Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #8: Le modèle détat Enseignant: Jean-Philippe...

Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #8: Le modèle d’état

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 8

Retour sur le sondage du dernier cours

Fin de la matière portant sur les systèmes continus:

Le modèle d’état

Ses différentes formes: forme canonique commandable, forme

canonique observable, forme canonique diagonale, forme canonique

de Jordan

Sa solution: la matrice de transition

2 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 8

Conception à l’aide du modèle d’état:

Critères de commandabilité / Observabilité d’un système

Commande par retour d’états

Régulation par placements de pôles

Observateurs d’états (Prochain cours)

Conception pour le suivi de consigne (Prochain cours)

Application de ces notions par l’exemple du contrôleur

d’Astolfi

3 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011


4

Retour sur le sondage du dernier cours (I)

Retour sur le sondage du dernier cours

(II)

Points à améliorer selon vos commentaires:

Présentations Powerpoint plus colorées

“Plus d’exemples pratiques”, “Plus d’exemples provenant de

l’industrie”, “Plus d’exercices faits par les étudiants plutôt que par

le professeur.”

Faire plus de liens entre les exercices provenant des notes de

cours et ceux présentés en classe.

“Passer plus de temps sur la théorie.”

Poser plus de questions aux étudiants sur la matière.

Conflits avec le cours MEC3300 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

5

Cours #8

Modèle d’état (I)

7

Pour faire l’analyse d’un système et/ou la conception d’un contrôleur, deux approches sont disponibles: La première est basée sur la fonction de transfert du système La deuxième est basée sur le modèle d’état du système

Question: Qu’est-ce que le modèle d’état? R.: Tout comme la fonction de transfert, le modèle d’état permet

de représenter un système. Une des principales différences est que contrairement à la fonction de transfert, le modèle d’état concerne le domaine temporel.

Le principe du modèle d’état est de représenté une équation différentielle d’ordre n par un système d’équations différentielle du premier ordre.


Modèle d’état (II)

Exemple 1: Système masse-ressort avec

friction

8

Par exemple, considérons un système masse-ressort avec frottement, où u(t) est la force verticale appliquée au système):


Figure tirée de “Modern Control Systems”, Bishop & Al.

L’équation de la dynamique de ce système est:

qui est une équation différentielle d’ordre 2. En posant:

On peut ré-écrire l’équation de la dynamique tel que:

2

2

d y t dy tM b ky t u t

dt dt

1 2 et x y t x y t

2 2 1Mx bx kx u t

Modèle d’état (III)


friction


9

2

2

d y t dy tM b ky t u t

dt dt

1 2 et x y t x y t

2 2 1Mx bx kx u t

Et on peut donc directement ré-écrire les équations de la dynamique en un système

d’équations différentielles de premier ordre:

1 2

2 2 1

1

x x

b kx x x u t

M M M

Modèle d’état (IV)


friction


10

Par ailleurs, ce système d’équations différentielles du premier ordre peut évidemment

se ré-écrire sous format matricielle:

1 2

1 1

2 22 2 1

0 1 0

11

x xx x

u tk bb kx xx x x u t

M M MM M M

x xBA

Supposons que la sortie est la position de la masse, alors on pourrait aussi écrire:

Les équations générales du modèle d’état sont donc:

x est le vecteur d’état, u est le vecteur des entrées et y est le vecteur des sorties

1 0 0y x u t D

C

x Ax Bu

y Cx Du

Modèle d’état (V)

Exemple 2: Pendule inversé sur chariot


11

Soit le système suivant: Les équations de la dynamique de ce

système (une fois linéarisé) se résument à:

On veut stabiliser le pendule ET le chariot, les sorties de ce système sont donc l’angle du pendule ϴ(t) et la position x(t).

