COLE NATIONALE SUPRIEURE DES MINES DE PARIS 1re anne

MCANIQUE DES MATRIAUX SOLIDES

Notes de cours

G. CAILLETAUD, M. TIJANI M. BLETRY, D.M. PARKS, P. PILVIN

Mars 2008

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Table des matires1 Introduction 1.1 Gnralits sur les proprits des matriaux . . 1.2 Domaines dutilisation des modles . . . . . . 1.3 Les types de modles de matriaux . . . . . . . 1.4 Les essais mcaniques . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Diffrents types dessais . . . . . . . . 1.4.2 Moyens de mesure, ordres de grandeur 1.5 Mise en uvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 4 5 8 9 11 11 11 12 12 13 13 14 15 16 16 17 18 18 20 21 23 23 25 25 25 25 26 26 27 28 28 29

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Rhologie 2.1 Les diffrents types de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Les sources de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Dilatation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les briques de base du comportement non linaire . . . . . . . . . . 2.3 Plasticit uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Modle lastiqueparfaitement plastique . . . . . . . . . . 2.3.2 Modle de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 criture gnrale des quations de llastoplasticit uniaxiale 2.4 Viscolasticit uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Un exemple de modle rhologique . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 tude dun modle compos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Viscoplasticit uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Un exemple de modle rhologique . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Quelques modles classiques en viscoplasticit . . . . . . . 2.6 Inuence de la temprature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critres 3.1 Les outils disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Critres ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique 3.2.1 Critre de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Critre de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Comparaison des critres de Tresca et von Mises . 3.3 Critres faisant intervenir la pression hydrostatique . . . . 3.3.1 Critre de DruckerPrager . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Le critre de MohrCoulomb . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Critre de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Critres ferms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Critres anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

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iv 4 Plasticit et viscoplasticit 3D 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Dcomposition de la dformation . . . . . . . 4.1.2 Critres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Lois dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Formulation des lois de comportement viscoplastiques 4.2.1 criture gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 De la viscoplasticit la plasticit . . . . . . . 4.3 Formulation des lois de comportement plastique . . . . 4.3.1 Principe du travail maximal . . . . . . . . . . 4.3.2 Interprtation gomtrique du principe de Hill . 4.4 Directions dcoulement associes aux critres courants 4.4.1 Critre de von Mises . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Critre de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Critre de DruckerPrager . . . . . . . . . . . 4.5 Comportement parfaitement plastique . . . . . . . . . 4.6 Viscoplasticit/Plasticit non associe . . . . . . . . .

TABLE DES MATIRES 33 33 33 34 34 34 34 35 35 36 36 37 38 38 39 39 39 40 43 43 43 43 45 46 46 46 47 48 48 51 51 51 52 53 54 54 55 56 57 57 58 58 60 61 62 63 64 65

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Variables dcrouissage 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Matriaux standards gnraliss . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Une brve prsentation du formalisme . . . . . . . . 5.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Expression de quelques lois particulires en plasticit . . . . 5.3.1 Loi de PrandtlReuss . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Loi de HenckyMises . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Loi de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 coulement vitesse de dformation totale impose 5.4 Viscoplasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elments de thorie des poutres planes 6.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Modlisation gomtrique . . . . . . . . 6.1.2 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . 6.1.3 Modlisation des actions mcaniques . . 6.2 Solution de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Dplacements . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Approche par le principe des travaux virtuels . . 6.3.1 Rappel : le principe des travaux virtuels . 6.3.2 Cinmatique de la poutre de Timoshenko 6.3.3 Traitement des quations . . . . . . . . . 6.3.4 Caractrisation de lquilibre . . . . . . . 6.3.5 Lois de comportement . . . . . . . . . . 6.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Poutre sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Evaluation des efforts intrieurs . . . . . 6.4.2 Forme gnrale . . . . . . . . . . . . . .

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TABLE DES MATIRES 6.5 Flambement . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Forme gnrale . . . . . . . . 6.5.2 Poutre simplement supporte . 6.5.3 Autres conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v 65 66 66 67 69 69 70 70 70 72 72 73 74 74 77 77 77 78 79 79 80 83 83 83 85 87 87 88 90 90 92 95 95 97 98 100 101 103 105 107 107 108 108 108 109 110 110

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Matriaux composites, stratis 7.1 Gnralits sur les matriaux composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Rappel : milieux lastiques anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Notation de Voigt pour les relations de comportement . . . . . . . . 7.2.2 Respect des symtries matrielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Composites unidirectionnels bres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Loi de mlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Constantes lastiques dans un repre quelconque . . . . . . . . . . 7.3.3 Thorie des stratis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Dnition dune plaque stratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les composants lmentaires des matriaux composites . . . . . . . . . . . 7.4.1 Renforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Tissus et mats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Critre de rupture des stratis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5 Quelques modles dingnieurs de fonctionnement du composite 7.4.6 Ordres de grandeur des modules et contraintes rupture . . . . . . Plaques 8.1 Plaque de ReissnerMindlin . . . . . . . . 8.1.1 Cinmatique . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Travail virtuel des efforts intrieurs 8.1.3 Travail virtuel des efforts extrieurs 8.1.4 Equilibre et conditions aux limites . 8.1.5 Loi de comportement . . . . . . . . 8.2 Plaque de KirchhoffLove . . . . . . . . . 8.2.1 Cinmatique et quilibre . . . . . . 8.2.2 Lois de comportement . . . . . . .

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Introduction la mcanique des matriaux htrognes 9.1 Moyennes de volume, moyennes de surface . . . . . . . . . . . . 9.2 Volume lmentaire reprsentatif, proprits effectives . . . . . . 9.3 Proprits lastiques effectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Potentiel lastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Thorme de lnergie potentielle : borne suprieure de Voigt . . . 9.6 Thorme de lnergie complmentaire : borne infrieure de Reuss 9.7 Application llasticit isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 lments de Mcanique de la rupture 10.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Taux de restitution dnergie . . . . . . 10.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Cas dune charge ponctuelle . . 10.2.3 Quelques valeurs critiques de G 10.3 Facteur dintensit de contrainte . . . . 10.3.1 Solution de Muskhelishvili . . .

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vi 10.3.2 Solution asymptotique de Westergaard . . . . . . . . . 10.3.3 Diffrents modes de sollicitation . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Analyse de ltat de contrainte tridimensionnel . . . . . . . . 10.5 Propagation de ssure en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Amoragepropagation dans les matriaux mtalliques 10.5.2 Loi de Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 111 111 114 114 114 115

11 Annexe 119 11.1 Quelques tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.2 Sur le critre de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 11.3 Glossaire des notations les plus courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

PrambuleLa mcanique des matriaux solides reprsente, au sein de la mcanique, une branche aux ramications multiples, dont les modles sont mis lpreuve dans des contextes parfois inattendus, pour expliquer des phnomnes naturels, ou encore concevoir des ouvrages, des vhicules, des composants. Elle est omniprsente, toutes les chelles, elle sapplique sur des matriaux aussi diffrents que le magma terrestre, le bton, les alliages mtalliques, les composites bre ou les monocristaux de silicium. Il serait donc vain de tenter dtre exhaustif dans le cadre dune vingtaine de sances. Le but de ce cours est plutt de donner un certain nombre dclairages sur le domaine et les mthodes utilises, tout en offrant des points dentre en vue dtudes plus approfondies. Le fait de suivre un tel axe de dcouverte fait courir le risque dtre parfois trop lapidaire. On cherchera donc, dans le temps imparti, trouver un juste quilibre dans lexpos. On espre ainsi montrer que la mcanique des matriaux est un carrefour, o se croisent mathmaticiens et ingnieurs, industriels et universitaires, thoriciens et exprimentateurs. Il faut galement trouver un quilibre entre llment de volume et la structure. Cette discussion, qui renvoie au cours de Mcanique des Milieux Continus, amne considrer dans un premier temps les lois de comportement qui rgissent les relations entre les contraintes et les dformations, puis envisager leur insertion dans une thorie portant sur lquilibre dun domaine. Le plan du cours dcoule donc de ces choix. Une premire partie permet daller au-del de la thorie de llasticit dj acquise, en considrant de nouveaux phnomnes physiques conduisant la dilatation ou la dformation du matriau. On mentionnera ainsi les dilatations thermiques ou de changement de phase (sance 1), puis les dformations plastiques ou vicoplastiques. Cest une prsentation progressive qui est adopte pour celles-ci : on considrera successivement les modles sous chargement uniaxial (sance 2), puis les critres multiaxiaux (sance 3), avant de combiner les deux dans lcriture du formalisme sous chargement tridimensionnel (sances 4 et 5). Le cours lui-mme peut tre prolong par les exercices corrigs qui sont disponibles et par les applications du site web http ://mms2.ensmp.fr, dont certaines sont interactives. Cet entrainement est ncessaire une bonne assimilation du cours. Un prolongement naturel, qui sort du cadre du cours, serait une tude systmatique des structures inlastiques, qui se soucie de lexistence et de lunicit des solutions. An de rester un niveau de complexit raisonnable, on revient en lasticit linaire pour les sances 6 10. Il est parfois difcile de distinguer le niveau de llment de volume et celui de la structure. Dailleurs, une tendance actuelle de la recherche consiste tudier les matriaux comme des structures, en caractrisant leurs proprits macroscopiques par lanalyse mcanique de leurs microstructures. Ceci explique que la transition entre les deux grandes parties du cours se proccupe de ce point, et prsente les mthodes adaptes pour effectuer les transitions dchelles (sance 7). Il ne sagit que dun coup de projecteur, une introduction ltude, dans un domaine en pleine expansion. Cest dans le mme esprit que sont traites au cours des sances suivantes, les poutres (sance 8) et les plaques (sance 9). On se limite ltude de cas simples, mais qui permettent de prsenter un cadre gnral, et de faire comprendre les ides directrices. La dernire sance (10) est une introduction la mcanique linaire de la rupture puisquil est vrai que, malgr tous les cours de mcanique, les efforts des ingnieurs et des chercheurs, il y a des ssures dans les structures...

