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Représentation des signaux continus et analyse harmoniqueSéries de Fourier

Analyse des signaux - ELE2700Série de Fourier - Analyse harmonique et Spectres Discrets

Christian Cardinal, Ph.D

Département de génie électriqueÉcole Polytechnique de Montréal

6 janvier 2009


Lignes directrices

1 Représentation des signaux continus et analyse harmoniqueCaractérisation d’un signalDéfinition d’un signal continuProduit scalaire pour des fonctions continues et orthogonalité

2 Séries de FourierBase trigonométrique et exponentielleEffet de l’intervalle d’analyse du signalPropriétés de la série de FourierAnalyse harmonique d’un signal périodique


Caractérisation d’un signalDéfinition d’un signal continuProduit scalaire pour des fonctions continues et orthogonalité

Lignes directrices





Caractérisation d’un signal

Définition informellement d’un signal :une mesure associée à une variable : typiquement le temps ;un autre exemple de cette variable : l’espace, en une, deux, troisdimensions ;Exemple : Les images sont des signaux où une mesured’intensité lumineuse est associée à un espace en deuxdimensions ;Cette mesure variant dans le temps ou dans l’espace contientl’information du signal



Lignes directrices





Définition d’un signal continu

Un signal continu est une fonction x(t) qui associe une mesurescalaire à une variable scalaire.

x :R → Ct � x(t)

(1)

Nous nommerons le domaine de cette fonction le domaine dutemps.Le signal est, évidemment, dit continu du fait que la variableappartient à un ensemble infini dense dans R.On peut aussi associer une mesure à une variable discrète nondense dans R, résultant en un signal discret.



Périodicité d’un signal

Définissons la propriété de périodicité permettant de caractériser uneintéressante catégorie de signaux.

Un signal x(t) est périodique si, pour tout n ∈ Z,

x(t + nT ) = x(t). (2)

La constante T constitue la période du signal.Nous allons introduire une représentation des signauxpériodique qui en préserve l’information, mais qui ne nécessite laspécification que d’une quantité infinie dénombrable d’élémentsde description V SERIE DE FOURIER



Lignes directrices





Produit scalaire pour des fonctions continues

Soient deux fonctions complexes f , g : R → C périodiques, depériode T . Leur produit scalaire est

〈f , g〉 =1T

∫T

f (t)g∗(t)dt . (3)

où ·∗ dénote la conjugée complexe.

Il s’agit simplement de l’extension du produit scalaire de vecteurs àdes « vecteurs infinis à densité d’indices infinie ».

Orthogonalité

Soient deux fonctions complexes f , g : R → C périodiques, depériode T . Ces deux fonctions sont orthogonales si et seulement si

〈f , g〉 =1T

∫T

f (t)g∗(t)dt = 0 (4)



Produit scalaire pour des fonctions continues (suite....)

Soit un ensemble dénombrable de fonctions orthogonalescomplexes B = {b1, b2, . . .}. L’ensemble des fonctions complexes

f (t) =∑n∈Z

aibi(t) (5)

constituent un espace fonctionnel dont la base est B.

Les coefficients ai s’obtiennent par les produits scalaires :

ai = 〈f , bi〉 =1T

∫T

f (t)b∗i (t)dt (6)


Base trigonométrique et exponentielleEffet de l’intervalle d’analyse du signalPropriétés de la série de FourierAnalyse harmonique d’un signal périodique

Lignes directrices





Série de Fourier : Base trigonométrique

Le théorème de Fourier propose la base trigonométrique suivante :

Bt = {1}⋃ {

cos2πnt

T, sin

2πntT

∣∣∣∣ n ∈ N∗}

(7)

Ces fonctions forment un ensemble de fonctions orthogonales

Le développement en série trigonométrique d’une fonction f (t) est

f (t) = A0 +∞∑

n=1

An cos2πnt

T+

∞∑n=1

Bn sin2πnt

T(8)



Série de Fourier : Base trigonométrique (suite...)

Les coefficients du développement en série trigonométrique d’unefonction f (t) s’obtiennent par les relations suivantes :

A0 =1T

∫T

f (t)dt = f (9)

An =2T

∫T

f (t) cos(

2πntT

)dt (10)

Bn =2T

∫T

f (t) sin(

2πntT

)dt (11)

avec n ∈ N∗.