Dynamique du pendule

Dynamique du chariot

F t M m g t Ml t

F t Mx t mg t

1

2

( )y t t

y t x t

Modèle d’état (VI)

Exemple 2: Pendule inversé sur chariot


12

En posant:

On obtient les équations du système sous forme de modèle d’états:

1

2

( )y t t

y t x t

1 2 3 4, , , et x t x t x x t x x t u t F t

Dynamique du pendule

Dynamique du chariot

F t M m g t Ml t

F t Mx t mg t

1 11 2 3 4

2 2

2 13 3

4 4

4 1

1 1

2 3 1

2

0 1 0 0 0

10 0 0

00 0 0 1

10 0 0

x xx x x x M m gx x MlMlM m g u u t A Bx x x xMl Mlx xmgmg u

x xMMM M

y x

y x y

y

x x u

1

2

3

4

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

x

xu t C D

x

x

y x u

Modèle d’état (VII)

Dernier exemple: Circuit RLC


13

Au tableau...

Modèle d’état (VIII)


14

Modèle d’état (IX)

Définition: L’état d’un système est l’ensemble des variables (dites les variables d’états) dont les valeurs, jumelées aux valeurs des entrées ainsi qu’aux équations de la dynamique d’un système, déterminent l’état futur ainsi que la sortie du système.

Elles décrivent la configuration d’un système à un moment précis et peuvent être utilisées pour déterminer la réponse future de ce système, étant donné la connaissance du signal d’entrée et des équations décrivant la dynamique.

Note importante: Les variables d’états qui décrivent un système ne sont pas un ensemble unique, plusieurs ensembles de variables d’états peuvent généralement être choisies.

En effet, revisitons l’exemple du circuit RLC (tableau)


15

Modèle d’état (X)

Aussi, il est assez simple de passer du modèle d’état d’un système (dans le domaine

temporel) à la fonction de transfert du modèle (dans le domaine de Laplace) :

Modèle d’état:

En appliquant la transformée de Laplace de chaque côté des équations:

En ré-arrangeant et en considérant les conditions initiales nulles, pour les états:


16

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

0sX s x AX s BU s

Y s CX s DU s

1

:

sX s AX s BU s sI A X s

Donc X s sI A BU s

Modèle d’état (XI)

Donc, en substituant cette expression dans l’équation de la sortie:

La fonction de transfert est donc:

Par ailleurs,

Donc les pôles de la fonction de transfert sont aussi les valeurs propres de la matrice A!!


17

1 1

Y s CX s DU s

Y s C sI A BU s DU s C sI A B D U s

1X s sI A BU s

1Y s

G s C sI A B DU s

Q sG s

sI A

Modèle d’état (XII)

Exemple d’un système de deuxième

ordre


18

Modèle d’état (XIII)

Exemple d’un système de deuxième

ordre


19

Modèle d’état (XIV)


20

Modèle d’état (XV)

Vous voyez donc bien qu’un système n’a pas une représentation unique. Lorsque l’on fait un tel changement de variable, on peut ré-écrire le système sous cette forme:


21

Modèle d’état (XVI)

Nous pouvons d’ailleurs nous convaincre que le nouveau système est le même que l’ancien en retrouvant la fonction de transfert:


22

Modèle d’état (XVII)

Bien qu’il existe une infinité de représentations d’état pour une même fonction de transfert, l’utilisation de certaines formes « standards » est privilégiée :

La forme canonique commandable La forme canonique observable La forme canonique diagonale La forme canonique de Jordan


23

Modèle d’état (XVIII)Forme canonique

commandable Soit une fonction de transfert qui s’écrit telle que:

Une telle fonction peut se ré-écrire :


24

10 1 1

11 1

...

...

n nn n

n nn n

Y s b s b s b s bG s

U s s a s a s a

11 1 0 1 1 0 0

0 11 1

...

...

nn n n n

n nn n

Y s b a b s b a b s b a bG s b

U s s a s a s a

10 1 1

11 1

1 10 1 1 1 1 0 1 1 0 0

11 1

10 1 1 1 1

11 1

En effet:

...

...

... ...

...

...

