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Volume 1 t-Automne 2006

DossierGPS

O suis-je?

Autresdossiers Fractales Racines Dimension4 Mathmatiques et posie

ditori l Lorsque le seul outil disponible est un marteau, tous les problmes sont des clous .Lusage de plus en plus rpandu de la calculatrice dans lapprentissage des mathmatiques a contribu donner une image dforme de ce que sont les mathmatiques. Dans lapprentissage de cette science, les composantes importantes ne sont pas les calculs ou lapplication aveugle de formules. Cest par la rflexion, la mise en relation, la construction de modles, lanalyse, la synthse et llaboration de stratgies de rsolution que les mathmatiques contribuent au dveloppement intellectuel des individus, la culture des socits et la civilisation. Accromath est une revue qubcoise qui vise donner aux enseignantes et aux enseignants du secondaire et du collgial des moyens pour communiquer leurs tudiantes et tudiants une image plus vivante, plus humaine et plus riche de ce que sont les mathmatiques et une meilleure connaissance des carrires auxquelles elles donnent accs. Distribue gratuitement dans les coles et les cgeps, la revue met la disposition des enseignantes et des enseignants une banque darticles illustrant notamment les apports des mathmatiques dans la culture et la civilisation ainsi que le rle quelles jouent dans les disciplines techniques et scientifiques. Ces articles peuvent tre reproduits et distribus gratuitement. Bonne lecture!Rdacteur en chef Andr Ross Professeur de mathmatiques Cgep de Lvis-Lauzon Comit ditorial France Caron Professeure de didactique des mathmatiques Universit de Montral Louis Charbonneau Professeur de didactique des mathmatiques UQAM Jocelyn Dagenais Conseiller pdagogique Commission scolaire Marie-Victorin Andr Deschnes Enseignant de mathmatiques Petit Sminaire de Qubec Christian Genest Professeur de statistique Universit Laval Frdric Gourdeau Professeur de mathmatiques Universit Laval Bernard Hodgson Professeur de mathmatiques Universit Laval Jean-Marie de Koninck Professeur de mathmatiques Universit Laval Christiane Rousseau Professeure de mathmatiques Universit de Montral Production et Iconographie Alexandra Haedrich Institut des sciences mathmatiques Conception graphique Pierre Lavalle Neograf DesignIllustrations des scientifiques Alain Ross

Andr RossInstitut des sciences mathmatiques Universit du Qubec Montral Case postale 8888, succursale Centre-ville Montral (Qubec) H3C 3P8 Canada [email protected] www.accromath.ca

Volume 1 t-Automne 2006

SommaireDossierGPSOu suis-je?Christiane Rousseau Christiane Rousseau

2 6 0Vol.1 t automne 2006

Le signal du GPS

LhyperboleAndr Ross

DossierRacines5 70=... sans calculatrice

Frdric Gourdeau

2 6 20

Extraction dune racine dans un carrBernard R. Hodgson

2

Codes numriques | Codes-barresJocelyn Dagenais

DossierFractalesLes fractalesJosiane Lajoie

24

DossierDimension4Vivre en dimension 4Tomasz Kaczynski Tomasz Kaczynski

24

30 32

Voyager en dimension 4

DossierMathmatiques et posie la recherche de lidalFrance Caron France Caron France Caron

36 40 45

Lespace et le temps dans la posie symboliste La sensibilit mathmatique de Victor Hugo

Section problmes

48

32

O suis-je?Vol.1 t automne 2006

ce quon appelle faire de la triangulation Ce peut tre par rapport au soleil ou aux toiles (voir section problmes), des antennes dans le systme Loran, des satellites dans le systme GPS.

Comment fonctionne le GPS?Un minimum de satellites (en on en comptait plus de 3) bougent sur des orbites autour de la Terre une altitude de km et mettent des signaux rpts priodiquement. Ces orbites, au nombre de 6, font un angle de degrs avec le plan de lquateur. Il y a au moins satellites sur chacune (voir figure 1).. La distribution des satellites est telle qu tout instant sur la terre on peut capter le signal dau moins satellites. Les signaux sont capts laide dun rcepteur. Le rcepteur calcule sa position sur la terre. Le principe est que le rcepteur mesure les temps de parcours des signaux depuis les satellites jusqu lui. tant donn que chaque signal voyage la vitesse de la lumire, cela

vha ammlha mh.vb lavgaXVIIl.U lmylGPS.Christiane Rousseau Universit de Montral

Lutilisation

du GPS permet aussi de faire atterrir des avions dans le brouillard, daider les aveugles retrouver leur chemin dans nos villes, de localiser les zones orageuses, comme le fait Hydro-Qubec, pour protger les rseaux de transport dlectricit.

Le GPS (Global positioning system)

DossierGPS

Le systme GPS a t compltement dploy en 199 par le Ministre amricain de la dfense qui autorise le public sen servir. En utilisant un rcepteur GPS, un objet qui est maintenant la porte de toutes les bourses et quon peut ranger dans sa poche, on peut connatre notre position 1- mtres prs. Dans la plupart des techniques de positionnement, on dtermine la position par rapport des objets dont la position est connue : cest

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permet de calculer la distance entre le rcepteur et chacun des satellites. La donne de la distance d1 entre un satellite S1 et le rcepteur permet de conclure que le rcepteur se trouve sur la sphre de rayon d1 centre au satellite S1. Si on connat la distance d2 entre le rcepteur et un deuxime satellite S2 , on sait que le rcepteur est aussi sur la sphre de rayon d2 centre en S2. Lintersection de ces deux sphres est un cercle C (figure ). Enfin, si on connat la distance d3 entre le rcepteur et un troisime satellite S3, alors on sait que le rcepteur est sur la sphre de rayon d3 centre en S3. Lintersection de cette sphre avec le cercle C consiste en deux points. Lun de ces deux points se trouve toujours loin de la surface de la Terre (un avion est au maximum 1 kilomtres daltitude, ce qui est considr proche) et est limin parce quirraliste. Donc, en mesurant les temps de parcours de trois signaux depuis 3 satellites jusqu lui le rcepteur peut calculer sa position (i.e. longitude, latitude et altitude). En pratique les choses sont un peu plus compliques, car les temps mesurs sont trs petits et il faut donc faire des mesures trs prcises. Les satellites sont quips dhorloges atomiques trs coteuses et parfaitement synchronises alors que le rcepteur a une horloge de qualit moindre. En plus des 3 inconnues qui sont les coordonnes de la position du rcepteur, il y a donc une e inconnue : le dcalage entre lhorloge du rcepteur et les horloges des satellites (lequel est le mme avec tous les satellites). Le rcepteur a alors besoin dune e mesure du temps de parcours du signal entre un e satellite et le rcepteur. Il obtient alors un systme de quations inconnues qui sont les trois coordonnes x, y, z donnant la position du rcepteur et le dcalage T entre lhorloge du rcepteur et celle des satellites :

Figure 1 : Les satellites dans le systme GPS sont rpartis sur six plans orbitaux inclins denviron 55 degrs avec le plan de lquateur.

Figure : Deux sphres sintersectent en un cercle C. Lintersection avec une troisime sphre donne deux points.

Ce systme admet encore deux solutions dont lune est de nouveau limine parce que non raliste. Cest le rcepteur qui est charg de rsoudre ce systme. Comme la solution inclut le dcalage T entre lhorloge du rcepteur et celle des satellites, le rcepteur peut alors ajuster son horloge sur celle des satellites.

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DossierGPSloin des lignes de transport pour viter les interfrences. Deux stations notent le moment o elles enregistrent le coup de foudre. En calculant lintervalle de temps entre ces deux moments, cela leur permet de localiser la position du coup de foudre sur une branche dhyperbole. Si dautres stations ont enregistr le mme coup de foudre on peut localiser le coup de foudre lintersection de plusieurs branches dhyperboles, et donc dterminer sa position prcise. LorsquHydro-Qubec a localis une zone orageuse, elle dleste les lignes de transport passant dans cette zone. Ainsi, en cas de bris de la ligne, le rseau sera moins perturb et sa fiabilit accrue. Mais comment deux stations dterminentelles quelles ont enregistr le mme coup de foudre ? Il faut pour cela faire de lanalyse de signal. Cest un autre beau chapitre des mathmatiques.Remerciements : lauteure tient remercier Jean-Claude Rizzi et Martin Vachon pour lui avoir expliqu les oprations de suivi des orages Hydro-Qubec.

la thorie lmentaire sajoute beaucoup de sophistication1. Les vitesses des satellites sont suffisamment importantes pour quil faille apporter des corrections aux calculs pour prendre en compte les thories de la relativit spciale et de la relativit gnrale.Vol.1 t automne 2006

. Le signal est une onde lectro-magntique qui se propage la vitesse de la lumire. Un GPS commun utilise la vitesse de la lumire dans le vide pour faire le calcul. Mais le signal dun satellite voyage au moins partiellement dans latmosphre. Sa vitesse moyenne dpend des conditions atmosphriques et de la hauteur du satellite au-dessus de lhorizon. Lorsquune trs grande prcision est ncessaire on recourt des GPS diffrentiels : on compare le temps de parcours du signal du satellite au rcepteur celui du temps de parcours du mme satellite un deuxime rcepteur GPS situ dans la mme rgion et dont la position est connue. Ceci permet de mesurer la vitesse de la lumire utiliser dans les calculs de position. 3. Pour pouvoir facilement mesurer le temps de parcours du signal on a recours des signaux spciaux.

Le GPS en actionLes applications du GPS sont de plus en plus nombreuses. En voici quelques-unes : Retrouver son chemin dans la nature. Tracer un parcours sur une carte : par exemple on parcourt un trajet avec le GPS ouvert. Au retour, en branchant notre GPS sur un ordinateur, on peut faire ajouter le trajet parcouru sur une carte dj trace. Piloter un avion dans des conditions de visibilit rduite (ou nulle) ou mme atterrir dans le brouillard. Le pilote na souvent aucun point de repre part les indications de ses instruments.

