Revista Accromath Vol.4.1

5/12/2018 Revista Accromath Vol.4.1 - slidepdf.com

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Volume 4 • Hiver–Printemps 2009

Autresarticles

• Les équations

n’ont pas de préjugés• Des constructions impossibles

• Découverte mathématique

à la polyvalente

• Leonhard Euler

• Des ponts d’Euler

à la grippe aviaire

Mesurer

l’Univers

Rubrique des

Trois peséessuffisent



Dans ce numéro...En cette année internationale de l’astronomie, nous vous proposons un dossierMathématiques et astronomie . Pierre Chastenay, astronome au Planétarium deMontréal, signe le premier des articles de ce dossier, intitulé Mesurer l’Univers.Il y relate comment Aristarque de Samos a établi les distances relativesTerre-Lune et Terre-Soleil, comment Ératosthène de Cyrène a estimé la longueurde la circonérence terrestre et comment Hipparque de Nicée a estimé la distanceTerre-Lune. Ces savants de l’Antiquité grecque sont les premiers à avoir évalué,par modélisation et déduction mathématiques, certaines des grandeurs « astro-

nomiques » qui caractérisent notre Univers et échappent à la seule mesure.Le rôle des modèles mathématiques a pris une nouvelle dimension avec ledéveloppement de la physique moderne. C’est ce que nous montre StéphaneDurand dans le deuxième article de ce dossier, Les équations n’ont pas de

préjugés. L’auteur présente comment divers concepts physiques relatis àl’infniment grand et à l’infniment petit et difcilement imaginables a priori ontpu émerger de modèles mathématiques lorsqu’on a voulu appliquer ceux-ci à uncontexte plus large que celui pour lequel ils avaient été développés initialement.

Les problèmes classiques de la géométrie grecque que sont la trisection del’angle, la duplication du cube et la quadrature du cercle ont intéressé des géné-rations de savants jusqu’à ce que soit démontré qu’il était impossible de résoudre cesproblèmes en respectant les contraintes imposées par le philosophe grec Platon.Ces problèmes ont l’objet de l’article Des constructions impossibles, de JérômeFortier, dans le dossier Logique mathématique et informatique théorique . Dansle même dossier, André Boileau, avec l’article Découverte mathématique à la

polyvalente, nous relate comment l’exploration du triangle équilatéral sur ordi-nateur peut conduire jusqu’à l’énoncé d’une conjecture intrigante et commentil est ensuite possible de démontrer la propriété observée et de la généraliser àdes polygones réguliers convexes.

Dans l’article Des ponts d’Euler à la grippe aviaire du dossier Applications des

mathématiques , Antoine Allard, Pierre-André Noël et Louis J. Dubé nous ontparcourir une partie du vaste champ de problèmes que la théorie des graphespermet d’aborder : après avoir traversé les ponts de Königsberg, qui ontouvert la voie à cette théorie, nous suivons la propagation d’un eu de orêt etl’évolution d’une épidémie. L’article du dossier Grands mathématiciens estconsacré à Leonhard Euler à qui l’on doit la création de la théorie des grapheset beaucoup d’autres notions et notations mathématiques qui sont maintenantd’usage courant.

Dans la Rubrique des paradoxes , Jean-Paul Delahaye utilise le raisonnementpar récurrence pour démontrer que Trois pesées sufsent lorsqu’il aut trouverparmi un ensemble de n pièces de monnaie celle qui est la plus légère.

Bonne lecture!

André Ross

Éditori l

Rédacteur en cheAndré Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Comité éditorialFrance Caron Professeure de didactique des mathématiques Université de Montréal Louis Charbonneau Professeur de didactique des mathématiques UQÀM Jocelyn Dagenais Enseignant en mathématiques Commission scolaire Marie-VictorinJean-Marie De Koninck Professeur de mathématiques Université Laval

André Deschênes Enseignant de mathématiques Petit Séminaire de Québec Christian Genest Professeur de statistique Université Laval Frédéric Gourdeau Professeur de mathématiques Université Laval Bernard R. Hodgson Professeur de mathématiques Université Laval Christiane Rousseau Professeure de mathématiques Université de Montréal

Production et IconographieAlexandra Haedrich Institut des sciences mathématiques

Conception graphiquePierre Lavallée Neograf Design

Illustrations de scientifqueset caricaturesAlain Ross

Cartes géographiqueset autres illustrations

André Ross

Révision linguistique Line BaribeauProfesseure de mathématiques Université Laval André BrunelleEnseignant de mathématiques École secondaire Marie-Anne (CSDM) Robert WilsonProfesseur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Institut des sciences mathématiques Université du Québec à Montréal Case postale 8888, succursale Centre-ville Montréal (Québec) H3C 3P8 Canada [email protected] Abonnement : www.accromath.ca ISSN 1911-0189



V o l . 4 • h i v e r – p r i n t e m p s 2 0 0 9

Volume 4 • Hiver-Printemps 2009

SommaireDossierMathématiques et astronomie

Mesurer l’Univers 2Pierre Chastenay

Les équations n’ont pas de préjugés 6

Stéphane Durand

DossierLogique mathématique et informatique théorique

Des constructions impossibles ! 2Jérôme Fortier

Découverte mathématique à la polyvalente 6André Boileau

DossierGrands mathématiciens

Leonhard Euler 20

André Ross

DossierApplications des mathématiques

Des ponts d’Euler à la grippe aviaire 24Antoine Allard, Pierre-André Noël, Louis J. Dubé

Rubrique des Paradoxes

Trois pesées sufsent 30Jean-Paul Delahaye

Solution du paradoxe précédent 3Jean-Paul Delahaye

Section problèmes 32

2

6

6

30




De la Terre au Soleil

Le premier jalon de cette vaste entreprisede mesure a été posé par le philosophe etmathématicien grec Pythagore, au VIe siècleavant notre ère. Non pas que Pythagore aitlui-même entrepris de mesurer le cosmos;c’est plutôt son célèbre théorème qui a ouvertla voie à ses successeurs. Car la trigonométrieest à la base des toutes premières tentativespour mesurer le ciel…

Par exemple, Aristarque de Samos entreprit demesurer la distance qui nous sépare du Soleilen se ondant uniquement sur ses observationset sur le théorème de Pythagore. Aristarquesavait qu’au premier quartier de la Lune, laTerre, la Lune et le Soleil orment un triangledans l’espace. Aristarque avait compris quelorsque la moitié du disque lunaire est éclairée,l’angle au sommet occupé par la Lune doitêtre de 90°. Le théorème de Pythagore peutdonc être utilisé pour évaluer la grandeur dela ligne Terre-Soleil, qui est l’hypoténuse dutriangle Terre-Lune-Soleil. Cela revient, enréalité, à mesurer l’angle entre le Soleil et laLune, l’angle q dans la gure ci-dessous, aumoment du premier quartier.

Pierre Chastenay

Astronome

Planétarium de Montréal

D o s s

i e r A s t r o n o m

i e

Mesurer la taille des objets qui nous entourent ou la distance qui nous en sépare est un jeu d’enant.

Mais, lorsqu’il est question de mesurer les distances entre les astres et la taille de ceux-ci,

le déf est de taille. Des générations de savants l’ont relevé avec brio.

La gure n’est pas à l’échelle, mais ellepermet de voir que la distance Terre-Soleilest proportionnelle à l’angle q. Aristarquesavait, en tentant de mesurer l’angle q, queplus celui-ci est proche de 90 degrés, plus leSoleil est éloigné de la Terre.

Mesurer l’Univers

Aristarque de Samos~310 – ~230

Aristarque est né dans l’île deSamos et il a probablement étudiéà Alexandrie sous la directionde Strato de Lampsacos. Leseul ouvrage d’Aristarque qui aété conservé est un petit traité

intitulé Sur les dimensions et distances du Soleil

et de la Lune . Il y décrit comment il a cherchéà déterminer ces distances et dimensions etles résultats qu’il a obtenus. Il ut le premier àproposer un système héliocentrique, c’est-à-direun Univers centré sur le Soleil. Ce système eutun certain succès mais ut rejeté principalementpour deux raisons. Premièrement, on ne pouvaitconcevoir qu’un objet lourd comme la Terrepuisse être en mouvement. La deuxième raisonest l’absence apparent de parallaxe des étoiles

proches. Si la Terre se déplace, on devrait voir lesétoiles xes suivant un angle diérent selon lapériode de l'année. Aristarque a émis l'hypothèseque cette diérence d'angle (parallaxe) existe bienmais n'est pas décelable car les étoiles xes sontsituées très loin de la Terre. Son hypothèse étaitexacte, la parallaxe est maintenant mesurable.

© P h o t o : N A S A




Sans instrument d’observation précis, ladétermination du moment exact du premierquartier de Lune et la mesure de l’angleentre la Lune et le Soleil ont posé d’énormesdicultés à Aristarque. Malgré tout, il parvintà estimer l’angle q à 87 degrés, ce qui plaçaitle Soleil 19 ois plus loin de la Terre que laLune. Si on utilise plutôt la valeur modernede q = 89,85 degrés, on obtient que le Soleilest environ 400 ois plus loin de la Terreque la Lune.

Même si son résultat était imprécis,Aristarque en déduisit tout de même que,puisque le Soleil était situé 19 ois plus loin

que la Lune et que les deux astres avaient lemême diamètre apparent vu de la Terre (cequi est évident au vu d’une éclipse totalede Soleil), cela signiait que le diamètre duSoleil devait être 19 ois supérieur à celui de

la Lune. En observant une éclipse de Lune,Aristarque constata en outre que le diamètrede notre satellite est compris entre unquart et une demie du diamètre de la Terre(du moins, de son ombre). Cela signieque le diamètre du Soleil est de 5 (≈ 19/4) à10 (≈ 19/2) ois plus grand que celui de la Terre.

Cela conduisit Aristarque à conclure que,puisque le Soleil était plus gros que la Terreet la Lune, il devait être au centre de l’Univers,

position jusque-là occupée par notre planète.Cette proposition, ort peu orthodoxe pourl’époque, allait lui attirer bien des ennuis avecles autorités religieuses de son temps… Enréalité, il audra attendre près de 18 sièclesavant que l’héliocentrisme ne s’impose na-lement, ce sur quoi nous reviendrons dans lesecond article de cette série.

La circonférence de la Terre

On remarque que la mesure par Aristarque deSamos de la distance Terre-Soleil correspond

à une valeur relative (onction de la dis-tance Terre-Lune), et non une valeur absolue,comme une distance en kilomètres. Il revientà un autre savant grec, Ératosthène, d’avoirle premier réussi à établir une telle mesure

Mesurer l’Univers | Pierre Chastenay • Planétarium de Montréal

réelle, celle de lacirconérence de laTerre. Et encore uneois, ce sont quelquesobservations et unsimple raisonnementgéométrique qui luipermirent de réussircet exploit.

Ératosthène vivait àAlexandrie, au nordde l’Égypte. On luiavait rapporté que le jour du solstice d’été,

le Soleil de midi se réféchissait au ond d’unpuit creusé à Syène, une ville située plus ausud. Autant dire que ce jour-là, le Soleil demidi était au zénith (à la verticale) à Syène.Or, le même jour, le Soleil de midi n’était pasau zénith à Alexandrie, puisqu’un obélisqueprojetait une ombre aisant un angle de 7degrés par rapport à la verticale.

Ératosthène savait que la Terre est ronde,il connaissait la distance entre Alexandrieet Syène et supposait que le Soleil étaitsusamment loin de la Terre – au moins19 ois plus loin que la Lune ! – pour que l’onpuisse considérer ses rayons comme parallèles.Puisque les angles alternes internes d’unesécante à deux droites parallèles sont égauxentre eux, Ératosthène détermina doncqu’un angle de 7 degrés devait séparerAlexandrie et Syène par rapport au centre dela Terre. La circonérence de la Terre pouvaitpar conséquent être calculée grâce à laormule suivante :

Les historiens ne s’entendent pas sur la valeurexacte de la distance en stades (l’unitéde mesure de l’époque) qu’aurait utiliséeÉratosthène dans son calcul. Mais si onutilise la valeur la plus communément acceptéeet qu’on la convertit en kilomètres, celadonne 820 kilomètres entre les deux villeset on obtient une circonérence de 42 171km, ce qui est remarquablement proche de lavaleur moderne de 40 074 km ! Le rayon etle diamètre de la Terre se calculent ensuiteacilement grâce à la ormule C = 2πR 1.

1. Archimède (~287 – ~212), contemporain et correspondant d’Ératosthène, a calculé que 223/71 < π < 220/70.

Pour déterminer à quel moment le Soleil est au plus haut, il aut marquer régulièrement la pointe de l’ombre sur le sol au cours de la journée. La fgure

alors décrite est une portiond’ellipse. Lorsque la pointe de l’ombre est le plus près du pied du pilier, il est midi. Il ne restait plus qu’à mesurer la distance d’Alexandrie à Syène.




Sur cette illustration, a est l’angle sous-tendu par le Soleil, b est l’angle sous-tendupar l’ombre de la Terre et traversé par la Lunelors d’une éclipse, tandis que g et d sont

deux angles a priori inconnus. La ligne CTreprésente le rayon de la Terre (connu depuisÉratosthène) tandis que CL représente ladistance entre la Terre et la Lune. La lignepointillée relie le centre du Soleil et celui dela Terre (ce dessin n’est pas à l’échelle).

