctions∞∑

k=1

fk

converge absolument et uniformément sur Ω.

Weierstrass


k=1

fk converge normalement

dans Ω si on peut lui appliquer le critère de Weierstrass. Autrement dit, si∞∑

k=1

‖fk‖ converge où ‖fk‖ = supx∈Ω

|fk(x)| < +∞, ∀k ∈ N∗.

Remarque 76 Pour une série de fonctions, on les implications suivantes :

CN ↓

CU ↓ CA CS

En l'absence d'hypothèses supplèmentaires, toutes les réciproques sont faussesen général.

Exemple 77 La série de fonctions

∞∑k=1

sin 2kx

(2k2 − 1)(3k2 − 2),

converge normalement sur R.


Exemple 78 La fonction f dénie par

f(x) =∞∑

k=0

(2

3

)k

cos(3kx), x ∈ R

est continue sur R mais elle n'est dérivable en aucun point de R.

2.4 Critère d'Abel-Dirichlet de convergence uniforme

Théorème 79 (Critère d'Abel-Dirichlet). Soient (fk) et (gk) deux suites defonctions vériant les conditions suivantes :

(i) la suite (gk) est positive, décroissante et converge uniformément vers 0.(ii) il existe une constante C telle que :∣∣∣∣∣

n∑k=1

fk(x)

∣∣∣∣∣ ≤ C, ∀x ∈ [a, b]

Alors la série de fonction∞∑

k=1

fk(x)gk(x) converge uniformément sur [a, b].

Corollaire 80 Si (gk) est une suite positive, décroissante et converge unifor-

mément vers 0 alors la série alternée∞∑

k=1

(−1)k+1gk(x) converge uniformément

sur Ω.


k=1

(−1)k

2√k + cosx

,

converge uniformément sur R.

2.5 Exercices

Exercice 2.1 On considère la suite d'applications

fk :

R −→ R

x 7−→

1

k ln(1− 1

kx

) si x < 0 ou x > 1k

0 si 0 ≤ x ≤ 1k

a) Vérier que fk est continue sur R.b) Montrer que la suite (fk)k∈N∗ converge simplement sur R vers une fonc-

tion f que l'on déterminera.


c) Construire le graphe de la fonction fk. Points remarquables. Branchesinnies. Montrer que sup

x∈R|fk − f | existe et le calculer. Ce maximum est-il at-

teint ?. Que peut-on dire de la convergence uniforme de la suite (fk)k∈N∗.

Réponse :b) f(x) = −x, ∀x ∈ R.

Exercice 2.2 Soit la suite de fonctions (fk) dénie sur [0, 1] par

fk(x) =k(x2 + 1)x

(kx+ 1)ex.

a) Montrer que la suite (fk) converge simplement vers une fonction f quel'on déterminera.

b) La suite (fk) converge-t-elle uniformément sur [0, 1] ?c) Même question sur [a, 1], a > 0 ?

Réponsea) (fk) converge simplement vers

f(x) =

x2+1

ex si x ∈]0, 1]0 si x = 0

b) Non.c) Oui.

Exercice 2.3 On pose pour tout k ∈ N,

fk(x) =

x2k lnx si x > 0

0 si x = 0

a) Montrer que la série de fonctions∞∑

k=0

fk(x), converge simplement sur

[0, 1] vers une fonction S(x) que l'on précisera.b) La convergence de cette série est-elle uniforme sur [0, 1]?c) Montrer que la convergence de cette série est normale sur [0, α] pour

tout α ∈]0, 1[.

Exercice 2.4 Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonc-tions dénie sur [−1, 1] par

fk(x) = sin(kxe−kx2

).

Réponse : (fk) converge simplement vers 0 mais ne converge pas uniformémentsur [0, 1].


Exercice 2.5 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). a) Soit (fk) unesuite de fonctions satisfaisant à

|fk(x)− fk−1| ≤ ak ∈ R, k ≥ 2.

On suppose que la série numérique∞∑

k=2

ak converge. Montrer que la suite de

fonctions (fk) converge uniformément.b) Montrer que la limite uniforme de fonctions bornées est uniforme. Que

peut-on dire si la limite est simple ? (justier la réponse).

Exercice 2.6 On considère la série de fonctions∑k∈N

x2

(1 + x2)k, x ∈ R.

a) Montrer que cette série est convergente pour tout réel. Montrer que lasomme de la série n'est pas continue à l'origine.

b) Montrer que la série ne converge pas uniformément sur R, mais qu'il ya convergence uniforme sur tout intervalle [a,+∞[ ou ]−∞,−a] avec a > 0.

Exercice 2.7 (Extrait de l'oral, concours X, école polytechnique). Détermi-ner la nature et calculer la somme de la série∑ 1

cosh kx. cosh(k + 1)x.

Réponse : La série en question converge simplement pour x ∈ R∗ vers

f(x) =

1

sinh xsi x > 0

− 1sinh x

si x < 0

Exercice 2.8 Soit la série réelle∑k≥0

e−kx

1 + k2.

a) Quel est le domaine de convergence D de cette série ?b) Montrer que la somme de cette série est continue sur D. Cette somme

sera notée f .c) Trouver le domaine de convergence de la série dérivée dont la somme

sera notée g. Déterminer la plus grande partie de R sur laquelle f ′(x) = g(x).

Réponse :a) D = [0,+∞[.c) f ′(x) = g(x) sur ]0,+∞[.


Exercice 2.9 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère la

série de fonctions∑k∈N∗

fk(x) où

fk(x) =x

kα(1 + x2kβ), x ∈ R, α, β ∈ R∗

+.

1) Donner une condition nécessaire et susante sur les paramètres α et βpour que cette série converge simplement sur R.

2) On désigne par S(x) la somme de cette série. Montrer que si α+ β2> 1,

alors S est continue sur R.3) On suppose que la série converge simplement et que α+ β

2≤ 1.

a) Montrer que S est continue sur R∗.b) On pose

gk(x) =x

kα + x2k2−α.

Vérier que |fk(x)| ≥ |gk(x)| sur R. Montrer que

2k∑p=k+1

gp(kα−1) ≥ 1

2α + 22−α,

et en déduire que S n'est pas continue en 0.

Réponse :1) α+ β > 1.

Exercice 2.10 (Extrait du concours X, école polytechnique). Soit la suite defonctions (fk)k∈N danie par :

∀k ∈ N, ∀x ∈ R, fk(x) =2kx

1 + k2kx2.

1) Etudier la convergence simple de la suite (fk).

2) Calculer

∫ 1

0

fk et limk→∞

∫ 1

0

fk. La convergence est-elle uniforme ?

Réponse :1) (fk) converge simplement vers 0 (sur R).2)∫ 1

0fk = ln(1+k2k)

2k, limk→∞

∫ 1

0fk = ln 2

2. La convergence n'est pas uniforme

sur [0, 1].

Exercice 2.11 Soit D le domaine déni par | arg z| ≤ π4.

a) Montrer que la série complexe

∞∑k=0

z

(1 + z2)k,


converge absolument mais non uniformément sur D.b) Montrer que si on multiplie le terme général de cette série par (−1)k, il

y a alors convergence uniforme sur D.

Exercice 2.12 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère lafonction dénie par :

f(x) =∞∑

k=1

1

k2 + k4x2.

a) Montrer que f est continue sur R.b) Montrer que f est de classe C1 sur R∗.c) Etudier la dérivabilité en x = 0.d) Représenter graphiquement f .

Exercice 2.13 (Extrait de l'oral, concours X, école polytechnique). Etudierla suite de fonctions

fk : x 7−→ kx2e−kx

(1− e−x)2.

Réponse :1) (fk) converge simplement vers 0 (sur ]0,+∞[).2) La convergence n'est pas uniforme sur ]0,+∞[. La convergence est uni-

forme sur [a,+∞[, a > 0.

Exercice 2.14 On pose

fk (z) =z2k

z2k+1 − 1, k ≥ 0, z ∈ C.

a) Montrer que la série∞∑

k=0

fk (z) est absolument convergente pour |z| < 1

et pour |z| > 1.b) Montrer que pour tout nombre réel r > 1, la série

∑fk (z) est unifor-

mément convergente pour |z| ≥ r et pour |z| ≤ 1r.

c) Calculer

Sn (z) =1

1− z+

n∑k=0

z2k

z2k+1 − 1,

par récurrence sur n.

d) En déduire la somme∞∑

k=0

fk (z), pour |z| < 1 et pour |z| > 1.


Exercice 2.15 a) Montrer que la série de terme général

fk(x) = sin(akx), 0 < a < 1,

est simplement et uniformément convergente sur tout intervalle I = [−α, α] ⊂R, α ∈ R.

b) On pose

S(x) =∞∑

k=1

sin(akx).

(i) Montrer que S est continue sur I.(i) Montrer que S est indéniment dérivable sur I.

c) Trouver une relation entre S(x) et S(ax).d) Montrer que S (x) est développable en série entière et trouver les coe-

cients bk de la série

S (x) =∞∑

k=0

bkxk.

Exercice 2.16 (Extrait du concours CCP). Soit (ak) une suite réelle de carrésommable (c'est-à-dire telle que

∑a2

k converge) telle que a0 6= 0.1) Montrer que

f(x) =∞∑

k=0

ak

k + x,

est dénie et continue sur R∗+.

2) Déterminer les limites suivantes : limx→0+

f(x) et limx→+∞

f(x).

Réponse :2) limx→+∞ f(x) = 0, limx→0+ f(x) = +∞ si a0 > 0 et −∞ si a0 < 0.

Exercice 2.17 On considère la fonction f dénie par

f(x) =∞∑

k=1

2−k sin(24kπx).

a) Montrer que f est continue sur R.b) Montrer que f n'est dérivable en aucun point de R.

Exercice 2.18 (Extrait du concours Centrale). Montrer les égalités suivantesen justiant l'existence des intégrales et des séries écrites :

a) ∫ ∞

0

x2

ex − 1dx = 2

∞∑k=1

1

k3.


b) ∫ ∞

0

sin bx

eax − 1dx = 2

∞∑k=1

b

b2 + k2a2, (a > 0).

Exercice 2.19 (Extrait du concours communs, MP). On considère la fonc-tion ζ, somme de la série de fonctions∑

k≥1

1

ks.

1) Montrer que la fonction ζ a pour domaine de dénition I =]1,+∞[.

2) Montrer la convergence uniforme de la série de fonctions∑k≥1

1

ksvers ζ

sur [a,+∞[, pour tout a > 1.3) Cette série de fonctions converge-t-elle uniformément sur I ?4) Montrer que ζ est continue sur I.5) Déterminer avec soin ses limites aux bornes de I.6) Par comparaison avec une intégrale montrer l'équivalent

ζ(s) ∼ 1

s− 1,

au voisinage de 1.7) Montrer que ζ est de classe C1 sur I et donner une expression de sa

dérivée.8) Montrer que ζ est de classe C∞ sur I et donner une expression de ses

dérivées successives.9) Montrer l'équivalent

ζ(s)− 1 ∼ 2−s,

au voisinage de +∞ et en déduire la convergence de la série∑k≥2

(ζ(s)− 1).

10) En introduisant une suite double sommable bien choisie, calculer lasomme de la série précédente.

Réponse :3) Non.5) lims→+∞ = 1, lims→1 = +∞.7) ζ ′(s) =

∑∞k=1−

ln kks , ∀s ∈ I.

8) ζ(p)(s) =∑∞

k=1(−1)p lnp kks , ∀p ∈ N, ∀s ∈ I.

10) On introduit la suite double sommable ( 1kn )k,n≥2 et on obtient la somme∑

k≥2(ζ(s)− 1) = 1.


3 Séries entières et résolution des équations dif-

férentielles

3.1 Généralités

Une série entière réelle est une série de fonctions de la forme∞∑

k=0

ak(x− x0)k,

où (ak) est une suite de nombres réelles, x0 est un nombre réel xé et x ∈ R.On dénit de la même manière une série entière complexe

∞∑k=0

ak(z − z0)k,

où (ak) est une suite de nombres complexes, z, z0 ∈ C.Un lemme d'Abel arme que si la suite (|ak|rk) est bornée, alors la série∑akz

k converge absolument pour tout z tel que : |z| < r. Le nombre r est laborne supérieure de ensembles

r ∈ R+ :∞∑

k=0

akrk converge, r ∈ R+ :

∞∑k=0

|ak|rk borné.

Ce nombre s'appelle rayon de convergence.On dispose de plusieurs méthodes pour déterminer la nature d'une série

entière en tant qu'une série de fonctions. Une fois le domaine de convergenceest déterminé, on en déduira aisément le rayon r de convergence. Le rayon deconvergence d'une série entière peut donc être obtenu de plusieurs manièresmais il serait intéressant d'avoir des formules directes qui permettent de lecalculer. On disposes de certaines recettes pour calculer ou estimer le rayon deconvergence. Les résultats qui suivent sont des conséquences assez immédiatesdes critèes de la racine de Cauchy (qui nous fournira la formule très connuede Cauchy-Hadamard) et du quotient de d'Alembert. On utilisera aussi le faitqu'une série enttière, sa série dérivée ainsi que sa série primitive ont mêmerayon de convergence.

Proposition 82 Soit∑ak(z−z0)

k une série entière. Alors il existe un nombrer ≥ 0 ni ou non tel que :

a) si |z − z0| < r, la série∑ak(z − z0)

k converge absolument.b) si |z − z0| > r, la série

∑ak(z − z0)

k diverge.De plus, on a

r =1

limk→∞

sup k√|ak|

, (formule de Cauchy-Hadamard)


Hadamard

Exemple 83 Le rayon de convergence de la série entière

∞∑k=0

e−√

kzk,

est égal à 1.

Remarque 84 Si r = ∞, alors∑ak(z − z0)

k converge absolument pour toutz ∈ C. Si r = 0, alors

∑ak(z − z0)

k converge absolument pour tout z = z0 etdiverge pour tout z 6= z0. Pour |z − z0| = r, on ne peut rien armer à priori(voir section suivante pour l'étude du comportement sur le bord du disque deconvergence).

Dénition 85 On appelle disque de convergence de centre z0 et de rayon r(voir proposition précédente) de la série

∑ak(z − z0)

k, l'ensemble

D(z0, r) = z ∈ C : |z − z0| < r.

Le nombre r s'appelle rayon de convergence de la série. Le bord du disque deconvergence est le cercle

∂D(z0, r) = z ∈ C : |z − z0| = r.

Dans le cas d'une série entière réelle∑ak(x − x0)

k, au lieu de disque deconvergence, on dit intervalle de convergence : ]x0 − r, x0 + r[.

Proposition 86 Soit∑ak(z−z0)

k une série entière telle que ak 6= 0, k ∈ N∗.Si la limite

limk→∞

∣∣∣∣ ak

ak+1

∣∣∣∣ ,existe, alors elle est égale au rayon de convergence r.



∞∑k=1

(−1)k−1(2k − 1)z2k−1,

est égal à 1.

Dénition 88 On appelle série entière dérivée de∞∑

k=0

ak(z − z0)k, la série

∞∑k=1

ak(z − z0)k−1.

Proposition 89 Une série entière et sa série dérivée ont même rayon deconvergence.


∞∑k=1

(−1)k−1

2k − 1x2k−1,

est égal à 1.

Proposition 91 Soient∑akz

k et∑bkz

k deux séries entières ayant respec-tivement r1 et r2 pour rayon de convergence. Soient r le rayon de convergencede la série somme

∑(ak + bk)z

k et r′ celui de la série produit∑ckz

k où

ck =∑i=0

kaibk−i.

a) Si r1 6= r2, alors r = inf(r1, r2) et si r1 = r2, alors r ≥ r1. En outre, ona ∑

(ak + bk)zk =

∑akz

k +∑

bkzk,

pour |z| < inf(r1, r2).b) On a r′ ≥ inf(r1, r2) et∑

ckzk =

(∑akz

k)(∑

bkzk),

pour |z| < inf(r1, r2).