Hydro et GPSHydro-Qubec utilise ce principe dajustement des horloges des rcepteurs GPS pour synchroniser tous ses quipements. Partout les quipements dHydro-Qubec sont coupls avec des GPS dont les horloges sont synchronises sur celles des satellites : les horloges de ces GPS sont donc toutes synchronises entre elles. Ces horloges synchronises permettent diverses oprations de triangulation : localisation des zones orageuses, localisation de bris sur une ligne de transport, etc. Pour la localisation des zones orageuses Hydro-Qubec dispose de 13 stations disperses sur son territoire qui enregistrent les coups de foudre. Ces stations sont situes

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Aider les non-voyants retrouver leur chemin. Grer une flotte de vhicules. Beaucoup de taxis europens sont munis de GPS et de logiciels contenant les cartes et adresses de la plupart des villes europennes : le chauffeur de taxi entre ladresse (numro civique, rue, ville, pays) dans le logiciel. Ensuite la position du taxi apparat en tout temps sur un cran et le logiciel donne des instructions pour emprunter le chemin optimal. Mesurer la hauteur de lEverest : cest avec un GPS quon a dtermin la hauteur officielle de lEverest pour la communaut scientifique, et tranch le dilemme de savoir si le sommet du monde tait lEverest ou le K. Le dbat est dfinitivement clos depuis 1998 lorsquune expdition commandite par le Muse des Sciences de Boston et la National Geographic Society a utilis le systme GPS pour mesurer exactement la hauteur de lEverest : il slve 883 mtres. Le calcul effectu en 19 par B. L. Gulatee du Survey of India avait conclu une hauteur de 888 mtres et on peut smerveiller de sa prcision quand on sait que les mesures avaient t effectues lpoque partir de 6 stations dans la plaine indienne en utilisant un thodolite (appareil utilis en godsie, muni dune lunette et servant mesurer les angles). Elles pouvaient tre affectes par la rfraction atmosphrique, do lavantage dune mesure effectue laide du systme GPS. La mme mthode a permis de conclure que le K culmine 8611 mtres et donc que lEverest est bien le Toit du Monde. Le systme GPS permet galement de mesurer la croissance de lEverest. En effet ce dernier continue crotre au fur et mesure que son glacier, le Khumbu, descend. Nous avons vu comment un rcepteur GPS nous donne notre position sur la Terre. Ceci ne nous rend pas service si nous sommes perdus dans la nature, sauf si nous pouvons situer cette position par rapport des lieux connus, par exemple en nous situant sur une

Photo : Serge Robert

LEverest et le Lhotse. Photo : Olivier Raymond

Photo : Nomie Ross

carte. Pour quun GPS soit pleinement utile il faut donc que nous disposions de cartes. La Terre tant une sphre et la carte un plan, pour faire de la bonne cartographie on utilise aussi des mathmatiques. Nous aborderons ceci dans un prochain article.

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Signal du GPSVol.1 t automne 2006

Pour en savoir plus sur les mathmatiques du

Chaque satellite envoie au GPS un signal, compos de 0 et de 1, qui semble compltement alatoire. Avec ce signal, le GPS calcule sa distance au satellite.Christiane Rousseau Universit de Montral

Il y a toujours des erreurs dans la transmission des signaux.Malheureusement, il y a toujours des erreurs dans la transmission des signaux et le rcepteur doit pouvoir corriger les erreurs de transmission. Pour pouvoir corriger les erreurs, les signaux reproduits par le GPS doivent tre trs mal corrls entre eux et trs mal corrls avec une translation deux-mmes. Ainsi, toute corrlation trs proche de M va tre interprte comme le fait que le rcepteur a bien identifi le signal. Par contre, dans lexemple des deux signaux de 15 bits, sil y a une ou deux erreurs dans la transmission dun des signaux, il est difficile de le confondre avec lautre.

Le signal dun satellite est une suite de M chiffres, 0 et 1, et il est rpt priodiquement. On appelle ces chiffres des bits. Le rcepteur du GPS connat les signaux de chacun des satellites. Il gnre un signal et le compare au signal reu. Pour comparer deux fentres de M bits le rcepteur calcule le nombre de bits en accord moins le nombre de bits en dsaccord. Cette diffrence est appele corrlation entre les deux signaux. Comparons les deux signaux de 15 bits suivants :

Registre dcalageLes signaux sont gnrs par un registre dcalage (figure 1) qui fonctionne comme suit. Pour gnrer une suite {an}, on choisit dabord des nombres q0, ..., qr1 dans lensemble {0, 1}. On choisit ensuite les r premiers lments de la suite engendrer, soit {a0, ..., ar1}, o chaque ai {0,1} et on dtermine alors : ar = q0 a0 + ... + qr1 ar1 o laddition et la multiplication sont dfinies la figure 2 et sont appeles addition et mulitiplication modulo 2. Le registre enlve a0, dcale a1, ..., ar1 vers la droite et inscrit ar gauche. On itre le procd : si anr , ..., an1 sont les entres dans le registre, alors celui-ci calcule : an = q0 anr + ... + qr1 an1

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Leur corrlation est 1 car ils concident aux bits de mme couleur, soit sur 7 positions et diffrent aux 8 autres positions. Si la corrlation est M, soit le nombre total de bits, le rcepteur conclut que les deux signaux sont les mmes. Sinon, il translate le signal quil met et recalcule la corrlation. Il fait de mme avec tous les signaux des satellites et leurs translats jusqu ce quil trouve 4 translations des signaux de 4 satellites qui ont une corrlation de M avec 4 signaux quil gnre. Le rcepteur sait quel instant le cycle du signal de chaque satellite commence. Il sait de combien il a d translater le signal quil gnre pour trouver une corrlation gale M. Cest partir de cette translation quil mesure le temps de parcours du signal dun satellite jusqu lui.

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Toute la problmatique est donc de bien choisir q0, ..., qr1 et les a0, ..., ar1 pour obtenir des suites qui ont les proprits recherches, savoir tre mal corrles entre elles et mal corrles avec une translation delle-mme. Les registres dcalage bien initialiss peuvent produire des suites avec des proprits remarquables. Examinons le rsultat suivant.

Rsultat :Il existe des nombres q0, ..., qr1 et des conditions initiales a0, ..., ar1 tels que la suite {an} gnre par le registre dcalage est de priode exactement M = 2r 1 et tels que la corrlation de deux fentres de la suite de longueur M soit exactement 1 sauf si les deux fentres sont espaces dun nombre entier de priodes.Figure 1 : Un registre dcalage

Figure 2 : Oprations en binaire

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Signification du rsultat :

Le thorme affirme que le registre bien initialis va produire une suite priodique de priode impaire M = 2k 1. Deux fentres de longueur M diffrent sur exactement 2k-1 entres (sauf si elles sont dcales dun nombre entier de priodes). Cest un rsultat trs fort! Si M est grand, les chances sont en effet pratiquement nulles pour quon puisse confondre une suite avec une de ses translates. Quant la gnration de deux suites diffrentes attaches deux satellites diffrents, il nexiste pas encore de mthode aussi performante mais la recherche se poursuit. La preuve du rsultat fait appel aux corps finis; nous ne la prsenterons pas. Comment construit-on les nombres q0, ..., qr1 et les conditions initiales a0, ..., ar1 qui garantissent une suite trs mal corrle avec elle-mme? Nous allons expliquer les ides de la construction, sans toutefois donner la justification. Nous choisissons un polynme Q(x) = x r + qr1 x r1 + ... + q1 x q0 dont les coefficients, cest--dire les nombres q0, ..., qr1 , sont toujours, soit 0, soit 1. Sur {0, 1} nous introduisons laddition et la multiplication modulo 2. Nous avons donc les rgles daddition et de multiplication de la figure 2. La condition sur q0, ..., qr1 est que le polynme Q(x) soit irrductible, i.e. quil ne puisse se factoriser comme produit de deux polynmes de degr plus petit que r. Attention ! Dans la multiplication de deux polynmes on utilise toujours laddition et la multiplication dfinies la figure 2. Voyons quels sont les polynmes irrductibles de degr 1, 2, 3.

Polynmes de degr 2 :x2, x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1 Enlevons de ce groupe les polynmes rductibles, savoir : x.x = x2, x.(x + 1) = x2 + x, (x + 1).(x + 1) = x2 + x + x + 1 = x2 + x(1 + 1) + 1 = x2 + 1 Il ne reste plus que x2 + x + 1, qui est le seul polynme irrductible de degr 2.

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Polynmes de degr 3 :x3, x3 + 1, x3 + x, x3 + x + 1, x3 + x2, 3 + x2 + 1, x x3 + x2 + x, 3 + x2 + x + 1 x Enlevons de ce groupe les polynmes rductibles en tant un peu astucieux : si le polynme est un produit de deux polynmes de degr plus petit, ncessairement lun des deux est un polynme de degr 1, soit x ou x + 1. Si x divise le polynme celui-ci na pas de terme constant. Donc les polynmes x 3, x 3 + x, x 3 + x 2, x 3 + x 2 + x sont rductibles. Parmi les quatre polynmes restants on doit enlever ceux qui sont divisibles par x + 1. Mais x + 1 a pour racine 1 car 1 + 1 = 0. Donc les polynmes restants sont rductibles sils sannulent en x = 1. Cest le cas de x 3 + 1, x 3 + x 2 + x + 1. Il nous reste donc deux polynmes irrductibles de degr 3 : x 3 + x + 1 et x 3 + x2 + 1.

Polynmes de degr 1 :x, x+ 1 Ils sont tous deux irrductibles;

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Polynmes de degr suprieur :On peut utiliser un ordinateur pour nous aider les trouver. Dans le cas du polynme x 4 + x + 1 on vrifie facilement quil est irrductible car il ne sannule pas en 0 et 1, donc il na pas de facteur de degr 1, et il ne scrit pas comme (x2 + x + 1)2, la seule dcomposition possible en un produit de deux polynmes irrductibles de degr 2. Il faut maintenant choisir les a0, ..., ar1. Plusieurs suites conviennent dont la plus simple est la suite dont les r 1 premiers termes sont des 0 et le r e terme est 1 (figure 3).

Translation de 2 :

Cest comme si on avait envoy les deux premiers 0 la fin :

Ici encore la suite diffre en 8 positions de la suite initiale et concorde en 7 positions, soit une corrlation de 1. Pour calculer la corrlation avec les autres fentres on crit directement ces fentres en dessous de la premire fentre (figure 4). Dans chaque cas on vrifie que la corrlation entre chaque ligne et la premire ligne est 1. En fait, il se trouve que la corrlation entre deux lignes quelconques est galement 1. si lon regarde ce quon a fait on aurait pu utiliser chacune des fentres de longueur 4 de notre suite comme conditions initiales au lieu de a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 1, cest--dire nimporte quelle suite de longueur 4, sauf la suite 0, 0, 0, 0. Ceci est vrai en gnral et pas seulement dans notre exemple : cest une consquence du rsultat que nous venons de voir disant que la priode est exactement 2r 1.Remarque :

Figure 3 : Les conditions initiales.

Exemple :Regardons la suite gnre avec le polynme x 4 + x + 1, soit (q0, q1, q2, q3) = (1, 1, 0, 0) et les conditions initiales a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 1. Vous pouvez vrifier que ceci gnre la suite priodique de priode 15 = 24 1 :

Mme si nous gnrons une suite infinie nous ne regardons que des fentres de longueur 15. Nous allons maintenant faire les 14 translations de cette fentre et calculer la corrlation dans chaque cas.Translation de 1 :

Cest comme si on avait envoy le premier 0 la fin :

On voit que les deux fentres diffrent aux positions : 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 15, soit en 8 positions et concordent aux 7 positions restantes, soit une corrlation de 1, telle que prdite par le rsultat.

Figure 4 : Les suites obtenues par translation. Les bits de couleur rouge sont ceux en dsaccord avec la suite de la premire ligne.

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Apollonius de Perge, appel le grand gomtre a eu une influence marquante dans le dveloppement des mathmatiques grce surtout son ouvrage Coniques dans lequel il fait ltude des proprits gomtriques des courbes qui nous sont aujourdhui familires : la parabole, lellipse et lhyperbole. Louvrage dApollonius comportait 8 volumes dont seuls les 4 premiers ont t conservs dans le texte grec. Une version arabe des sept premiers volumes a galement t conserve. Les volumes 1 4 sont une introduction lmentaire aux proprits fondamentales des coniques qui taient connues des autres gomtres grecs. Dans les volumes 5 7, il prsente une tude plus originale sintressant, par exemple, la normale et la courbure dune conique.

