UICMcanique du Solidecole dIngnierieExercice 1On sintresse une centrifugeuse de laboratoire prsente ci-dessous, compose dun bti S0, dun bras S1 et dune prouvette S2 contenant deux liquides de masses volumiques diffrentes. Sous leffet centrifuge d la rotation du bras S1 lprouvette S2 sincline pour se mettre pratiquement dans laxe du bras. De fait, le liquide dont la masse volumique est la plus grande est rejet au fond de lprouvette. Paramtrage du systme : est un repre li S0. S1 est en liaison pivot daxe avec S0. Le repre est un repre li S1. On note langle mesur autour de , tel que S2 est en liaison pivot daxe avec S1. Le repre est un repre li S2. On note langle mesur autour de , tel que On donne et , o a et b sont des longueurs constantes positives. Calculer laide de la formule de Varignon, la vitesse de G dans le rfrentiel en fonction des donnes du problme (a, b, , , et les vecteurs des rfrentiels , et ).Vue de dessusVue de ctExemple de centrifugeuse 4 prouvettes

Nous aurons besoin de lexpression de dans: Sachant:On en dduit:On applique la formule de Varignon aux deux solides S1 et S2:

Et on en dduit la vitesse de G par rapport :

Exercice 2On considre un hlicoptre (figure ci-dessous) se dplaant vitesse uniforme le long de l'axe fixe dans le rfrentiel . Les 3 pales de l'hlice ont une longueur R et tournent la vitesse angulaire .Le rfrentiel li lhlicoptre est not .Le rfrentiel li aux pales de lhlicoptre est not .En utilisant la formule de Varignon, exprimer dans , la vitesse du point M situ l'extrmit d'une pale (voir figure ci-dessous) en fonction des donnes du problme (v, R, , et les vecteurs des rfrentiels , et ).

Lhlicoptre tant en translation, tous ses points ont la mme vitesse: On applique donc la formule de Varignon aux pales de lhlicoptre uniquement:

Exercice 3On s'intresse une olienne reprsente par le schma cinmatique et la photo ci-dessous. Le mt est bien entendu fixe. Le corps tourne autour de laxe vertical sous linfluence du vent. La girouette se charge dorienter lolienne dans la direction du vent. Ainsi, les pales sont toujours entranes en rotation par le vent et transmettent la puissance mcanique au gnrateur lectrique.Ce systme est constitu de trois solides : Le mt 0 : de repre associ , fixe par rapport au sol tel que l'axe , soit orient suivant la verticale ascendante La girouette 1 a la facult de pouvoir tourner par rapport au mat 0 autour de laxe . Soit le repre associ la girouette 1, on pose, tel que et Les pales 2 possdent la facult de pouvoir tourner par rapport la girouette 1 autour de laxe . Soit le repre associ aux pales 2, de telle faon que laxe soit confondu avec laxe des pales. On pose , tel que et a et b sont des longueurs constantes positives.Exprimer la vitesse du point G en utilisant la formule de Varignon et en fonction des donnes du problme (a, b, , , et les vecteurs des rfrentiels , et ).girouette

??

Nous aurons besoin de lexpression de dans: Sachant:On en dduit:On applique la formule de Varignon aux deux solides 1, la girouette et 2, les pales:

Et on en dduit la vitesse de G par rapport :

Exercice 4Une roue, de rayon r, roule l'intrieur d'un cylindre fixe de rayon R, (R > r). La position du centre C de la roue est repre par l'angle (voir figure). La distance est maintenue constante par un bras solide.On suppose que l'axe de symtrie de la roue reste parallle l'axe du cylindre (la roue reste dans un plan perpendiculaire l'axe du cylindre).On notera: le rfrentiel terrestre li galement au cylindre le rfrentiel li au bras solide le rfrentiel li la roue le vecteur li la roue tel que langle entre et .Calculer le vecteur vitesse en utilisant la formule de Varignon et en fonction des donnes du problme (R, r, , , et les vecteurs des rfrentiels , et ).

Bras solide

Sachant:On applique la formule de Varignon aux deux solides S et S:

Et on en dduit la vitesse de M par rapport :

Exercice 5Un mange d'enfants, comportant quatre capsules, tourne une vitesse de rotation , avec . Sur la plateforme, les quatre capsules tournent galement autour de leurs axes respectifs une vitesse de rotation , avec . Les axes sont situs une distance R de O, telle que . Les enfants sinstallent quatre par capsule. Soit un enfant install dans une capsule de centre O1 en M, tel que .Nous utiliserons les trois rfrentiels suivants: : li la Terre : li au mange : li la capsule centre en O1 Calculer la vitesse du point M en utilisant la formule de Varignon et en fonction des donnes du problme (R, r, 1, 2, et les vecteurs des rfrentiels , et ).

OO1Rr

M

Sachant:On applique la formule de Varignon aux deux solides, le mange et la capsule, lis et :

Et on en dduit la vitesse de M par rapport :

Exercice 6Un avion hlice vole une vitesse uniforme . Son hlice, de diamtre 2R, tourne une vitesse o et .Le bout de pale est not M et le vecteur vrifie Nous utiliserons les trois rfrentiels suivants: : li la Terre : li lavion et centr sur lhlice : li lhlice centr en O1 Calculer la vitesse du point M situ en bout de pale de lhlice en utilisant la formule de Varignon et en fonction des donnes du problme (v, R, , et les vecteurs des rfrentiels , et ).

??

O

Lavion tant en translation, tous ses points ont la mme vitesse: On applique donc la formule de Varignon lhlice uniquement:

CPI1Correction Khlle n12014/2015