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LYCÉE LA MARTINIÈRE MONPLAISIR LYON

SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR

CLASSE PRÉPARATOIRE M.P.S.I.

ANNÉE 2020 - 2021

C6 : ANALYSE FRÉQUENTIELLE DES SYSTÈMES ASSERVIS

C6-3 - Analyse fréquentielle des systèmes asservis :applications

27 Avril 2021

Table des matières

I Combinaison des diagrammes de Bode élémentaires 21 Caractérisation d’une fonction de transfert complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Méthodologie de tracé des fonctions de transferts complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II Application à l’exemple de la suspension d’un véhicule 21 Décomposition de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Construction du diagramme de Bode de H1( j ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Calcul et classement des pulsations de cassure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Construction du diagramme de Bode complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Caractérisation fréquentielle paramétrée de la suspension automobile . . . . . . . . . . . . . 66 Interprétation temporelle d’une étude fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III Autres types de lieux de transfert 101 Diagramme de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Diagramme de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

IV Conclusion 11

Compétences

• Modéliser ; Proposer un modèle de connaissance et de comportement : Schéma-bloc : - fonction de transferten chaîne directe - fonction de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée

• Résoudre ; Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de résolution numérique : Grandeurs simulées• Expérimenter ; Mettre en oeuvre un protocole expérimental : Identification fréquentielle d’un modèle de com-

portement

C6 : C6-3

I. Combinaison des diagrammes de Bode élémentaires

1 Caractérisation d’une fonction de transfert complexe

On cherche à étudier dans le domaine fréquentiel un phénomène physique ou un composant. Onconsidère alors la fonction de transfert reliant deux grandeurs physiques (d’entrée e(t ) et de sorties(t )) qu’on pourra mettre dans la plupart des cas sous la forme :

H(p) = S(p)E(p)

=KS

n3∏k=1

(1+τk ·p

) · n4∏l=1

(1+ 2ξl

ωl 0p + p

2

ω2l0

)

pα ·n1∏

i=1

(1+τi ·p

) · n2∏j=1

(1+ 2ξ j

ω j 0p + p

2

ω2j 0

) (1)

On remarque donc qu’on peut l’écrire qu’un produite de fonction de transfert usuelles de type in-tégrateur, premier ordre, et second ordre qui résultera dans le plan de Bode à la somme de tracésélémentaires.

• KS est le gain statique.• α est la classe de la fonction transfert :

◦ le nombre d’intégrations si α> 0 ;◦ le nombre de dérivations si α< 0.

• L’ordre de la fonction de transfert est donné par◦ n = n1 +2 ·n2 +α si α> 0 ;◦ n = n1 +2 ·n2 si α< 0 ;

avec :◦ n1 le nombre de fonction de transfert du premier

ordre.◦ n2 le nombre de fonction de transfert du second ordre

à pôles complexes.

Définition 1 : Fonction de transfert complexe

2 Méthodologie de tracé des fonctions de transferts complexes

1. Mise sous forme canonique de la fonction de transfert sous la forme donnée par l’équation 1 ;

2. identification de fonctions de transfert élémentaires : intégrateur, premier ordre, deuxième ordre;

3. calcul de toutes les pulsations caractéristiques (cassure ou coupure) ( 1τk ,1τi

, ωl0 et ω j 0) ;

4. classement dans l’ordre croissant de toutes les pulsations caractéristiques ;

5. construction d’un tableau permettant de caractériser les comportement asymptotique de chaque fonction detransfert élémentaires.

II. Application à l’exemple de la suspension d’un véhicule

Reprenons l’exemple de la suspension du véhicule Clever. Nous rappelons la fonction de transfert du véhicule.

Lycée La Martinière Monplaisir Lyon 2 / 11 Classe préparatoire M.P.S.I.Année 2020 - 2021

C6 : C6-3

H(p) = k + c pk + c p +m p2 =

1+ ck p1+ ck p + mk p2

En remplaçant p par j ω, on obtient :

H( j ω) = 1+ck j ω

1+ ck j ω+ mk ( j ω)2= 1+ j τω

1+ 2ξω0 j ω+1ω20

( j ω)2

1 Décomposition de la fonction de transfert

On remarque donc que cette fonction de transfert est le produit entre une fonction de transfert du premier et dusecond ordre :

H( j ω) = H1( j ω) ·H2( j ω)Avec,

H1( j ω) = 1+ j τω

H2( j ω) = 11+ 2ξω0 j ω+

1ω20

( j ω)2

On prendra pour valeurs numériques :• τ= 0,01 s ;• ξ= 0,2 ;• ω0 = 28,3r ad/s

2 Construction du diagramme de Bode de H1( j ω)

On pose :

H1( j ω) = 1+τ j ω

On se propose de tracer le diagramme de Bode de H1( j ω) avec τ= 0,01 sExpression du gain :

On a donc deux branches asymptotiques :• Un branche horizontale jusqu’à ω= 1τ .• Un branche correspondant à une droite de pente +20dB/décade et coupant l’axe des abscisse en ω= 1τ .