Hipparque connaissait déjà l’angle a sous-tendu par le Soleil, égal à 0,5 degrés. Pourcalculer l’angle b sous-tendu par l’ombre dela Terre à la distance où se trouve la Luneéclipsée, il mesura d’abord le temps requispour que la Lune complète une orbite autourde la Terre, soit 29,5 jours (mois synodique)ou 708 heures. Il mesura ensuite la duréedes plus longues éclipses de Lune, environ2,5 heures. Ces deux mesures lui permirentd’eectuer le calcul suivant pour b :

Hipparque raisonna que, puisque l’on pouvaitconsidérer le Soleil comme étant beaucoupplus loin de la Terre que la Lune (au moins

19 ois plus loin, si l’on en croit Aristarque deSamos), alors on pouvait sans trop se tromperarmer que l’angle g était égal à 90 degrés.Enn, il apparaît clairement sur la gure que

DossierAstronomie

De la Terre à la Lune

En se basant sur les travaux d’Aristarque deSamos et d’Ératosthène, l’astronome grecHipparque réussit lui aussi un exploit remar-

quable : mesurer la distance réelle entre laTerre et la Lune avec une précision de 10 %à l’aide d’une simple horloge à eau et d’unrapporteur d’angles rudimentaire. La clé dela méthode d’Hipparque est l’observation dela durée d’une éclipse totale de la Lune. Lagéométrie de la situation étudiée parHipparque est représentée à la gureci-dessous.

Ératosthène de Cyrène

~276 - ~197 ou ~194Ératosthène est né en ~276 à Cyrène (Shahhat, Libye).Après avoir étudié à Alexandrie et à Athènes, il s’estinstallé à Alexandrie où il devint directeur de la biblio-thèque. Il a ait des recherches en géométrie et en théoriedes nombres. En mathématiques, il est connu par lecrible d’Ératosthène qui consiste à éliminer de la liste

des nombres tous les multiples des nombres premiers. Les nombres restantssont les nombres premiers. Le crible, sous une orme modiée, est encore uninstrument utilisé de nos jours en théorie des nombres.

Sa plus grande réalisation est une mesure assez précise de la circonérenceterrestre. Il a compilé un catalogue d’étoiles. Il est devenu aveugle à la nde sa vie et on croit qu’il s’est laissé mourir de aim. Il est mort à Alexandrie,mais on n’a pas de certitude quant à l’année de sa mort, qui se situerait entre~197 et ~194.




la ligne reliant le centre du Soleil au centrede la Terre coupe les angles a et b en deuxparties égales. Hipparque considéra donc lasomme suivante :

En isolant d et en substituant les valeursconnues dans l’équation, on obtient quel’angle d vaut 89,12 degrés. Or, le triangleCTL est un triangle rectangle. Par conséquent,la distance Terre-Lune CL peut être acilementcalculée grâce aux relations trigonomé-triques :

Hipparque obtint le résultat remarquablementprécis que la distance Terre-Lune équivautà 65 ois le rayon terrestre (la valeur moderneest 60). Connaissant le rayon de la Terregrâce aux travaux d’Ératosthène, Hipparqueput calculer la valeur réelle de la distanceTerre-Lune avec une précision de l’ordre de10 %, un véritable triomphe pour la géométrie !De là, il put également calculer la valeur

réelle de la distance du Soleil, 19 ois plusloin que la Lune, ou 1 235 rayons terrestres.

Mesurer l’Univers | Pierre Chastenay • Planétarium de Montréal

Au tour des planètes

Grâce aux trois génies grecs dont nous

venons d’exposer les travaux, on connaissaitau IIe siècle avant notre ère les valeursréelles du diamètre de la Terre et desdistances Terre-Lune et Terre-Soleil (quoique,dans ce dernier cas, on se doutait que cettevaleur était très imprécise). Il restait touteoisaux astronomes grecs de l’Antiquité un dernierterritoire à conquérir et à mesurer : le systèmesolaire. De telles mesures allaient cependantleur échapper pour deux raisons. D’abord,sans instrument d’observation adéquat(le télescope ne sera inventé que 18 siècles

plus tard), les planètes demeuraient de simplespoints de lumière et ne se prêtaient donc pasau type d’observations et de mesures que l’onavait aites sur le Soleil et la Lune.

Mais le principal obstacle demeurait legéocentrisme, qui empêchait les savants del’époque de comprendre la véritable naturedes mouvements apparemment capricieuxdes planètes. C’est pourquoi l’entreprise demesurer l’Univers allait connaître un hiatusde plus de 1 800 ans avant que deux concepts

révolutionnaires, l’héliocentrisme et letélescope, ne la relancent pour de bon.

Hipparque de Nicée~190 - ~120

Considéré comme le plus grand astronome de toute l’Antiquité classique, Hipparque est né àNicée en Bithynie (actuellement en Turquie). Il a ait des observations d’une bonne précisionentre ~161 et ~127 depuis Rhodes et Alexandrie.

Il a mis en évidence un grand nombre de phénomènes insoupçonnés auparavant eta transormé l’astronomie grecque d’une science descriptive à une science prédictive. Il aestimé les distances Terre-Lune et Terre-Soleil,ainsi que les tailles réelles de ces astres. Il a

dressé un catalogue de 800 étoiles, notant leur position avec précisionet en évaluant leur grandeur apparente. Il ut le premier à reconnaîtrela précession des équinoxes, c’est-à-dire le déplacement lent du pointvernal (équinoxe de printemps) sur le zodiaque.

Hipparque a développé l’idée d’Ératosthène d’utiliser des méridiens etdes parallèles. Il a étendu cette idée à toute la sphère terrestre.

Cette extension l’a amené à poser les ondements de la trigonométriesphérique, soit l’étude des triangles sur la surace d’une sphère, pourpouvoir déterminer la distance entre deux points qui ne sont pas sur lemême méridien ni sur le même parallèle.

M é

r i d i e

n

Par a l l è l e




Big Bang, expansion de l'Univers, antimatière,trou noir, quarks, quanta. Comment lesphysiciens ont-ils imaginé ces idées? Ils neles ont pas imaginées justement! Les mathé-matiques l'ont ait pour eux... Ces idées sontsorties toutes seules des équations sansqu'aucun physicien ne les y ait volontairementintroduites. Pire, les physiciens ne croyaient

même pas au départ à ces idées qui étaientpourtant des conséquences de leurs propreséquations! Ces idées leur semblaient tout àait déraisonnables et même absurdes. Maisce sont bien les équations qui avaient raison.Contrairement aux physiciens, elles n'avaientpas de préjugés! Le meilleur exemple en estpeut-être donné par Einstein lui-même.

Stéphane Durand

Professeur de physiqueCégep Édouard-Montpetit

D o s s

i e r A s t r o n o m i e

Souvent, des équations

ont conduit à des prédictions

physiques extravagantes

qui semblaient au départ

inacceptables même aux yeux de leur

propre auteur.

1. Une anomalie dans l'orbite de MercureautourduSoleil (cequ'onappellel'avancedupérihélie).

La plus grosse gaffed'Einstein

En 1915, Albert Einstein termine l'élaborationde sa théorie de la relativité générale,une théorie de la gravitation qui améliore etremplace celle de Newton, et ournit enn uneexplication à un phénomène inexplicable dans

le cadre newtonien1

. Lorsque Einstein appliquesa théorie aux mouvements des astresdans le cosmos, elle onctionne à merveille.Elle décrit par exemple le mouvement desplanètes autour du Soleil de açon extrê-mement précise. Or, lorsque Einstein décidepar la suite d'appliquer sa théorie à l'Universlui-même, au cosmos dans sa globalité, que

Les équations

n’ont pas de préjugés

Cette théorie comprend deux parties. Lapremière, la relativité restreinte, est unethéorie qui usionne l'espace et le tempsen un espace-temps à quatre dimensionset qui conduit à la célèbre relationE = mc 2. La deuxième, la relativitégénérale, incorpore la gravitation encourbant cet espace-temps. La orce de

gravité est alors expliquée comme l'eetde ces courbures. Cette théorie préditl'expansion (ou la contraction) de l'Universainsi que l'existence des trous noirs.

Une des conséquences les plus specta-culaires de la théorie de la relativitéest le ralentissement du temps. L'écoulement

du temps peut être ralenti par la vitesse oula gravitation. Touteois, pour que les eetssoient importants, il aut que la vitesse soittrès grande (proche de celle de la lumière)ou que la orce de gravité soit très orte(proche d'un trou noir). Les eets sontaussi présents dans la vie courante maisbeaucoup trop aibles pour être percep-

tibles. Par contre, lorsque les instrumentssont ultra précis, il aut en tenir compte.Ainsi, le GPS ne pourrait pas onctionner sion ne tenait pas compte du ralentissementdu temps qui aecte les satellites enorbite autour de la Terre envoyant lessignaux de repérage à notre capteur GPS !

La théorie de la relativité

© P h o t

o : N A S A




découvre-t-il et que lui dit son équation? Ellelui dit que l'Univers est en expansion. Stupeur!Même pour Einstein, pourtant un révolu-tionnaire, l'idée d'un Univers en expansionsemble absurde. En particulier, une telle idéeimplique qu'il y a eu un début à l'Univers, unenaissance au cosmos – un Big Bang. Hérésie!L'Univers devrait être immuable et éternel, commetout le monde le pensait depuis Aristote.

Conronté à une telle invraisemblance , Einsteinmodie articiellement son équation pourqu'elle conduise à une solution « acceptable »,c'est-à-dire à un Univers immuable et éternel2.Or, dix ans plus tard, les télescopes deviennentplus puissants et ils permettent enn auxastronomes de voir plus loin et plus préci-sément dans le cosmos, au-delà de notregalaxie. Que découvrent-ils? Que l'Universcontient des milliers de galaxies comme lanôtre et – surtout – que toutes ces galaxiess'éloignent les unes des autres : l'Univers estbel et bien en expansion! Einstein n'aurait jamais dû modier son équation. Après coup,il qualiera cette modication de « plusgrande erreur de sa vie » car il aurait pu, assisà son bureau, simplement par le calcul et laréfexion, prédire l'expansion de l'Univers.Quelle grandiose prédiction cela aurait été!Mais il ne l'a pas ait. Il n'a pas ait assezconance aux mathématiques, il n'a pasvoulu croire ce que son équation s'évertuait

à lui dire! Quelque chose que l'auteur n'avait jamais imaginé est sorti de son équation etl'auteur lui-même n’y croyait pas3!

Les équations n’ont pas de préjugés | Stéphane Durand • Cégep Édouard-Montpetit

Les trous noirs

Les trous noirs sont une autre prédictionmathématique qui est sortie de la théoried'Einstein contre son gré. Il trouvait cetteidée absurde, et a même publié un articledans lequel il tentait de démontrer que lestrous noirs ne pouvaient pas exister! Sathéorie prédit qu'un trou noir peut se ormerlorsqu'une étoile s'eondre sur elle-mêmeà la n de sa vie. L'étoile devient tellementcompacte qu'il se orme autour d'elle une

zone de non-retour , de laquelle rien ne peuts'échapper, pas même la lumière. L'astredevient invisible, donc noir, et tout ce quiranchit cette limite se coupe à jamais de notreUnivers. Einstein ne croyait pas en l'existenced'une telle zone aussi singulière et bizarre.Il tenta de démontrer qu'un corps célestene pouvait pas s'eondrer susammentpour ormer un trou noir. Pourtant,aujourd'hui, une multitude de candidatssont recensés dans l'Univers. En ait, la

compréhension exacte de l'intérieur des trousnoirs est l'une des questions les plus onda-mentales de la physique d'aujourd'hui.

2. Ilajouteàsonéquationletermecontenantla ameuse constante cosmologique (voiraussilanote3).

3. Enréalité,l'ajoutdelaconstantecosmolo- giquen'estpasuneerreurensoi.Elleestpermise par les équations d'Einstein etd'ailleurs compatible avec un Univers enexpansion; elle est d'ailleurs réintroduiteaujourd'hui. L'erreurd'Einsteinn'a pasétédel'introduiremaisd'avoir voulula xer àunevaleurpréciseconduisantàunUnivers

statique.Maiscettesolutiond'Einsteinestinstable,commeonl'acomprisparlasuite.UnUniversstatiquen'estdoncpaspossiblemême avec la constante cosmologique!De toute açon, le point important iciestqu'Einsteinareusélaprédictiondesaproprethéorie.

Le Big Bang C’est le phénomène initial, produitil y a environ 14 milliards d'années,qui a conduit à la ormation et àl'expansion de l'Univers. On peutdétecter aujourd'hui le reste decette « explosion » qu'on appelle lerayonnement (ou le bruit de ond)cosmique.

L'expansion de l'Univers

On désigne ainsi le ait que toutesles galaxies qui nous entourents'éloignent de nous, et ce à une vitessed'autant plus grande qu'elles sontlointaines. Ce n'est pas une expansionde la matière dans l'Univers, mais uneexpansion de l'Univers lui-même (i.ede l'espace-temps), qui entraîne avecelle toutes les galaxies.

Les trous noirsCe sont des objets célestes extraor-dinairement compacts ormés parl'implosion du cœur des grossesétoiles à la n de leur vie. Une cuillèreà soupe de matière de trou noir peutpeser un milliard de tonnes! En raisonde leur immense orce de gravité, rienne peut s'échapper d'un trou noir,pas même la lumière! Ils sont doncinvisibles, c'est-à-dire noirs. Tout ce

Les trous noirsqui tombe dans un trou noir estcoupé à jamais de notre Univers. Ilspourraient même être des portes versd'autres Univers. Les trous noirs or-més lors de la mort des étoiles sontdits stellaires mais il existe aussi destrous noirs ultra massis au coeur desgalaxies ainsi que peut-être des trousnoirs microscopiques.

