René Cori IREM de Paris€¦ · Le phénix et les Normands Ces propositions que l'on ne peut ni...

Le phénix et les NormandsCes propositions que l'on ne peut ni démontrer ni réfuter

René Cori

IREM de ParisÉquipe de logique mathématique

[email protected]

Nantes, 31 mars 2016

1

Groupes

Un groupe est un ensemble muni d'une opérationinterne binaire et d'un élément � distingué �

⟨G ,∗, e ⟩

qui véri�e les trois propriétés suivantes :

2

Groupes

∀x ∀y ∀z x ∗ (y ∗z)= (x ∗y)∗z(l'opération ∗ est associative)

∀x ∀x ∀x (x ∗e= x et e∗x = x)

(l'élément e est neutre pour l'opération ∗)

∀x ∀x ∃y (x ∗y = e et y ∗x = e)

(tout élément admet un symétrique)

3

Groupes

Quel est votre groupe favori ?

U2 ?

Coldplay ?

PSL2(Z/3Z) ?

The Rolling Stones ?

4

Groupes


U2 ?

Coldplay ?

PSL2(Z/3Z) ?


5

Groupes


U2 ?

Coldplay ?

PSL2(Z/3Z) ?


6

Groupes


U2 ?

Coldplay ?

PSL2(Z/3Z) ?


7

Groupes


U2 ?

Coldplay ?

PSL2(Z/3Z) ?


8

Groupes

Exemples :

⟨Z,+, 0 ⟩

⟨R∗,×, 1 ⟩

⟨GL2(R),×, I2⟩

⟨Z/2Z,+, 0 ⟩

⟨{e} ,e∗e= e,e⟩

9

Groupes

Exemples :

⟨Z,+, 0 ⟩

⟨R∗,×, 1 ⟩

⟨GL2(R),×, I2⟩

⟨Z/2Z,+, 0 ⟩

⟨{e} ,e∗e= e,e⟩

10

Groupes

Exemples :

⟨Z,+, 0 ⟩

⟨R∗,×, 1 ⟩

⟨GL2(R),×, I2⟩

⟨Z/2Z,+, 0 ⟩

⟨{e} ,e∗e= e,e⟩

11

Groupes

Exemples :

⟨Z,+, 0 ⟩

⟨R∗,×, 1 ⟩

⟨GL2(R),×, I2⟩

⟨Z/2Z,+, 0 ⟩

⟨{e} ,e∗e= e,e⟩

12

Groupes

Exemples :

⟨Z,+, 0 ⟩

⟨R∗,×, 1 ⟩

⟨GL2(R),×, I2⟩

⟨Z/2Z,+, 0 ⟩

⟨{e} ,e∗e= e,e⟩

13

Groupes

∀x ∀y ∀z x ∗ (y ∗z)= (x ∗y)∗z∀x ∀x ∀x (x ∗e= x et e∗x = x)∀x ∀x ∃y (x ∗y = e et y ∗x = e)

Ce sont les axiomes de la théorie des groupes.Ils sont écrits dans un langage qui utilise

des variables : x , y , z , . . .les connecteurs logiques : � non �, � et �,� ou �, =⇒, ⇐⇒, . . .les quanti�cateurs : ∀, ∃les parenthèses : � ) �, � ( �le symbole d'égalité : =un symbole d'opération binaire : ∗un symbole de constante : e 14

Groupes




Groupes



Ï des variables : x , y , z , . . .les connecteurs logiques : � non �, � et �,� ou �, =⇒, ⇐⇒, . . .les quanti�cateurs : ∀, ∃les parenthèses : � ) �, � ( �le symbole d'égalité : =un symbole d'opération binaire : ∗un symbole de constante : e 17

Groupes



Ï des variables : x , y , z , . . .Ï les connecteurs logiques : � non �, � et �,� ou �, =⇒, ⇐⇒, . . .les quanti�cateurs : ∀, ∃les parenthèses : � ) �, � ( �le symbole d'égalité : =un symbole d'opération binaire : ∗un symbole de constante : e 18

Groupes



Ï des variables : x , y , z , . . .Ï les connecteurs logiques : � non �, � et �,� ou �, =⇒, ⇐⇒, . . .