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Chapitre 1

Introduction1.1 Gnralits sur les proprits des matriaux

Il est de coutume de dire que chaque secteur industriel a les performances de ses matriaux. Cela est particulirement marquant dans le cas de linformatique, pour laquelle les progrs sont directement lis la densit des circuits, cest encore le cas dans laronautique, o les performances des racteurs dpendent de la temprature maximale que supportent les matriaux dans les zones les plus chaudes. Les exemples de ce type peuvent tre aisment multiplis, il suft de penser aux chemins de fer (dveloppement des aciers rail la n du 19me sicle), la construction civile (mise au point des btons de fume de silice), la navette spatiale (composites, tuiles en carbone-carbone). Mais en fait, il serait plus prcis de dire que les performances obtenues dpendent aussi des connaissances sur le matriau utilis. Ainsi, dans le plan dexploitation dune mine souterraine en chambres et piliers, o il nest bien entendu pas envisageable de choisir son matriau, il est possible de diminuer la taille des piliers si les proprits de la roche sont bien connues. Le fait de concevoir ainsi au plus juste les structures, est la marque dune dmarche qui, outre son lgance, prsente deux aspects importants : il y a une amlioration de la scurit, dans la mesure o il est prfrable davoir une bonne connaissance des phnomnes physiques plutt que dappliquer un large coefcient de scurit, qui sapparente souvent un coefcient dignorance ; par ailleurs, dans certains cas, lutilisation de plus grandes quantits de matire peut devenir prjudiciable (ainsi, augmenter lpaisseur dune enceinte sous pression peut certes diminuer les contraintes, mais aussi tre nfaste sil y a des gradients thermiques dans la paroi). le rsultat est une meilleure performance sur le plan cologique, ainsi le gain de quelques dizimes de grammes sur chaque bote-boisson conduit des conomies de matire premire importantes, si lon songe aux quelques milliards qui sont fabriques chaque anne ; de mme, la diminution de poids permet de rduire la consommation des automobiles ou des avions. Il faut distinguer plusieurs types de proprits des matriaux. Dans le cas du dveloppement des ordinateurs, ce sont essentiellement les proprits physiques qui sont en cause, encore que les chauffements rsultant de la concentration des circuits amnent maintenant se proccuper galement de la tenue mcanique. Dans le cas du dveloppement des moteurs davions, ce sont les proprits mcaniques et les proprits chimiques (rsistance lenvironnement) qui sont dterminantes. Les principales proprits des matriaux se regroupent donc en : Proprits mcaniques : (i) modules dlasticit, (ii) limite dlasticit, crouissage, ductilit, (iii) viscosit, vitesse de uage, amortissement (iv) charge la rupture, rsistance la fatigue, lusure, ... Proprits physiques : (i) conductibilit lectrique, aimantation, (ii) conductibilit thermique, chaleur spcique, (iii) temprature et chaleur latente de transformation, (iv) nergie de surface, de liaison, (v) transparence, . . . 1

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CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Proprits chimiques : (i) rsistance la corrosion, loxydation, (ii) stabilit, diagrammes dquilibre, . . . En gnral, le choix dun matriau pour une application donne est la consquence de proprits adaptes dans un ou plusieurs des domaines indiqus (par exemple laluminium est parfois utilis dans les culasses automobiles malgr sa faible temprature de fusion, en raison de son faible poids et de sa bonne conductibilit thermique). Il est aussi orient par dautres considrations, ce sont les performances du matriau, au rang desquelles vont se classer des lments technologiques et conomiques, en mme temps que des caractristiques moins facilement mesurables comme laspect (fondamental dans le btiment pour les lments de faade, pour les carosseries automobiles, ...) : disponibilit, reproductibilit, abilit, usinabilit, aptitude la mise en forme, soudabilit, absence de nocivit, possibilit de recyclage, cot, aspect, bonne caractrisation.

1.2

Domaines dutilisation des modles

La bonne connaissance des matriaux et leur bonne utilisation font donc intervenir trois domaines dactivit. 1. Le dveloppement du matriau lui-mme (ce secteur tant absent dans le cas des gomatriaux). L se jouent lvolution du matriau, la dcouverte de nouvelles microstructures, qui concourent lamlioration des performances intrinsques. 2. La caractrisation des proprits demploi. Ce point a pour but dapporter une meilleure connaissance dun matriau existant, (mcanismes physiques qui provoquent ou accompagnent la dformation, effets mcaniques macroscopiques), donc de rduire les incertitudes et daugmenter la abilit des modles utiliss. 3. Le travail sur les modles numriques permet damliorer la reprsentation des pices, structures ou domaines calculs (par amlioration des algorithmes, qui autorisent le traitement de modles numriques plus importants, par exemple 3D au lieu de 2D). Le cours de Mcanique des Matriaux Solides est consacr essentiellement ltude des proprits mcaniques des matriaux (point (2)). Le point (1) est le domaine des mtallurgistes et des chimistes. Le point (3) celui de la mcanique des structures. La gure 1.1 schmatise les types doprations pour lesquelles il est fait appel aux proprits des matriaux. La phase de conception (g.1.1a) met en uvre une approche synthtique du problme, qui est en fait rsolu par mthode inverse, soit : quelle forme donner la pice, en quel matriau la construire pour quelle rponde au cahier des charges. Dans la mesure o les lments extrieurs sont nombreux, et parfois non scientiques, il ny a en gnral pas dautre solution que de choisir des descriptions simples des matriaux, et dappliquer des codes, ou rgles simplies. Dans la plupart des cas, cette approche est sufsante. Il peut subsister parfois des cas litigieux (pices de haute scurit, . . .) qui ncessitent la mise en place dune procdure de justication (g.1.1b). Au contraire de la prcdente, la dmarche est analytique, puisque la gomtrie, les charges, le matriau, etc... sont gs, et quil sagit simplement, par un calcul direct, de caractriser la bonne tenue. Cette procdure peut tre employe la construction, ou encore longtemps aprs la mise en route dune installation, an dobtenir une requalication qui prolonge la dure de vie : on cherche ainsi actuellement justier une prolongation de la dure de vie garantie des centrales nuclaires. Ayant t conues laide de mthodes de dimensionnement simplies, elles peuvent sans doute voir la prvision de leur esprance de vie prolonge laide de mthodes plus prcises.

1.3. LES TYPES DE MODLES DE MATRIAUXTemprature Efforts Prix Disponibilit Dure de vie souhaite Aspect

3Temprature Comportement du matriau Forme Type de matriau Dure de vie prvue Elaboration

Rgles simplifies Forme Type de matriau Elaboration

Efforts

a. Conception

b. Justication

Temprature Efforts

Comportement du matriau Forme

Oui

Non Forme Type de matriau Elaboration

Objectif OK ?

Raisons de lchec Dure de vie

Type de matriau ElaborationComportement du matriau

Efforts Temprature

c. Expertise

d. Optimisation

F IG . 1.1 Oprations industrielles o intervient le comportement des matriaux Il faut encore avoir recours des modles plus prcis dans le cas de lexpertise (g.1.1c) puisquune telle opration intervient aprs quun problme, grave ou non, soit apparu. Le point important ici est dtre capable de mettre en regard les modles utiliss et les phnomnes physiques qui se sont produits. Loptimisation (g.1.1d) va tendre se gnraliser, grce larrive de calculateurs sufsamment puissants pour quil soit envisageable deffectuer plusieurs dizaines de fois le calcul de la structure tudier.

1.3

Les types de modles de matriaux

Ce cours va sefforcer de faire rfrence une grande varit de matriaux solides. Les modles qui seront considrs sappliquent aux mtaux, aux cramiques, aux polymres, aux composites, au bois, au bton, aux sols (sables et roches), aux biomatriaux (os, tissus). Il y a deux grandes voies permettant davoir accs aux proprits mcaniques de ces matriaux : 1. Une approche dductive, qui cherche prendre en compte la microstructure du matriau en vue de dterminer ses proprits macroscopiques. Ainsi un mtal sera considr comme un polycristal, agrgat de grains dorientations cristallographiques diffrentes, et au comportement individuel parfaitement caractris, un composite se verra reprsent par sa matrice et ses bres, un bton par la matrice et les granulats... Cette approche choisit donc de modliser lhtrognit des matriaux, en vue de mieux prvoir le comportement moyen global (par exemple si les proportions

4 Matriau Mtaux Polymres Cramiques Bois Bton Argiles Type dhtrognit cristal, 10100 m molcules, 1050 m grains, 110 m bres, 0,11 mm granulats, 1 cm grains, 110 mm

CHAPITRE 1. INTRODUCTION Taille de lEVR 1 mm 1 mm 0,1 mm 10 mm 10 cm 1 mm

TAB . 1.1 Exemples de volumes lmentaires reprsentatifs (la taille de lEVR dsigne la dimension du ct du cube lmentaire considr). des constituants changent). Elle est donc relativement riche, de par son principe mme, mais elle est galement lourde mettre en uvre, si bien que son utilisation est encore limite la prvision du comportement des matriaux, dans loptique de mieux comprendre leur fonctionnement et damliorer leurs proprits mcaniques. 2. Une approche inductive, de nature phnomnologique, qui, linverse, cherchera simplement caractriser le comportement dun lment de volume reprsentatif (EVR). Faisant alors abstraction de la structure ne du matriau. Cette mthode de travail consiste dterminer les relations de cause effet qui existent entre les variables constituant les entres et les sorties du processus tudi. Cest par excellence lapproche de lingnieur dans ses travaux de conception. Elle trouve une justication dans le fait que des phnomnes de lchelle microscopique trs divers peuvent conduire, aprs des effets de moyenne, des rponses globales de mme nature. Par contre, leur emploi aveugle peut tre dangereux sil sagit dappliquer le modle hors de son domaine de dtermination initial. Il reste que cette mthode est, dans bien des cas, la seule applicable dans un cadre industriel. Le choix de llment de volume reprsentatif est bien entendu fondamental : celui-ci doit tre sufsamment grand par rapport aux htrognits du matriau, et rester petit par rapport aux gradients de contraintes et de dformations dans la structure. Il faut par exemple une trentaine de grains dans la partie utile dune prouvette de traction, qui sert dterminer les proprits dun mtal. Le tableau 1.1 donne des exemples de tailles raisonnables pour quelques matriaux courants.