© P h o t o : N A

S A



L'antimatière

À toute particule est associée une antiparti-cule, c'est-à-dire une particule identiquemais de charge électrique opposée. Ilexiste par exemple des antiprotons et desantiélectrons. On réussit même à construiredes antiatomes d'hydrogène en plaçant unantiélectron en orbite autour d'un antiproton.Lorsqu'une particule et son antiparticulese rencontrent, elles s'annihilent en setransormant totalement en énergie (viala relation E = mc 2). Une telle conversion

de la matière en énergie est environ 1 000 ois plus ecace qu'une réaction nucléairetraditionnelle. On ne peut donc pas conserver l'antimatière dans des contenants ordinairesde matière, on utilise plutôt des « boîtes » magnétiques.

Une application éventuelle de l'antimatière (envisagée par la NASA) serait dans la propulsiondes usées. De tels moteurs onctionnant par annihilation de matière et d’antimatièreseraient incroyablement plus perormants que les présents moteurs chimiques et mêmeque d’éventuels moteurs nucléaires.


Les quanta

En 1900, Max Planck travaille sur le problèmedu rayonnement lumineux des corps chauds :

par exemple la lumière émise par un métalchaué au rouge (un rond de poêle) ou cellequi est émise par un objet chaué au blanc(une ampoule).7 Pour expliquer les résultatsexpérimentaux, c'est-à-dire la açon dont lacouleur varie selon la température, il introduitpour des raisons mathématiques une certaineconstante qui porte maintenant son nom(la célèbre constante de Planck). La nouvelleormule onctionne à merveille : c’est laloi de Planck. Il tente alors de l'interpréter

physiquement. Avec horreur, il découvrequ'elle implique que le rayonnement lumineuxest discontinu ou, du moins, émis et absorbépar paquets d'énergie – les ameux quanta.Cinq ans plus tard, Einstein montre qu'uneconséquence de cette idée est que la lumièreelle-même est aite de particules – les photons.Tout cela est inacceptable pour Planck. Il

DossierAstronomie

L'antimatière

L'existence de l'antimatière, prédite parl'équation de Dirac, allait elle aussi à l’encontre

de la volonté de son auteur. En 1928, PaulDirac établit sa ameuse équation qui décritle comportement des électrons à grandevitesse4. Cette équation explique de açonspectaculaire les résultats expérimentauxde l'époque, à savoir, la valeur du minichamp magnétique de l'électron5 ainsi que lavaleur des niveaux d'énergie ns de l'atomed'hydrogène. C'est un triomphe. Touteois,après coup, Dirac s'aperçoit que son équationimplique l'existence d'un électron positi,

c'est-à-dire une particule de même masseque l'électron mais de charge opposée.Personne n'a jamais observé une telle particule!Au départ, donc, Dirac ne croit pas ce queson équation lui dit. Il espère que cet électronpositi correspond au proton, malgré ladiérence de masse. C'est seulement troisans plus tard qu'il nit par admettre àcontrecoeur que son équation prédit bel etbien un nouveau type de particule : à chaqueparticule correspondrait une antiparticule.L'année suivante, la première antiparticule

est découverte expérimentalement : l'antimatièreexiste bel et bien! En signiant qu'il aurait dûaire conance dès le départ aux mathéma-tiques, il dira après coup « mon équation aété plus intelligente que moi6 ».

4. C'estlagénéralisationrelativistedel'équa- tiondeSchrödinger(l'équationdebasedelathéoriequantique).

5. Plus précisément, la valeur du moment

magnétiquedel'électrondûàsonspin.6. Citédans:R.P.Creaseet C.C.Mann,TheSecond Creation (Macmillan PublishingCompany,NewYork,1986),p.90.

7. Cequ'onappellelerayonnementducorpsnoir (ànepas conondre avec le rayonne - mentd'untrounoirpareetquantique).

© G .

T .

J o n e s ,

B i r m i n g h a m U

n i v e r s i t y /

F e r m i N a t i o n a l A c c e l e r a t o r L a b o r a t o r y




reuse de croire à cette idée – son idée! – dediscontinuité du rayonnement. Pendant desannées, il tente désespérément de modiersa théorie pour éliminer cette discontinuité. Ilmettra des années avant d'admettre que sonidée n'était pas qu'un truc mathématiquemais qu'elle correspondait bien à une certaineréalité. Cette idée ut pourtant l'étincelle quiallait engendrer la révolution quantique.

Les quarks

Autre exemple encore la découverte desparticules constituant le proton et le neutron.En 1961, Murray Gell-Mann s'aperçoit que

la théorie qui semble décrire les symétriesdes particules nucléaires a comme consé-quence mathématique que le proton et leneutron doivent être constitués de particulesplus petites. Néanmoins, pour obtenir lacharge électrique du proton et du neutron,il aut supposer que ces nouvelles particules– les quarks – ont une charge ractionnaire(-1/3 et +2/3). Hérésie! Personne n'avait jamais observé de charge ractionnaire, et detoute açon cela irait à l'encontre d'une destraditions les plus sacrées de la physique :les charges électriques sont toujours desmultiples entiers. Et même en supposant queles quarks existent, pourquoi ne les aurait-on jamais vus? Malgré la beauté de l'idée– la vingtaine de particules nucléaires con-nues s'expliqueraient à partir de seulementtrois quarks – Gell-Mann attend trois ansavant de la publier tellement l'idée lui sembleaberrante. Et lorsqu'il le ait, c'est en mettantdes gants blancs. En eet, dans son article


original, il mentionne que de concevoir leproton et le neutron comme composés detrois quarks n'est qu'un truc mathématiquepermettant de déduire de açon intéressanteles propriétés du proton et du neutron, ainsique de toutes les autres particules nucléaires.Il insiste même pour dire que les quarksn'existent pas réellement. Cinq ans plus tard,pourtant, les premiers indices expérimentauxde la présence de constituants dans le protonet le neutron commenceront à être détectés.Et aujourd'hui la réalité des quarks esttotalement acceptée.

La non-localité quantiqueLa théorie quantique (on dit aussi la méca-nique quantique) est la théorie du mondemicroscopique qui a complètement remisen question notre vision de la matière. Cettethéorie repose sur une vision ondulatoirede la matière qui lui donne toutes sortes depropriétés déroutantes; par exemple, unélectron peut être à deux endroits en mêmetemps! Une conséquence révolutionnairede cette théorie est l'existence d'un certaintype d'infuence qui peut se propagerinstantanément d'un point à un autre:ce qu'on appelle la non-localité ou l'eetEPR (pour Einstein, Podolsky et Rosen).

Les quarksCe sont les particules qui constituent leproton et le neutron (ainsi que plusieursautres particules nucléaires). Elles possè-

dent des charges ractionnaires : +2/3 et-1/3. Deux quarks de charge +2/3 et unquark de charge -1/3 orment le protonde charge 1, tandis qu'un quark de charge+2/3 et deux de charge -1/3 orment le

neutron de charge 0. Les quarks sontconsidérés aujourd'hui avec les électrons et lesneutrinos comme les particules ondamentalesconstituant la matière ordinaire.

La mécanique quantiqueC’est la théorie qui décrit le monde microscopique (la constituttion de la matière)ainsi que les orces qui y sont à l'œuvre (les orces électromagnétique et nucléaire).Cette théorie est extraordinairement ecace et presque toute la technologieest basée sur elle (lecteur CD, iPod, ordinateur). Mais elle est aussi trèsmystérieuse, car on ne comprend pas encore exactement ce qu'elle signie!

C'est une théorie ondamentale et elle possède de multiples applications. Elleexplique la stabilité des atomes (donc de la matière!), les liens chimiques et laorme des molécules (la orme en V de la molécule d'eau par exemple), ainsi quetoute la structure du tableau périodique. En ait, toutes les cases de ce dernierne sont que les diérentes solutions de l'équation de base de la mécaniquequantique (l'équation de Schrödinger, ensuite généralisée par Dirac) appliquéeà la orce électrique du noyau atomique! Les applications de la mécaniquequantique vont du laser au microscope électronique, en passant par les transistorset les microprocesseurs; bre, presque toute l'électronique moderne!

La mécanique quantiqueC’est la théorie qui décrit le monde microscopique (la constitution de la matière)ainsi que les orces qui y sont à l'œuvre (les orces électromagnétique et nucléaire).Cette théorie est extraordinairement ecace et presque toute la technologiemoderne est basée sur elle (lecteur CD, iPod, ordinateur). Mais elle est aussi trèsmystérieuse, car on ne comprend pas encore exactement ce qu'elle signie!

C'est une théorie ondamentale et elle possède de multiples ramications. Elleexplique la stabilité des atomes (donc de la matière!), les liens chimiques et laorme des molécules (la orme en V de la molécule d'eau par exemple), ainsi quetoute la structure du tableau périodique. En ait, toutes les cases de ce dernierne sont que les diérentes solutions de l'équation de base de la mécaniquequantique (l'équation de Schrödinger, ensuite généralisée par Dirac) appliquéeà la orce électrique du noyau atomique! Les applications de la mécaniquequantique vont du laser au microscope électronique, en passant par les transistorset les microprocesseurs; bre, presque toute l'électronique moderne!



10


Puisque cette infuence voyage à unevitesse plus grande que celle de la lumière,elle semble aller à l'encontre de la relativitéd'Einstein. Aucun des pères ondateursde la théorie quantique n'avait imaginéune telle idée au départ : le ormalismemathématique de la théorie quantique aété élaboré dans les années vingt, mais c'estseulement une dizaine d'années plus tardqu'on en a compris toute la signicationet toutes les implications, en particuliercelles concernant l'existence de l'eet EPR.Beaucoup ont reusé d'admettre cetteidée d'infuence instantanée – Einstein enparticulier — et ont cru que la théoriequantique était partiellement erronée. C'estseulement cinquante ans plus tard queles expériences ont magistralement donnéraison à la théorie quantique8. Cet eet estd'ailleurs justement à la base du phénomènede téléportation quantique qui a été réaliséen laboratoire il y a quelques années : l'état

interne d'une particule a disparu à un endroitet est réapparu à un autre!9 La non-localité etla téléportation quantiques pourraient avoirdes applications révolutionnaires dans ledomaine des codes secrets (la cryptographie)et dans les utures générations d'ordinateur.

Dix dimensions

Ce dernier exemple est un peu à part car il est

pour l'instant totalement spéculati. Mais, si jamais il s'avérait correspondre à une certaineréalité, ce serait la démonstration ultime del'extraordinaire pouvoir des mathématiques.Deux grandes théories physiques onda-mentales existent pour expliquer l'Universqui nous entoure: la théorie quantique quidécrit le monde microscopique (les particulesconstituant la matière) et la relativité généralequi décrit le monde macroscopique (la gravi-tation et le cosmos). Depuis une trentained'années, les physiciens tentent d'unier ces

deux théories en une seule plus générale etencore plus ondamentale (ce qu'on appelleune théorie d'unication). Une telle théorieest essentielle pour comprendre le début del'Univers, puisqu'à ce moment tout le cosmosobservable était concentré dans une régionminuscule. Il aut donc une usion de lathéorie quantique et de la relativité généralepour comprendre cet instant.

Un des candidats les plus prometteurs pourune telle théorie d'unication s'appelle la

théorie des cordes. Cette théorie possèdetoutes sortes de propriétés remarquables,mais elle prédit aussi que l'espace-tempspossède dix ou vingt-six dimensions!10 Cesnombres particuliers, dix et vingt-six, sortenttout seuls de la théorie, pour des raisons decohérence interne. Au départ, la plupart desphysiciens considéraient cette idée absurde.Michio Kaku, un des principaux pionniers dansle domaine, se remémore: « Je me souviens

DossierAstronomie

La téléportation quantique

La non-localité et la téléportation quantiques pourraient avoir des applica-tions en cryptographie (la science des codes secrets) ainsi que dans les utursordinateurs quantiques (qui seront, s'ils voient le jour, incroyablement pluspuissants que ceux d'aujourd'hui). Aujourd'hui, toutes nos transactions ban-caires par le guichet automatique et la plupart de nos achats sur le Web (le siteAmazon par exemple) sont sécurisées par un encryptage des données qui sonttransmises. Les méthodes de codage (non quantiques) utilisées aujourd'huisont très sécuritaires. Mais quand les ordinateurs quantiques verront le jour,leur code pourra être brisé en quelques secondes! La cryptographie quantiquedevra alors prendre le relais !

8. Contrairementauxapparences,l'eetEPRneva pas à l'encontrede la relativité carl'infuence quantique instantanée n'est nimatérielle, ni énergétique et ne permetpas decommuniquerdesmessages. Elleimplique par conséquent l'existence d'undeuxièmeniveaude réalité inaccessibleànossens.

9. NotonscependantquemêmesiellereposesuruneetEPRinstantané,latéléportationestquandmêmelimitéeparlavitessedelalumièrepuisqu'elleseréaliseendeuxéta- pes:unepremièretypiquementquantiqueetinstantanée(eetEPR),etunedeuxièmelimitée par la vitesse de la lumière (eetclassique). La téléportation n'étant com-

plétéequ'aprèsladeuxièmeétape,elleneprenddoncpaseetinstantanément.

10.Enait,lesversionssupersymétriquesdesthéories de cordes (dites supercordes)impliquentdixdimensionstandisquelaver- sionnon-supersymétrique (moins réaliste)impliquevingt-sixdimensions.



