Série de Fourier
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Série de Fourier Une série de Fourier est une série du type : s(t) = avec : et pour : Les nombres a n et b n sont appelés coefficients de Fourier 1 0 ) 2 sin( ) 2 cos( n n n t n b t n a a dt t f T a T 0 0 ) ( 1 1 n dt t n t f T a T n 0 ) cos( ) ( 2 dt t n t f T b T n 0 ) sin( ) ( 2
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Série de Fourier. Une série de Fourier est une série du type : s(t) = avec : et pour : Les nombres a n et b n sont appelés coefficients de Fourier. Théorème 1 (Lejeune-Dirichlet). - PowerPoint PPT Presentation
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Série de FourierUne série de Fourier est une série du type :
s(t) =
avec :
et pour :
Les nombres an et bn sont appelés
coefficients de Fourier
1
0 )2sin()2cos(n
nn tnbtnaa
dttfT
aT
00 )(
1
1n
dttntfT
aT
n 0
)cos()(2
dttntfT
bT
n 0
)sin()(2
Théorème 1 (Lejeune-Dirichlet)
Toute fonction f, T périodique, C1 par morceaux est décomposable en série de Fourier. On a :
si f est continue au point t.
Et plus généralement :
1
0 )sin()cos()(n
nn tnbtnaatf
1
0 )sin()cos(2
)()(
n
nn tnbtnaatftf
Analyse harmonique ou spectrale
composition fréquentielle du signal
a0 représente la moyenne f sur une période :
dttfT
aT
00 )(
1
-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5
123456
fHxL
-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5
123456
fHxL
1 2 3 4 5 6
123456
a0
Analyse harmonique
est le fondamental :
c ’est l ’harmonique le plus important : il donne le
rythme du signal.
-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5
123456
fHxL
)2sin()2cos( 11 tbta
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
2
3
4
5
Analyse harmonique
2n )sin()cos( tnbtna nn Et pour sont les harmoniques de rang n.
Ils représentent les détails du signal et sont de moins en moins importants, au fur que n augmente.
1 2 3 4 5 6
-2-1.5-1
-0.5
0.51
1.52
harmonique de rang 2
1 2 3 4 5 6
-2-1.5-1
-0.5
0.51
1.52
harmonique de rang 3
1 2 3 4 5 6
-2-1.5-1
-0.5
0.51
1.52harmonique de rang 4
Synthèse harmonique
La somme de la moyenne, du fondamental et de toutes les harmoniques reconstituent le signal :
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
2
3
4
5
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5
1
2
3
4
5
6
Représentation spectrale
On représente la composition spectrale du signal par un diagramme en bâton qui matérialise l ’amplitude de chaque harmonique : 22
nnn baA
2 4 6 8
0.5
1
1.5
2Spectre de f
Propriétés des coefficients
Dans certains cas on saura, sans faire les calculs, que des coefficients s ’annulent.
• Cas où f est paire : tous les bn sont nuls.
avec et pour
tnaafS nn
cos)(1
0
2/
00 )(2 T
dttfT
a
1n 2/
0)cos()(
4 T
n dttntfT
a
Propriétés des coefficients
• Cas où f est impaire : tous les an sont nuls..
avec pour
tnbfS nn
sin)(1
1n
2/
0)sin()(
4 T
n dttntfT
b
Propriétés des coefficients
• Si f est impari-symétrique, elle ne contient que des fréquences impaires :
))12sin(())12cos(()( 12121
tnbtnafS nnn
0220 nn baa
2/
012 ))12cos(()(4 T
n dttntfT
a
et
2/
012 ))12sin(()(4 T
n dttntfT
b
Propriétés des coefficients
• L’amplitude des hautes fréquences diminue de plus en plus
0limlim nn
nn
ba
EXEMPLE
• sur • f paire, -périodique
[,0[
2xxf )(
-10 -5 5 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
EXEMPLE
• f paire :
et pour
1,0 nbn
2
100
xdxa
0cos
2nxdxxan
1n
EXEMPLE
1)1(
2
sin2sin2
2
00
n
n
n
dxn
nx
n
nxxa
pairest si
pair imest n si
0
4,1 2nan n
EXEMPLE
• On a donc :
et comme f est continue sur IR :
12)12(
)12cos(4
2)(
n n
xnfS
21 )12(
)12cos(4
2)(
n
xnxf
n
-10 -5 5 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Ecriture complexe des séries de Fourier
En utilisant les formules d’Euler on obtient:
Où :
tinn
n
necfS
)(
T tin
n dtetfT
c0
)(1
00 ca
)(2
1)(
2
1nnnnnn ibacetibac
L’égalité de Parseval
• On montre que l’énergie du signal est
égale à la somme des énergies des
harmoniques et de la valeur moyenne au
carré
1
22200
2
2
1)(
1
kkk
Tbaadttf
T