1.4

Les essais mcaniques

Il y a une grande varit de comportements prsentant des non-linarits lies la dformation ou au temps, en relation avec lenvironnement. Il est donc indispensable de les caractriser exprimentalement. Les essais mcaniques sur de petits spcimens, ou prouvettes sont donc la base de toutes les tudes. Ils vont donc tre brivement caractriss ici. Lobservation des caractristiques exprimentales va permettre didentier les types de comportement fondamentaux quil importera de simuler. Il existe de nombreux essais qui permettent de caractriser les proprits mcaniques des matriaux. Certains sont normaliss (AFNOR, Association Franaise de NORmalisation ; ISO, International Standardisation Organisation ; ASTM, American Society for Testing and Materials) ; il sagit dessais simples raliser, reproductibles, servant donner des informations sur les seuils de charge qui produisent des dformations irrversibles, ou encore la rupture. Ils sont utiliss par les ingnieurs en contrle et caractrisation. En revanche, et pour caractriser plus nement les matriaux, les chercheurs ont recours des moyens dessais plus complexes, mettant en uvre des chargements multiaxiaux ou anisothermes. La prsentation qui est donne ici est trs succincte. Des essais spciques dun matriau ou dun domaine industriel seront dtaills au cours des diffrentes sances. On trouve maintenant des sites internet qui contiennent des bases de donnes matriau. Quelques adresses sont signales sur le site

1.4. LES ESSAIS MCANIQUES

5

http ://mms2.ensmp.fr. Il faut bien retenir par ailleurs que lobtention de ces donnes et les mthodes de calcul associes sont souvent considres comme stratgiques par les entreprises, et quelles sont gardes condentielles.

1.4.1

Diffrents types dessais

Essai de traction simple : Un essai de traction ( > 0) ou de compression ( < 0) ralis vitesse de dformation constante sur un matriau rel donne des rsultats en termes defforts et de dplacement, que lon cherche ensuite convertir en une courbe contrainte-dformation ( en fonction de ). Dans le cas des alliages mtalliques et des polymres, on cherche se ramener un tat de contrainte simple, uniaxial. Les prouvettes sont des cylindres munis en gnral de ttes damarrage letes. Pour des raisons de reprsentativit, on est amen utiliser de plaques pour le cas des materiaux composites, ou encore des poutres pour les matriaux cramiques, qui cassent de faon fragile en traction. Cest pour la mme raison que lon teste les gomateriaux en utilisant des cyclindres en compression, avec parfois un connement latral. Pour le cas de la compression simple, il faut porter une grande attention aux conditions aux limites, en autorisant le meilleur glissement possible sur les appuis, faute de quoi se dveloppent dans lprouvette des champs de contrainte et de dformation complexes (mise en tonneau de lchantillon). Les courbes obtenues laide de cet essai ont typiquement lallure indique en gure 1.2 lorsque le comportement du matriau observ est indpendant de la vitesse (comportement de plasticit indpendante du temps). Le comportement fait apparatre une partie linaire (lasticit) suivie dune partie non linaire, au cours de laquelle la pente diminue dans le diagramme dformationcontrainte, au point de devenir ventuellement ngative.

Re dsigne la limite dlasticit "vraie", ou limite de proportionnalit, R0,2 dsigne la limite dlasticit conventionnelle, qui correspond une dformation inlastique de 0,2%, Rm dsigne la rsistance la traction, Ah dsigne lallongement correspondant la contrainte maximale, Ar dsigne lallongement la rupture.

=F/SRm R 0,2 Re

0,2%

Ah

Ar

l/l 0

F IG . 1.2 Schma dun essai de traction simple Quoique dapparence simple, il sagit en fait dun essai dont linterprtation peut devenir dlicate, puisque la diminution de pente observe peut recouvrir des phnomnes physiques trs diffrents, et surtout que le passage des pentes ngatives est en gneral li au fait que le champ de dformation nest plus uniforme. En traction sur un mtal, ceci correspond des phnomnes qui peuvent tre dorigine mtallurgique (bandes de Lders) ou gomtrique, lorsque les dformations sont trop importantes striction au centre de lprouvette. Une approche lmentaire due Considre indique que lapparition de la striction se produit lorsque lgalit d/d = est vrie. Dans le cas des roches, ladoucissement est en gnral li des phnomnes dendommagement, qui introduisent des dsordres dans le matriau tudi.

6Tension curve, aluminium alloy 600

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

500

725C 100 90 + +

400 stress (MPa)

80 70

300

200

(MPa) 50 40 30 20 10 + 0 0

60 +

+

+

+

+

+

+

+

100

= 2.4 104 s1 = 8.0 105 s1 = 1.6 105 s10.01 0.02 0.03 0.04 0.05

+ 0.09 0.1

0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 strain (mm/mm) 0.03 0.035 0.04 0.045

0.06

0.07

0.08

(a)

(b)

F IG . 1.3 (a) Traction simple sur une prouvette en alliage daluminium ; (b) Traction simple sur un acier austnitique 725 C

La gure 1.3a montre le dbut dune courbe de traction dun alliage daluminium temprature ambiante. Lorsquon lve la temprature au dessus du tiers de la temprature de fusion, le comportement devient sensible la vitesse de dformation. Cest le cas de la gure 1.3b, qui montre lallure des courbes obtenues pour un acier austnitique 725 C . A trs grande vitesse, on obtiendrait une certaine saturation de leffet de vitesse. A faible vitesse, on tend galement vers une limite correspondant la courbe de traction vitesse nulle, qui nest lie qu lcrouissage. Essai de uage : Lorsquune prouvette est soumise une traction simple (essai monodimensionnel sous une contrainte et une dformation ), si, partir dun certain tat, la contrainte est maintenue constante, la dformation restera constante (absence de dformations diffres dans le temps) sil ny a aucune viscosit. Lorsquon dpasse le tiers de la temprature de fusion dans les alliages mtalliques, on observe au contraire des dformations lies au caractre visqueux du comportement. On distingue classiquement 3 stades dans un essai de uage, comme indiqu sur la gure 1.4a, le uage primaire (I), au cours duquel le matriau se durcit le uage secondaire (II) pendant lequel la vitesse est constante, et le uage tertiaire (III) au cours duquel lendommagement devient signicatif, ce qui conduit une augmentation de la vitesse menant la rupture. La gure 1.4b montre quant elle le rsultat obtenu pour diffrents niveaux de chargement sur une fonte 800 C .0.03

p

+ + +

+

III II Ip

0.025 0.02

=12MPa =16MPa =20MPa =25MPa

+

+ + 0.015 + + + 0.01 + + ++ 0.005 + + + + + + + + 0 0 200 400 600 800 1000

t

t (s)

F IG . 1.4 (a) Les trois tapdes dun essai de uage ; (b) Fluage dune fonte 800 C

En fait, dans le cas dun matriau rel (conu par lhomme ou existant dj dans la nature), des dformations diffres (phnomne de viscosit) seront alors observes de faon peu prs systmatique, tel point quil faut admettre que tous les matriaux rels prsentent ce phnomne de viscosit, pourvu quune priode de temps sufsamment grande soit considre. Ainsi, si une prouvette cylindrique dune roche saline (Nacl : sel gemme, Kcl : potasse) dune dizaine de centimtres est soumise une

1.4. LES ESSAIS MCANIQUES

7

v E

s

p

t

F IG . 1.5 Reprsentation dun essai de relaxation

pression axiale dune dizaine de MPa, pression maintenue constante, et que sa hauteur est mesure au bout dune journe, puis une journe plus tard avec une prcision absolue de 1mm, alors, temprature ambiante, aucune variation de longueur ne sera dtecte. Il ne faut pas en dduire que les roches salines temprature ambiante ne prsentent pas de viscosit, car, en augmentant la prcision de la mesure ou en attendant plus longtemps (un mois de uage par exemple), il est possible dobserver des dformations diffres. Essai de relaxation : Une autre manire de caractriser la viscosit dun matriau est de le soumettre un essai de relaxation, dans lequel la dformation de lprouvette est maintenue constante aprs une prdformation intitiale. Plus le comportement du matriau prsente une composante visqueuse importante, et plus la contrainte chute rapidement, pour atteindre ventuellement une valeur nulle. Cet essai est essentiellement ralis sur les mtaux et les polymres. Essai triaxial : Comme indiqu prcdemment, certains matriaux ne peuvent pas tre tests simplement en traction, en raison de leur trs faible rsistance, ou de leur forte sensibilit aux dcentrages des lignes damarrage (bton, cramique). Ils sont alors tests en compression, ou en exion. La compression uniaxiale sur des cylindres a dj t dcrite, mais il est parfois ncessaire davoir recours un mode de sollicitation o les bords latraux sont contenus (essai triaxial) : lchantillon est soumis latralement une pression hydrostatique qui assure son maintien, ce qui permet par exemple de tester des matriaux pulvrulents (argiles, sables). Essai de exion : Il est ralis sur des barrettes, avec 3 ou 4 points dappuis, ce dernier cas permettant de bncier dune zone centrale dans laquelle le moment de exion est uniforme. Il est essentiellement utilis avec des matriaux fragiles, dont le comportement sera lastique. La plastication, associe au fait que le comportement en traction et en compression peut tre diffrent, conduit des redistributions de contraintes complexes dans lprouvette, si bien que le dpouillement de lessai luimme peut ncessiter un calcul de structure. Dans un mme ordre dide, il existe galement des essais de exion rotative, dans lesquels une prouvette en rotation, encastre une extrmit, subit un effort perpendiculaire son axe, si bien que les points de la surface extrieure voient leur tat de contrainte passer alternativement de la traction la compression. Ces essais sont utiliss pour dterminer la limite de fatigue, sollicitation en dessous de laquelle le matriau rsistera un chargement rpt. Essai de torsion : Ralis sur prouvette pleine, cet essai est essentiellement utilis haute temprature pour connatre laptitude la mise en forme des mtaux. Lavantage de ce type dessai est dviter la striction. Par contre, il est dinterprtation difcile, dans la mesure o ltat de contrainte et dformation nest pas uniforme. Il est possible de remdier ce dernier inconvnient, en adoptant comme prouvettes des tubes minces, qui peuvent tre instruments localement, laide de jauges ou

8 dextensomtres.