ApolloniusdePerge

~262 ~190Vol.1 t automne 2006

LHyperboleAndrRoss Cgep de Lvis-Lauzon

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Cercle

Ellipse

Parabole

Hyperbole

Figure1:Les sections coniques dApollonius

Lhyperbole fait partie des courbes tudies par Apollonius de Perge. Ce sont le cercle, lellipse, la parabole et lhyperbole (figure1). On les appelle sections coniques, car ce sont toutes des figures obtenues en sectionnant un cne laide dun plan. Analytiquement (figure2), lhyperbole est la figure gomtrique forme par les points dont la diffrence des distances deux points fixes est constante. Les points fixes sont appels les foyers, la droite passant par les foyers est appele laxe focal et la droite perpendiculaire cet axe passant par le centre de lhyperbole (point milieu entre les sommets) est appele laxe conjugu.

Figure2: Proprit analytique de lhyperbole.

LHyperbole|AndrRoss Cgep de Lvis-Lauzon

TracerunehyperboleOn peut tracer une hyperbole laide dun crayon guid par une corde fixe lun des foyers F et lextrmit C dune rgle de longueur arbitraire pivotant autour de lautre foyer F '. La longueur de la corde doit tre gale mF 'C moins la distance entre les sommets A et B (figure 3). En conservant la corde tendue et en dplaant le crayon, la rgle pivote autour du foyer F ', la trace laisse par le crayon est une branche dhyperbole. On trace la seconde branche en conservant la mme longueur de corde et en faisant pivoter la rgle autour de lautre foyer.

UtilisationstechnologiquesLhyperbole a une proprit optique intressante, les droites qui joignent un point quelconque de lhyperbole aux foyers forment des angles gaux avec la tangente en ce point. Par consquent, si la surface dun rflecteur est engendre par la rvolution dune hyperbole autour de son axe conjugu, tous les rayons lumineux convergeant vers un foyer, quelle que soit leur provenance, sont rflchis lautre foyer. Cette proprit est utilise dans certains tlescopes en combinaison avec un rflecteur parabolique. La surface engendre par la rvolution dune hyperbole autour de son axe conjugu est un hyperbolode une nappe. Cest la forme des colonnes de refroidissement que lon retrouve dans les centrales nuclaires. La surface engendre par la rvolution dune hyperbole autour de son axe focal est un hyperbolode deux nappes. La diffrence de temps pour quun signal parvienne deux rcepteurs distincts est proportionnelle la diffrence des distances entre ces rcepteurs et la source du signal. Cette source est donc sur une branche dhyperbole dont les rcepteurs sont les foyers. En utilisant un troisime rcepteur avec lun des deux premiers, on obtient une deuxime branche dhyperbole et la source sonore est lintersection des deux branches dhyperboles. Cest la proprit utilise par Hydro-Qubec pour dtecter lendroit o la foudre frappe (voir page 4 de larticle O suis-je ? de Christiane Rousseau).

Figure3: Tracer une hyperbole avec une rgle et une corde.

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Figure4: Hyperbolodes.Rcepteur Source probable du signal sonore

Rcepteur

Figure5: Localisation de la source dun signal.

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.. 5 =. 0 7ice tr ula lc sans caLa calculatrice nest pas magique : ce quelle calcule, elle le fait en additionnant, soustrayant, multipliant et divisant. Comment calcule-t-elle une racine carre? Un peu comme nous, si on y pense bienQuelques jours plus tard ...Yannick :

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Frdric Gourdeau Universit Laval

Yannick et Annick, deux amis de longue date, parlent de leurs dernires lectures.Yannick :

Tu vois Annick, pour calculer la racine carre de 7, je constate quelle est entre 2 et 3.Annick :

DossierRacines

Je viens de lire une nouvelle dIsaac Asimov. Il invente un monde dans lequel les humains ne savent plus multiplier ou diviser, et encore moins extraire des racines carres : tout est fait par des machines depuis si longtemps que personne ne se souvient quil en a dj t autrement. Un modeste travailleur redcouvre comment multiplierAnnick :

videmment! 2 au carr est plus petit que 7, alors que 3 au carr est plus grand que 7. La racine est donc entre les deux. La racine carre est donc 2 virgule quelque chose.Yannick :

Nous on ne saurait pas, sans calculatrice, calculer la racine carre de 7? Ou la racine onzime de 1382? Ou encore le logarithme de 10 en base 3?Yannick :

On peut recommencer pour trouver le deuxime chiffre. On essaie 2,1 au carr, 2,2 au carr, et ainsi de suite, jusqu ce quon trouve que 2,6 au carr donne 6,76 et que 2,7 au carr donne 7,29. La racine carre est donc entre 2,6 et 2,7, et est donc 2,6 Et on poursuit, trouvant un chiffre la fois.Annick :

Cest un peu long, tu ne trouves pas?Yannick :

Pourtant, avant, les gens savaient comment faire. a mintrigue de savoir comment ils faisaient.

Oui, mais je peux trouver autant de dcimales que je veux. Je peux donc battre ma calculatrice qui ne me donne que 8 chiffres. Je peux en trouver dautres, ce qui avoue-le est assez impressionnant.

Racines sans calculatrice | Frdric Gourdeau Universit Laval

Annick :

Yannick :

Cest impressionnant, mais quand mme un peu long.Yannick :

Copyright

En pratique, je peux aller plus vite. Puisque 7 est plus proche de 9 = 32 que de 4 = 22, le nombre que je cherche est plus proche de 3 que de 2. Je peux donc essayer directement 2,62 = 6,76 et 2,72 = 7,29. En comparant les rsultats, je vois que la racine doit tre peu prs au milieu entre 2,6 et 2,7. Jessaie donc 2,652 = 7,0225. Cest un peu trop grand. Jessaie 2,642 = 6,9696. Tu vois on se rapproche quand mme assez vite.Annick :

Je me suis fait la mme remarque. Jai mme pris la peine de construire un rectangle dont la hauteur est 2 et la base est 7/2. Cest l que jai eu lintuition qui ma permis de trouver la mthode.Annick :

/Corbis

Images.com

Je ne comprends pas! On voit trs bien que ta figure nest pas un carr.Yannick :

Cest vrai! Mais, pourrais-tu dcrire ta dmarche de faon gnrale? Donner une procdure quon pourrait appliquer sans se demander chaque fois quest-ce que je dois faire maintenant? Jai limpression que ce serait plus simple.

est Et alors?

, je trouve

.

Annick : Yannick :

Yannick reste proccup par la question dAnnick. Le temps fait son uvre...Yannick :

Eureka!Annick :

En refaisant mon dessin, jai constat que je mapprochais de la vraie valeur. La hauteur de mon rectangle tait maintenant 11/4 = 2,75 et sa base tait 28/11 = 2,5454... Jai alors pens refaire la mme chose et jai trouv 233/88 comme moyenne. En prenant cette valeur comme hauteur ma base est . Je calcule encore la moyenne et je trouve . En vrifiant avec ma calculatrice, je constate que cela donne 2,645752 alors que la racine carre de 7 est 2,645751Annick :

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Eureka! Tu as trouv quoi?Yannick :

Une faon plus gnrale de traiter le problme.Annick :

Explique-moi a.Yannick :

Jai remarqu que si n est la racine carre de 7, alors on doit avoir n n = 7. Par consquent, je peux crire n = 7/n.Annick :

Et puis aprs quoi a sert si tu nas pas la racine?Yannick :

Wow! Maintenant je suis impressionne, tu as eu les cinq premires dcimales avec seulement trois calculs.Yannick :

a me permet dcrire 2 7/2 = 7.Annick :

La belle affaire, 2 nest pas gal 7/2, ce qui serait le cas si tu avais trouv une racine.

Et si je calcule une autre moyenne, jai les 10 premires dcimales correctes, ce que ma calculatrice ne peut me donner.Annick :

Vraiment impressionnant! Flicitations.

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Je me suis rappel que la moyenne de deux nombres est un nombre compris entre les deux. Jai donc pens quen calculant cette moyenne et en lutilisant comme hauteur, mon rectangle serait plus proche dun carr. Puisque la moyenne de deux nombres a et b

DossierRacinesAnnick : Yannick :

Essayons daller plus loin. Est-ce quon pourrait calculer nimporte quelle racine, , par exemple.Yannick :

Bonne ide! Si je prends une moyenne pondre, soit la moyenne de quatre fois le nombre 2 et une fois le nombre , jobtiens , ce qui donne 99/40 = 2,475.Annick :

Si je prends 2 comme premire approximation de , je peux crire :

Appliquons la mthode deux fois de plus pour voir. Donc, la vraie valeur de est entre 2 et doitYannick :

car, comme 2 est trop petit, tre trop grand pour compenser.Vol.1 t automne 2006

En appliquant la mthode deux fois de plus, jobtiens 2,33911.Annick :

Maintenant, si je fais la moyenne entre 2 et 70/16, a me donne une meilleure valeur, mais ce nest pas assez proche, jobtiens une trop grande valeur. Pourquoi ?Annick :

Vrifions avec la calculatrice... Fameux! La calculatrice donne 2,33894... Le rsultat est prcis au millime prs.Yannick :

On peut donc calculer toutes les racines!

Tu as quatre fois le nombre 2 dans le produit . Le nombre doit tre beaucoup trop grand. Il faut que tu ajustes ta moyenne.

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Une mthode par rcurrence, ou Newton la rescousseOn peut reformuler la mthode de Yannick ainsi : soit a0 une approximation de la racine carre de N. Alors, la suite dfinie par :f(x)

converge vers la racine carre de N. Cette formule est connue depuis fort longtemps. On peut la retrouver partir de la mthode de Newton, qui est utilise pour trouver les zros de certaines fonctions et qui fonctionne ainsi : Soit f (x) une fonction et a une approximation de lun de ses zros. Alors, on voit sur la premire figure ci-contre quune meilleure approximation est donne par b. Sur la figure, on voit que f(a)/(b a) est la valeur de la pente de la tangente la courbe au point dabscisse a, ce qui est donn par la drive f '(a). Pour extraire la racine carre de N en utilisant cette mthode, on prend f(x) = N x 2 puisque trouver une racine de f (x) revient alors trouver la racine carre de N. La courbe de la fonction f(x) = N x 2 est reprsente ci-contre.

b

a

x

Racines sans calculatrice | Frdric Gourdeau Universit Laval

Et les logarithmes!En poursuivant leurs recherches, les deux amis ont russi dterminer une mthode pour calculer le logarithme dun nombre. Ils ont constat quen crivant : = 1,73205808, ils crivent en fait que : log31,73205808 = 1/2 Alors, en faisant un tableau avec les racines successives de 3, ils peuvent calculer les logarithmes en base 3! Peut-tre saurez-vous retrouver leur mthode?