...

n nn n

n nn n

n n nn n n n n n

n nn n

n nn n

n nn n

Y s b s b s b s bG s

U s s a s a s a

b s a s a s a b a b s b a b s b a b

s a s a s a

b s a s a s a b a

s a s a s a

10 1 1 0 0

11 1

11 1 0 1 1 0 0

0 11 1

...

...

...

...

nn n n n

n nn n

nn n n n

n nn n

b s b a b s b a b

s a s a s a

b a b s b a b s b a bb

s a s a s a

Modèle d’état (XIX)Forme canonique

commandable


25

Modèle d’état (XX)Forme canonique

commandable


26

Modèle d’état (XXI)Forme canonique

observable


27

Modèle d’état (XXII)Forme canonique

observable


28

Modèle d’état (XXIII)Forme canonique

observable

Note:Jean-Philippe Roberge - Mars

201129

. . . . . . . . . . . .T T T

can obs can com can obs can com can obs can comA A B C C B

Modèle d’état (XXIV)Forme canonique

diagonale


30

Modèle d’état (XXV)Forme canonique

diagonale


31

Modèle d’état (XXVI)Forme canonique de

Jordan


32

Modèle d’état (XXVII)Forme canonique de

Jordan


33

Solution des équations d’état par Laplace (I)

Il est possible de trouver aisément la solution des équations d’état en utilisant Laplace. En effet, soit le système d’état suivant (domaine temporel):

En prenant la transformée de Laplace des deux côtés:

Donc, la solution:


34

x Ax Bu

y Cx Du

0sX s x AX s BU s

Y s CX s DU s

1 1

0

0

0

sX s AX s x BU s

sI A X s x BU s

X s sI A x sI A BU s

Solution des équations d’état par Laplace (II)

On peut écrire ce dernier résultat :

Où:

En prenant la transformée inverse de Laplace:

La solution générale des équations d’état est:


35

1 10X s sI A x sI A BU s

0X s s x s BU s

1s sI A

11t sI A L

0

0t

x t t x t BU d

Propriété 8: convolution temporelle

0

0t

y t C t x C t BU d

Matrice de transition

Solution des équations d’état par Laplace (III)


36

Solution des équations d’état par Laplace (IV)


37

Solution des équations d’état par Laplace (V)


38

Conception à l’aide du modèle d’état (I)

Commandabilité


39

Conception à l’aide du modèle d’état (II)

Observabilité


40

Conception à l’aide du modèle d’état (III)

Exemple – système masse-ressort avec friction


41

1 21 1

2 22 2 1

0 1 01

1 2 1

x xx x

u tb kx xx x x u t

M M M

Bx xA

1 0 0y x u t D

C

Commandabilité:

Observabilité:

0 1| | 2

1 2rang B AB rang

1 0| | 2

0 1T T Trang C A C rang

Conception à l’aide du modèle d’état (IV)



42

Conception à l’aide du modèle d’état (V)



43

Conception à l’aide du modèle d’état (VI)



44

Conception à l’aide du modèle d’état (VII)



45

Conception à l’aide du modèle d’état (VIII)



46

Conception à l’aide du modèle d’état (IX)



47

Conception à l’aide du modèle d’état (X)



48

Conception à l’aide du modèle d’état (XI)



49


50

Application de ces notions- Exemple du contrôleur d’Astolfi -

Contrôleur d’Astolfi (I) [5]


51

Dynamique

Distance et angles (Pose) par rapport au but

Dynamique de la pose par rapport au but

Contrôleur d’Astolfi (II) [5]


52

Dynamique de la pose par rapport au but

Contrôleur d’Astolfi (III) [5]


53

Contrôleur d’Astolfi (IV) [5]


54

Prochain cours


55

Observateurs d’états

Début de la matière concernant le domaine non-continu

(discret):

Échantillonnage

Transformée en z

Choix d’une fréquence d’échantillonnage

Bloqueur d’ordre 0

Références

56

[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise

[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh

[5] Exponential Stabilization of a Wheeled Mobile Robot Via Discontinuous Control – A. Astolfi, March 1999


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