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Essai de duret : Largement employ comme moyen de contrle, il mesure la rsistance la pntration dindenteurs de diverses formes, par exemple une bille dacier de gros diamtre (10 mm) dans le cas de lessai Brinel, ou une pyramide diamant base carre, langle entre les faces opposes tant de 136 pour lessai Vickers. Une relation empirique indique que, dans les aciers doux, la duret Vickers (force/dimension de lempreinte) est de lordre de 3 fois la rsistance la traction. Essai Charpy : Il permet de caractriser sur un barreau entaill le passage dun mode de rupture ductile, accompagn de dformation inlastique, donc forte nergie, un mode de rupture fragile, prsent plus basse temprature, qui ne met en jeu que des nergies faibles. Cette tude se fait en rompant lprouvette sous impact laide dun mouton-pendule, et en mesurant lnergie absorbe lors de limpact : le rsultat sexprime en joules par centimtre carr de section rsiduelle, et est dnomm rsilience. Essais complexes : Outre les essais de traction-torsion sur tube, il existe dautres moyens de gnrer des tats de contraintes multiaxiales contrls dans des prouvettes. Cest le cas dessais de tractionpression interne sur tube, ou encore dessais sur des prouvettes cruciformes.

1.4.2

Moyens de mesure, ordres de grandeur

La bonne connaissance de la prcision des mesures effectues est fondamentale pour pouvoir considrer dun il critique les rsultats obtenus dans un essai mcanique. Les forces ou les contraintes sont gnralement mesures avec des dynamomtres, dont la prcision relative est de lordre de 103 . Les dplacements fournissent une information moyenne sur ce qui se passe dans une zone de lprouvette. Les capteurs doivent donc tre xs si possible dans une zone o les dformations sont homognes, faute de quoi des hypothses, ou un calcul de structure seront ncessaires pour analyser les rsultats de lessai. Les capteurs classiques, inductifs ou jauges de dformation, assurent une prcision absolue de lordre de 1m. Des dveloppements spciques, ou lutilisation dextensomtres optiques peuvent permettre dabaisser cette limite 0,2m. Dans tous les cas, il est prfrable deffectuer une mesure locale de la dformation, ce qui permet de faire abstraction des phnomnes complexes prenant naissance hors de la partie utile, de section constante. Linformation locale sur la dformation donne par une jauge de dformation (l rsistant coll sur une prouvette, qui se dforme avec elle, si bien que la rsistance lectrique change) est en gnral plus prcise que la prcdente, puisquil est possible de mesurer des dformations de lordre de 107 . Nanmoins les jauges ne fonctionnent pas haute temprature, et sont susceptibles de se dcoller en cours dessai. La temprature est une des grandeurs les plus difciles matriser. Les thermocouples (utilisant leffet Peltier) fournissent en gnral une prcision thorique infrieure au degr. Par contre, il peut tre trs dlicat de venir positionner un thermocouple sur lprouvette, sans gnrer de rsistance thermique de contact, et sans que la mesure ne perturbe le milieu environnant. La mthode lectrique savre tre un complment utile des mthodes cites ci-dessus, lorsquil sagit de mettre en vidence lendommagement ou la rupture dune prouvette conductrice. Elle consiste faire circuler un courant continu de forte intensit dans lprouvette, et mesurer la variation de potentiel sur deux prises de potentiels situes au voisinage de la partie utile. Les talonnages peuvent seffectuer sur des congurations de rfrence (ssures calibres), ou par le calcul. Il est possible daccder des variations de potentiel de lordre de 1mV, ce qui correspond en gnral des ssures de lordre de quelques dizimes de millimtres.

1.5. MISE EN UVRE

9

1.5

Mise en uvre

La manire dont sont stockes et utilises les connaissances en matriau et en mcanique a considrablement volu au cours des vingt dernires annes. Le recours linformatique est gnral, avec le dveloppement de bases de donnes, de sites internet proposant leurs services, et les codes de calcul de structures notamment. Cette oraison ne dispense pas de dvelopper une comprhension profonde des modles utiliss en simulation. Sans les capacits de juger de la bonne tenue de ses rsultats, un ingnieur ou un chercheur peut en effet se laisser porter par lapparente facilit dutilisation quapportent des interfaces-utilisateurs de plus en plus conviviales, et fournir des rsultats, en couleur, tout fait aberrants. Cette consquence est dautant plus probable que le modle est complexe, et le comportement non linaire est une source inpuisable de rsultats errons. Pour tcher dviter cet cueil, il faut en passer par un apprentissage manuel des ordres de grandeurs et des mthodologies de calcul. On sera ainsi mieux arm pour aborder lindispensable outil numrique.

10

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2

RhologieLa construction des modles de comportement non linaire des matriaux comporte deux volets : ltude des proprits rhologiques et la dnition de la forme des quations pour un chargement tridimensionnel. La rhologie, tude des coulements, permet de relier les contraintes, les dformations, et leurs drives, et caractrise la nature des comportements. La caractrisation exprimentale a t voque en introduction. Certains comportements fondamentaux ont t identis. Chacun va se caractriser ici par une brique lmentaire. Les comportements les plus complexes se batissent ensuite partir de celles-ci en formant des assemblages qui sont dcrits dans ce chapitre. La conception dun modle complet ncessite enn le choix dune gnralisation qui permette de passer de ltude sous chargement uniaxial celle des chargements multiaxiaux. Ce sera lobjet du chapitre suivant, qui dcrira les diffrents critres qui autorisent cette gnralisation. On commence lexamen des diffrentes classes de modle par quelques remarques sur les types de dformation que peut subir la matire.

2.12.1.1

Les diffrents types de dformationLes sources de dformation

Pour les lois de comportement les plus simples (lasticit, viscosit pure) un seul tenseur de dformation permet de caractriser les changements de forme de llment de volume. De nombreuses situations pratiques font au contraire intervenir dautres types de dformations. Avant daborder cette description, on fait le bilan des lments ncessaires la construction dune loi de comportement. Un cadre devenu classique, et qui est prsent dans le cours de MMC [4] (chapitre 5) suppose que lon dnisse un certain nombre de variables dtat qui reprsentent linstant t le rsultat de toute lhistoire du matriau. La dformation lastique est lexemple dune telle variable. Il faut ensuite introduire des coefcients, ou paramtres matriau, qui vont porter sur ces variables et dnir les grandeurs associes (lapproche thermodynamique parle de forces thermodynamiques) quelles gnrent. Ainsi, le tenseur des modules dlasticit permet-il de calculer le tenseur des contraintes. Un matriau est galement soumis laction de paramtres extrieurs, qui vont crer en son sein des distorsions ou des variations de volume. Le fait de solliciter le matriau dans des conditions extrmes (fortes charges par exemple) fait apparatre des irrversibilits dans le processus de dformation, qui devront tre caractrises par de nouvelles variables dtat. On entamera au paragraphe suivant ltude de ce type de dformation. Il faut auparavant citer le cas des dformations paramtriques. On regroupe derrire cette dnomination les modes de dformations additionnels, qui sont pilots par des paramtres extrieurs. En toute rigueur les distorsions et dilatations produites ne conduisent pas un tenseur de dformation, parce quelles ne vrient pas forcment les quations de compatibilit. Lusage a nanmoins consacr labus de notation, et on utilise par exemple th pour dsigner la dilatation thermique ; on accepte mme parfois de parler de dformation thermique. Parmi les autres paramtres extrieurs qui fournissent des dformations 11

12

CHAPITRE 2. RHOLOGIE

additionnelles, on peut citer par exemple : lirradiation dun matriau, qui provoque dans certaines gammes de temprature la germination et la croissance de cavits, ce qui produit un changement de volume ; le changement de phase ; les mtaux et alliages, mais aussi les roches, peuvent changer de rseau cristallin en fonction de la temprature et de la pression. Ces phnomnes doivent bien entendu tre dcrits laide de variables dtat, mais, dans la mesure o une quantit donne datomes noccupera pas le mme volume en fonction de sa phase cristallographique (cubique, hexagonale,. . .), un changement de volume spcique accompagnera de faon systmatique le changement de phase.

2.1.2

Dilatation thermique

La dilatation thermique est proportionnelle la variation de temprature pour une petite variation de celle-ci autour dun point de fonctionnement considr. Ceci permet donc dintroduire un tenseur de dilatation thermique. Sur une large gamme de temprature, lexprience montre que les termes de ce tenseur dpendent de la temprature. Comme par ailleurs on peut choisir la temprature laquelle on prend la dilatation thermique nulle, il faut introduire deux tempratures particulires dans la dnition, T0 temprature laquelle th est nul, et Tr , temprature de rfrence partir de laquelle est mesur . La forme complte est alors : pour le cas anisotrope th = (T )(T Tr ) (T0 )(T0 Tr ) (2.1) pour le cas isotrope

th = (T )(T Tr )I (T0 )(T0 Tr )I

(2.2)

soit th = (T )(T Tr )i j (T0 )(T0 Tr )i j ij (2.3) Dans une telle dnition, (T ) (dpendant de la temprature) est le coefcient de dilatation scant. Cest lui qui est ordinairement tabul dans les bases de donnes. La dformation totale scrit comme une somme de la part lastique et de la part thermique : = e + th Lorsque le champ de temprature dans une pice nest pas uniforme, la dilatation varie dun point lautre. Si le champ appliqu permet de vrier les conditions de compatibilit, et sil peut se dvelopper une dilatation libre, il ny a pas de contrainte, dans le cas contraire (champ de temprature trop complexe ou restrictions cinmatiques), ceci conduit au dveloppement de contraintes thermomcaniques.