Un truc approximatif?Les calculs de Yannick ne donnent pas la rponse exacte, puisquon na pas obtenu la racine voulue exactement. Cependant, la racine dun nombre peut avoir un dveloppement dcimal illimit et la valeur exacte est donc souvent inatteignable. En revanche, on peut lobtenir aussi prcisment que lon veut. Cest dj mieux que la calculatrice, qui ne donne souvent quune approximation huit dcimales. De plus, on peut utiliser la mthode de Yannick pour amliorer le rsultat de la calculatrice : en effet, si r est une approximation de la racine carre de N, alors la moyenne de r et N/r est une meilleure approximation.

La mthode itrative trouve par Yannick pour le calcul de la racine carre est proche de ce qui est fait par les calculatrices. Cependant, la calculatrice doit pouvoir trouver une bonne valeur initiale pour amorcer la mthode itrative. Pour faire cela efficacement, lalgorithme de calcul utilis ramne le calcul dune racine carre dun nombre quelconque celui de la racine carre dun nombre compris dans un petit intervalle : montrons comment faire pour lintervalle [1/4, 1]. Pour , puisque 22 < 7 < 24, on a : , et il suffit donc de pouvoir bien calculer la racine carre de 7/16 (qui est bien un nombre entre 1/4 et 1). Ici, une bonne valeur initiale est donne par : a + b 7/16, o a = 0,42578 et b = 0,57422. Cette formule donne de bons rsultats pour tous les nombres entre 1/4 et 1 (en remplaant 7/16 par le nombre en question). Essayez en itrant 4 fois et vous serez plus prcis que bien des calculatrices !

Isaac Newton1643-1727Isaac Newton est n Whoolsthorpe prs de Grantham dans le Lincolnshire. Orphelin de pre ds sa naissance, il fut lev par sa grand-mre, sa mre stant remarie avec un fermier dun village voisin o elle sinstalla. la mort de son beau-pre, en 1656, sa mre le retira de lcole pour aider la ferme. Un de ses oncles insista alors pour quil poursuive ses tudes et frquente luniversit. Il entra au Trinity College de Cambridge en juin 1661. Cambridge, il tudia les travaux de Descartes, Gassendi et Boyle. Il tudia galement lalgbre et la gomtrie analytique dveloppes par Vite, Descartes et Wallis. Il sintressa la mcanique et lastronomie copernicienne partir des ouvrages de Galile. Durant lpidmie de peste de 1665, luniversit ferma ses portes et Newton retourna dans le Lincolnshire. Pendant les deux annes qui suivirent, alors quil navait pas encore vingt-cinq ans, il entreprit des recherches avances en mathmatiques, en optique, en physique et en astronomie. Pendant ce sjour, il posa les fondements du calcul diffrentiel et intgral.

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Et les calculatrices

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Extraire une racine carre, cest videmment faire de larithmtique. Dailleurs, Descartes (15961650) en parlait comme de la cinquime opration arithmtique. Mais lextraction de racine carre, tout arithmtique quelle soit, peut aussi se voir sous un jour gomtrique la fois simple et parlant.Bernard R. Hodgson Universit Laval

Extraction dune racine dans un carr

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Une mthode connue mille ans avant Pythagore!

De tout temps, on a eu besoin dextraire des racines carres. Un tel problme, il va presque de soi, est gomtrique dans sa nature mme : extraire une racine carre revient tout bonnement, comme cette appellation le suggre dailleurs, trouver le ct dun carr daire donne. Mais les mthodes dveloppes au fil des ges pour calculer des racines carres ont souvent eu pour effet dinsister sur les manipulations arithmtiques, camouflant ainsi les aspects gomtriques. Et pourtant il y a beaucoup retirer de la recherche dune racine carre dans un carr ! Prenons le cas des Msopotamiens de lAntiquit. Ils utilisaient diverses techniques pour calculer des racines carres. Par exemple, ils avaient leur disposition de nombreuses tablettes dargile rpertoriant des nombres levs au carr, ainsi que des tablettes de racines carres : en parcourant de telles tablettes, ils pouvaient se faire une bonne ide de la valeur de diverses racines carres. Mais lune des mthodes dextraction de racine carre vraisemblablement utilise par les Msopotamiens tait de nature gomtrique. Mme si elle na pu tre observe comme telle dans des documents datant de cette poque, lapproche suivante est, aux dires des experts, tout fait dans lesprit des mathmatiques msopotamiennes.

DossierRacines

Supposons, pour illustrer la dmarche, que lon veuille calculer . Gomtriquement parlant, cette extraction de racine revient rechercher le ct dun carr daire 7. On peut procder en traant dabord dans ce carr un grand carr de ct connu. (La recherche dune longueur convenable pour le ct dun tel carr est en loccurrence bien sr banale, mais dans le cas dun gros

Extraction dune racine dans un carrr | Bernard R. Hodgson Universit Laval

Regardons la rgion en forme de L invers (vers la gauche) entourant le carr de ct 2. Appelant c la largeur dune patte de ce L (cest--dire en posant ), on remarque que cette rgion peut tre partage en trois morceaux : deux rectangles de cts 2 et c, plus un petit carr de ct c. On a donc : 2(2c) + c2 = 7 4 = 3. Afin de simplifier la discussion, on peut oublier le carr de ct c aprs tout ce carr semble petit lorsquon le compare aux autres morceaux formant le carr daire 7. On obtient ainsi lapproximation : 2(2c) 3, cest--dire c 3/4. Une meilleure valeur approche de est donc donne par : 2 + 3/4 = 11/4. Peut-tre lapproximation 11/4 suffitelle quant la prcision dsire. Mais si tel nest pas le cas, on peut poursuivre le calcul, partir cette fois de la valeur que nous venons tout juste dobtenir qui est certes plus prs de que la valeur initiale 2. Cependant, , de sorte que le carr de ct 11/4 ne peut pas tre inclus dans le carr daire 7. Il faut donc adapter le raisonnement prcdent. Pour trouver une meilleure estimation, il faut soustraire de 11/4 le ct d de la nouvelle rgion en L invers. Or, comme on le voit sur la figure ci-contre,17

Copyright Archivo Iconografico, S. A./ Corbis Homage to the Square, Josef Albers.

nombre tel , on pourrait, comme les Msopotamiens, utiliser une table de nombres levs au carr.) Ici, comme 22 < 7 et 32 > 7, on peut prendre 2 comme longueur du ct du carr inclus dans celui de dpart. On obtient ainsi un carr de ct 2 (et donc daire 4) contenu dans le carr daire 7. Mais 2 constitue une approximation plutt grossire de . Comment faire pour amliorer la situation?

(en prenant les deux rectangles de cts 11/4 et d, on se trouve compter deux fois le carr de ct d). Ngligeant d 2, on obtient : . On trouve alors d 9/88 et la nouvelle estimation de est : .

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DossierRacinesVous voulez une meilleure prcision? Il sagit dappliquer encore une fois la mthode, mais cette fois partir de 233/88 comme longueur du ct. Vous trouverez ainsi comme nouvelle valeur approximative : . noter que les approximations successives 11/4, 233/88 et 108497/41008 ont respectivement comme valeurs 2,75, 2,647727, 2,645752, qui se rapprochent joliment vite de =2,645751...!Vol.1 t automne 2006

manipulations algbriques nappartiennent videmment pas au savoir msopotamien, puisquelles nont t introduites que plus de deux millnaires ultrieurement! Cette formule msopotamienne se transforme ainsi aisment en : . La mthode gomtrique prcdente pour lextraction de revient donc, arithmtiquement parlant, au calcul de la moyenne des deux nombres a et k/a. Cela ne vous rappelle-t-il pas quelque chose?1

Et pour

? Des approximants pris en sandwichAllons-y dune petite mise au point quant la faon dont salignent la queue leu leu les approximants obtenus par la mthode msopotamienne. Supposons donc que dans le calcul de la racine carre de k, nous obtenons des approximations successives a, a, a, etc. La valeur a tant choisie arbitrairement, on a alors, comme prcdemment, , etc. Notons tout dabord qu lexception peut-tre de a, toutes les approximations sont forcment suprieures . On peut vrifier ce fait en revenant la formule msopotamienne . Par exemple, dans le cas de lapproximation a, on a : . Considrant la diffrence a2 k, on trouve : . Cela montre bien que a > ; en effet a2 k est positif, puisque le numrateur et le dnominateur de la dernire fraction sont tous deux positifs ce sont deux carrs! Observons quon a alors k/a < , puisque le produit de k/a et de a est k lorsquun

Reprenons le raisonnement dans le cas gnral du calcul de . Nous nous plaons dans le cas o nous partons dune approximation par excs, cest--dire a > , et posons c = a . Le carr de ct a peut donc tre vu comme contenant le carr daire k. Encore une fois, la rgion en forme de L invers ainsi dtermine se partage en deux rectangles a par c et un petit carr de ct c. Ngligeant ce petit carr, on obtient lapproximation 2ac a2 k, cest--dire : . Une meilleure valeur de (par rapport la valeur de dpart a) est alors obtenue en prenant pour approximation de a c la quantit . Ainsi, revenant lapproximation de partir de 11/4, on retrouve comme nouvelle valeur : .

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Lexpression

que nous venons

dobtenir gagnerait sans doute tre simplifie notons cependant que de telles1

Voir le texte de Frdric Gourdeau figurant aux pages 12 15 de ce numro dAccromath.

Extraction dune racine dans un carrr | Bernard R. Hodgson Universit Laval

nombre scrit sous forme de deux facteurs distincts, ceux-ci sont de part et dautre de sa racine carre. Mais alors a est forcment situ entre k/a et a, puisquil sagit de la moyenne arithmtique de ces deux nombres. Et comme a, lapproximant a est suprieur . Les approximations successives rsultant dun a quelconque (plus petit ou plus grand que ) sont donc ordonnes comme suit : a > a > ... > convergeant rapidement vers , .

Pourquoi dit-on : extraire une racine ?Lexpression extraire la racine provient dune analogie avec la botanique. La racine dune plante est la partie cache qui pousse linverse de la tige. Il faut creuser pour lextraire. De mme, la racine dun nombre est une valeur cache laquelle on na pas accs directement. Pour extraire la racine dun nombre, il faut se creuser les mninges . La racine dun nombre est dsigne en reprsentant celui-ci sous un radical. Le nom radical vient du latin radix qui signifie racine. On utilise aussi le mot racine pour reprsenter la solution dune quation, cette solution tant galement une valeur cache quil faut trouver en rsolvant lquation.Vol.1 t automne 2006

Civilisation msopotamienneLa civilisation msopotamienne a fleuri compter du 3e millnaire av. J.-C. dans la rgion correspondant lactuel Irak une de ses villes importantes tait Babylone, la Babel de la Bible. Cest partir du 19e sicle, lorsquon a mis au jour de nombreuses tablettes jusque l gares, quon a pu mieux connatre lapport de cette civilisation aux mathmatiques. Les Msopotamiens utilisaient un systme de numration de base soixante, ce qui se reflte encore aujourdhui dans notre division des heures et des minutes. Ils possdaient des techniques de rsolution dquations quadratiques et une de leur tablette (connue sous le sympathique vocable Plimpton 322 ) renferme une liste de nombres satisfaisant la relation de Pythagore a2 + b2 = c2 plus dun millnaire avant la naissance de Pythagore! Les premires socits agraires ont vu le jour dans la rgion appele Croissant fertile . Les populations pouvaient sy nourrir sans avoir se dplacer au gr des saisons. Cest une rgion o poussaient le bl et lorge sauvages, grce des prcipitations annuelles suprieures 200 mm de pluie, et o il y avait beaucoup de moutons et de chvres sauvages. Pour grer et rpartir les biens, faire du commerce avec les voisins, compiler les observations et faire les prvisions en astronomie, il a fallu dvelopper un systme de numration assez volu. Cest donc aux abords du Croissant fertile que sest dveloppe la civilisation msopotamienne, entre deux fleuves, le Tigre et lEuphrate. Le mot Msopotamie indique dailleurs cette situation gographique, car il drive du grec mso qui signifie au milieu et potamos , fleuve. Certains racontent cet gard que les poules de Msopotamie prouveraient des problmes de ponte, puisquelles voient le tigre... et loeuf rate!

