ROBOTIQUE -ELE4203- Cours #3: Cinématique directe: les paramètres de Denavit-Hartenberg...

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Cours #3: Cinématique directe: les paramètres de Denavit-Hartenberg

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012

Cours #3

Petites annonces générales concernant le cours

Bref rappel des principales notions du cours #2 Rotation autour d’un vecteur unitaire Cinématique directe:

Principes de base et but de la cinématique directe Référentiels standards en robotique Pré-multiplication VS post-multiplication Orientation de l’outil à l’aide du roulis, tangage et lacet (Roll,

pitch et Yaw)

Retour rapide sur la cinématique directe du robot planaireJean-Philippe Roberge -

Septembre 2012

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Cours #3

Les paramètres de Denavit-Hartenberg (D.H.)

Qu’est-ce que c’est, pourquoi les utiliser?

Les trois règles devant êtres respectées

La procédure pour le placement des repères de D.H. (13

étapes…)

Réalisation de la cinématique directe à l’aide de D.H.:

Robot PUMA (RRRRRR)

Robot Stanford (RRPRRR)

3 Jean-Philippe Roberge - Septembre 2012


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Bref rappel du cours #2 (1)Rotation autour d’un vecteur unitaire

La rotation autour d’un vecteur unitaire s’effectue en cinq étapes.

On effectue cinq rotations:

1-Une rotation de α degrés en x2-Une rotation de β degrés en y

Ces deux rotations permettront d’enligner le vecteur avec l’axe z.

3-Une rotation de θ degrés en z

Finalement, les transformations inverses:

4-Une rotation de -β degrés en y5-Une rotation de -α degrés en x

5 4 3 2 1 , , , , ,totT T T T T T ROT x ROT y ROT z ROT y ROT x

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Qu’est-ce que la cinématique directe? La cinématique directe concerne la détermination de la position et de

l’orientation de l’effecteur (pose de l’effecteur) du robot en fonction des positions des articulations du robot.

Il s’agit en fait de bâtir un modèle mathématique qui permet d’obtenir la pose de l’effecteur en fonction de ce que l’on appelle les “variables articulaires”. Pour bâtir ledit modèle mathématique, nous aurons recours aux

variables / transformations homogènes.

Concrètement: Des encodeurs donnent les valeurs des différentes variables articulaires.

Par exemple, pour des joints rotoïdes, les encodeurs permettront d’obtenir directement les angles de chacune des articulations.

Connaissant ces valeurs et ayant réaliser la cinématique directe du robot, il est alors possible de connaître la position et l’orientation de l’effecteur.

Nous verrons dans les heures qui suivent comment réaliser efficacement la cinématique directe.

Bref rappel du cours #2 (2)Cinématique directe – But


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Pour réaliser la cinématique directe des robots que nous étudierons, nous nous intéresserons tout d’abord à apposer des repères au niveau des joints du robot, par exemple:

Bref rappel du cours #2 (3)Cinématique directe – Principes de base

Par la suite, nous nous intéresserons à trouver les transformations qui lient chacun des repères ensemble. Dans le cas d’un robot sériel à six degrés de liberté, on déterminera:

La cinématique directe est alors contenue dans la matrice de transformation totale:

0 1 2 3 4 51 2 3 4 5 6, , , , ,

où : est la matrice de transformation

homogène du repère j par rapport au repère i

ij

T T T T T T

T

0 0 1 2 3 4 56 1 2 3 4 5 6T T T T T T T


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Bref rappel du cours #2 (4)Cinématique directe – La question fondamentale

Étant donnée un point A exprimé dans le repère B, comment faire pour obtenir le point A exprimé dans le repère C?

La question que nous nous posons d’abord est:Étant donné un point A exprimé en coordonnés du repère B, comment faire pour exprimer ce point dans le repère C?


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Propriétés des matrices de rotation:

Petite précision par rapport à orthogonale VS orthonormale.

Une matrice orthogonale est une matrice carrée dont les colonnes et les lignes sont des vecteurs orthonormaux.

Vecteurs orthonormaux: vecteurs unitaires orthogonaux (norme =1)

Bref rappel du cours #2 (5)Propriétés de la matrice de rotation


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Bref rappel du cours #2 (6)Référentiels standards en robotique

Les référentiels souvent discutés en robotique sont les cinq référentiels suivant:

Référentiel U: il est surnommé le référentiel universel. Dans certains ouvrages, on peut aussi parler du référentiel de travail.

Référentiel R: C’est le référentiel associé à la base du robot.

Référentiel H: il est surnommé le référentiel “Hand”, c’est le référentiel associé à la main (porte-outil).

Référentiel E : il est surnommé le référentiel effecteur. Il est associé à l’outil.