3.2 Comportement sur le bord du disque de convergence

Proposition 92 Soit∑akz

k une série entière de rayon de convergence r. Si

limk→∞

|ak|rk 6= 0,

alors∑akz

k diverge en tout point du bord du disque de convergence.


k une série entière de rayon de convergence r. Sicette série converge absolument en un point du bord du disque de convergence,alors elle converge absolument en tout point du bord du disque de convergence.


k une série entière de rayon de convergence r.Supposons que :

ak ∈ R, ak > ak+1, limk→∞

ak = 0.

Si r = 1, alors la série∑akz

k converge en tout point du bord du disque deconvergence sauf peut-être au point z = 1.

Exemple 95 La série entière∞∑

k=1

zk

k2,

a un rayon de convergence égal à 1 et elle converge absolument sur le domaine

D = z ∈ C : |z| ≤ 1.


∞∑k=1

k2

2kzk,

est égal à 2 et cette série converge absolument sur le domaine

D = z ∈ C : |z| < 2.

Exemple 97 Soit x ∈ R. La série entière réelle

∞∑k=1

xk

k,

a un rayon de convergence égal à 1 et elle converge sur l'intervalle

D = [−1, 1[.


Exemple 98 Soit z ∈ R. La série entière complexe

∞∑k=1

zk

k,

a un rayon de convergence égal à 1 et elle converge absolument sur le domaine

D = z ∈ C : |z| < 1,

et converge en tout point du bord

∂D = z ∈ C : |z| = 1,

sauf au point z = 1.

3.3 Convergence normale et uniforme

Théorème 99 Une série entière∑ak(z − z0)

k de rayon de convergence r,converge normalement dans le disque fermé

D(z0, %) = z ∈ C : |z − z0| ≤ %,

où % est tel que : 0 < % < r.

Cas particulier important : Une série entière converge normalement danstout compact contenu dans le disque (ou intervalle) ouvert de convergence.

Théorème 100 (Abel). Soit∑akx

k, une série entière de rayon de conver-gence r. Si cette série converge pour x = r (resp. x = −r), alors elle convergeuniformément sur [0, r] (resp. [−r, 0]) et on a

limx→r−

∞∑k=0

akxk =

∞∑k=0

akrk,

(resp. limx→−r+

∞∑k=0

akxk =

∞∑k=0

ak(−r)k).

3.4 Continuité, dérivation et intégration d'une série en-tière

Théorème 101 (Continuité). La somme d'une série entière

f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k,

est une fonction continue dans le disque de convergence D(z0, r).


Théorème 102 (Intégration). Soit∑akx

k, une série entière de rayon deconvergence r 6= 0. On peut intégrer terme à terme cette série dans ]− r, r[,∫ x0

0

(∞∑

k=0

akxk

)dx =

∞∑k=0

(∫ x0

0

akxkdx

)=

∞∑k=0

akxk+1

0

k + 1, x0 ∈]− r, r[

Théorème 103 (Dérivation). La somme d'une série entière

f(x) =∞∑

k=0

ak(x− x0)k,

est une fonction de classe C∞ sur son intervalle de convergence et on a

f (p)(x) =∞∑

k=p

k(k − 1)...(k − p+ 1)ak(x− x0)k−p.

3.5 Développement d'une fonction en série entière. Cal-cul de la somme d'une série entère

En posant x = x0 dans le théorème précédent, on obtient

f (p)(x0) = p!ap,

d'où

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k.

Cette dernière expression s'appelle développement en série entière de f autourde x0. Ce développement est unique. On dit aussi développement en série deTaylor si x0 6= 0 et de Mac-Laurin si x0 = 0.

Taylor


Mac-Laurin

Une condition nécessaire pour qu'une fonction

f : I =]x0 − r, x0 + r[−→ R,

soit développable en série entière est

f ∈ C∞ dans I, ak =f (k)(x0)

k!.

La réciproque n'est pas vraie en général ; une fonction f possédant des dérivéesde tout ordre en x0, n'est pas nécessairement égale à la série entière

∞∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k,

correspondante. Par exemple, la fonction f dénie sur R par

f(x) =

e−

1x2 si x 6= 00 si x = 0

est de classe C∞ mais n'est pas développable en série entière au voisinage de0.

Dénition 104 Une fonction égale à sa série entière au voisinage de x0 estdite analytique en x0.

Théorème 105 (Condition nécessaire et susante). Soit f une fonction declasse C∞ dans I =]x0 − r, x0 + r[. Pour que l'on ait

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k,

dans I, il faut et il sut que

limn→∞

Rn(x) = 0, ∀x ∈ I


où Rn(x) est le reste dans la formule de Taylor

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +Rn(x).

Théorème 106 (Condition susante). Si f est une fonction de classe C∞dans I =]x0 − r, x0 + r[ et s'il existe une M > 0 tels que :

∀x ∈ I, ∀k ∈ N,∣∣f (k)(x)

∣∣ ≤M,

alors

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k, ∀x ∈ I

Exemples de développement de fonctions en série entière :

sin x =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!, r = ∞

cosx =∞∑

k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!, r = ∞

expx =∞∑

k=0

xk

k!, r = ∞

coshx =∞∑

k=0

x2k

(2k)!, r = ∞

sinh x =∞∑

k=0

x2k+1

(2k + 1)!, r = ∞

1

(1− x)2=

∞∑k=1

kxk−1, r = 1, x ∈]− 1, 1[

ln(1− x) = −∞∑

k=0

xk+1

k + 1, r = 1

(1 + x)α =∞∑

k=0

α(α− 1)...(α− k + 1)

k!xk, r = 1, x ∈]− 1, 1[, α ∈ R\N

Pour déterminer la somme d'une série entière, plusieurs méthodes sontpossibles. On peut par exemple utiliser le théorème de dérivation ainsi quecelui d'intégration. On peut aussi utiliser une équation diérentielle ou encoredécomposer le terme général de la série en élments simples et calculer la sommedes séries correspondantes, etc.



∞∑k=0

(k + 1)xk,

est égal à 1, elle converge sur l'intervalle ]− 1, 1[ et sa somme est

∞∑k=0

(k + 1)xk =1

(1− x)2.


f(x) =∞∑

k=0

(k2 + 3k − 1

k + 3

)xk

k!,

est égal à l'inni et elle converge sur R. On a f(0) = −13et pour x 6= 0, on a

f(x) = xex − 1

x3

(ex(x2 − 2x+ 2)− 2

).


∞∑k=0

sin kθ

k!xk, θ ∈ R

est égal à l'inni, elle converge donc sur R et sa somme est égale à

∞∑k=0

sin kθ

k!xk = ex cos θ sin(x sin θ).

3.6 Résolution des équations diérentielles à l'aide desséries entières

Problème 1 : Considérons l'équation diérentielle

y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = 0,

où P1 et P2 sont des fonctions analytiques sur ]x0 − r, x0 + r[. On montre quedans ce cas toute solution de l'équation ci-dessus est analytique sur ce mêmeintervalle.

Exemple 110 On considère l'équation diérentielle

xy′′ + (1− x)y′ − y = 0,


où y est une fonction de la variable réelle x. Supposons qu'il existe une sérieentière, de rayon de convergence r > 0,

y =∞∑

k=0

akxk,

qui soit solution de cette équation et telle que : y(0) = 1. On montre que

ak+1 =ak

k + 1, r = +∞,

et

y =∞∑

k=0

xk

k!= ex.

Exemple 111 Etudier l'équation de Legendre :

(1− x2)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0,

où n est un nombre réel.

Legendre

Problème 2 : Considérons l'équation diérentielle

(x− x0)2y′′ + (x− x0])P1(x)y

′ + P2(x)y = 0,

où P1 et P2 sont des fonctions analytiques sur ]x0 − r, x0 + r[. On cherche àsatisfaire l'équation ci-dessus par une relation dy type

y(x) = xα

∞∑k=0

ak(x− x0)k,

et il s'agira de déterminer α ainsi que les coecients ak.

Exemple 112 Etudier l'équation de Bessel :

x2y′′ + xy′ + (x2 − λ2)y = 0, λ ∈ R


Bessel

3.7 Exercices

Exercice 3.1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières sui-vantes :

a)∞∑

k=1

cosh k

sinh2 kx2k.

b)∞∑

k=1

k!zk!.

Réponse :a)√e.

b) 1.

Exercice 3.2 a) Soit r le rayon de convergence de la série entière∑akz

k.Quel est celui de la série

∑akk

pzk ? où p désigne un entier naturel.b) Soit P (z) un polynôme distinct du polynôme nul. Déterminer le rayon

de convergence de la série entière∑P (k)zk.

Réponse :a) r.b) 1.

Exercice 3.3 (Extrait du concours Centrale). Même question pour la sérieentière

∑akx

k où (ak) est une suite de réels dénie par a0 > 0 et ∀k ∈ N :ak+1 = ln(1 + ak).

Réponse : 1.


Exercice 3.4 Etudier la convergence des trois séries de fonctions suivantes :a) 2− 3z + z2 + 2z3 − 3z4 + z5 + 2z6 − 3z7 + z8 + · · ·b) (2− 3z + z2) + (2z3 − 3z4 + z5) + (2z6 − 3z7 + z8) + · · ·c) 2 + (−3z + z2 + 2z3) + (−3z4 + z5 + 2z6) + · · ·

Réponse :a) La série en question converge si |z| < 1.b) La série proposée converge si |z| < 1, z = 1 et z = 2.c) La série en question converge si |z| < 1, z = 1 et z = −3

2.

Exercice 3.5 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère lasérie entière

∞∑k=1

(−1)k−1

2k − 1x2k−1, x ∈ R. (3.1)

a) Déterminer le rayon de convergence r de la série (3.1). Trouver les va-leurs de x pour lesquelles la série (3.1) converge et la série dérivée ne convergepas.

b) Soit x0 ∈] − r, r[. Montrer que la série dérivée converge uniformémentsur [0, x0]. Calculer la somme de la série (3.1) pour x ∈]− r, r[.

c) Montrer que la série (3.1) converge uniformément sur [0, 1] et déterminersa somme pour x = 1.

Réponse :a) r = 1, les valeurs cherchées sont x = ±1.b) ∀x ∈]− 1, 1[,

∑∞k=1

(−1)k−1

2k−1x2k−1 = arctan x.

c) π4.

Exercice 3.6 Soit f(z) =∞∑

k=0

akzk, la somme d'une série entière supposée

convergente sur le disque ouvert D1 = z ∈ C : |z| < 1. De plus, on supposeque les conditions suivantes sont satisfaites

a1 6= 0,∞∑

k=2

k|ak| ≤ |a1|.

Montrer que f est injective sur D1 et que la série considérée converge sur ledisque fermé D2 = z ∈ C : |z| ≤ 1.

Exercice 3.7 Déterminer somme des séries entières réelles suivantes :

a)∞∑

k=0

xk

(k + 3)k!.


b)∞∑

k=0

k2 + 3k − 1

(k + 3)k!xk.

c) (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida) :∞∑

k=0

cos kθ

k!xk, θ ∈ R.

Réponse :a)∑∞

k=0xk

(k+3)k!= ex(x2−2x+2)−2

x3 si x 6= 0 et vaut 13si x = 0.

b)∑∞

k=0k2+3k−1(k+3)k!

xk = xex − ex(x2−2x+2)−2x3 si x 6= 0 et vaut −1

3si x = 0.

c)∑∞

k=0cos kθ

k!xk = ex cos θ cos(x sin θ).

Exercice 3.8 Soit f dénie sur R par

f(x) =

e−

1x2 si x 6= 00 si x = 0

Montrer que la fonction f n'est pas développable en série entière au voisinagede 0.

Exercice 3.9 (Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère lasérie entière

f(x) =∞∑

k=0

(−1)k

(3k)!x3k.

a) Quel est le rayon de convergence de cette série ? Montrer que f vérieune équation diérentielle linéaire du troisième ordre à coecients constantset sans second membre.

b) Montrer que l'on peut déterminer trois constantes C1, C2, C3 de sorteque l'on ait dans l'intervalle de convergence :

f(x) = C1ew1x + C2e

w2x + C3ew3x,

où w1, w2 et w3 sont les trois racines cubiques de −1. En déduire l'expressionde f(x).

c) En déduire la somme de la série

∞∑k=0

(−1)k

(3k)!.

Réponse :a) r = +∞, f ′′′(x) + f(x) = 0.b) C1 = C2 = C3 = 1

3, f(x) = 1

3(e−x + 2e

x2 cos

√3

2x).

c)∑∞

k=0(−1)k

(3k)!= 1

3(e−1 + 2e

12 cos

√3

2).


Exercice 3.10 Développer en séries entières au voisinage de 0, les fonctionssuivantes :

a) x 7−→ ln(x3 − x2 − x+ 1).b) x 7−→ (1 + x)α, α ∈ R\N.

Réponse :a) ln(x3 − x2 − x+ 1) =

∑∞k=1

((−1)k−1−2

k

)xk, x ∈]− 1, 1[.

b) (1 + x)α =∑∞

k=0α(α−1)···(α−k+1)

k!xk, x ∈]− 1, 1[, α ∈ R\N.

Exercice 3.11 On considère l'équation diérentielle

xy′′ + (n− x)y′ − y = 0, n ∈ N

où y est une fonction de la variable réelle x. Supposons qu'il existe une sérieentière, de rayon de convergence r > 0,

fn(x) =∞∑

k=0

akxk,

qui soit solution de cette équation et telle que : fn(0) = 1.a) Déterminer les coecients de cette série. Quel est son rayon de conver-

gence ?b) Donner la valeur de f1(x) et f2(x).c) Etablir une relation simple entre fn(x) et fn+1(x).d) En déduire la valeur de fn(x) pour tout n ∈ N∗.

Réponse :a) ak = 1

n(n+1)···(n+k−1), r = +∞.

b) f1(x) = ex, f2(x) = ex−1x

.c) fn+1(x) = n

x(fn(x)− 1).

d) fn(x) = (n−1)!xn−1

(ex − 1− x− x2

2− x3

3!− · · · − xn−2

(n−2)!

), ∀n ∈ N∗.

Exercice 3.12 Soit

f (x) =∞∑

k=0

akxk,

une série entière de rayon de convergence r.

a) Montrer que si∞∑

k=0

akrk converge, alors

∞∑k=0

akxk converge uniformément

sur [0, r] et

limx→r−

f (x) =∞∑

k=0

akrk.


Réciproque ? Justier votre réponse.

b) On pose r = 1 et Sn =n∑

k=0

ak. On suppose que limx→1−

f (x) = L existe et

que limk→∞

kak = 0. Montrer que :

(i) |Sn − f (x)| ≤ (1− x)n∑

k=0

kak +∞∑

k=n+1

|ak| |x|k, ∀x ∈ ]−1, 1[.

(ii) limn→∞

λn = 0 où λn = sup |kak| : k 〉 n+ 1.

(iii)∞∑

k=n+1

|ak| |x|k ≤λn

n (1− |x|), ∀x ∈ ]−1, 1[.

(iv) limn→∞

1

n

n∑k=0

kak = 0.

c) En utilisant ce qui précéde, calculer

limn→∞

∣∣∣∣Sn − f

(1− 1

n

)∣∣∣∣ .En déduire que la série

∞∑k=0

ak converge et que sa somme est L.

d) On suppose que

ak ≥ 0, ∀k ∈ N∗, |f(x)| ≤ C, 0 ≤ x < 1.

Montrer que limx→1−

f (x) existe et est égale à∞∑

k=0

ak.

Exercice 3.13 On considère la fonction dénie par

f(x) =arcsin

√x√

x(1− x),

a) Montrer que pour x ∈]0, 1[, f vérie une équation diérentielle linéairedu premier ordre à coecients variables et avec second membre.

b) On suppose qu'il existe une série entière∑akx

k solution de cette équa-tion diérentielle. Déterminer ak ainsi que le rayon de convergence de cettesérie.

c) En déduire le développement en série entière dans ]0, 1[ de f(x).

Réponse :a) 2x(1− x)f ′(x) + (1− 2x)f(x) = 1.b) ak = (2kk!)2

(2k+1)!, k ∈ N, r = 1.

c) Le développement en série entière de f(x) dans ]0, 1[, n'est autre que lasolution de l'équation diérentielle ci-dessus et il est égal à

∑ (2kk!)2

(2k+1)!xk.