Série de Fourier : Base exponentielle ou fréquentielle

Le théorème de Fourier propose aussi la base exponentielle oufréquentielle suivante : elle est liée de près à la basetrigonométrique :

Bf = {e2jπnt/T | n ∈ Z} (12)

Le développement en série de Fourier (DSF) d’une fonction f (t) est

f (t) =∑n∈Z

Xne2jπnt/T (13)

Les coefficients Xn du développement en série de Fourier d’un

signal x(t) sont calculés par l’expression

Xn =1T

∫T

x(t)e−2jπnt/T dt . (14)



Série de Fourier : Relation entre la sérietrigonométrique et la série exponentielle

Soit une fonction x(t), dont les coefficients du développement ensérie trigonométrique sont An et Bn, et dont les coefficients dudéveloppement en série de Fourier exponentielle sont Xn. On a alors,pour n ∈ N∗,

X0 = A0

Xn =An − jBn

2

X−n =An + jBn

2

(15)



Série de Fourier : Relation entre la sérietrigonométrique et la série exponentielle (suite...)

Preuve : Exprimons x(t) en termes de son développement en sérietrigonométrique :

x(t) = A0 +∞∑n

An cos(

2πntT

)+

∞∑n

Bn sin(

2πntT

)(16)

Utilisant les identités suivantes :

cos θ =ejθ + e−jθ

2et

sin θ =ejθ − e−jθ

2j,

(17)



Série de Fourier : Relation entre la sérietrigonométrique et la série exponentielle (suite...)

On peut écrire :

x(t) = A0 +∞∑

n=1

An

2(e2jπnt/T + e−2jπnt/T ) +

∞∑n=1

Bn

2j(e2jπnt/T − e−2jπnt/T )

= A0 +∞∑

n=1

(An − jBn

2

)e2jπnt/T +

∞∑n=1

(An + jBn

2

)e2jπ(−n)t/T ,

(18)

d’où les relations :X0 = A0

Xn =An − jBn

2

X−n =An + jBn

2

(19)



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Allongement de la période d’analyse du signal

Considérons un signal périodique x(t), de période T .

on peut prendre T ′ = mT (m ∈ N∗) comme période du signalx(t) = x(t + nT ) pour tout n ∈ Z, on a mn ∈ Z, de sorteque x(t) = x(t + mnT ) = x(t + n(mT ))

L’allongement n’impliquent aucune perte d’informationx(t) étant périodique de période T , on peut le représenter sousla forme d’une série de Fourier :

x(t) =∑n∈Z

Xn exp(

2jπntT

). (20)



Allongement de la période d’analyse du signal(suite...)

L’argument complexe de l’exponentielle étant une fraction, onpeut écrire, pour m ∈ N∗,

x(t) =∑n∈Z

Xn exp(

m(2jπnt)mT

)=

∑n∈Z

Xn exp(

2jπ(mn)tmT

)=

∑k∈Z

X̃k exp(

2jπktmT

) (21)

chaque terme implique une exponentielle complexe dont lafréquence est un multiple entier de m/T .



Allongement de la période d’analyse du signal(suite...)

les coefficients du développement en série de Fourier de x(t) surla période mT sont

X̃k =

{Xk/m si k est divisible par m

0 sinon.(22)

En d’autres termes, le prolongement de la période à un multipleentier de T ne fait qu’introduire des zéros entre les coefficientsdu développement sur T . Aucun nouveau coefficient n’esteffectivement introduit.



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Propriétés de la série de Fourier

Le calcul des coefficients du développement en sérietrigonométrique ou de Fourier par le biais d’intégrales esttypiquement fastidieux.Pour faciliter les calculs

V PROPRIÉTÉS DE LA SÉRIE FOURIER



Propriétés de la série de Fourier (suite...)

LinéaritéLes coefficients Zn du développement en série de Fourier du signal

z(t) = ax(t) + by(t) (23)

sontZn = aXn + bYn, (24)

pour n ∈ Z.




Décalage temporel

Les coefficients du développement en série de Fourier du signal

z(t) = x(t − t0) (25)

sontZn = e−2jπnt0/T Xn. (26)




DérivéeLes coefficients Zn du développement en série de Fourier du signal

z(t) =dk

dtk x(t) (27)

sont (2jπn

T

)k

Vn. (28)




Fonction impaire

Considérons que le signal x(t) constitue une fonction impaire,c’est-à-dire que

x(t) = −x(−t). (29)

Dans ce cas, les coefficients An associés aux éléments-cosinus et àl’élément constant de la base trigonométrique sont tous nuls.