Référentiel P: Référentiel associé à la pièce.Jean-Philippe Roberge -

Septembre 2012

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Bref rappel du cours #2 (7)Transformations entre les référentiels standards

Maintenant que nous avons introduit certains concepts de base concernant les référentiels, étudions les référentiels souvent discutés en robotique:


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Bref rappel du cours #2 (8)pré-multiplication VS post-multiplication

Tel que mentionné, l’ordre de multiplication est important lorsqu’il s’agit de multiplier des matrices de transformation homogènes.

De plus, lorsque les matrices de transformation sont utilisées pour décrire la pose de différents repères les uns par rapport aux autres il faut se rappeller de ceci:

Lorsqu’on pré-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère fixe.

Lorsqu’on post-multiplie, la transformation se fait par rapport au repère mobile.


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Bref rappel du cours #2 (9)pré-multiplication VS post-multiplication

Voici un petit exercice tiré de [4]: Soit une matrice de rotation R composé des rotations pures

suivantes:

1- Une rotation de θ par rapport à l’axe x du repère mobile 2- Une rotation de φ par rapport à l’axe z du repère mobile 3- Une rotation de α par rapport à l’axe z du repère fixe 4- Une rotation de β par rapport à l’axe y du repère mobile 5- Une rotation de δ par rapport à l’axe x du repère fixe

La réponse de cet exercice:


R ,R x ,R z ,R z ,R y ,R x

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Bref rappel du cours #2 (10)Orientation de l’outil: Roulis, tangage et lacet

Il existe plusieurs façon pour décrire l’orientation d’un repère. Pour représenter l’orientation de l’outil, une convention est d’utiliser les angles de roulis (roll), tangage (pitch) et lacet (yaw).


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Bref rappel du cours #2 (11)Cinématique directe du robot planaire

Rapellons la cinématique directe d’un robot “simple”, c’est-à-dire un robot-planaire à trois degrés de liberté:


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Cours #3Denavit-Hartenberg (1)


Selon vous, pensez-vous qu’il existe plusieurs façons différentes et toutes aussi valides d’apposer les repères sur un robot? Assigner les repères sur un robot plus complexe que le robot planaire du dernier cours peut devenir compliqué (par exemple un robot à six degrés de liberté oeuvrant dans l’espace 3D). L’assignation des repères n’est pas toujours facile et surtout,

la détermination des transformations homogènes entre chacun de ces repère peut être difficile à déterminé. Nous développerons ici une approche systématique basée

sur les paramètres de Denavit-Hartenberg. Permet de simplifier la démarche De plus, cette convention permet aux ingénieurs en robotique

de s’appuyer sur un langage commun. Elle permet en plus d’automatiser la réalisation de la

cinématique directe (nous en discuterons plus tard).

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La convention de Denavit-Hartenberg (D.H.) s’appuie tout d’abord sur trois règles qui doivent toujours êtres respectées:

1

1

1- L'axe est selon l'axe du mouvement du joint

2- L'axe est normal à l'axe et pointe en s'en éloignant

3- L'axe complète le repère i de manière à obtenir un repère "main droite"

i

i i

i

Z i

X Z

Y

Le repère 0 est choisi arbitrairement, sauf que l’axe Z0 doit être selon l’axe du mouvement du joint 1. Le dernière repère (n) peut aussi être placé arbitrairement, tant que l’axe Xn soit normal à Zn-1.

Image tirée de [4]

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En respectant les trois règles de D.H. on pourra toujours utiliser seulement quatre paramètres pour passer du repère i-1 au repère i. Ces quatre paramètres sont les paramètres de Denavit-Hartenberg, ceux-ci

sont définis par:

1- Une rotation de θi par rapport à Zi-1 pour Xi-1 parallèle à Xi.

2- Une translation de di le long de Zi-1 pour amener l’origine du repère i-1 à l’intersection de Zi-1 et Xi.

3- Une translation de ai le long de Xi pour amener l’intersection de Zi-1 et Xi sur l’axe Zi.

4- Une rotation αi par rapport à Xi pour amener Zi-1 parallèle à Zi.

Image tirée de [4]

Paramètres de Denavit-Hartenberg:

Θi , di , ai et αi

Où i=1,…,n, (n étant le nombre de degrés de liberté du robot)

Ce que nous venons d’étudier en texte, se traduit mathématiquement par:

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1- Une rotation de θi par rapport à Zi-1 pour Xi-1 parallèle à Xi.

2- Une translation de di le long de Zi-1 pour amener l’origine du repère i-1 à l’intersection de Zi-1 et Xi.

3- Une translation de ai le long de Xi pour amener l’intersection de Zi-1 et Xi sur l’axe Zi.

4- Une rotation αi par rapport à Xi pour amener Zi-1 parallèle à Zi.