Expression de la phase :

On a donc deux branches asymptotiques :• Un branche horizontale correspondant à ϕ= 0◦ pour ω< 1τ .• Un branche horizontale correspondant à ϕ= 90◦ pour ω> 1τ .


C6 : C6-3

100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

100 101 102 103

-150

-100

-50

0

50

100

FIGURE 1 – Diagramme de Bode pour une fonction de transfert du premier ordre de H1( j ω)

3 Calcul et classement des pulsations de cassure

1. Expressions littérales des pulsations de cassure :

2. Applications numériques :

3. Classement des pulsations de cassure


C6 : C6-3

4 Construction du diagramme de Bode complet

On va utiliser ici un tableau permettant de caractériser complètement le tracé asymptotique de H( j ω).

ω 0 →ω2 ω2 ω2 →ω1 ω1 ω1 →∞

Tracéasymp-totique

Gain(dB/dec)

ϕ(◦) Gain (dB) Gain(dB/dec)

ϕ(◦) Gain (dB) Gain(dB/dec)

ϕ(◦)

H1(p)

H2(p)

H(p)

100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

100 101 102 103

-150

-100

-50

0

50

100

FIGURE 2 – Diagramme de Bode de la fonction de transfert globale de la suspension d’un véhicule


C6 : C6-3

5 Caractérisation fréquentielle paramétrée de la suspension automobile

On peut alors tracer pour différentes valeurs de ξ les différents diagrammes de Bode (figure 3 avec τ= 0,05s).• Pour des pulsations faibles (ω→ 0) :

◦ GdB est proche de 0 c’est à dire que G est proche de 1 et donc que l’amplitude du signal de sortie est similaireà celle du signal d’entrée.

◦ ϕ' 0◦ ainsi le retard est très faible : peu de déphasage entre l’entrée et la sortie.• Pour des pulsations proche de la pulsation de coupure (ω'ω0 'ωr ) :

◦ La résonance apparaît dès lors que ξ<p

22 à ω=ωr 'ω0.

◦ Dans ce cas GdB est grand donc G aussi et l’amplitude de sortie est fortement amplifiée par rapport à l’am-plitude d’entrée.

◦ Le déphasage est équivalent à −90◦ soit environ 1/4 de période.• Pour des pulsations élevées (ω→+∞) :

◦ GdB diminue fortement c’est à dire que G est très faible et donc que l’amplitude du signal de sortie est trèsamortie par rapport à celle du signal d’entrée.

◦ ϕ'−90◦ ainsi le retard est de l’ordre d’un quart de période.

6 Interprétation temporelle d’une étude fréquentielle

On se place dans le cas de ξ= 0,2, τ= 0,05s et ω0 = 28,3 r ad/s. Les diagrammes de Bode sont donnés sur la figure4. On note bien ici l’existence d’une résonance lorsque ω=ωr =ω0

√1−2 ξ2.

On se place alors sur trois valeurs de ω pour étudier le signal temporelle.

1. ω= 10 r ad .s−1,2. ω=ω0 = 28,3 r ad .s−1,3. ω= 100 r ad .s−1.Grâce au diagramme de bode pour chacun de ces trois cas, on peut reconstituer le signal temporel de sortie avec

GdB = 20 l og (|H( j ω)|) et ϕ= ar g (H( j ω).