19Tablette Cuneiform 322 communment appele Plimpton 322, don de George-Arthur Plimpton, Rare Book and Manuscript Library, Columbia University Carte du Proche-Orient, le Croissant fertile (noms modernes en italique)

Qui ne possde pas une carte avec un code-barre ou une srie de chiffres sur celle-ci ? Avez-vous dj remarqu les chiffres sous les codes-barres larrire des livres que vous achetez ou sur les produits lpicerie ?Vol.1 t automne 2006

Codes numriques | Codes-barresJocelyn Dagenais Commission scolaire Marie-Victorin

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Les codes-barres sont lus par les numriseurs et les chiffres par les humains. Les cartes de crdit aussi contiennent des chiffres, seize en fait. Lorsque vous faites des achats sur Internet et que vous entrez votre numro de carte, si vous faites une erreur en entrant les chiffres on vous dira que le numro de la carte nest pas valide. Ces chiffres ont une fonction bien spcifique: ils servent vrifier la validit du code du produit ou si lon veut ils servent de code de dtection derreur. Que ce soit pour une carte dassurance sociale, pour un code UPC (Universal Product Code) ou pour un numro ISBN (International Standard Book Number), nous retrouvons une application simple des mathmatiques tout fait fascinante.

nous aider lire les nombres. Cependant, la position des chiffres est dune importance primordiale. Voyons avec lexemple suivant :

En crivant en bleu les chiffres occupant des positions impaires partir de la droite et en rouge celles occupant des positions paires .

Les cartes dassurance sociale(et certaines cartes de crdit)

Au Canada, chaque personne est identifie par le gouvernement. La mthode utilise pour nos cartes dassurance sociale et certaines cartes de crdit a t dveloppe par IBM. Pour la validation, la plupart des modles de dtection derreur utilisent ce quon appelle un chiffre-cl, souvent situ lextrmit droite de la srie de chiffres. Les autres chiffres sont appels chiffres dinformation et peuvent tre choisis au hasard mais le chiffre-cl, lui, est calcul . De plus, les espaces nont aucune valeur, ils servent seulement

En additionnant les nombres en bleu, on obtient :

Codes numriques | Codes-barres | Jocelyn Dagenais Commission scolaire Marie-Victorin

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Comment calculer le chiffre-cl ?Le procd de validation nous indique comment le chiffre-cl est calcul. Avec un peu dalgbre et en remplaant le chiffre-cl par x dans les calculs, nous pouvons rsoudre une simple quation en x. Par exemple, supposons que la suite des chiffres dinformation de votre carte dassurance sociale soit 22501008. Alors, votre numro dassurance sociale serait :

En multipliant par 2 chacun des chiffres occupant une position paire, on obtient :

En additionnant les chiffres qui composent ces produits, on obtient :

Pour que 19 + x soit divisible par 10, le chiffre x doit tre 1 et le numro dassurance sociale doit tre :

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Le numro dassurance sociale est valide si le rsultat est divisible par 10. Dans cet exemple, 40 est divisible par 10, le numro est valide.

Copyright William Whitehurst/Corbis

En additionnant les deux rsultats :

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et x est calcul comme suit.

Efficacit de la dtection derreurLes deux erreurs les plus communes lors de lentre des chiffres sont : lentre incorrecte dun des chiffres; linversion de deux chiffres qui se suivent. Il nexiste aucune mthode qui puisse dtecter toutes les erreurs, mais une mthode de dtection efficace doit tre capable de reprer les erreurs les plus courantes. La mthode dIBM peut dtecter si un seul chiffre a t chang, mme lorsquil sagit du chiffre-cl.Vol.1 t automne 2006

ont t inverss, il peut en dtecter quand mme. Cette mthode dtecte si deux chiffres ont t inverss lorsque les deux chiffres ne sont pas 0 et 9. (Pourriez-vous dterminer pourquoi? Voir la section problmes).

Les codes UPCQue veut dire UPC ? En anglais a signifie Universal Product Code , cest--dire, Code Universel de Produit (CUP). Ce code a t utilis pour la premire fois en 1973. Il existe plusieurs versions de codes UPC dont les plus communs sont le code UPC douze caractres de type A et celui huit caractres de type E. Voici un exemple de code UPC :

Afin dillustrer cette mthode, vrifions la carte de crdit ci-contre. En remplaant le chiffre 7 par x, nous obtenons le numro de carte :

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La position du nombre x signifie quil doit tre multipli par 2 lors du procd de validation. Selon la valeur de x, le nombre 2x pourrait tre compos dun ou de deux chiffres. Considrons les deux cas sparment. a) si 0 < x < 5 (alors 2x est compos dun seul chiffre). En appliquant le procd IBM, la somme finale est 45 + 2x. Peu importe la valeur de x, il nest pas divisible par 10 et alors une erreur est dtecte. b) si 5 < x < 9 (alors 2x est compos de deux chiffres). Les deux chiffres composant x sont 1 et 2x-10. En appliquant le procd, la somme finale est 36 + 2x. Puisque x 7 et que 5 < x < 9, le rsultat ne peut pas tre divisible par 10. Une erreur est dtecte. Le procd dIBM est trs efficace pour dtecter une erreur si un seul chiffre est entr incorrectement. Mme sil nest pas totalement efficace pour dtecter si deux chiffres

Le code UPC de type A est compos de douze chiffres. Le premier chiffre gauche indique le type dUPC. Les cinq chiffres du premier groupe reprsentent le code du fabricant tandis que les cinq qui suivent reprsentent le code produit assign par le fabricant. Le chiffre final est le chiffre-cl. On peut dterminer le chiffre-cl en faisant les oprations suivantes : En additionnant les chiffres en position impaire, sauf le chiffre-cl, et en multipliant le rsultat par 3, on obtient 57. En additionnant les chiffres en position paire, on obtient 17. La somme de ces rsultats est : 17 + 57 = 74.

On trouve un applet java qui permet de vrifier directement un numro de carte dassurance sociale ladresse suivante : http://www. cs.queensu.ca/home/ bradbury/checkdigit/ sincheck.htm

Codes numriques | Codes-barres | Jocelyn Dagenais Commission scolaire Marie-Victorin

Multiple de 10 suprieur la somme moins la somme donne le chiffre-cl

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Les codes ISBNLes lettres ISBN constituent lacronyme de International Standard Book Number (Numro International Standardis du Livre). Tel quexpliqu sur le site de la Bibliothque nationale du Qubec : Le numro ISBN se prsente, par exemple, sous la forme suivante : ISBN 2-89037-262-6 Il est toujours compos de dix chiffres rpartis en quatre segments de longueur variable et spars par un tiret : le premier segment indique le groupe national, linguistique, gographique ou autre. Le code 2 , par exemple, identifie les diteurs francophones. Ce segment dsigne le groupe linguistique auquel appartient lditeur et non pas la langue dans laquelle le livre est publi; le second segment identifie lditeur du document : sa longueur varie en fonction du nombre douvrages publis par lditeur; le troisime segment numrote le document parmi les publications de lditeur : sa longueur est dtermine en fonction de la longueur des deux premiers segments; le quatrime segment est un chiffre de contrle permettant de vrifier automatiquement par ordinateur la validit de lISBN. Ce chiffre est le rsultat dune opration mathmatique. Il peut arriver que ce dernier soit un X au lieu dun chiffre. Cest lquivalent romain du chiffre 10 et il faut crire X. 11. Voir http://www.banq.qc.ca/portal/dt/a_propos_banq/nos_ publications/nos_publications_a_z/t0174.jsp#B

En multipliant les neuf premiers chiffres par leur rang respectif et en effectuant la somme, on obtient :

ISBN23La section de cet article traitant des cartes dassurance sociale est une traduction dune partie de larticle Weve got your number de Ted Lewis paru dans la revue in the Sky de juin 2001. Par ailleurs, une version de cet article est parue dans la revue Envol.Vol.1 t automne 2006

On obtient le chiffre-cl en soustrayant ce rsultat du multiple de 10 suprieur la somme obtenue. On trouve donc 6 comme chiffre-cl.

Pour vrifier un code ISBN, on multiplie chaque chiffre, sauf le dernier, par son rang et on fait la somme de ces produits. Le chiffre-cl est le reste aprs division de cette somme par 11. Pour illustrer cette procdure, considrons le livre Panoram@th, Manuel A Volume 2, de Richard Cadieux, Isabelle Gendron et Antoine Ledoux aux ditions CEC. Le numro de cet ouvrage est : 2-7617-2138-1.

En divisant cette somme par 11, on obtient : 188 = 11 17 reste 1 Le numro ISBN est valide puisque le reste est gal au chiffre-cl. Comme ces quelques exemples lindiquent, on trouve des mathmatiques simples dans plusieurs des applications techniques qui nous entourent.

Quont en commun un flocon de neige, la structure des galaxies et un chou-fleur? La rponse rside dans leur forme gomtrique.

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Josiane Lajoie UQTR

Les FractOn ne peut pas dcrire un chou-fleur, un flocon de neige ou une galaxie par des figures simples comme un cercle, un carr, ni mme par un polygone quelconque. Ils sont beaucoup trop irrguliers et ce, dans leurs moindres dtails. En fait, la majorit des structures qui nous entourent, prsente cette mme caractristique : la forme dun sapin est beaucoup plus complexe que celle dun cne, mme la surface dun objet rgulier en apparence, comme une table, nest pas vraiment lisse si on la regarde de prs. Tous ces lments font partie dun nouvel ensemble de figures gomtriques appeles fractales . Bien que ce mot nait t invent par Benot Mandelbrot que dans les annes 70, les lments soutenant cette nouvelle branche des mathmatiques se sont mis en place depuis bien plus longtemps. Pour mieux comprendre le concept, il est utile dexplorer les principales images fractales cres par les mathmaticiens au fil du temps et dobserver le rle des fractales dans notre environnement.

La baderne dApollonius

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La premire image fractale retrouve dans la littrature nous vient dApollonius de Perge et remonte trois sicles avant J.-C. Sa construction consiste prendre un triangle curviligne (dont les cts sont des arcs de cercles) et y inscrire un cercle. Cette tape cre trois nouveaux triangles curvilignes dans chacun desquels on peut inscrire un autre cercle. En continuant ce procd jusqu linfini, on trouve une image appele baderne dApollonius (ou tamis Apollonien).