Exercice 3.14 Soit f :]− r, r[−→ R une fonction de classe C∞ telle que pourtout x ∈]− r, r[ et tout k ∈ N, f (k)(x) ≥ 0. Montrer que pour tout x ∈]− r, r[,on a

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!xk.

4 Séries de Fourier

4.1 Séries trigonométriques

Dénition 113 On appelle série trigonométrique, une série de la forme

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx), x ∈ R (4.1)

où les ak et bk sont des nombres réels ou complexes.

Remarque 114 En fait une série trigonométrique s'écrit sous la forme

∞∑k=0

(ak cos kx+ bk sin kx), x ∈ R

Mais comme sin 0 = 0, on peut sans restreindre la généralité, poser b0 = 0. Enoutre, nous avons désigné par a0

2le terme d'indice 0. Ceci provient du fait que

a0 est choisi de façon à se calculer par la même formule (voir plus loin) queles autres ak.

Proposition 115 Si les séries numériques∑ak et

∑bk convergent absolu-

ment, alors la série trigonométrique (4.1) converge normalement dans R. Enoutre, sa somme est une fonction continue sur R.

Exemple 116 Les séries∑

cos kxk2 et

∑sin kx

k2 , convergent normalement sur R.

Proposition 117 Si (ak) et (bk) sont des suites réelles positives, décroissanteset tendant vers zéro, alors la série trigonométrique (4.1) converge simplementpour tout x 6= 2lπ, l ∈ Z et uniformément sur tout intervalle de la forme[α, 2π − α] pour tout l ∈ Z et α ∈]0, π[. En outre, sa somme est une fonctioncontinue sur ]2lπ, 2(l + 1)π[, l ∈ Z.

Exemple 118 Les séries∑

cos kxk

,∑

sin kxk

convergent pour tout x 6= 2lπ, l ∈Z et leur sommes sont des fonctions continues en tout point x 6= 2lπ, l ∈ Z.

Propriété 119 Si la série trigonométrique (4.1) converge vers f(x) sur [−π, π],alors f(x) est 2π-périodique, c-à-d., f(x+ 2π) = f(x), x ∈ R.


Propriété 120 Soit f une fonction dénie, intégrable sur [−π, π] et dévelop-pable en série trigonométrique

f(x) =a0

2+

∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx).

Si cette série est intégrable terme à terme, ce développement est unique (ceciest vérié par exemple lorsque la série converge uniformément sur [−π, π]).

Série trigonométrique associée à une série entière : Soit

f(z) =∞∑

k=0

akzk,

une série entière de rayon de convergence r > 0. Posons

z = ρeix = ρ(cosx+ i sin x), 0 < ρ < r, x ∈ R.

On a zk = ρk(cos kx+ i sin kx) et par conséquent

f(ρeix) =∞∑

k=0

akρkeikx =

∞∑k=0

akρk(cos kx+ i sin kx).

Cette série converge normalement sur R en vertu du critère de Weierstrasspuisque |akρ

k(cos kx + i sin kx)| ≤ |ak|ρk et∑|ak|ρk converge car d'après le

critère de la racine de Cauchy, on a

lim supk→∞

k√|ak|ρk = ρ lim sup

k→∞

k√|ak| =

ρ

r< 1.

Si la fonction f est à valeurs réelles, ak et bk sont nécessairement réels. On a

Re f(ρeikx) =∞∑

k=0

akρk cos kx, Im f(ρeikx) =

∞∑k=0

akρk sin kx.

4.2 Séries de Fourier, Théorème de Dirichlet

Dénition 121 Soit f une fonction dénie et intégrable sur l'intervalle [−π, π].Les nombres ak et bk dénis par

ak =1

π

∫ π

−π

f(x) cos kxdx, k ≥ 0, (4.2)

bk =1

π

∫ π

−π

f(x) sin kxdx, k ≥ 1,


s'appellent coecients de Fourier de f et la série trigonométrique

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx), (4.3)

est dite série de Fourier de f .

Fourier

Remarque 122 On écrit

f(x) ∼ a0

2+

∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx),

pour dire que la série (4.2) est la série de Fourier associée à la fonction f . Lefait que les intégrales (4.1) existent, n'impliquent pas que la série (4.2) convergeet, même si elle converge, sa somme n'est pas nécessairement égale à f(x).

Remarque 123 Au lieu de considérer l'intervalle [−π, π], on peut considérertout autre intervalle d'amplitude 2π, par exemple [0, 2π].

Propriété 124 Pour une fonction f , 2L-périodique, dénie et intégrable surun intervalle [−L,L] d'amplitude quelconque nie, la série de Fourier associéeà la fonction f est donnée par

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos

kπx

L+ bk sin

kπx

L

),

où

ak =1

L

∫ L

−L

f(x) coskπx

Ldx, k ≥ 0 (4.4)

bk =1

L

∫ L

−L

f(x) sinkπx

Ldx, k ≥ 1


Remarque 125 Soit f une fonction 2L-périodique, dénie et intégrable surun intervalle [−L,L]. Au lieu de développer f(x) en série de Fourier sur[−L,L], on peut la développer, moyannant le changement de variable t = πx

L,

sur l'intervalle [−π, π].

Propriété 126 Pour une fonction f , 2L-périodique, dénie et intégrable surun intervalle [α, α+ 2L] où α est une constante arbitraire, on a∫ L

−L

f(x)dx =

∫ α+2L

α

f(x)dx.

D'après la propriété précédente, on peut donc remplacer l'intervalle [−L,L]par [α, α+ 2L] et les coecients de Fourier deviennent :

ak =1

L

∫ α+2L

α

f(x) coskπx

Ldx, k ≥ 0 (4.5)

bk =1

L

∫ α+2L

α

f(x) sinkπx

Ldx, k ≥ 1

Propriété 127 Si f est paire, alors

ak =2

π

∫ π

0

f(x) cos kxdx, bk = 0,

et

f(x) ∼ a0

2+

∞∑k=1

ak cos kx. (série cosinus).

Si f est impaire, alors

ak = 0, bk =2

π

∫ π

0

f(x) sin kxdx,

et

f(x) ∼∞∑

k=1

bk sin kx. (série sinus).

Remarque 128 Soit f une fonction 2L-périodique, dénie sur l'intervalle[0, L]. On peut lui faire correspondre soit une fonction paire, soit une fonc-tion impaire, dénie sur [−L,L]. On procède comme suit : On prolonge f(x)sur [−L, 0] de telle façon qu'on ait pour x ∈ [−L, 0], f(x) = f(−x) ouf(x) = −f(−x). Dans le premier cas, la fonction f sera paire sur [−L,L],

d'où ak = 2L

∫ L

0f(x) cos kxdx et bk = 0. Dans le second cas, f sera impaire sur

[−L,L], d'où ak = 0 et bk = 2L

∫ L

0f(x) sin kxdx.


Exemple 129 Considérons sur [−π, π], la fonction f(x) = x. Cette fonctionétant impaire, on a

ak = 0, bk =2

π

∫ π

0

x sin kxdx = 2(−1)k+1

k.

Par conséquent, la série de Fourier associée à f est

f(x) ∼ 2∞∑

k=1

(−1)k+1

ksin kx, x ∈ [−π, π].

Exemple 130 Considérons sur [−π, π], la fonction f(x) = x2. Cette fonctionétant paire, on a

bk = 0, a0 =2

π

∫ π

0

x2dx =2π2

3

et

ak =2

π

∫ π

0

x2 cos kxdx = 4(−1)k

k2.

D'où,

f(x) ∼ π2

3+ 4

∞∑k=1

(−1)k

k2cos kx, x ∈ [−π, π].

Proposition 131 En notation complexe, la série de Fourier d'une fonction2π-périodique f s'écrit sous la forme

∞∑k=−∞

ckeikx,

où

ck =1

2π

∫ π

−π

f(x)e−ikxdx, k ∈ Z.

Remarque 132 On déduit de ce qui précède que si f est 2L-périodique, sasérie de Fourier s'écrit en notation complexe sous la forme

∞∑k=−∞

ckei kπ

Lx,

où

ck =1

2L

∫ L

−L

f(x)e−i kπL

xdx, k ∈ Z.


Exemple 133 Soit f la fonction 2π-périodique, dénie dans l'intervalle ] −π, π[ par f(x) = ex, −π < x < π. La valeur de f pour x = π est quelconque.On a

c0 =1

2π

∫ π

−π

exdx =eπ − e−π

π=

sinh π

π,

et

ck =1

2π

∫ π

−π

exe−ikxdx =sinh π

π.(−1)k

1− ik.

Or c0 = a0

2, ck = ak−ibk

2, c−k = ak+ibk

2, d'où

a0 = 2c0 = 2sinh π

π,

ak = ck + c−k = 2sinh π

π.(−1)k

1 + k2,

bk = i(ck − c−k) = −2sinh π

π.(−1)kk

1 + k2.

Par conséquent,

f(x) ∼ sinh π

π+ 2

sinh π

π

∞∑k=1

(−1)k

1 + k2(cos kx− k sin kx).

Plusieurs questions se posent : La série de Fourier associée à une fonction fest-elle convergente ? En cas de convergence, peut-on dire que que la somme decette série coïncide avec f et de quelle type est-la convergence ? Tout d'abord,on déduit de ce qui précéde que si la série de Fourier associée à une fonctioncontinue converge uniformément, alors elle converge vers cette fonction. Aprèsun rappel sur les fonctions réglées et une nouvelle notion de dérivée à droiteet à gauche adaptée à l'étude des séries de Fourier, on aborde le théorème deDirichlet donnant des conditions susantes pour qu'une fonction soit représen-table par une série de Fourier. D'autres questions et réponses seront évoquéesplus loin.

Proposition 134 Si la série de Fourier associée à une fonction continue fconverge uniformément, alors elle converge vers f .

Soient f : [a, b] −→ R(ou C) et x ∈ [a, b]. Nous noterons f(x+0) et f(x−0)les limites à droite et à gauche de f en x, i.e.,

f(x+ 0) = limh→0h>0

f(x+ h),

f(x− 0) = limh→0h>0

f(x− h).


Aux extrémités a et b, la limite n'est dénie que d'un côté.On dit que la fonction f possède une discontinuité de première espèce au

point x ∈ [a, b] si f n'est pas continue en x et si les limites f(x+0) et f(x−0)existent et sont distinctes.

Dénition 135 Une fonction f dénie sur un intervalle [a, b], est dite régléesi elle admet une limite à droite en tout point de [a, b[ et une limite à gaucheen tout point de ]a, b].

Les points de discontinuité des fonctions réglées sont toujours de premièreespèce. On montre aisément que toute fonction réglée est bornée et intégrableau sens de Riemann.

Exemples importants de fonctions réglées :

1) Toute fonction continue est réglée.2) Toute fonction continue par morceaux est réglée. Une fonction f est

dite continue par morceaux sur un intervalle [a, b], si ce dernier admet unesubdivision par un nombre ni de points : a = α0 < α1 < · · · < αk = b, telleque dans chaque intervalle ]αi, αi+1[, 0 ≤ i ≤ k − 1, f soit continue et possèdeune limite nie aux extrémités droite et gauche. (Certains auteurs appellentde telles fonctions, des fonctions réglées continues par morceaux).

3) Toute fonction en escalier est réglée. Une fonction f dénie sur un in-tervalle [a, b], est dite en escalier s'il existe une subdivision de [a, b] : a = α0 <α1 < · · · < αk = b, telle que f soit constante dans chacun des intervallesouverts ]αi, αi+1[, 0 ≤ i ≤ k − 1. Signalons qu'une fonction f est réglée si etseulement si f est limite d'une suite uniformément convergente de fonctionsen escalier.

4) Toute fonction numérique monotone est réglée.5) Toute fonction à variation bornée est réglée. Une fonction f est dite à

variation bornée sur [a, b], s'il existe une constante C ≥ 0 telle que pour toutesubdivision de [a, b] : a = α0 < α1 < · · · < αk = b, on ait

k−1∑i=0

|f(αi+1)− f(αi)| ≤ C.

On montre que toute fonction f , diérence de deux fonctions bornées et nondécroissante, est à variation bornée. Signalons aussi que toute fonction mono-tone est à variation bornée. Toute fonction admettant une dérivée à droite età gauche en chaque point est à variation bornée. Mais une fonction continuen'est pas toujours à variation bornée.


Dénition 136 On appelle dérivée à droite de f au point x, la limite (si elleexiste) suivante :

limh→0h>0

f(x+ h)− f(x+ 0)

h.

De même, on appelle dérivée à gauche de f au point x, la limite (si elle existe)suivante :

limh→0h>0

f(x− 0)− f(x− h)

h.

Le résultat suivant (appelé lemme ou théorème de Riemann-Lebesgue),obtenu par Riemann a été généralisé par la suite par Lebesgue.

Lebesgue

Lemme 137 Si f est une fonction bornée et intégrable sur [a, b], alors

limλ→∞

∫ b

a

f(x) cosλxdx = 0, limλ→∞

∫ b

a

f(x) sinλxdx = 0.

Théorème 138 (Dirichlet). Soit f une fonction 2π-périodique sur R, régléeet dérivable à droite et à gauche sur R. Alors la série de Fourier de f convergesimplement en tout point x vers

f(x+ 0) + f(x− 0)

2(régularisée de f).

En particulier, si f est continue au point x, sa série de Fourier converge versla fonction f(x).

Remarque 139 Le théorème que l'on vient de prouver se généralise évidem-ment aux séries de Fourier de fonctions 2L-périodique, dénie et intégrable surun intervalle [−L,L] d'amplitude quelconque nie.


Remarque 140 Soulignons que la convergence de la série de Fourier au pointx, ne dépend que du comportement de f(x) au voisinage de x. Par conséquent,si on modie la valeur de f en un seul point, sa série de Fourier n'est pasmodiée, puisque les coecients sont dénis par des intégrales.

Remarque 141 Si la fonction f est dénie seulement sur [−π, π], on peutla prolonger par périodicité en une fonction sur R, sauf aux points ±π (etgénéralement aux points π + 2kπ) lorsque f(π) 6= f(−π). Le théorème deDirichlet s'applique à la fonction ainsi prolongée. Dès lors, si f satisfait auxhypothèses du théorème de Dirichlet, la série de Fourier converge vers

f(x+ 0) + f(x− 0)

2,

en tout point intérieur au segment où les dérivées à droite et à gauche existent.Cependant, aux extrémités x = ±π (et généralement aux points π + 2kπ), lasérie converge vers

f(π − 0) + f(−π + 0)

2,

pourvu que f possède une dérivée à droite en x = −π et une dérivée à gaucheen x = π, car f(−π−0) = f(π−0) et f(π+0) = f(−π+0) (et généralement,f(π + 2kπ − 0) = f(π − 0), f(π + 2kπ + 0) = f(−π + 0)).

Exemple 142 Soit f la fonction 2π-périodique, dénie dans l'intervalle [−π, π]par f(x) = |x|. La fonction f est continue sur R et dérivable à droite et àgauche sur R. Comme elle est paire, on a donc bk = 0, ∀k ≥ 1 et

a0 =2

π

∫ π

0

xdx = π,

ak =2

π

∫ π

0

x cos kxdx =

0 si k = 2p

− 4π(2p+1)2

si k = 2p+ 1

On obtient ainsi la série :

π

2− 4

π

∞∑p=0

cos(2p+ 1)x

(2p+ 1)2, −π ≤ x ≤ π.

D'après le théorème de Dirichlet, cette série converge et sa somme est égale àf(x), ∀x ∈ R. En particulier, pour x = 0,

f(0) = 0 =π

2− 4

π

∞∑p=0

1

(2p+ 1)2,

donc∞∑

p=0

1

(2p+ 1)2=π2

8.


Notons enn que

∞∑k=1

1

k2=

∞∑p=0

1

(2p+ 1)2+

∞∑p=1

1

(2p)2=π2

8+

1

4

∞∑k=1

1

k2,

d'où la somme d'Euler∞∑

k=1

1

k2=π2

6.