11


encore du choc et de la consternationressentis par beaucoup de physiciens enapprenant que la théorie était cohérenteseulement en dix et vingt-six dimensions.Nous avions tous en tête la remarque deNiels Bohr qui disait qu'une grande théoriedoit être “assez olle”, mais cela semblaitdépasser les limites de notre imaginationscientique de croire que l'Univers pourraitavoir dix ou vingt-six dimensions11 ». Maisla théorie des cordes semblait par ailleurstellement magique – elle possédait toutessortes de propriétés miraculeuses quipermettaient de contourner tous les

problèmes qui avaient à ce jour empê-ché d'unier la gravitation et la théoriequantique – que cette idée méritait d'êtreprise au sérieux. Les physiciens s'y sontd'ailleurs habitués, surtout lorsqu'ils ontcompris comment les dimensions addition-nelles pouvaient être indétectables dans la viecourante (étant enroulées sur elles-mêmes).Bien sûr, l'idée que l'espace-temps a plus quequatre dimensions n'est évidemment pasencore conrmée, mais certaines expériences

sont en cours. Voilà bien un des exemples lesplus extraordinaires de prédiction mathé-matique!12

Pourquoi le rôledes mathématiquesest-il si important?

Comment des prédictions aussi extravagantes,allant à ce point à l'encontre du sens communou de la volonté de leur auteur ont-ellespu être aites? Grâce aux mathématiques!En eet, pour comprendre l'inniment

petit et l'inniment grand – des domainesinaccessibles à nos sens – les concepts de lavie de tous les jours ne sont plus adaptés:la “logique” en jeu dans ces domaines n'estplus celle de la vie quotidienne; nos motset concepts usuels ne susent plus. Celapeut sembler surprenant, mais il ne autpas oublier que notre vocabulaire et notreintuition pour décrire le monde physique sesont développés à partir de l'enseignementde nos sens. Ils ne sont donc pas néces-

sairement adaptés pour appréhender desdomaines auxquels nos sens n'ont pasaccès. Voici un exemple: lorsqu'on ait aireune rotation de 360 degrés à un électron,il ne revient pas à son état original! Il aut


Loi de Planck

La loi de Planck est la courbe de distribution des couleurs émises parun corps chaud émettant de la lumière. La propriété remarquablede cette courbe est que la couleur émise ne dépend pas de laconstitution du corps mais seulement de sa température. En parti-culier, lorsque la température augmente, la couleur passe du rougeau blanc, puis au bleu. C'est pourquoi le er chaué au blanc (lelament d’une ampoule) est plus chaud que le er chaué au rouge(un rond de poêle) et pourquoi, dans le ciel, les étoiles blanchessont plus chaudes que celles qui sont rougeâtres (Bételgeuseet Aldébaran, par exemple) et les bleutées encore plus chaudes(Rigel, par exemple). Ainsi, si on veut reproduire articiellement la

couleur de la lumière du Soleil, il sut de chauer un lament(dans une ampoule par exemple) à la même température que cellede la surace du Soleil, soit environ 6 000 degrés. Le problème estque les laments, quelle que soit leur composition, ondent à cettetempérature! Les laments des ampoules sont donc moins chaudsque 6 000 degrés, et par conséquent la lumière qu'ils émettent estplus jaune que celle du soleil. Les fashs photographiques, qui nes'allument qu'une raction de seconde, peuvent être un peu pluschaud et leur couleur est donc plus proche de la couleur naturelledu Soleil.

11.M.Kaku,BeyondEinstein(AnchorBooks,1995),p.94

12.Toutdernièrement est aussiapparue unethéorie encore plus générale, la théoriedes membranes, qui englobe toutes lesversionsdesthéoriesdesupercordesdansunespace-tempsàonzedimensions.

13.Pourplusdedétailssurtouslesexemplesprésentés,etpourd'autresexemples,voirS.Durand,BulletinAMQ,mars2002,p.10-18.

plutôt lui aire aire deux rotations com-plètes (720 degrés) pour qu'il revienne à sonétat de départ!! Voilà bien un phénomènequi n’a absolument aucune analogie dansla vie courante, un phénomène totalementau-delà de notre intuition usuelle. Bre, pourcomprendre ces nouveaux domaines de laphysique, il aut recourir à un autre langage,et celui des mathématiques apparaîtparaitement adapté. En ait, les mathéma-tiques ont le pouvoir de prolonger nos sens

et notre imagination. Elles sont, en quelquesorte, un sixième sens13.



C o p y r i g h t ©

I m a g e s . c o m / C o r b i s

12


Yannick

Connais-tu des choses qui sont impossiblesà construire?

Annick

De quoi parles-tu?

YannickCe matin, au cours de géométrie, on étudiaitcomment les Grecs eectuaient certainesconstructions avec une règle et un compas,comme découper un angle en deux, outransormer un triangle en un carré quicouvre la même aire.

Annick

Ouais, j’ai eu ce cours la semaine dernière.Et alors?

YannickAlors j’ai demandé à Alexandra comment onaisait pour découper un angle en trois. Et tusais ce qu’elle m’a répondu?

Annick

Quoi?

Yannick

Que c’était impossible!

Annick

Tu veux dire qu’elle ne sait

pas comment on ait?

Jérôme Fortier

Université Laval

D o s s

i e r L o g i q u e

Des mathématiciens qui démontrent qu’ils ne sont pas capables de faire certaines choses…

Yannick

Non! Je veux dire qu’il n’y a absolumentaucun moyen pour y parvenir! J’ai essayé,et je n’y suis pas parvenu. Essaie aussi, tuvas voir!

AnnickAllons, ce n’est pas parce que tu n’y parvienspas que c’est orcément impossible. Tu nem’as pas convaincue.

Yannick

Alexandra m’a demandé de passer la voirce midi pour qu’elle m’explique pourquoic’est impossible. Si tu ne me crois pas, viensavec moi!

Plus tard, au bureau d’Alexandra,

la prof de maths...Alexandra

Tiens, bonjour Annick! Yannick, as-tu aitl’exercice que je t’avais demandé?

Annick

Un exercice?

Des constructionsimpossibles!



13


Yannick

Oui. Alexandra m’a demandé de trouver lespoints d’intersection entre deux droites, deux

cercles, puis une droite avec un cercle dansle plan cartésien. Je l’ai ait pendant la pausedu dîner.

Alexandra

Et qu’as-tu trouvé?

Yannick

Heu... de grosses ormules avec plein deracines carrées, rien de bien intéressant.J’espère que ça avait bien un rapport avec leait de découper un angle en trois!

Alexandra

En eet; tu as ait le gros du travail pourdémontrer qu’il est impossible de découperun angle en trois!

Yannick

Quoi?

Alexandra

Vous conviendrez avec moi qu’une règle sertà tracer des segments de droite, et qu’uncompas sert à tracer des cercles. Aussi, quand

on construit quelque chose en géométrie, toutce que l’on ait est de relier ensemble, par dessegments de droite, des points que l’on a déjàtracés, ou encore, tracer des cercles autourd’un centre que l’on connaît déjà, et avec desrayons qui sont des longueurs déjà connues.Si l’on ouvre notre compas à une longueurarbitraire ou que l’onrelie des points auhasard sur une euillesans tenir compte dece que l’on sait déjà,on ne se dirige pasvers des construc-tions précises, commevers la constructiond’un angle qui vaut letiers d’un angle quel’on nous donne audépart.

Des constructions impossibles | Jérôme Fortier • Université Laval

Annick

Je suis d’accord, mais qu’entends-tu par despoints que l’on connaît déjà?

Alexandra

Habituellement, au début du problème, onnous donne des longueurs d’angles ou desegments que l’on peut utiliser par la suite.Ensuite, les nouveaux points que l’on obtient,par l’intersection de cercles ou de droites quel’on connaît déjà, constituent les nouvellescoordonnées que l’on connaît.

Yannick

C’est pour ça que j’ai calculé les coordonnées

des points d’intersection entre les cercles etles droites?

Alexandra

Exact! Si l’on trace nos constructions géomé-triques sur un plan cartésien plutôt que surune simple euille, et que l’on s’intéresseaux coordonnées des points que l’on peutconstruire, on se rend compte, comme l’a aitYannick, que la orme de ces nombres esttoujours une combinaison des quatreopérations élémentaires de base (addition,

soustraction, multiplication et division) ainsique de racines carrées. Tous les points dontles coordonnées ne sont pas d’une telle ormene sont pas constructibles à la règle et aucompas, et en particulier, on ne peutgénéralement pas construire la racine cubiqued’une longueur quelconque.

On connaît tous la ormule

pour trouver les zéros d’un polynôme de degrédeux, de la orme :

f (x ) = ax 2 + bx + c .

En 1545, Gerolamo Cardano publie, dans son livreArs Magna, la ormule pour trouver les zéros despolynômes de degré trois, de la orme :

f (x ) = x 3 + Ax + B ,

découverte dix ans auparavant par Nicolò Tartaglia,

qui voulait la garder secrète. Il s’agit de la ormulesuivante :

Puisque tout polynôme de degré trois peutêtre ramené sous la orme x 3 + Ax + B par unchangement de variable, le cas est résolu. Dansle même livre, Cardano publie la ormule pour lespolynômes de degré quatre, découverte par sonétudiant Lodovico Ferrari.

Après avoir cherché, pendant quelques siècles,des ormules pour les polynômes de degrécinq ou plus, Abel et Galois ont démontré, auXIXe siècle, que l’existence de telles ormules étaiten ait impossible! La théorie de Galois proposeque, tout comme la règle et le compas ne sufsentpas à construire toutes les fgures géométriques

souhaitables, de même, les quatre opérations debase et l’extraction de racines ne sont pas desoutils sufsants pour trouver, de açon générale,les zéros d’un polynôme de degré cinq ou plus.Il aut alors recourir à des solutions numériquesapproximatives, comme celles que vous donneraitune calculatrice.

Les zéros des polynômes



14


Alexandra

Si θ = 20°, alors on obtient cos θ = x et

, ce qui revient à dire quele côté x satisait l’équation :

Mais on sait résoudre les polynômes de degré3 (voir encadré sur les polynômes), et la solu-tion à cette équation doit obligatoirementaire intervenir des racines cubiques! Étantdonné que les seules racines que l’on peutgéométriquement construire sont les racines

carrées, il est donc impossible de construireun angle de 20°, c’est-à-dire, de découper unangle de 60° en trois angles égaux.

Annick

Je suis convaincue. On ne peut pas découperun angle en trois, car dans certains cas, ceciimpliquerait que l’on puisse construire despoints qui ne sont pas à l’intersection de cercleset de droites quel’on connaît! Y a-t-ilautre chose que l’on

ne peut pas construire?Alexandra

Oui. Par exemple, si je vous donne uncercle de rayon r quelconque, et que je vous demande deme tracer un carréqui recouvre exacte-ment la même aireque ce cercle. C’est ce que l’on appelle aire la

quadrature du cercle. Mais c’est impossible,car la longueur du côté de ce carré devraitêtre égale à et π ne peut pas s’écrirecomme une combinaison fnie des quatreopérations élémentaires et de racines carrées,par un important théorème découvert parLindemann en 1882.

Yannick

Si la règle et le compas sont des outils qui nepermettent pas aux mathématiciens de airecertaines constructions mathématiques, au

moins je suis content de voir que ceux-ci ontdéveloppé assez d’outils pour justifer leurincapacité!

DossierLogique

Yannick

Et les angles, dans tout ça?

Alexandra Vous conviendrez qu’il est acile de construireun angle de 60 degrés; il suft de tracer untriangle équilatéral. Donc, s’il existait uneconstruction pour découper un angle entrois, on pourrait alors construire un angle de20 degrés. Il reste donc à montrer que celaest impossible. (Alexandra trace la fgureci-contre sur une euille.)

Alexandra

Si l’on construit un triangle rectangle avec

un angle de 20 degrés comme sur la fgure,et dont l’hypoténuse mesure une certainelongueur donnée au départ, disons de 1 dm,alors le côté représenté par x serait d’unelongueur égale au cosinus de 20 degrés,en décimètres. Yannick, est-ce qu’on peutaccepter l’identité trigonométrique suivante :

4cos3 θ = cos 3θ + 3 cos θθ

Yannick

Oui! Je l’ai démontrée dans mes exercices.

La règle, le compas et les GrecsLes mathématiciens de la Grèce antique étaient particulièrementintéressés par la géométrie, d’une part à cause des applicationsimpressionnantes qu’ils pouvaient y trouver en art et en architec-ture, mais aussi pour l’intérêt philosophique qu’elle engendrait.En outre, Euclide, dans son ouvrage les Éléments , jette les basesde la logique mathématique, en déduisant toute la géométriede quelques vérités acquises concernantles cercles et les droites. Pour Platon, lescercles et les droites étaient des ormes

géométriques paraites, desquelles touteconstruction géométrique pure devaitdécouler. C’est pourquoi la règle et lecompas sont les seuls outils permis engéométrie euclidienne pure.

Selon une légende, les Déliens, auxprises avec une épidémie, allèrentconsulter l’oracle de Delphes pour obtenirl’aide des dieux. L’oracle leur dit qu’ilsdevaient doubler le volume de leur autelconsacré à Apollon, un cube parait, pour obtenir l’aide des dieux.

Suite à leur échec, ils allèrent voir Platon, qui leur dit qu’Apollonne voulait pas vraiment d’un autel, mais bien que les Délienss’intéressent aux mathématiques.