Ï les quanti�cateurs : ∀, ∃les parenthèses : � ) �, � ( �le symbole d'égalité : =un symbole d'opération binaire : ∗un symbole de constante : e 19

Groupes




Ï les quanti�cateurs : ∀, ∃Ï les parenthèses : � ) �, � ( �le symbole d'égalité : =un symbole d'opération binaire : ∗un symbole de constante : e 20

Groupes




Ï les quanti�cateurs : ∀, ∃Ï les parenthèses : � ) �, � ( �Ï le symbole d'égalité : =un symbole d'opération binaire : ∗un symbole de constante : e 21

Groupes




Ï les quanti�cateurs : ∀, ∃Ï les parenthèses : � ) �, � ( �Ï le symbole d'égalité : =Ï un symbole d'opération binaire : ∗un symbole de constante : e 22

Groupes




Ï les quanti�cateurs : ∀, ∃Ï les parenthèses : � ) �, � ( �Ï le symbole d'égalité : =Ï un symbole d'opération binaire : ∗Ï un symbole de constante : e 23

Groupes

On se �xe la contrainte suivante :

les variables sont appelées à désigner uniquement des éléments de

l'ensemble (pas des sous-ensembles, pas des fonctions. . . ).

Donc, les quanti�cations ne peuvent porter que sur des éléments.

Par exemple, un tel langage ne convient pas pour exprimer des

propriétés telles que

Ï le groupe est cyclique

(il faudrait quanti�er sur les entiers naturels, qui ne sont pas

des éléments du groupe) ;

Ï le groupe est simple

(il faudrait quanti�er sur les sous-ensembles du groupe).

Les langages de ce type sont appelés langages du premier ordre,en raison de cette contrainte sur les quanti�cations.

24

Groupes

Voici une autre proposition écrite dans le langage des groupes :

∀u ∀v(((

∀x (x∗u = x et u∗x = x))et

(∀x (x∗v = x et v∗x = x)

))

=⇒ u = v

)

Elle exprime l'unicité de l'élément neutre.

C'est une conséquence des axiomes.

On dit que c'est un théorème de la théorie des groupes.

Cela signi�e que toute structure ⟨G ,∗, e ⟩ qui véri�e les axiomes

véri�e aussi nécessairement cette proposition.

25

Groupes


∀u ∀v(((


(∀x (x∗v = x et v∗x = x)

))

=⇒ u = v

)






26

Groupes


∀u ∀v(((


(∀x (x∗v = x et v∗x = x)

))

=⇒ u = v

)






27

Groupes


∀u ∀v(((


(∀x (x∗v = x et v∗x = x)

))

=⇒ u = v

)






28

Groupes


∀u ∀v(((


(∀x (x∗v = x et v∗x = x)

))

=⇒ u = v

)






29

À vous de jouer !

Peut-on trouver une proposition écrite dans le langage des groupes

qui ne soit pas un théorème de la théorie ?

Facile ! Il su�t de prendre la négation de la proposition précédente.

Maintenant, peut-on trouver une proposition telle que ni elle ni sa

négation ne soient conséquences de la théorie ?

Autrement dit, il s'agit de trouver une proposition qui soit vraie

dans certains groupes et fausse dans d'autres.

Ce n'est pas bien di�cile :

∀x ∀y x ∗y = y ∗x

30

À vous de jouer !









∀x ∀y x ∗y = y ∗x

31

À vous de jouer !









∀x ∀y x ∗y = y ∗x

32

À vous de jouer !









∀x ∀y x ∗y = y ∗x

33

À vous de jouer !









∀x ∀y x ∗y = y ∗x

34

À vous de jouer !









∀x ∀y x ∗y = y ∗x

35

À vous de jouer !