2.2

Les briques de base du comportement non linaire

Lallure qualitative de la rponse des matriaux quelques essais simples permet de les ranger dans des classes bien dnies. Ces comportements de base, qui peuvent tre reprsents par des systmes mcaniques lmentaires, sont llasticit, la plasticit et la viscosit. Les lments les plus courants sont reports en gure 2.1, o le point au-dessus dune variable dsigne la drive temporelle : 1. Le ressort, qui symbolise llasticit linaire parfaite, pour laquelle la dformation est entirement rversible lors dune dcharge, et o il existe une relation biunivoque entre les paramtres de charge et de dformation (gure 2.1a). 2. Lamortisseur, qui schmatise la viscosit, linaire (gure 2.1b) ou nonlinaire (gure 2.1c). La viscosit est dite pure sil existe une relation biunivoque entre la charge et la vitesse de chargement. Si cette relation est linaire, le modle correspond la loi de Newton.

2.3. PLASTICIT UNIAXIALE

13

3. Le patin, qui modlise lapparition de dformations permanentes lorsque la charge est sufsante (gure 2.1d). Si le seuil dapparition de la dformation permanente nvolue pas avec le chargement, le comportement est dit plastique parfait. Si, de plus, la dformation avant coulement est nglige, le modle est rigideparfaitement plastique.

a.

= E

b.

=

c.

= 1/N

y y d.F IG . 2.1 Les briques de base pour la reprsentation des comportements Ces lments peuvent tre combins entre eux pour former des modles rhologiques. Ceux-ci reprsentent des systmes mcaniques qui servent de support dans la dnition des modles. Il ne faut en aucun cas leur accorder un trop grand crdit pour ce qui concerne la reprsentation des phnomnes physiques qui sont la base des dformations. Ils sont nanmoins brivement prsents ici, car ils permettent de comprendre la nature des relations introduire pour chaque type de comportement, en pratiquant par exemple lexercice qui consiste combiner deux deux les modles lmentaires. Cest aussi loccasion dintroduire lensemble du vocabulaire qui sera utile dans le cas gnral des chargements tridimensionnels. En fonction du type de chargement impos, la rponse de ces systmes peut tre juge dans 3 plans diffrents : plan dformationcontrainte, -, pour lessai de traction simple, ou dcrouissage, augmentation monotone de la charge ou de la dformation ; plan tempsdformation, t-, pour lessai de uage, sous charge constante ; plan tempscontrainte, t-, pour lessais de relaxation, sous dformation constante.

2.32.3.1

Plasticit uniaxialeModle lastiqueparfaitement plastique

Lassociation dun ressort et dun patin en srie (gure 2.2 a) produit un comportement lastique parfaitement plastique, modlis en gure 2.2 c. Le systme ne peut pas supporter une contrainte dont la valeur absolue est plus grande que y . Pour caractriser ce modle, il faut considrer une fonction de charge f dpendant de la seule variable , et dnie par : f () = || y (2.4)

Le domaine dlasticit correspond aux valeurs ngatives de f , et le comportement du systme se rsume

14

CHAPITRE 2. RHOLOGIE(H) (y ) (E) (y ) a. y p y y H p b.

c.

d.

F IG . 2.2 Associations en srie ou parallle de patin et ressort

alors aux quations suivantes : domaine dlasticit si : dcharge lastique si : coulement plastique si : f< 0 f= 0 f= 0 et f< 0 et f= 0 ( = e = /E) e ( = = /E) ( = ) p (2.5) (2.6) (2.7)

En rgime lastique, la vitesse de dformation plastique est bien entendu nulle, la vitesse de dformation lastique devenant son tour nulle pendant lcoulement plastique. Ceci implique que lexpression de la vitesse de dformation plastique ne peut pas se faire laide de la contrainte. Cest au contraire la vitesse de dformation qui doit tre choisie comme pilote. Le modle est sans crouissage, puisque le niveau de contrainte ne varie plus au sortir du domaine dlasticit. Il ny a pas dnergie stocke au cours de la dformation, et la dissipation en chaleur est gale la puissance plastique. Le modle est susceptible datteindre des dformations innies sous charge constante, conduisant la ruine du systme par dformation excessive.

2.3.2

Modle de Prager

Lassociation en parallle de la gure 2.2b correspond au comportement illustr en gure 2.2d. Dans ce cas, le modle prsente de lcrouissage. Il est dit cinmatique linaire [16], car dpendant linairement de la valeur actuelle de la dformation plastique. Sous cette forme, le modle est rigide plastique. Il devient lastoplastique si lon rajoute un ressort en srie. La forme de la courbe dans le plan p est due au fait que, lors de lcoulement plastique, la contrainte qui stablit dans le ressort vaut X = H p . Par ailleurs, cet coulement ne se produit que si la valeur absolue de la contrainte dans le patin, soit | H p |, est gale y . Pour une dformation donne, cette contrainte X est une contrainte interne qui caractrise le nouvel tat neutre du matriau. Ce deuxime exemple offre loccasion dcrire un modle plus complet que prcdemment. La fonction de charge dpend maintenant de la contrainte applique et de la contrainte interne. Elle scrit : f (, X) = | X| y (2.8)

Il ny aura prsence dcoulement plastique que si on vrie la fois f = 0 et f = 0. Ceci conduit la

2.3. PLASTICIT UNIAXIALE condition suivante : f f X =0 + X signe( X) +signe( X) X = 0 p = X, et nalement : = /H

15

(2.9)

Do : (2.10) (2.11)

Dans ce cas, la contrainte augmente au cours de lcoulement plastique, si bien quelle peut servir de variable de contrle. Mais il est aussi toujours possible dexprimer la vitesse dcoulement plastique en fonction de la vitesse de dformation totale, en utilisant la dcomposition de la dformation combine avec lexpression de la vitesse de dformation plastique, le cas o H = 0 redonnant bien entendu le cas du matriau parfaitement plastique : E p = (2.12) E +H Il est remarquable de noter que le calcul de lnergie dissipe au cours dun cycle produit exactement le mme rsultat que pour le premier montage, ce qui indique que, pour ce type de comportement, une partie de lnergie est temporairement stocke dans le matriau (ici, dans le ressort), et entirement restitue la dcharge. Ceci donne une illustration physique de la notion dcrouissage renversable, alors que dautres rgles dcrouissage cinmatique, nonlinaire, qui ne seront pas considres dans le cadre de ce cours, sont accompagnes dune dissipation dnergie.

2.3.3

criture gnrale des quations de llastoplasticit uniaxiale

Dans le cas gnral, les conditions de chargedcharge sexpriment donc : domaine dlasticit si : dcharge lastique si : coulement plastique si : f (, Ai )< 0 f (, Ai )= 0 f (, Ai )= 0 ( = /E) (, Ai )< 0 ( = /E) et f (, Ai )= 0 ( = /E + p ) et f (2.13) (2.14) (2.15)

Dans le cas gnral, le module H dpend de la dformation et/ou des variables dcrouissage. La valeur du module plastique au point (, Ai ) sobtient en crivant que le point reprsentatif du chargement reste sur la limite du domaine dlasticit au cours de lcoulement. Lquation qui en dcoule sappelle la condition de cohrence : f(, Ai ) = 0 (2.16) Ce formalisme peut paratre un peu lourd dans le cadre dun chargement uniaxial, mais il est utile de le mettre en place, car ce sont les mmes outils qui seront ensuite utiliss dans le cas plus complexe des chargements multiaxiaux. Dans les deux exemples qui ont t dcrits, le domaine dlasticit est soit xe, soit mobile, sa taille tant conserve. Le premier cas ne ncessite bien entendu aucune variable dcrouissage, le second fait intervenir une variable X qui dpend de la valeur actuelle de la dformation plastique. Cette variable deviendra tensorielle dans le cas gnral. Comme indiqu plus haut le type dcrouissage correspondant sappelle crouissage cinmatique (gure 2.3b). Une autre volution lmentaire que peut subir le domaine dlasticit est lexpansion. Cet autre cas (gure 2.3a) correspond un matriau dont le domaine dlasticit voit sa taille augmenter, mais qui reste centr sur lorigine : il sagit dun crouissage isotrope [22]. La variable dcrouissage qui intervient dans f est la dimension du domaine dlasticit, note R : f (, R) = || R y (2.17)

Lvolution de cette variable est la mme quel que soit le signe de la vitesse de dformation plastique. Elle sexprimera donc en fonction de la dformation plastique cumule, p, variable dont la drive est

16

CHAPITRE 2. RHOLOGIE

gale la valeur absolue de la vitesse de la dformation plastique : p = | p |. Bien entendu, il ny a pas de p tant que le chargement est monotone croissant. Dans ce cas, vrier la condition diffrence entre p et de cohrence revient tout simplement exprimer que la valeur actuelle de la contrainte est sur la frontire du domaine dlasticit. Pour lcrouissage cinmatique, cela scrit = X + y , et pour lcrouissage isotrope = R + y . Cela signie donc que cest la loi dvolution de la variable dcrouissage qui dtermine exactement la forme de la courbe de traction. Les deux modles rhologiques invoqus donnent des courbes linaires, avec des modules plastiques nul ou constant. Il est souvent plus raliste de considrer une courbe qui se sature en fonction de la dformation, soit par exemple une fonction puissance (loi de RambergOsgood, avec deux coefcients matriaux K et m) ou une exponentielle, cette dernire formulation offrant lavantage dintroduire une contrainte ultime u supportable par le matriau (deux coefcients matriau, u et b en plus de y ) : = y + K ( p )m = u + (y u ) exp(b )p

(2.18) (2.19)

Dans bien des cas, les utilisateurs ne prennent pas la peine de dnir une forme explicite de la loi de comportement, et dcrivent la courbe de traction point par point. Cela revient implicitement considrer un crouissage isotrope. Ce type dcrouissage est prdominant pour les dformations importantes (au-del de 10%). Cependant, lcrouissage cinmatique continue de jouer un rle important lors de dcharges, mme pour les grandes dformations, et cest lui qui est prpondrant pour les faibles dformations et les chargements cycliques. Il permet en particulier de simuler correctement leffet Bauschinger, cest--dire le fait que la contrainte dlasticit en compression dcrot par rapport la contrainte initiale la suite dun prcrouissage en traction. Il est nanmoins moins souvent utilis que lcrouissage isotrope, car son traitement numrique est plus dlicat. y R + y p R + y y X y y p

a. Isotrope

b. Cin matique e

F IG . 2.3 Illustration des deux principaux types dcrouissage

2.42.4.1

Viscolasticit uniaxialeUn exemple de modle rhologique

Le modle de Maxwell regroupe un amortisseur et un ressort en srie (gure 2.4a), celui de Voigt un amortisseur et un ressort en parallle (gure 2.4b). Leurs quations respectives sont : Maxwell : Voigt : = /E0 + / = H + , ou encore : = ( H )/ (2.20) (2.21)