En ait, la duplication du cube est un autre problème impossible, caril implique que le nouveau cube ait un côté de longueurce qui ait intervenir une racine cubique.

1 d m

x

a

b



15


Des constructions impossibles | Jérôme Fortier • Université Laval

La quadrature du cercle est impossible si onn’utilise que la règle et le compas, selon lescontraintes imposées par Platon. On peutcependant réaliser cette quadrature pard’autres moyens.

Considérons un cercle de rayon unitairecomme dans la première fgure ci-contre.L’aire de ce cercle est π unités carrées et sacirconérence de 2π unités.

Faisons rouler ce cercle sur une droite, deaçon à eectuer un demi-tour. On obtientainsi un segment AB de longueur π unités.

Considérons alors le segment AC dontla longueur est π + 1 unités et traçons ledemi-cercle de diamètre AC .

Au point B , on élève une perpendiculaireà AB qui coupe l’arc de cercle au point D .

Le segment BD est alors la moyennegéométrique entre les segments AB et BC .On a donc :

Par le produit des extrêmes et le produit desmoyens, on obtient :

Par conséquent, le segment BD est le côtédu carré ayant même aire que le cercle derayon unitaire et le carré BDEF a même aireque le cercle.On a donc réalisé la quadrature du cercle.Pour tracer les segments de droite on s’estservi de la règle et pour tracer l’arc de cercle,on s’est servi du compas. Cependant,pour aire rouler le cercle sur un segmentde droite, la règle et le compas ne sontd’aucune utilité. Cette quadrature nerespecte donc pas les contraintes imposéespar Platon.

La quadrature du cercle



16


Jérémie

Catherine! Avant qu’on sorte du laboratoired’ino, j’ai quelque chose à te montrer…Imagine-toi donc, je viens de aireune découverte mathématique.

Catherine

Tu m’intrigues… Montre-moi ça!

Jérémie

J’ai commencé partracer un triangle équi-latéral ABC , tu saisavec ses trois côtés demême longueur. Puis, j’ai pris un point P àl’intérieur du triangle,et j’ai calculé ladistance1 de P àchacun des trois côtésde mon triangle.

Catherine

Jusque-là, il n’y a riende bien sorcier…

Jérémie

Attends! Quand jeais la somme destrois distances, ellene change pas, même

quand je ais bougerle point P .

Catherine

(déplaçant le point P avec la souris)2

Tu as bien raison!Même si les troisdistances changentcomme des olles,leur somme resteinchangée. Une minute!

La somme changequand le point P sortdu triangle…

André Boileau

Département

de mathématiques

UQAM

D o s s

i e r L o g i q u e

Jérémie

Oui, je l’avais déjà

constaté. En ait,en éloignant P dutriangle, la sommepeut devenir aussigrande qu’on veut…

Catherine

C’est bien beau toutça, mais est-ce quetu as trouvé unepreuve que ça onc-tionne toujours ?

JérémiePas besoin de preuve ! On voit bien que ça vatoujours marcher !

Catherine

Moi aussi, je suis convaincue que le résultatest toujours vrai. Mais en mathématiques, ona besoin de preuves.

Jérémie

Et pourquoi donc ?

Catherine

Parce qu’on veut être certain que ç’est vrai.Jérémie

Dis-moi donc ce qui pourrait clocher dansmon expérience ?

Découvertemathématiqueà la polyvalente

Vérifer n’est pas comprendre.

A B

C

P

1. Rappelonsqueladistance d’unpointPàunsegment(ouàunedroite)estla longueurdusegmentissudePetarrivantperpendiculaire- mentsurlesegment(ouladroite)enquestion.Danslafgureci-dessus,lesdistancesde Pauxtroiscôtésdutrianglesontdoncleslongueursdes trois segments perpendiculaires issusdeP.

2. Onpeutréaliserlesexpériencesdécritesdans

letexte,enallantàlapageWebsuivante: http://www.math.uqam.ca/_boileau/accromath.html



17


Catherine

Bien, tout d’abord, le logiciel qu’on utilisenous permet de déplacer le point P sur tousles points de l’écran, c’est-à-dire sur tous lespixels. Mais c’est bien loin de couvrir tous lescas possibles!

Jérémie

Qu’est-ce que tu veux dire?

Catherine

Tu sais bien que, mathématiquement parlant,il y a une infnité de points à l’intérieur deton triangle. Mais le logiciel ne permet d’entester qu’un nombre fni. Tu avoueras que c’estbien peu!

Jérémie

C’est vrai! Mais ce serait quand même biensurprenant si la somme des distances n’étaitpas toujours constante, alors qu’elle l’est

pour tous les points de l’écran.Catherine

Je l’admets. Je te l’ai déjà dit : je suisconvaincue que la somme est toujoursconstante. Je veux simplement être certaineque c’est bien le cas. Laisse-moi jouer àl’avocate du diable pour un instant. Si onexplorait, de açon semblable, tous les pointsde l’écran de l’ordinateur, on pourrait êtretenté de conclure que les coordonnées de cespoints sont toujours des nombres rationnels.

Mais on sait très bien qu’en réalité, il y abeaucoup de points pour lesquels ce n’estpas le cas, comme ou (1, π).

Jérémie

J’avoue que tu marques un point.

Catherine

Et, en plus, il y a possiblement un autreproblème. Quand le logiciel calcule lasomme des distances, il utilise les pucesde l’ordinateur, qui travaillent avec une

vingtaine de décimales : les calculs ne sontdonc pas rigoureusement exacts.

Découverte mathématique à la polyvalente | André Boileau • UQAM

Jérémie

Là, tu exagères! Si la somme des distancesvariait, on le verrait orcément!

Catherine

Laisse-moi, encore une ois, jouer à l’avocatedu diable.

Jérémie

Décidément, tu aimes ça!

Catherine

Imagine que la somme n’est pas vraimentconstante, mais varie plutôt très légèrement,avec des écarts de l’ordre de 10–50. Cesdiérences seraient tout à ait indétectables

par l’ordinateur.

Jérémie

Tu as raison, encore une ois! Mais ça mesemble bien peu probable.

Catherine

À moi aussi. Mais ce n’est pas complètement

impossible...Jérémie

Ouais... En fn de compte, je n’ai pas découvertgrand chose!

Catherine

Au contraire, tu as ait une très belle décou-verte! Et c’est pour ça qu’elle mérite d’êtreexplorée davantage. On devrait en parler aupro de maths, pour voir ce qu’elle en pense...

Le lendemain matin

Catherine

Jérémie, j’ai quelque chose à te montrer!

Jérémie

Qu’est-ce que c’est?

Catherine

J’ai réussi à faire une preuve de ta découverte d’hier.

Elle lui tend quelques euilles 3.

Jérémie regarde longuement tout

ça, puis...

3. LescalculsdeCatherinesontdisponiblesàlapageWebcitéeprécédemment:http://www.math.uqam.ca/_boileau/accromath.html



18


Louise

Je suis très impressionnée par ce que vousavez ait. C’est vraiment du beau travail!

Jérémie

Est-ce que tout est correct? La découverteet les calculs pour le prouver?

Louise

Eh oui!

Catherine

Je dois avouer que je suis soulagée, car Jérémiem’avait ait douter un peu : je n’étais pasabsolument certaine de ne pas m’être trompéedans mes calculs.

Louise

C’est peut-être signe que votre démarchen’est pas tout à ait terminée. En eet, lesexpériences de Jérémie sur l’ordinateurlui ont permis de découvrir le résultat, etd’acquérir une certaine confance quant àson exactitude. Puis, les calculs de Catherineont amené la certitude que ce résultat étaittoujours vérifé. Mais le phénomène n’estpas encore totalement compris. Il aut donccontinuer l’exploration.

Catherine

Mais comment procéder?

Louise

Comme c’est souvent le cas en mathéma-tiques, il peut s’avérer utile de regarder lasituation d’un autre point de vue, d’adopterun regard neu.

Jérémie

Mais comment savoir quel point de vue choisir?

LouiseIl n’y a pas de recette magique pour aire desmathématiques, pas plus que pour écrire desromans ou composer de la musique. Commeon le dit parois, il aut un peu d’inspirationet beaucoup de transpiration!

Catherine

Et, dans notre cas, ça voudrait dire quoi?

DossierLogique

Jérémie

Ça me semble bien long et bien compliqué!Fais-moi donc un résumé.

Catherine

J’ai utilisé les coordonnées des sommets dutriangle et du point P à l’intérieur de celui-cipour calculer explicitement la somme desdistances. Et j’arrive à la conclusion quecelle-ci est toujours égale à oùc est la longueur de chacun des côtés dutriangle. Et comme cette valeur ne dépend pasdes coordonnées du point P , elle reste doncconstante peu importe la position de P .

JérémieÀ mon tour de jouer à l’avocat du diable!Qu’est-ce qui me dit qu’il n’y a pas une erreurdans tes calculs?

Catherine

Tu peux vérifer...

Jérémie

Je suis loin d’être un expert en maths, et toinon plus d’ailleurs : on n’est encore qu’ausecondaire! Il pourrait très bien avoir une ouplusieurs erreurs sans qu’on les découvre.

Catherine

On pourrait soumettre mes calculs à desexperts... D’ailleurs voilà justement Louise,notre chère pro de maths, qui arrive. On valui demander ce qu’elle pense de tout ceci.

Ils racontent leur démarche

à Louise, qui expérimente

à l’ordinateur la découverte

de Jérémie, pour ensuite examiner

les calculs de Catherine.



19


Louise

Vous pourriez essayer de trouver votrepropre açon de voir les choses. Mais, comme

vous manquez encore d’expérience, et pourvous donner un exemple de « regard neu », je vais vous donner un coup de pouce. Dansvotre situation, une açon alternative devoir les choses est de constater que le pointintérieur P peut servir à diviser le triangleen trois triangles plus petits, et que l’aire dugrand triangle est égale à la somme des airesdes trois petits triangles.

Jérémie

Notre découverte parle de longueurs etnous passons aux aires! Il me semble que çacomplique les choses...

Catherine

Mais tu oublies que l’aire d’un triangle peutse calculer en utilisant les longueurs :

Jérémie trace la fgure suivante,

puis semble rappé

par une inspiration.

Jérémie

Regardez, les hauteurs sont en ait lesdistances du point P aux côtés du triangle.

Catherine

Faisons les calculs en représentant par c lalongueur des côtés du triangle ABC . :

Découverte mathématique à la polyvalente | André Boileau • UQAM

Jérémie

Mettons c /2 en évidence !

Catherine(poursuivant les calculs)

Jérémie

On a donc que la somme des distances de P

aux côtés du triangle ABC est égale à l’aire dutriangle divisée par la demi-longueur du côté.

On voit que la somme des distances est égaleà une expression qui ne dépend pas de laposition du point P . Elle est donc constante !

Catherine

C’est beaucoup plus simple comme ça! En

aisant mes calculs, j’ai l’impression que jeme suis compliqué la vie pour rien. Tandisque là, je sens que je comprends vraiment !

Jérémie

Et maintenant, Louise, peut-on dire que notreexploration est terminée?

Louise

Vous êtes arrivés à une conclusion trèssatisaisante, et vous pourriez arrêter là. Mais,comme toujours, une question résolue peut

être le point de départ de plusieurs autresexplorations :

• Qu’arrive-t-il si le triangle de départ n’estpas équilatéral?

• Est-ce que le même phénomène reste vraipour un carré? Un pentagone régulier?Etc.

Catherine

J’aimerais aussi trouver le lien entre la sommedes distances que nous venons de trouver etcelle que j’avais calculée.

Jérémie

Et l’aventure continue...



Figure 2

Figure 1

G R A N D S

Dossier

20


Considéré comme le mathématicien le plus prolique de tous les temps, Leonhard Euler domine les

mathématiques du XVIIIe siècle et développe très largement ce qui s’appelle alors l’analyse. Né le

15 avril 1707 à Bâle en Suisse, il est décédé le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg, à l’âge de

76 ans. Complètement aveugle pendant les douze dernières années de sa vie, il produit presque la

moitié de son travail durant cette période.

André Ross

Cégep de Lévis-Lauzon Leonhard Eule r

M a t h é m a t i c i e n s

Leonhard Euler1707-1783

Issu d’une amille modeste, Euler débute saormation dans une école qui n’ore quel’enseignement élémentaire. Son père l’initieaux premiers éléments des mathématiques. À13 ans, il débute des études en philosophieet en droit à l’Université de Bâle et obtientson diplôme de philosophie à 16 ans.Son père souhaite le voir devenir pasteuret le pousse vers des études de théologie.Les cours de l’éminent mathématicien JeanBernoulli (1667-1748), un ami de son père,ont changé la vie d’Euler. Remarquant letalent pour les mathématiques de son élève,Bernoulli l’encourage à poursuivre dans cettediscipline.

À l’époque, la Suisse n’ore pas la possibilitéde poursuivre une carrière ambitieuse ensciences. Heureusement, en 1727, à l’âge de20 ans, sur la recommandation de Daniel(1700-1782) et de Nicolas Bernoulli (1687-1759), il est appelé à Saint-Pétersbourgpar Catherine II, impératrice de Russie. Ildevient alors membre de l’Académie des

sciences de Saint-Pétersbourg. Il est médecinmilitaire dans la marine russe de 1727 à1730, puis proesseurde physique à l’Académie

en 1730. En 1733,il succède à DanielBernoulli à la chairede mathématiques età partir de 1740, ildevient égalementresponsable de la sec-

tion de géographie.