Exemple 143 Reprenons l'exemple de la fonction f , 2π-périodique, déniesur l'intervalle ]− π, π] par f(x) = ex, −π < x < π. La valeur de f en x = πest quelconque. Nous avons montré précédemment que

f(x) ∼ sinh π

π+ 2

sinh π

π

∞∑k=1

(−1)k


La fonction f est réglée et dérivable à droite et à gauche sur R. D'après lethéorème de Dirichlet, en tout point où f est continue, i.e., ∀x 6= (2l + 1)π,l ∈ Z, on a

ex =sinh π

π+ 2

sinh π

π

∞∑k=1

(−1)k


Au point de discontinuité x = π, on a

f(π + 0) + f(π − 0)

2=e−π + eπ

2= cosh π.

Donc

cosh π =sinh π

π+ 2

sinh π

π

∞∑k=1

1

1 + k2.

Le théorème de Dirichlet que l'on vient de voir, montre que pour une fonc-tion 2π-périodique, si ses discontinuités (si elles existent) sont de premièreespèce et sont en nombre ni dans tout intervalle ni et si en outre, cette fonc-tion admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche alors sasérie de Fourier converge et on a :

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) =

f(x+0)+f(x−0)

2si f est discontinue en x

f(x) si f est continue en x

De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle où la fonction f estcontinue. Par ailleurs, ce théorème permet de calculer la somme de certaines


séries numériques. Il existe dans la littérature, de nombreuses formes du théo-rème de Dirichlet, en modiant les hypothèses et le résultat que l'on obtient,dépend de ces hypothèses. Rappelons qu'une fonction f est dite de classe C1

par morceaux sur un intervalle [a, b], si ce dernier admet une subdivision parun nombre ni de points : a = α0 < α1 < · · · < αk = b, telle que danschaque intervalle ]αi, αi+1[, 0 ≤ i ≤ k − 1, f soit la restriction d'une fonctionde C1([αi, αi+1]). Une fonction 2π-périodique est de classe C1 par morceaux surR si elle l'est sur [0, 2π]. On démontre que si f est une fonction 2π-périodiquede classe C1 par morceaux et continue sur R, alors sa série de Fourier convergevers f normalement sur R. On peut considérer le théorème de convergenceuniforme de Dirichlet comme étant une version globale de celui de convergencesimple. Pour une fonction périodique et continûment dérivable au voisinagede tout point d'un intervalle, la série de Fourier de f converge uniformémentvers f sur cet intervalle. Evidemment si la fonction f possède des points dediscontinuité, la convergence n'est pas uniforme sur R. Par ailleurs, la raisonqui empèche une fonction à ne pas admettre un développement en série deFourier, n'a rien à voir avec la discontinuité de cette fonction. En eet, onpeut construire une fonction continue mais dont la série de Fourier diverge.

Théorème 144 Soit f une fonction 2π-périodique, continue sur R et de classeC1 par morceaux. Alors la série de Fourier de f converge normalement (et parsuite absolument et uniformément) vers f sur R.

Remarque 145 Une question se pose : que se passe-t-il exactement au voisi-nage d'un point de discontinuité de la fonction f ? Lorsqu'on limite le dévelop-pement de Fourier de f(x) à un certain nombre n xé (même très grand) determes, on obtient une valeur approchée de f(x). La courbe approchée obtenuedans ce cas, présente des oscillations de part et d'autre de la courbe d'équa-tion y = f(x) et plus précisément, c'est au voisinage du point de discontinuitéque la courbe approchée s'écarte le plus de la courbe exacte. D'après le théo-rème de Dirichlet, lorsqu'on augmente le nombre de termes, la série de Fourierapproxime de mieux en mieux la fonction en dehors de ses points de discon-tinuités, mais on constate qu'elle va au-delà de la valeur de la discontinuité.Nous avons démontré que la série de Fourier de f(x) converge simplement en

tout point x vers f(x+0)+f(x−0)2

, mais cela ne signie pas que le graphe de lasomme partielle

Sn(x) =a0

2+

n∑k=1


converge vers celui de f(x) lorsque n → ∞. La position du maximum ou mi-nimum tend vers le point de discontinuité, mais la valeur à ce maximum ouminimum ne tend pas vers la valeur de f(x ± 0). Ce phénomène, s'appelle


"phénomène de Gibbs. Il se traduit par des oscillations du graphe de la sommepartielle Sn autour des points de discontinuité. Cette singularité provient dunon convergence uniforme de la série de Fourier au voisinage du point dediscontinuité. Par ailleurs et contrairement à ce que l'intuition pourrait sug-gérer, une augmentation de n ne réduira pas l'amplitude de l'oscillation. Aucontraire, l'écart reste supérieur à une valeur seuil, aussi grand soit l'entier n.Par ailleurs, on remarque que l'oscillation s'eectuera sur des intervalles deplus en plus petits.

Gibbs

4.3 Théorèmes de Cesaro, Fejér, Jordan et Weierstrass

Nous avons vu précédemment certaines conditions susantes de conver-gence pour une série de Fourier. Ils en existent d'autres. Une question se pose :est-ce que la série de Fourier associée à une fonction continue converge tou-jours ? La réponse est non. En eet, Fejér a montré que la série de Fourier d'unefonction continue pouvait diverger. Il a par contre démontré qu'elle convergevers f au sens de Cesaro.

Dénition 146 Soit∑∞

k=1 ak une série et (Sn) la suite de ses sommes par-tielles. Posons

σ1 = S1, σ2 =S1 + S2

2, ..., σn =

S1 + S2 + · · ·+ Sn

n.

Rappelons que la série∑ak converge au sens de Cesaro (ou en moyenne) et

a pour somme σ si et seulement si la suite (σn) converge vers σ.

On montre que si la série∑ak converge au sens usuel et a pour somme S,

alors elle converge au sens de Cesaro vers la même somme. Inversement, unesérie peut converger au sens de Cesaro et diverger au sens usuel. Par exemplela série 1 − 1 + 1 − 1 + · · · diverge au sens usuel mais converge au sens deCesaro vers 1

2.


Théorème 147 (Fejér). Soit f une fonction 2π-périodique et continue surR. Alors, la série de Fourier de f converge au sens de Cesaro vers f(x),uniformément sur R.

Fejér

Théorème 148 (Jordan). Si f est périodique et à variation bornée sur unintervalle d'une période, sa série de Fourier converge pour tous les x versf(x+0)+f(x−0)

2. De plus, la convergence vers f(x) est uniforme sur tout intervalle

où f est continue.

Jordan

Comme application du théorème de Fejér, on a le résultat suivant :

Théorème 149 (d'approximation de Weierstrass) . Soit f une fonction conti-nue sur un intervalle [a, b]. Quel que soit ε > 0, il existe un polynôme P telque, pour tout x ∈ [a, b], on ait |f(x)− P (x)| ≤ ε.


4.4 Egalité de Parseval et inégalité de Bessel

Soit f une fonction 2π-périodique et supposons pour le moment que sa sériede Fourier converge uniformément vers f(x) ;

f(x) =a0

2+

∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx).

Multiplions les deux membres de l'égalité ci-dessus par f(x) et intégrons termeà terme sur [−π, π],

∫ π

−π

f 2(x)dx =a0

2

∫ π

−π

f(x)dx

+∞∑

k=1

(ak

∫ π

−π

f(x) cos kxdx+ bk

∫ π

−π

f(x) sin kxdx

),

= π

(a2

0

2+

∞∑k=1

(a2k + b2k)

).

Par conséquent, on a l'égalité suivante, dite égalité de Parseval :

a20

2+

∞∑k=1

(a2

k + b2k)

=1

π

∫ π

−π

f 2(x)dx.

Parseval

Cette égalité est satisfaite pour une fonction 2π-périodique réglée ou plusgénéralement de carré intégrable (i.e.,

∫ π

−π|f(x)|2dx < ∞) sur une période.

Physiquement, l'égalité de Parseval signie que l'énergie totale d'un phéno-mène périodique est égale à la somme des énergies associées aux diérentsharmoniques.

Dénition 150 Soit f une fonction 2π-périodique. On dit que le polynômetrigonométrique

Tn(x) ≡ α0

2+

n∑k=1

(αk cos kx+ βk sin kx),


approche f(x) en moyenne quadratique si les coecients αk et βk sont telsque : ∫ π

−π

(f(x)− Tn(x))2dx,

soit minimum.

Proposition 151 Parmi tous les polynômes trigonométriques d'ordre n, c'estle polynôme dont les coecients αk, βk sont les coecients de Fourier de lafonction f , c-à-d.,

αk = ak =1

π

∫ π

−π

f(x) cos kxdx, βk = bk =1

π

∫ π

−π

f(x) sin kxdx,

qui réalise la meilleure approximation en moyenne quadratique de cette fonc-tion. Autrement dit, pour tout n, on a∫ π

−π

(f(x)− Sn(x))2dx ≤∫ π

−π

(f(x)− Tn(x))2dx.

Corollaire 152 On a l'inégalité de Bessel

a20

2+

∞∑k=1

(a2k + b2k) ≤

1

π

∫ π

−π

f 2(x)dx.

Dénition 153 Si limn→∞∫ π

−π(f(x)−Sn(x))2dx = 0, on dit alors que la série

a0

2+

∞∑k=1


converge en moyenne quadratique vers f(x).

Proposition 154 Soit f une fonction 2π-périodique et réglée. Alorsa) Il existe une suite de fonctions continues convergeant vers f en moyenne

quadratique.b) La série de Fourier de f converge en moyenne quadratique vers f .

Corollaire 155 Soit f : [−π, π] −→ R, une fonction réglée. On a l'égalité deParseval

a20

2+

∞∑k=1

(a2k + b2k) =

1

π

∫ π

−π

f 2(x)dx.


4.5 Exercices

Exercice 4.1 Déterminer les séries de Fourier associées aux fonctions 2π-périodiques suivantes :

a)

f(x) =

0 si x ∈ [−π, 0]x si x ∈ [0, π

2]

π2

si x ∈ [π2, π]

b)g(x) = ex si x ∈ [−π, π].

Réponse : a) f(x) ∼ 3π16

+∑∞

k=1

((cos kπ

2−1)

k2πcos kx+

(sin kπ

2

k2π− (−1)k

2k

)sin kx

). b)

g(x) ∼ eπ−e−π

π

(12

+∑∞

k=1(−1)k

1+k2 (cos kx− k sin kx)).

Exercice 4.2 Soit f la fonction dénie par

f(x) = supsin x, 0, x ∈ R.

a) Montrer que cette fonction est développable en série de Fourier.b) Déterminer cette série ainsi que le domaine de convergence uniforme.

c) En déduire la valeur de∞∑

k=1

(−1)k

4k2 − 1.

Réponse : b) f(x) = 1π

+ sin x2

+ 2π

∑∞l=1

cos 2lx1−4l2

. Le domaine de convergenceuniforme de cette série est R. c)

∑∞k=1

(−1)k

4k2−1= 1

2− π

4.

Exercice 4.3 Montrer que l'on peut utiliser les résultats obtenus dans l'exer-cice précédent pour prouver et obtenir le développement en série de Fourier dela fonction g dénie par

g(x) = supcosx, 0, x ∈ R.

Réponse : Il sut de noter que g(x) = f(x + π2) où f est la fonction dénie

dans l'exercice précédent et d'utiliser les résultats obtenus dans cet exercice.

Exercice 4.4 Soit f la fonction de période 2π qui vaut (π2 − x2)2quand x ∈

[−π, π]. Trouver le développement en série de Fourier de f . Peut-on calculerla série de Fourier de f ′ en dérivant terme à terme celle de f ?

Réponse : f(x) = 8π4

15− 48

∑∞k=1

(−1)k

k4 cos kx, ∀x ∈ R et on montre que :f ′(x) =

∑∞k=1

48(−1)k

k3 sin kx.


Exercice 4.5 Soit la fonction périodique de période 2π dénie par

f(x) =∣∣sin3 x

∣∣ , x ∈ [−π, π].

a) Calculer pour k ∈ N,

ak =1

π

∫ π

−π

f(x) cos kxdx, bk =1

π

∫ π

−π

f(x) sin kxdx.

b) Soit

S(x) =a0

2+

∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) .

Montrer que S est dénie et deux fois dérivable sur R.c) Montrer que S(x) admet une dérivée troisième en tout point x 6= lπ,

l ∈ Z.d) Montrer que f(x) = S(x), ∀x ∈ R.

Exercice 4.6 (Extrait du concours X, école polytechnique). Déterminer lafonction paire, π-périodique f telle que ses coecients de Fourier trigonomé-triques soient données par :

ak(f) =2

π

∫ π

0

f(x) cos kxdx =

(k + 1)αk si k ≥ 1

1 si k = 0

où α ∈ R, |α| < 1 et bk(f) = 0 pour tout k ∈ N∗.

Réponse : f(x) = 1+2α cos x+α2 cos 2x((1−α cos x)2+α2 sin2 x)2

.

Exercice 4.7 Soit f la fonction périodique de période 2π dénie [0, 2π] par

x 7−→ f(x) = ch(x− π).

1) Déterminer la série de Fourier associée à la fonction f .2) Montrer que la série obtenue converge uniformément vers f .

3) En déduire les valeurs des sommes∞∑

k=0

1

1 + k2et

∞∑k=0

(−1)k

1 + k2.

4) Montrer que la série∞∑

l=−∞

e−|x+2lπ| converge uniformément sur [0, 2π].

On désigne sa somme par S(x).5) Exprimer au moyen d'intégrales prises dans l'intervalle [2lπ, 2lπ + 2π],

les coecients de Fourier de la fonction périodique de période 2π égale entre0 et 2π à e−|x+2lπ|.


6) En déduire que le développement de Fourier de S(x) peut s'écrire

ϕ(0)

2π+

1

π

∞∑k=1

ϕ(k) cos kx,

où

ϕ(x) =

∫ ∞

−∞e−|t| cosxtdt.

7) En calculant explicitement ϕ(x) et S(x), retrouver les résultats des ques-tions 1) et 2).

Réponse : 1) f(x) ∼ sinh ππ

+ 2 sinh ππ

∑∞k=1

cos kx1+k2 . 3)

∑∞k=0

11+k2 = 1

2+ π

2cothπ,∑∞

k=0(−1)k

1+k2 = 12

+ π2 sinh π

. 5) 1π

∫ 2lπ+2π

2lπe−|y| cos kydy et 1

π

∫ 2lπ+2π

2lπe−|y| sin kydy.

Exercice 4.8 Développer en série de Fourier les fonctions suivantes :

x 7−→ ecos x cos(sinx), x 7−→ ecos x sin(sin x).

Réponse : ecos x cos(sinx) =∑∞

k=0cos kx

k!et ecos x sin(sin x) =

∑∞k=0

sin kxk!

.

Exercice 4.9 Soit α ∈ R \ Z et considérons la fonction dénie par

f(x) = cosαx, x ∈ [−π, π].

a) Montrer que f est développable en série de Fourier et déterminer cettesérie.

b) Etudier la convergence de la série obtenue dans a).c) En déduire les relations :

π

sinαπ=

1

α+ 2α

∞∑k=1

(−1)k

α2 − k2,

π cotαπ =1

α+ 2α

∞∑k=1

1

α2 − k2,

π2

sin2 απ=

∞∑k=−∞

1

(α− k)2.

Réponse : a) cosαx = sin αππ

(1α

+ 2α∑∞

k=1(−1)k

α2−k2 cos kx). b) La série en ques-

tion converge normalement (donc absolument et uniformément) sur R.


5 Fonctions vectorielles

5.1 Eléments de topologie (de Rn,...)

On désigne par Rn (n ≥ 1 étant un entier) le produit cartésien

Rn = R× R× ...× R︸︷︷︸n−facteurs

Donc Rn est l'ensemble de n-uplets ordonnés (x1, ..., xn) de nombres réels. Endénissant l'addition et la multiplication par un réel,

Rn × Rn −→ Rn , (x, y) 7−→ x+ y = (x1 + y1, ..., xn + yn),

R× Rn −→ Rn , (λ, x) 7−→ λx = (λx1, ..., λxn),

on munit Rn d'une structure d'espace vectoriel sur R. Cet espace est de dimen-sion n et a pour base canonique les n vecteurs (1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0),...,(0, ..., 0, 1).