Petit rappel:

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22



En observant ce dernier résultat:

Il est évidemment possible d’automatiser la cinématique directe (et bien plus). Comment? En se créant des fonctions, par exemple, dans

Matlab. Démonstration:

# Lien θi di ai αi

1 θ1 0 a1 0

2 θ2 0 a2 0

3 θ3 0 a3 0

Suite dans Matlab…

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Voici maintenant la méthode systématique permettant d’apposer les repères selon la convention D.H. :

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Voici maintenant la méthode systématique permettant d’apposer les repères selon la convention D.H. (suite) :

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Cours #3Denavit-Hartenberg – Robot PUMA(1)


Pratiquons cette démarche sur le robot PUMA. Ce dernier est un robot à six degrés de liberté et possède que des joints rotoïdes (RRRRRR). Avant de commencer, regardons un peu à quoi ce robot

ressemble:

http://www.youtube.com/watch?v=Ki7n0KFR51Y&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=kEed8DVO21I&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=Ki7n0KFR51Y&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=kEed8DVO21I&feature=related

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Pour que ce soit clair, voici comment les repères sont placés:

y3

z3

x3

d4

a2

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z0

z1

y0,x1

y1

x0

z2

x2

y2

-d2-a3

z4,y5

y4

x4,x5

z5

d6

y6

z6

x6

28



# Lien

θi di ai αi

1 θ1v 0 0 -90⁰

2 θ2v d2 a2 0

3 Θ3v 0 a3 90⁰

4 θ4v d4 0 -90⁰

5 θ5v 0 0 90⁰

6 θ6v d6 0 0

y3

z3

x3

d4

a2

z0

z1

y0,x1

y1

x0

z2

x2

y2

-d2-a3

z4,y5

y4

x4,x5

z5

d6

y6

z6

x6

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# Lien

θi di ai αi

1 θ1 0 0 -90⁰

2 θ2 d2 a2 0

3 θ3 0 a3 90⁰

4 θ4 d4 0 -90⁰

5 θ5 0 0 90⁰

6 θ6 d6 0 0

Après multiplication, on obtient la cinématique directe:

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Encore une fois, commençons par observer à quoi ressemble le robot Stanford (RRPRRR) ~1969 !:

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Cours #3Denavit-Hartenberg – Robot Stanford(1)


Apposition de repères:

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Le tableau de D.H.:

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# Lien

θi di ai αi

1 θ1v d1 0 -90⁰

2 θ2v d2 0 90⁰

3 0⁰ d3v 0 0⁰

4 θ4v 0 0 -90⁰

5 θ5v 0 0 90⁰

6 θ6v d6 0 0

34



# Lien

θi di ai αi

1 θ1v d1 0 -90⁰

2 θ2v d2 0 90⁰

3 0⁰ d3v 0 0⁰

4 θ4v 0 0 -90⁰

5 θ5v 0 0 90⁰

6 θ6v d6 0 0

En multipliant chacune des matrices de transformation:

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Le robot Stanford possède un poignet sphérique:

“sphérique” est dit des mécanismes articulés dont les axes des trois derniers joints s’intersectent toujours en un point.

Énormément de robots mettent en oeuvre des poignets sphériques, ceux-ci permettent de découpler la position et l’orientation de l’effecteur.

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Cours #3Introduction aux poignets sphériques (1)


Principe du “découplement cinématique” (possible en présence d’un poignet sphérique):

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6 13

6 23

6 33

c x

c y

c z

x P d r

y P d r

z P d r

0cT

06T

6

0

0

1cP P d R

Pc est apellé “centre du poignet” ou “référentiel du poignet”

Le “découplement cinématique” sera particulièrement pratique pour la cinématique inverse (prochain cours):

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Aux deux prochains cours…

Les deux prochains cours vous seront enseignés par le professeur Richard Gourdeau.

Dans le cadre de ces cours, la matière couverte sera constituée entres autres de:

Cinématique inverse:

Comment trouver les variables articulaires, étant donnée une pose de l’effecteur du robot.

Cinématique différentielle:

Comment calculer la matrice Jacobienne et quelles sont les informations qu’elle contient

Je serai de retour avec vous après la relâche (pour le cours du 15 octobre), et pour le reste de la session.


Références

[1] Absolute Beginner’s Guide to Building Robots, Gareth Branwyn, 2003

[2] http://spectrum.ieee.org/automaton/robotics/robotics-software/10_stats_you_should_know_about_robots Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[3] http://www.geekologie.com/2008/12/thats-it-im-moving-robotic-sta.php

[4] Robot Modeling and Control, Mark W. Spong et al.,2006.

[5] Notes de cours (Manipulateurs) - ELE4203, Richard Gourdeau, juillet 2012.

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