En 1741, il devient membre de l’Académiedes sciences de Berlin à l’invitation du roi

de Prusse Frédéric II, qui voulait réorganiserl’Académie de Berlin.

À la demande de Frédéric, il donne desleçons à la princesse Sophie Charlotte vonBrandebourg-Schwedt agée de 15 ans, la lled’un de ses cousins. Données en rançais,la langue utilisée à la cour de Frédéric, cesleçons durent jusqu’à la Guerre de Sept ans,ce qui orce Frédéric à uir Berlin. Euler,resté à Berlin, poursuit alors ses leçons enrédigeant des lettres à la princesse, il y en auraen tout 234. Rédigées entre 1760 et 1762,elles urent publiées en trois volumes sousle titre Lettres à une princesse d’Allemagne etconstituent un important ouvrage de vulgari-sation scientique car Euler, dans ses présen-tations, ait en sorte qu’elles ne nécessitentpas de connaissances préalables. Dans ceslettres, Euler aborde divers sujets : l’optique,la gravitation universelle, la philosophie,la logique, la liberté des êtres intelligents,le syllogisme, la latitude, la longitude, leséclipses, le magnétisme et la réraction de



Exponentielle et nombre d’Euler

21


Droite et cercle d’Euler

Plusieurs des prédécesseurs d’Euler

avaient étudié les propriétés destriangles. On savait que dans untriangle quelconque les hauteursse rencontrent en un point appelél’orthocentre H du triangle, les média-trices se rencontrent en un point O qui est le centre du cercle circonscrit au triangle et les médianes serencontrent en un point G qui estle centre de gravité du triangle.Euler a été le premier à constater

que ces trois points sont alignés etla droite obtenue est appelée droite

d’Euler . De plus, le point milieu dusegment OH est le centre du cercled’Euler, qui passe par les neu pointssuivants :

• les points milieux des trois côtés;

• le pied de chacune des trois hauteurs;

• le milieu de chacun des trois segmentsreliant l’orthocentre H à un sommetdu triangle.

De plus, il est circonscrit aux trianglesormés par chacun de ces ensemblesde trois points.

Leonhard Euler | André Ross • Cégep de Lévis-Lauzon

la lumière. Euler est demeuré à Berlin durant25 ans pour retourner à Saint-Petersbourgen 1766, après une dispute sur la libertéacadémique avec Frédéric le Grand.

Au début de la trentaine, Euler avait perduson œil droit. Peu après son retour en Russie,il devient presque entièrement aveugle aprèsl’opération d’une cataracte. Malgré ce handicap,il poursuit ses recherches. Soutenu par unemémoire phénoménale, il dicte ses textes àses ls ou à son valet, en ayant toujours lesouci de la clarté dans ses écrits. La moitiéde son œuvre, abordant toutes les branches

des mathématiques, est produite après 1765.Auteur de 900 travaux, mémoires et livressur le calcul diérentiel, les mathéma-tiques analytiques, l’algèbre, la mécanique,l’hydrodynamique, l’astronomie et l’optique,il meurt à Saint-Pétersbourg en 1783.

Euler a laissé son nom à plusieurs notionset concepts, tant en physique qu’en mathé-matiques. Il a développé le calcul diérentielde Wilhelm Gottried Leibniz (1646-1716),la méthode des fuxions d’Isaac Newton

(1642-1727), prolongé les travaux desBernoulli et ondé la notion d’équation auxdérivées partielles. Il est l’un des ondateursdu calcul des variations, qui consiste àexpliquer les lois de la physique à l’aide deprincipes d’optimisation.

A

C

Droite d’Euler

B

G

G

D

D

Centre du cercle circonscrit,point de rencontredes médiatrices des côtés

Orthocentre, point derencontre des hauteurs

Point milieu de OH ,centre du cercle d’Euler

Droite d’Euler

H

H

E

E O

O

Centre de gravité, point derencontre des médianes

Dans ses recherches sur l’exponentielle, Euler se demandes’il existe des coecients A, B , C , D , E , ... tels que ax s’écrivecomme un polynôme en x . C’est-à-dire :

ax = A + Bx + Cx 2 + Dx 3 + Ex 4 + ... ?

En posant x = 0, il trouve que A = 1. Par conséquent :

ax = 1 + Bx + Cx 2 + Dx 3 + Ex 4 + ...

De plus, on doit avoir a2x = (ax )2. Par substitution, le premiermembre de l’équation donne :

a2x = 1 + 2Bx + 4Cx 2 + 8Dx 3 + 16Ex 4 ...

et le développement du deuxième membre donne :

(ax )2 = (1 + Bx + Cx 2 + Dx 3 + Ex 4 + ...)2

= 1 + 2Bx + (2C +B 2)x 2 + (2D + 2BC )x 3

+ (2E + 2BD +C 2)x 4 + ...Les deux membres sont égaux si les coecients des termesde même degré sont égaux. Le coecient en x est 2B dans lesdeux membres. En égalant les coecients de x 2, on obtient :

4C = 2C + B 2, d’où 2C = B 2 et

En égalant les coecients de x 3, on obtient :

8D = 2D + 2BC , d’où 3D = BC et

En égalant les coecients de x 4 et en isolant E , on a :

En poursuivant de proche en proche, Euler obtient :

Pour alléger l’écriture, on pose 2×3×4× ... ×n = n! . La onctionexponentielle la plus simple est obtenue en posant B = 1 :

La valeur de a pour x = 1, est :

Le nombre obtenu, 2,7182818..., appelé nombre d’Euler , a undéveloppement décimal illimité non périodique et est désignépar e , la première lettre du nom Euler. L’exponentielle de basee s’écrit :



22


Nombre d’Euler

On peut dénir le nombre d’Euler de la açon

suivante :

Sous cette orme, le nombre d’Euler a desapplications en gestion.

Dans le calcul des intérêts, la relation1 + r = ( 1 + j /m)m donne le taux réel r correspondant à un taux nominal j capitalisém ois par année. Plus la durée de la périodede capitalisation est courte, plus m est grand.À la limite, lorsque m tend vers l’inni, on ditque l’intérêt est continu. On a alors :

Donc, si la capitalisation se ait de açoncontinue, on a :

1 + r = e j , d’où j = ln(1 + r )

et le taux d’intérêt continu j équivalent autaux réel r est j = ln(1 + r ). En pratique, unintérêt journalier peut être considéré commeun intérêt capitalisé de açon continue.

Constante d’EulerDans Introductio in analysin infnitorum

(1748), Euler établit la célèbre constante,notée g (gamma), qui porte aujourd’hui sonnom et est dénie par :

Dans la gure ci-contre, la somme des airesdes rectangles1 dans l’intervalle [1; n+1] est :

Par ailleurs, on voiten calcul intégral quel’aire sous la courbede (x ) = 1/x dansl’intervalle [1; n] estdonnée par ln n.La limite lorsque n tend vers l’innide chacune de cesexpressions est l’inni,

cependant leur diérence est nie. C’estla constante d’Euler, soit la diérence

entre l’aire des rectangles et celle sousla courbe de (x ) =1/x , dans l’intervalle[1;∞[. On ne sait si ce nombre est rationnel ouirrationnel, mais on en connaît 108 000 000décimales :

g = 0,57721566490153286060…

Euler a ait beaucoup de manipulations avecdes séries divergentes (aujourd’hui interditesdans les collèges et les cours de baccalauréatdes universités, mais réhabilitées auprès deschercheurs). À titre d’exemple, regardonscomment il prouve que :

Cette démonstration est considérée commeune autre preuve qu’il y a un nombre inni denombres premiers. En eet, puisque la sérieharmonique diverge, le produit est inni. Ildoit donc comporter un nombre inni deacteurs et chaque acteur est associé à unnombre premier.

Dans sa démonstration, Euler redisposeles termes pour séparer les termes dont

le dénominateur est pair de ceux dont ledénominateur est impair et, dans le premierregroupement, il met 1/2 en évidence :

La série à l’intérieur de la première paren-thèse est z, d’où :

Cela donne :Il regroupe ensuite les termes dont le déno-minateur est un multiple de 3 et met 1/3 enévidence, ce qui donne :

La série à l’intérieur de la première paren-thèses est z/2 et, en substituant :

d’où :

1. Cestermessontceuxdelasérieharmoniquequidiverge

etdontladivergenceestlente.



Nombres complexes et identité d’Euler 23


Leonhard Euler | André Ross • Cégep de Lévis-Lauzon

En regroupant les termes dont le dénomi-nateur est divisible par 5, il obtient :

d’où :

En poursuivant ainsi pour tous les nombrespremiers, il établit que :

et

Il a appliqué la même procédure auproblème de la somme des inverses des carrésdes nombres entiers qui, en 1673, avait étéposé à Leibniz par Henry Oldenburg, secré-taire de la Royal Society. Euler a établi, enregroupant et en mettant successivementen évidence les carrés des nombres premiers,que :

Par ses calculs, il a estimé que cette sommeétait π2/6, conjecture qui a été démontrée par

la suite. Euler a procédé de la même açonpour les diérentes puissances des inverseset a obtenu ce que nous notons maintenantz(s ) et qui est appelée onction de Riemann,soit :

Cette onction est à l’origine des grandsdéveloppements modernes de la théorie desnombres.

Notations d’Euler

Dans ses publications, Euler a introduit

diérentes notations qui sont aujourd’huid’usage courant :

• (x ); pour désigner l’image d’un nombre x

par une onction .

• i ; pour la racine carrée de –1.

• e ; pour la base des logarithmes naturels.

• π; pour le rapport de la circonérence ducercle à son diamètre.

• S pour représenter de açon succincte unesomme de termes.

La représentation d’une exponentielle par un polynômeinni est généralisable aux nombres complexes et cela apermis à Euler d’obtenir de beaux résultats. Un nombrecomplexe z est un nombre de la orme a + ib, où a et b sont des nombres réels et i 2 = –1. En substituant ix à x dans le développement polynomial de e x , on obtient :

Reconnaissant le développement en série de Taylor1 des onctions cosinus et sinus, soit :

Euler en déduit que e ix = cos x + i sin x , ce qui met enrelation la trigonométrie et l’analyse complexe.

Exploitons la représentation graphique moderne desnombres complexes pour bien saisir le sens de cetteéquation. Un nombre complexe z est représenté dansun système d’axes orthogonaux, comportant un axe des

réels R et un axe des imaginaires I , par un vecteur allant de

l’origine (0; 0) au point (a; b). On constate que le vecteura + ib est également caractérisé par sa longueur r ,appelé le module de z et l’angle x , appelé argument ,qu’il ait avec la direction positive de l’axe des réels.Cela donne :

z = re ix = r (cos x + i sin x ).

Si le vecteur est unitaire, r = 1, on a :

z = e ix = cos x + i sin x .

L’équation du cercle unitaire centré àl’origine est alors :

z = e ix pour 0 ≤ x ≤ 2π.

Pour x = π, le nombre complexe correspondant est :

e i π = cos π + i sin π = –1 + i 0 = –1.

Donc e i π = –1, ou encore :

e i π + 1= 0.

Cette identité, appelée identité d’Euler ,met en relation cinq constantesmathématiques : 0 et 1, les élémentsneutres de l’addition et de la multi-plication, e la base des logarithmesnaturels, π le rapport de la circon-érence au diamètre du cercle et i , lenombre imaginaire tel que i 2 = –1.

1. BrookTaylor(1685-1731),mathématicienanglais.



24


Au XVIIIesiècle, la ville de Königsberg (maintenantKaliningrad, Russie) possédait 7 ponts quienjambaient la rivière Pregel et reliaient entreelles deux grandes îles et la terre erme. Unequestion récurrente se posait aux habitants deslieux : peut-on ranchir tous les ponts en ne lestraversant chacun qu’une seule ois?

Cette intrigue ut résolue en 1735 par le légen-daire mathématicien suisse, originaire de Bâle,Leonhard Euler (1707-1783). La réponse estnégative ! Il est impossible de traverser les7 ponts sans revenir au moins une ois sur l’und’entre eux. Le génie d’Euler l’amena à construireune abstraction de l’arrangement géographiquede Königsberg en éliminant d’abord tous leséléments inutiles et en ne conservant que les

îlots, les rives et les ponts (voir l’encadré pagesuivante). Il associa ensuite à chaque île et àchaque rive un point (sommet ou nœud ) et àchaque pont une ligne (arête ou lien). L’objetmathématique ainsi obtenu s’appelle un graphe .

En essence, Euler arme que la carte précisede la ville ne joue aucun rôle dans la solutiondu problème ; ce n’est pas du ressort de lagéométrie puisque les distances, les longueursdes ponts, les angles aits avec la rive par exemplen’interviennent pas. Ainsi, tous les détails du

problème d’origine ont disparu sau pour laconnectivité entre les éléments constitutis.On peut ainsi armer qu’en plus de jeter lesondements de la théorie des graphes , Eulerdonnait naissance à la topologie, une généralisation de la géométrie où l’équivalence est déniede açon bien plus large puisqu’il sut à deuxobjets d’avoir le même nombre de morceaux, detrous, d’intersections, etc. pour être équivalents.Le graphe peut être déormé à volonté sansaltérer ses caractéristiques, aussi longtemps que

les liens entre les nœuds demeurent inchangés.En éliminant tout l’accessoire, cette théorie estcapable de décrire les propriétés topologiquesessentielles avec une clarté inaccessible si tousles détails étaient maintenus.