Dénition 156 On appelle norme sur un espace vectoriel E sur K = R ouC, une application

|| • || : E −→ R, x 7−→ ||x||,

vériant les conditions suivantes :(i) ∀x ∈ E, ||x|| ≥ 0 et ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0.(ii) ∀x ∈ E, ∀α ∈ K, ||αx|| = |α|.||x||.(iii) ∀x, y ∈ E, ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y|| (inégalité de Minkowski).

Un espace vectoriel muni d'une norme est dit espace vectoriel normé.

Minkowski

Exemple 157 Soit x = (x1, ..., xn) ∈ Rn. On pose

||x||1 = |x1|+ · · ·+ |xn|.

||x||2 =√x2

1 + · · ·x2n.

||x||∞ = max (|x1|, ..., |xn|).

Les applications ||x||1, ||x||2, ||x||∞ : Rn −→ R+, sont des normes sur Rn.


Dénition 158 Deux normes || • || et || • ||′ sont dites équivalentes s'il existedeux nombres réels α > 0 et β > 0 tels que :

α||x|| ≤ ||x||′ ≤ β||x||, ∀x ∈ E.

Exercice 5.1 Montrer que ∀x ∈ Rn, on a

||x||∞ ≤ ||x||2 ≤ ||x||1 ≤ n||x||∞.

Les trois normes || • ||1, || • ||2 et || • ||∞ sont équivalentes sur Rn. Lorsque lechoix de ces normes est arbitraire, on utilise tout simplement la notation || • ||.

Dénition 159 On appelle distance de deux vecteurs x, y ∈ E, le nombre réel

d(x, y) = ||x− y||.

Autrement dit, une distance sur E est une application

d : E × E −→ R,

satisfaisant aux conditions suivantes :(i) ∀x, y ∈ E, d(x, y) ≥ 0 et d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.(ii) ∀x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x) (symétrie).(iii) ∀x, y, z ∈ E, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire).

Un ensemble muni d'une distance est dit espace métrique.

Proposition 160 ∀x, y ∈ E, ∀α ∈ R, d(αx, αy) = |α|d(x, y) (homogénéité).

Exemple 161 Soit E un ensemble non vide et soit d : E ×E −→ R+ déniepar

d(x, y) =

1 si x 6= y0 si x = y

L'application d est une distance sur E dite distance discrète.

Exemple 162 Soit A un ensemble non vide quelconque et soit E = B(A,R)l'ensemble des applications bornées sur A. L'application d dénie par

∀(f, g) ∈ E × E, d(f, g) = sup|f(x)− g(x)|, x ∈ A,

est une distance sur E appelée distance de la convergence uniforme sur A.


Exercice 5.2 Montrer que les applications suivantes de Rn×Rn dans R+ sontbien des distances : ∀x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, ∀yx = (y1, ..., yn) ∈ Rn,

(x, y) 7−→ d1(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi|.

(x, y) 7−→ d2(x, y) =

√√√√ n∑i=1

|xi − yi|2.

(x, y) 7−→ d∞(x, y) = max |xi − yi|, 1 ≤ i ≤ n.

Exemple 163 Soit E = C0([a, b],R) l'ensemble des fonctions continues sur[a, b]. L'application d dénie sur E × E par

∀(f, g) ∈ E × E, d(f, g) =

∫ b

a

|f(x)− g(x)|dx,

est une distance sur E, dite distance de la convergence en moyenne.

Exemple 164 Soient P et Q deux parties non vides de E. On appelle distancede P et de Q, et on note d(P,Q) la borne inférieure des distances des pointsde P et de Q :

d(P,Q) = infx∈P,y∈Q

d(x, y).

Lorsque P est réduit à un élément x, la distance de P et de Q s'appelle distancede x à Q et se note d(x,Q). Mais, l'application

P(E)× P(E) −→ R+, (P,Q) 7−→ d(P,Q),

n'est pas une distance sur l'ensemble P(E) des parties de E.

Remarque 165 Comme pour les normes, on dit que deux distances d et d′

sont équivalentes sur E, s'il existe α, β > 0 tels que :

αd(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ βd(x, y), ∀x, y ∈ E.

Exercice 5.3 Montrer que les distances d1, d2 et d∞ sont équivalentes.

Dénition 166 On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r, l'ensemble

B(a, r) = x ∈ E : d(x, a) < r.

Lorsque d(x, a) ≤ r, on dira que la boule est fermée et on note B[a, r].

Exemple 167 S(a, r) = x ∈ E : d(x, a) = r est une sphère de centre a etde rayon r.


Exercice 5.4 Montrer que si a ∈ Rn et r > 0, alors

B∞

[a,r

n

]⊂ B1[a, r] ⊂ B2[a, r] ⊂ B∞[a, r],

où Bj[, ] désigne la boule fermée relative à la norme || • ||j. Dans R2, illustrerce résultat sur une gure.

Réponse :

(Le noir correspond à B∞, le vert à B2, le rouge à B1)

Dénition 168 On appelle voisinage d'un point a ∈ E, tout ensemble V(a)qui contient une boule ouverte B(a, r).

Dénition 169 Soit A une partie de E et soit a ∈ E. On dit que a estintérieur à A si A est un voisinage de a, c'est -à-dire s'il existe r > 0 tel que :

B(a, r) ⊂ A. L'intérieur de A, noté int A ouA, est l'ensemble

int A = a ∈ E : a est intérieur à A = a ∈ E : A est voisinage de a.

On évidemment int A ⊂ A et int [a, b] = int ]a, b[= int ]a, b] = int [a, b[=]a, b[.

Proposition 170 Soient A1 et A2 deux parties de E. Alors

A1 ⊆ A2 =⇒ int A1 ⊆ int A2,

int A1 ∪ int A2 ⊆ int (A1 ∪ A2),

int A1 ∩ int A2 = int (A1 ∩ A2).

Dénition 171 On dit qu'un point a ∈ E est adhérent à A si tout voisinagede a coupe A. Cela revient à dire

∀r > 0, B(a, r) ∩ A 6= ∅.

L'adhérence (ou la fermeture) de A, notée adh A ou A, est l'ensemble

adh A = a ∈ E : a est adhérent à A.


On a adh A ⊃ A et adh [a, b] = adh ]a, b[= adh ]a, b] = adh [a, b[= [a, b].Lorsque adh A = E, on dira que A est dense dans E.

Exercice 5.5 Déterminer l'intérieurA et l'adhérence A de l'ensemble

A = ([0, 1]× [0, 1]) ∪ ([1, 2]× 0) ⊂ R2.

Réponse :A =]0, 1[×]0, 1[, A = A.

Exercice 5.6 Montrer que int A = (adh Ac)c et adh A = (int Ac)c.

Proposition 172 Soient A1 et A2 deux parties de E. Alors

A1 ⊆ A2 =⇒ adh A1 ⊆ adh A2,

adh A1 ∪ adh A2 = adh (A1 ∪ A2),

adh A1 ∩ adh A2 ⊇ adh (A1 ∩ A2).

Exemple 173 adh Qn = Rn.

Dénition 174 La frontière de A est l'ensemble fr A = adh A \ int A.

Notons que fr A est un fermé.

Dénition 175 Soit A ⊂ E. On dit qu'un point a ∈ E est un point d'accumulationde A si tout voisinage de a contient un point de A autre que a (c'est-à-diresi a ∈ adh (A\a)). Le point a est dit isolé s'il existe un voisinage de a necontenant aucun point de A autre que a.

Remarque 176 Un point isolé de A est un point de A qui n'est pas un pointd'accumulation de A. Si C est l'ensemble des points d'accumulation de A et Icelui des points isolés de A, alors I ⊂ A ⊂ adh A, I ∩C = ∅ et I ∪C = adh A.

Dénition 177 Soit A ⊂ E. On dit que A est ouvert si A = ∅ ou

∀a ∈ A,∃r > 0 : B(a, r) ⊂ A.

Autrement dit, A est ouvert si int A = A.

Exemple 178 ∅, Rn sont des ouverts.

Proposition 179 Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert et une in-tersection nie d'ouverts est un ouvert.


Exercice 5.7 Montrer que toute boule sans bord est un ouvert. En déduire quel'intersection d'une famille innie d'ouverts n'est pas en général un ouvert.

Proposition 180 L'intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A.

Remarque 181 L'intérieur de A est la réunion de tous les ouverts contenusdans A.

Dénition 182 On dit que A est fermé si adh A = A. Autrement dit, A estfermé si son complémentaire est un ouvert.

Exemple 183 ∅, Rn sont des fermés.

Proposition 184 Une réunion nie de fermés est un fermé et une intersec-tion quelconque de fermés est un fermé.

Exercice 5.8 Montrer que la réunion innie de fermés n'est pas en généralun fermé.

Proposition 185 L'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A.

Remarque 186 L'intérieur de A est l'intersection de tous les fermés conte-nant A.

Dénition 187 Un espace métrique E est dit connexe s'il satisfait à l'une desconditions équivalentes suivantes :

(i) E et ∅ sont les seules parties ouvertes et fermés.(ii) Il n'existe pas deux ouverts A1 et A2 tels que : A1∩A2 = ∅, A1∪A2 = E.(iii) E n'est pas égal à la réunion de deux fermés disjoints.

Dénition 188 Soit A ⊂ E et I un ensemble (d'indices) quelconque. Unefamille (Ak)k∈I de parties de E constitue un recouvrement de A lorsque laréunion

⋃k∈I Ak contient A. Un recouvrement est dit ouvert si ∀k ∈ I, Ak est

un ouvert de E et il est dit ni si I est un ensemble ni.

Dénition 189 On dit que A ⊂ E est borné s'il existe a ∈ E et r > 0 telque : A ⊂ B[a, r].

Dénition 190 On dit que A ⊂ E est compact si de tout recouvrement ouvert,on peut en extraire un recouvrement ni.

Exemple 191 R n'est pas compact, R = [−∞,∞] est compact, Les intervallesfermés bornés de R sont compacts.


Théorème 192 Soit A ⊂ E. Alors A est compact si et seulemnet si de toutesuite d'éléments de A, on peut en extraire une sous-suite qui converge vers unélément de A.

Rappelons qu'une suite (fk) est une suite de Cauchy si

∀ε > 0,∃N > 0 : k > l ≥ N =⇒ d(fk, fl) ≤ ε.

Toute suite convergente est de Cauchy mais la réciproque n'est pas toujoursvraie.

Dénition 193 Un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchyconverge vers un élément de cet espace. Un espace de Banach est un espacevectoriel normé complet.

Banach

Exemple 194 (Rn, || • ||i), i = 1, 2,∞, sont des espaces de Banach.

5.2 Fonctions de Rn dans Rp

Soit Ω un ouvert de Rn et soit f : Ω −→ Rp, une application.

Dénition 195 On dit que f admet pour limite l ∈ Rp lorsque x tend vers adans Ω si

∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ Ω, ||x− a|| < δ =⇒ ||f(x)− l|| < ε.

On écrit l = limx→a

f(x).

Notons que si la limite existe, elle est unique.

Dénition 196 On dit que f est continue en a si limx→a

f(x) = f(a). On dit que

f est continue sur Ω si elle est continue en tout point de Ω.


Remarques 197 a) Pour prouver la continuité d'une fonction de plusieursvariables en un point a de son domaine, on majore |f(x) − f(a)| par uneexpression mieux connue, tendant vers 0 avec ||x− a||.

b) Pour prouver la discontinuité d'une fonction de plusieurs variables enun point a de son domaine, on prouve que pour x tendant vers a le long d'unchemin particulier, f(x) ne tend pas vers f(a).

c) Quelques majorations utiles :

|x| ≤√x2 + y2, |y| ≤

√x2 + y2, |xy| ≤ 1

2(x2 + y2).

Exercice 5.9 Etudier la continuité des fonctions dénies sur R2 para)

f(x, y) =

x sin 1

y, y 6= 0

0, y = 0

b)

f(x, y) =

x2y

x4+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

c)

f(x, y) =

x3+y3

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

d)

f(x, y) =

x4y

x6+y4 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Réponse :a) f est continue sur R2 sauf aux points (α, 0), α 6= 0.b) f est continue sur R2 sauf au point (0, 0).c) f est continue sur R2.d) f est continue sur R2 sauf au point (0, 0).

Exercice 5.10 Même question pour la fonction dénie sur R3 par

f(x, y, z) =

xy3z3

x4+y6+z8 , (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

0, (x, y, z) = (0, 0, 0)

Réponse : f est continue sur R3.

Soit a = (a1, ..., an) ∈ Ω ⊂ Rn, f : Ω −→ Rp. Notons

Ωi = xi ∈ R : (a1, ..., ai−1, xi, ai+1, ..., an) ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n

et considérons l'application suivante :

f i : Ωi −→ Rp, xi 7−→ f(a1, ..., ai−1, xi, ai+1, ..., an).


Dénition 198 On dit que f i est la ième fonction partielle de f au point a(c'est une fonction vectorielle).

Proposition 199 Si f est continue en a, alors chaque f i est continue en ai.La réciproque est fausse.

Soit a ∈ Rn, Ω un voisinage de a, f : Ω −→ Rp, et u ∈ Rn avec u 6= 0.

Dénition 200 Si la limite limλ→0λ 6=0

f(a+ λu)− f(a)

λexiste, alors on l'appelle

dérivée de f en a dans la direction u et on la note∂f

∂a(a) ou ∂uf(a).

Un cas particulier important de dérivée directionnelle est celui de dérivéepartielle. La dérivée partielle de f au point a par rapport à la ième variable,s'obtient en prenant pour u le ième vecteur ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) de la base

canonique (e1, ..., en) de Rn. On la note∂f

∂xi

(a) ou f ′i(a). D'après la dénitiondes dérivées directionnelles, on a

∂f

∂xi

(a) = limλ→0λ 6=0

f(a+ λei)− f(a)

λ,

= limλ→0λ 6=0

f(a1, ..., ai + λ, ..., an)− f(a1, ..., ai, ..., an)

λ.

Au fond, on calcule la dérivée au point ai de la ième fonction partielle de f aupoint a :

xi 7−→ f(a1, ..., ai−1, xi, ai+1, ..., an).

En d'autres termes, pour calculer la dérivée partielle∂f

∂xi

(a), on xe toutes les

variables, sauf la ième, et on dérive la fonction d'une variable ainsi obtenue.

Remarques 201 a) L'existence des dérivées partielles en un point n'assurepas la continuité de la fonction en ce point, ni l'existence des dérivées direc-tionnelles en ce point.

b) L'existence de toutes les dérivées directionnelles en un point n'impliquepas la continuité de la fonction en ce point.

Soit a ∈ Rn, Ω un voisinage de a et f : Ω −→ Rp, une application.

Dénition 202 On dit que f est diérentiable en a s'il existe une applicationlinéaire L : Rn −→ Rp, telle que :

∀h ∈ Rn, f(a+ h) = f(a) + L(h) + ε(h),


avec limh→0h6=0

ε(h)

||h||= 0 (i.e., ε(h) = o(||h||)). De façon équivalente (il sut de poser

x = a+ h), s'il existe une application linéaire L : Rn −→ Rp, telle que :

f(x) = f(a) + L(x− a) + ε(x− a),

avec limx→a

x∈Ω\a

ε(x− a)

||x− a||= 0. L'application L si elle existe, est unique et s'appelle

la diérentielle de f au point a. On la note df(a) ou dfa.

Signalons l'observation triviale suivante : La fonction f à valeurs dans Rp

est diérentiable en a si et seulement si ses composantes fj sont diérentiablesen a.

Proposition 203 Si f est diérentiable au point a, alors f est continue ena. (La réciproque est fausse en général).

On montre que si f est diérentiable en a, alors f est dérivable suivanttout vecteur u de Rn et

∂f

∂u(a) = df(a)u,

pour chaque u de Rn. Cette formule implique que si L est l'application linéaireintervenant dans la dénition de la diérentiabilité de f en a, alors

L(u) =∂f

∂u(a), ∀u ∈ Rn

d'où l'unicité de L.