Ajoutons cette proposition aux trois axiomes initiaux.

Elle devient un quatrième axiome et on obtient la

théorie des groupes abéliens :

∀x ∀y ∀z x ∗ (y ∗z)= (x ∗y)∗z∀x ∀x ∀x (x ∗e= x et e∗x = x)

∀x ∀x ∃y (x ∗y = e et y ∗x = e)

∀x ∀x ∀y x ∗y = y ∗x

36

À vous de jouer !

On continue.


qui ne soit pas un théorème de la théorie des groupes abéliens et sa

négation non plus ?


dans certains groupes abéliens et fausse dans d'autres.

Oui, c'est possible, par exemple. . .

37

À vous de jouer !

On continue.







38

À vous de jouer !

On continue.







39

Un peu de terminologie

Une structure dans laquelle tous les axiomes d'une théorie sont

véri�és s'appelle un modèle de la théorie.

Lorsqu'il est possible de trouver une proposition (écrite dans le

langage) qui est vraie dans certains modèles de la théorie et fausse

dans d'autres, on dit que la théorie est incomplète.

En pareil cas, il y a donc au moins une proposition qui n'est pas

conséquence de la théorie (on ne peut pas démontrer laproposition à partir des axiomes de la théorie) et dont la négation

n'est pas non plus conséquence de la théorie (on ne peut pas

réfuter la proposition à partir des axiomes de la théorie).

Une telle proposition sera dite indépendante de la théorie.

40

Retour aux groupes

La théorie des groupes est incomplète : on ne peut ni démontrer ni

réfuter à partir de ses axiomes la proposition qui a�rme la

commutativité de l'opération binaire.

La théorie des groupes abéliens est incomplète : on ne peut ni

démontrer ni réfuter à partir de ses axiomes la proposition qui

a�rme que tout élément du groupe est d'ordre 2 :

∀x x ∗x = e

Cette proposition est vraie dans ⟨Z/2Z,+, 0 ⟩ et fausse dans

⟨Z,+, 0 ⟩.

41

Retour aux groupes

La théorie des groupes est incomplète : on ne peut ni démontrer ni

réfuter à partir de ses axiomes la proposition qui a�rme la

commutativité de l'opération binaire.

La théorie des groupes abéliens est incomplète : on ne peut ni

démontrer ni réfuter à partir de ses axiomes la proposition qui

a�rme que tout élément du groupe est d'ordre 2 :

∀x x ∗x = e

Cette proposition est vraie dans ⟨Z/2Z,+, 0 ⟩ et fausse dans

⟨Z,+, 0 ⟩.

42

Le jeu continue

En présence d'une théorie incomplète, on va chercher un

� coupable �, c'est-à-dire une proposition indépendante de la

théorie, on va décider d'ajouter à la théorie, au choix, la proposition

coupable ou sa négation, et on va se demander si la nouvelle théorie

obtenue est encore incomplète. Bien sûr, on peut aussi vouloir

ajouter plusieurs axiomes en même temps, éventuellement une

in�nité.

43

Le jeu continue

Pour chaque entier nÊ 2, désignons par Hn la proposition suivante :

∀x (x 6= e=⇒ xn 6= e)

(xn est une abréviation pour x ∗x ∗ . . .∗x︸︷︷︸n occurrences de x

.

On peut dé�nir le terme xn par récurrence : x1 = x et, pour tout entier k Ê 1,

xk+1 = x

k ∗x .)La théorie des groupes abéliens sans torsion est celle qu'on

obtient en ajoutant aux axiomes des groupes abéliens l'ensemble

(in�ni) de toutes les propositions Hn (pour nÊ 2).

⟨Z,+, 0 ⟩ et ⟨GL2(R),×, I2⟩ sont des modèles de cette théorie, alors

que ⟨Z/2Z,+, 0 ⟩ n'en est pas un.

La théorie des groupes abéliens sans torsion est-elle incomplète ?