Antoine Allard

Pierre-André Noël

Louis J. Dubé

Département de physique,

de génie physique

et d’optique

Université Laval

D o s s

i e r A p p l i c a t i o n s

De l’abstraction mathématique

à la réalité sociale des épidémies.

De la nature probabilistede certains graphes

Le problème des ponts de Königsberg résulteen un graphe spécique et bien déni: lesdonnées du problème permettent en eetd’établir la conguration des noeuds et desliens du graphe. Cependant, il est égalementpossible de dénir des graphes dans lesquelson ne spécie pas exactement la structuremais plutôt la probabilité qu’une telle structuresurvienne. On parle alors de graphes aléatoires.

Parmi les graphes aléatoires, il existe unesous-classe, les graphes d’Erdös-Rényi , nommésen l’honneur des mathématiciens hongroisPaul Erdös (1913-1996) et Alréd Rényi(1921-1970), où, pour chacune des paires denœuds possibles, il existe une probabilité p queles deux nœuds composant cette paire soient joints par un lien. Puisqu’une telle constructioninterdit qu’un noeud soit lié à lui-même ou

Des pon à la



C o p y r i g h t © I m a g e s . c o m / C o r b i s

25


que plus d’un lien joignent deux nœuds, un telgraphe sur N nœuds comporte au maximumN (N – 1)/2 liens.

Il existe donc 2N (N – 1)/2 de ces graphes sur N

nœuds (pour p ≠ 0 et p ≠ 1) et le degré moyendes nœuds du graphe est z = p(N –1).

Erdös et Rényi ont obtenu plusieurs résultatsintéressants pour ce genre de graphes. Entreautre, dans la limite où N est grand, il estpresque certain que la taille de la plus grandecomposante connectée du graphe soit d’ordreinérieur à log N lorsque z < 1. Pour un réseau,disons de grandeur N = 10 000, log N = 4, unnombre considérablement plus petit que N !À l’inverse, la plus grande composante connectéeoccupe presque certainement une ractionimportante (de l’ordre de N ) du graphe lorsquez > 1, la seconde composante en importanceayant alors une taille d’un ordre inérieur à log N .

Des ponts d’Euler à la grippe aviaire | A. Allard, P.-A. Noël, L. J. Dubé • Université Laval

Ainsi, sous la valeur critique z c = 1, seulela structure locale du graphe est aectéelors de petits changements du paramètre z .Par opposition, le passage de z < 1 à

z > 1 entraîne un changement global majeur:l’apparition soudaine d’une composante géantecontenant une raction importante des nœudsdu graphe. Les phénomènes présentant detels changements qualitatis importants sontappelés phénomènes de percolation et le seuilcritique, ici z c = 1, est appelé seuil de percolation.

Où la régularité nousenfamme

Si maintenant on ajoute un élément supplémen-taire à la structure même du graphe, à savoir

l’état des nœuds, on parlera génériquementde réseaux. Le changement temporel de cesétats, selon une règle prédéterminée, nouspermettra alors de suivre l’évolution globale dela dynamique sur réseaux .

s d’Euler

rippe aviaire

Le problème des ponts de Königsbergpeut être traduit en langagemathématique moderne comme laquestion de l’existence d’un chemin

eulérien sur un graphe. Un chemineulérien est précisément un parcoursqui emprunte chaque lien exactementune ois. Puisque le chemin recherchédoit entrer et quitter chaque nœud

qu’il rencontre, sau le premier et ledernier, Euler prouva, et la solutionest tout à ait générale, qu’il nepeut y avoir qu’au plus 2 nœudsdans le graphe ayant un nombreimpair de liens s’y attachant pourqu’un tel parcours existe. On diraitaujourd’hui qu’il ne peut y avoirplus de 2 nœuds de degré impair,le degré d’un nœud étant le nombrede liens qui y concourent. Puisque

les 4 nœuds dans le graphe deKönigsberg sont de degré impair(3 de degré 3 et 1 de degré 5),le problème des ponts n’a néces-sairement pas de solution.

La solution d’Euler au problème

des ponts de Königsberg



26


eu, c’est-à-dire les cases vertes se trouvantimmédiatement en haut, en bas, à gauche ouà droite des cases rouges. Cependant, les arbresvoisins d’un arbre en eu à une étape donnéene s’enfamment pas nécessairement à l’étapesuivante mais il y a plutôt une probabilité p que cet événement se produise. De même, lesarbres qui étaient en eu à une certaine étape

ne sont désormais plus que cendres aux étapessuivantes et on les représente alors par descases grises (état brûlé). Dans ce scénario, le eune peut se propager selon une diagonale de lagrille et est arrêté par les cases grises (un arbrene peut brûler deux ois).

Ici, le seuil de percolation est précisémentpc = 1/2. Si la probabilité p qu’un arbre prenneeu est inérieure à pc , un nombre relativementpetit d’arbres brûlera avant que le processus nes’arrête de lui même, c’est-à-dire avant qu’il

ne reste plus d’arbres en eu. Cependant, audessus du seuil, une raction importante duréseau peut être brûlée, et ce, aussi grandeque soit la grille. Sur les deux graphiques del’encadré ci-contre, on représente l’état nal dusystème après un nombre susant d’étapes,i.e. lorsqu’il ne reste plus d’arbres en eu, pourune grille de 200 x 200, et pour deux valeurs dep voisines de pc .

DossierApplications

Pour illustrer ce nouvel aspect évoluti, unexemple splendide de percolation consiste enune simulation de eu de orêt. Par oppositionaux graphes d’Erdös-Rény, il est plus simpled’utiliser un graphe régulier, comme on enretrouve par exemple dans le réseau cristallinde matériaux usuels, une structure ordonnéepossédant la symétrie du solide en question.

Sur ce graphe, nous dénirons 3 états : intact,enfammé et brûlé.

La propagation du eu de orêt se ait de laaçon itérative suivante. Chacune des casesd’une grille est initialement peinte en vert (étatintact), représentant un arbre (voir encadréci-dessus). On choisit ensuite un arbre au hasardet on y « met eu » en peignant la case correspon-dante en rouge (état enfammé). Commenceensuite une succession d’étapes où chacuned’entre elles rend possible la propagation

de l’incendie aux arbres voisins des arbres en

Les arbres intacts (vert) voisins des arbres actuellement en eu (rouge) sont susceptibles d’être enfammés à la prochaineétape, alors que les arbres actuellement en eu seront devenus cendres (gris). Les fèches noires indiquent les endroits où il ya une probabilité p de transmission. Ainsi, les cases vertes pointées par ces fèches ne sont donc pas nécessairement toutesrouges à l’étape suivante.

Simulation d’un eu de orêt

État nal du système (après qu’il n’y ait plus d’arbres en eu) pour deuxvaleurs de p voisines de pc sur une grille de 200 x 200.

État fnal du système

p = 0,51p = 0,49




27


Il s’agit bien d’un phénomène de percolation oùla structure globale change de açon qualitativeautour d’un seuil de percolation, ici pc . Plusieursphénomènes physiques comme les transitionsde phases, par exemple le passage de la glace àl’eau, peuvent également être étudiés en termesde phénomènes de percolation sur des réseauxréguliers.

An d’améliorer le réalisme de la dynamiquesur réseaux, s’ore à nous la possibilité decomplexier soit la structure même desréseaux, soit la règle évolutive, ou encore lesdeux aspects à la ois.

De la simplicité à lacomplexité

Entre les graphes aléatoires et réguliers, oùles noeuds sont équipés de propriétés spéci-ques ou non, il existe une panoplie de réseauxde structure intermédiaire: les réseaux ditscomplexes. Au cours de la dernière décennie, cesréseaux ont attiré l’attention de scientiquesde tous genres – physiciens, mathématiciens,statisticiens, inormaticiens, biologistes, socio-logues, épidémiologistes – pour n’en nommer

que quelques-uns. Un tel engouementmultidisciplinaire s’explique par le ait que lesréseaux complexes sont d’excellents modèlespour décrire de nombreux systèmes réelsimpliquant plusieurs éléments en interactionles uns avec les autres. Par exemple, on peututiliser les réseaux complexes pour modéliserles chaînes alimentaires d’écosystèmes, pourdécrire la topologie du World Wide Web et del’Internet, pour mieux comprendre les réseauxsociaux ou pour visualiser l’interdépendanceentre les protéines d’un organisme vivant.

La modélisation de systèmes réels à l’aide deréseaux complexes permet aux chercheurs demieux comprendre leur structure et son impactsur la dynamique de ces systèmes. Ainsi, lamodélisation d’une chaîne alimentaire aide lesécologistes à prédire l’eet qu’aura la disparitiond’une espèce sur la stabilité de l’écosystème.Touteois, an que les résultats obtenus lors deces études soient valides, il est essentiel que lesmodèles utilisés soient susamment réalistes.Il est donc nécessaire de bien connaître les

diverses propriétés des systèmes réels, tâche surlaquelle les chercheurs se sont aussi penchés.


Lors de son expérience, Milgram demanda à des citoyens de deux villesdu centre des États-Unis de poster une lettre à un individu X vivantà Boston. Les participants ne pouvaient touteois envoyer la lettredirectement à cet individu que s’ils le connaissaient personnellement .Sinon, ils devaient l’envoyer à un(e) ami(e) de leur choix qui aurait,selon eux, plus de chance de connaître personnellement l’individuX. À leur tour, ceux-ci devaient reposter la lettre à l’individu X s’ils leconnaissaient personnellement ou à un(e) ami(e) de leur choix quiserait plus en mesure de le connaître et ainsi de suite.

À chaque personne qui transérait la lettre, il était demandé d’y inscrire

son nom et son adresse. Ainsi, à l’aide des lettres qui atteignirentéventuellement l’individu X, Milgram ut en mesure de compter lenombre moyen d’intermédiaires séparant des individus qui à primeabord n’avaient aucun lien apparent entre eux. Quelle ne ut pas sasurprise de constater qu’en moyenne, une lettre n’avait eu qu’à êtremise à la poste 5,5 ois pour atteindre son destinataire!

Cette expérience ut répétée à plusieurs reprises avec des individusrésidant dans d’autres régions et Milgram obtint le même genre derésultats. Cette expérience rappa l’imaginaire collecti et inspira leconcept des six degrés de séparation qui prétend que deux personneschoisies au hasard sur la planète seront reliées en moyenne par

seulement cinq personnes. Faites-en l’expérience.

L’expérience du Small-World



28


Grâce à ces eorts, plusieurs caractéristiques,dont quelques-unes insoupçonnées, ont étédécouvertes au l des ans. C’est le cas de l’eetSmall-World mis au jour par le psychologuesocial américain Stanley Milgram dans lesannées 1960. Lors de son expérience (voirencadré), Milgram découvrit qu’en moyenne,deux individus choisis au hasard sont reliés l’unà l’autre par seulement cinq autres personnesen considérant les liens d’ « amitié » (au senstrès large) entre les gens. Autrement dit, unegrande majorité des gens sur la Terre sont enait l’ami d’un ami d’un ami d’un ami d’un amid’un ami. Cet eet s’apparente à l’expression

populaire : « Hé! Que le monde est petit! »,bien connue de tous et d’où il tire son nom(small world : petit monde).

Au gré des ans, de nombreuses études ontdémontré que l’eet Small-World n’est paslimité uniquement aux réseaux sociaux etest présent dans la plupart des réseaux réels.Ces évidences expérimentales ont motivé lesphysiciens Duncan J. Watts et Steven H. Strogatzà proposer en 1998 un tout nouveau modèlede réseaux complexes possédant explicitementl’eet Small-World . Cette contribution scienti-que clé ainsi que quelques autres ont initié undéveloppement accéléré des modèles mathé-matiques décrivant les réseaux complexes etleur dynamique associée. Ceux-ci trouventaujourd’hui leur application dans une oule

de domaines de recherche, dont une particu-lièrement spectaculaire, en épidémiologie.

DossierApplications

Réseau complexe représentant les interactions protéine-protéinedans la levure Saccaromyces cerevisiae .

Du simple au complexe

© H

a w o o n g J e

o n g / S P L / P U B L I P H O T O



29


Ainsi, à l’aide d’un réseau complexe où lesnoeuds représentent les individus et les liens

représentent les contacts permettant latransmission de la maladie, il est possible desimuler la propagation de maladies inectieusessur des réseaux de contacts.

Lors de ces simulations, un premier individu(donc un noeud) est inecté par un agentpathogène. Celui-ci inecte ensuite ses voisins(noeuds avec qui il a un lien) avec uneprobabilité que l’on nomme la transmissibilité .Ces nouveaux inectés peuvent à leurtour transmettre la maladie à leursvoisins avec cette même probabilité. Répétercette opération jusqu’à ce qu’il n’y ait aucunnouvel inecté permet de recueillir une ouled’inormations sur les risques d’épidémie etsur les dommages associés (par exemple, lenombre de gens qui seront inectés). Or, à l’instardes eux de orêt, la propagation de maladiesinectieuses dans une population possède elleaussi un seuil de percolation, c’est-à-dire qu’ilexiste une valeur précise de la transmissibilitésous laquelle peu d’individus sont inectés


et juste au-delà de laquelle une épidémiepeut apparaître. Autrement dit, l’étude des

conditions de percolation des réseaux complexesreprésentant des réseaux de contacts réelspermet de connaître les risques qu’une épidémiesurvienne! Ceci ouvre la porte à la possibilitéde tester diverses stratégies de prévention ou

d’intervention avant même qu’une quelconqueépidémie ne soit déclarée et ainsi de permettreaux populations et aux intervenants de la santéde se préparer en conséquence.