DossierFractales

Figure 1 : Une baderne dApollonius. Le terme baderne a t propos comme traduction franaise du mot gasket . Relatif la marine, il signifie une grosse tresse de vieux cordages servant amortir les chocs.

Les Fractales | Josiane Lajoie UQTR

Flocon de neige : Copyright Ken Libbrecht. Galaxie NASA

Variations sur lensemble de CantorIl y a plusieurs variantes de lensemble de Cantor. Ainsi, en substituant chaque segment retranch une sphre de diamtre gal au segment, on obtient le collier de Cantor .

Lensemble de Cantor

En 1883, Cantor publie son fameux ensemble triadique (ou poussires de Cantor). Pour construire lensemble, il prend lintervalle [0,1] et retire le tiers central en conservant les extrmits. Ensuite, il enlve le tiers central de chacun des nouveaux segments et ce, indfiniment. Le rsultat troublait lpoque puisquil sagit dun exemple dun ensemble qui contient une quantit non-dnombrable de points mais dont la mesure est nulle.0 1/3 1/9 2/9 1/3 2/3 2/3 7/9 8/9 1

On peut galement considrer un triangle quilatral, un carr, ou tout autre polygone rgulier de ct unitaire, diviser chaque ct en trois parties gales, relier les points de division et enlever les parties centrales. La figure ci-contre illustre le rsultat aprs avoir appliqu la procdure trois fois un triangle quilatral. En poursuivant le processus linfini, chacune des poussires contient limage du tout.

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Georg Cantor1845-1918 Georg Cantor est n St-Petersbourg en Russie o il frquenta lcole primaire. La sant fragile de son pre conduisit la famille, en qute dun climat moins rude, migrer en Allemagne en 1856. Cantor y fit ses tudes secondaires. Aprs des tudes en mathmatiques, il obtint son doctorat de luniversit de Berlin en 1867 et dbuta sa carrire de professeur dans cette mme ville. En 1872, il commena correspondre avec Richard Dedekind quil avait rencontr lors dun sjour en Suisse. En 1873, il a dmontr que lensemble des nombres rationnels est dnombrable et en 1874 que celui des nombres rels nest pas dnombrable. Le 5 janvier 1874, il crivit Dedekind pour lui expliquer comment il avait dfini une fonction faisant correspondre chaque point dun segment de droite unitaire, un et un seul point du carr de ct unitaire. Cantor est clbre pour sa thorie des ensembles, sa thorie des infinis et sa construction des nombres rels.

0 0

1 1

Figure 2 : Lensemble de Cantor

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tales

Figure 3 : Le collier de Cantor

DossierFractalesLa courbe de Peano la fin des annes 1800, Peano et Hilbert construisirent presque simultanment une courbe qui remplit un carr. La construction de Peano la plus connue consiste prendre un carr et y tracer une diagonale. Pour raliser la deuxime tape, on subdivise le carr initial en neuf carrs congrus et on parcourt tous les carrs en passant par une de leurs diagonales dun seul trait de crayon tel quillustr la figure 4. On reprend ensuite chacun des petits carrs quon subdivise nouveau et on y trace le mme parcours. Le carr est entirement recouvert lorsque le processus itratif tend linfini. Cette construction a remis en question la dfinition du concept de dimension puisquil devenait ainsi possible de se reprer lintrieur du carr laide dun seul paramtre !

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Figure 4 : Construction de la courbe de Peano. Les flches indiquent le sens du parcours.

Giuseppe Peano1858-1932 Giuseppe Peano, mathmaticien italien, a publi en 1889 ses axiomes dfinissant les nombres naturels comme un ensemble.

La courbe de von Koch

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En 1890, il inventa une courbe continue qui remplissait une surface. En 1891, il a fond une revue Rivista di matematica ddie la logique et aux fondements des mathmatiques. Peano est un des fondateurs de la logique mathmatique, mais cest le mathmaticien allemand Gottlob Frege qui est considr comme le pre de cette discipline.

La courbe de Peano, comme toutes les autres courbes fractales, a donn lieu diverses variations. On peut en visualiser quelques-unes aux adresses suivantes ou en faisant une recherche courbe de Peano sur Google. On peut faire une recherche pour chacune des courbes prsentes dans larticle.http://www.mathcurve.com/fractals/peano/peano.shtml http://www.mathcurve.com/fractals/peano/peanogeneralisee.shtml

Figure 5 : Construction de la courbe de von Koch. Les segments pointills montrent que la tangente nexiste pas, car elle est diffrente si on approche par la gauche ou par la droite. Voir tangente une courbe, page suivante.

En 1904, von Koch proposa une construction extrmement simple aboutissant une courbe continue (on peut la tracer sans lever le crayon) mais qui na pas de tangente. Pour y arriver, on prend un segment de longueur 1 et on remplace son tiers central par un pic form de deux segments de longueur 1/3. Au sommet, on ne peut pas trouver de tangente. Les deux points o a eu lieu la greffe nadmettent pas de tangente non plus. On refait le mme processus pour chacun des quatre nouveaux segments et ainsi de suite. linfini, on obtient une courbe exclusivement forme de pics qui, on le sait, nadmettent pas de tangente.

Les Fractales | Josiane Lajoie UQTR

Tangente une courbeLe point Q sapproche du point P par la droite.

Q

n ca P S

te

Helge von Koch1870-1924 Le mathmaticien sudois Helge von Koch, publia en 1906 un article intitul Une mthode gomtrique lmentaire pour ltude de certaines questions de la thorie des courbes planes. Il y prsente la mthode de construction de la courbe qui porte son nom. Cette courbe construite sur les cts dun triangle quilatral donne le flocondevonKoch dont le primtre est infini et dont la surface comprise est finie.Vol.1 t automne 2006

Tange nQS

te

Le point Q sapproche du point P par la gauche.

can

te

P

Tange n

te

Lorsque le point Q se rapproche du point P, la scante PQ pivote autour du point P. Si la droite obtenue est la mme que cette approche soit par la droite ou par la gauche, la droite obtenue est la tangente la courbe au point P. Lorsque la courbe fait une pointe (voir courbe de von Koch), la tangente la pointe nest pas dfinie car la position limite nest pas la mme selon que le point Q sapproche par la droite ou par la gauche.

Von Koch est galement lauteur darticles sur la thorie des nombres, en particulier sur les nombres premiers : Sur la distribution des nombres premiers en 1901 et Contribution la thorie des nombres premiers en 1910.

Le tamis de SierpinskiOn ne peut passer sous silence le tamis (ou triangle ou tapis) de Sierpinski, cr en 1915. Cette construction consiste prendre un triangle plein quelconque et de lui retirer le triangle form par les points milieux de ses trois cts. Pour chacun des trois triangles ainsi forms, on retire le triangle central de la mme faon et on poursuit le procd jusqu linfini. Notons que ce mme processus peut tre gnralis tous les polygones convexes rguliers.

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Wacaw Sierpinski1882-1929 Wacaw Sierpinski est un mathmaticien polonais. En 1907, il prit connaissance dun thorme selon lequel il est possible de situer un point du plan en utilisant une seule coordonne. Intrigu, il crivit un collgue pour lui demander comment cela tait possible. Pour toute rponse, il reut le nom Cantor . Il se consacra alors la thorie des ensembles, sujet sur lequel il donna sa premire confrence en 1909. En 1910, il publia un ouvrage sur la thorie des nombres irrationnels et en 1912 sur la thorie des ensembles et sur la thorie des nombres. sa naissance, la Pologne tait occupe par la Russie qui voulait imposer sa langue et sa culture au pays et maintenir la population conquise dans lanalphabtisme. Les quelques tudiants polonais admis luniversit devaient suivre des cours de russe quils se faisaient un point dhonneur dchouer. Menac de ne pas recevoir de diplme sil ne russissait pas un cours de rcupration, Sierpinski fit remarquer quil avait eu dexcellentes notes dans tous ses cours et quil avait gagn la mdaille dor un concours organis par luniversit sur la thorie des nombres. Luniversit neut dautre choix que de lui dcerner un diplme.

Figure 6 : Construction du tamis (ou triangle) de Sierpinski.

DossierFractalesBenoit Mandelbrot1924Benoit Mandelbrot est un mathmaticien dorigine polonaise n Varsovie. Ses parents migrrent en France en 1936. Son oncle qui tait professeur de mathmatiques au Collge de France soccupa de son ducation. Il fut admis lcole Polytehnique en 1944 et aprs avoir gradu, il visita le California Institute of Technology (CalTech) et lInstitute for Advanced Study Princeton. Il retourna en France en 1955 pour travailler au Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS). En dsaccord avec lapproche de lcole Bourbaki, il retourna aux tats-Unis o il travailla pour IBM. laide des ordinateurs sa disposition, il a pu montrer que les travaux de Gaston Maurice Julia (1893-1978) constituaient une source des plus belles images fractales. Pour y parvenir, il a d dvelopper de nouvelles ides mathmatiques et quelques-uns des premiers programmes informatiques pour imprimer des graphiques.

Lmergence de la gomtrie fractaleAvec toutes ces figures aux proprits mathmatiques tranges, Mandelbrot avait devant lui plusieurs lments dun nouveau champ dinvestigation. Inspir par le slogan latin Nomenestnumen(nommer, cest connatre), il suggra de leur donner un nom et dtudier leurs proprits communes. Ainsi, dans son livre Objets fractals, il cra en 1975 le mot fractale du latin fractus qui signifie la fois bris et irrgulier. En plus dtre extrmement irrgulires, ces figures contiennent des lments discernables dans une large gamme dchelles. Par exemple, on peut zoomer indfiniment dans la baderne dApollonius et toujours retrouver de nouveaux petits cercles. La notion dauto-similarit est essentielle en gomtrie fractale. Dans le cas du triangle de Sierpinski, on voit aisment que chaque petit triangle est une rplique exacte du tout. Il sagit dun exemple dauto-similarit stricte mais ce concept est beaucoup plus large. On peut dire plus simplement quune figure fractale conserve le mme niveau dirrgularit toutes les chelles. On peut se demander pourquoi la gomtrie fractale a mis autant dannes merger. Lexplication la plus probable rside dans la complexit des figures concernes, ce qui rend leur visualisation difficile. Grce larrive des ordinateurs et la structure auto-similaire des fractales, on peut les gnrer informa-

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Vol.1 t automne 2006

Figure 7 : Lensemble de Mandelbrot. Chacune de ces images est un dtail obtenu en agrandissant la partie encadre de la figure sa gauche.

Les Fractales | Josiane Lajoie UQTR

tiquement laide de programmes simples. titre dexemple, lensemble de Mandelbrot sobtient en itrant un polynme complexe. Cette figure ncessiterait un temps quasi infini dessiner la main, alors que quelques lignes de code suffisent pour lobtenir.

Les fractales, modle de la natureLa contribution de Mandelbrot ne sarrte pas l. En effet, Mandelbrot a eu le gnie de remarquer que les fractales sont prsentes de faon universelle dans la nature. Par exemple, en 1926, Richardson observa que la longueur dune cte littorale tend vers linfini. En effet, plus on est prcis dans la faon de mesurer, plus on doit osciller autour de nouveaux dtails et plus le primtre augmente! Mandelbrot suggra que les ctes littorales ont une structure fractale et ainsi, comprendre cette nouvelle gomtrie permet de mieux comprendre de tels phnomnes.