44

Le jeu continue


∀x (x 6= e=⇒ xn 6= e)


.


xk+1 = x





que ⟨Z/2Z,+, 0 ⟩ n'en est pas un 1.


1. Trouvez l'erreur grossière qui s'est glissée dans cette a�rmation !45

Le jeu continue


∀x (x 6= e=⇒ xn 6= e)


.


xk+1 = x





que ⟨Z/2Z,+, 0 ⟩ n'en est pas un 1.


1. Trouvez l'erreur grossière qui s'est glissée dans cette a�rmation !46

Le jeu continue

Oui !

∀x x = e

47

Le jeu continue

Ajoutons donc, a�n d'exclure le cas du groupe trivial, l'axiome

∃x x 6= e

On obtient ainsi la théorie des groupes abéliens sans torsionin�nis.[Car un groupe sans torsion non réduit à l'élément neutre est nécessairementin�ni.]

Est-elle incomplète ?

48

Le jeu continue

Oui !Examinons deux modèles bien connus de cette théorie :

⟨Z,+, 0 ⟩ et ⟨Q,+, 0 ⟩Peut-on trouver une proposition qui soit vraie dans l'un et fausse

dans l'autre ?

Oui !

∀x ∃y x = y ∗y

49

Le jeu continue

Oui !Examinons deux modèles bien connus de cette théorie :

⟨Z,+, 0 ⟩ et ⟨Q,+, 0 ⟩Peut-on trouver une proposition qui soit vraie dans l'un et fausse

dans l'autre ?

Oui !

∀x ∃y x = y ∗y

50

Le jeu continue

Pour chaque entier nÊ 2, désignons par Dn la proposition suivante :

∀x ∃y yn = x

Les groupes abéliens qui satisfont toutes les propositions Dn (pour

nÊ 2) sont appelés groupes abéliens divisibles.

En ajoutant l'ensemble de ces propositions Dn à tous les axiomes

précédents, on obtient la théorie des groupes abéliens divisiblessans torsion in�nis.

51

Le jeu continueLa théorie des groupes abéliens divisibles sans torsion in�nis est

donc constituée des axiomes suivants :

Ï ∀x ∀y ∀z x ∗ (y ∗z)= (x ∗y)∗zÏ ∀x (x ∗e= x et e∗x = x)Ï ∀x ∃y (x ∗y = e et y ∗x = e)Ï ∀x ∀y x ∗y = y ∗xÏ

{∀x (x 6= e=⇒ xn 6= e)

∣∣∣ nÊ 2}

Ï{∀x ∃y yn = x

∣∣∣ nÊ 2}

Ï ∃x x 6= e

Exemples de modèles de cette théorie ?

Cette théorie est-elle incomplète ?52




{∀x (x 6= e=⇒ xn 6= e)

∣∣∣ nÊ 2}

Ï{∀x ∃y yn = x

∣∣∣ nÊ 2}

Ï ∃x x 6= e



Fin du jeu !

Non !

La théorie des groupes abéliens divisibles

sans torsion in�nis est complète.

Toute proposition écrite dans le langage des groupespeut être soit démontrée soit réfutée à partir desaxiomes de cette théorie.

Autrement dit, toute proposition est soit vraie danstous les groupes abéliens divisibles sans torsionin�nis, soit fausse dans tous ces groupes.

Par exemple, il n'y a aucune proposition qui permettede distinguer les groupes ⟨Q,+, 0 ⟩, ⟨R,+, 0 ⟩ et⟨C,+, 0 ⟩ l'un de l'autre.

55

Fin du jeu !

Une question naturelle : est-ce que, en partant den'importe quelle théorie, on pourra toujours luiajouter des axiomes de façon à obtenir une théoriecomplète ?

56

Les mathématiques sont-elles complètes ?

57


Au début du vingtième siècle, on a élaboré un cadrepour formaliser toutes les mathématiques :la théorie des ensembles.