Fonction paire

Considérons que le signal x(t) constitue une fonction paire,c’est-à-dire que

x(t) = x(−t). (30)

Alors, les coefficients Bn associés aux éléments-sinus de sondéveloppement sur la base trigonométrique sont nuls.



Impulsion de Dirac

Définition de la fonction (distribution) de Dirac

L’impulsion de Dirac, qu’on appelle aussi plus brièvement dirac, estun signal continu très important. Comme nous le verrons plus loin,lorsque ce signal est soumis en entrée d’un système linéaire, la sortieest un signal qui décrit complètement le comportement du systèmedans le domaine du temps.

Définition de l’impulsion de Dirac

L’impulsion de Dirac, notée δ(t), est un signal défini commesatisfaisant la propriété que, pour toute fonction f (t) bornée en t = 0,∫ ∞

−∞f (t)δ(t)dt = f (0) (31)



Impulsion de Dirac (suite...)

Pour une fonction continue bornée en t = t0 :

Propriété de sélection∫ ∞

−∞f (t)δ(t − t0)dt = f (t0). (32)

Il est difficile de caractériser algébriquement l’impulsion de Dirac.Pour tout t ∈ R\{0}, on a δ(t) = 0.On ne peut pas fixer une valeur finie pour δ(t) en t = 0.Pour tout intervalle centré autour de l’origine, si petit soit-il, lapropriété définie par l’équation précédente est satisfaite.δ(0) →∞



Impulsion de Dirac (suite...)

Le dirac n’est pas représentable à l’aide d’une fonction bornée : ilne satisfait pas les conditions de Dirichlet.Cependant : pour tout intervalle I d’évaluation dudéveloppement en série de δ(t) tel que 0 ∈ I, on a :

1T

∫I

δ(t)e−2jπnt/T dt =1T

∫ ∞

−∞δ(t)e−2jπnt/T dt =

1T

e−2jπn(0)/T =1T

.

(33)

Il est donc possible de déterminer les coefficients dudéveloppement en série de Fourier de δ(t)Pour une fonction discontinue, il est possible d’exprimer ladérivée de la discontinuité à l’aide d’un dirac.La propriété de dérivation est donc cohérente avec les fonctionsdiscontinues.



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Analyse harmonique d’un signal périodique

La représentation d’un signal périodique à l’aide d’une série deFourier V Analyse en termes de ses harmoniques.

Analogie avec une corde vibrante

vibration harmonique fondamentaleLe centre de la corde se déplace maximalement, les seuls pointsfixes sont ceux qui maintiennent la corde en place.

second mode harmoniqueEn doublant la fréquence de vibration fondamentale, le pointcentral de la corde devient fixe, alors que les points au quart et auxtrois quarts de la corde se déplacent maximalement : il s’agit du decette corde.

harmoniques subséquentsLes modes consistent en la multiplication de la fréquenced’oscillation de la corde par un facteur n ∈ N, résultant en undéplacement maximal de n points équidistants de la corde, alorsque n + 1 points demeurent fixes.



Analyse harmonique d’un signal périodique (suite...)

Les signaux périodique sont décomposables en sinusoïdes(série trigonométrique) de fréquence respective n/T :

Soit x(t) un signal périodique, d’où

x(t) =∑n∈Z

Xne2jπnt/T . (34)

La fréquence f0 de l’harmonique fondamentale — dite fréquencefondamentale — de ce signal se calcule en posant n=1 :

f0 =1T

(35)

Les multiples de f0, nf0 sont les harmoniques du signal.



Exemple

Déterminez les coefficients du développement en série de Fourier dusignal

x(t) = 2 cos(60πt) + 6 cos(120πt)− 2 cos(240πt). (36)

Solution

Déterminons la fréquence fondamentale de x(t). Il est clair que laplus petite fréquence de ce signal est (n=1) : f0 = 30Les deux autres composantes ayant pour fréquence respective ledouble et le quadruple de la fréquence fondamentale, on détermineles harmoniques :

Xn =

1 si n ∈ {1,−1}3 si n ∈ {2,−2}

−1 si n ∈ {4,−4}0 sinon.

(37)



Série de Fourier - Conclusion

Le développement en série sur une base harmonique neconvient qu’à l’analyse de signaux modélisés par une fonctionpériodique ou à support finiCependant, il est possible d’étendre ce concept aux signauxcomplexes d’une classe plus générale

Décomposition de la fonction sur une base d’exponentielles denseRésultat : Transformée de FourierIntroduction de cette notion par le biais de la transformée deLaplace.

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