En biologie, le dpistage du cancer du sein se fait en observant la texture du noyau des cellules. Or, la gomtrie fractale permet, entre autres, de quantifier lirrgularit dune figure. Ainsi, elle offre des critres objectifs permettant de poser un diagnostic qui reposait, jusqu maintenant, sur le seul jugement du pathologiste. En finance, le graphe reprsentant le cours dun actif en bourse est de nature fractale. En effet, la rentabilit priodique possde une invariance dchelle. Ainsi, pour obtenir la volatilit dun titre sur un an, les acteurs du march multiplient sa volatilit sur un mois par un certain coefficient. En gologie, les fractales sont utilises pour la recherche de nappes de ptrole. En chimie, elles ont permis la fabrication des arogels et ce ne sont que quelques exemples qui contribuent allonger la longue liste des applications de la gomtrie fractale. Bien caches au coeur de notre environnement depuis toujours, les fractales ont mis beaucoup de temps gagner notre attention. Cependant, depuis la contribution de Mandelbrot, elles ont acquis une vritable notorit. Relativement jeune, la gomtrie fractale nous rserve-t-elle encore bien des surprises ?

Mais quoi a sert ?Puisque les fractales dcrivent si bien la nature et que lhomme cherche constamment comprendre et copier son environnement, elles jouent un rle important dans plusieurs domaines. En voici quelques exemples. En infographie, puisque la nature est forme dobjets fractals et que ceux-ci se programment simplement, il suffit dutiliser cette notion pour crer des paysages ralistes ou pour rendre les mouvements plus crdibles.

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Monument Valley, image fractale, Copyright Jean-Franois Colonna

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Vivre en dimensionTomasz Kaczynski Universit de Sherbrooke

Monsieur Leplat, un tre de dimension 2 vivant dans un univers plat, peut-il nous aider imaginer un univers de dimension 4?

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Il est dans lesprit du temps de croire que nimporte quel fait, aussi suspect quil soit, vaut plus que nimporte quel exercice dimagination, aussi vrai quil soit. Gore Vidal

DossierDimension4

Copyright Wieslaw Krawcewicz

Figure 2 : Le systme digestif de madame Leplat ne peut tre un tube comme le ntre car elle serait divise en deux parties.

Figure 1 : Monsieur et madame Leplat sur la Terre linaire.

Lanatomie de madame Leplat est particulire. Son systme digestif ne peut tre un tube comme le ntre parce que cela la diviserait en deux parties spares (figure 2) (en mathmatiques on les appellera des composantes connexes). On peut deviner que madame Leplat digre plutt comme une bactrie (figure 3).

Copyright Wieslaw Krawcewicz

Imaginons lunivers de Monsieur Leplat. Sa Terre est une ligne droite. Sa peau nest pas une surface, mais une courbe ferme. Un explorateur de notre univers nous a fait parvenir une photo quil a prise de monsieur Leplat et sa femme (figure 1). Cette photo nest pas une projection 2D de notre monde, il montre le monde plat tel quil est. Nous pouvons voir lintrieur de madame Leplat, mais son mari ne le peut pas. Cest parce que nous percevons en trois dimensions que nous pouvons voir lintrieur de ces personnages.

Le dplacement dans ce monde soulve quelques problmes techniques. Si monsieur Leplat veut passer droite de madame Leplat, il doit sauter par dessus elle.

Vivre en dimension 4 | Tomasz Kaczynski Universit de Sherbrooke

Copyright Wieslaw Krawcewicz

Peut-tre quelques tres suprieurs en 4D peuvent-ils voir lintrieur de nous sans utiliser les rayons-X et peuvent-ils en sortir une tumeur sans chirurgie. Ainsi les concepts tels que lintrieur, lextrieur et la frontire sont relatifs lespace dans lequel notre Monde est immerg. Donnons une signification mathmatique cette discussion. Supposons quun prisonnier soit gard au point P = (0; 0) dans R2, un monde de dimension 2 dont les points sont nots par les coordonnes cartsiennes (x; y). La cellule du prisonnier est limite par le cercle S1 donn par lquation : x2 + y2 = 1. Sil ny a pas de trous dans la circonfrence du cercle, il ny a aucune faon de senfuir et daller, par exemple au point Q = (2; 0). Ce fait est intuitivement acceptable mais difficile dmontrer, il sagit du clbre thorme de la courbe ferme de Jordan. Tout change si le plan est immerg dans R3, lespace de dimension 3, dont les points sont nots par les coordonnes cartsiennes (x; y; z). Lunivers 2D est alors donn par lquation z = 0. La position du prisonnier est maintenant P = (0; 0; 0), la frontire de sa cellule 2D est le cercle donn par la paire dquations : x2 + y2 = 1 z=0 et le point de destination est alors Q = (2; 0; 0).

x=t y=0 z = t(2 t) o t = 0 est le temps du dpart et t = 2 est le temps darrive Q (figure 4a). Nous allons maintenant augmenter la dimension pour situer cette histoire dans notre monde 3D. Considrons le point P = (0; 0; 0) dans la cellule limite par la surface de la forme dun ballon appele sphre S2, donne par lquation : x2 + y2 + z2 = 1. Considrons le point Q = (2; 0; 0) lextrieur de la sphre. nouveau, il ny a aucune faon pour que le prisonnier en P puisse se dplacer jusquau point Q sans percer la sphre. Ajoutons donc une dimension supplmentaire. Les points de R4 sont de la forme (x; y; z; u) et : P = (0; 0; 0; 0) et Q = (2; 0; 0; 0). Dans R4, notre espace 3D est donn par lquation u = 0 et la sphre dimensionnelle S 2 limitant la cellule est donne par les quations : x2 + y2 + z2 = 1 u = 0. En passant par la quatrime dimension, le prisonnier peut schapper de la cellule sans la percer (figure 4b). Sa trajectoire est : x=t y=0 z=0 u = t(2 t).

Figure 4 b Lanalogie dans R4.

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Une version de cet article est parue dans in the Sky, dcembre 2001.

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Figure 3 : Madame Leplat digre plutt comme une bactrie.

En utilisant la dimension supplmentaire, le prisonnier peut maintenant sortir de la cellule en sautant par dessus le cercle. Une des trajectoires possibles est donne par :

Figure 4 a La cellule de dimension 2 et une trajectoire dvasion dans R3.

Copyright John M. Sullivan

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CommotionDossierDimension4

Un vaisseau spatial est envoy de la Terre dans lespace T 2 et il voyage une vitesse constante. Est-ce quil revient un jour au point de dpart ? Quelle est sa trajectoire ?

ntifique dans le monde scie t de retour.

lan es ateur spatial Platel exploration qui Le clbre explor voyage d ans pour un voyag Parti il y a quinze de lunivers, il a ener aux confins devait le m ces annes. Quelle ction durant toute il tait revedans la mme dire rsquil a constat qu s plastrot pas sa surprise lo us le ne fu r fait demi-tour. To uer ce phsur Terre sans avoi pliq nu ex ngrs ont tent d nomes runis en co tenue lors de ce congrs est celle re nomne. La thorie Selon cette thorie, notre univers ofesseur Platilei. n . Un ballon du pr r un norme ballo iques quun rait une maille su se rist t les mmes caract serait un objet ayan une dimension de plus. ant cercle mais possd mettre cette ns nont pas tard nn le Les mathmaticie n, auquel ils ont do quation. Ce ballo signent par SR2 , serait thorie en et quils d nom de sphre n: dcrit par lquatio 2 + y2 + z2 = R2 x (figure 1). rayon de la sphre o R est le

Figure 1 : La terre circulaire plate est une maille dans un univers sphrique. Platellan croyait voyager en ligne droite. Sa trajectoire tait en ralit un grand cercle sur la sphre.

LUnivers pourrait tre un tore T 3 de dimension 3 dfini comme produit cartsien S1S1S1 de trois copies du cercle unitaire par rapport aux units de grandeur astronomique. Le cercle unitaire est la partie du plan R2 dcrite par lquation x2 + y2 = 1. Par analogie, le tore T 3 est une partie de lespace R2R2R2 = R6 de dimension 6.

Copyright Wieslaw Krawcewicz

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dimension par lquation : x2 + y2 + z2 + u2 = 2 R o R est le rayon de la sphre. Cette thorie a t remise en question au cours des derni res annes. 3 dans R4 donne

Plusieurs scientifi ques considrent que notre univers pourrait t re une sphre S3 de

Sphre ou beignet?

La forme de luniv ers

Plusieurs scientifi ques adhrent une nouvelle thorie selon laqu elle lunivers aura it la forme dun beignet, ap pel tore. Une so nde spatiale devrait tre envoy e prochainement da ns lespace selon une trajectoi re prcise pour vrifi er la validit de cette thorie.

(0; 0)

(; 0) (2; 0) x

On peut viter de parler de dimensions si grandes en imaginant que la droite R est enroule sur le cercle S 1 (figure 2). Puisque le cercle de rayon 1 a une circonfrence de 2 radians, les nombres rels intervalle 2 sont identifis lun avec lautre. Deux voyageurs sur la droite relle, lun en x et lautre en x', sont au mme endroit si : x x' = 2. On peut procder de faon analogue pour le tore T 3. Considrons une feuille carre constitue dune membrane lastique et dont les cots sont de longueur 2 radians. On peut rouler cette feuille pour en joindre les cts et former un cylindre. En tirant ce cylindre, on peut en joindre les extrmits (figure 3). Limage de laxe OX est marqu par le cercle horizontal et celui de OY par le cercle vertical.

(0; 0) ~(0; 2)

(; 0) ~(; 2)

(2; 0) ~(2; 2) (;0)

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(0; 0)

(2; 0) (; 0)

(0; 0)

(2; 0)

1 2Figure 2 : La droite enroule sur le cercle.

4

6 R

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Si lUnivers est lim it, alors pourquoi doit -il tre sphrique ?

y (0; 2)

) 2 (;

) ; 2 (2

Figure 3 : Le carr est enroul pour former un cylindre. Celui-ci est tir et enroul, ses extrmits sont jointes pour former un tore.