La particularit du modle de Voigt est de ne pas prsenter dlasticit instantane. Ceci entrane que sa fonction de relaxation nest pas continue et drivable par morceaux, avec un saut ni lorigine :

2.4. VISCOLASTICIT UNIAXIALE(H) () (E0 ) () a. Maxwell 0 /E0 0 /H Voigt t c. Fluage Maxwell t Maxwell E0 0 b. Voigt

17

d. Relaxation

F IG . 2.4 Fonctionnement des modles de Maxwell et Voigt lapplication dun saut de dformation en t = 0 produit une contrainte innie. Ce modle nest donc pas utilisable en relaxation, sauf si la mise en charge est progressive, et sera pour cette raison associ un ressort en srie pour effectuer des calculs de structure (modle de KelvinVoigt du paragraphe suivant). Sous leffet dune contrainte 0 constante en fonction du temps, la dformation tend vers la valeur asymptotique 0 /H, le uage est donc limit (gure 2.4c). Par ailleurs, si, aprs une mise en charge lente, la dformation est xe une valeur 0 , la contrainte asymptotique sera H 0 . Il ny a donc pas dans ce dernier cas disparition complte de la contrainte. Au contraire, dans le cas du modle de Maxwell, la vitesse de uage est constante (gure 2.4c), et la disparition de contrainte au cours dune exprience de relaxation est totale (gure 2.4d). Dans le cas de modles et de chargement aussi simples, la rponse est obtenue instantanment par intgration directe des quations diffrentielles. Les formules obtenues sont respectivement, pour le modle de Maxwell : uage sous une contrainte 0 : relaxation la dformation 0 : et pour le modle de Voigt : uage sous une contrainte 0 : = (0 / H)(1 exp[t/ ]) (2.24) = 0 /E0 + 0 t / = E0 0 exp[t/] (2.22) (2.23)

Les constantes = /E0 et = /H sont homognes un temps, dsignant le temps de relaxation du modle de Maxwell.

2.4.2

tude dun modle compos

Le modle de KelvinVoigt (gure 2.5a) prsente respectivement les rponses suivantes, pour t > 0, en uage sous une contrainte 0 , en posant f = /H, et en relaxation pour une dformation 0 , en posant r = /(H + E0 ) : (t) = C(t) 0 = (t) = E(t) 0 = 1 1 + (1 exp[t/ f ]) 0 E0 H H E0 + exp[t/r ] E0 0 H + E0 H + E0 (2.25) (2.26)

18(H) (E0 ) () (E2 ) b. Zener

CHAPITRE 2. RHOLOGIE(E1 ) ()

a. KelvinVoigt

F IG . 2.5 Exemple de modles composs

Le temps caractristique en relaxation, r , est plus court que le temps correspondant en uage, f . Le matriau volue donc plus vite vers son tat asymptotique en relaxation quen uage. Le modle de Zener (gure 2.5b) peut se ramener au modle de KelvinVoigt, laide du double changement de variable 1/E1 = 1/E0 + 1/H, et E2 = E0 + H, ce qui prouve que les deux modles sont en fait identiques. La mme observation peut tre faite en uage. Ce modle correspond au comportement du bton frais. Les modles indiqus peuvent tre encore amliors : le modle de KelvinVoigt gnralis est obtenu en ajoutant en srie dautres modules amortisseurressort (H, ) dans le cas du premier modle ; ce modle reprsente en gnral correctement le comportement des polymres fortement rticuls ; le modle de Maxwell gnralis est obtenu en ajoutant en parallle dautres modules amortisseurressort (E2 , ) au second modle ; ce modle reprsente qualitativement le comportement des polymres thermoplastiques.

2.52.5.1

Viscoplasticit uniaxialeUn exemple de modle rhologique(H) (E) () (y ) y vp b. Comportement en traction

a. Sch ma du mod` le e e

F IG . 2.6 Modle de Bingham gnralis

La gure 2.6a indique comment, en rajoutant un simple amortisseur, il est possible de passer trs simplement dun modle ayant un comportement plastique indpendant du temps un modle viscoplastique : le modle obtenu est le modle de Bingham gnralis. On retrouverait loriginal de ce modle en enlevant le ressort en srie (E , pas dlasticit instantane, on obtient alors un modle rigide viscoplastique), et en supprimant le ressort en parallle, (H = 0, pas dcrouissage). La dformation lastique se lit aux bornes du ressort de caractristique E, la dformation viscoplastique, que lon nommera vp , aux bornes de lassemblage en parallle. La dtermination des quations de ce modle seffectue en considrant les quations de comportement individuelles de chacun des lments : X = Hvp v = vp p y (2.27)

2.5. VISCOPLASTICIT UNIAXIALE

19

o X, v et p sont respectivement les contraintes dans le ressort de caractristique H, dans lamortisseur et dans le patin, et : = X + v + p (2.28) Il y a donc comme pour le modle plastique un domaine dlasticit, dont la frontire est atteinte lorsque | p | = y . On distingue alors trois rgimes de fonctionnement, selon que la vitesse de dformation viscoplastique est nulle, positive ou ngative : (a) vp = 0 (b) vp > 0 (c) < 0 vp | p | = | Hvp | p = H p = Hvp vpvp

y vp = y = y

(2.29) (2.30) (2.31)

Le cas (a) correspond lintrieur du domaine dlasticit (| p | < y ) ou un tat de dcharge lastique (| p | = y et | p | 0), les deux autres cas de lcoulement (| p | = y et | p | = 0 ). En posant < x >= max(x, 0), les trois cas peuvent se rsumer par une seule expression : vp = | X| y signe( X) ou encore : vp = signe( X) (2.32)

avec

f (, X) = | X| y

(2.33)

La nature du modle a maintenant compltement chang, puisque le point reprsentatif de ltat de contrainte courant peut se trouver dans la zone f > 0, et que la vitesse dcoulement est maintenant rgie par le temps : elle peut tre non nulle sans quil y ait dincrment de contrainte ou de dformation. Ceci explique quen gure 2.6b la courbe de traction ne soit plus unique (plus la vitesse est grande, plus la contrainte visqueuse v sera leve, et plus la courbe de traction sera haute), et que, lors dune dcharge, le point de fonctionnement ne pntre pas immdiatement dans le domaine dlasticit (on peut donc avoir un coulement positif contrainte dcroissante). Par ailleurs, il est possible de simuler des expriences de uage ou de relaxation. En uage (gure 2.7), en supposant quon applique un chelon de contrainte (de 0 o > y ) partir dun tat de rfrence o toutes les dformations sont nulles, le modle prvoit que la dformation viscoplastique est une exponentielle en fonction du temps t, avec un temps caractristique f = /H (gure 2.7a) : o y t vp = 1 exp (2.34) H f La gure 2.7b montre, dans le plan contraintedformation viscoplastique, les volutions respectives de la contrainte interne X et du seuil X + y . Lorsque ce dernier rejoint la contrainte applique o , la vitesse de dformation viscoplastique sannule.vp 0 y H 0 y t a. b.

y X

vp

F IG . 2.7 Fluage avec le modle de Bingham

20

CHAPITRE 2. RHOLOGIE

En relaxation, la rponse un chelon de dformation (de 0 o tel que Eo > y ) fait cette fois intervenir un temps caractristique de relaxation r = /(E + H) : = y E E +H 1 exp t r + Eo E +H H + E exp t r (2.35)

La gure 2.8a montre le trajet parcouru par le point reprsentatif de ltat de contrainte au cours de la relaxation (pente E puisque vp + /E = 0). La gure 2.8b reprsente quant elle le trajet caractristique au cours dune exprience deffacement, ou encore de recouvrance. En fonction du niveau de chargement initial, on peut rencontrer aprs dcharge une vitesse dcoulement ngative ou nulle, mais en aucun cas on ne pourra ramener la dformation viscoplastique zro, sauf dans le cas particulier o la contrainte y est nulle. Il ny a alors plus de seuil initial, et on conoit bien quil nest plus ncessaire dans ce cas de dnir une dcomposition de la dformation : on retrouve dailleurs le modle de KelvinVoigt, donc une approche viscolastique. A E OA : transitoire AB : relaxation B H BC : d charge e CD : effacement y y incomplet

vp

O

vp

D C a. b. F IG . 2.8 Fonctionnement du modle de Bingham dformation impose

2.5.2

Quelques modles classiques en viscoplasticit

Dans lexemple prcdent, la vitesse de dformation viscoplastique est proportionnelle une certaine contrainte efcace, diffrence entre la contrainte applique et le seuil, qui reprsente la distance entre le point de fonctionnement actuel et la frontire du domaine dlasticit, qui nest rien dautre que la valeur de la fonction f au point de fonctionnement courant. La relation linaire peut tre remplace par une forme plus gnrale, en introduisant une fonction de viscosit, , qui fournit alors en traction simple : vp = ( f ) (2.36)

Pour un modle qui comporterait la fois de lcrouissage isotrope et cinmatique, cette relation sinverse sous la forme suivante, toujours en traction simple : = y + X + R + 1 (vp ) = y + X + R + v (2.37)

La courbe de traction est dtermine par lvolution du seuil, exactement comme dans le cas dun modle de plasticit (au travers de X et R), mais galement par la fonction de viscosit, qui pilote la valeur de la contrainte visqueuse v . Pour des raisons physiques videntes, on considre que (0) = 0, et on suppose galement que est une fonction monotone croissante. Dans le cas o v sannule, le modle reproduit un comportement plastique indpendant du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitation augmente, et plus la contrainte atteinte pour une dformation donne sera leve. Dans le cadre dun modle viscoplastique, il y a donc deux possibilits pour introduire de lcrouissage. On conserve les possibilits daction sur des variables de type X et R, et on peut galement