Proposition 204 Si f est diérentiable au point a, alors les dérivées partielles∂f

∂xi

(a) existent et on a

df =n∑

i=1

∂f

∂xi

dxi.

(La réciproque est fausse en général).

Exercice 5.11 Quelle est la valeur approchée de (1, 02)3,01?

Réponse : (1, 02)3,01 ≈ 1, 06.

Remarque 205 La seule existence des dérivées partielles ne sut pas à as-surer la diérentiabilité. Par contre, on a le théorème suivant très utile enpratique.


Proposition 206 Si les dérivées partielles∂f

∂xi

(1 ≤ i ≤ n) de f existent dans

un voisinage de a et sont continues en a, alors f est diérentiable en a. (Laréciproque est fausse en général).

Dénition 207 On dit que f est continûment diérentiable ou de classe C1

sur Ω lorsque les dérivées partielles∂f

∂xi

de f existent et sont continues sur Ω.

Si f est de classe C1 sur Ω, alors f est diérentiable sur Ω.Le théorème suivant (voir [5]) donne une condition susante sur les dérivées

partielles de la fonction f pour que celle-ci soit diérentiable en a.

Proposition 208 On suppose que :(i) l'une des dérivées partielles ∂f

∂x1,..., ∂f

∂xnde la fonction f existe au point

a = (a1, ..., an).(ii) les n − 1 autres dérivées partielles existent dans un voisinage de a et

qu'en outre elles sont continues en a.Alors la fonction f est diérentiable en a.

On voit évidemment au niveau de la preuve (voir [5]) que cette propositionest aussi valable en aaiblissant la condition de continuité des dérivées par-tielles en demandant seulement la continuité par rapport à certaines variables.Dans le cas particulier d'une fonction f(x, y) à deux variables la conditionsusante de diérentiabilité de cette fonction consiste à utiliser la continuitéd'une des dérivées partielles mais pas les deux ! La continuité de toutes lesdérivées partielles intervient seulement pour montrer que f est de classe C1.En dimension deux le résultat devient [5] :

Proposition 209 si l'une des dérivées partielles ∂f∂x

et ∂f∂y

de la fonction f

existe au point a = (a1, a2) et si l'autre dérivée partielle existe dans un voisi-nage de a et que de plus cette dernière est continue en a, alors la fonction fest diérentiable en a.

On va maintenant étudier deux exemples d'applications.

Exemple 210 Etudions la diérentiabilité de la fonction dénie sur R2 par

f(x, y) =

xy3

x4+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)


(Surface d'équation z = f(x, y))

La fonction f est diérentiable sur R2\(0, 0) comme quotient de fonctionsdiérentiables sur R2\(0, 0) dont le dénominateur ne s'annule pas. Le seulpoint problématique est à l'origine. On a

∂f

∂x(x, y) =

y3(y2 − 3x4)

(x4 + y2)2,

∂f

∂y(x, y) =

xy2(3x4 + y2)

(x4 + y2)2,

et

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= 0,

∂f

∂y(0, 0) = lim

h→0

f(0, h)− f(0, 0)

h= 0.

Puisque f est une fonction à deux variables, il sut donc (d'après la proposi-tion précédente) de prouver que l'une de ces dérivées partielles est continue en(0, 0). On a∣∣∣∣∂f∂y (x, y)

∣∣∣∣ ≤ (x4 + y2)1/4.(x4 + y2).3(x4 + y2)

(x4 + y2)2= 3(x4 + y2)1/4,

et

lim(x,y)→(0,0)

∂f

∂y(x, y) = 0 =

∂f

∂y(0, 0).

Dès lors, la fonction ∂f∂y

est continue en (0, 0) et on en déduit que f est dif-

férentiable en (0, 0). Par conséquent, f est diérentiable sur R2. (Dans cetexemple la fonction f est de classe C1 car la dérivée partielle ∂f

∂x(x, y) est aussi

continue en (0, 0), mais on n'est pas obligé de le vérier pour montrer que fest diérentiable).


Exemple 211 Etudions la diérentiabilité de la fonction dénie sur R2 par

f(x, y) =

y2 sin x

y, y 6= 0

0, y = 0


La fonction f est diérentiable sur R2\(a, 0), a ∈ R, comme produit etcomposée de fonctions diérentiables. On a

∂f

∂x(x, y) = y cos

x

y,

∂f

∂y(x, y) = 2y sin

x

y− x cos

x

y,

et ∂f∂x

(0, 0) = ∂f∂y

(0, 0) = 0. En outre,∣∣∂f∂x

(x, y)∣∣ ≤ |y|,

lim(x,y)→(0,0)

∂f

∂x(x, y) = 0 =

∂f

∂x(0, 0),

ainsi ∂f∂x

est continue en (0, 0). Donc la fonction f est diérentiable en (0, 0).

De même, la fonction f est diérentiable en (a, 0), a 6= 0 car ∂f∂x

et ∂f∂y

existent

au point (a, 0) ; ∂f∂x

(a, 0) = ∂f∂y

(a, 0) = 0, et ∂f∂x

est continue en (a, 0) ;

lim(x,y)→(a,0)

∂f

∂x(x, y) = 0 =

∂f

∂x(a, 0).

(Notons que pour ce dernier cas, si a 6= 0, la dérivée partielle ∂f∂y

(x, y) n'est pas

continue en (a, 0) puisque lim(x,y)→(a,0)∂f∂y

(x, y) n'existe pas). Finalement f est


diérentiable sur R2.

(Discontinuité de∂f

∂y)


Exercice 5.12 Etudier la diérentiabilité des fonctions dénies sur R2 para)

f(x, y) =√x2 + y2

b)

f(x, y) =

(x2 + y2)2 sin 1√

x2+y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

c)

f(x, y) =

xy x4−y4

x4+y4 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Réponse :a) f est diérentiable sur R2 sauf au point (0, 0).b) f est diérentiable sur R2.c) f est diérentiable sur R2.

Exercice 5.13 Montrer que la fonction f de R2 dans R dénie par

f(x, y) =|x|y3

x2 + y2,

admet un prolongement continue à l'origine. Etudier la diérentiabilité en toutpoint de la fonction prolongée.

Réponse : Il sut de poser f(x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0). La fonction ainsiprolongée est diérentiable sur R2\(0, b) : b ∈ R, n'est pas diérentiable auxpoints (0, b), b ∈ R∗ et diérentiable à l'origine.

Exercice 5.14 Etudier la continuité et la diérentiabilité de la fonction fdénie sur R2 par

f(x, y) =

sin4 x

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Réponse : En utilisant le fait que : ∀x ∈ R, | sin x| ≤ |x|, on montre que lafonction f est est continue et diérentiable sur R2.

Exercice 5.15 Soit f une fonction de classe C1 de R dans R. On pose

g(x, y) =

f(x)−f(y)x−y

, x 6= y

f ′(x), x = y

a) Etudier la continuité de g sur R2.b) Si f ′′(a) existe, g est-elle diérentiable en (a, a)?


Réponse :a) g est continue sur R2.b) oui.

Exercice 5.16 Etudier la continuité et la diérentiabilité de la fonction dé-nie sur R2 par

f(x, y) =

sin x sin y sin 1

xsin 1

y, xy 6= 0

0, xy = 0

Réponse : f est continue et diérentiable en (x, y) ∈ R2 sauf peut-être en (x, y)tels que : xy = 0. f est continue en (x, y) tels que : xy = 0. f n'est pasdiérentiable en (a, 0), (0, a) avec a /∈ kπ : k ∈ Z ∪ 1

kπ: k ∈ Z∗. f est

diérentiable en (0, 0), (kπ, 0), ( 1kπ, 0), (0, kπ), (0, 1

kπ), k ∈ Z∗.

Proposition 212 Soient

f, g : Ω ⊂ Rn −→ Rp, h : Ω ⊂ Rn −→ R,

des fonctions diérentiables au point a ∈ Ω. Alors f + g et fh sont diéren-tiables en a et on a

d(f + g)(a) = df(a) + dg(a), d(fh)(a) = h(a)df(a) + f(a)dh(a).

Si de plus, h(a) 6= 0, alorsf

hest diérentiable en a et

d

(f

h

)(a) =

(df(a))h(a)− f(a)dh(a)

h2(a).

Proposition 213 (Diérentiabilité d'une fonction composée) : Soient a ∈ Rn,Ω un voisinage de a et f : Ω −→ Rp. Posons b = f(a) et soit ∆ un voisinage deb et g : 4 −→ Rq. On suppoe que f est diérentiable en a et g est diérentiableen b. Alors g f est diérentiable en a et

d(g f)(a) = dg(b).df(a).

Exercice 5.17 On considère une fonction f de R3 dans R appartenant àC1(R3). On pose,

∀(x, y) ∈ R2, F (x, y) = f(cosx2, xy, f(y, y, y)).

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de F par rapport à x et à y en unpoint (a, b) ∈ R2. On exprimera les dérivées partielles de F en fonction decelles de f .


Réponse : En désignant par ∂f∂xi

(x1, x2, x3) la dérivée première par rapport à lai-ème composante xi, on obtient

∂f

∂x(a, b) = −2a sin a2 ∂f

∂x1

(cos a2, ab, f(b, b, b)

)+ b

∂f

∂x2


),

et∂f

∂y(a, b) = a

∂f

∂x2


)+

(∂f

∂x1

(b, b, b) +∂f

∂x2

(b, b, b) +∂f

∂x3

(b, b, b)

)∂f

∂x3


).

Exercice 5.18 Même question pour la fonction

∀(x, y) ∈ R2, F (x, y) = f(cosx2, xy, f(x, y, x)).

Réponse : En désignant par ∂f∂xi

(x1, x2, x3) la dérivée première par rapport à lai-ème composante xi, on obtient

∂f

∂x(a, b) = −2a sin a2 ∂f

∂x1

(cos a2, ab, f(a, b, a)

)+ b

∂f

∂x2


)+∂f

∂x3


)( ∂f

∂x1


)+∂f

∂x3


)),

et∂f

∂y(a, b) = a

∂f

∂x2


)+∂f

∂x3


) ∂f∂x2

(a, b, a).

Exercice 5.19 Soient E = Rn et Φ l'application x 7→‖ x ‖. L'objet de cetexercice est d'étudier la diérentiabilité de l'application Φ.

a) Montrer que Φ n'est pas diérentiable en 0.b) On munit F = Rp de sa structure euclidienne usuelle et on note

‖ x ‖=

√√√√ p∑i=1

x2i .

Montrer que Φ est C1 sur F \ 0F et préciser sa diérentielle.c) On munit R2 de ‖ . ‖∞. L'application Φ est-elle diérentiable ?d) On considère l'espace

a = (an) ∈ RN :∞∑

n=0

est absolument convergente

,

muni de la norme ‖ x ‖=∞∑

n=0

| xn |. L'application Φ est-elle diérentiable ?


Exercice 5.20 Calculer la dérivée de

g(x) =

∫ v(x)

u(x)

f(x, t)dt,

où f est continue et u, v sont de classe C1.

Réponse : g′(x) = f(x, v(x))v′(x)− f(x, u(x))u′(x) +∫ v(x)

u(x)∂f∂x

(x, t)dt.

Exercice 5.21 Soit Mn(n,K) l'ensemble des matrices n × n. Montrer quel'application :

Mn(n,K) −→Mn(n,K), A 7−→ Ap, p ∈ N∗,

est diérentiable en tout point. Quelle est sa diérentielle ?

Réponse : ∀B ∈Mn(n,K), df(A)(B) =

p−1∑k=0

AkBAp−k−1.

Exercice 5.22 Montrer que pour tout opérateur linéaire A : Rn −→ Rn, ona

det(I + tA) = 1 + t.trA+ o(t2), t→ 0

où I est la matrice unité et trA =n∑

i=1

aii est la trace de la matrice associée

à l'opérateur A par rapport à une base quelconque. En déduire que la trace nedépend pas de la base.

Considérons l'application f : Ω ⊂ Rn −→ Rp, x 7−→ y = f(x). On a

y1 = f1(x1, ..., xn),

y2 = f2(x1, ..., xn),...

yp = fp(x1, ..., xn).

On suppose que les dérivées partielles∂fi

∂xj

(a), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n, a ∈ Ω,

existent.

Dénition 214 On appelle matrice jacobienne de f en a, la matrice d'ordrep× n suivante :

Jf (a) =

∂f1

∂x1(a) ... ∂f1

∂xn(a)

∂f2

∂x1(a) ... ∂f2

∂xn(a)

......

∂fp

∂x1(a) ... ∂fp

∂xn(a)


Si p = 1, Jf (a) se réduit à un vecteur de Rn,

grad f =

(∂f

∂x1

(a), ...,∂f

∂xn

(a)

), (f ≡ f1),

appelé gradient de f ; (On le note grad f ou ∇f).Si n = p, le déterminant de la matrice Jf (a) s'appelle jacobien de f en a

et on écritdet Jf (a) =

∂(f1, ..., fn)

∂(x1, ..., xn)(a).

Exprimé en terme de matrice jacobienne, la proposition 6 (sur la diéren-tielle d'une fonction composée) fournit le résultat suivant :

Proposition 215 On a

Jgf (a) = Jg(f(a)).Jf (a).

Supposons de plus que f est bijective avec g = f−1. D'où det Jgf (a) = 1,et par conséquent

∂(f1, ..., fn)

∂(x1, ..., xn)=

1

∂(x1, ..., xn)

∂(f1, ..., fn)

.

Cette formule est très utile car permet souvent d'éviter l'inversion explicited'une fonction.

Proposition 216 (théorème des accroissements nis) : Soient Ω un ouvertde Rn et f : Ω −→ R une application, a ∈ Ω, h ∈ Rn tels que le segment[a, a + h] = a + th : 0 ≤ t ≤ 1 soit inclus dans Ω. On suppose que f estdiérentiable sur Ω. Alors, il existe un réel θ ∈]0, 1[ tel que :

f(a+ h)− f(a) =n∑

i=1

hi∂f

∂xi

(a+ θh),

avec h = (h1, ..., hn) ∈ Rn.

Remarque 217 Le théorème des accroissements nis n'est plus vrai pour lesfonctions à valeurs vectorielles (en particulier à valeurs complexes).

Proposition 218 (Inégalité des accroissements nis) : Soient Ω un ouvert deRn et f : Ω −→ Rp une application, a ∈ Ω, h ∈ Rn tels que le segment [a, a+h]soit inclus dans Ω. On suppose que f est continue sur [a, a+ h], diérentiablesur ]a, a+ h[ et que :

∃M, ∀x ∈]a, a+ h[, ‖ df(x) ‖≤M.

Alors,‖ f(a+ h)− f(a) ‖≤M ‖ h ‖ .


Soient a ∈ Rn, Ω un voisinage de a et f : Ω −→ Rp. Si les dérivées partielles∂f

∂xi

existent au point a ∈ Ω et sont continues en a, on dit que f est de classe C1

au voisinage de a. Si ces dérivées partielles possèdent elles-mêmes des dérivéespartielles, on les appellent dérivées partielles secondes et on note

∂2f

∂xj∂xi

(a) =∂

∂xj

(∂

∂xi

)(a).

Si ces dérivées partielles secondes existent au voisinage de a et sont continuesen a, on dit que f est de classe C2 au voisinage de a. On dénit ainsi parrécurrence les dérivées partielles kèmes et la notion de fonction de classe Ck.On dit enn qu'une fonction est de classe C∞ au voisinage de a si toutesses dérivées partielles, de tous les ordres, existent au voisinage de a et sontcontinues en a.

Exercice 5.23 Soient f : R2 −→ R et g : R −→ R, dénies par

f(x, y) =

g(xy)

g(x2) + g(y2)si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0), g(x) =

e−

1x2 si x 6= 00 si x = 0

Montrer que la fonction f est de classe C∞ sur R2\0.

Réponse : On montre que g ∈ C∞ sur R et on en déduit que : f ∈ C∞ surR2\(0, 0) (composée et produit de fonctions de classe C∞).