DossierDimension4En supposant que lunivers soit un tore, dans quelle direction doit-on lancer un vaisseau spatial pour quil revienne son point de dpart en conservant toujours la mme direction? Supposons que le point de dpart soit (0; 0) et que lquation de la trajectoire soit : r (x; y) = t v = (tux ; tuy). r Si v = (1; 0) alors la trajectoire est le cercle horizontal sur le tore de la figure 2. r Si v = (0; 1), la trajectoire est le cercle vertical sur le tore de la figure 2. r Si v = (1; 2), la trajectoire passe au point (; 2) sur le ct suprieur du carr qui est identifi avec le point (; 0) sur le ct infrieur. y (0; 2)

) 2 (;

) ; 2 2 (

(0; 0)

(; 0) (2; 0) x (; 0)

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(0; 0) En continuant dans la mme direction, on passe par le point (2; 2) ~ (0; 0) aprs avoir Figure 4 :La trajectoire correspondante la fait deux tours, donc on arrive au point de vitesse (2,1). dpart (figure 4). Le thorme ci-aprs conduit certaines Nous laissons titre dexercice didentifier rflexions troublantes concernant nos la trajectoire correspondant la vitesse perspectives de voyager dans un univers r v = (3; 2) et de dterminer le temps nces- torodal et de revenir un jour sur la Terre. saire pour arriver au point de dpart. Le choix du vecteur de vitesse est soumis On peut aussi vrifier que la vitesse aux erreurs numriques donc nous navons r v = (1; 2/3) donne la mme trajectoire pas le pouvoir de choisir notre dune faon r que la vitesse v = (3; 2), mais que le temps exacte. On sait que lensemble des nombres darrive est tripl. rationnels est dnombrable et lensemble des Il semble alors que la forme dune tra- nombres irrationnels ne lest pas. Dans un jectoire dpend seulement du rapport sens, il y a beaucoup plus de nombres irrauy/ux (reprsentant la tangente de langle tionnels que de rationnels. La probabilit quun nombre choisi au hasard sur la droite dinclinaison de la droite dans le carr). Si ce nombre est rationnel, cest--dire, relle soit rationnel est zro ; la probabilit sil est une fraction de deux nombres entiers que ce soit un irrationnel est 1. Par conm/n, il semble quon revient au point de squent, en partant dans un vaisseau comme dpart. Cependant, si m et n sont relative- dcrit dans lexemple, la probabilit quon ment premiers, plus lcart est grand entre m revienne au point de dpart est nulle. Est-ce et n, plus le temps de retour est long et plus que cela semble dprimant? Peut-tre, mais la trajectoire est dense sur le tore, dans le dun autre ct, la conclusion b du thorme sens quelle passe proche de chaque point du 1 implique que la probabilit quon revienne tore. Que se passe-t-il si uy/ux est un nombre ventuellement prs du point de notre dpart est 1! Il sagit donc de choisir la irrationnel, par exemple 2 ? mesure de notre tolrance lerreur et dtre patient parce que ce retour peut prendre beaucoup de temps.

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ThormeSoit = uy /ux . La longueur de larc A est 2 radians (voir la figure 5 gauche). Notons que la a) Le vaisseau revient au point de dpart en longueur darc entre deux angles conscuun temps fini si et seulement si Q. tifs de la suite de k est k+1 k = 2 b) Si Q alors sa trajectoire est dense modulo 2 et elle ne dpend pas de k. Par a, dans T 2, dans le sens que pour tout point la suite 0, 1, 2, ... est infinie, donc les arcs (x0; y0) dans le tore et tout > 0, la [k; k+1] doivent couvrir tout le cercle et trajectoire passe prs de (x 0 ; y 0 ). lun de ces arcs doit rencontrer A. Dmonstration : Cas 1 : 2 < 2 Vu que seul le ratio est important pour la Dans ce cas, larc [k; k+1] qui intersecte forme de la trajectoire, nous pouvons simpliA est plus court que A donc lun de ces fier les calculs en supposant que ux = 1, donc r points limites, k ou k+1 doit tre dans A. v = (1; ). Cas 2 : 2 > 2 a) Lhypothse que le vaisseau revient au point de dpart en un temps t > 0 est quivalente Dans ce cas, il se peut que larc [k; k+1] dire que (x(t); y (t)) = (t; t) ~ (0; 0). qui intersecte A contienne A dans son Ceci veut dire quil existe des nombres intrieur, donc ni k ni k+1 ne sont dans A. Cependant, pour un entier n suffisamment entiers m et n tels que : grand, 2/n < 2. Vu que le cercle peut tre x(t) = t = 2n et y(t) = t = 2m. couvert par n arcs de longueur 2/n et que tant donn que t 0, on peut substituer la suite de est infinie, il existe ou moins k t dans la dernire quation et on obtient deux indices j > i tels que et se troui j 2n = 2m, quivaut = m/n Q. vent dans le mme arc de longueur 2/n. b) Soit (x; y) un point donn. Vu que ux = 1, Soit < 2/n la longueur de larc le plus la coordonne x(t) prend la valeur x0 un court qui joint i et j (voir la figure 5 nombre infini de fois aux temps : droite). Alors : j i = + 2m ~ , t = x 0 , x 0 +2, x 0 +4, x 0 +6, .... Donc, il suffit de montrer que la coordon- o m est un entier. Nous remplaons la ne y(t) de la trajectoire se trouve prs suite originale de k par sa sous-suite du point y0 sur le cercle S 1 dans un temps g k = k(ji ) = k + 2m ~ k donn par t k = x 0 +2k pour un certain La suite g a la proprit k entier k. Soit : g k+1 g k ~ < 2/n < 2; k = y(t k ) = x 0 + 2k donc les argument du Cas 1 montrent k = 0, 1, 2, 3, ... On veut montrer lexistence lexistence de k tel que g = k k(ji) se trouve de k tel que k se trouve dans un arc : dans larc A. A = (y0; y0+) du cercle.n

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... ...i

2 1

20

...i

32 /n1

22 /n 2 /n 00

0 A 2

2 Ai j

2

Figure 5 : Les arcs discuts dans le thorme : Cas 1 gauche et cas 2 droite.

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Au cur des mathmatiques et de la posie, le mme projet : traiter des ides. La rigueur et les rgles quelles simposent dterminent de nouveaux espaces pour imaginer, dcrire, comprendre et crer.France Caron Universit de MontralVol.1 t automne 2006

Mathmatiques et posie la recherche de lidalParmi les rapprochements qui se sont oprs, plus ou moins spontanment, entre les mathmatiques et les autres disciplines, lassociation des mathmatiques avec la posie peut surprendre a priori mais elle nest certes pas nouvelle.

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DossierPosie

Notons dabord, avec le dveloppement de la posie classique, la volont sculaire de crer des motifs, tant sur le plan rythmique (longueur des vers et des strophes) que sur le plan sonore (rimes, allitrations, etc.). Cet attachement aux motifs, qui rejoint ltude des structures en mathmatiques et quon retrouve galement en arts visuels, en architecture et en musique, se traduit en contraintes qui conditionnent lespace de cration et contribuent confrer luvre son rythme, son quilibre et sa cohrence.Jones, Owen Reproduction dune mosaque de lAlhambra 1842, St. Louis Public Library

La longvit du sonnet, avec ses rgles particulirement strictes, depuis ses origines dans lItalie du treizime sicle jusqu lutilisation

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Suzor-Ct, Marc-Aurle de Foy Soleil couchant 1922 Muse de la Civilisation, Collection du sminaire de Qubec. Pierre Soulard, photographe. No.1991.29

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qui en est encore faite de nos jours, tmoigne avec loquence la fois de cet attrait pour lquilibre de la forme, qui parat traverser les modes et les contres, et de linpuisable force cratrice quengendrent les contraintes. Un intrt marqu pour la structure et la formalisation en rgles des contraintes en posie a amen un mathmaticien comme Jacques Roubaud et dautres membres de lOuLiPo1 dgager et dcrire les rgles formelles sous-tendant llaboration danciens pomes, puis appliquer ces rgles et en inventer de nouvelles dans la production duvres originales. Les travaux de ce groupe ont permis de thoriser une esthtique de la

contrainte , avec ses possibilits et ses limites, dans laquelle pourraient se reconnatre bon nombre de mathmaticiens qui ont souvent fait valoir la beaut de leur discipline, en partie attribuable son austre perfection :

1. OUvroir de LIttrature POtentielle: groupe de mathmaticiens et potes, incluant Raymond Queneau et Georges Perec. Fond en 1960 et considr comme un laboratoire de structure littraire, ce groupe a produit des uvres tonnantes. Notamment les Cent mille milliards de pomes de Queneau, dans un recueil dont la facture (10 pages dcoupes en 14 languettes, une pour chacun des vers dun sonnet) permet effectivement de gnrer 1014 pomes.

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DossierPosieMathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show Bertrand Russell Principia Mathematica, 1910 Lintgration aux rgles de construction potique de principes combinatoires et stochastiques, qui respectent la syntaxe mais se permettent, par des combinaisons alatoires gnres par ordinateur, des liberts avec la smantique, a donn lieu plus tard, avec lAlamo2 notamment, des productions qui se rapprochent tonnamment des uvres associes la posie surraliste. Rectangle Jai ferm langle droit Qui souffrait dtre ouvert En grand sur laventure. Je suis une demeure O rver est de droit. Parallles On va, lespace est grand On se ctoie, On veut parler. Mais ce quon se raconte Lautre le sait dj, Car depuis lorigine Efface, oublie, Cest la mme aventure. En rve on se rencontre, On saime, on se complte. On ne va pas plus loin Que dans lautre et dans soi. Ce qui sduit dans ces pomes est lattribution de rflexions des objets gomtriques. Tout en contribuant rendre ces objets plus humains , ce procd de personnification permet de montrer la logique de leurs actions (ou mme de leurs sentiments ), en les liant directement leurs proprits intrinsques. Cela fait de ces objets mathmatiques des reprsentations simplifies de certains traits de caractre humains et offre de nouvelles voies pour en explorer la cohrence. En fait, comme lavanait Buchanan3 ds 1929, la posie et la mathmatique constituent deux tentatives particulirement russies de traiter des ides . Si les deux recherchent rigueur et prcision dans lexpression et choisissent de se doter de contraintes qui leur permettent datteindre cette rigueur, cela nen fait pas moins deux disciplines qui mettent limagination au service de la cration dun univers qui na pas toujours se

38Copyright Nicolas Pioche/ Web Museum

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Kandinsky, Wassily Jaune, rouge, bleu 1925

Au-del de ltude mathmatique des rgles en posie, il convient de souligner ensuite les quelques cas o les mathmatiques ou certains de leurs objets se sont substitus la rose de Ronsard pour devenir de faon explicite lobjet chant par le pote. Eugne Guillevic (1907-1997) est un des reprsentants les plus accomplis de ce choix thmatique. travers ses Euclidiennes, il fait sexprimer dans un style particulirement conomique diffrents objets et figures gomtriques (triangles, quadrilatres, lignes parallles, perpendiculaires, ), comme lillustrent les pomes Rectangle et Parallles.

2. Atelier de Littrature Assiste par la Mathmatique et lOrdinateur : groupe cr en 1981 par Jacques Roubaud et Paul Braffort. 3. Cit par Braffort (1999).

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rapporter fidlement une ralit objective. Et quand un lien avec une telle ralit existe, il donne souvent lieu, autant en mathmatiques quen posie, une reprsentation pure, idalise de cette ralit, ramene lessentiel, lessence des choses. Cette idalisation de la ralit a t au centre du mouvement symboliste (voir p.40-44, Lespace et le temps dans la posie symboliste). Sefforant de dpasser les limites de la ralit observable, les potes du symbolisme cherchent exprimer la part spirituelle de ltre humain, en utilisant les lments tangibles de la ralit comme symboles (ou reflets imparfaits) dune ralit intrieure ou transcendante. On fait donc souvent usage de lanalogie pour exprimer une ide abstr