Les axiomes de la théorie des ensembles

Les modèles de la théorie des ensembles

58



Ï Les axiomes de la théorie des ensembles

Les modèles de la théorie des ensembles

59



Ï Les axiomes de la théorie des ensemblesÏ Les modèles de la théorie des ensembles

60

Les mathématiques sont-elles complètes ?La théorie des ensembles utilise un langage du premier ordre très

simple : en dehors des symboles � logiques � (variables,

connecteurs, quanti�cateurs, parenthèses), il y a simplement deux

symboles de relation binaires :

l'égalité (=) et l'appartenance (∈).On part du principe qu'il y a une seule sorte d'objets

mathématiques, les ensembles, et les axiomes permettent de

redé�nir toutes les notions nécessaires à partir de l'appartenance et

de l'égalité.

Le � monde mathématique � est alors représenté par un univers(on évite de dire � ensemble � car les ensembles, ce seront

précisément les objets de l'univers), et l'idée essentielle est qu'il

pourra (et même il devra) exister beaucoup d'univers, c'est-à-dire

beaucoup de modèles de la théorie des ensembles.

61


Un exemple d'axiome :

∀x ∃y ∀z(z ∈ y ⇐⇒∀t (t ∈ z =⇒ t ∈ x)

)(axiome de l'ensemble des parties).

62


Un exemple d'axiome :

∀x ∃y ∀z(z ∈ y ⇐⇒∀t (t ∈ z =⇒ t ∈ x)

)(axiome de l'ensemble des parties).

63


� il pourra (et même il devra) exister beaucoup d'univers �

ATTENTION !Il y a un petit problème. . .

On ne sait pas s'il y a un modèle de la théorie desensembles !Et on sait même qu'on ne pourra jamais démontrer qu'il y en a un !

(C'est un théorème de Gödel.)

Donc, tout ce qu'on peut dire, c'est que s'il y a un univers modèle

de la théorie des ensembles, alors il y en a fatalement beaucoup

d'autres.

64

Le théorème de Gödel

Ce que Gödel a démontré (vers 1930), c'est que la théorie des

ensembles n'est pas complète, mais surtout qu'il est impossible de

lui ajouter des axiomes de façon à obtenir une théorie complète

� raisonnable � qui permette d'axiomatiser les mathématiques.

Une théorie � raisonnable �, c'est une théorie dont on peut

connaître les axiomes de façon e�ective. La notion mathématique

correspondante est celle d'ensemble récursif d'axiomes.

65


Ce que Gödel a démontré (vers 1930), c'est que la théorie des

ensembles n'est pas complète, mais surtout qu'il est impossible de

lui ajouter des axiomes de façon à obtenir une théorie complète

� raisonnable � qui permette d'axiomatiser les mathématiques.

Une théorie � raisonnable �, c'est une théorie dont on peut

connaître les axiomes de façon e�ective. La notion mathématique

correspondante est celle d'ensemble récursif d'axiomes.

66


En réalité, ce n'est pas de la théorie des ensembles que traite

Gödel. Son résultat est plus fort, car il vaut pour toute théorie qui

contient (ou d'où l'on peut déduire) l'arithmétique de Peano. La

théorie des ensembles est un cas particulier.

Théorème : Toute théorie récursive cohérente qui contient

l'arithmétique de Peano est incomplète.

Soit T une telle théorie. Gödel donne une proposition du langage

de l'arithmétique, qu'on notera Coh(T ), que l'on ne peut ni

démontrer ni réfuter à partir de T . Cette formule � traduit � le fait

que T est cohérente.

67

� Les propositions vraies mais non démontrables �

68

Des propositions indépendantes de la théorie des ensembles

L'axiome de fondation Tout ensemble non vide est disjoint d'au

moins un de ses éléments.

Cet axiome exclut en particulier l'existence de suites in�nies

descendantes pour la relation d'appartenance, et donc des

situations du type a ∈ a.L'hypothèse du continu : Toute partie in�nie de l'ensemble des

nombres réels est soit dénombrable (en bijection avec N) soit

équipotente à (c.a.d. en bijection avec) R.