Notre périple nous a amené de la notion degraphe introduite par Euler à l’émergence d’unenouvelle science qu’il serait heureux d’appelerla théorie des réseaux . Inutile de le nier, lesréseaux sont omniprésents et l’imagerie duréseau même imprègne toute notre culturemoderne: de l’Internet à sa proche cousine laToile (WWW), des réseaux économiques auxréseaux de propagation de maladies, telle lagrippe aviaire...

L’épidémiologie est une science qui s’intéresse auxacteurs infuençant la santé des populations. Ceciinclut notamment l’étude de la propagation desmaladies inectieuses, telles la grippe, les I.T.S. (inectionstransmises sexuellement), la gastroentérite et des moyensqui peuvent être utilisés pour la contrer comme lavaccination ou la quarantaine pour ainsi éviter qu’unepopulation soit rappée par une épidémie. Touteois,bien que beaucoup d’études aient porté sur les moyensd’intervention au niveau de l’individu via le dévelop-

pement de nouveaux médicaments, la açon dontceux-ci devraient être déployés an de réduireles risques d’épidémies n’est toujours pas claire.

Les maladies inectieuses sont des maladies causéespar un agent pathogène, un virus, une bactérieou un parasite quelconque qui se transmet d’unepersonne inectée à une personne saine lorsque

celles-ci ont un contact spécique permettant unetransmission. On pensera à une poignée de maindans le cas de la grippe ou à une relation sexuellenon-protégée dans le cas des I.T.S. Ainsi, une personnemalade ne peut inecter que les gens avec qui ellea un contact à risque et dans cette perspective, lastructure sociale (appelée réseau de contacts ) devientun acteur crucial aectant les risques d’une épidémie.

Tel que mentionné précédemment, les chercheurs enthéorie des réseaux ont développé au l des ans des

modèles de plus en plus précis et réalistes de réseauxcomplexes. Des expériences telles que celle de Milgramont permis de mettre au jour de nombreuses propriétésdes réseaux sociaux orant maintenant aux chercheursd’excellents modèles pour représenter les réseaux decontacts des populations humaines.

Les maladies inectieuses



30


Rubrique des

Jean-Paul Delahaye

Université des Sciences

et Technologies de Lille

Lorsque n = 2, on procède de la manière

suivante. On prend les deux pièces indiscer-

nables, on en place une sur le plateau de gauche

et une autre sur le plateau de droite de la

balance. L’équilibre ne se ait pas car l’une

des pièces est plus légère par hypothèse. On

peut la repérer, c’est celle qui se trouve sur le

plateau qui monte. Dans ce cas simple, une

seule pesée a suf.

Soit maintenant n ≥ 2. Supposons, comme

hypothèse de récurrence, que nous

connaissons une procédure utilisant au plus

trois pesées pour n pièces, toutes de même

masse, sau une qui est plus légère. Montronscomment obtenir une procédure pour

n + 1 pièces.

Considérons n + 1 pièces de même masse,

sau une qui est plus légère que les autres.

Nous mettons à part l’une des n + 1 pièces,

et nous appliquons la procédure donnée par

l’hypothèse de récurrence aux n pièces restantes.

Si la pièce la plus légère est dans les n pièces

retenues, la procédure permet de la trouver.

On a donc identifé la pièce la plus légère et ila suf de trois pesées.

Si la procédure ne permet pas de trouver une

pièce plus légère que les autres parmi celles

retenues, c’est que la plus légère est celle que

nous avons mise de côté. On trouve à nouveau

la pièce la plus légère et il a encore suf de

trois pesées.

Donc, en au plus trois pesées, nous avons

réussi à connaître la pièce la plus légère parmi

les n + 1 pièces données.Le raisonnement par récurrence onctionne

donc bien et, en conséquence, pour tout entier

n ≥ 2, il existe une procédure en trois pesées

permettant d’identifer une pièce plus légère

que les autres dans un ensemble de n pièces.

Croyez-vous vraiment qu’avec un million de

pièces, en trois pesées vous pouvez repérer

la plus légère ? N’est-il pas étrange que le

raisonnement présenté semble s’adapter et

arriver à la même conclusion avec une seulepesée au lieu de trois ? Il y a donc une erreur.

Laquelle ?

Voici un joli raisonnement par récurrence dû à Keith Austin

conduisant à une étrange conclusion.

Trois pesées suffisent

Nous allons démontrer que

lorsque n pièces de monnaies ( n ≥ 2) d’apparences identiques

sont données, l’une plus légère

que les autres, alors trois pesées

au plus avec une balance à deux

plateaux (permettant de comparer

des masses sans les mesurer)

sufsent pour l’identifcation

de la pièce la plus légère..




31


Solution du paradoxe précédent

Vous êtes la personnela plus riche du monde

est cependant insatisaisante puisque

certaines phrases autoréérentes ne créent

pas de problèmes. C’est le cas de la phrase

« je suis en train d’écrire cette phrase ».

D’autres théories plus subtiles sont moins

radicales, mais aucune aujourd’hui ne ait

l’unanimité chez les spécialistes et les para-

doxes de l’autoréérence restent donc assezmystérieux.

Notons que les paradoxes de l’autoréérence

ne contaminent pas les systèmes de

raisonnements utilisés en mathématiques

(il serait très grave pour les mathématiciens

de rencontrer des contradictions dans leurs

théories), mais qu’au contraire, soigneuse-

ment adaptés, ils permettent de prouver

des théorèmes intéressants : théorèmes

d’incomplétude de Gödel1

, théorème deTarski2 sur les prédicats de vérité.

Le paradoxe précédent était basé sur les

énoncés suivants :

• La troisième phrase est vraie et

vous êtes la personne la plus

riche du monde.

• La troisième phrase n’est pas vraie.

• Une au moins des deux

premières phrases est vraie.

En raisonnant par l’absurde sur ces énoncés,

on avait conclu que la troisième phrase est

vraie, que la seconde était ausse, vous étiez

donc la personne la plus riche du monde

puisqu’au moins une des deux premières

phrases est vraie.

Ce paradoxe est ce qu’on appelle un

paradoxe de l’autoréférence . Dans un telparadoxe, accepter de considérer que les

phrases envisagées sont vraies ou ausses

conduit inévitablement à des contradictions :

il n’y a pas d’erreur de raisonnement.

Le plus simple paradoxe de l’autoréérence

est le ameux paradoxe du menteur :

je suis en train de mentir

Si on considère que l’énoncé est vrai, c’est

que je mens, donc l’énoncé est aux. Il y a

donc une contradiction.

Si on considère que l’énoncé est aux, je

mens et donc l’énoncé vrai. Il y a encore une

contradiction.

On obtient toujours une contradiction selon

que l’on considère l’énoncé vrai ou aux.

De nombreuses théories ont été proposées

pour traiter les paradoxes de l’auto-

réérence. La plus simple consiste à décréter :

les phrases autoréérentes ne sont pas de

vraies phrases et doivent être interditescomme le sont les phrases grammati-

calement incorrectes. Une telle théorie

1. http://www.jutier.net/contenu/kgodel.htm

http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d’incomplé

tude_de_Gödel

2. http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Tarski



32


Droite d’Euler1.Montrerquelesmédiatricesd’untriangle

serencontrentenunmêmepoint.

2.Lapremièrefgureci-contreprésenteuneconstruction à partir d’un triangle ABC .Expliquer pourquoi cette constructionpermetdeconclurequeleshauteursdutriangleABC serencontrentenunmêmepoint.

3.Analyser les étapes de construction dudeuxièmegroupedefguresci-contre etexpliquer pourquoi cette constructionpermetdeconclurequelesmédianesdutriangleABC serencontrentenunmêmepoint aux deux tiers de leur longueurà partir du sommet et que ce point derencontreestlemêmepourlesmédianesdutriangleDEF .

4.Analyser les étapes de construction dutroisièmegroupedefguresci-contre,etexpliquer pourquoi cette constructionpermet de conclure que les points de

rencontredeshauteurs,desmédiatricesetdesmédianessontsurunemêmedroite.

Nombres complexes(collégial)

1.Montrer que la multiplication par unnombre complexe z revient à appliquerune homothétie dont le rapport est lemodule de z avec une rotation dontl’angleestl’argumentdez .Endéduirequelamultiplicationpari donneunerotation

de90°.2.Utiliserl’expressionz =e i qpourretrouver

lesormulesdecos(a+b)etsin(a+b)quisontutiliséesaunuméro4desexerci-cesdeYannick.Suggestione i (a+b)=e i ae i b.

Découverte à la polyvalente

1. Considérant un

triangle équi-latéral ABC etun point P àl’extérieur dutriangle et àl’intérieur del’angle ormé par le prolongement descôtésAB etAC ,montrerque:

k 1+k 2–k 3estconstant.

Déterminer la valeur de la constante.Cerésultatest-iltoujoursvalidesilepoint

P traverseuncôtémaisresteàl’intérieurdel’angleorméparlesdeuxautrescôtés?

2. Peut-on montrer que la somme desdistancesd’unpointintérieurP auxcôtésd’unpolygonerégulierconvexeà ncôtésestconstante?Quelleestalorslavaleurdecetteconstante?

Exercices de Yannick

Pourdémontrerl’impossibilitédelatrisectionde l’angle, Alexandra a donné les exercicessuivantsàYannick.

1. Procéderparcomparaisondesordonnéespour trouver le point d’intersection desdroites:

y =ax +b,y =cx +d ,oùa≠c .

2. Expliquer la démarche pour trouver lesdeuxpointsd’intersectionducercleetdeladroite:

y =ax +b,x 2+y 2=r 2,

oùa,betr sontdesconstantes.

3. Expliquer la démarche pour trouver les

pointsd’intersectiondescercles: x 2+y 2=r 2et(x –h)2+(y –k )2=s 2.

(collégial)

Voir aussi le numéro 2 sur les nombrescomplexes.

4. Enutilisantlesidentités:

sin2q+cos2q=1

cos(a+b)=cosacosb–sinasinb

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,

montrerque: cos3q=4cos3q–3cosq.

Donneruneautrepreuvedecettepropriété,cetteoisenutilisantlesnombrescomplexes.

Section problèmes



Pour en s voir plus!

Logique mathématique et informatique théorique

Découverte à la polyvalente

Sur le site d’André Boileau, dont l’adresse est donnée ci-dessous, on peut déplacer le point P dans un Applet

Java et refaire l’exploration réalisée par Jérémie.

http://www.math.uqam.ca/_boileau/accromath.html

Des constructions impossibles

Carréga, Jean Claude. Théorie des corps, la règle et le compas . Hermann 1981

Dörie, Heinrich. 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution, Dover 1965.

Voir les problèmes 35, 36 et 37.

Applications des mathématiques

Des ponts d’Euler à la grippe aviaire

Théorie des graphes :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_graphes

Réseaux complexes/sociaux :

Barabási, Albert-László L., Linked: The New Science of Networks (Perseus Press, Cambridge, MA, 2002)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Réseaux_sociaux

Effet Small-World :

Watts, Duncan J., Small Worlds (Princeton University Press, 1999)Watts, Duncan J., Six Degrees: The Science of a Connected Age ( W. W. Norton & Company, 2003)

Exemples de réseaux réels :

http://www.visualcomplexity.com

Grands mathématiciens

Leonhard Euler

Euler, un génie des Lumières , Tangente, l’aventure mathématique, HS n° 29

300 Years of Euler, Mathematician and Scholar , π in the sky, issue 11.



Accromath est une publication de l’Institut des sciences mathématiques (ISM) et du Centre de recherches mathématiques (CRM). La revue s’adresse surtout aux étudiantes et étudiants d’école secondaire et de cégep ainsi qu’à leurs enseignantes et enseignants.

L’Institut des sciences mathématiques est une institution unique dédiée à la promotion et à la coordination de l’enseignement et de la recherche en sciences mathématiques au Québec. En réunissant huit départements de mathématiques des universités québécoises (Concordia, Université Laval, McGill, Université de Montréal, UQAM, UQTR, Université de Sherbrooke, Bishop’s), l’Institut rassemble un grand bassin d’expertises enrecherche et en enseignement des mathématiques. L’Institut anime de nombreuses activités scientifques, dont des séminaires de recherche et des colloques à l’intention des proesseurs et des étudiants avancés,ainsi que des conérences de vulgarisation données dans les cégeps.Il ore également plusieurs programmes de bourses d’excellence.

L’ISM est fnancé par le Ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport du Québec et par ses huit universités membres.

Le Centre de recherches mathématiques est un centre national pour la recherche ondamentale en mathématiques et ses applications.Les scientifques du CRM comptent plus d’une centaine de membres réguliers et de stagiaires postdoctoraux. Lieu privilégié de rencontre, le Centre est l’hôte chaque année de nombreux visiteurs et d’ateliers de recherche internationaux.

Les activités scientifques du CRM comportent deux volets principaux :les projets de recherche qu’entreprennent ses laboratoires, et les activités thématiques organisées à l’échelle internationale. Ces dernières,ouvertes à tous les domaines, impliquent des chercheurs du CRM et d’autres universités. Afn d’assurer une meilleure diusion des résultats de recherches de ses collaborateurs, le CRM a lancé en 1989 un pro- gramme de publications en collaboration avec l’American Mathematical Society et avec Springer.

Le CRM est principalement fnancé par le CRSNG (Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada), le FQRNT (Fonds québécois de recherche sur la nature et les technologies),l’Université de Montréal, et par six autres universités au Québec et en Ontario.

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