Soit f la fonction de R2 dans R dénie par f(0, 0) = 0 et

f(x, y) = xyx2 − y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)



On a ∂f∂x

(0, y) = −y si y 6= 0, ∂f∂x

(0, 0) = 0 et ∂f∂y

(x, 0) = x si x 6= 0, ∂f∂y

(0, 0) = 0.Dès lors,

∂2f

∂y∂x(0, 0) =

∂

∂y

(∂f

∂x

)(0, 0) = lim

h→0

∂f∂x

(0, h)− ∂f∂x

(0, 0)

h= lim

h→0

−hh

= −1,

et

∂2f

∂x∂y(0, 0) =

∂

∂x

(∂f

∂y

)(0, 0) = lim

h→0

∂f∂y

(h, 0)− ∂f∂y

(0, 0)

h= lim

h→0

h

h= 1.

Par conséquent, ∂2f∂y∂x

(0, 0) 6= ∂2f∂x∂y

(0, 0). On constate donc que même si les déri-vées partielles ∂2f

∂y∂xet ∂2f

∂x∂yen un point existent, elles ne sont pas nécessairement

égales.Le théorème de Schwarz suivant donne une condition susante sur l'inter-

version des dérivées partielles.

Proposition 219 (théorème ou lemme de Schwarz). Si ∂2f∂xi∂xj

et ∂2f∂xj∂xi

existent

dans un voisinage Ω d'un point a = (a1, ..., an) et sont continues en ce point,alors

∂2f

∂xi∂xj

(a) =∂2f

∂xj∂xi

(a).

Schwarz

Remarques 220 a) Ce théorème s'applique en particulier aux fonctions declasse C2, cas de loin le plus important dans les applications. Par ailleurs,on peut démontrer une variante du théorème précédent, en supposant que fest deux fois diérentiable en a. Plus généralement, si f : Ω ⊂ Rn −→ Rest de classe Ck sur l'ouvert Ω, alors l'ordre dans lequel est calculée toute


dérivée partielle d'ordre k est sans importance : si σ est une permutation de1, 2, ..., k, alors

∂kf

∂xik · · · ∂xi2∂xi1

=∂kf

∂xiσ(k)· · · ∂xiσ(2)

∂xiσ(1)

,

sur Ω. Il sut de raisonner par induction.b) Pour désigner les dérivées partielles d'ordre ≤ k d'une fonction f de n

variables de classe Ck, on utilise parfois la notation suivante :

Dαf =∂|α|f

(∂xn)αn ...(∂x1)α1,

avec α = (α1, ..., αn) : n-uple d'entiers ≥ 0 et |α| = α1 + · · ·+ αn ≤ k.

L'importance de ce théorème provient de son utilisation intensive en ma-thématiques, en physique, en chimie, dans les sciences de l'ingénieur ainsi quede ses nombreuses applications dans d'autres domaines. Il est d'usage courantlà où les dérivées partielles secondes apparaissent notamment lors de la réso-lution des équations aux dérivées partielles de la physique mathématique. Ilintervient par exemple dans la construction des formules fondamentales d'ana-lyse vectorielle, des expressions des fonctions d'état en thermodynamique, dansl'étude de l'équation des cordes vibrantes et équation des télégraphistes, dansl'étude des ondes, dans l'obtention des relations de Maxwell, pour ne citer queces exemples marquants, il y en a évidemment beaucoup d'autres ! D'autrepart, pour la résolution d'exercices la contraposée de ce théorème permet parl'absurde de montrer que certaines fonctions ne sont pas de classe C2. Au vu del'importance de ce résultat, il n'est donc pas inutile de chercher à l'amélioreren aaiblissant les conditions imposées à la fonction f . Nous allons voir dansle théorème ci-dessous qu'eectivement, ceci est possible (pour la preuve voir[6]). Sans restreindre la généralité, on peut se limiter aux fonctions à valeursréelles et à la considération de deux variables à la fois.

Proposition 221 Soit f une fonction de deux variables à valeurs réelles, dé-nie dans un voisinage Ω du point (a, b) ∈ R2. On suppose que :

(i) les dérivées partielles ∂f∂x

et ∂2f∂y∂x

existent dans Ω.

(ii) ∂2f∂y∂x

est continue sur Ω.

(iii) ∂f∂y

(x, b) existe pour x dans un voisinage de a.

Alors ∂2f∂x∂y

existe en (a, b) et on a

∂2f

∂y∂x(a, b) =

∂2f

∂x∂y(a, b).


Proposition 222 (Formule de Taylor) : Soient a ∈ Rn, Ω un voisinage de aet f : Ω −→ R. Soit h ∈ Rn, tel que le segment [a, a+h], soit contenu dans Ω.On suppose que f ∈ Cr+1 sur Ω. Alors, il existe θ ∈]0, 1[ tel que :

f(a+ h) = f(a) +n∑

i=1

∂f

∂xi

(a)hi +1

2

n∑i1,i2=1

∂2f

∂xi2∂xi1

(a)hi1hi2 + · · ·

+1

r!

n∑i1,...,ir=1

∂rf

∂xir ...∂xi1

(a)hi1 ...hir

+1

(r + 1)!

n∑i1,...,ir+1=1

∂r+1f

∂xir+1 ...∂xi1

(a+ θh)hi1 ...hir+1 .

Soient Ω ⊂ Rn, un ouvert, f : Ω −→ Rp et a ∈ Ω. On dit qu'un polynômeP : Rn −→ Rp, de degré ≤ n est un développement limié de f à l'ordre n aupoint a, si

||f(a+ x)− P (x)|| = o(||x||n).

Dans le cas où f est n-fois diérentiable au point a, la formule de Taylor(proposition 11), exprime précisément que f admet un développement limitéP à l'ordre n au point a.

Exercice 5.24 Quelle est la valeur approchée de (0, 95)2,01?

Réponse : (0, 95)2,01 ≈ 0, 902.

Exercice 5.25 Soit GLn(n,K) l'ensemble des matrices n× n inversibles.a) Montrer que l'application :

f : GLn(n,K) −→ GLn(n,K), A 7−→ A−1,

est diérentiable en tout point. Quelle est sa diérentielle ?b)Montrer que l'application :

g : GLn(n,K) −→ K, A 7−→ detA,

est de classe C1 en tout point. Quelle est sa diérentielle ?

Réponse :a) ∀(A,B) ∈ GLn(n,K)2, df(A)(B) = −A−1BA−1.b) ∀(A,B) ∈ GLn(n,K)2, dg(A)(B) = detA.tr(A−1B).


Considérons le système de n équations algébriques à n inconnues suivant :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,...

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn.

D'une façon condensée, ce système s'écritn∑

j=1

aijxj = bi, 1 ≤ i ≤ n

ou encore sous forme matricielle, Ax = b, avec A = (aij) une matrice n × n,b = (bi) une matrice n× 1 et x = (xj) une matrice n× 1. La matrice A dénitune transformation linéaire de Rn dans Rn pour laquelle on utilise aussi lanotation A :

A : Rn −→ Rn, (x1, ..., xn) 7−→ (y1, ..., yn)

yi =n∑

j=1

aijxj, 1 ≤ i ≤ n

On sait que le système précédent a une solution unique si et seulement si lamatrice A est inversible, donc si detA 6= 0. Cela revient à dire que l'applicationA est bijective.

Qu'en est-il si on considère un système de n équations non-linéaires à ninconnues :

f1(x1, · · · , xn) = b1,

f2(x1, · · · , xn) = b2,...

fn(x1, · · · , xn) = bn,

ou sous forme condensée f(x) = b ? A la place de A interviendra le jacobiende f c-à-d.,

det Jf (x0) =

∂f1

∂x1(x0) ... ∂f1

∂xn(x0)

∂f2

∂x1(x0) ... ∂f2

∂xn(x0)

......

∂fp

∂x1(x0) ... ∂fn

∂xn(x0)

.

Supposons que f soit de classe C1 au voisinage d'un point x0 et que f(x0) = b0.L'équation f(x) = b peut alors s'écrire

f(x)− f(x0) = b− b0,


ou encoredf(x0).(x− x0) + ε(x− x0) = b− b0.

Une approximation linéaire de l'équation proposée est donc fournie par

df(x0).(x− x0) = b− b0.

Comme la fonction linéaire df(x0) : E −→ E, est représentée par la matricejacobienne

Jf (x0) =

(∂fj

∂xi

)1≤i,j≤n

,

on peut aussi écrire l'équation linéaire approchée sous la forme

Jf (x0).(x− x0) = b− b0.

L'équation approchée possède donc pour chaque b une solution unique en xsi et seulement si la matrice jacobienne Jf (x0) est inversible et donc si etseulement si le jacobien de f en x0 (c-à-d. det Jf (x0)) n'est pas nul. Pourrait-on espérer que l'équation f(x) = b, elle-même possède une solution uniquesi c'est le cas de l'équation linéaire approchée (autrement dit si l'applicationlinéaire approchant f est inversible) ? Posée globalement, la question appelleune réponse négative. Mais localement, la réponse est positive. Précisons celaen examinant un exemple dans le cas n = 1. Soit f : R −→ R, une fonction declasse C1.

La matrice jacobienne de f en x0 se réduit au nombre réel ∂f∂x

(x0) qui n'estpas nul (la tangente à la courbe en (x0, b0) n'est pas horizontale). On peut faireles observations suivantes :


(i) négativement : l'équation f(x) = b n'a pas nécessairement de solution ;c'est la cas par exemple de l'équation f(x) = b1. De plus si l'équation f(x) = ba une solution, celle-ci n'est pas nécessairement unique. Par exemple, l'équationf(x) = b0 admet les deux solutions x0 et x1.

(ii) positivement : si on considère les voisinages U(x0) de x0 et V (b0) de b0,la fonction

f : U(x0) −→ V (b0),

est bijective. En outre, la fonction réciproque

f−1 : V (b0) −→ U(x0),

est encore de classe C1.C'est là un fait général comme le montre le théorème suivant :

Proposition 223 (théorème d'inversion locale) : Soit Ω un ouvert de Rn etf : Ω −→ Rn, une fonction de classe C1. Soit x0 ∈ Ω, b0 = f(x0). Supposonsque df(x0) soit inversible (c-à-d., det Jf (x0) 6= 0). Alors, il existe un voisinageU(x0) de x0 et un voisinage V (b0) de b0 tels que la restriction de f à U(x0)soit une bijection de U(x0) sur V (b0). En outre, la réciproque f−1 : V (b0) −→U(x0), est de classe C1. (Si f est de classe Ck, k ∈ N∗, alors f−1 est égalementde classe Ck.

Remarque 224 En bref, ce théorème signie qu'une fonction est inversibleau voisinage d'un point en lequel sa diérentielle est inversible.

Exercice 5.26 Soit Ω ⊂ Rn, un ouvert et f : Ω −→ Rn, une fonction declasse C1. Soit x0 ∈ Ω, b0 = f(x0). Supposons que : ∀x ∈ Ω, df(x) est unisomorphisme. Montrer que :

a) ∆ ⊂ Ω, ouvert =⇒ f(4) ⊂ Rn, ouvert.b) f injective au voisinage de chaque point de Ω.c) f peut ne pas être injective sur Ω tout entier même si Ω est connexe.

Exercice 5.27 Soit f : Ω ⊂ Rn −→ Rn, une fonction de classe C1 sur l'ouvertΩ et supposons que df(x) est un isomorphisme pour tout x ∈ Ω. Montrer quef(∆) est ouvert dans Rn pour chaque ouvert ∆ ⊂ Ω.

Exercice 5.28 Sous les hypothèses de l'exercice précédent, montrer que :a) f est injective au voisinage de chaque point de Ω.b) f peut ne pas être injective sur Ω tout entier (même lorsque Ω est

connexe).

Dénition 225 Un bijection f d'un ouvert Ω de Rn sur un ouvert f(Ω) deRn qui est de classe Ck, k ∈ N∗, ainsi que sa réciproque f−1 s'appelle undiéomorphisme de classe Ck.


Exercice 5.29 Plaçons nous dans la situation du théorème d'inversion localedont nous utilisons les notations : Ω, f, x0, U, V et f1. Montrer que pour toutvoisinage ouvert W ⊂ U de x0, f(W ) est un voisinage ouvert de f(x0), et fest bijective de W sur f(W ) avec une réciproque de classe C1 (Ck si f l'est).

Proposition 226 (théorème des fonctions implicites) : Soit Ω un ouvert deRn × Rp et g : Ω −→ Rp une fonction de classe C1. Soit (a, b) ∈ Ω. Supposonsque :

(i) g(a, b) = 0.

(ii) la matrice

(∂gi

∂yj

(a, b)

)1≤i,j≤p

est inversible.

Montrer qu'il existe un voisinage U(a) de a dans Rn et un voisinage V (b)de b dans Rp, avec U(a) × V (b) ⊂ Ω, tels qu'il existe une fonction uniquef : U(a) −→ V (b), avec

(i)' b = f(a).(ii)' g(x, f(x)) = 0, ∀x ∈ U(a).

f est de classe C1. De plus, si g est de classe Ck (k ≥ 1), f est de classe Ck.

Exercice 5.30 On considère la relation :

g(x1, ..., xn, y) = 0,

où g : Rn × R −→ R est de classe C1 et soit (a, b) ∈ Rn × R avec g(a, b) = 0

et∂g

∂y(a, b) 6= 0. Montrer que qu'il existe f dénie et de classe C1 au voisinage

de a dans Rn avec∂f

∂xi

(a) = −∂g∂xi

(a, b)∂g∂y

(a, b).

Exercice 5.31 On considère deux surfaces d'équations :

x2(y2 + z2) = 2,

et(x− z)2 + y2 = 1.

Peut-on représenter la courbe intersection de ces surfaces par des équations dela forme y = f1(x) et z = f2(x) au voisinage du point (1, 1, 1) ? Si oui, calculerf ′1(1) et f

′2(1).

Réponse : f ′1(1) = 0 et f ′2(1) = −2.

Exercice 5.32 On considère la courbe d'équation :

g(x, y) = y2 − 2x3 − x2 = 0.


Peut-on représenter cette courbe par une équation x = f(y).a) au voisinage du point (1,

√3) ?

b) au voisinage du point (0, 0) ?Si oui, calculer la dérivée de f au point considéré.

Réponse :a) Oui et on a f ′(

√3) =

√3

4.

b) Non.

Exercice 5.33 On considère la surface d'équation :

xy − z ln y + expxz = 1.

Cette surface peut-elle être représentée,a) par une équation de la forme z = f(x, y) au voisinage du point (0, 1, 1) ?b) par une équation de la forme y = h(x, z) au voisinage du point (0, 1, 1) ?

Si oui, calculer les dérivées premières de f et h au point considéré.

Réponse :a) Non.b) Oui et on a ∂h

∂x((0, 1)) = 2, ∂h

∂z((0, 1)) = 0

Exercice 5.34 Soit f l'application de R2 dans R2 dénie par

(x, y) ∈ R2 −→ f(x, y) = (x2 − y2 − 2xy, y) ∈ R2.

1) Montrer que f dénit une bijection de U = (x, y) ∈ R2 : x > y surV = (u, v) ∈ R2 : u+ 2v2 > 0.

2) f est-elle un homéomorphisme de U sur V ?3) f est-elle un diéomorphisme de classe C1 de U sur V ?4) Soit g une fonction continument dérivable de R dans R, et h l'application

(x, y) ∈ R2 −→ h(x, y) = g(x2 − y2 − 2xy) ∈ R.

4.1) Calculer∂h

∂xet∂h

∂y.

4.2) Montrer l'égalité

∀(x, y) ∈ R2, (x+ y)∂h

∂x+ (x− y)

∂h

∂y= 0. (∗)

4.3) On cherche les fonctions de classe C1 de U dans R vériant l'égalité(*).


(i) Soit h1 une fonction de classe C1 vériant l'égalité (*). Montrerque l'application g1 :

(u, v) ∈ V 7−→ g1(u, v) = h1 f(u, v) ∈ R,

est de classe C1 et vérie∂g1

∂v= 0.

(ii) On admet que si une fonction H de classe C1 de V dans R vérie∂H

∂v= 0 alors H ne dépend pas de la variable u.

En déduire la forme générale des fonctions vériant l'égalité (*) dans U .