L'axiome du choix : Pour tout ensemble x dont tous les éléments

sont des ensembles non vides, il existe un ensemble y qui a

exactement un élément en commun avec chacun des éléments de x.

Cet axiome garantit la possibilité, étant donné une famille

(éventuellement in�nie) d'ensemble non vides, de choisir

simultanément un élément dans chacun de ces ensembles.

69















70















71















72















73















74

Mais au fait, que veut dire � démontrer � ?

75


Nous n'avons cessé de parler de propositions démontrables à partir

d'une théorie. Qu'est-ce que cela veut dire exactement ?

Il y a deux façons de répondre.

Le point de vue sémantique : Une proposition A est

démontrable sémantiquement à partir de T , ou est

conséquence sémantique de T , ou est un théorème sémantique

de T lorsque A est satisfaite dans tous les modèles de T .

Le point de vue syntaxique : Une proposition A est

démontrable syntaxiquement à partir de T , ou est

conséquence syntaxique de T , ou est un théorème syntaxique

de T lorsqu'il existe une démonstration formelle de A àpartir des axiomes de la théorie T .

76





Le point de vue sémantique : Une proposition A est








77





Ï Le point de vue sémantique : Une proposition A est








78





Ï Le point de vue sémantique : Une proposition A est




Ï Le point de vue syntaxique : Une proposition A est




79


La notion de démonstration formelle varie. Elle dépend du choix

d'un système de règles de déduction et d'axiomes logiques.

Une démonstration formelle de A à partir de T est alors une suite

�nie de propositions dont la dernière et A et dont chacune est soit

un axiome logique, soit un axiome de la théorie T , soit une

proposition obtenue à partir de celles qui la précèdent dans la suite

par application d'une des règles de déduction.

Exemple de règle de déduction : le modus ponens (ou règle dedétachement). Cette règle permet, à partir de la proposition A et

de la proposition A=⇒B , de déduire la proposition B .

80

Le théorème de complétude de la logique du premier ordre

Théorème (Gödel, 1929) : Quelles que soient la théorie T et la

proposition A, A est conséquence sémantique de T si et seulement

si A est conséquence syntaxique de T .

C'est probablement le théorème le plus important de la logique

mathématique.

81

Le théorème de complétude de la logique du premier ordre

Théorème (Gödel, 1929) : Quelles que soient la théorie T et la

proposition A, A est conséquence sémantique de T si et seulement

si A est conséquence syntaxique de T .

C'est probablement le théorème le plus important de la logique

mathématique.

82

Pour conclure

Grâce à Gödel, nous savons que les mathématiques sontirrémédiablement incomplètes !

On aura beau ajouter des axiomes à la théorie des ensembles, si

celle-ci n'est pas contradictoire, il y aura toujours des propositions

� indécidables �, c'est-à-dire vraies dans certains univers

mathématiques, et fausses dans d'autres.

83

Pour conclure

Grâce à Gödel, nous savons que les mathématiques sontirrémédiablement incomplètes !

On aura beau ajouter des axiomes à la théorie des ensembles, si

celle-ci n'est pas contradictoire, il y aura toujours des propositions

� indécidables �, c'est-à-dire vraies dans certains univers

mathématiques, et fausses dans d'autres.

84

Tout ça, c'est bien gentil, mais le phénix ?

85


Ï Une absence dramatique d'ambition

La religion de la modélisation et de la résolution de problèmes

La peur de l'abstraction

Le langage banalisé

La formation des enseignants massacrée

86



Ï La religion de la modélisation et de la résolution de problèmes

La peur de l'abstraction



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Ï La peur de l'abstraction



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Ï Le langage banalisé


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Ï Le langage banalisé

Ï La formation des enseignants massacrée

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Vous le ferez

renaître !

91

Un grand coup de toge à notre ami !

92

Un grand coup de toge à notre ami !

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