2.6. INFLUENCE DE LA TEMPRATURE

21

jouer sur la forme de la contrainte visqueuse. On appelle classiquement modles crouissage additif ceux qui jouent sur les variables de type plasticit et modles crouissage multiplicatif ceux qui jouent sur la contrainte visqueuse, une approche o les deux mcanismes sont prsents tant bien entendu galement envisageable. Par ailleurs, contrairement au cas de la plasticit, on peut ici considrer un modle dans lequel le domaine dlasticit se rduit lorigine ( = 0), et qui ne possde pas dcrouissage. Ainsi le modle le plus courant estil le modle de Norton (avec deux coefcients matriau K et n) : || n vp = signe() (2.38) K On peut le gnraliser pour en faire un modle seuil sans crouissage, ou rintroduire X et R aux cts de y , ce qui conduit un modle crouissage additif. vp = vp = || y n signe() K | X| R y n signe( X) K (2.39) (2.40)

Il y a galement une grande libert pour choisir dautres formes que la fonction puissance, ainsi un sinus hyperbolique dans le modle de Sellars et Teggart (loi sans crouissage, coefcients A et K) : vp = A sinh || signe() K (2.41)

Pour obtenir des lois crouissage multiplicatif, il faut admettre que la fonction ne dpend pas uniquement de f , ainsi la loi de Lemaitre (coefcients matriau K, m et n positifs) : vp = || Kn

pn/m signe() avec

p = |vp |

(2.42)

2.6

Inuence de la temprature

Tous les coefcients caractristiques qui ont t dnis cidessus sont susceptibles de dpendre de la temprature. Les dpendances se dnissent en gnral par des tables, aprs examen du comportement isotherme. Dans certains cas, lorsque les mcanismes physiques sont bien dnis, il est possible de prciser explicitement linuence de la temprature. La loi la plus couramment utilise pour cela est la loi dArrhenius. Elle est valide en uage. Elle introduit une nergie dactivation thermique Q, et R, constante des gaz parfaits (le rapport Q/R est homogne une temprature), et indique que plus la temprature est leve pour une charge donne, plus la vitesse de dformation est grande : vp = o exp(Q/RT ) (2.43)

Ceci permet de construire des quivalences tempstemprature, et, en menant en laboratoire des essais temprature plus leve que la temprature de fonctionnement vise dans les applications, dobtenir en un temps limit des informations sur le comportement long terme. Cette approche doit bien entendu tre manipule avec prcaution dans le cas de matriaux vieillissants, et elle ne peut tre tendue de trop grandes plages de temprature.

22

CHAPITRE 2. RHOLOGIE

RsumLes quations trs gnrales qui ont t crites pour le moment mettent en vidence la nature des modles de viscolasticit, de plasticit et de viscoplasticit. Ces deux derniers ont en commun lexistence dun domaine dlasticit (ventuellement rduit lorigine pour le modle viscoplastique) et de variables dcrouissage. Par contre, il faut aussi retenir que lcoulement plastique est instantan, alors que lcoulement viscoplastique est retard : d p = g(, . . . )d dvp = g(, . . . )dt (2.44)

Ceci aura des consquences importantes pour lcriture du comportement lasto-(visco)-plastique tangent, qui est la caractristique utilise par les codes de calcul de structures. On ne considre dans ce cours que des formes trs naves dcrouissage, dans la mesure o lobjectif est avant tout de mettre en place les structures des thories. La description de formes plus ralistes ncessiterait bien plus de temps. On retiendra pour mmoire les effets des chargements cycliques, des trajets de chargement multiaxiaux non proportionnels, des changements de phase, le vieillissement, les interactions avec lenvironnement, etc. . . La plupart de ces effets sont maintenant bien documents, et font lobjet de modlisations spciques. En labsence de dformations paramtriques, les principales quations sont donc les suivantes (en adoptant partir de maintenant la mme notation, p , pour la dformation viscoplastique comme pour la dformation plastique) : Viscolasticit ; le modle est une combinaison des dformations, des contraintes, et de leurs vitesses : Maxwell : Voigt : Plasticit et viscoplasticit : = e + p Plasticit : domaine dlasticit si : dcharge lastique si : coulement plastique si : En traction contrainte impose : p = En traction dformation impose : p = Viscoplasticit : domaine dlasticit si : coulement plastique si : f (, Ai ) 0 ( = /E) f (, Ai )> 0 ( = /E + p ) f (, Ai )< 0 f (, Ai )= 0 f (, Ai )= 0 H ( = /E) et f(, Ai )< 0 ( = /E) et f(, Ai )= 0 ( = /E + p ) = /E0 + / = H + , ou encore : = ( H )/

E +H

En traction contrainte et dformation impose, une forme possible est : p = y Kn

Chapitre 3

CritresLa description des modles utiliser sous chargement uniaxial qui a t faite dans le chapitre prcdent a mis en vidence un domaine dlasticit, dans lespace des contraintes et des variables dcrouissage, pour lequel il ny a pas dcoulement plastique ou viscoplastique. La trace de ce domaine sur laxe de la contrainte se limite un segment de droite, qui peut subir une translation ou une expansion (il peut mme parfois se limiter un point). Par ailleurs certains modles sont capables de reprsenter une contrainte maximale supportable par le matriau. An de pouvoir aborder ltude des chargements multiaxiaux, il est ncessaire de se donner les moyens de dnir de telles limites en tridimensionnel. On passe donc en revue les outils disponibles pour crire ces modles dans le cas de milieux continus, enn on montre les principales classes de critres. De mme que pour les lois dcoulement qui ont t cites prcdemment, le choix de tel ou tel critre va dpendre du matriau tudi.

3.1

Les outils disponibles

Le cas du chargement uniaxial tudi jusqu prsent fait apparatre un domaine dlasticit au travers de deux valeurs de contrainte, lune en traction, lautre en compression, pour lesquelles se produit lcoulement plastique. Ainsi dans le cas du modle de Prager, le domaine dlasticit initial est le segment [y , y ], et sa position pour une dformation plastique p est [y + X, y + X], avec X = H p . Il est dcrit par la fonction de charge (dnie de R2 dans R), f : (, X) f (, X). Pour dnir ce mme domaine en prsence de chargements multiaxiaux, la fonction f devient une fonction du tenseur de contrainte, et du tenseur X = H p , (de R12 dans R) telle que si f (, X ) < 0, ltat de contraintes est lastique, si f (, X ) = 0, le point de fonctionnement est sur la frontire, la condition f (, X ) > 0 dnissant lextrieur du domaine. Dans le cas gnral, lensemble de dpart contiendra les contraintes et toutes les variables dcrouissage, scalaires ou tensorielles, il faut donc dnir f (, Ai ). On va dans un premier temps limiter la prsentation la dnition du domaine dlasticit initial, pour lequel on supposera que les variables Ai sont nulles, si bien quon se contentera dcrire les restrictions des fonctions f dans lespace des contraintes. Lexprience montre que, pour la plupart des matriaux, le domaine dlasticit initial est convexe (cest en particulier vrai pour les mtaux qui se dforment par glissement cristallographique). La fonction de charge doit donc ellemme tre convexe en , ce qui implique, pour tout rel compris entre 0 et 1, et pour un couple (1 , 2 ) quelconque de la frontire : f ( 1 + (1 ) 2 ) f (1 ) + (1 ) f (2 ) (3.1)

Comme dans le cas de ltude du tenseur dlasticit, il faut ici encore respecter les symtries matrielles. Ceci implique en particulier dans le cas dun matriau isotrope que f soit une fonction symtrique des seules contraintes principales, ou bien encore, ce qui est quivalent, des invariants du 23

24

CHAPITRE 3. CRITRES

tenseur des contraintes dont la dnition provient du polynme caractristique : I1 = trace() 2

= ii

(3.2) (3.3) (3.4)

I2 = (1/2) trace( ) = (1/2) i j ji I3 = (1/3) trace(3 ) = (1/3) i j jk ki

Lexprience montre que la dformation plastique dun grand nombre de matriaux est indpendante de la pression hydrostatique. Ceci amne considrer comme variable critique faire gurer dans la dnition du critre non plus le tenseur de contraintes lui-mme, mais son dviateur , dni en enlevant s la pression hydrostatique, et ses invariants :

s = (I1 /3) I =03

(3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9)

J1 = trace(s )

J2 = (1/2) trace(s 2 ) = (1/2) si j s ji J3 = (1/3) trace(s ) = (1/3) si j s jk ski

Il est commode, en vue de raliser les comparaisons avec les rsultats exprimentaux, de disposer dexpressions des critres dans lesquelles les valeurs de f sont homognes des contraintes, cest ce qui amne par exemple utiliser la place de J2 linvariant J, qui peut galement sexprimer en fonction des contraintes principales 1 , 2 , 3 , ou de la contrainte dans le cas dun tat de traction simple : J = ((3/2)si j s ji )1/2 = (1/2) (1 2 )2 + (2 3 )2 + (3 1 )21/2

= ||

(3.10)

La valeur prcdente est rapprocher de celle de la contrainte de cisaillement octadral. Les plans octadraux sont ceux dont le vecteur normal est de type {1, 1, 1} dans lespace des contraintes principales. Il est ais de montrer que le vecteur contrainte valu sur le plan (1,1,1) partir des valeurs de 1 , 2 , 3 a pour composantes normale oct et tangentielle oct : (3.11) oct = (1/3) I1 oct = ( 2/3) J La valeur de J dnit donc le cisaillement dans les plans octadraux. Les remarques prcdentes indiquent que le plan de normale (1,1,1) va tre un plan privilgi pour la reprsentation des critres. En effet, tous les points reprsentant des tats de contrainte qui ne diffrent que par un tenseur sphrique (donc qui sont quivalents visvis dun critre qui ne fait pas intervenir la pression hydrostatique) sy projettent sur le mme point. La gure 3.1 montre ce plan, dans lequel les projections des axes principaux dterminent des angles de 2/3, et qui a comme quation 1 + 2 + 3 = I1 /3. Pour traiter le comportement des sols (les argiles par exemple) ou des matriaux pulvrulents articiels, on est amen utiliser le troisime invariant. On introduit alors : S = (9/2)si j s jk ski1/3

= ((9/2)(s .s ) : )1/3 s

(3.12)