Réponse :2) Oui.3) Oui.4.1) On obtient

∂h

∂x= 2(x− y)g′(x2 − y2 − 2xy),

∂h

∂y= −2(x+ y)g′(x2 − y2 − 2xy).

4.2) Calcul direct et simple.4.3) h(x, y = H(x2 − y2 − 2xy) où H : R −→ R est de classe C1.

Exercice 5.35 Soient Ω un ouvert de Rn et f : Ω −→ Rn une applicationdiérentiable injective. Montrer que f est un diéomorphisme de Ω sur f(Ω)si et seulement si le rang de f (c-à-d. le rang de la matrice jacobienne de f)en tout point de Ω est n.

Exercice 5.36 Soient Ω un ouvert de Rn et f : Ω −→ Rp une applicationdiérentiable de rang constant r. Montrer que pour tout a ∈ Ω, il existe

(i) un voisinage ouvert U(a) de a dans Ω.(ii) un voisinage ouvert V (b) de b = f(a) dans F, contenant f(U(a)).(iii) un diéomorphisme local g : U(a) −→ W de Rn et un diéomorphisme

local h : V (b) −→ W ′ de Rp tels que l'on ait :

(h f g−1)(x1, ..., xn) = (x1, ..., xr, 0, ..., 0), ∀(x1, ..., xn) ∈ W.

Dénition 227 On dit qu'une fonction f : Rn −→ Rp, est homogène de degréα si, pour λ ∈ ∗

+ et tout x ∈ R, on ait

f(λx) = λαf(x).


- Si f et g sont deux fonctions homogènes de degré α, alors f + g esthomogène de degré α.

- Si f est homogène de degré α et g est homogène de degré β, alors fg esthomogène de degré α+ β et

f

gest homogène de degré α− β.

- Si f est homogène de degré α et s ∈ R∗, alors la fonction f s est homogènede degré αs.

- Si f est diérentiable et homogène de degré α, alors les dérivées partiellesde f sont homogènes de degré α− 1.

Proposition 228 Si f est diérentiable en x et homogène de degré α, alorson a la formule d'Euler :

n∑k=1

xk∂f

∂xk

(x) = αf(x).

Exercice 5.37 Déterminer une fonction

f : (R∗+)3 −→ R,

homogène de degré α en (y, z), β en (z, x) et γ en (x, y).

Exercice 5.38 Soit E, F deux espaces vectoriels réels normés et f : E −→ F ,vériant

f(x+ y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ E.

On suppose que f est bornée sur la boule unité de E. Montrer que :a) ∀λ ∈ Q, ∀x ∈ E, f(λx) = λf(x).b) f est continue en tout point de E.c) f est linéaire.

Exercice 5.39 On appelle cône (positif) d'un evn E une partie C de E véri-ant : ∀x ∈ E, ∀λ > 0, λx ∈ C. Vérier que

C = (x, y) ∈ R2 : y − x ≥ 0,

est un cône positif et que la fonction

f : (x, y) 7−→√y − x,

est homogène (préciser son degré).

Réponse : f est homogène de degré 12.


Exercice 5.40 Déterminer les fonctions ϕ de classe C1 telles que :

ϕ

(x

y

)= f(x)g(y).

Réponse : ϕ : R −→ R, t 7−→ ϕ(t) = ctβ, (c, β ∈ R).

Soient Ω un ouvert de Rn, f : Ω −→ R et a ∈ Ω.

Dénition 229 a) On dit que f possède en a un maximum (resp. minimum)local ou relatif s'il existe un voisinage V de a inclus dans Ω tel que :

∀x ∈ V , f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)).

b) On dit que f possède en a un maximum (resp. minimum) global si :

∀x ∈ Ω, f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)).

c) Un extremum est un maximum ou un minimum.

Proposition 230 (Condition nécessaire) : Si f est diérentiable en a et pré-sente un extremum en a, alors df(a) = 0.

Soient Ω un ouvert de Rn, f : Ω −→ R une fonction de classe C2 et a ∈ Ω.

Dénition 231 On appelle matrice hessienne (ou tout simplement hessienne)de f en a, la matrice suivante :

H(f, a) =

∂2f∂x2

1(a) ∂2f

∂x1∂xn(a) ... ∂2f

∂x1∂xn(a)

∂2f∂x2∂x1

(a) ∂2f∂x2

2(a) ... ∂2f

∂x2∂xn(a)

......

...∂2f

∂xn∂x1(a) ∂2f

∂xn∂x2(a) ... ∂2f

∂x2n(a)

=

(∂2f

∂xj∂xi

(a)

)1≤i,j≤n

.

Hesse


A la matrice hessienne H de f en a (comme toute matrice carée d'ordren), on associe la forme quadratique Q : Rn −→ R, dénie par

Q(h) =n∑i,j

∂2f

∂xj∂xi

(a)hihj, ∀h = (h1, ..., hn) ∈ Rn.

Cette forme quadratique est parfois notée d2f(a) et sa valeur en h, d2f(a)(h).Rappelons qu'une forme quadratique Q est dite

- dénie positive si ∀h ∈ Rn, h 6= 0, Q(h) > 0.- semi-dénie positive si ∀h ∈ Rn, Q(h) ≥ 0.- dénie négative si ∀h ∈ Rn, h 6= 0, Q(h) < 0.- semi-dénie négative si ∀h ∈ Rn, Q(h) ≤ 0.- indénie si ∃h, g ∈ Rn avec Q(h) > 0 et Q(g) < 0.

Proposition 232 (Conditions susantes) : Soit Ω un ouvert de Rn, f :Ω −→ R une fonction de classe C2 et a ∈ Ω tel que : df(a) = 0.

1) Si d2f(a) est une forme quadratique dénie positive, alors f possède unminimum local au point a.

2) Si d2f(a) est une forme quadratique dénie négative, alors f possède unmaximum local au point a.

3) Si la forme quadratique d2f(a) est indénie, alors f n'a pas d'extremumau point a.

Proposition 233 Si f possède un minimum local (resp. un maximum local)au point a, alors d2f(a) est semi-dénie positive (resp. semi-dénie négative).

Remarque 234 On démontre en algèbre qu'une forme quadratique Q associéeà une matrice symétrique H est dénie positive (resp. semi-dénie positive) siet seulement si toutes les valeurs propres de la matrice H sont strictementpositives (resp. positives).

Proposition 235 (Conditions susantes) : Soit Ω un ouvert de Rn, f :Ω −→ R une fonction de classe C2 et a ∈ Ω tel que : df(a) = 0.

1) Si les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont strictementpositives, alors f possède un minimum local au point a.

2) Si les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont strictementnégatives, alors f possède un maximum local au point a.

3) S'il existe deux valeurs propres λ1 et λ2 de H(f, a) de signe contraire, fne possède ni maximum, ni minimum local au point a.

Remarque 236 Comme f est de classe C2, on montre que la matrice H(f, a)est symétrique et toutes ses valeurs propres sont réelles. De plus, toutes sesvaleurs propres sont strictement positives si et seulement si H(f, a) est déniepositive. De même, toutes ses valeurs propres sont strictement négatives si etseulement si H(f, a) est dénie négative.


Exercice 5.41 (Conditions nécessaires) : Dans les hypothèses de la proposi-tion précédente, montrer que :

1) Si f possède un minimum local au point a, toutes les valeurs propres dela matrice hessienne H(f, a) sont positives ou nulles.

2) Si f possède un maximum local au point a, toutes les valeurs propres dela matrice hessienne H(f, a) sont négatives ou nulles.

Dans le cas de fonctions de deux variables f(x, y) de classe C2, on peut sepasser du calcul explicite des deux valeurs propres de la matrice hessienne etse contenter du signe du déterminant. Soit a un point critique, c-à-d., tel que :df(a) = 0. Posons

r =∂2f

∂x2(a), s =

∂2f

∂x∂y(a), t =

∂2f

∂y2(a).

La matrice hessienneH =

(r ss t

),

a pour déterminant : detH = rt− s2. L'équation caractéristique est alors

det

(λ− r −s−s λ− t

)= λ2 + (r + t)λ+ (rt− s2) = 0.

Si detH < 0, les deux racines sont de signes contraires et la matrice hessienneest indénie. On n'a donc pas d'extremum en a. On dit dans ce cas que fadmet un point col ou point selle en a. Si detH > 0, les deux racines sont demême signe et f admet un extremum en a. C'est un minimum local si r > 0et un maximum local si r < 0. En résumé, on a

Proposition 237 (Conditions susantes dans le cas de fonctions de deuxvariables) :

1) Si detH > 0 et r > 0, alors f admet un minimum local au point a.2) Si detH > 0 et r < 0, alors f admet un maximum local au point a.3) Si detH < 0, alors f n'admet pas d'extremum local au point a.

Remarque 238 Si detH = 0, il faut faire une étude plus complète de f .

Exercice 5.42 Déterminer les extremums de la fonction :

f(x, y) = x3 + 3xy2 − 15x− 12y.

Réponse : grad f(x, y) = 0 ⇐⇒ (x, y) = (2, 1), (−2,−1), (1, 2), (−1,−2). Onmontre que f possède un minimum local au point (2, 1), un maximum localau point (−2,−1) et ne possède ni maximum, ni minimum aux points (1, 2),(−1,−2).


Exercice 5.43 Déterminer les extremums de la fonction :

f(x, y) = sinx. sin y.

Réponse : f possède un minimum aux points (kπ + π2, lπ + π

2) avec k, l ∈ Z

tels que : k + l est impair. De même, f possède un maximum aux points(kπ + π

2, lπ + π

2) avec k, l ∈ Z tels que : k + l est pair.

Les extremums étudiés précédemment sont dites libres. Mais bien des cas,on cherche à maximiser ou à minimiser une fonction, mais en tenant comptede certaines contraintes : on parle dans ces cas d'extremums liés.

Dénition 239 Soientf : Ω ⊂ Rn −→ R,

etg : Ω ⊂ Rn −→ Rp,

deux fonctions données et a ∈ Ω. On dit que f possède au point a un maximumlocal sous les contraintes g(x) = 0 si

∃ε > 0,∀x ∈ A = x ∈ Ω : g(x) = 0, ||x− a|| < ε =⇒ f(x) ≤ f(a).

La fonction f possède au point a un minimum local sous les contraintes g(x) =0 si

∃ε > 0,∀x ∈ A = x ∈ Ω : g(x) = 0, ||x− a|| < ε =⇒ f(x) ≥ f(a).

Si f possède au point a un maximum ou un minimum local sous les contraintesg(x) = 0, on dit que f possède au point a un extremum local sous les contraintesg(x) = 0.

Proposition 240 Soient f : Ω ⊂ Rn −→ R et g : Ω ⊂ Rn −→ Rp, deuxfonctions de classe C1. Supposons que f possède au point a un extremum sousles contraintes g(x) = 0 et que la matrice jacobienne Jg(a) de g au point a soitde rang p. Alors, il existe des constantes λ1, ..., λp (appelées multiplicateurs deLagrange) telles que :

grad f(a) =

p∑k=1

λk.grad gk(a),

que l'on peut écrire (notation condensée utilisée par d'autres auteurs) sous laforme

∂f

∂x(a) =

p∑k=1

λk∂gk

∂x(a).


Méthode des multiplicateurs de Lagrange : si le point a = (a1, ..., an)est un extremum local de la fonction f sous les contraintes g(x) = 0, alors lesrelations suivantes en les n + p variables (a1, ..., an, λ1, ..., λp) permettent engénéral de déterminer a :

∂f

∂x1

(a) =

p∑k=1

λk∂gk

∂x1

(a),

...∂f

∂xn

(a) =

p∑k=1

λk∂gk

∂xn

(a),

g1(a) = 0,...

gp(a) = 0.

C'est un système de n+p équations à n+p inconnues dont la résolution permetde trouver parmi les a = (a1, ..., an), les extremums liés possibles.

Exercice 5.44 Chercher un extremum de la fonction :

f(x, y) = x21 + x2

2,

sous la contrainte : g(x1, x2) = x21 − x2

2 − 1 = 0.

Réponse : Les solutions sont a = (a1, a2) = (±1, 0), λ = 1. On peut vérierqu'il y correspond des minimums de f .

Exercice 5.45 Chercher les extremums de la fonction :

f(x, y, z) = x lnx+ y ln y + z ln z,

sous la contrainte : x+ y + z = a, (a > 0).

Réponse : (a3, a

3, a

3) est minimant.

Exercice 5.46 Déterminer les extremums de la fonction f dénie sur R3 par

f(x, y, z) = expx+ exp y + exp z,

lorsque (x, y, z) est soumis à la contrainte : x+ y + z = 0.

Réponse : f n'admet pas de maximum mais possède un minimum égal à 3 aupoint (0, 0, 0).


Exercice 5.47 Soit f, g ∈ C1(R3,R), S = (x, y, z) ∈ R3 : g(x, y, z) = 0. Onsuppose que la diérentielle de g est non nulle en tout point de S. Montrerque si f admet un extremum sur S en a ∈ S, il existe λ ∈ R, tel que :df(a) = λdg(a).

Exercice 5.48 Soit A ∈ Mn(R) symétrique dénie positive et f ∈ Rn. Onleur associe l'application

F : Rn −→ R, x 7−→ F (x) =1

2< Ax, x > − < f, x > .

a) Etudier la diérentiabilité de F .b) Calculer grad F .c) Déterminer les extremums de F .

Exercice 5.49 Soit n ∈ N∗. Dans ce problème, on considère l'espace vectorielRn muni du produit scalaire canonique et on désigne par f une fonction declasse C2 sur Rn. On dit que f est convexe sur Rn si :

∀(x, y) ∈ (Rn × Rn),∀ ∈ [0, 1], f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y).

1) Soit g une fonction de classe C2 et convexe sur R telle que : ∃x0 ∈R, g′(x0) = 0. Montrer que g admet un minimum en x0.

2) a) Montrer que f est convexe sur Rn si et seulement si pour tout (x, y) ∈(Rn × Rn), la fonction ϕx,y dénie sur R par :

∀t ∈ R, ϕx,y(t) = f(x+ yt),

est convexe sur R.

b) Montrer que pour tout (x, y) ∈ (Rn × Rn), ϕx,y est de classe C2 surR. Déterminer alors, pour tout (x, y) ∈ (Rn×Rn), ϕ′x,y et ϕ′′x,y en fonction desdérivées partielles de f .

c) Soient x ∈ Rn et Ax ∈ Mn(R), Ax = (aij)1≤i,j≤n, la matrice déniepar

∀(i, j) ∈ [1, n]2, aij =∂2f

∂xi∂xj

(x).

Soit alors ψx l'endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base canoniquede Rn est Ax. Montrer que les valeurs propres de Ax sont positives ou nullessi et seulement si ∀y ∈ Rn, 〈ψx(y), y〉 ≥ 0.

d) En déduire que f est convexe sur Rn si et seulement si pour toutx ∈ Rn, toutes les valeurs propres de Ax sont positives ou nulles.

3) Soit x0 ∈ Rn.Montrer que si f est convexe sur Rn et si ∀i ∈ [1, n],∂f

∂xi

(x0) =

0, alors f admet un minimum en x0.


Références

[1] Genet, J. et Pupion, G : Analyse moderne, tome 1, Vuibert, 1974.[2] Genet, J. et Pupion, G : Analyse moderne, tome 2, Vuibert, 1974.[3] Lesfari, A. : Eléments d'Analyse Mathématique. Cours et exercices, 352

pages, Sochepress Université, Casablanca, 1991, épuisé.[4] Lesfari, A. : Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de Laplace

(Cours et exercices), 380 pages, éditions Ellipses, Paris, 2012.[5] Lesfari, A. : Fonctions diérentiables. Quadrature, Paris, No. 84, pp.45-47

(2012).[6] Lesfari, A. : Interversion des dérivées partielles, à paraître dans Quadrature,

Paris, No. 91, pp.41-43 (2014).[7] Lesfari, A. : Notions fondamentales d'ANALYSE MATHÉMATIQUE (Ré-

sumés de cours, exercices et problèmes corrigés), 360 pages, éditions El-lipses, Paris, 2014.

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