C6 : C6-3

−60

−40

−20

0

20

100 101 ω0 102 103ω(rad · s−1)

G(d

B)

ξ = 0 · 1ξ = 0 · 2ξ = 0 · 5ξ =

√2

2ξ = 1ξ = 2ξ = 4

−180

−135

−90

−45

0

ω(rad · s−1)

ϕ(◦

)

100 101 ω0 102 103

ξ = 0 · 1ξ = 0 · 2ξ = 0 · 5ξ =

√2

2ξ = 1ξ = 2ξ = 4

FIGURE 3 – Diagramme de Bode de la suspension d’un véhicule pour différentes valeurs de ξ


C6 : C6-3

−60

−40

−20

0

20

100 101 ω0 102 103ω(rad · s−1)

G(d

B)

−180

−135

−90

−45

0

ω(rad · s−1)

ϕ(◦

)

100 101 ω0 102 103

FIGURE 4 – Diagramme de Bode de la suspension d’un véhicule pour ξ= 0,2


C6 : C6-3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Temps (s)

Dép

lace

men

t (m

)

s(t)e(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Temps (s)

Dép

lace

men

t (m

)

s(t)e(t)

ω= 10 r ad .s−1 ω= 100 r ad .s−1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Temps (s)

Dép

lace

men

t (m

)

s(t)e(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Temps (s)

Dép

lace

men

t (m

)

s(t)e(t)

ω0 = 28,3 r ad .s−1

FIGURE 5 – Réponse temporelle de la suspension du Clever avec ξ= 0,2


C6 : C6-3

III. Autres types de lieux de transfert

1 Diagramme de Nyquist

Le diagramme de Nyquist permet de repré-senter l’état de la réponse fréquentielle (s(t ) =G e0 sin(ω t + ϕ)) en fonction de la pulsationω pour une fonction de transfert H(p). Ce dia-gramme donne l’évolution de la partie imaginairede la fonction de transfert (Im(H( j ω))) en fonc-tion de sa partie réelle (R(H( j ω)))

−2 −1 0 1 2 3 4−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

R(H(j ω))Im

(H(j

ω))

ξ = 0 · 1ξ = 0 · 2ξ = 0 · 5ξ =

√2

2ξ = 1ξ = 2ξ = 4

Définition 2 : Diagramme de Nyquist

2 Diagramme de Black

Le diagramme de Black permet de représen-ter l’état de la réponse fréquentielle (s(t ) =G e0 sin(ω t + ϕ)) en fonction de la pulsationω pour une fonction de transfert H(p). Ce dia-gramme donne l’évolution du gain en décibel(GdB )

Gdb = 20 log (G) = 20 l og (|H( jω)|);en fonction de la phase en degré (ϕ en ◦).

ϕ= ar g (H( jω)).−160 −135 −90 −45 0

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

ϕ(◦)

G(d

B)

ξ = 0 · 1ξ = 0 · 2ξ = 0 · 5ξ =

√2

2ξ = 1ξ = 2ξ = 4

Définition 3 : Diagramme de Black

Ces deux derniers diagrammes (Nyquist et Black) sont utilisés habituellement sous la formed’abaques pour caractériser la stabilité des systèmes asservis.

Remarque 1 :


C6 : C6-3

IV. Conclusion

L’analyse fréquentielle présente des outils très puissant pour caractériser la réponse d’un systèmevis-à-vis d’une consigne harmonique. Ce chapitre a mis en exergue dans un premier temps la né-cessité d’étudier :

• le gain (Gd B = 20log(|H( j ω)|)),

• la phase (ϕ= ar g (H( j ω))),en fonction de la pulsation ω. On peut alors facilement reconstituer temporellement l’évolution dela sortie puisque celle-ci est simplement de type harmonique en régime permanent.Ce type de procédé est très répandu dans plusieurs domaines de l’ingénierie :

• analyse modale pour la conception de système mécanique,• conception de bâtiments résistant à des ondes sismiques.

Néanmoins dans ces domaines bien souvent, les comportements des systèmes sont complexesou non-linéaires. On utilisera alors des moyens numériques pour caractériser complètement leurcomportement fréquentiel.

Conclusion : Analyse fréquentielle

Analyse modale d’un bogie de TGV Analyse modale pour le dimensionne-ment para-sismique d’un bâtiment

Effondrement du pont de Tacoma(1940)


Combinaison des diagrammes de Bode élémentairesCaractérisation d'une fonction de transfert complexeMéthodologie de tracé des fonctions de transferts complexes

Application à l'exemple de la suspension d'un véhiculeDécomposition de la fonction de transfertConstruction du diagramme de Bode de H1(j)Calcul et classement des pulsations de cassureConstruction du diagramme de Bode completCaractérisation fréquentielle paramétrée de la suspension automobileInterprétation temporelle d'une étude fréquentielle

Autres types de lieux de transfertDiagramme de NyquistDiagramme de Black

Conclusion

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