On note que S vaut en traction comme en compression simple (tenseur uniaxial avec comme seule composante non nulle ), quil vaut 0 en cisaillement simple, et pour une expansion quibiaxiale (1 = 2 = , les autres composantes nulles). Cela permet donc de reprsenter des diffrences de comportement en traction et en compression. Par ailleurs, sa combinaison avec J permet de dnir langle de Lode, , qui intervient dans la dnition de certains critres : = S 1 arcsin 3 J3

(3.13)

3.2. CRITRES NE FAISANT PAS INTERVENIR LA PRESSION HYDROSTATIQUE3d signe les points qui peuvent se ramener e a de la traction simple, ceux qui peuvent se ` ramener a la compression simple (par exemple ` un chargement biaxial, car un etat o` les seules u contraintes non nulles sont 1 =2 = est equivalent a 3 = -), est un etat de cisaillement `

25

1

2

F IG . 3.1 Etats de contraintes caractristiques dans le plan dviateur

3.23.2.1

Critres ne faisant pas intervenir la pression hydrostatiqueCritre de von Mises

Dans la mesure o la trace du tenseur des contraintes nintervient pas, le critre le plus simple est celui qui nutilise que le second invariant du dviateur des contraintes, ou encore J [25] (voir en annexe s la section 11.2). Ceci correspond un ellipsode dans lespace des tenseurs symtriques (expression quadratique des composantes si j , qui sont toutes quivalentes), soit, si y est la limite dlasticit en traction : f () = J y (3.14)

3.2.2

Critre de Tresca

Lexpression du critre de von Mises fait intervenir les cisaillements maximaux dans chaque plan principal, reprsents par les quantits (i j ). La spcicit du critre de Tresca est de ne retenir que le plus grand dentre eux. Le fait de rajouter une pression chaque terme de la diagonale ne modie pas, comme prvu, la valeur du critre. Contrairement au cas prcdent, cette expression ne dnit en gnral pas une surface rgulire (discontinuit de la normale, points anguleux) : f () = max |i j | y i, j

(3.15)

On peut galement exprimer le critre en fonction de langle de Lode : 2J f () = cos() y 3 (3.16)

3.2.3

Comparaison des critres de Tresca et von Mises

Comme il nest bien entendu pas question de se placer dans lespace des 6 (ou 9) composantes du tenseur des contraintes, il faut se rsoudre ne visualiser les frontires du domaine dlasticit que dans des sousespaces deux ou trois dimensions. Les reprsentations les plus courantes seffectuent : dans le plan tractioncisaillement (gure 3.2a), lorsque seules les composantes = 11 et = 12 sont non nulles ; les expressions des critres se rduisent alors : von Mises : Tresca : f (, ) = 2 + 32 f (, ) = 2 + 41/2

y y

(3.17) (3.18)

2 1/2

26

CHAPITRE 3. CRITRES dans le plan des contraintes principales (1 , 2 ) (gure 3.2b), lorsque la troisime contrainte principale 3 est nulle : von Mises : Tresca : f (1 , 2 ) = 2 + 2 1 2 1 2 f (1 , 2 ) = f (1 , 2 ) = f (1 , 2 ) = 2 y 1 y 1 2 y1/2

y si si si 0 0 2 1 2 0 2 1 1

(3.19) (3.20) (3.21) (3.22) (3.23)

(symtrie par rapport laxe 1 = 2 )

dans le plan dviateur (gure 3.1), le critre de von Mises est reprsent par un cercle, ce qui est cohrent avec son interprtation par le cisaillement octadral, le critre de Tresca par un hexagone ; dans lespace des contraintes principales, chacun de ces critres est reprsent par un cylindre de gnratrice (1,1,1), qui sappuie sur les courbes dnies dans le plan dviateur.12 m t y a. 11 y

2 y

y

y b. y

1

F IG . 3.2 Comparaison des critres de Tresca (en pointills) et de von Mises (traits pleins), (a) En traction-cisaillement (von Mises : m = y / 3, Tresca : t = y /2), (b) En traction biaxiale

3.3

Critres faisant intervenir la pression hydrostatique

Ces critres sont ncessaires pour reprsenter la dformation plastique des matriaux pulvrulents, des sols ou en prsence dendommagement du matriau. Ils expriment le fait quune contrainte hydrostatique de compression rend plus difcile la dformation plastique. Une des consquences de leur formulation est quils introduisent une dissymtrie tractioncompression.

3.3.1

Critre de DruckerPrager

Cest une extension du critre de von Mises, combinaison linaire du deuxime invariant du dviateur et de la trace du tenseur des contraintes. Cest toujours un cercle dans le plan dviateur, mais qui dpend de laltitude sur la trissectrice des axes 1 , 2 , 3 de contraintes principales (gure 3.3a) : f () = (1 ) J + I1 y (3.24)

La limite dlasticit en traction reste y , et la limite dlasticit en compression est y /(1 2 ). Le coefcient dpend du matriau, il est bien entendu compris entre 0 et 1/2, et on retrouve le critre de von Mises pour = 0 (gure 3.3b). Une expression plus complexe de ce mme critre fait intervenir une forme plus complique de la contribution dviatorique, prenant en compte le troisime invariant. En reprenant lexpression 3.12 qui

3.3. CRITRES FAISANT INTERVENIR LA PRESSION HYDROSTATIQUE

27

3

y / 2

J y /1 f 0), si bien que ( ) : p 0 devient : k n : n 0 do : 0 (4.17)

Dans le cas des matriaux qui vrient le principe du travail maximal, la surface de charge joue en mme temps le rle de pseudo-potentiel plastique, et dtermine lcoulement plastique un scalaire multiplicatif prs. Si la surface nest pas rgulire et prsente un coin au point , il y existe un cne des normales, lintrieur duquel se trouve la direction de lincrment de dformation plastique.

38 p n

CHAPITRE 4. PLASTICIT ET VISCOPLASTICIT 3D

f 2 > 3 , la fonction de charge scrit : f () = |1 3 | y , si bien que, pour lensemble des tats de contrainte qui vrient cette ingalit, la vitesse de dformation plastique possde les mmes composantes, le matriau ne se dformant pas selon laxe 2 (dformation de type cisaillement) : 1 0 0 si 1 > 2 > 3 : p = 0 0 0 (4.23) 0 0 1 La dnition de la normale pose un problme pour les tats de contrainte correspondant aux points singuliers, ainsi en traction simple, lorsque par exemple 1 > 2 = 3 = 0, le critre sexprimant alors indiffremment f () = |1 2 | y , ou f () = |1 3 | y . Il est alors classique de dnir deux multiplicateurs plastiques, se rfrant chacun une forme du critre. Si ces deux multiplicateurs sont choisis gaux, le modle redonne la mme forme que le critre de von Mises en traction simple. Par contre, ds que ltat de contrainte sloigne de lgalit stricte entre les composantes 2 et 3 , cest lun des deux rgimes de type cisaillement qui prend le dessus. 1 0 0 1 0 0 si 1 > 2 = 3 = 0 : p = 0 0 0 + 0 1 0 (4.24) 0 0 1 0 0 0

4.4.3

Critre de DruckerPrager

La fonction de charge scrit f () = (1 )J() + I1 y , si bien que la normale n possde une composante sphrique. La dformation plastique value avec un tel critre est accompagne dune augmentation de volume quel que soit le chargement appliqu : n= s 3 (1 ) + I 2 J (4.25) (4.26)

trace( p ) = 3

De faon gnrale, tout critre qui fait apparatre la pression hydrostatique produit un terme de changement de volume accompagnant la dformation plastique. Dans le cas de lexpression 4.25, il est remarquable de noter galement que, quel que soit le chargement appliqu, compression comme traction, la variation de volume est toujours positive. Ceci savre tre un dfaut pour le modle, et explique que lon construise galement des critres dans lesquels on ferme le domaine dlasticit du ct des pressions hydrostatiques ngatives.

4.5

Comportement parfaitement plastique

Cas dun matriau lastique-parfaitement plastique Dans ce cas, la fonction de charge ne dpend que du tenseur de contrainte. Le domaine dlasticit est xe. Au cours de lcoulement plastique, le point reprsentatif de ltat de contrainte ne peut que tourner autour du domaine dlasticit. Le multiplicateur plastique est indtermin ; la condition de charge plastique et la condition de cohrence deviennent respectivement : pour f () = 0 et f() = 0 au cours de lcoulement :

p

=

: n : =0

f = n

(4.27) (4.28)

40 Calcul du multiplicateur plastique

CHAPITRE 4. PLASTICIT ET VISCOPLASTICIT 3D

Le multiplicateur plastique est indtermin pour un matriau lastique-parfaitement plastique charg en vitesse de contrainte impose. Cela est li au fait que, le module plastique tant nul, il existe une innit de positions quivalentes en dformation plastique pour un tat de contrainte admissible donn, tel que J() = y : ainsi, en traction simple 11 = 0 , tous les tenseurs diagonaux ( p , (1/2) p , (1/2) p ) sont des solutions possibles. Le fait dimposer la vitesse de dformation totale modie bien entendu ce rsultat. Le multiplicateur plastique va pouvoir tre dtermin, en combinant la loi de comportement lastique crite en termes de vitesse et la condition de cohrence, soit : = : ( p ) et n:=0 (4.29)

En remplaant par sa valeur dans la deuxime galit de lquation 4.29, il vient : n : : ( p ) = n : : n : : n = 0 si bien que : = n:: n::n (4.30)

(4.31)

Dans le cas particulier de llasticit isotrope, et du critre de von Mises, on obtient successivement les simplications suivantes : i jkl = i j kl + (ik jl + il jk ) ni j i jkl = 2 nkl ni j i jkl nkl = 3 ni j = s 3 2J (4.32) (4.33) (4.34)

ni j i jkl kl = 2 nkl kl

2 = n: 3 Pour un chargement uniaxial, avec = 11 , cette dernire expression se rduit : = signe() qui redonne : p =

(4.35)

Sous chargement uniaxial, la vitesse de dformation totale et la vitesse de dformation plastique sont identiques, puisque le niveau de contrainte reste inchang pendant lcoulement. Ce rsultat nest pas gnral. Lorsque le chargement seffectue sur plusieurs composantes du tens